Fisica - Appunti di Fisica 5
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FisicaAppunti di Fisica 5
Michele prof. Perini
IISS Copernico Pasoli - Liceo Scientifico
A.S. 2021-2022
Michele prof. Perini Fisica 1 / 127
1 Induzione magneticaLegge di Faraday-Neumann-LenzInduttanzaCircuiti RLEnergia del campo BDensità di energiaTrasformatori
2 Leggi di MaxwellPrima legge di MaxwellSeconda legge di MaxwellTerza legge di MaxwellQuarta legge di MaxwellLeggi dell’elettromagnetismoLeggi di Maxwell in assenza di cariche
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Onde elettromagnetiche
3 Cinematica relativisticaAssiomi relatività ristrettaOrologio luceIntervallo spazio-tempoGalileo vs EinsteinDiagrammi spazio-tempoDilatazione dei tempiContrazione delle lunghezzeTrasformazioni di LorentzVelocità relativeEffetto DopplerEsempi
MuoniParadosso dei gemelli
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Composizione delle velocità con metodo del fattore di rapiditàEffetto Doppler
4 Dinamica relativisticaEnermotoModulo enermotoEnergiaEnergia cinetica classica e relativisticaEnergia e quantità di motoEsempi
Quantità di moto dei fotoniUrto tra particelle identiche
Massa relativistica
5 Atomi e QuantiThomsonMillikan
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Corpo neroQuantità di moto dei fotoniEffetto fotoelettricoEffetto ComptonParticelle e ondeCenni di Meccanica Quantistica
6 Fisica e matematicaDerivate
CinematicaMRUAMoto circolare uniformeAlternatore
Equazioni differenzialiOmogenee del primo ordineNon omogenee del primo ordineDel secondo ordine
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Oscillatore armonicoPendoloCircuiti RCCircuiti RLCircuiti LC
IntegraliPotenza in circuiti a tensione alternataLavoro in trasformazioni isotermeLegge di Stefan-Boltzmann dalla curva di Wien
Cenni ai sistemi caotici
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Induzione magnetica Legge diFaraday-Neumann-Lenz
∆V =−dΦB
d tSperimentalmente si verifica che una variazione diflusso di campo magnetico attraverso una spiraprovoca l’induzione di una corrente (conconseguente differenza di potenziale associata) nellaspira che è tanto maggiore quanto più rapidamentevaria il flusso di B . La corrente indotta tende adopporsi alla variazione di flusso del campomagnetico.
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Induzione magnetica Induttanza
L
V
Definizione diinduttanza:
V = Ld I
d t
Nel caso di un solenoide con N spire di sezione S elunghezza l si ha:
∆V =−dΦB
d t=−d (N BS)
d t=−N S
dB
d t=−N S
d(µI N
l
)d t
=
=−µN 2
lS
d I
d t→ L =µN 2
lS
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Induzione magnetica Induttanza
L
V
Definizione diinduttanza:
V = Ld I
d t
Nel caso di un solenoide con N spire di sezione S elunghezza l si ha:
∆V =−dΦB
d t=−d (N BS)
d t=−N S
dB
d t=−N S
d(µI N
l
)d t
=
=−µN 2
lS
d I
d t→ L =µN 2
lS
Michele prof. Perini Fisica 8 / 127
Induzione magnetica Induttanza
L
V
Definizione diinduttanza:
V = Ld I
d t
Nel caso di un solenoide con N spire di sezione S elunghezza l si ha:
∆V =−dΦB
d t=−d (N BS)
d t=−N S
dB
d t=−N S
d(µI N
l
)d t
=
=−µN 2
lS
d I
d t→ L =µN 2
lS
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Induzione magnetica Induttanza
L
V
Definizione diinduttanza:
V = Ld I
d tNel caso di un solenoide con N spire di sezione S elunghezza l si ha:
∆V =−dΦB
d t=−d (N BS)
d t=−N S
dB
d t=−N S
d(µI N
l
)d t
=
=−µN 2
lS
d I
d t→ L =µN 2
lS
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Induzione magnetica Circuiti RL
Circuito RL, con I (0) = 0
+−
E
I
R
L I (t ) = E
R
(1−e− tR
L
)
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Induzione magnetica Circuiti RL
Circuito RL, con I (0) = 0
+−
E
I
R
L
I (t ) = E
R
(1−e− tR
L
)
Michele prof. Perini Fisica 9 / 127
Induzione magnetica Circuiti RL
Circuito RL, con I (0) = 0
+−
E
I
R
L I (t ) = E
R
(1−e− tR
L
)
Michele prof. Perini Fisica 9 / 127
Induzione magnetica Circuiti RL
Circuito RL, con I (0)
R
LI (t ) = I (0)e− tR
L
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Induzione magnetica Circuiti RL
Circuito RL, con I (0)
R
L
I (t ) = I (0)e− tRL
Michele prof. Perini Fisica 10 / 127
Induzione magnetica Circuiti RL
Circuito RL, con I (0)
R
LI (t ) = I (0)e− tR
L
Michele prof. Perini Fisica 10 / 127
Induzione magnetica Energia del campo B
Energia immagazzinata in un solenoide
L
V
U =∫ I
0V d q =
∫ I
0L
d I
d td q =
∫ I
0LI d I = 1
2LI 2
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Induzione magnetica Densità di energia
Densità di energia in un solenoide ideale disezione S e lunghezza l , con B =µN
l I
u= U
Sl=
12LI 2
Sl=
12µ
N 2
l S(
BlNµ
)2
Sl= 1
2µB 2
L’espressione u= 12µB 2 è valida in generale.
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Induzione magnetica Trasformatori
I due solenoidi checostituiscono iltrasformatore hannoentrambi le spire disezione S e hanno incomune lo stesso campomagnetico B
∆V1 ∆V2
B
B1 = B2 = B
dB1
d t= dB2
d t
−N2SN1dB1
d t=−N1SN2
dB2
d tN2∆V1 = N1∆V2
∆V1
N1= ∆V2
N2
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Induzione magnetica Trasformatori
I due solenoidi checostituiscono iltrasformatore hannoentrambi le spire disezione S e hanno incomune lo stesso campomagnetico B
∆V1 ∆V2
B
B1 = B2 = B
dB1
d t= dB2
d t
−N2SN1dB1
d t=−N1SN2
dB2
d tN2∆V1 = N1∆V2
∆V1
N1= ∆V2
N2
Michele prof. Perini Fisica 13 / 127
Induzione magnetica Trasformatori
I due solenoidi checostituiscono iltrasformatore hannoentrambi le spire disezione S e hanno incomune lo stesso campomagnetico B
∆V1 ∆V2
B
B1 = B2 = B
dB1
d t= dB2
d t
−N2SN1dB1
d t=−N1SN2
dB2
d tN2∆V1 = N1∆V2
∆V1
N1= ∆V2
N2
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Leggi di Maxwell Prima legge di Maxwell
ΦE =∑
i qi
ε
La prima legge di Maxwell è il teorema di Gauss peril campo elettrico. La legge afferma che il flussodel campo elettrico attraverso unasuperficie chiusa è dato dalla somma dellecariche interne alla superficie diviso lacostante dielettrica. Questa legge è l’equivalentematematico del campo elettrico generato da unacarica elettrica puntiforme così come previsto dallalegge di Coulomb.
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Leggi di Maxwell Seconda legge di Maxwell
ΦB = 0
La seconda legge di Maxwell è il teorema di Gaussper il campo magnetico. La legge afferma che ilflusso del campo magnetico attraverso unasuperficie chiusa è 0. Questa equazione si ottienedal fatto che le linee di campo del campo magneticosono linee chiuse che non si intersecano tra loro. Lalegge è la traduzione matematica del fatto che nonesistono le cariche magnetiche.
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Leggi di Maxwell Terza legge di Maxwell
CE =−dΦB
d tLa terza legge di Maxwell è la generalizzazionematematica della legge di Faraday-Neumann-Lenz(la circuitazione del campo elettrico corrisponde alladifferenza di potenziale). La legge afferma che lacircuitazione del campo elettrico lungo unalinea chiusa è pari all’opposto della variazionedel flusso di campo magnetico nel tempoattraverso una superficie aperta il cui bordo èla linea chiusa lungo la quale si calcolacircuitazione.
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Leggi di Maxwell Quarta legge di Maxwell
CB =µ∑i
Ii +µεdΦE
d t
La quarta legge di Maxwell è il completamento del teorema diAmpere (al quale si aggiunge un addendo necessario allaconservazione della carica elettrica). La legge afferma che lacircuitazione del campo magnetico lungo unalinea chiusa dipende dalla somma delle correnticoncatenate e dalla variazione del flusso del campoelettrico nel tempo attraverso una superficie aperta ilcui bordo è la linea chiusa lungo la quale si calcolacircuitazione. Il termine εdΦE
d t è detto corrente dispostamento.
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Leggi di Maxwell Quarta legge di Maxwell
Giustificazione dell’espressione della correntedi spostamento (1)
Consideriamo in filo rettilineo percorso da unacorrente costante I , il filo è interrotto in un trattoda un condensatore circolare (in modo che il sistemafisico sia invariante per rotazioni attorno al filo).
I I
+ −
~E
· ~B(r )r
Michele prof. Perini Fisica 18 / 127
Leggi di Maxwell Quarta legge di Maxwell
Giustificazione dell’espressione della correntedi spostamento (2)
Su bordo tra condensatore (di sezione S e distanzatra le piastre h) e filo il campo magnetico e la suacircuitazione possono essere considerati comeeffetto della corrente o della variazione del campoelettrico interno al condensatore. In formule:
CB =µI =µdQ
d t=µC dV
d t=µSε
h
dV
d t=µSε
h
hdE
d t=
=µεd(SE)
d t=µεdΦE
d tMichele prof. Perini Fisica 19 / 127
Leggi di Maxwell Leggi dell’elettromagnetismo
In sintesi le cinque leggi che governano tutti ifenomeni elettromagnetici sono:
ΦE =∑
i qi
ε
ΦB = 0
CE =−dΦB
d t
CB =µ∑i
Ii +µεdΦE
d t
~F = q~E +q~v ×~BMichele prof. Perini Fisica 20 / 127
Leggi di Maxwell Leggi di Maxwell in assenza dicariche
In assenza di cariche elettriche le leggi di Maxwelldiventano:
ΦE = 0
ΦB = 0
CE =−dΦB
d t
CB =µεdΦE
d t
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Leggi di Maxwell Onde elettromagneticheDalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche elettriche è possibilericavare che l’oscillazione di campi elettromagnetici nel tempo origina unfenomeno ondulatorio, le onde elettromagnetiche, per le quali:
~E ⊥ ~B
la velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p
εµ
la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~cE = cBdensità di energia istantanea:u = 1
2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1
µB 2
densità di energia media: u = 12εE 2
max = 12µB 2
max
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Leggi di Maxwell Onde elettromagneticheDalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche elettriche è possibilericavare che l’oscillazione di campi elettromagnetici nel tempo origina unfenomeno ondulatorio, le onde elettromagnetiche, per le quali:
~E ⊥ ~Bla velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p
εµ
la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~cE = cBdensità di energia istantanea:u = 1
2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1
µB 2
densità di energia media: u = 12εE 2
max = 12µB 2
max
Michele prof. Perini Fisica 22 / 127
Leggi di Maxwell Onde elettromagneticheDalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche elettriche è possibilericavare che l’oscillazione di campi elettromagnetici nel tempo origina unfenomeno ondulatorio, le onde elettromagnetiche, per le quali:
~E ⊥ ~Bla velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p
εµ
la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~c
E = cBdensità di energia istantanea:u = 1
2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1
µB 2
densità di energia media: u = 12εE 2
max = 12µB 2
max
Michele prof. Perini Fisica 22 / 127
Leggi di Maxwell Onde elettromagneticheDalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche elettriche è possibilericavare che l’oscillazione di campi elettromagnetici nel tempo origina unfenomeno ondulatorio, le onde elettromagnetiche, per le quali:
~E ⊥ ~Bla velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p
εµ
la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~cE = cB
densità di energia istantanea:u = 1
2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1
µB 2
densità di energia media: u = 12εE 2
max = 12µB 2
max
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Leggi di Maxwell Onde elettromagneticheDalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche elettriche è possibilericavare che l’oscillazione di campi elettromagnetici nel tempo origina unfenomeno ondulatorio, le onde elettromagnetiche, per le quali:
~E ⊥ ~Bla velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p
εµ
la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~cE = cBdensità di energia istantanea:u = 1
2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1
µB 2
densità di energia media: u = 12εE 2
max = 12µB 2
max
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Leggi di Maxwell Onde elettromagneticheDalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche elettriche è possibilericavare che l’oscillazione di campi elettromagnetici nel tempo origina unfenomeno ondulatorio, le onde elettromagnetiche, per le quali:
~E ⊥ ~Bla velocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche è c = 1p
εµ
la direzione di propagazione è parallela edequiversa a ~E ×~B o ~E = ~B ×~cE = cBdensità di energia istantanea:u = 1
2εE 2 + 12µB 2 = εE 2 = 1
µB 2
densità di energia media: u = 12εE 2
max = 12µB 2
maxMichele prof. Perini Fisica 22 / 127
Cinematica relativistica Assiomi relatività ristretta
Assioma 1: Invarianza delle leggi fisicheLe leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti isistemi di riferimento inerziali.
