G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia potenziale della forza di gravitazione universale...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga

• La forza di gravitazione universale è conservativa

U

r

E<0

E>0

E=0ro

U(r) =−GmM

r

E =12

mv2 −GmMT

RT

• La velocità di fuga dalla terra:

U =−GmMT

RT

12

mvf2 −

GmMT

RT

=0 ⇒ vf =2GMT

RT

• Per la fuga dalla terra, E>=0:

mg=GmMT

RT2 ⇒ vf = 2gRT = 2∗9.81* 6.37*106 = 125.0*106 =11.2*103m

s


Sistemi di particelle

• Abbiamo mostrato come è possibile determinare il moto di un punto materiale

– Si determinano le forze che agiscono sul punto materiale

– Si applica la seconda legge di Newton

– Si risolvono le tre equazioni differenziali per trovare il moto dei punti proiezione sugli assi (se le equazioni sono indipendenti)

– Altrimenti si risolve il sistema di tre equazioni derivanti alla seconda legge di Newton.

– Si determina così la legge oraria.

• Vediamo ora come si può descrivere il moto di sistemi più complessi che non possono essere rappresentati con un punto materiale.

• Studiamo cioè i Sistemi di punti materiali!

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r 2

Proviamo ad operare come abbiamo imparato a fare.


Sistemi di particellez

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r 2

Si può scrivere n volte la seconda legge della dinamica,

• una volta per ciascun punto facente parte del sistema

• poi si può risolvere il sistema di 3n equazioni differenziali che viene fuori.

Molto difficile!!

m1d2r r 1dt2

=r R 1

m2d2r r 2dt2

=r R 2

................

mid2r r idt2

=r R i

.................

mnd2r r ndt2

=r R n

r R i =risultante delle forze

agenti sulla particella i

È possibile, rinunciando ad una descrizione dettagliata del moto delle singole particelle, ottenere almeno una descrizione del moto dell’insieme delle particelle?


Il centro di massa di un sistema di punti materiali

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑

mi

i=1

n

∑ m1

r r 1 +m2

r r 2 +....+mi

r r i +....+mn

r r n

mi

r r i =

i=1

n

∑

ponendo M = mi

i=1

n

∑ xCM =

mixi

i=1

n

∑M

yCM =

miyi

i=1

n

∑M

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑M

zCM =

mizi

i=1

n

∑M

m1 +m2 +....+mi +....+mn =Mmi

i=1

n

∑ =


xCM = m sxs + m tx tm s + m t

dove d ts = 1.5 1011mm s= 2 1030Kg; m t= 6 1024Kg

Il centro di massa del sistema terra-sole

• Il centro di massa si trova sul segmento che congiunge i due punti materiali

• È più vicino al punto materiale di massa maggiore

x

msmt

xs xtO

xCM =

mixi

i=1

n

∑M

yCM =

miyi

i=1

n

∑M

=0

zCM =

mizi

i=1

n

∑M

=0

xCM =mSxS +mTxT +mTxS −mTxS

mS +mT

=

=xS +mT xT −xS( )

mS +mT

=xS +mT

mS +mT

dT−S

dCM−S =mT

mS +mT

dT−S

dCM−T =mS

mS +mT

dT−S

dCM−S =6x1024

2x1030 +6x10241.5x1011 =4.5x105m

dCM −S

dCM−T

=mT

mS


Applicazione

• Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L. Determinare la posizione del centro di massa

Posso determinare prima il centro di massa delle particelle 1 e 2.

x

y

L

1 2

3

1 (0,0)

2 (L,0)

3 (L cos60°,Lsen60°)

xCM =m1x1 +m2x2 +m3x3

m1 +m2 +m3

=m0+L +L cos60°( )

3m=

1.5×L3

=L2

yCM =m1y1 +m2y2 +m3y3

m1 +m2 +m3

=m0+0+L sen60°( )

3m=

32 ×L

3=

3L6

xCM12=

m1x1 +m2x2

m1 +m2

⇒sem1=m2

xCM12=

x1 +x2

2=

L21 2 x

x

y

1

3

CM12

Calcoliamo ora la posizione del CM della particella 3 e di una particella di massa 2m posta nella posizione del CM delle particelle 1 e 2.

Il centro di massa si troverà sulla congiungente: xCM =L2

yCM =2m×0+mL 3

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

3m=

32 ×L

3=

3L6


Il centro di massa di corpi simmetrici

• Centro di massa di una sbarra omogenea

xx1 x2

xCM =m1x1 +m2x2

m1 +m2

⇒sem1=m2

xCM =x1 +x2

2

Asse di simmetria

Centro di simmetria

Centro di massa di una disco omogeneo


Applicazione

• L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare la posizione del CM.

yCM =m1y1 +m2y2

m1 +m2

=1kg×0.1m+0.5kg×0.45m

1.5kg=

0.1+0.225( )kgm1.5kg

=0.3251.5

m=0.22m

• CM della sbarra (0,0.45m) ms=0.5kg

• CM del Disco (0,0.1m) md=1kg

x

y

x

y

xCM =0


Applicazione

• Nella figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x=2m,y=0m L’origine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM.

