Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Magnetizzazione e correnti di polarizzazione2) L’intensità di magnetizzazione3) L’origine microscopica del momento magnetico4) Diamagnetismo e precessione di Larmor5) Superconduttori ed Effetto Meissner6) Effetto Josephson e SQUID7) Paramagneti e Ferromagneti8) Isteresi magnetica e Temperatura di Curie9) Circuiti magnetici ed Elettromagneti

Parte XXI: Proprietà magnetiche della materia

La materia sottoposta a campi magnetici risponde in due modi qualitativamente diversi:o non sembra reagire affatto o si lascia attirare (respingere) da magneti e/o correnti

In realtà i campi magnetici interagiscono con i moti elettronici (correnti atomiche) diqualunque mezzo materiale e la natura microscopica dei moti elettronici origina il diversocomportamento dei mezzi.

Abbiamo visto che all’interno di un solenoide il campo magnetico è uniforme e, nel vuoto,vale

inHovvero;inB 00

inB 00 inB r0

Se inseriamo un mezzo materiale all’interno del solenoide troviamo che il campo siModifica di un fattore r, che al contrario del caso elettrico può essere anche minore di 1.r si chiama permeabilità magnetica relativa (al vuoto) del mezzo e dipende, ovviamentedalle proprietà chimico-fisiche mezzo materiale che abbiamo posto nel solenoide.Si dice che il mezzo, sotto l’azione del campo esterno si magnetizza.

Magnetizzazione e correnti di polarizzazioneMagnetizzazione e correnti di polarizzazione

In analogia al caso elettrico possiamo pensare che le cose vanno come se la materiaintroducesse delle nuove correnti: le correnti di polarizzazione (magnetizzazione)tali da far sì che

ininniinniinB mrr 100

Possiamo cioè pensare che la materia equivalga ad un ulteriore avvolgimento di n’ spireper unità di lunghezza dove scorre una corrente i’, e possiamo definire la suscettivitàmagnetica m.

Tali correnti, se esistono (e vedremo che esistono realmente!), sono la media delle correntimicroscopiche che il campo suscita nella materia

Come vedremo in dettaglio più avanti, il moto orbitale degli elettroni è assimilabile ad unacorrente circolare e, quindi, sulla base del teorema di Ampère, ad ogni elettrone in motoorbitale possiamo assegnare un momento magnetico (il magnetone di Bohr). L’effetto delcampo esterno sarà quello di aumentare o diminuire la velocità di rotazione degli elettroniovvero quello di orientare i momenti magnetici, facendo sì che gli atomi acquistino unmomento magnetico medio non nullo

La presenza di momenti magnetici microscopici, e, quindi, di momenti magnetici medi(per tempi lunghi e regioni grandi rispetto alle scale atomiche), permette di definire ilmomento magnetico medio dell’unità di volume come (l’intensità di) magnetizzazione

dz,y,xMmd

Dobbiamo, come nel caso della polarizzazione dei dielettrici, mettere in relazione lamagnetizzazione con le correnti microscopiche. Per far questo immaginiamo che ogniatomo abbia un momento magnetico pari al momento magnetico medio, in modo che

mnM

con n numero di atomi per unità di volume

Proviamo a calcolare la corrente che in mediascorre nella materia dovute alle correnti atomiche

L’intensità di magnetizzazioneL’intensità di magnetizzazione

dz

dyConsideriamo le correnti atomiche

x

y

z

in un sistema di riferimentoche fluiscono nella direzione x attraversoun quadratino di lati dy e dz

Notiamo che solo quelle correnti la cuispira è attraversata dai lati dell’areoladxdy contribuscono alla corrente, poichél’attraversano una sola volta.