Assioma 2: Costanza della velocità della luceLa velocità della luce nel vuoto (c), è la stessa intutti i sistemi di riferimento inerziali ed èindipendente dal moto della sorgente odell’osservatore.
Michele prof. Perini Fisica 23 / 127
Cinematica relativistica Assiomi relatività ristretta
Assioma 1: Invarianza delle leggi fisicheLe leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti isistemi di riferimento inerziali.
Assioma 2: Costanza della velocità della luceLa velocità della luce nel vuoto (c), è la stessa intutti i sistemi di riferimento inerziali ed èindipendente dal moto della sorgente odell’osservatore.
Michele prof. Perini Fisica 23 / 127
Cinematica relativistica Orologio luceDue osservatori O e O′ rilevano all’istante t = t ′ = 0l’emissione di un raggio laser lungo la direzionedell’asse y :
osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costante
osservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′
quindi per indipendenza delle diverse direzioniy = y ′
Michele prof. Perini Fisica 24 / 127
Cinematica relativistica Orologio luceDue osservatori O e O′ rilevano all’istante t = t ′ = 0l’emissione di un raggio laser lungo la direzionedell’asse y :
osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costante
l’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′
quindi per indipendenza delle diverse direzioniy = y ′
Michele prof. Perini Fisica 24 / 127
Cinematica relativistica Orologio luceDue osservatori O e O′ rilevano all’istante t = t ′ = 0l’emissione di un raggio laser lungo la direzionedell’asse y :
osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laser
l’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′
quindi per indipendenza delle diverse direzioniy = y ′
Michele prof. Perini Fisica 24 / 127
Cinematica relativistica Orologio luceDue osservatori O e O′ rilevano all’istante t = t ′ = 0l’emissione di un raggio laser lungo la direzionedell’asse y :
osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitore
O e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′
quindi per indipendenza delle diverse direzioniy = y ′
Michele prof. Perini Fisica 24 / 127
Cinematica relativistica Orologio luceDue osservatori O e O′ rilevano all’istante t = t ′ = 0l’emissione di un raggio laser lungo la direzionedell’asse y :
osservatore O si muove lungo l’asse x avelocità costanteosservatore O′ si muove lungo l’asse x ′ ∥ x avelocità costantel’evento A è l’emissione del raggio laserl’evento B è l’assorbimento del raggio laser daparte di un ricevitoreO e O′ si muovono solo lungo l’asse x ∥ x ′
quindi per indipendenza delle diverse direzioniy = y ′
Michele prof. Perini Fisica 24 / 127
Cinematica relativistica Orologio luce
OA
x
y
evento A visto da O
O′A
x ′
y ′
evento A visto da O′
O
B
x
y
∆x
∆y c∆tevento B visto da O
O′
B
x ′
y ′
∆x ′
∆y ′ c∆t ′evento B visto da O′
(∆y
)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2
(∆y ′)2 = c2
(∆t ′
)2 − (∆x ′)2
Michele prof. Perini Fisica 25 / 127
Cinematica relativistica Orologio luce
OA
x
y
evento A visto da O
O′A
x ′
y ′
evento A visto da O′
O
B
x
y
∆x
∆y c∆tevento B visto da O
O′
B
x ′
y ′
∆x ′
∆y ′ c∆t ′evento B visto da O′
(∆y
)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2
(∆y ′)2 = c2
(∆t ′
)2 − (∆x ′)2
Michele prof. Perini Fisica 25 / 127
Cinematica relativistica Orologio luce
OA
x
y
evento A visto da O
O′A
x ′
y ′
evento A visto da O′
O
B
x
y
∆x
∆y c∆tevento B visto da O
O′
B
x ′
y ′
∆x ′
∆y ′ c∆t ′evento B visto da O′
(∆y
)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2
(∆y ′)2 = c2
(∆t ′
)2 − (∆x ′)2
Michele prof. Perini Fisica 25 / 127
Cinematica relativistica Intervallo spazio-tempo
Intervallo spazio-tempo e sua conservazione∆y =∆y ′ →
→ (∆y
)2 = (∆y ′)2 →
→ c2 (∆t )2 − (∆x)2 = c2 (∆t ′
)2 − (∆x ′)2
Intervallo spazio-tempo tra gli eventi A e Bmisurato da O:
(∆s)2 = c2 (∆t )2 − (∆x)2
Intervallo spazio-tempo tra gli eventi A e Bmisurato da O′:(
∆s ′)2 = c2 (
∆t ′)2 − (
∆x ′)2
Michele prof. Perini Fisica 26 / 127
Cinematica relativistica Galileo vs EinsteinDue diversi osservatori O e O′ misurano spazio etempo in sistemi di riferimento rispettivamente x − te x ′− t ′.
Secondo la fisicaclassica:{∆x =∆x ′
∆t =∆t ′
spazio e tempo vengonomisurati separatamente econ le stesse variazioni datutti gli osservatori.
Secondo la fisicarelativistica:
(∆s)2 = (∆s ′
)2
c2 (∆t )2−(∆x)2 = c2 (∆t ′
)2−(∆x ′)2
diversi osservatorimisurano la stessavelocità della luce e glistessi intervallispazio-tempo.
Michele prof. Perini Fisica 27 / 127
Cinematica relativistica Galileo vs EinsteinDue diversi osservatori O e O′ misurano spazio etempo in sistemi di riferimento rispettivamente x − te x ′− t ′.
Secondo la fisicaclassica:{∆x =∆x ′
∆t =∆t ′
spazio e tempo vengonomisurati separatamente econ le stesse variazioni datutti gli osservatori.
Secondo la fisicarelativistica:
(∆s)2 = (∆s ′
)2
c2 (∆t )2−(∆x)2 = c2 (∆t ′
)2−(∆x ′)2
diversi osservatorimisurano la stessavelocità della luce e glistessi intervallispazio-tempo.
Michele prof. Perini Fisica 27 / 127
Cinematica relativistica Galileo vs EinsteinDue diversi osservatori O e O′ misurano spazio etempo in sistemi di riferimento rispettivamente x − te x ′− t ′.
Secondo la fisicaclassica:{∆x =∆x ′
∆t =∆t ′
spazio e tempo vengonomisurati separatamente econ le stesse variazioni datutti gli osservatori.
Secondo la fisicarelativistica:
(∆s)2 = (∆s ′
)2
c2 (∆t )2−(∆x)2 = c2 (∆t ′
)2−(∆x ′)2
diversi osservatorimisurano la stessavelocità della luce e glistessi intervallispazio-tempo.Michele prof. Perini Fisica 27 / 127
Cinematica relativistica Diagrammi spazio-tempo
x
ct
PRESENTEPRESENTE
FUTURO
PASSATO
evento
osservatore
Michele prof. Perini Fisica 28 / 127
Cinematica relativistica Diagrammi spazio-tempo
Definizioni delle funzioni iperboliche:
cosh(x) = ex +e−x
2
sinh(x) = ex −e−x
2
tanh(x) = sinh(x)
cosh(x)
Michele prof. Perini Fisica 29 / 127
Cinematica relativistica Diagrammi spazio-tempo
Alcune proprietà delle funzioni iperboliche:
cosh2(x)− sinh2(x) = 1
tanh(x ± y) = tanh(x)± tanh(y)
1± tanh(x) tanh(y)
Michele prof. Perini Fisica 30 / 127
Cinematica relativistica Diagrammi spazio-tempo
x
ct
A
B~AB =
(xct
)∣∣ ~AB
∣∣2 = c2t 2 −x2{x = ∣∣ ~AB
∣∣sinh(α)t = ∣∣ ~AB
∣∣ cosh(α)c
v = x
t= c
∣∣ ~AB∣∣sinh(α)∣∣ ~AB∣∣cosh(α)
v
c= tanh(α)
α è un parametro detto fattore di rapidità
Michele prof. Perini Fisica 31 / 127
Cinematica relativistica Diagrammi spazio-tempo
x
ct
A
B
~AB =(
xct
)∣∣ ~AB
∣∣2 = c2t 2 −x2{x = ∣∣ ~AB
∣∣sinh(α)t = ∣∣ ~AB
∣∣ cosh(α)c
v = x
t= c
∣∣ ~AB∣∣sinh(α)∣∣ ~AB∣∣cosh(α)
v
c= tanh(α)
α è un parametro detto fattore di rapidità
Michele prof. Perini Fisica 31 / 127
Cinematica relativistica Diagrammi spazio-tempo
x
ct
A
B~AB =
(xct
)∣∣ ~AB
∣∣2 = c2t 2 −x2{x = ∣∣ ~AB
∣∣sinh(α)t = ∣∣ ~AB
∣∣ cosh(α)c
v = x
t= c
∣∣ ~AB∣∣sinh(α)∣∣ ~AB∣∣cosh(α)
v
c= tanh(α)
α è un parametro detto fattore di rapidità
Michele prof. Perini Fisica 31 / 127
Cinematica relativistica Dilatazione dei tempiConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
due eventi A, B come da schema.
x
ct
AO
B
∆x
c∆t∆s
Per l’osservatore O, i dueeventi avvengono in tempie posizioni diverse.
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.
Michele prof. Perini Fisica 32 / 127
Cinematica relativistica Dilatazione dei tempiConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
due eventi A, B come da schema.
x
ct
AO
B
∆x
c∆t∆s
Per l’osservatore O, i dueeventi avvengono in tempie posizioni diverse.
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.
Michele prof. Perini Fisica 32 / 127
Cinematica relativistica Dilatazione dei tempiConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
due eventi A, B come da schema.
x
ct
AO
B
∆x
c∆t∆s
Per l’osservatore O, i dueeventi avvengono in tempie posizioni diverse.
