Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Forze centrali2) Le Leggi di Keplero3) Coniche4) Integrali del moto5) La Legge di Gravitazione Universale6) L’energia potenziale gravitazionale7) Applicazioni

Parte VII: Gravitazione

Le forze possono essere funzione della posizione. Un esempio è la forza di richiamoelastica dell’oscillatore armonico

Queste forze elastiche hanno la caratteristica di puntare sempre verso un punto,la posizione d’equilibrio dell’oscillatore, e per questo si dicono forze centrali

Le forze centrali hanno spesso la caratteristica di essere conservative

Si noti che si è introdotto il concetto di campo vettoriale: abbiamo cioè definito unacorrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio ed una grandezza fisica vettoriale.Questa assume differenti valori (in modulo, direzione e verso) al variare del punto

I moti in campi di forze centrali hanno spesso particolari caratteristiche. Questo è ilcaso del moto dei pianeti e dei corpi celesti attorno al Sole

Forze centraliForze centrali

Dopo osservazioni e dati raccolti per molti decenni da suoi predecessori oltre che da luistesso, Keplero fu in grado di stabilire le seguenti tre leggi:

I. I pianeti descrivono orbite ellittiche piane ed il sole occupa uno dei fuochiII. Il raggio vettore congiungente il pianeta al sole spazza aree uguali in tempi ugualiIII. Se T è il periodo di rivoluzione ed R il semiasse maggiore dell’ellisse si ha:

pianeti i tutti per uguale costante C conCR

T

3

2

r

v

Sole

Semiasse maggiore

Semiasse minore

PerielioAfelio

Aree uguali

Moto più lento Moto più veloce

Le Leggi di KepleroLe Leggi di Keplero

PUNTO RETTE

Intersecando con un piano un cono retto (circolare a due falde) si ottengono delle curvepiane dette coniche

Rette e punti sono casi particolaridi queste intersezioni (degenerazioni)

Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole

Le sezioni conicheLe sezioni coniche

Siccome i principi e le leggi della Fisica devono valere dovunque nell’universo, ancheil moto dei pianeti o anche di altri corpi celesti deve obbedire ai principi di conservazionee alla Leggi di Newton

Cominciamo col dire che non ci sono solo pianeti che si muovono sotto l’azione del Sole.

Vi sono le comete periodiche (e.g. la cometa di Halley) che descrivono delle orbite chiusee si comportano in tutto e per tutto come i pianeti salvo il fatto che l’orbita ellittica èmolto eccentrica.

Vi sono altri corpi celesti (e.g. gli asteroidi) con elevatissima energia cinetica e cheseguono traiettorie paraboliche, con il sole nel fuoco

Le Leggi di Keplero e gli integrali del motoLe Leggi di Keplero e gli integrali del moto

Periodo 76 anni

La cometa di HalleyLa cometa di Halley

Consultare fig. 12-11Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

La differenza fra il moto di un pianeta o di un asteroide, cioè orbita chiusa o apertasta nell’energia meccanica totale

Vedremo più avanti che se l’energia totale è negativa (caso dei pianeti) l’orbita deveessere chiusa, mentre se l’energia totale è positiva l’orbita deve essere aperta.

Ciò è facile da intuire: se l’energia meccanica totale è positiva significa che l’energiacinetica è prevalente su l’energia potenziale dovuta all’attrazione del Sole, ed in talcaso vince la tendenza del corpo a scappare via. Sempre in questo caso l’attrazionedel sole può solamente deviare il corpo dalla sua traiettoria altrimenti rettilinea.

Nel caso opposto è prevalente l’energia potenziale, ovvero il corpo resta legato al Sole,e, in analogia col moto circolare, cade continuamente verso il Sole

Si dice che l’energia è un integrale del moto, ed in effetti l’area dell’orbita, che si conserva, è legata alla energia totale. Ciò è naturalmente vero fino a quando possiamo considerareil sistema pianeta-sole come isolato

Anche il momento angolare si conserva (ed è un altro integrale del moto). Le prime dueLeggi di Keplero sono una conseguenza di questo fatto

Per la definizione di momento angolare vmrL p

con mp massa del pianeta, v la sua velocità ed r il raggio vettore Sole-pianeta

Siccome il momento angolare deve conservarsi, anche la sua direzione deve rimanerecostante. Questa è perpendicolare al piano su cui giacciono r e v: di conseguenza il motodeve sempre avvenire su un piano, dunque l’orbita è piana (cfr. I Legge di Keplero)

