Meccanica 1314 aprile 2011

Leggi di KepleroAccelerazione orbitale per orbite circolariIl problema dei due corpi. Massa ridottaLegge di gravitazione di Newton, costante gravitazionaleFormula di Binet, accelerazione orbitale per orbite ellittiche3a legge di Keplero rivisitataMomento angolare ed energia cineticaAnalisi energetica qualitativa, velocita` di fugaIntegrazione dell’eq. dell’orbita, 1a legge di Keplero

Leggi di Keplero

• Newton arrivò alla sua legge studiando l’opera di Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare

• Prima legge: l’orbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

Leggi di Keplero

• Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere l’orbita del pianeta

• Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e dall’angolo (detto anomalia o azimut)

• Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio

• Entrambi son detti apsidi

r A B

Leggi di Keplero

• La prima legge si può esprimere matematicamente

• Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è l’eccentricità dell’orbita (sempre <1 per un’ellisse)

• Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio (r=a-ae, =0)

1

rp 1 ecos

p1

a 1 e2

Leggi di Keplero

• Seconda legge: l’area “spazzata” dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla: A=kt, in termini infinitesimi: dA=kdt

• Ovvero: la velocità areale è costante• Storicamente fu scoperta per prima

A B

dA

dtk

• Possiamo esprimere la costante k mediante l’area e il periodo

k A

Tab

T

3a legge di Keplero

• Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita

• La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti• Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi

satelliti• La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da

quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo)

T 2 ka3

6

Legge di gravitazione

• Non sappiamo come Newton sia giunto alla sua legge per la forza gravitazionale

• Sappiamo che Hooke era giunto alla conclusione che l’accelerazione posseduta dai pianeti nella loro rivoluzione intorno al sole fosse proporzionale all’inverso del quadrato della distanza tra sole e pianeta

• In forza del fatto che nella 3° legge di Keplero, la costante e` uguale per tutti i pianeti, alcuni pensavano anche che il sole fosse responsabile del moto dei pianeti tramite una ‘forza’ che da esso emanava

7

Legge di gravitazione

• Le considerazioni si limitavano a orbite circolari e si basavano sull’analisi fatta da Huygens del moto circolare uniforme e sulla 3a legge di Keplero (valida in realtà più in generale anche per orbite ellittiche)

• Huygens era riuscito a trovare l’espressione dell’accelerazione posseduta da un corpo in moto circolare uniforme

• Nessuno, all’epoca, era in grado di calcolare l’accelerazione per il moto ellittico, cosa che riuscira` piu` tardi a Newton

8

Legge di gravitazione

• Il ragionamento era il seguente• L’accelerazione di un pianeta in moto circolare

uniforme è (detti R il raggio dell’orbita e T il periodo)

• Applicando la 3a legge di Keplero

a 2r4T 2

R

a4T 2

R4kR3

R4k

1

R2

9

Legge di gravitazione• Newton inoltre ebbe l’idea di considerare l’attrazione tra due

corpi come una caratteristica universale, quindi l’attrazione tra sole e pianeta, tra terra e mela e tra terra e luna erano tutti casi particolari di una proprietà generale della materia

• Newton quindi paragonò l’accelerazione di una mela sulla superficie terrestre con quella della luna: se l’accelerazione dovuta alla ‘forza’ gravitazionale fosse davvero stata inversamente proporzionale al quadrato della distanza, allora queste due accelerazioni avrebbero dovuto soddisfare la seguente relazione

aluna

amela

rmela

rluna

2

10

Legge di gravitazione• Stimando l’accelerazione della luna con la formula di Huygens

(rluna=3.84x108 m , Tluna=27.3 giorni=2.36x106 s)

• e tenendo conto che amela=g=9.8 m/s2, accelerazione di gravità e rmela=R=6.37x106 m, raggio della terra, Newton giunse ai valori

g

aluna

9.8

2.721033603

rluna

R

2

3.84108

6.37106

2

3634

aluna 4 2

Tluna2

rluna 4 2

2.36106 23.84108 2.72103 m /s2

11

Legge di gravitazione• Un risultato indubbiamente molto incoraggiante, ma Newton

non ne fu totalmente soddisfatto, essenzialmente per tre motivi

• Il primo: i dati a sua disposizione non erano molto accurati ed aveva ottenuto un accordo numerico meno buono