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.Michele prof. Perini Fisica 32 / 127
Cinematica relativistica Dilatazione dei tempiPer la conservazione dell’intervallo spazio tempo siha:
(∆s)2 = (∆s ′
)2
c2 (∆t )2 − (∆x)2 = c2 (∆t ′
)2
c2 −(∆x
∆t
)2
= c2
(∆t ′
∆t
)2
c2 − v2 = c2
(∆t ′
∆t
)2
∆t = ∆t ′√1− v2
c2
= γ∆t ′
Michele prof. Perini Fisica 33 / 127
Cinematica relativisticaContrazione delle lunghezze
Consideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
un segmento di lunghezza L nel sistema di O. Sial’evento A, il passaggio di O′ sulla prima estremitàdel segmento, sia B , il passaggio di O′ sullaestremità opposta del segmento.
x
ct
AO
B
∆x = L
c∆t∆s
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Michele prof. Perini Fisica 34 / 127
Cinematica relativisticaContrazione delle lunghezze
Consideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
un segmento di lunghezza L nel sistema di O. Sial’evento A, il passaggio di O′ sulla prima estremitàdel segmento, sia B , il passaggio di O′ sullaestremità opposta del segmento.
x
ct
AO
B
∆x = L
c∆t∆s
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Michele prof. Perini Fisica 34 / 127
Cinematica relativisticaContrazione delle lunghezze
Consideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
un segmento di lunghezza L nel sistema di O. Sial’evento A, il passaggio di O′ sulla prima estremitàdel segmento, sia B , il passaggio di O′ sullaestremità opposta del segmento.
x
ct
AO
B
∆x = L
c∆t∆s
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Michele prof. Perini Fisica 34 / 127
Cinematica relativisticaContrazione delle lunghezzePer la conservazione dell’intervallo spazio tempo si ha:
(∆s)2 = (∆s′
)2
c2 (∆t )2 − (∆x)2 = c2 (∆t ′
)2
La lunghezza L del segmento misurata da O è rappresentatada ∆x mentre possiamo affermare che secondo O′ il segmentosi è spostato di una distanza L′ = v∆t ′, quindi
c2
(L
v
)2
−L2 = c2
(L′
v
)2
L′ = L
√1− v2
c2= L
γ
Le misure di L e di L′ non avvengono simultaneamente.Michele prof. Perini Fisica 35 / 127
Cinematica relativistica Trasformazioni di LorentzConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v rispetto a O, x ∥ x ′.Entrambi gli osservatori descrivono un punto P .All’istante 0 (per entrambi gli osservatori) essi sononello stesso punto.
xO x ′O′ P
x
v t
x ′
v t ′Michele prof. Perini Fisica 36 / 127
Cinematica relativistica Trasformazioni di LorentzLa distanza O′P nel sistema di O′ è misuratadirettamente, per O è x − v t , considerato quantovisto sulla contrazione delle lunghezze si puòscrivere:
x ′ = x − v t√1− v2
c2
= γ(x − v t )
La distanza OP nel sistema di O è misuratadirettamente, per O′ è x ′+ v t ′, considerato quantovisto sulla contrazione delle lunghezze si puòscrivere:
x = x ′+ v t ′√1− v2
c2
= γ(x ′+ v t ′)
Michele prof. Perini Fisica 37 / 127
Cinematica relativistica Trasformazioni di Lorentz
Dalle due relazioni precedenti sostituendo x ′ dallaprima nella seconda otteniamo:
x =
x−v t√1− v2
c2
+ v t ′
√1− v2
c2
→ t ′ = t − vc2 x√
1− v2
c2
= γ(t − v
c2x)
Le trasformazioni di Lorentz sono:{x ′ = γ(x − v t )t ′ = γ(
t − vc2 x
) ↔{
x = γ(x ′+ v t ′)t = γ(
t ′+ vc2 x ′)
Michele prof. Perini Fisica 38 / 127
Cinematica relativistica Velocità relative
Consideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v rispetto a O, x ∥ x ′.All’istante 0 (per entrambi gli osservatori) essi sononello stesso punto P .
xO x ′O′ P
vP
vO′
v ′P
Michele prof. Perini Fisica 39 / 127
Cinematica relativistica Velocità relative
Utilizzando le trasformazioni di Lorentz si ottengonole relazioni:
vP = x
t= γ(x ′+ vO′t ′)
γ(t ′+ vO′
c2 x ′) = x ′+ vO′t ′
t ′+ vO′c2 x ′ =
v ′P + vO′
1+ vO′v ′P
c2
v ′P = x ′
t ′= γ(x − vO′t )
γ(t − vO′
c2 x) = x − vO′t
t − vO′c2 x
= vP − vO′
1− vO′vP
c2
Michele prof. Perini Fisica 40 / 127
Cinematica relativistica Velocità relativeLe trasformazioni di Lorentz delle velocità possonoessere riscritte con le tangenti iperboliche e i fattoridi rapidità:
vP = v ′P + vO′
1+ vO′v ′P
c2
→ vP
c=
v ′P
c + vO′c
1+ vO′c
v ′P
c
→
tanh(α) = tanh(α′)+ tanh(β)
1+ tanh(α′) tanh(β)= tanh(α′+β) →
α=α′+βessendo α il fattore di rapidità del punto P visto daO, α′ il fattore di rapidità del punto P visto da O′,β il fattore di rapidità del punto O′ visto da O.
Michele prof. Perini Fisica 41 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
Ricaveremo l’espressione dell’effetto Doppler peronde elettromagnetiche (che si muovono a velocitàdi modulo c) tra una sorgente S e un ricevente Rcon una velocità relativa di modulo v . Lo schemariporta una possibile modellizzazione.
xR Sx ′
In questo caso per il ricevente la velocità delle ondeelettromagnetiche sarà −c, per la sorgente sarà c.Per la modellizzazione scelta in caso diavvicinamento la velocità relativa per sorgente ericevente sarà −v e in caso di allontanamento saràv .
Michele prof. Perini Fisica 42 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:
A, partenza dalla sorgente di un primo segnale
B , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
Michele prof. Perini Fisica 43 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:
A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnale
C , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
Michele prof. Perini Fisica 43 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:
A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnale
D, arrivo al ricevente del primo segnale
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
Michele prof. Perini Fisica 43 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:
A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
Michele prof. Perini Fisica 43 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:
A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
Michele prof. Perini Fisica 43 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:
A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
Michele prof. Perini Fisica 43 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerI diagrammi spazio-tempo rappresentano gli eventi:
A, partenza dalla sorgente di un primo segnaleB , partenza dalla sorgente di un secondosegnaleC , arrivo al ricevente del secondo segnaleD, arrivo al ricevente del primo segnale
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
Michele prof. Perini Fisica 43 / 127
Cinematica relativistica Effetto DopplerIl periodo della sorgente è TS (AB), il periodo delricevente è TR (DC). Per la conservazionedell’intervallo spazio-tempo:{
∆s2AB =∆s ′2AB
∆s2DC =∆s ′2DC{
c2∆t 2AB −∆x2
AB = c2T 2S
c2T 2R = c2∆t ′2DC −∆x ′2
DC c2 − v2 = c2(
TS∆tAB
)2
c2(
TR∆t ′DC
)2 = c2 − v2→
(TS
∆tAB
)2
=(
TR
∆t ′DC
)2
Michele prof. Perini Fisica 44 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
Per concludere è sufficiente ricavare le relazioni traperiodi e intervalli di tempo nei due sistemi diriferimento:
per il ricevente:
xct
D
C
A
B
A(xA,ctA), B(xB ,ctB ),C (0,cTR), D(0,0),ctB =−xB + cTR ,ctA =−xA.
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
A(0,0), B(0,cTS),C (x ′
C ,ct ′C ), D(x ′D ,ct ′D),
ct ′C = x ′C + cTS, ct ′D = x ′
D .
Michele prof. Perini Fisica 45 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
Per concludere è sufficiente ricavare le relazioni traperiodi e intervalli di tempo nei due sistemi diriferimento:per il ricevente:
xct
D
C
A
B
A(xA,ctA), B(xB ,ctB ),C (0,cTR), D(0,0),ctB =−xB + cTR ,ctA =−xA.
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
A(0,0), B(0,cTS),C (x ′
C ,ct ′C ), D(x ′D ,ct ′D),
ct ′C = x ′C + cTS, ct ′D = x ′
D .
Michele prof. Perini Fisica 45 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
Per concludere è sufficiente ricavare le relazioni traperiodi e intervalli di tempo nei due sistemi diriferimento:per il ricevente:
xct
D
C
A
B
A(xA,ctA), B(xB ,ctB ),C (0,cTR), D(0,0),ctB =−xB + cTR ,ctA =−xA.
per la sorgente:
x ′
ct ′
A
B
C
D
A(0,0), B(0,cTS),C (x ′
C ,ct ′C ), D(x ′D ,ct ′D),
ct ′C = x ′C + cTS, ct ′D = x ′
D .
Michele prof. Perini Fisica 45 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
ctB − ctA =−xB +xA + cTR
c∆tAB =−∆xAB + cTR
c =−v + cTR
∆tAB
∆tAB = c
c + vTR
ct ′C − ct ′D = x ′C −x ′
D + cTS
c∆t ′DC =∆x ′DC + cTS
c = v + cTS
∆t ′DC
∆t ′DC = c
c − vTS
Michele prof. Perini Fisica 46 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
ctB − ctA =−xB +xA + cTR
c∆tAB =−∆xAB + cTR
c =−v + cTR
∆tAB
∆tAB = c
c + vTR
ct ′C − ct ′D = x ′C −x ′
D + cTS
c∆t ′DC =∆x ′DC + cTS
c = v + cTS
∆t ′DC
∆t ′DC = c
c − vTS
Michele prof. Perini Fisica 46 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
ctB − ctA =−xB +xA + cTR
c∆tAB =−∆xAB + cTR
c =−v + cTR
∆tAB
∆tAB = c
c + vTR
ct ′C − ct ′D = x ′C −x ′
D + cTS
c∆t ′DC =∆x ′DC + cTS
c = v + cTS
∆t ′DC
∆t ′DC = c
c − vTS
Michele prof. Perini Fisica 46 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
in conclusione: (TS
∆tAB
)2
=(
TR
∆t ′DC
)2
(TS
cc+v TR
)2
=(
TRc
c−v TS
)2
(c + v)T 2S = (c − v)T 2
R
TR =√
c + v
c − vTS
Michele prof. Perini Fisica 47 / 127
Cinematica relativistica Effetto Doppler
Relazioni dell’effetto Doppler per ondeelettromagnetiche:
TR =√
c + v
c − vTS
fR =√
c − v
c + vfS
λR =√
c + v
c − vλS
v = c
(TRTS
)2 −1(TRTS
)2 +1= c
(λRλS
)2 −1(λRλS
)2 +1= c
1−(
fRfS
)2
1+(
fRfS
)2
Michele prof. Perini Fisica 48 / 127
Cinematica relativistica Esempi
I muoni, modello semplificato (1)
I muoni sono particelle elementari che in laboratoriomostrano avere una vita di 1,5 ·10−6s. I raggicosmici interagendo con alcune particelle presentinell’atmosfera ad una altezza di 15km generanomuoni i quali giungono sulla superficie terrestre epoi decadono. Quanto tempo impiegano i muoni agiungere sulla superficie per un osservatore postosulla superficie terrestre? A quale velocitàviaggiano?
Michele prof. Perini Fisica 49 / 127
Cinematica relativistica Esempi
I muoni, modello semplificato (2)Consideriamo gli eventi: P , generazione dei muoni;A, arrivo dei muoni sulla terra.
