LA LEGGE DI GRAVITAZIONE

Le Leggi di Keplero

Il primo video:

http://www.raiscuola.rai.it/articoli/le-leggi-di-keplero-parte-prima-luniverso-della-meccanica/8920/default.aspx

L'attrazione gravitazionale

Il secondo video:

http://www.youtube.com/watch?v=tjNEEUACgPQ

Stelle fisse e astri errantiOsservando il cielo notturno privo di nuvole si riesce a distinguere l’apparizione di Venere (la prima “stella” della sera) e più tardi quello di gruppi di stelle “fisse” dislocate in posizioni regolari che mantengono inalterate le distanze relative.

Un moto piano semplice

Un corpo (punto materiale) che si muove lungo una circonferenza con velocità angolare costante ω a una distanza r dal centro è rappresentato, da un vettore r, avente componenti:

x = r cos(ωt)

y = r sen(ωt)

Moto retrogrado: deferente ed epicicloIn breve: un pianeta si muove per un lungo tratto, diciamo da est verso ovest, e le osservazioni nei giorni successivi ci portano a ritroso verso est. Proviamo a visualizzare il modello.

Nella figura il deferente ha raggio r1 e l’epiciclo raggio r

2.

Il movimento in ogni istante del punto C può essere individuato dalla somma dei vettori AB+BC, le cui componenti sono: x = r

1 cos() – r

2 cos() e

y = r1 sen() – r

2 sen()

Moto retrogrado: deferente ed epiciclo Sostituendo le velocità angolari ω e ω la curva viene a dipendere dal parametro tempo t:

x = r1 cos(ωt) – r2

cos(ωtωt)

y = r1 sen(ωt) – r2

sen(ωtωt).

Attribuendo dei valori per tentativi è facile vedere (cambiando le velocità angolari) la composizione dei due moti con la formazione dei nodi.

Leggi di Keplero Nella figura che segue è rappresentata l’ellisse che descrivel’orbita di Mercurio, prendendo come riferimento il Sole: se il semiasse maggiore viene posto uguale a 1, quello minore è approssimativamente 0,98.L’eccentricità del pianeta è quella più grande se confrontata con le eccentricità dei pianeti conosciuti da Keplero !

Leggi di Keplero Disegniamo, a partire dal fuoco, occupato dal Sole, un raggio vettore (con r variabile). La distanza tra il centro dell’ellisse e il fuoco, piccola per la scala in figura, è pari al prodotto del semiasse maggiore a per l’eccentricità e.

Leggi di Keplero

La seconda legge: Il raggio vettore, che in ogni istante definisce la distanza tra Sole e pianeta, in accordo alla seconda legge di Keplero, spazza aree uguali in uguali intervalli di tempo. In altre parole la velocità del pianeta è variabile.

La seconda legge è matematicamente equivalente alla proporzionalità inversa tra distanza e velocità. Essa deriva dal principio di conservazione del momento angolare.

La terza legge: il quadrato dei periodi di rivoluzione T sono proporzionali al cubo dei semiassi maggiori a della ellissi percorse dagli astri erranti (T2=ka3).

Dalle leggi di Keplero a quella di gravitazione di Newton

Abbiamo già visto che non è una forzatura grandissima ritenere che, in prima approssimazione, l'orbita dei pianeti possa essere considerata circolare.Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è uguale a ω2r, quindi per la seconda legge della dinamica:

F = mω2r= mr (2/T)2.

La forma della forza dev’essere in accordo alla terza legge di Keplero, proporzionale all’inverso del quadrato della distanza e proporzionale alla massa m del pianeta. Ipotizzando la completa simmetria tra Sole e pianeta anche la forza di reazione esercitata dal pianeta sul Sole dev’essere proporzionale alla massa M del Sole. Infine ponendo queste due forze uguali come intensità si arriva a scrivere per la forza gravitazionale:

F= GMm/r2.

Intorno alla legge di gravitazione di Newton...

Esistono però soluzioni particolari del problema di trecorpi interagenti gravitazionalmente che, nati comecuriosità nei lavori di Eulero e di Lagrange, sono oggi applicate al controllo delle sonde spaziali.

I punti lagrangiani sono stati utilizzati in diversi progettidelle agenzie spaziali. In particolare il punto Lagrangiano L1 ed è occupato dalla sonda ACE che studia i raggi cosmici.