• Il secondo: aveva supposto che l’orbita lunare fosse circolare• Il terzo: aveva supposto, ma non giustificato, che la distanza

rilevante tra i corpi fosse quella tra i loro centri, senza tener conto della loro estensione spaziale

• Molti anni piu` tardi, dopo aver creato il calcolo differenziale, Newton riuscì a dimostrare questa assunzione nel caso in cui la distribuzione di materia dei corpi sia isotropa attorno al loro centro

12

Il problema dei due corpi• Consideriamo un sistema isolato costituito da due

corpi massicci puntiformi M e m, interagenti con forza di tipo centrale

• Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui descrivere il sistema dei due corpi

• Siano r1 e r2 i vettori posizione (in S) dei due corpi

• La forza mutua dipende solo dal vettore r tra i due corpi:

r = r2 - r1r1

r2

r

13

Il problema dei due corpi• Introduciamo anche il vettore R, posizione del centro

di massa:

R

Mr 1 m

r 2

M m

r1

r2

r

R

r 1

R

m

M m

r

r 2

R

M

M m

r

• Le trasformazioni inverse permettono di esprimere r1 e r2 in funzione di R e r

14

Il problema dei due corpi• Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di

moto rettilineo uniforme

• Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente, S’, con l’origine O’ coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme)

• D’ora in poi, anche se con abuso di notazione, continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S’ (però ora R=0)

dR

dtconst.

15

Il problema dei due corpi• Trovare la dipendenza di r dal tempo

equivale a risolvere il problema. Infatti, una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da

r 1

m

M m

r

r 2

M

M m

r

amM

ma

1 amM

Ma

2

r1

r2

r

• Nel seguito ci serviranno anche le accelerazioni dei due corpi, che si trovano derivando le posizioni due volte rispetto al tempo

• Ove a e` l’accelerazione della coordinata r 16

Forza newtoniana

• Newton postulò la seguente forma per la forza di gravitazione

• ove G è una costante indipendente dalla massa dei corpi interagenti

F 12 G

Mm

r2ˆ r

F 21 G

Mm

r2ˆ r

17

Gravitazione universale

• G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS)

• e valore

• Fu determinata sperimentalmente per la prima volta da Cavendish mediante una bilancia di torsione

G F L2

M 2 L3T 2M 1

2

3111067.6

skg

mG

18

Il problema dei due corpi

• La direzione comune alle forze passa per il centro di massa: l’accelerazione di entrambi i corpi è quindi diretta verso il CM

• Il sole sia il corpo 1 e il pianeta il 2:

F s G

Mm

r2ˆ r M

a s

Mm

M m

a

Fs

Fp

F p G

Mm

r2ˆ r m

a p

Mm

M m

a

r1

r2

r

19

Il problema dei due corpi

• Introducendo la massa ridotta

possiamo concludere che il problema dei due corpi è formalmente equivalente a quello di un corpo fittizio di massa a distanza r da un centro di forza fisso

• il corpo fittizio è ‘legato’ a questo centro da una forza

e sottoposto ad un’accelerazione

Mm

M m

a

F

F G

Mm

r2ˆ r

r2

ˆ r

20

Determinazione dell’accelerazione orbitale

• L’accelerazione orbitale del corpo fittizio e` puramente radiale, mentre la componente azimutale e` nulla

• Trovata l’accelerazione di questa particella fittizia e` immediato calcolare le accelerazioni di sole e pianeta

• Per trovare l’accelerazione orbitale deriviamo la velocita` espressa in coordinate polari