12

3

4

Inoltre il contributo delle spireattraversate dai lati sarà positivo o negativo dipendendo dal verso delle correnti atomiche:due lati opposti (1-3 e 4-2) contribuiscono con segno opposto

Dobbiamo determinare adesso il numero di atomi che vengono attraversati da un lato.A tale scopo consideriamo un cilindro che abbia per asse il lato 1 e base S e notiamoche solo una frazione degli atomi ivi contenuti contribuiscono

S

È facile realizzare che il numero di atomi da considerare, Ny, sta al numero di atomi totale, N,nel rapporto della proiezione Sy dell’area dell’orbita atomica all’area S. Avremo:

Sy

dyMndymndySiSdy.Vol

N

S

SiiNi yyym

ymmy 1

111

000

01

Analogamente per il lato 3 avremo dyMi y 31

03

Ma se il campo di magnetizzazione varia con continuità nel passare dal lato 1 al lato 3

dzz

MMM y

yy

13

Sottraendo tali contributi dydzz

Mi y

0

31

1

Analogamente per i lati 4 e 2 dydzy

Mi z

0

24

1

In totale la corrente in direzione x sarà dydzJdydzMrotdydzz

M

y

Mi xx

yzx

0

1

In definitiva per le tre direzioni: BMrotJ

0

1

Sostituendo nella Legge di Circuitazione

macro

macromacro

JMB

rot

MrotJJJBrot

0

00

Definendo pertanto

HMHBovveroMB

H

00

Il problema della magnetostatica della materia si riduce, analogamente al caso elettrostatico,al determinare M in funzione di H. Se tale dipendenza funzionale fosse linearizzabile avremo

HM m

0

Tuttavia la validità di questa approssimazione è molto meno ampia che per l’analogaespressione elettrostatica: per la maggioranza di sistemi di interesse tecnologico, anzi,la suscettività magnetica è una funzione complicata del campo

Hmm

Il momento magnetico di un atomo è una proprietà di tutti gli elettroni del sistema

In un atomo di idrogeno, l’elettrone compie una rivoluzione completa attorno al nucleoin un periodo T0. Ciò equivale ad una corrente e, quindi, ad un momento magnetico

Lm

evm

m

eaa

eS

T

em

ee

e 222 000

020

00

00

Come si vede il momento magnetico è proporzionale al momento angolare dell’elettrone L.A questo va aggiunto il momento magnetico dovuto allo spin dell’elettrone. La naturaquantistica del momento angolare e dello spin fa sì che per un atomo di idrogeno ilmomento magnetico sia un multiplo intero del magnetone di Bohr

ee

nBn m

e

m

Ea

eva

em

2

2

2201

00

000

1

L’estensione al caso di atomi con più elettroni ed al caso dei solidi, dove sta il nostroprincipale interesse, fa sì che il magnetone di Bohr sia soltanto l’unità di misura deimomenti magnetici che in generale saranno multipli reali di B. Ciò perché il momentomagnetico totale sarà la risultante della somma di molti momenti magnetici dovuti almoto orbitale degli elettroni

L’origine microscopica del momento magneticoL’origine microscopica del momento magnetico

In un solido gli ioni sono tenuti insieme dagli elettroni di valenza

+ +

++

+ + +

+

e-

Ad un istante t un elettrone compie un’orbita attorno ad uno ione e

per un tempo 10-16 sec. acquista un momento pari ad mt

Successivamente, se aspettiamo un tempo =10-11 sec., molti altri elettroni sostituirannoil primo, ma con altre orbite

La media temporale di questi momenti magnetici può essere nulla oppure no.

I sistemi per i quali tale media è nulla si chiamano diamagnetici (Cu, Ag, Nb, Mo, W,etc.)

I sistemi per i quali tale media è non nulla si chiamano magnetici e si dividono inparamagnetici e ferromagnetici

+ +

++

+ + +

+

e-

Gli atomi dei sistemi magnetici mostrano quindi un momento magnetico proprio

im

Ma dopo aver orbitato attorno ad (scatterato) un atomo un elettrone arriva ad un altro

Anche questo secondo atomo acquisterà istante per istante un momento magnetico, la cuimedia temporale sarà un momento magnetico non necessariamente orientato come il primo.Avverrà analogamente per gli altri siti.

jm

La media spaziale di questi momenti può essere nulla oppure no

I sistemi per cui questa media è nulla sono i paramagneti e sono contraddistintidal non possedere una magnetizzazione spontanea.

