Fisica III/Fisica Moderna

Docente: Paolo Giannozzi

Stanza L1-4-BE, Tel.: 0432-558216

e-mail: paolo.giannozzi@uniud.itRicevimento “ufficiale” Martedı 16:30-18:30

Orario: Martedı 14:30-16:15, Aula 46

Mercoledı 10:30-12:15, Aula 46

Giovedı 8:30-10:15, Aula 46 (solo per recuperi)

Pagina web del corso:

www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisMod/fismod.html

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Introduzione al corso

Programma: Introduzione a

• Relativita ristretta, meccanica relativistica

• Meccanica Quantistica, equazione di Schroedinger

• Sistemi a molti elettroni, struttura della materia

Libri di Testo:

• Introduction to Electrodynamics, D. J. Griffiths, Prentice-Hall

• Introduction to Quantum Mechanics, D. J. Griffiths, Prentice-Hall

• Elementi di Struttura della Materia, L. Colombo, Hoepli

Richiamo 1: Equazioni di Maxwell

Forma integrale (a sinistra) e differenziale (a destra):∮E · da =

q

ε0∇ ·E =

ρ

ε0(1)∮

B · da = 0 ∇ ·B = 0 (2)∮E · dl = −dΦB

dt∇×E = −∂B

∂t(3)∮

B · dl = µ0I + µ0ε0dΦE

dt∇×B = µ0j + µ0ε0

∂E∂t

(4)

ρ = densita di carica, j = densita di corrente, ∇ ≡(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)(1) Legge di Gauss, (2) Assenza cariche magnetiche,

(3) Legge di Faraday, (4) Legge di Ampere e Maxwell.

Onde Elettromagnetiche

Consideriamo il caso in cui non ci sono ne cariche ne

correnti. Le equazioni di Maxwell possono essere riscritte come:

∇2E− 1c2

∂2E∂t2

= 0

∇2B− 1c2

∂2B∂t2

= 0

(c2 =

1µ0ε0

, ∇2 ≡ ∇ · ∇)

Queste sono equazioni d’onda, la cui soluzione generale ha la forma

f(k · r − ωt), dove ω = kc. Tale forma e quella di un segnale che si

propaga con velocita c = 299792458 m/s ∼ 3× 108 m/s in direzione k.

Caso “classico”: onda piana monocromatica

E(r, t) = <(E0e

i(k·r−ωt))

, B(r, t) = <(B0e

i(k·r−ωt))

,

dove E0 ·B0 = E0 · k = B0 · k = 0, e E0 = cB0, ω = kc.

Potenziale scalare e vettore

La (2) ci permette di scrivere B tramite il potenziale vettore A:

B = ∇×A (5)

Inseriamo la (5) nella (3), scambiamo l’ordine delle derivate, troviamo

∇×(E +

∂A∂t

)= 0 =⇒ E = −∇φ +

∂A∂t

(6)

dove φ e il potenziale elettrico (scalare) gia nota dall’elettrostatica.

La (5) e la (6) ci permettono di esprimere i campi elettrico e magnetico,

e le equazioni di Maxwell, tramite due funzioni: un potenziale scalare φ

ed un potenziale vettore A.

La scelta dei potenziali pero non e univoca.

Invarianza di gauge

Si verifica facilmente che i campi sono invarianti (cioe non cambiano)

in seguito ad una qualunque trasformazione dei potenziali che cambi

(φ,A) in (φ′,A′) del tipo seguente:

φ′ = φ− ∂f

∂tA′ = A +∇f

per qualunque funzione f = f(x, y, z, t). Questa si chiama invarianza

di gauge (gauge=calibro in inglese).

L’invarianza di gauge ci permette di imporre la condizione di Lorenz sui

potenziali:

∇ ·A +1c2

∂φ

∂t= 0

o anche altre condizioni, a seconda del problema che vogliamo risolvere.

Equazioni di Maxwell per i potenziali

Usando la condizione di Lorenz e la seguente identita:

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A, ∇2 ≡ ∇ · ∇

si ottengono le equazioni di Maxwell per i potenziali:

∇2φ− 1c2

∂2φ

∂t2= − ρ

ε0

∇2A− 1c2

∂2A∂t2

= −µ0j

Queste equazioni hanno come soluzione i cosiddetti potenziali ritardati

(perche nel punto (r, t) dipendono da cariche e correnti al punto (r′, t′),dove t′ = t− |r− r′|/c). Dai potenziali ritardati si deduce il fenomeno

dell’irraggiamento (o radiazione) da cariche accelerate.