Per l’osservatore a terra:
x
ct
A
O P
∆x
c∆t∆s
∆x = 1,5 ·104m
Per un osservatoresolidale con i muoni:
x ′
ct ′
PO′
A
c∆t ′ ∆s ′
∆t ′ = 1,5 ·10−6s
Michele prof. Perini Fisica 50 / 127
Cinematica relativistica Esempi
I muoni, modello semplificato (2)Consideriamo gli eventi: P , generazione dei muoni;A, arrivo dei muoni sulla terra.Per l’osservatore a terra:
x
ct
A
O P
∆x
c∆t∆s
∆x = 1,5 ·104m
Per un osservatoresolidale con i muoni:
x ′
ct ′
PO′
A
c∆t ′ ∆s ′
∆t ′ = 1,5 ·10−6s
Michele prof. Perini Fisica 50 / 127
Cinematica relativistica Esempi
I muoni, modello semplificato (2)Consideriamo gli eventi: P , generazione dei muoni;A, arrivo dei muoni sulla terra.Per l’osservatore a terra:
x
ct
A
O P
∆x
c∆t∆s
∆x = 1,5 ·104m
Per un osservatoresolidale con i muoni:
x ′
ct ′
PO′
A
c∆t ′ ∆s ′
∆t ′ = 1,5 ·10−6sMichele prof. Perini Fisica 50 / 127
Cinematica relativistica Esempi
I muoni, modello semplificato (3)
Per la conservazione dell’intervallo spazio-tempo siha:
(∆s)2 = (∆s ′
)2
c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2
∆t =√∆t ′2 + ∆x2
c2= 5,005709366 ·10−5s = 33,3∆t ′
v = ∆x
∆t= 2,996578288 ·108 m
s= 0,9996c
Michele prof. Perini Fisica 51 / 127
Cinematica relativistica Esempi
“Paradosso” dei gemelli (1)
Di due fratelli gemelli uno fa l’astronauta, l’altro ildocente di fisica. All’età di 30 anni il gemelloastronauta parte per Proxima Centauri (distantedalla 3,97 ·1016m Terra). La missione prevede diviaggiare a velocità costante fino a ProximaCentauri e poi tornare indietro alla medesimavelocità. Il gemello docente di fisica all’età di 70anni si reca in Florida ad accogliere il fratello inritorno dalla missione e lo trova più giovane diquanto egli sia. Che età ha il fratello astronauta alsuo rientro?
Michele prof. Perini Fisica 52 / 127
Cinematica relativistica Esempi
“Paradosso” dei gemelli (2)Consideriamo gli eventi: P , partenza dalla Terra del gemello astronauta;A, arrivo su Proxima Centauri; R, ritorno sulla Terra della missione.
Per il gemello a terra:
x
ct
A
R
OP
∆xc∆t1
c∆t2
∆s1
∆s2
∆x = 3,97 ·1016m,∆t1 +∆t2 = 1,261 ·109s
Per il gemello astronauta:
x ′
ct ′
PO′
A
R
c∆t ′1
c∆t ′2
∆s ′1
∆s ′2
Michele prof. Perini Fisica 53 / 127
Cinematica relativistica Esempi
“Paradosso” dei gemelli (2)Consideriamo gli eventi: P , partenza dalla Terra del gemello astronauta;A, arrivo su Proxima Centauri; R, ritorno sulla Terra della missione.Per il gemello a terra:
x
ct
A
R
OP
∆xc∆t1
c∆t2
∆s1
∆s2
∆x = 3,97 ·1016m,∆t1 +∆t2 = 1,261 ·109s
Per il gemello astronauta:
x ′
ct ′
PO′
A
R
c∆t ′1
c∆t ′2
∆s ′1
∆s ′2
Michele prof. Perini Fisica 53 / 127
Cinematica relativistica Esempi
“Paradosso” dei gemelli (2)Consideriamo gli eventi: P , partenza dalla Terra del gemello astronauta;A, arrivo su Proxima Centauri; R, ritorno sulla Terra della missione.Per il gemello a terra:
x
ct
A
R
OP
∆xc∆t1
c∆t2
∆s1
∆s2
∆x = 3,97 ·1016m,∆t1 +∆t2 = 1,261 ·109s
Per il gemello astronauta:
x ′
ct ′
PO′
A
R
c∆t ′1
c∆t ′2
∆s ′1
∆s ′2
Michele prof. Perini Fisica 53 / 127
Cinematica relativistica Esempi
“Paradosso” dei gemelli (3)Essendo v = ∆x
∆t1= ∆x∆t2
→∆t1 =∆t2 = 6,307 ·108s si hache v = 6,295 ·107 m
s = 0,21c. Per la conservazionedegli intervalli spazio-tempo:{
∆s21 =∆s ′21
∆s22 =∆s ′22
→{
c2∆t 21 −∆x2 = c2∆t ′21
c2∆t 22 −∆x2 = c2∆t ′22
→ ∆t ′1 =∆t1
√1− v2
c2
∆t ′2 =∆t2
√1− v2
c2
→∆t ′1 +∆t ′2 = 1,233 ·109s
Il gemello astronauta torna più giovane del fratello insegnantedi 32,5 giorni, ha quindi 70 anni meno 32,5 giorni.
Michele prof. Perini Fisica 54 / 127
Cinematica relativistica Esempi
“Paradosso” dei gemelli (4)
La conclusione a cui siamo giunti potrebbe sembrare paradossale ocontraddittoria perché in definitiva entrambi i gemelli partono e arrivanonello stesso punto spazio-temporale, per quale motivo dovrebberogiungervi in modi diversi? I due sistemi di riferimento (quello a Terra equello in volo) dovrebbero essere equivalenti. In realtà una differenza c’è.Il gemello rimasto a Terra ha viaggiato nello spazio-tempo in modouniforme, senza subire accelerazioni particolari. Il gemello sulla nave (purviaggiando a velocità uniforme a tratti) all’arrivo su Proxima Centauri hasubito delle accelerazioni per poter invertire la sua velocità, questo fattogiustifica la differenza tra i due gemelli al loro incontro.
Michele prof. Perini Fisica 55 / 127
Cinematica relativistica Esempi
Gara di sgusci (1)
Tre sgusci, uno blu, uno verde e uno rosso stannogareggiando viaggiando in linea retta su un pianetadell’Orlo Esterno. Gli spettatori dalla tribuna sonoavvisati del fatto che lo sguscio blu viaggia ad unavelocità di 0,7c, quello verde corre a 0,8c mentrequello rosso sfreccia a 0,9c. A che velocità simuovono gli sgusci blu e rosso rispetto al verde?
Michele prof. Perini Fisica 56 / 127
Cinematica relativistica Esempi
Gara di sgusci (2)
,
�
�
�
α
β
γ δ
ε
tanhα= 0,7
tanhβ= 0,8
tanhγ= 0,9
Michele prof. Perini Fisica 57 / 127
Cinematica relativistica Esempi
Gara di sgusci (2)
,
�
�
�
α
β
γ δ
ε
tanhα= 0,7
tanhβ= 0,8
tanhγ= 0,9
Michele prof. Perini Fisica 57 / 127
Cinematica relativistica Esempi
Gara di sgusci (2)
,
�
�
�
α
β
γ δ
ε
tanhα= 0,7
tanhβ= 0,8
tanhγ= 0,9
Michele prof. Perini Fisica 57 / 127
Cinematica relativistica Esempi
Gara di sgusci (3)
β+δ= γ→ δ= γ−β→vR = c tanh
(tanh−1 0,9− tanh−1 0,8
)= 0,357c
ε=α−β→vB = c tanh
(tanh−1 0,7− tanh−1 0,8
)=−0,227c
Michele prof. Perini Fisica 58 / 127
Cinematica relativistica Esempi
Segnali dalla sonda (1)
Una sonda lanciata dalla Terra anni fa invia unsegnale (un’onda elettromagnetica) ogni secondo sulnostro pianeta. I segnali della sonda si registrano sulnostro pianeta ogni 1,002s. A quale velocità staviaggiando la sonda rispetto alla Terra? Sonda eTerra si stanno avvicinando o allontanando?
Michele prof. Perini Fisica 59 / 127
Cinematica relativistica Esempi
Segnali dalla sonda (2)
xR Sx ′
v = c
(TRTS
)2 −1(TRTS
)2 +1= 1,998 ·10−3c
La velocità è positiva quindi pianeta e sonda sistanno allontanando.
Michele prof. Perini Fisica 60 / 127
Dinamica relativistica EnermotoConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
due eventi A, B come da schema.
x
ct
AO
B
∆x
c∆t∆s
Per l’osservatore O, i dueeventi avvengono in tempie posizioni diverse.
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.
Michele prof. Perini Fisica 61 / 127
Dinamica relativistica EnermotoConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
due eventi A, B come da schema.
x
ct
AO
B
∆x
c∆t∆s
Per l’osservatore O, i dueeventi avvengono in tempie posizioni diverse.
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.
Michele prof. Perini Fisica 61 / 127
Dinamica relativistica EnermotoConsideriamo un sistema di riferimento O e uno O′
in moto relativo con velocità v = ∆x∆t . Consideriamo
due eventi A, B come da schema.
x
ct
AO
B
∆x
c∆t∆s
Per l’osservatore O, i dueeventi avvengono in tempie posizioni diverse.
x ′
ct ′
AO′
B
c∆t ′ ∆s ′
Per l’osservatore O′, i dueeventi avvengono nellastessa posizione, in tempidiversi.Michele prof. Perini Fisica 61 / 127
Dinamica relativistica Enermoto
Ricordiamo quanto precedentemente ricavato dallacinematica relativistica:
Il fattore di Lorentz γ= 1√1− v2
c2
≥ 1
∆t = γ∆t ′
∆s2 =∆s ′2 = c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2
Michele prof. Perini Fisica 62 / 127
Dinamica relativistica Enermoto
Ricordiamo quanto precedentemente ricavato dallacinematica relativistica:
Il fattore di Lorentz γ= 1√1− v2
c2
≥ 1
∆t = γ∆t ′
∆s2 =∆s ′2 = c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2
Michele prof. Perini Fisica 62 / 127
Dinamica relativistica Enermoto
Ricordiamo quanto precedentemente ricavato dallacinematica relativistica:
Il fattore di Lorentz γ= 1√1− v2
c2
≥ 1
∆t = γ∆t ′
∆s2 =∆s ′2 = c2∆t 2 −∆x2 = c2∆t ′2
Michele prof. Perini Fisica 62 / 127
Dinamica relativistica Enermoto
Definizione di enermotoSimilmente a quanto fatto in meccanica classica per laquantità di moto definiamo un vettore relativistico dettoenermoto.Per l’osservatore O l’enermoto è:
~E = m∆~s
∆t ′= m
∆t ′
(∆xc∆t
)= γm
∆t
(∆xc∆t
)=
(γmvγmc
)Per l’osservatore O′ l’enermoto è:
~E ′ = m∆~s ′
∆t ′= m
∆t ′
(0
c∆t ′
)=
(0
mc
)Così definito l’enermoto è un vettore parallelo alla linea universo per tuttie due gli osservatori (esattamente come la quantità di moto classica).