I mezzi in cui il sistema di momenti magnetici propri presentano un elevato grado di ordinespontaneo sono i ferromagneti, i quali presentano una magnetizzazione spontanea.

Una delle possibilità di ordinare il sistema di momenti magnetici è (Fe, Ni, Co)

+ +

++

+ + +

+ + +

++

+ + +

+

+

+ +

++

+ + +

+

Cioè la fase ferromagnetica. È chiaro che un così elevato grado di ordine può aversi soloa temperature molto basse. È anche intuitivo che tale reticolo di momenti magnetici potràfondere aumentando la temperatura oltre un valore Tc, dando luogo ad una transizionedi fase analoga a quella fra solido e liquido.

A temperature intermedie la situazione diventa più o meno così (perdita di parallelismo)

Visto su una scala molto più grande della scala atomica il sistema appare

In tal caso la magnetizzazione spontanea del materiale sarà in totale alquanto debole(p. es. un chiodino di ferro). Una regione in cui il materiale avrà momenti magneticiparalleli si chiama dominio di Weiss

Il parallelismo dei momenti magnetici non è la sola possibilità di ordine. Le sostanzeantiferromagnetiche si mostrano con antiparallelismo lungo una direzione reticolare (Cr, M)

+ +

++

+ + +

+

Consideriamo un atomo di idrogeno in assenza di campi esterni. Immaginiamo chel’elettrone ruoti con velocità angolare costante. In questo caso la forza centripeta è parialla forza di Coulomb dovuta al nucleo:

sec/girixam

eam

a

e

ee

1630

2

000

202

0

2

0

1044

1

4

1

Supponiamo che vi sia un campo magnetico perpendicolare al piano dell’orbita

+e

-e

+0

-0

B0

a0

Fc

FL

In tal caso agirà una forza di Lorentz che ha ancora ladirezione del raggio e va a sommarsi (sottrarsi) allaforza centripeta.

Avremo

02

0020

2

04

1amBae

a

ee

La precessione di LarmorLa precessione di Larmor

Definendoe

L m

eB

2 l’equazione diventa

20

220

2 02

LLL

Ora, i campi magnetici intensi sono dell’ordine di qualche decina di Tesla (m sec-2 A-1)quindi la pulsazione L, che si chiama pulsazione di Larmor, è dell’ordine di

1130

19

0 1079810109102

1061

2x.

x.x

x.B

m

e

eL

Pertanto la pulsazione di Larmor è almeno 4 ordini di grandezza più piccola della pulsazionepropria dell’elettrone. Ne segue

0

L

Vale a dire che l’effetto del campo magnetico è quello di far ruotare l’elettrone attornoalla sua direzione con pulsazione L: si stabilisce cioè un moto di precessione attorno alladirezione del campo magnetico. Come vedremo questo produce effetti non necessariamentetrascurabili anche se il valore di L è molto più piccolo di 0. Naturalmente questo risultatoè altrettanto vero anche se il campo non è perpendicolare al moto dell’orbita.

Il momento magnetico dell’atomo di idrogeno sottoposto al campo magnetico B0 sarà:

0000 2mm

eSS

T

em LL

Tuttavia se consideriamo molti atomi di idrogeno dobbiamo fare una media di questaquantità. È ragionevole pensare che il grosso termine m0 sia diretto lungo tutte ledirezioni e quindi il suo contributo medio sarà nullo. Il che equivale a dire che non esisteun momento magnetico proprio di un sistema di atomi di idrogeno. Quindi le seguenticonsiderazioni si applicano per le sostanze diamagnetiche

Siccome la precessione di Larmor avviene attorno alla direzione di B0, la direzione deimomenti magnetici mL deve essere la stessa per tutti gli atomi. Pertanto la media saràproprio mL