21

Determinazione dell’accelerazione orbitale

ˆˆ

ˆ2ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

2

22

2

2

2

2

2

2

ara

dt

dr

dt

d

dt

drr

dt

dr

dt

rd

dt

d

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

dr

dt

rd

dt

drr

dt

rd

dt

dv

dt

dv

dt

rdvr

dt

dvvrv

dt

d

dt

vda

r

rr

r

22

Determinazione dell’accelerazione orbitale

• Poiche’ la forza e` centrale, l’accelerazione azimutale e` nulla

• Riscriviamo l’accelerazione come

• Ne segue che

• Ove H e` una costante, uguale, per la 2a legge di Keplero a

022

2

dt

dr

dt

d

dt

dra

01

2 2

dt

dr

dt

d

rdt

d

dt

dr

dt

d

dt

dra

Hdt

dr

2

T

AH 2

23

Determinazione dell’accelerazione orbitale

• Possiamo dunque scrivere• E sostituendo nell’accelerazione radiale

• Ora cambiamo variabile t->

2r

H

dt

d

3

22

22

22

2

2

r

H

dt

dr

dt

d

r

Hr

dt

rd

dt

dr

dt

rdar

3

2

2

2

2

2

3

2

22

3

2

223

2

111

r

H

rd

d

r

H

r

H

rrd

d

d

dH

r

H

r

H

r

H

d

dr

d

d

r

H

dt

d

dt

d

d

dr

d

dar

24

Determinazione dell’accelerazione orbitale

• Ricordiamo ora la 1a legge di Keplero• Ne segue che

• Sostituendo nell’accelerazione radiale, troviamo

• Inserendo i valori di H e di p ( )

cos11

epr

cos1

2

2

perd

d

pr

H

epper

H

r

Hpe

r

Har

2

2

2

2

3

2

2

2

cos1coscos

21

1

ep

a

25

Determinazione dell’accelerazione orbitale

• Otteniamo infine

• Ovvero

• ove è la velocità angolare media dell’orbita ellittica

• Abbiamo dunque per le forze gravitazionali

ar 1

a 1 e2 2A

T

21

r2 4 2a2b2

T 2a 1 e2 1

r2 4 2

T 2

a3

r2

2 4 2 T 2

ar 2 a3

r2

F 2 a3

r2ˆ r

26

3a legge di Keplero rivisitata

• Rivisitiamo la 3a legge di Keplero nella teoria newtoniana• Abbiamo trovato la forza radiale tra particella fittizia e centro

di forza

• Da ciò ne discende

• Ovvero

• Che è la versione newtoniana della 3a legge di Keplero, con costante k pari a

F GMm

r2 a 2 a3

r2 Mm

M m2 a3

r2

GMm Mm

M m2a3

3

22 4

amMG

T

k 4 2

G M m 27

3a legge di Keplero rivisitata

• La teoria di Newton “verifica e smentisce” allo stesso tempo la 3a legge di Keplero

• La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta a pianeta

• La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti

4 2

G M m

4 2

GM

28

Momento angolare

• Calcoliamo il MA totale dei due corpi

• Esso è uguale al momento angolare del corpo fittizio

vr

vmM

Mmr

mM

Mv

mM

mMr

mM

m

vmrvMrllL

221121

29

• Poiche’ il sistema e` isolato il momento angolare si conserva, ne segue che i vettori r e v stanno sempre nello stesso piano

• Proiettando L lungo il versore perpendicolare a questo piano, otteniamo

r

v

v

vr

Momento angolare

dt

drvrvrL

2sin

30

Il momento delle forze• Calcoliamo il momento delle forze interne,

sfruttando il fatto che la forza è centrale:

• L’annullarsi del momento delle forze, implica che il momento angolare sia costante

r 1

F 12

r 2

F 21

r 1

F 12

r 2

F 12

r 1 r 2

F 12

r f r r 0

dL

dt0

L const.