Il verso del momento angolare definisce semplicemente il verso di rotazione: anchequesto è ovviamente costante

Anche il modulo del momento angolare è costante, e ciò conduce alla seconda legge diKeplero. Il modulo del momento angolare vale

rpprpp sinrmsinvrmLL 2

Da questa formula si capisce che se aumentasse la distanza Sole-pianeta la velocitàangolare deve diminuire per mantenere costante il momento angolare

Calcoliamo adesso la velocità areolare

Consideriamo un’area infinitesima spazzatain un tempo infinitesimo dt, descritta da unangolo infinitesimo d=dt

d=dt

Se approssimiamo l’areola infinitesima dA con un triangolo isoscele di altezza r e basersinrpd

prprprp m

Lsinr

dt

dAdtsinrdsinrdA

22

1

2

1

2

1 222

Keplero non conosceva le leggi di Newton, né la conservazione del momento angolare edell’energia, tuttavia le sue osservazioni (I e II legge) sono in accordo con questi

Fu Newton a scoprire come la III legge di Keplero doveva essere legata alla forza concui il Sole attira i pianeti e ad intuire che questa è la forza con cui tutti i corpi si attirano

Supponiamo per semplicità di calcoli (geometria) che l’orbita di un pianeta siacircolare, anziché ellittica. In tal caso il raggio delle circonferenza coinciderà colsemiasse maggiore ed il periodo sarà legato alla velocità ed al raggio

2

22

2

222

4

42

T

R

R

va

R

v

v

RTT

La forza centrale (ovvero centripeta in questo caso) dovrà essere, per la II leggedella Dinamica

sppppsp F

RmT

T

Rm

R

vmF

22

2

22 44

La Legge di Gravitazione UniversaleLa Legge di Gravitazione Universale

Ma la III Legge di Keplero afferma che il quadrato del periodo deve essere proporzionaleal cubo del raggio, quindi il modulo della forza di attrazione deve essere inversamenteproprozionale al quadrato del raggio

322

22

32 44R

K

m

F

RmT

R

KFCRT

p

p

spp

psp

La frazione in parentesi deve però essere indipendente dal pianeta (la costante C diKeplero infatti lo è). Pertanto la quantità mp deve semplificarsi fra numeratore edenominatore

pp m'KK

Ma se la costante Kp è proporzionale alla massa del pianeta deve anche essereproporzionale alla massa del Sole, perché la forza con cui il pianeta è attratto dalSole deve essere uguale ed opposta alla forza con cui il pianeta attira il Sole (Azione eReazione). Pertanto

psp mGMK

In conclusione la forza di attrazione Sole-pianeta deve essere

r̂r

mMGF ps

sp 2

La costante di gravitazione universale G deve essere determinata sperimentalmente.Essa, con un errore percentuale dello 0.06% , vale

2211106736 KgNmx.G

G è una costante universale. Ciò vuol dire che è un numero che serve a far tornarele dimensioni fisiche di entrambi i membri della Legge di Gravitazione.

Tuttavia allorché si introduce una nuova costante universale si è fatta una nuovascoperta scientifica: prima dell’introduzione di G nessuno aveva neppure immaginatoche il prodotto di due masse diviso il quadrato di una distanza potesse essereproporzionale alla forza con cui le due masse si attirano!!!

La cosa più importante della Legge di Gravitazione è che essa non vale solo per SolePianeti, comete, asteroidi, etc. ma vale per tutti i corpi dotati di massa. Infatti essasi applica perfettamente anche al sistema Terra-Luna, ovvero a tutti i corpi sulla Terracompresi i razzi ed i satelliti che vogliamo lanciare in orbita geostazionaria

Si applica in tutti i punti dell’universo e si pensa che valga sin dalla nascitadell’universo stesso.