00

2

000 42BB

m

eS

eSmmmm L

eLLL

Nell’ultimo passaggio abbiamo definito L, l’equivalente della polarizzabilità perdeformazione di un dielettrico, la polarizzabilità magnetica. Ma la fondamentale differenzacol caso elettrostatico sta nel fatto che il momento magnetico suscitato dal campo esternoè di verso opposto a quello del campo: un diamagnete deve quindi avere una suscettivitànegativa (permeabilità magnetica r minore di 1)

Il momento magnetico di LarmorIl momento magnetico di Larmor

Come abbiamo visto la suscettività magnetica di un diamagnete deve essere negativa.Essa è tuttavia normalmente alquanto piccola in valore assoluto. Vedremo pure che peri paramagneti la suscettività è positiva ma piccola, mentre per i ferromagneti è enorme.

Alcuni sistemi fisici, sotto particolari condizioni diventano diamagneti perfetti: la lorosuscettività è pari a –1 (la permeabilità magnetica diventa 0). Questi sistemi, di enormeimportanza tecnologica, sono i superconduttori.

In tali sistemi, non necessariamente metalli, al di sotto di una certa temperatura Tc, laresistività diventa improvvisamente piccolissima.

(T

)

T

Resistività di un Superconduttore

Tc

Superconduttori ed effetto MeissnerSuperconduttori ed effetto Meissner

Il meccanismo che stabilisce la superconduttività, nei cosiddetti superconduttori tradizionali,quelli cioè la cui temperatura di transizione è di pochi gradi Kelvin, è la formazione dellecoppie di Cooper

+

--

Se un elettrone si trova in moto vicino ad uno ione, può trascinare un po’ lo ione verso di sé

Se un altro elettrone si trova nelle vicinanze esso può essere accelerato dallo ione, creandoun legame fra i due elettroni (la coppia di Cooper).

Naturalmente, affinché questo fenomeno si verifichi, molte condizioni devono essere verificate:Gli spins degli elettroni devono essere opposti, la loro quantità di moto deve differire di unaprecisa quantità (il momento di Fermi), le vibrazioni degli ioni non devono ostacolare(scattering) il moto degli elettroni, nel passare vicino ad un altro ione si devono ripetere lestesse condizioni, etc.. Il percorso che i due elettroni possono percorrere legati può esseregrande (sulla scala atomica) si chiama lunghezza di coerenza.

T<Tc B=0rH

B=0

Sotto la temperatura critica, improvvisamente la suscettività m =–1, ovvero lapermeabilità magnetica r=0. Di conseguenza il campo di induzione magnetica

00 HB r

si annulla all’interno del superconduttore.Pertanto il superconduttore espelle le linee di flusso del campo magnetico, ed è quindicostretto ad uscire fuori dalla zona in cui c’è il campo

T>Tc B= 0rH

B= 0rH

Questo effetto, detto Effetto Meissner è alla base del fenomeno della levitazione magnetica(treni a monorotaia)

Se il campo magnetico è maggiore di un certo campo critico Hc, il sistema smette di esseresuperconduttore (ritorna allo stato normale). Superconduttori che hanno questa caratteristicasi dicono del I tipo (e.g. Alluminio)

Nei superconduttori del II tipo (Nb), invece, le linee di flusso del campo magnetico penetranoparzialmente nel superconduttore, dando luogo ad uno stato misto se il campo è compresotra due valori Hc1 e Hc2. Per campi superiori ad Hc2 il superconduttore ritorna allo statonormale, per campi inferiori ad Hc1 tutto il campo magnetico è espulso dal sistema.