Michele prof. Perini Fisica 63 / 127
Dinamica relativistica Modulo enermoto
modulo dell’enermoto
Il modulo dell’enermoto è lo stesso per l’osservatoreO e O′ (per la conservazione dell’intervallospazio-tempo):
~E 2 = m2 ∆~s2
∆t ′2= m2∆
~s ′2
∆t ′2= ~E ′2
Dalla conservazione del modulo dell’enermoto siottiene l’identità:
~E 2 = ~E ′2 → γ2m2 (c2 − v2)= m2c2
Michele prof. Perini Fisica 64 / 127
Dinamica relativistica Energia
EnergiaSi accenna il calcolo del lavoro per portare unaparticella di massa m da una velocità zero ad unaqualche velocità v (l’energia cinetica):
L = K =∫ v
0
1
m~Ed(~E ′) =
∫ v
0
1
m~E ′d(~E) = γmc2 −mc2
Chiamiamo energia totale, o semplicemente energia:E = γmc2
Chiamiamo energia a riposo la quantità:E0 = mc2
Michele prof. Perini Fisica 65 / 127
Dinamica relativistica Energia cinetica classica erelativistica
Confronto tra energia cinetica classica erelativistica
Energia cinetica classica:
KC = 1
2mv2 = mc2
2
(v
c
)2
Energia cinetica relativistica:
KR = (γ−1
)mc2 =
1√1− ( v
c
)2−1
mc2
v
K
c
Michele prof. Perini Fisica 66 / 127
Dinamica relativistica Energia cinetica classica erelativistica
Confronto tra energia cinetica classica erelativistica
Energia cinetica classica:
KC = 1
2mv2 = mc2
2
(v
c
)2
Energia cinetica relativistica:
KR = (γ−1
)mc2 =
1√1− ( v
c
)2−1
mc2
v
K
c
Michele prof. Perini Fisica 66 / 127
Dinamica relativistica Energia cinetica classica erelativistica
Confronto tra energia cinetica classica erelativistica
Energia cinetica classica:
KC = 1
2mv2 = mc2
2
(v
c
)2
Energia cinetica relativistica:
KR = (γ−1
)mc2 =
1√1− ( v
c
)2−1
mc2
v
Kc
Michele prof. Perini Fisica 66 / 127
Dinamica relativistica Energia cinetica classica erelativistica
Confronto tra energia cinetica classica erelativistica per v → 0
limv→0
KR
KC= lim
v→0
(1√
1−( vc
)2−1
)mc2
mc2
2
(vc
)2 =
= limx→0
(1p
1−x2−1
)12 x2
= limx→0
x√(1−x2
)3
x= lim
x→0
1√(1−x2
)3= 1
Michele prof. Perini Fisica 67 / 127
Dinamica relativistica Energia e quantità di motoDefiniamo la quantità di moto relativisticacome p = γmv
Ricordiamo che l’energia relativistica valeE = γmc2
L’enermoto per O è allora ~E =(γmvγmc
)=
(pEc
)l’enermoto per O′ è ~E ′ =
(0
mc
)
Ricordando che ~E 2 = ~E ′2 si ottiene la relazionerelativistica tra energia e quantità di moto:
E 2
c2−p2 = m2c2
Michele prof. Perini Fisica 68 / 127
Dinamica relativistica Energia e quantità di motoDefiniamo la quantità di moto relativisticacome p = γmvRicordiamo che l’energia relativistica valeE = γmc2
L’enermoto per O è allora ~E =(γmvγmc
)=
(pEc
)l’enermoto per O′ è ~E ′ =
(0
mc
)
Ricordando che ~E 2 = ~E ′2 si ottiene la relazionerelativistica tra energia e quantità di moto:
E 2
c2−p2 = m2c2
Michele prof. Perini Fisica 68 / 127
Dinamica relativistica Energia e quantità di motoDefiniamo la quantità di moto relativisticacome p = γmvRicordiamo che l’energia relativistica valeE = γmc2
L’enermoto per O è allora ~E =(γmvγmc
)=
(pEc
)
l’enermoto per O′ è ~E ′ =(
0mc
)
Ricordando che ~E 2 = ~E ′2 si ottiene la relazionerelativistica tra energia e quantità di moto:
E 2
c2−p2 = m2c2
Michele prof. Perini Fisica 68 / 127
Dinamica relativistica Energia e quantità di motoDefiniamo la quantità di moto relativisticacome p = γmvRicordiamo che l’energia relativistica valeE = γmc2
L’enermoto per O è allora ~E =(γmvγmc
)=
(pEc
)l’enermoto per O′ è ~E ′ =
(0
mc
)Ricordando che ~E 2 = ~E ′2 si ottiene la relazionerelativistica tra energia e quantità di moto:
E 2
c2−p2 = m2c2
Michele prof. Perini Fisica 68 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Particelle di massa nulla
La teoria della relatività assegna una quantità dimoto anche a particelle di massa nulla.Dalla conservazione dell’enermoto per m = 0 siottiene:
E 2
c2−p2 = 0 → p = E
c
Michele prof. Perini Fisica 69 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (1)
Ipotizziamo che due particelle di massa m osservateda un certo osservatore O, viaggino lungo la stessaretta, in versi opposti con velocità entrambe v inmodulo. Ipotizziamo che le due particelle siscontrino e si uniscano per formare una solaparticella di massa M . Ricaviamo dallaconservazione dell’enermoto la velocità dellaparticella dopo l’urto e la relazione tra m e M .
Michele prof. Perini Fisica 70 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (2)
Modellizziamo la situazione:
Prima dell’urto le dueparticelle per O:
x
ct
O
∆s1∆s2
Dopo l’urto la particellaper O:
x
ct
O
∆s
Michele prof. Perini Fisica 71 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (2)
Modellizziamo la situazione:Prima dell’urto le dueparticelle per O:
x
ct
O
∆s1∆s2
Dopo l’urto la particellaper O:
x
ct
O
∆s
Michele prof. Perini Fisica 71 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (2)
Modellizziamo la situazione:Prima dell’urto le dueparticelle per O:
x
ct
O
∆s1∆s2
Dopo l’urto la particellaper O:
x
ct
O
∆s
Michele prof. Perini Fisica 71 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (3)
Secondo quanto modellizzato si ha:
~E1 =
1√
1− v2
c2
mv
1√1− v2
c2
mc
, ~E2 =
− 1√
1− v2
c2
mv
1√1− v2
c2
mc
~E =
1√
1−V 2
c2
MV
1√1−V 2
c2
Mc
Michele prof. Perini Fisica 72 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (3)
Secondo quanto modellizzato si ha:
~E1 =
1√
1− v2
c2
mv
1√1− v2
c2
mc
, ~E2 =
− 1√
1− v2
c2
mv
1√1− v2
c2
mc
~E =
1√
1−V 2
c2
MV
1√1−V 2
c2
Mc
Michele prof. Perini Fisica 72 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (4)
Complessivamente quindi:
~E1 + ~E2 = 0
2√1− v2
c2
mc
~E =
1√
1−V 2
c2
MV
1√1−V 2
c2
Mc
Michele prof. Perini Fisica 73 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (4)
Complessivamente quindi:
~E1 + ~E2 = 0
2√1− v2
c2
mc
~E =
1√
1−V 2
c2
MV
1√1−V 2
c2
Mc
Michele prof. Perini Fisica 73 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (5)
Per l’unico osservatore O l’enermoto si conserva (intoto, non solo in modulo), ciò corrisponde allaconservazione della quantità di moto totale edell’energia totale:
~E1 + ~E2 = ~E 02√
1− v2
c2
mc
=
1√
1−V 2
c2
MV
1√1−V 2
c2
Mc
→ V = 0
M = 2√1− v2
c2
m
Michele prof. Perini Fisica 74 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (6)
Conclusioni:V = 0 significa che la velocità dell’unicaparticella dopo l’urto è zero (conservazionedella quantità di moto)
M = 2√1− v2
c2
m ≥ 2m (conservazione dell’energia)
l’energia cinetica persa durante l’urto si èconvertita in nuova massa
Michele prof. Perini Fisica 75 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (6)
Conclusioni:V = 0 significa che la velocità dell’unicaparticella dopo l’urto è zero (conservazionedella quantità di moto)M = 2√
1− v2
c2
m ≥ 2m (conservazione dell’energia)
l’energia cinetica persa durante l’urto si èconvertita in nuova massa
Michele prof. Perini Fisica 75 / 127
Dinamica relativistica Esempi
Non conservazione della massa (6)
Conclusioni:V = 0 significa che la velocità dell’unicaparticella dopo l’urto è zero (conservazionedella quantità di moto)M = 2√
1− v2
c2
m ≥ 2m (conservazione dell’energia)
l’energia cinetica persa durante l’urto si èconvertita in nuova massa
Michele prof. Perini Fisica 75 / 127
Dinamica relativistica Massa relativistica
“. . . Le particelle elementari, protoni, neutroni,elettroni, ecc. hanno ciascuna una massa bendefinita. La massa è con la carica elettrica una dellegrandezze fondamentali delle particelle elementari.Esistono particelle, come il fotone, che hanno massanulla. Per queste l’espressione p = γmv non hasenso. [. . . ] Anche i sistemi composti, come i nuclei,gli atomi, le molecole e gli oggetti macroscopicihanno ciascuno una massa. [. . . ] In molti libri sitrova usato il concetto di massa relativistica. Conquesto nome gli autori intendono il prodotto dellamassa m con il fattore relativistico γ.”
Michele prof. Perini Fisica 76 / 127
Dinamica relativistica Massa relativistica“Con questa definizione la quantità di moto tornaad essere il prodotto della massa (relativistica) perla velocità. Naturalmente adesso la massa(relativistica) diventa funzione della velocità.Questo concetto fu introdotto da Lorentz nel 1899,sei anni prima della creazione della teoria dellarelatività, in un momento in cui la teoria era ancoraconfusa. È un concetto arcaico quindi, che non hautilità alcuna. Rimane tuttavia presente in moltetrattazioni anche contemporanee. Noi non loutilizzeremo mai. Quando parleremo di massaintenderemo la costante m che compare nellap = γmv .”
Alessandro Bettini - Meccanica e Termodinamica, Zanichelli, 2000Michele prof. Perini Fisica 77 / 127
Atomi e Quanti
Un po’ di cronistoria:1896: viene scoperto il fenomeno dellaradioattività, consistente nell’emissione diparticelle e/o radiazione da nuclei atomiciinstabili
1897: Thomson scopre l’elettrone comecostituente dei raggi catodici e Lorentz mette apunto una teoria che descrive il comportamentodell’elettrone in un campo magnetico
Michele prof. Perini Fisica 78 / 127
Atomi e Quanti
Un po’ di cronistoria:1896: viene scoperto il fenomeno dellaradioattività, consistente nell’emissione diparticelle e/o radiazione da nuclei atomiciinstabili1897: Thomson scopre l’elettrone comecostituente dei raggi catodici e Lorentz mette apunto una teoria che descrive il comportamentodell’elettrone in un campo magnetico
Michele prof. Perini Fisica 78 / 127
Atomi e Quanti
1905-1907: gli studi teorici di Maxwell,Boltzmann, Bose, Fermi, Einstein e Dirac e lemisure sperimentali sul moto Browniano (motocasuale delle particelle di gas) confermano lastruttura molecolare della materia e conduconoad una precisa determinazione del numero diAvogadro
1910: Millikan determina la carica dell’elettrone1911: Rutherford bombarda diversi materialicon raggi α e ipotizza un modello atomico ditipo planetario
Michele prof. Perini Fisica 79 / 127
Atomi e Quanti
1905-1907: gli studi teorici di Maxwell,Boltzmann, Bose, Fermi, Einstein e Dirac e lemisure sperimentali sul moto Browniano (motocasuale delle particelle di gas) confermano lastruttura molecolare della materia e conduconoad una precisa determinazione del numero diAvogadro1910: Millikan determina la carica dell’elettrone
1911: Rutherford bombarda diversi materialicon raggi α e ipotizza un modello atomico ditipo planetario
Michele prof. Perini Fisica 79 / 127
Atomi e Quanti
1905-1907: gli studi teorici di Maxwell,Boltzmann, Bose, Fermi, Einstein e Dirac e lemisure sperimentali sul moto Browniano (motocasuale delle particelle di gas) confermano lastruttura molecolare della materia e conduconoad una precisa determinazione del numero diAvogadro1910: Millikan determina la carica dell’elettrone1911: Rutherford bombarda diversi materialicon raggi α e ipotizza un modello atomico ditipo planetario
Michele prof. Perini Fisica 79 / 127
Atomi e Quanti Thomson
Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte prima: selettore di velocità
· · ·
· · ·
· · ·
- ~v
~FE
~FB~E
~B
Gli elettroni estratti eaccelerati passano attraversoun campo elettro-magneticofino ad ottenere per loro unatraiettoria rettilinea:
FB = FE∣∣q∣∣vB = ∣∣q∣∣E
v = E
B
Michele prof. Perini Fisica 80 / 127
Atomi e Quanti Thomson
Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte prima: selettore di velocità
· · ·
· · ·
· · ·
- ~v
~FE
~FB~E
~B
Gli elettroni estratti eaccelerati passano attraversoun campo elettro-magneticofino ad ottenere per loro unatraiettoria rettilinea:
FB = FE∣∣q∣∣vB = ∣∣q∣∣E
v = E
B
Michele prof. Perini Fisica 80 / 127
Atomi e Quanti Thomson
Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte prima: selettore di velocità
· · ·
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- ~v
~FE
~FB~E
~B
Gli elettroni estratti eaccelerati passano attraversoun campo elettro-magneticofino ad ottenere per loro unatraiettoria rettilinea:
FB = FE∣∣q∣∣vB = ∣∣q∣∣E
v = E
BMichele prof. Perini Fisica 80 / 127
Atomi e Quanti Thomson
Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte seconda: spettrometro di massa
· · ·
· · ·
· · ·
- ~v
~FB
r
~B
Gli elettroni passano attraversolo stesso campo magneticoprecedente, senza campoelettrico:
FB = mv2
r∣∣q∣∣vB = mv2
r. . .