31

Energia cinetica

• Calcoliamo l’energia cinetica dei due corpi

• Essa è uguale all’energia cinetica del corpo fittizio

• Esprimiamo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale:

K 1

2Mv 1

2 1

2mv 2

2

1

2M

m

M m

v

2

1

2m

M

M m

v

2

1

2v 2

K 1

2 vr

2 v2 1

2

dr

dt

2

r2 ddt

2

32

Energia

• L’energia meccanica si conserva, perche’ la forza gravitazionale è conservativa

• Sostituendo le espressioni di T e V:

E K V const.

rdt

dr

dt

drE

2

2

2

2

1

33

Energia

• Esprimendo la velocità azimutale in funzione di L e r

• Il primo termine del membro di destra è l’energia cinetica radiale, il secondo termine è l’energia cinetica azimutale, il terzo termine è l’energia potenziale

• Formalmente possiamo pensare il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, della particella e il primo termine come tutta l’energia cinetica

• Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a uno

E 1

2

dr

dt

2

L2

2r2 r

34

Energia

• Nella figura abbiamo tracciato le due energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma Vtot con linea continua

• L’energia totale E è una costante (retta tratteggiata)

• La differenza tra E e Vtot è l’energia cinetica (freccia)

E 1

2v 2

L2

2r2 r

r

35

Analisi qualitativa

• Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori arbitrariamente grandi: l’orbita è illimitata

r

E>0

T

36

Analisi qualitativa

• Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: l’orbita è limitata (e chiusa)

rE<0T

37

Velocita` di fuga

• L’analisi precedente ci permette di concludere che affinche’ il corpo riesca a sfuggire al centro di forza occorre che la sua energia sia almeno uguale a zero

• In termini di velocita`, questa dev’essere almeno uguale alla velocita` di fuga

E 1

2v 2

r0

v

2rv fuga

Da tradurre in velocita` di fuga per il corpo 2

38

Corpo fittizio e corpi reali

• Un caso particolare ma molto importante e` quello in cui uno dei due corpi e` molto piu` massiccio dell’altro, p.e. nei sistemi terra-missile e sole-pianeti

• Allora

• Cioe` la massa minore si comporta con buona approssimazione come la massa ridotta

• La massa maggiore rimane praticamente ferma

39

rM

mr

mM

mr

1 rrmM

Mr

2

Velocita` di fuga

• La velocita` di fuga del corpo leggero e`

r

GM

Mmr

mMGMmvv

mM

Mv

222

40

Integrazione dell’eq. del moto

• Torniamo all’espressione dell’energia

• Esplicitando rispetto alla derivata di r:

• Risolvere questa equazione ci darebbe la legge oraria di r (e quindi di )

E 1

2

dr

dt

2

L2

2r2 r

dr

dt

2E

2

1

r

L2

2

1

r2

41

Integrazione dell’eq. del moto

• È più facile però determinare r in funzione dell’angolo , in questo modo otteniamo l’equazione dell’orbita

• Se a tal fine riscriviamo la velocità radiale come

• Otteniamo

dr

dt

dr

dddt

dr

dr2

L

dr

dr

2E

L2 r2 2L2 r 1

42

Integrazione dell’equazione

• Quest’equazione si può risolvere per quadrature:

d dr

r2E

L2 r2 2L2 r 1

43

44

Integrazione dell’equazione

• L’integrando si può riportare ad una forma standard con la sostituzione u=1/r

• L’integrale è della forma

2

22

,

22uu

LLE

dud

du

a bu cu2

1

carccos

b 2cu

b2 4ac

45

Integrazione dell’equazione

• E quindi

• Tornando alla variabile r

• Ove l’origine degli angoli può convenientemente essere scelta in modo che ’=0

2

2

2

'

21

1arccos

kEL

kuL

'

2

2

2cos

211

1

EL

Lr

1a legge di Keplero

• L’espressione precedente è della forma

cioè proprio la forma della 1a legge di Keplero• Inoltre l’eccentricità è data da

1

rp 1 ecos

e 12EL2

2

46

Eccentricità

• Per un’iperbole E>0 e l’eccentricità è >1

• Per un’ellisse E<0 l’eccentricità è <1

e 12EL2

2 12 E L2

2 1

e 12EL2

2 1 2 E L2

2 1

47

Il problema degli n corpi

• Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza d’interazione, il problema non ammette, in generale, una soluzione analitica

• Teoria delle perturbazioni• Problema della stabilità del sistema solare

48