Richiamo 2: Relativita Galileiana

Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun

gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi

anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche

secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta

bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come

quelli animaletti volanti con pari velocita vanno verso tutte le parti della stanza; i

pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti

entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non

piu gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando

le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a pie giunti, eguali spazii

passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose,

benche niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosı,

fate muover la nave con quanta si voglia velocita; che (pur che il moto sia uniforme e

non fluttuante in qua e in la) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li

nominati effetti, ne da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure

sta ferma

Sistemi Inerziali e Legge di Trasformazione Galileiana

Relativita Galileiana: Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti

i sistemi inerziali, ovvero per i quali vale la I legge di Newton. Tutti

i sistemi di riferimento che si spostano con velocita V costante (in

modulo e direzione!) rispetto ad un sistema inerziale sono inerziali.

Legge di trasformazione galileiana fra sistemi inerziali:

r′ = r−Vt da cui v′ = v −V

Si assume che il tempo sia lo stesso in tutti i sistemi di riferimento

inerziali: t′ = t. Per comodita scegliamo il moto lungo x:

x′ = x− V t, y′ = y, z′ = z (7)

v′x = vx − V, v′y = vy, v′z = vz. (8)

Forze, accelerazioni, II e III legge di Newton rimangono invariate.

Tempo e Spazio assoluto secondo Newton

L’idea di Tempo assoluto, implicita nelle

trasformazioni di Galileo, e stata formalizzata da

Newton nei Principia Mathematica:

Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua

absque relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioque

nomine dicitur Duratio

Il tempo assoluto vero e matematico, in se e per sua natura, fluisce

uniformemente senza relazione a qualcosa di esterno, e con un altro

nome si chiama durata

Questa visione del tempo in Fisica ha resistito due secoli

Newton credeva anche allo Spazio assoluto:

Spatium absolutum natura sua absque relatione ad externum

quodvis semper manet similare & immobile

Lo spazio assoluto, per sua natura privo di relazione a qualcosa di

esterno, rimane sempre simile a se stesso ed immobile [...]

Tuttavia la meccanica newtoniana non ha bisogno di ipotizzare un

sistema di riferimento assoluto: bastano i sistemi di riferimento inerziali.

Ma cosa e un sistema inerziale, in pratica? Il problema non e banale!

Sistemi non inerziali

Se un sistema di riferimento si muove con velocita V = V(t) noncostante rispetto ad un sistema inerziale, si osservano forze apparenti

che agiscono sui corpi. Casi tipici:

• V costante in direzione (varia solo in modulo):

F = m

(a− dV

dt

)• V = Ω× r (moto rotazionale):

F = m

(a− 2Ω× v − Ω× (Ω× r)− dΩ

dt× r

)I tre termini addizionali vanno rispettivamente sotto il nome di forza

di Coriolis, forza centrifuga, forza di Eulero

La Terra e un sistemi non inerziale!

L’effetto delle forze di Coriolis e

visibile a scala macroscopica sulla

circolazione dei venti...

....oppure tramite il Pendolo di Foucault.

Il tradizionale sistema di riferimento delle

stelle fisse (che proprio fisse non sono!) e

tuttavia con ottima approssimazione inerziale.

La sua versione moderna e data dall’

International Celestial Reference Frame,

http://rorf.usno.navy.mil/ICRF/.

Equazioni di Maxwell e Relativita Galileiana

Le equazioni di Maxwell dipendono da una velocita, c, quindi non sono

invarianti rispetto alle trasformazioni galileiane!

In generale: l’elettrodinamica e apparen-

temente asimmetrica rispetto al sistema di

riferimento. Le cariche in quiete non generano

campo magnetico, quelle in moto sı. Un

esempio:

• Anello conduttore che passa davanti ad un magnete: appare una

forza elettromotrice, generata da forze magnetiche (Lorentz)

• Magnete che passa davanti ad un anello conduttore: appare una forza

elettromotrice, generata da forze elettriche (Faraday)

Pero la f.e.m. e la stessa nei due casi!

L’ipotesi dell’Etere

Per spiegare come mai l’elettrodinamica e la relativita galileiana non

andavano d’accordo, si ipotizzo che la luce si propagasse (con velocita

c) in un mezzo chiamato etere che fungeva da riferimento assoluto.