Michele prof. Perini Fisica 81 / 127
Atomi e Quanti Thomson
Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte seconda: spettrometro di massa
· · ·
· · ·
· · ·
- ~v
~FB
r
~B
Gli elettroni passano attraversolo stesso campo magneticoprecedente, senza campoelettrico:
FB = mv2
r∣∣q∣∣vB = mv2
r. . .
Michele prof. Perini Fisica 81 / 127
Atomi e Quanti Thomson
Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte seconda: spettrometro di massa
· · ·
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- ~v
~FB
r
~B
Gli elettroni passano attraversolo stesso campo magneticoprecedente, senza campoelettrico:
FB = mv2
r∣∣q∣∣vB = mv2
r. . .
Michele prof. Perini Fisica 81 / 127
Atomi e Quanti Thomson
Esperimento di Thomson (modello semplificato)Parte seconda: spettrometro di massa
∣∣q∣∣vB = mv2
rricordando che nella prima parte dell’esperimentoabbiamo ottenuto v = E
B :
∣∣q∣∣E = mE 2
B 2r→
∣∣q∣∣m
= E
B 2r= 1,76 ·1011 C
kg
Michele prof. Perini Fisica 82 / 127
Atomi e Quanti Millikan
Esperimento di Millikan (modello semplificato)
-
~Fg
~FE~E
Gocce d’olio cariche di massanota m vengono tenute inequilibrio con la forza digravità tramite l’applicazionedi un campo elettrico:
Fg = FE
mg = ∣∣q∣∣E∣∣q∣∣= mg
E= 1,60 ·10−19C
Michele prof. Perini Fisica 83 / 127
Atomi e Quanti Millikan
Esperimento di Millikan (modello semplificato)
-
~Fg
~FE~E
Gocce d’olio cariche di massanota m vengono tenute inequilibrio con la forza digravità tramite l’applicazionedi un campo elettrico:
Fg = FE
mg = ∣∣q∣∣E∣∣q∣∣= mg
E= 1,60 ·10−19C
Michele prof. Perini Fisica 83 / 127
Atomi e Quanti Millikan
Esperimento di Millikan (modello semplificato)
-
~Fg
~FE~E
Gocce d’olio cariche di massanota m vengono tenute inequilibrio con la forza digravità tramite l’applicazionedi un campo elettrico:
Fg = FE
mg = ∣∣q∣∣E∣∣q∣∣= mg
E= 1,60 ·10−19C
Michele prof. Perini Fisica 83 / 127
Atomi e Quanti Corpo neroUn corpo nero è un oggetto ideale che assorbe tutta laradiazione elettromagnetica incidente senza rifletterlaall’esterno. Può essere modellizzato come una cavità conpareti interne riflettenti. Il corpo nero assorbe le radiazioni mase aprissimo la cavità le radiazioni intrappolate inizierebberoad irradiarsi presentando le medesime caratteristiche delleradiazioni intrappolate all’interno della cavità.
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corpo nero assorbente → ← corpo nero radiante
Michele prof. Perini Fisica 84 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Una buona approssimazione sperimentale di uncorpo nero è una sfera metallica incandescente;della sfera è possibile registrare emissionielettromagnetiche in funzione della temperatura.Anche le stelle e le lampadine ad incandescenzasono in buona approssimazione un corpo neroradiante. Ciò di cui ci occuperemo sarà lo studiodello spettro di un corpo nero, cioè lo studio dellecaratteristiche delle radiazioni emesse da un corponero. Il modello della cavità è utilizzato per poterdedurre in modo teorico le leggi che descrivono lecaratteristiche delle radiazioni del corpo nero.
Michele prof. Perini Fisica 85 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Fenomeni e risultati sperimentali
f
dI
df
lo spettro di emissione dellefrequenze del corpo nero variaal variare della temperatura
legge di Wien: il massimodell’intensità di emissione siha per f = 5,88 ·1010s−1K −1T
legge di Stefan - Boltzmann:Itot =σT 4
Michele prof. Perini Fisica 86 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Fenomeni e risultati sperimentali
f
dI
df
lo spettro di emissione dellefrequenze del corpo nero variaal variare della temperatura
legge di Wien: il massimodell’intensità di emissione siha per f = 5,88 ·1010s−1K −1T
legge di Stefan - Boltzmann:Itot =σT 4
Michele prof. Perini Fisica 86 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Fenomeni e risultati sperimentali
f
dI
df
lo spettro di emissione dellefrequenze del corpo nero variaal variare della temperatura
legge di Wien: il massimodell’intensità di emissione siha per f = 5,88 ·1010s−1K −1T
legge di Stefan - Boltzmann:Itot =σT 4
Michele prof. Perini Fisica 86 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Fenomeni e risultati sperimentali
f
dI
df
lo spettro di emissione dellefrequenze del corpo nero variaal variare della temperatura
legge di Wien: il massimodell’intensità di emissione siha per f = 5,88 ·1010s−1K −1T
legge di Stefan - Boltzmann:Itot =σT 4
Michele prof. Perini Fisica 86 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Fenomeni e risultati sperimentali
f
dI
df
lo spettro di emissione dellefrequenze del corpo nero variaal variare della temperatura
legge di Wien: il massimodell’intensità di emissione siha per f = 5,88 ·1010s−1K −1T
legge di Stefan - Boltzmann:Itot =σT 4
Michele prof. Perini Fisica 86 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Fenomeni e risultati sperimentali
f
dI
df
lo spettro di emissione dellefrequenze del corpo nero variaal variare della temperatura
legge di Wien: il massimodell’intensità di emissione siha per f = 5,88 ·1010s−1K −1T
legge di Stefan - Boltzmann:Itot =σT 4
Michele prof. Perini Fisica 86 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Previsioni fisica classica
f
dI
df
curva di RayleighJeans(y = T x2): derivatadall’ipotesi che le radiazioninella cavità siano ondeelettro-magnetiche comedescritte dalle leggi diMaxwell, in accordo con idati sperimentali per bassefrequenze
curva di Wien (y = x3e−xT ):
in accordo con legge diStefan-Boltzmann e con idati sperimentali alle altefrequenze
Michele prof. Perini Fisica 87 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Previsioni fisica classica
f
dI
df
curva di RayleighJeans(y = T x2): derivatadall’ipotesi che le radiazioninella cavità siano ondeelettro-magnetiche comedescritte dalle leggi diMaxwell, in accordo con idati sperimentali per bassefrequenze
curva di Wien (y = x3e−xT ):
in accordo con legge diStefan-Boltzmann e con idati sperimentali alle altefrequenze
Michele prof. Perini Fisica 87 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Previsioni fisica classica
f
dI
df
curva di RayleighJeans(y = T x2): derivatadall’ipotesi che le radiazioninella cavità siano ondeelettro-magnetiche comedescritte dalle leggi diMaxwell, in accordo con idati sperimentali per bassefrequenze
curva di Wien (y = x3e−xT ):
in accordo con legge diStefan-Boltzmann e con idati sperimentali alle altefrequenze
Michele prof. Perini Fisica 87 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Previsioni fisica classica
f
dI
df
curva di RayleighJeans(y = T x2): derivatadall’ipotesi che le radiazioninella cavità siano ondeelettro-magnetiche comedescritte dalle leggi diMaxwell, in accordo con idati sperimentali per bassefrequenze
curva di Wien (y = x3e−xT ):
in accordo con legge diStefan-Boltzmann e con idati sperimentali alle altefrequenze
Michele prof. Perini Fisica 87 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Previsioni fisica classica
f
dI
df
curva di RayleighJeans(y = T x2): derivatadall’ipotesi che le radiazioninella cavità siano ondeelettro-magnetiche comedescritte dalle leggi diMaxwell, in accordo con idati sperimentali per bassefrequenze
curva di Wien (y = x3e−xT ):
in accordo con legge diStefan-Boltzmann e con idati sperimentali alle altefrequenze
Michele prof. Perini Fisica 87 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Spiegazione di Planck
f
dI
df
Curva di Planck (y = x3
exT −1
) in pienoaccordo con i dati e le leggisperimentali di Wien eStefan-Boltzmann. Derivatadall’ipotesi che:
le radiazioni nella cavità sicomportino come particelle(fotoni) tra loro indistinguibili
i fotoni possano assumerelivelli energetici numerabiliall’interno della cavità
l’energia di un fotone(quanto) sia pari a E = h f
Michele prof. Perini Fisica 88 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Spiegazione di Planck
f
dI
df
Curva di Planck (y = x3
exT −1
) in pienoaccordo con i dati e le leggisperimentali di Wien eStefan-Boltzmann. Derivatadall’ipotesi che:
le radiazioni nella cavità sicomportino come particelle(fotoni) tra loro indistinguibili
i fotoni possano assumerelivelli energetici numerabiliall’interno della cavità
l’energia di un fotone(quanto) sia pari a E = h f
Michele prof. Perini Fisica 88 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Spiegazione di Planck
f
dI
df
Curva di Planck (y = x3
exT −1
) in pienoaccordo con i dati e le leggisperimentali di Wien eStefan-Boltzmann. Derivatadall’ipotesi che:
le radiazioni nella cavità sicomportino come particelle(fotoni) tra loro indistinguibili
i fotoni possano assumerelivelli energetici numerabiliall’interno della cavità
l’energia di un fotone(quanto) sia pari a E = h f
Michele prof. Perini Fisica 88 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Spiegazione di Planck
f
dI
df
Curva di Planck (y = x3
exT −1
) in pienoaccordo con i dati e le leggisperimentali di Wien eStefan-Boltzmann. Derivatadall’ipotesi che:
le radiazioni nella cavità sicomportino come particelle(fotoni) tra loro indistinguibili
i fotoni possano assumerelivelli energetici numerabiliall’interno della cavità
l’energia di un fotone(quanto) sia pari a E = h f
Michele prof. Perini Fisica 88 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Spiegazione di Planck
f
dI
df
Curva di Planck (y = x3
exT −1
) in pienoaccordo con i dati e le leggisperimentali di Wien eStefan-Boltzmann. Derivatadall’ipotesi che:
le radiazioni nella cavità sicomportino come particelle(fotoni) tra loro indistinguibili
i fotoni possano assumerelivelli energetici numerabiliall’interno della cavità
l’energia di un fotone(quanto) sia pari a E = h f
Michele prof. Perini Fisica 88 / 127
Atomi e Quanti Corpo nero
Spiegazione di Planck
f
dI
df
Curva di Planck (y = x3
exT −1
) in pienoaccordo con i dati e le leggisperimentali di Wien eStefan-Boltzmann. Derivatadall’ipotesi che:
le radiazioni nella cavità sicomportino come particelle(fotoni) tra loro indistinguibili
i fotoni possano assumerelivelli energetici numerabiliall’interno della cavità
l’energia di un fotone(quanto) sia pari a E = h f
Michele prof. Perini Fisica 88 / 127
Atomi e Quanti Quantità di moto dei fotoni