A rigore, le masse che compaiono a numeratore si chiamano masse gravitazionali.Questa dovrebbe essere ( e lo è per la Fisica Classica) una proprietà fisica diversa dallamassa inerziale, che misura l’inerzia di un corpo da fermo. La massa gravitazionalemisura la capacità che ha un corpo, dotato di questa proprietà, di attrarre altri corpi.Newton non poteva comprendere perché massa gravitazionale ed inerziale coincidessero

Ci volle Albert Einstein, circa altri duecento anni di studi ed esperimenti, e la Teoria dellaRelatività Generale, per comprendere perché massa gravitazionale ed inerziale sono lastessa grandezza fisica

Alcuni Commenti sulla Legge di Gravitazione UniversaleAlcuni Commenti sulla Legge di Gravitazione Universale

Fino ad ora noi abbiamo assunto che l’accelerazione di gravità sia una costante(g=9.806 m/sec2)

La legge di gravitazione universale però ci dice che i gravi cadono verso il centrodella Terra e l’accelerazione corrispondente è funzione della distanza da questo punto(preso come origine)

r̂r

MGggmr̂

r

mMGF TT

g 22

Tuttavia il raggio della Terra (6374 Km) è grande rispetto alle distanze studiatenei problemi comuni di caduta dei gravi (e.g. al massimo kilometri). Per capirese considerare g costante è una buona approssimazione scriviamone il modulo intermini del raggio della terra Rt

tt

ttt Rhcon

hR

GM

r

GMghRr

22

L’accelerazione di gravitàL’accelerazione di gravità

t

tt

t

tt

t

R

hghg

R

h

R

GM

R

hR

GMhg

210

211

121

1222

2

Dato che h<<Rt si può approssimare con uno sviluppo in serie la dipendenza da g da h

Per un aeroplano che vola a 10 Km di altezza

099690103746

1021010

6

44 g.

mx.

mgmg

Le variazioni di g con la quota non sono pertanto significative su scale di distanzeterrestri

Calcoliamo il lavoro che compie la forza di gravitazione terrestre per portare una massada una posizione r1 ad una posizione r2

2

1

2

1

2

1

2212

r

rt

r

rt

r

rg

r

drmGM

r

ldr̂mGMldFW

r

mGMrUUrUrU

rmGMW t

r

rt

2112

2

1

1

L’ultimo passaggio indica che qualunque sia la traiettoria il risultato non cambia

Con l’ultimo passaggio abbiamo introdotto l’energia potenziale gravitazionale. Questaè funzione della sola distanza dal centro della Terra (il centro di forza) e non delladirezione. Ciò vuol dire che il campo di forza gravitazionale è conservativo ed hasimmetria sferica

L’energia potenziale gravitazionaleL’energia potenziale gravitazionale

Notiamo che l’energia potenziale gravitazionale è sempre negativa. Ciò dipende dalfatto che la forza di gravitazione è sempre attrattiva. Questa è una importante peculiaritàdelle forze di gravitazione, rispetto alle forze esistenti in natura che possono essereattrattive e repulsive (e.g forze elettromagnetiche)

Calcoliamo l’energia totale di un pianeta che ruoti attorno al sole su un orbita circolare

R

mMGRm

R

mMGvmE ps

pps

ptot 222

2

1

2

1

Possiamo ricavare R22 dalla II legge della dinamica

R

mMGRm

R

mMGRm ps

pps

p 222

2

Sostituendo

LRRmR

mMG

R

mMG

R

mMGE p

pspspstot 2

1

2

1

2

1

2

1 22

Dal precedente esercizio si comprende come le orbite più piccole corrispondono adenergie potenziali grandi (in valore assoluto) rispetto alle energie cinetiche dei pianeti

Interessantemente, se l’orbita è perfettamente circolare l’energia totale è esattamentela metà dell’energia potenziale e pari all’energia cinetica cambiata di segno

Nel caso di orbite ellittiche la distanza Sole-pianeta cambia, ma per la conservazione delmomento angolare, cambierà anche la velocità di rotazione. In conseguenza l’energiapotenziale diminuirà e/o aumenterà mentre l’energia cinetica aumenterà e/o diminuiràdelle stesse quantità lasciando l’energia totale costante (integrale del moto)

Nonostante i pianeti conosciuti siano solo nove (è incerta l’esistenza di un decimo pianeta)in Fisica Classica l’energia totale ed il momento angolare possono assumere qualunquevalore, ciascuno corrispondente ad un diverso pianeta e ad una diversa orbita.