Se in un circuito superconduttore si inserisce una giunzione isolante ci si aspetterebbe che labarriera di potenziale che si viene a creare impedisca il passaggio della corrente

J J0

Josephson (1962) mostrò che se la corrente è inferiore ad una data soglia (107 A/m2),le coppie di Cooper riescono ad attraversare l’isolante, dando quindi luogo a correntiattraverso la barriera dell’ordine anche di 106 A/m2, con campo elettrico nullo. Questo èl’effetto Josephson in corrente continua

Se si applica una differenza di potenziale costante V alla facce opposte dell’isolante siproduce una corrente oscillante di frequenza

MhzV

V.V

h

e

16483

2

(Effetto Josephson in corrente alternata)

Effetto Josephson e lo Squid Effetto Josephson e lo Squid

Ciò consente di costruire un apparecchio denominato SQUID (Superconducting QuantumInterference Device)

isolante

isolante

B0

Jtot

Ja

Jb

La natura della correnti Ja e Jb è quantistica. Ciò dà luogo ad interferenza fra di esse e fa sìche la corrente totale sia data da

00

BecosJJ tot

Questo apparecchio che è facilmente miniaturizzabile consente pertanto la misura di campimagnetici anche debolissimi (bolometro). Trova applicazioni importantissime in biomedicina(e.g. attività cerebrali) e biofisica

Materiale m Tipo

Bismuto -170 10-6

Rame -10 10-6 diamagneti

Argento -19 10-6

Acqua -9 10-6

Aria +0.4 10-6

Alluminio +22 10-6 paramagneti

Platino +360 10-6

Materiale m(H0) Tipo

Ferro 102103

Nickel 103103 ferromagneti

Cobalto 103103

Permalloy (FeNi) 12 10350 103

Tabelle di confronto delle Suscettività magneticheTabelle di confronto delle Suscettività magnetiche

Un magnete immerso in un campo magnetico esterno si comporta analogamente adun dielettrico le cui molecole posseggano un momento di dipolo elettrico proprio immersoin un campo elettrico esterno.

Il fenomeno fisico principale è quindi quello della magnetizzazione per orientamento:i momenti magnetici si allineano nella direzione del campo esterno, ma devono lottarecontro la tendenza disordinatrice della agitazione termica. Tuttavia, al contrario deidiamagneti, la magnetizzazione media risultante sarà parallela al campo e non antiparallela

Ciò che differenzia dal caso dei dielettrici è il fatto che un magnete è normalmente allo statosolido e non gassoso. Ciò può produrre dei campi locali. Ancora analogamente al caso deidielettrici si può scrivere:

MNHH *

N è il numero di Weiss

Tuttavia accade che per i paramagneti N è un numero molto piccolo e si avrà

Tk

HmLMM

Tk

HmLmmHH

Bs

B

* 000

dove L è la funzione di Langevin e Ms è la magnetizzazione di saturazione

Paramagneti e FerromagnetiParamagneti e Ferromagneti

M(a)

a

Ms

-Ms

In funzione del parametro a la magnetizzazione sarà dunque la funzione di Langevin.Ricavando M in temini di H ed H* possiamo trovare (graficamente) la funzione M(H).M(a) deve essere anche una retta di ordinata all’origine –H/N, a temperatura costante.

Nm

Tktan;

N

Ha

Nm

Tk

N

H

N

HM;

Tk

Hma BB

*

B

*

00

0

N

H

Al diminuire di Hla retta interseca M(a)in diversi punti

Se è abbastanzapiccolo possono essercidue intersezioni(H=Hc)

Riportando i valoridi M in funzione diH

Isteresi magnetica e Temperatura di CurieIsteresi magnetica e Temperatura di Curie

H

M(H)

Ms

-Ms

Hc-Hc

Mr

-Mr

Isteresi Magnetica

3m

jouleMxHArea

Temperatura di Curie

M(a)

a

Ms

-Ms

a/3

c

Se la temperatura è sufficientemente elevata (o se N0) le rette avranno una sola intersezionecon la curva di Langevin! Il sistema è quindi nella fase paramagnetica. La transizione si ha se

K

NMmT

Nm

TkMtan s

ccB

sc 33

1 0

0

Si noti che l’esistenza di una magnetizzazione residua spiega come mai un chiodino d’acciaioavvicinato ad una calamita si magnetizzi, e poi, allontanato, sia in grado di attrarre altrichiodini.