Da quanto ipotizzato per spiegare la radiazione dacorpo nero la radiazione elettromagnetica ha anchecaratteristiche corpuscolari, i corpuscoli legati alleonde elettromagnetiche, i fotoni hanno massa nullae energia dipendente dalla frequenza E = h f .Utilizzano anche quanto previsto dalla teoria dellarelatività per la quantità di moto delle particelle dimassa nulla si ha che la quantità di moto di unfotone vale:
p = E
c= h f
c= h
λ
Michele prof. Perini Fisica 89 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Fenomeni e risultati sperimentali
:::::
:::
::::
v
-
Radiazioni elettromagnetiche cheincidono su una lastra di metalloconsentono estrazione di elettronidalla lastra:
l’estrazione degli elettroniavviene solo se la lastra vienecolpita con radiazioni difrequenza superiore ad unacerta frequenza ( f0)dipendente dal materiale dicui è fatta la lastra
l’estrazione, se avviene, èistantanea
Michele prof. Perini Fisica 90 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Fenomeni e risultati sperimentali
:::::
:::
::::
v
-
Radiazioni elettromagnetiche cheincidono su una lastra di metalloconsentono estrazione di elettronidalla lastra:
l’estrazione degli elettroniavviene solo se la lastra vienecolpita con radiazioni difrequenza superiore ad unacerta frequenza ( f0)dipendente dal materiale dicui è fatta la lastra
l’estrazione, se avviene, èistantanea
Michele prof. Perini Fisica 90 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Fenomeni e risultati sperimentali
:::::
:::
::::
v
-
Radiazioni elettromagnetiche cheincidono su una lastra di metalloconsentono estrazione di elettronidalla lastra:
l’estrazione degli elettroniavviene solo se la lastra vienecolpita con radiazioni difrequenza superiore ad unacerta frequenza ( f0)dipendente dal materiale dicui è fatta la lastra
l’estrazione, se avviene, èistantanea
Michele prof. Perini Fisica 90 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Fenomeni e risultati sperimentali
:::::
:::
::::
v
-
Radiazioni elettromagnetiche cheincidono su una lastra di metalloconsentono estrazione di elettronidalla lastra:
l’estrazione degli elettroniavviene solo se la lastra vienecolpita con radiazioni difrequenza superiore ad unacerta frequenza ( f0)dipendente dal materiale dicui è fatta la lastra
l’estrazione, se avviene, èistantanea
Michele prof. Perini Fisica 90 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Fenomeni e risultati sperimentali
:::::
:::
::::
v
-
Radiazioni elettromagnetiche cheincidono su una lastra di metalloconsentono estrazione di elettronidalla lastra:
l’estrazione degli elettroniavviene solo se la lastra vienecolpita con radiazioni difrequenza superiore ad unacerta frequenza ( f0)dipendente dal materiale dicui è fatta la lastra
l’estrazione, se avviene, èistantanea
Michele prof. Perini Fisica 90 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Previsioni fisica classica
l’estrazione degli elettroni dovrebbe esserepossibile con qualsiasi tipo di radiazione purchésia sufficientemente intenso
l’estrazione degli elettroni è prevista con uncerto ritardo temporale rispetto all’iniziodell’irradiazione della lastra soprattutto perradiazioni a bassa intensitàl’energia cinetica degli elettroni estrattidovrebbe aumentare con l’aumentaredell’intensità della radiazione incidente
Michele prof. Perini Fisica 91 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Previsioni fisica classica
l’estrazione degli elettroni dovrebbe esserepossibile con qualsiasi tipo di radiazione purchésia sufficientemente intensol’estrazione degli elettroni è prevista con uncerto ritardo temporale rispetto all’iniziodell’irradiazione della lastra soprattutto perradiazioni a bassa intensità
l’energia cinetica degli elettroni estrattidovrebbe aumentare con l’aumentaredell’intensità della radiazione incidente
Michele prof. Perini Fisica 91 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Previsioni fisica classica
l’estrazione degli elettroni dovrebbe esserepossibile con qualsiasi tipo di radiazione purchésia sufficientemente intensol’estrazione degli elettroni è prevista con uncerto ritardo temporale rispetto all’iniziodell’irradiazione della lastra soprattutto perradiazioni a bassa intensitàl’energia cinetica degli elettroni estrattidovrebbe aumentare con l’aumentaredell’intensità della radiazione incidente
Michele prof. Perini Fisica 91 / 127
Atomi e Quanti Effetto fotoelettrico
Spiegazione di Einstein
L’energia della radiazione incidente (consideratacome fotoni) h f va in parte in energia cineticadell’elettrone estratto (Ke) e in parte in lavoro diestrazione dell’elettrone dal metallo (L). Se tuttal’energia dei fotoni incidenti viene utilizzata perl’espulsione degli elettroni essi vengono espulsi conenergia cinetica massima (Ke M AX ), in questo caso:
Ke M AX = h f −L ≥ 0 → f ≥ L
h= f0
Michele prof. Perini Fisica 92 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Fenomeni e risultati sperimentali
-::::λ
-::::
-
::::
αβ
λ′
Raggi X di lunghezzad’onda λ interagendo conelettroni liberi vengonodiffusi e la loro lunghezzad’onda varia secondo lalegge sperimentale:
λ′−λ= k (1−cos(α))
con k = 2,43 ·10−12m.
Michele prof. Perini Fisica 93 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Fenomeni e risultati sperimentali
-::::λ
-::::
-
::::
αβ
λ′
Raggi X di lunghezzad’onda λ interagendo conelettroni liberi vengonodiffusi e la loro lunghezzad’onda varia secondo lalegge sperimentale:
λ′−λ= k (1−cos(α))
con k = 2,43 ·10−12m.
Michele prof. Perini Fisica 93 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Fenomeni e risultati sperimentali
-::::λ
-::::
-
::::
αβ
λ′
Raggi X di lunghezzad’onda λ interagendo conelettroni liberi vengonodiffusi e la loro lunghezzad’onda varia secondo lalegge sperimentale:
λ′−λ= k (1−cos(α))
con k = 2,43 ·10−12m.
Michele prof. Perini Fisica 93 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Fenomeni e risultati sperimentali
-::::λ -::::
-
::::
αβ
λ′
Raggi X di lunghezzad’onda λ interagendo conelettroni liberi vengonodiffusi e la loro lunghezzad’onda varia secondo lalegge sperimentale:
λ′−λ= k (1−cos(α))
con k = 2,43 ·10−12m.
Michele prof. Perini Fisica 93 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Fenomeni e risultati sperimentali
-::::λ -::::
-
::::
αβ
λ′
Raggi X di lunghezzad’onda λ interagendo conelettroni liberi vengonodiffusi e la loro lunghezzad’onda varia secondo lalegge sperimentale:
λ′−λ= k (1−cos(α))
con k = 2,43 ·10−12m.
Michele prof. Perini Fisica 93 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Previsioni fisica classica
L’interazione tra le onde elettromagnetiche eparticelle come gli elettroni secondo quanto previstodalla fisica classica dovrebbe dar luogo ad unassorbimento delle onde elettromagnetiche e ad unaloro successiva remissione con la medesimafrequenza di assorbimento nel sistema di riferimentoin cui l’elettrone è a riposo. L’onda dovrebbepresentare una lunghezza d’onda di poco diversa nelsistema del laboratorio come previsto dall’effettoDoppler. Queste previsioni non spiegano i risultatisperimentali.
Michele prof. Perini Fisica 94 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
x
y
-::::λ
~E =
h fc0
h fc +mec
x
y
-::::
x
y
~v
-
::::
α
β
λ′
~E ′ =
h f ′
c cos(α)+γme v cos(β)h f ′
c sin(α)−γme v sin(β)h f ′
c +γme c
Michele prof. Perini Fisica 95 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
x
y
-::::λ
~E =
h fc0
h fc +mec
x
y
-::::
x
y
~v
-
::::
α
β
λ′
~E ′ =
h f ′
c cos(α)+γme v cos(β)h f ′
c sin(α)−γme v sin(β)h f ′
c +γme c
Michele prof. Perini Fisica 95 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
x
y
-::::λ
~E =
h fc0
h fc +mec
x
y
-::::
x
y
~v
-
::::
α
β
λ′
~E ′ =
h f ′
c cos(α)+γme v cos(β)h f ′
c sin(α)−γme v sin(β)h f ′
c +γme c
Michele prof. Perini Fisica 95 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
Dalla conservazione dell’enermoto si ricavano leequazioni:
h f
c= h f ′
ccos(α)+γme v cos(β) (1)
0 = h f ′
csin(α)−γme v sin(β) (2)
h f
c+mec = h f ′
c+γmec (3)
Michele prof. Perini Fisica 96 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
Dalla equazione 1 (equivalente alla conservazionedella quantità di moto lungo x) si può ricavare:
γme v cos(β) = h
c
(f − f ′ cos(α)
)(4)
dalla equazione 2 (equivalente alla conservazionedella quantità di moto lungo y) si può ricavare:
γme v sin(β) = h f ′
csin(α) (5)
Michele prof. Perini Fisica 97 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
Ricordando che cos2(β)+ sin2(β) = 1 dalle equazioni4 e 5 si può ricavare:
γ2v2m2e =
h2
c2( f 2 + f ′2 −2 f f ′ cos(α)) (6)
dalla equazione 3 (equivalente alla conservazionedell’energia) si può ottenere:
γ−1 = h
mec2
(f − f ′) (7)
Michele prof. Perini Fisica 98 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
L’equazione 6 si può riscrivere come:
γ2v2 = h2
c2m2e
( f 2 + f ′2 −2 f f ′ cos(α)) (8)
l’equazione 7 può diventare, isolando γ ed elevandoal quadrato:
γ2 = h2
m2e c4
(f − f ′)2 +1+ 2h
mec2
(f − f ′) (9)
Michele prof. Perini Fisica 99 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
Utilizzando l’identità γ2v2 = c2(γ2 −1) con leequazioni 8 e 9 si ottiene:
h2
c2m2e
( f 2 + f ′2 −2 f f ′ cos(α)) = h2
m2e c2
(f − f ′)2 + 2h
me
(f − f ′)
(10)dalla 10 si può ricavare:
1
f ′ −1
f= h
mec2(1−cos(α)) (11)
Michele prof. Perini Fisica 100 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
Ricordando che λ= cf e λ′ = c
f ′ dalla 11 si ottiene larelazione:
λ′−λ= h
mec(1−cos(α)) (12)
L’equazione 12 è in perfetto accordo con i risultatisperimentali. L’effetto Compton con la suaspiegazione mostrano che i fotoni interagiscono conle altre particelle evidenziandone una naturacorpuscolare oltre che ondulatoria (come previstodalla teoria classica delle onde elettro-magnetiche).
Michele prof. Perini Fisica 101 / 127
Atomi e Quanti Effetto Compton
Spiegazione con conservazione enermoto
Dalla 12 si può ricavare:
λ′ =λ+ h
mec(1−cos(α)) →λ′ ≥λ (13)
L’ultima disequazione mostra che il fotone deflessoha una lunghezza d’onda più elevata rispetto alfotone incidente e ciò è dovuto al fatto che partedell’energia del fotone incidente è stata acquisitadall’elettrone. L’energia del fotone deflesso dunqueè minore rispetto all’energia del fotone incidente.