In Fisica Quantistica non tutti i valori dell’energia e del momento angolare sono permessi

Un razzo viene lanciato dal suolo verso il cosmo. Quale deve essere la sua velocità inizialeaffinché possa sfuggire alla attrazione terrestre? (velocità di fuga)

Analisi: per effetto dell’attrazione terrestre un grave normalmente ricade al suolo.Questo vuol dire che la sua energia totale è negativa. Allora per sfuggire alla terrabisogna rendere la sua energia positiva o almeno nulla

Basta allora imporre la seguente equazione

t

tf

t

tftot R

GMv

R

mMGmvE

20

2

1 2

Si noti che interessantemente la velocità di fuga non dipende dalla massa del razzoma è una costante per tutti i corpi

ApplicazioniApplicazioni

Il satellite GalileoIl satellite Galileo

La traiettoria da far seguire ad un satellite per raggiungere l’obiettivo può essere davveromolto complicata

Consultare fig. 12-10Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

Stimare la massa della Terra

Siccome conosciamo l’accelerazione di gravità al suolo, ed il raggio della Terrapossiamo usare questi dati per questa stima

G

gRM

R

mMGmg t

tt

t2

2

Sostituendo i dati numerici

Kgx.

Kg/Nmx.

mx.sec/m,M t

242211

262

10975106736

1037468069

Stimare la massa del Sole assumendo che la distanza Sole-Terra sia R=1.496x108 Km

2

323

2232 44

GT

RMR

GMTCRT s

s

La III legge di Keplero sappiamo che il periodo di rivoluzione della terra attornoal Sole è legato alla distanza

Sapendo che secx.secxxgiorniT 710153360024365365

Sostituendo i valori numerici

ts MxKgx.

secx.KgNmx.

mx..M 833

272211

3112

103100210153106736

104951141634

In quale posizione sulla congiungente Terra-Luna un corpo di massa m non subisceattrazioni gravitazionali?

Analisi:i corpi sono soggetti all’attrazione gravitazionale della Terra, ma anche la Lunaè in grado di attrarli, benché tale attrazione sia molto debole a causa del fatto che lamassa della Luna è molto più piccola di quella della Terra e la sua distanza è molto grande.Tuttavia un corpo posto sulla congiungente Terra-Luna sarà soggetto a due forze diattrazione che possono bilanciarsi. Cioè:

LT

LT

M

drdr

M

r

rd

mMG

r

mMG

222

22

2

Risolvendo l’equazione di secondo grado rispetto ad r

T

L

T

L

T

L

T

L

T

L

T

L

T

L

M

Mdr;

M

Mdr

M

MM

Md

M

MM

Mddd

rddrrM

M

1

1

1

1

1

1

1

1

021

22

22

Delle due soluzioni una (r+) è maggiore della distanza d Terra-Luna e va scartata

Come era lecito aspettarsi il risultato dipende dal rapporto fra le masse ed è più vicinoal corpo più leggero

Sostituendo i valori numerici

mx.dmx.d..

dr

M.Kgx.M;Kgx.M TLT

88

2224

1084431046039002011091

01230103507109765

Come si vede tale punto è abbastanza vicino alla Luna

Gli astrologi affermano che la vita di una persona è influenzata dalla esatta posizionedei pianeti al momento  della nascita. Per verificare se questa influenza è dovuta allagravitazione confrontare le seguenti due quantità: 1. la variazione della forza gravitazionale agente su un neonato di 5 Kg dovuta alla

presenza o all'assenza di un camion del peso di 2 tonnellate parcheggiato vicinoall'ospedale ad una distanza di 100 m;

2. la variazione della forza gravitazionale agente sullo stesso un neonato dovuta allavariazione della posizione di Giove da un giorno all'altro

Forza camion-neonato:

NewtonGxx

Gd

MMGF nC

nC 4

3

2 10

5102

Dati: la massa di Giove MG=1.9x1027Kg; il suo periodo di rivoluzione è di 11.9 anni;assumere che le orbite attorno al Sole di Giove e la Terra siano circolari e di raggirispettivamente pari a RG=7.8x108Km e RT=1.5x108Km; , che Giove e la Terra sianoinizialmente alla minima distanza e considerare i tratti di circonferenza percorsicome rettilinei

Per il calcolo della forza Giove-Neonato bisogna fare una costruzione geometrica

Essendo variata la distanza Giove-neonato in un giorno la variazione della forza sarà:

NewtonG.

x..

xx.Gxdd

MGMFGT

'GT

nG

060

10690039

1

692539

1510901

11 222722

Ne segue che l'effetto gravitazionale di un camion che parcheggia vicino ad un ospedalee poi va via è sul neonato circa un fattore 16 più grande dell'effetto del movimento di Giove.Quindi delle due una: o i) il movimento di Giove influenza i neonati per mezzo di forzediverse dalla forza di gravitazione o ii) gli astrologi (e chi crede in quello che dicono)si sbagliano.