Gravitazione

Gravitazione

Tutte le forze incontrate fin’ora, inclusa la forza di gravita, sono delle forzefenomenologiche: l’espressione deriva da un modello che si basasull’esperienza.

La gravitazione universale invece e un fenomeno che allo stato delle nostreconoscenze possiamo chiamare ”fondamentale”. Non esiste un modo perdescrivere la gravitazione in termini di interazioni piu elementari. Inoltre perla gravitazione si ”inverte” il modello mentale: PRIMA si postula una forzacon certe caratteristiche, POI si verifica che questa forza sia compatibile coidati sperimentali.

Le caratteristiche principali della forza di gravitazione cosı come vienepostulata sono:

L’intensita della forza e proporzionale ad entrambe le masse inerzialidegli oggetti tra cui si esercita.

L’intensita della forza e inversamente proporzionale al quadrato delladistanza tra gli oggetti.

La forza e radiale e attrattiva, ovvero e orientata lungo la congiungentetra i corpi puntiformi e diretta da un corpo all’altro.

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Gravitazione

Gravitazione

In formule per la gravitazione sul corpo m2 posto in x2 esercitata dal corpom1 posto in x1 abbiamo:

FG = −G m1m2

r2r (r = x2 − x1) (1)

.

Conseguenze importanti di questa formulazione sono che:

Il momento angolare di un corpo soggetto all’attrazione di un altrocorpo e conservato:

MΩx1= − r12×G m1m2

r212

r12 = 0→dLΩx1

dt= 0 .

Risolvendo l’equazione differenziale del moto di due corpi interagenti tradi loro si ottiene che la traiettoria di ognuno dei corpi e una conica incui il centro di massa del sistema occupa un fuoco, e che i due corpigiacciono sulla retta congiungente i corpi stessi.

Dalla soluzione deriva la relazione T2

a3= k = 4π2

G(m1+m2)

Per corpi estesi sferici possiamo considerare la forza esercitata come setutta la massa fosse concentrata nel centro di massa del corpo.

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Gravitazione e leggi di Keplero

Storicamente la validita della forza di gravitazione e dedotta dal motoosservato dei pianeti: le tre leggi di Keplero.

La velocita areolare e costante (seconda legge). Se ne deduce che siconserva il modulo del momento angolare e che quindi una forza radialee compatibile con le osservazioni.

Le orbite sono ellissi su un piano di cui il sole occupa uno dei due fuochi(prima legge). Se ne deduce che una forza che varia con l’inverso delquadrato della distanza (ma non solo) e compatibile con le osservazioni.

I periodi di rivoluzione al quadrato di tutti i pianeti sono uguali ad unastessa costante per il semiasse maggiore dell’orbita al cubo (terzalegge). Se ne deduce che SOLO una forza che varia con l’inverso delquadrato della distanza e compatibile con le osservazioni

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Velocita areolare

La velocita areolare e l’area spazzata nell’unita di tempo: va =dA

dt.

dA =1

2x2 cos(dθ) sin(dθ) =

= x2sin(2 dθ)

4=

' 1

2x2 dθ =

=1

2x2ω(t) dt

|L| = m|x×v | = mxvθ =

= mx2ω(t)

dA

dt=

1

2m|L|

dA

dt= K → |L| = 2mK

Si noti che abbiamo dedotto che si conserva per forza il MODULO del

momento angolare.4 / 17

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Orbite circolari

E DIFFICILE dimostrare che per orbite ellittiche una forza centraleinversamente proporzionale al quadrato del raggio e compatibile. Per orbitecircolari con uno dei due corpi molto piu pesante dell’altro e che rispettano laterza legge di Keplero e molto piu facile:

ac = ω2r; ω =2π

T→ ac = r

4π2

T 2

T 2 = kr3

m1ac = m1r4π2

T 2= m1

4π2

kr2= FG

Si noti che anche una legge in cui la forza e proporzionale alla distanza (comein una molla) potrebbe portare ad orbite circolari, ma in tal caso i periodi dirivoluzione sarebbero costanti a prescindere dalla distanza...