Michele prof. Perini Fisica 102 / 127
Atomi e Quanti Particelle e ondeIl comportamento del corpo nero, l’effetto fotoelettrico el’effetto Compton sono spiegabili attribuendo caratteristichecorpuscolari alle onde elettro-magnetiche. Anche le particellepresentano caratteristiche ondulatorie. Se si effettua unesperimento alla Young con un fascio di elettroni si ottieneuna distribuzione degli elettroni che rispecchia le figure diinterferenza ottenute con le onde elettromagnetiche.
sorgente di elettronifenditure schermoMichele prof. Perini Fisica 103 / 127
Atomi e Quanti Cenni di Meccanica QuantisticaLa meccanica quantistica è una descrizione probabilistica della realtà perla quale la posizione di una particella nello spazio e nel tempo è descrittada una funzione d’onda Ψ(x, t ) il cui quadrato è la densità di probabilitàdella particella di trovarsi in una data posizione in un certo istante ditempo.
(x, t )
Ψ2(x
,t)
L’area sotto la Ψ2(x, t ) rappresenta la probabilità di trovare la particellain un certo volume spaziale in un certo intervallo di tempo.
Michele prof. Perini Fisica 104 / 127
Atomi e Quanti Cenni di Meccanica QuantisticaDal paradigma descrittivo della realtà dellameccanica quantistica:
si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolare
si ricava lo spin come caratteristica particellaresi dimostra il principio di esclusione di Paulisi dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)
Michele prof. Perini Fisica 105 / 127
Atomi e Quanti Cenni di Meccanica QuantisticaDal paradigma descrittivo della realtà dellameccanica quantistica:
si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolaresi ricava lo spin come caratteristica particellare
si dimostra il principio di esclusione di Paulisi dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)
Michele prof. Perini Fisica 105 / 127
Atomi e Quanti Cenni di Meccanica QuantisticaDal paradigma descrittivo della realtà dellameccanica quantistica:
si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolaresi ricava lo spin come caratteristica particellaresi dimostra il principio di esclusione di Pauli
si dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)
Michele prof. Perini Fisica 105 / 127
Atomi e Quanti Cenni di Meccanica QuantisticaDal paradigma descrittivo della realtà dellameccanica quantistica:
si può definire un modello atomico coerentecon la quantizzazione dei livelli energetici e delmomento angolaresi ricava lo spin come caratteristica particellaresi dimostra il principio di esclusione di Paulisi dimostra che quantità di moto e posizione diuna particella non possono essere misuratecontemporaneamente, se si conosce in modomolto preciso una delle due si perdonoinformazioni sull’altra (principio diindeterminazione di Heisenberg)
Michele prof. Perini Fisica 105 / 127
Atomi e Quanti Cenni di Meccanica Quantistica
si teorizza che l’energia di una particella siacostante su lunghi intervalli di tempo ma chepossa non esserlo per tempi relativamente brevi
si spiega come sia possibile per alcuneparticelle superare barriere energeticheclassicamente non superabili (effetto tunnel).
ATTENZIONE: le incertezze nelle misurequantistiche non dipendono dalle modalità tecnichedi effettuazione della misura e non sono teorizzate apriori ma sono una conseguenza della particolaredescrizione probabilistica della realtà.
Michele prof. Perini Fisica 106 / 127
Atomi e Quanti Cenni di Meccanica Quantistica
si teorizza che l’energia di una particella siacostante su lunghi intervalli di tempo ma chepossa non esserlo per tempi relativamente brevisi spiega come sia possibile per alcuneparticelle superare barriere energeticheclassicamente non superabili (effetto tunnel).
ATTENZIONE: le incertezze nelle misurequantistiche non dipendono dalle modalità tecnichedi effettuazione della misura e non sono teorizzate apriori ma sono una conseguenza della particolaredescrizione probabilistica della realtà.
Michele prof. Perini Fisica 106 / 127
Fisica e matematica Derivate
Simboli di derivazione:
f ′(t ) = d f
d t= D( f (t ))
Derivata di una funzione vettoriale:
~f ′(t ) = d~f
d t= D(~f (t )) =
d fx
d td fy
d td fz
d t
Michele prof. Perini Fisica 107 / 127
Fisica e matematica Derivate
Cinematica:
~S(t ) = x(t )
y(t )z(t )
~v(t ) = d~S(t )
d t=
d x(t )d t
d y(t )d t
d z(t )d t
= x ′(t )
y ′(t )z ′(t )
~a(t ) = d~v(t )
d t=
d vx (t )
d td vy (t )
d td vz (t )
d t
= x ′′(t )
y ′′(t )z ′′(t )
Michele prof. Perini Fisica 108 / 127
Fisica e matematica Derivate
Moto rettilineo uniformemente accelerato
x(t ) = 1
2at 2 + v(0)t +x(0)
v(t ) = x ′(t ) = at + v(0)
a(t ) = x ′′(t ) = a
Michele prof. Perini Fisica 109 / 127
Fisica e matematica Derivate
Moto circolare uniforme: velocità tangenzialee accelerazione centripeta (1)
~S(t ) =(
r cos(ωt )r sin(ωt )
)~v(t ) = d~S(t )
d t=
( −rωsin(ωt )rωcos(ωt )
)~a(t ) = d~v(t )
d t=
( −rω2 cos(ωt )−rω2 sin(ωt )
)
Michele prof. Perini Fisica 110 / 127
Fisica e matematica Derivate
Moto circolare uniforme: velocità tangenzialee accelerazione centripeta (2)
~S(t )·~v(t ) = 0 →(
r cos(ωt )r sin(ωt )
)·( −rωsin(ωt )
rωcos(ωt )
)= 0 →~S(t ) ⊥~v(t )
~a(t ) =−ω2~S(t ) →~a(t ) ∥~S(t )
v = |~v(t )| =√
(−rωsin(ωt ))2 + (rωcos(ωt ))2 = rω
a = |~a(t )| =√(−rω2 cos(ωt )
)2 + (−rω2 sin(ωt ))2 = rω2 = v2
r
Michele prof. Perini Fisica 111 / 127
Fisica e matematica Derivate
Alternatore
V =−dΦB
d t
V =−d(SB cos(ωt ))
d t=−SB
d(cos(ωt ))
d t=
= SBωsin(ωt )
Michele prof. Perini Fisica 112 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Equazioni differenziali omogenee del primoordine a coefficienti costanti
y = f (t )
y ′ = k y → d y
d t= k y → (sey 6= 0) d y
y= kd t →∫
d y
y=
∫kd t → ln(
∣∣y∣∣)+C1 = kt +C2 →
ln(∣∣y
∣∣) = kt +C3 →∣∣y
∣∣= ekt+C3 → ∣∣y∣∣= eC3ekt →
y =Cekt
Michele prof. Perini Fisica 113 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Equazioni differenziali non omogenee delprimo ordine a coefficienti costanti
y = f (t )
y ′ = k y +h → y =Cekt − h
k
Michele prof. Perini Fisica 114 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del secondo ordine acoefficienti costanti
y = f (t )
ay ′′+by ′+ c y = 0
se b2 −4ac > 0 → y =C1e−b+
√b2−4ac
2a t +C2e−b−
√b2−4ac
2a t
se b2 −4ac = 0 → y = e−b2a t (C1 +C2t )
se b2 −4ac < 0 →y = e
−b2a t
(C1 cos
(p−b2 +4ac
2at
)+C2 sin
(p−b2 +4ac
2at
))Michele prof. Perini Fisica 115 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Oscillatore armonico
Fe = ma →−kx = mx ′′
se x(0) = A e x ′(0) = 0:
x = A cos
√k
mt
v = x ′ =−A
√k
msin
√k
mt
a = x ′′ =−A
k
mcos
√k
mt
Michele prof. Perini Fisica 116 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Pendolo
F = ma →−mg sin(γ) = mLα→−g sin(γ) = Lγ′′
se γ≈ 0 →−gγ= Lγ′′ e γ′(0) = 0 e γ(0) = A:
γ= A cos
(√g
Lt
)→ T = 2π
√L
g
ω= x ′ =−A
√g
Lsin
(√g
Lt
)α= x ′′ =−A
g
Lcos
(√g
Lt
)Michele prof. Perini Fisica 117 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Circuiti RC, fase di carica, Q(0) = 0
E − I (t )R − Q(t )
C= 0 → E −Q ′(t )R − Q(t )
C= 0
Q(t ) = EC(1−e− t
RC
)I (t ) =Q ′(t ) = E
Re− t
RC
Michele prof. Perini Fisica 118 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Circuiti RC, fase di scarica
−I (t )R − Q(t )
C= 0 →−Q ′(t )R − Q(t )
C= 0
Q(t ) =Q(0)e− tRC
I (t ) =Q ′(t ) =−Q(0)
RCe− t
RC
Michele prof. Perini Fisica 119 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Circuiti RL, con generatore di tensionecontinua, I (0) = 0
E − I (t )R −LI ′(t ) = 0
I (t ) = E
R
(1−e−Rt
L
)
Michele prof. Perini Fisica 120 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Circuiti RL, senza generatore di tensionecontinua
−I (t )R −LI ′(t ) = 0
I (t ) = I (0)e−RtL
Michele prof. Perini Fisica 121 / 127
Fisica e matematica Equazioni differenziali
Circuiti LC, con Q(0) = 0
−LI ′(t )− Q(t )
C= 0 →−LQ ′′(t )− Q(t )
C= 0
Q(t ) = I (0)p
LC sin
(tpLC
)I (t ) =Q ′(t ) = I (0)cos
(tpLC
)
Michele prof. Perini Fisica 122 / 127
Fisica e matematica Integrali
Potenza media dissipata su una resistenza intensione alternata
P = 1
T
∫ T
0
V 2(t )
Rd t = 1
T
∫ T
0
V 2max sin2(ωt )
Rd t =
V 2max
T R
∫ T
0sin2(ωt )d t = V 2
max
T R
∫ T
0
1−cos(2ωt )
2d t =
V 2max
2T R
∫ T
01−cos(2ωt )d t = V 2
max
2T R
[t − sin(2ωt )
2ω
]T
0=
= V 2max
2T R
[T − sin(4π)
2ω
]= V 2
max
2R
Michele prof. Perini Fisica 123 / 127
Fisica e matematica Integrali
Lavoro in trasformazioni isoterme
L AB =∫ B
ApdV =
∫ B
A
nRT
VdV =
= nRT∫ B
A
dV
V= nRT [ln(V )]B
A =
= nRT ln
(VB
VA
)
Michele prof. Perini Fisica 124 / 127
Fisica e matematica Integrali
Legge di Stefan-Boltzmann dalla curva diWien (a meno di costanti moltiplicative) (1)∫
x3e− xT d x = e− x
T(ax3 +bx2 + cx +d
)x3e− x
T = e− xT
[− a
Tx3 +
(3a − b
T
)x2 +
(2b − c
T
)x + c − d
T
]
− aT = 1
3a − bT = 0
2b − cT = 0
c − dT = 0
→
a =−Tb =−3T 2
c =−6T 3
d =−6T 4
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Fisica e matematica Integrali
Legge di Stefan-Boltzmann dalla curva diWien (a meno di costanti moltiplicative) (2)∫
x3e− xT d x = e− x
T(−T x3 −3T 2x2 −6T 3x −6T 4)
Itot =∫ +∞
0
d I
d fd f =
∫ +∞
0f 3e− f
T d f =
=[
e− fT(−T f 3 −3T 2 f 2 −6T 3 f −6T 4)]+∞
0= 6T 4
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Fisica e matematica Cenni ai sistemi caotici
Condizioni iniziali molto simili non garantisconocomportamenti dello stesso tipo anche in sistemi fisici moltosemplici. Qui sono simulati due pendoli doppi con condizioniiniziali vicine.
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