Il moto della Terra rispetto all’etere avrebbe

dovuto avere un effetto (piccolo ma visibile)

sulla velocita della luce. Alla fine del 1800,

niente indicava che tale effetto esistesse.

Al contrario, misure sempre piu accurate

(Michelson e Morley 1879) indicavano

come la velocita della luce fosse

costante e indipendente dalla velocita

dell’osservatore o della sorgente

Misura della velocita della Luce

Fin dai tempi di Galileo si e cercato di misurare la velocita della luce

con metodi astronomici o con meccanismi ingegnosi:

Rœmer: eclissi delle

lune di Giove

Bradley: aberrazione

della luce stellare

Fizeau: routa dentata

e specchi

Misura della velocita della Luce 2

Anno Autori, Metodo c (Km/s)

1675 Rœmer e Huygens, lune di Giove 220 000

1729 James Bradley, aberrazione della luce 301 000

1849 Hippolyte Fizeau, ruota dentata 315 000

1862 Leon Foucault, specchi ruotanti 298 000± 500

1907 Rosa e Dorsey, costanti EM 299 710±30

1926 Albert Michelson, specchi ruotanti 299 796± 4

1950 Essen e Gordon-Smith, cavita risonante 299 792.5±3.0

1958 K.D. Froome, interferometria radio 299 792.50±0.10

1972 Evenson et al., interferometria laser 299 792.4562±0.0011

1983 definizione del metro 299 792.458 (exact)

Principio di Relativita di Einstein

Per spiegare tale incongruenza, furono avanzate varie ipotesi (fra cui

la contrazione di Lorentz), nessuna delle quali convincente. Nel 1905

Einstein risolve l’incongruenza enunciando il Principio di Relativita:

• Le leggi della fisica sono valide in tutti i sistemi di riferimento inerziali

• La velocita della luce nel vuoto e la stessa in tutti i sistemi di

riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocita della sorgente

Tale principio ci obbliga ad abbandonare le trasformazioni galileiane (se

non come caso limite per V << c) e con esse l’idea (Newtoniana)

di tempo assoluto, a vantaggio delle trasformazioni di Lorentz e del

concetto di spazio-tempo.

Conseguenze del Principio di Relativita

Il Principio di Relativita di Einstein ha delle conseguenze piuttosto

sorprendenti, che possono essere dimostrate sulla base di semplici

esperimenti concettuali:

• Relativita della simultaneita: Due eventi simultanei in un sistema

inerziale non lo sono, in generale, in un altro

Nel sistema di riferimento dell’osservatore in moto, il raggio di luce

colpisce le due pareti simultaneamente; nel sistema dell’osservatore a

terra, cio non avviene

Conseguenze del Principio di Relativita (2)

• Dilatazione del Tempo: Gli orologi in moto rallentano

Consideriamo un raggio di luce che colpisce il pavimento: questo avviene

dopo ∆t′ = h/c nel sistema di riferimento dell’osservatore in moto, in

∆t =√

h2 + (V ∆t)2/c nel sistema di riferimento dell’osservatore a

terra, da cui

∆t′ =√

1− V 2/c2∆t < ∆t

Dilatazione del tempo in azione

Muoni (µ+, µ−): componenti dei raggi

cosmici, generati da particelle piu pesanti

(mesoni) nell’alta atmosfera (∼ 15Km)

I muoni hanno un’energia tale per cui v ∼ c. La

vita media del muone e τ0 = 2.2µs. Distanza

percorsa a velocita c in tale tempo: s = cτ0 =2.2 × 10−6s·3 × 108m/s = 660m. Eppure il

flusso dei muoni e facilmente misurabile a livello

del suolo. Com’e’ possibile?

La vita media del muone e quella nel sistema di riferimento solidale

con il muone. In un sistema di riferimento solidale con la terra,

τ = τ0/√

1− v2/c2 >> τ0!

Conseguenze del Principio di Relativita (3)

• Contrazione delle Lunghezze: Gli oggetti in moto si accorciano

(solo nella direzione della velocita)

Un segnale luminoso viene riflesso dalla parete. Si trova

∆x′ =1√

1− V 2/c2∆x = γ∆x

dove si e introdotto il fattore γ ≡ 1√1− V 2/c2

.