Un ferromagnete (quindi al di sotto della temperatura di Curie) presenta i domini di Weiss,che, di norma, non sono molto estesi, specie se il materiale è policristallino. L’azione delcampo esterno è quella di estendere enormemente i domini di Weiss. Ciò costa lavoro, infattil’area sotto le curve di magnetizzazione è lavoro per unità di volume.Lasciato a sé stesso, poi, il chiodino si smagnetizza spontaneamente, perché i domini di Weissritormano alla situazione originaria.

La circostanza che un chiodino si magnetizza in presenza di un campo esterno è il principiodi funzionamento alla base degli elettromagneti. Per un nastro o disco magnetico, invece,si vuole un materiale che si magnetizzi e non si smagnetizzi spontaneamente mai più.

La differenza fra un magnete permanente (calamita) ed un chiodino d’acciaio sta nel fattoche i domini di Weiss sono molto più estesi e stabili nel primo sistema che nel secondo.

In Natura non esistono discontinuità così forti nelle curve di isteresi. Si distinguono imateriali magneticamente dolci dagli altri (e.g. acciaio)

dolce

I materiali ferromagnetici dolci sono usati per registrazioni (nastri e dischi magnetici)L’acciaio per costruire elettrocalamite

Analogamente al caso elettrico, anche le linee di flusso del campo magnetico si rifrangonoalla separazione di due materiali. Si trova, con un procedimento assolutamente analogo:

2

1

2

1

2

2

1

121

r

r

t

t

r

t

r

tnn B

Bovvero

BBBB

1

2

B1

B2

1

2

2

1

1

2

2

22

1

11

r

r

n

t

n

t

tg

tg;

B

Btg;

B

Btg

Quindi, se il mezzo 1 è il ferro ed il mezzo due è l’aria, le cui permeabilità magnetichedifferiscono di alcuni ordini di grandezza, si avrà all’incirca

1

2

B1

B2

Cioè le linee di flusso di B restano praticamente confinate nel mezzo 1 (ferro)

Circuiti Magnetici ed ElettromagnetiCircuiti Magnetici ed Elettromagneti

Questa circostanza implica che se prendiamo un materiale ferromagnetico e realizziamoun toro, questo sarà un tubo di flusso di B (divB=0). È noto infatti che per lasciare inalteratele caratteristiche di una calamita a ferro di cavallo è opportuno collegare i due estremi conuna sbarretta di ferro: questo serve a chiudere le linee di flusso di B e quindi ad impedireche si rimpiccioliscano i domini di Weiss.

Un sistema siffatto si chiama circuito magnetico. Se il toro è d’acciaio non vi sarà unamagnetizzazione del mezzo molto grande. Tuttavia se si mette un solenoide in una parteanche piccola del toro, e si fa passare della corrente il toro si magnetizza.

H

B

Possiamo mettere in relazione il flusso di B in una sezione S (costante) del toro con lacorrente che scorre nell’avvolgimento

Il flusso di B sarà HSSBB

Il campo H è facilmente ricavabile da

.lgAvvo

iN

H;iNdH;JHrot

Da cui S

BS

BiNiN

SB

RR

L’equazione precedente va sotto il nome di Legge di Hopkinson. La quantità Ni si chiamaforza magnetomotrice mentre il parametro R, che dipende solo dalla geometria e dalmateriale usato si chiama riluttanza magnetica

La legge di Hopkinson vale solo se, come è stato fatto, si trascura il flusso disperso, ovveroil flusso uscente lateralmente dal materiale, che non è nullo dato che la permeabilità magneticadell’aria non è nulla né quella del mezzo infinita.

La legge di Hopkinson è interamente equivalente alla legge di Ohm: la riluttanza gioca il ruolodella resistenza, il flusso di B quello della corrente elettrica (flusso di J, campo solenoidale)e la forza magnetomotrice quello della forza elettromotrice.

Notare che la riluttanza tiene conto dei fenomeni dissipativi associati all’allargamento deidomini di Weiss nel materiale magnetico: il materiale si riscalda con una legge analogaall’effetto Joule