Il Teorema di Bertrand (intorno al 1860!) stabilisce che per SOLO per forze

kepleriane o armoniche le traiettorie sono forzatamente chiuse, per cui

l’osservazione impone una delle due forme; ma solo per forze kepleriane si ha

la terza legge di Keplero.5 / 17

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Universalita della gravitazione

Abbiamo accettato la gravitazione come forza responsabile del moto deipianeti intorno al sole. La sua forma pero e del tipo FG = −k(sole)

mp

r2prp.

Come andare avanti?

Il raccontino della mela dice piu o meno: la terra attira la mela, perche nonpuo attirare anche la luna? Ovvero, l’orbita della luna puo essere determinatadalla gravitazione della terra.

Quindi la terra e un sole, e attira la luna - e la mela! - con una forzaFG = −k′(terra) mluna

r2l

rl. Ma l’appetito vien mangiando, quindi attira

anche il sole, con una forza FG = −k′(terra) msoler2s

rs.

Ma dal terzo principio sappiamo che:

k(sole) mterrar2s

rs = k′(terra) msoler2s

rs → k(sole)mterra = k′(terra)msole.

L’unico modo per rendere universale la legge e di avere k = k′ e scrivere

k(terra/sole) = Gmterra/sole, ovvero la formula data in precedenza:

FG = −G m1m2r2

r

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Problemi...

Perche il sole occupa uno dei due fuochi dell’orbita terrestree di tutti gli altri pianeti?

Perche la luna orbita intorno alla terra?

Perche possiamo approssimare corpi tanto estesi come laterra a punti materiali?

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Misura di G massa della Terra

La misura di G non puo essere fatta con osservazioni astromiche perchesempre accoppiata alla massa dei corpi, non nota. Quindi, sfruttandol’universalita, la si misura in laboratorio osservando la forza che agisce tradue masse: una forza MOLTO piccola!

La prima misura di Cavendish e del 1797! Si usa una bilancia di torsione conmasse dell’ordine del kg e forze di attrazione dell’ordine di 10−9N ...

Il valore noto oggi e G = (6, 67428± 0, 00067) · 10−11m3 · kg−1 · s−2.Usando questo valore, il raggio della terra RT = 6371, 005 · 106 m e il valoredella costante di gravita g = 9, 80665 m/s2 si ottiene per la massa della terra:

g = GMT

R2T

→

→MT = gR2T

G= 5.9 · 1024 kg

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Massa del Sole

Usando il valore della distanza Terra-SoleRTS = 1 UA = 149.5 · 109 km e la terza legge di Keplero siottiene la massa del Sole:

T 2 = kr3

MTRTS4π2

T 2= G

MTMS

R2TS

MS = R3TS

4π2

GT 2= 2.00 · 1030 kg

La massa del sole e circa 300.000 volte maggiore di quella dellaterra. Quindi il centro di massa del sistema terra/sole e posto aduna distanza d = RTSMT

MS+MT' 451 km, cioe a circa un millesimo

del raggio del sole dal centro.

Questo implica che il centro del sole praticamente coincide con ilcentro di massa, e l’orbita della terra e ellittica intorno al sole.

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Il sistema Terra-Sole-Luna

La forza di gravitazione che il sole esercita sulla luna e dello stessoordine della forza esercitata dalla terra (verificatelo). Quindi il problemaTerra-Luna a priori non puo essere considerato isolato dal Sole.

Prendiamo come polo il centro di massa del sistema terra luna. Sianor′L e r′T i raggi vettori della luna e della terra misurati nel sistema delcentro di massa e rTS il raggio vettore tra sole e centro di massa. Nelsistema del sole abbiamo rL = rTS + r′L e rT = rTS + r′T . Usiamo leapprossimazioni rL = rT = rTS (valida al 3 per mille) e l’ulterioreapprossimazione che le forze che agiscono sulla luna e sulla terra sianoapprossimativamente parallele. Dalle equazioni cardinali abbiamo:

F(S)CM =

∑i

Fi =

' k

r3TS

∑i

mi(rTS + r′i) =k

r2TS

Mtot

Quindi l’azione del sole sul sistema e’ quella che avrebbe su un corpo

posto nel centro di massa: il centro di massa Terra-Luna orbita attorno

al sole con un orbita ellittica.10 / 17

Gravitazione

Il sistema Terra-Sole-Luna

Il momento della gravitazione solare e il momento esterno chepuo far variare il momento angolare Terra-Luna. Abbiamo:

M(S)CM =

∑i

ri×Fi =

=k

r3TS

∑i

mi ri×rTS =

=k

r3TS

∑i

mi (r′i + rTS)×rTS =

=k

r2TS

sin(θ)∑i

mir′i = 0

Quindi il momento della gravitazione solare non ha effetto sulmomento angolare del sistema Terra-Luna (entro leapprossimazioni...)

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Campo gravitazionale

Il campo gravitazionale di una massa M e definito in ogni punto dello spaziocome la forza F che AGIREBBE su una massa di prova m posta in quelpunto, divisa il valore della massa di prova: EG = −G M

r2r.

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Campo gravitazionale

Il campo gravitazionale di una massa M e definito in ogni punto dello spaziocome la forza F che AGIREBBE su una massa di prova m posta in quelpunto, divisa il valore della massa di prova: EG = −G M

r2r.

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Teorema di Gauss

Il flusso del campo gravitazionale su una superficie dS e definitocome dΦ = (FG/m) ·dS = GM

r2r ·dS . Il teorema di Gauss

permette di determinare il flusso complessivo uscente da unasuperficie chiusa di una forza dipendente dall’inverso delquadrato della distanza.

dΦ = F ·dS

=k

R2dSsfera =

=k

R2dΩR2 =

= k dΩ

Φ =

∫sfera

dΦ = 4πk

Se all’interno della superficie poniamo molte masse mi il flussocomplessivo del campo gravitazionale - per il quale k = Gmi - eΦ = 4πGM

∑imi.14 / 17

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Gravitazione di una sfera

Per una sfera di massa M1 che agisce su una massa M2 posta a distanza Rdal centro della sfera la simmetria dice che la gravitazione e orientata verso ilcentro su ogni punto di una superficie sferica circondante la sfera stessa. Ilflusso complessivo del campo e Φ = 4πGM1: ma questo e uguale anche aFM2

Ssfera = 4πR2 FM2→ F = G M1M2

R2

Quindi la forza di una sfera e equivalente a quella di un punto di massa

uguale posto nel centro della sfera.15 / 17

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Energia potenziale gravitazionale

La gravitazione e una forza conservativa. Infatti per il lavoro compiuto dauna massa M su una massa m quando quest’ultima percorre una traiettoriachiusa abbiamo (chiamando rMm(rm) il raggio vettore in funzione dellaposizione della massa m:

L =

∫C

F ·dr

F ·dr = GMm

r2Mm

rMm ·dr

dr = dr ‖ rMm + dr ⊥ rMm

rMm ·dr = rMm ·dr ‖ rMm = drMm

F ·dr = GMm

r2Mm

drMm

L =

∫ rmax

rmin

GMm

r2dr +

∫ rmin

rmax

GMm

r2dr = 0

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Energia potenziale

Visto che la gravitazione e conservativa possiamo calcolarel’energia potenziale di due masse M ed m poste a distanza r:

U(r) = GMm

∫1

r2dr = −G Mm

r+K

e l’energia potenziale di un sistema di masse mi poste a distanzerij

U(mi, rij) =∑i

∑j>i

mimj

rij

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