xCM =m1x1 +m2x2

m1 +m2

=

89

Mx1 +19

Mx2

M=0

89

Mx1 +19

Mx2 =0 ⇒ x1 =−x2

8=−0.25m

• CM Intera piastra (0,0 m) M

• CM1 incognito (?,0) m1=(36-4)/36M=8/9M

• CM2 (2,0) m2=1/9M

yCM =0x

y

CM1 CM2

CM

• Per ragioni di simmetria


Il centro di massa di corpi continui

x

y

z

r

dm

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑

mi

i=1

n

∑

r r CM =

dmr r corpo∫

dmcorpo∫

xCM =

dmxcorpo∫

dmcorpo∫

yCM =

dmycorpo∫

dmcorpo∫

zCM =

dmzcorpo∫

dmcorpo∫


Applicazione

• Determinare la posizione del centro di massa di un semidisco omogeneo di massa M e raggio R.

x

y xCM =0

• Dividiamo il semicerchio in strisce molte sottili

• Sostituiamo ciascuna striscia con il suo centro di massa (0,y)

• Associamo a ciascun CM parziale la massa dell’intera striscia.

per ragioni di simmetria

yy+dy

σ =M

πR2

2⇒ dm=σ2Rcosθdy=

4MπR

cosθdy

yCM =

dmycorpo∫

dmcorpo∫

=

4MπR

cosθydycorpo∫

M=

4πR

cosθydycorpo∫

y =Rsenθ

dy=Rcosθdθ

yCM =4

πRcosθRsenθRcosθdθ

corpo∫

yCM =4Rπ

cos2θsenθdθ0

π2

∫ =4Rπ

−cos3θ

3

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

π2

=4Rπ

03

+13

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

4R3π

=.424R


La velocità del centro di massa

• Se i vari punti materiali si muovono

• Anche il centro di massa si muoverà

• Calcoliamo la sua velocità

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r v CM =

dr r CM

dtper definizione

1 2 4 4 3 4 4 =

ddt

mir r i

i=1

n

∑M

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=1M

ddt

mir r i

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

perchè 1

M è costante

1 2 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4

=

midr r i

dti=1

n

∑M

perchè la derivata si può distribuire sulla sommae perchè mi è costante

1 2 4 4 3 4 4 =

mir v i

i=1

n

∑M

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑

mi

i=1

n

∑


L’accelerazione del centro di massa

• Possiamo anche calcolarci l’accelerazione del centro di massa

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r v CM =

mir v i

i=1

n

∑M

r a CM =

dr v CM

dtper definizione

1 2 4 4 3 4 4 =

ddt

mir v i

i=1

n

∑M

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=1M

ddt

mir v i

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

perchè 1

M è costante

1 2 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4

=

midr v idt

i=1

n

∑M

perchè la derivata si può distribuire sulla sommae perchè mi è costante

1 2 4 4 3 4 4 =

mir a i

i=1

n

∑M


Applicazione

• Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s?

Quale sarà la sua velocità?

xCM(3s) =mCxC +maxa

mC +ma

=2000×24+1000×18

3000m=22m

vCM(3s)=mCvC +mava

mC +ma

=2000×8+1000×12

3000ms

=9.3ms

aCM (3s) =mCaC +maaa

mC +ma

=2000×0+1000×4

3000ms2 =1.33

ms2

xO

t=0

xC =vCt ⇒t=3s

xC =24m

xa =12

at2 ⇒t=3s

xa =18m

vC =vC ⇒t=3s

vC =8m/s

va =at ⇒t=3s

va =12m/s

xO

t=3s


Applicazione

• Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s?

Quale sarà la sua velocità?

xCM(0s) =0m

vCM(0s) =mCvC +mava

mC +ma

=2000×8+1000×0

3000ms

=5.33ms

aCM (0s) =mCaC +maaa

mC +ma

=2000×0+1000×4

3000ms2 =1.3

ms2

xO

t=0

xCM =vCMt+12

aCMt2 ⇒t=3s

xCM =5.33×3+121.33×9=22.0m

vCM(t) =vCM(0s) +at ⇒t=3s

vCM (3s) =5.33+1.33x3=9.33m/s


Ricapitoliamo

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑M

xCM =

mixi

i=1

n

∑M

yCM =

miyi

i=1

n

∑M

con M = mi

i=1

n

∑ zCM =

mizi

i=1

n

∑M

r v CM =

mir v i

i=1

n

∑M

vxCM =

mivxii=1

n

∑M

vyCM=

mivyii=1

n

∑M

vzCM =

mivzi

i=1

n

∑M

r a CM =

mir a i

i=1

n

∑M

axCM =

miaxii=1

n

∑M

ayCM=

miayii=1

n

∑M

azCM =

miazi

i=1

n

∑M


dalla definizione di accelerazione del CM

Il teorema del centro di massa

• Forze interne– Le forze dovute alle altre particelle

che fanno parte del sistema di punti materiali

• Forze esterne– Le forze dovute alle altre particelle

che non fanno parte del sistema di punti materiali

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r CM

r

r 2

r

r 2

M

r a CM = mi

r a i

i=1

n

∑

mir a i =

r R i i =1,2,...,n

r R i =

r R i

(est) +r f ij

j≠i∑ i =1,2,...,n

Mr a CM = mi

r a i

i=1

n

∑ =r R i

(est) +r f ij

j≠i∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

i=1

n

∑ =r R i

(est) +r f ij

j≠i∑

i=1

n

∑i=1

n

∑perchè in una somma è possibile cambiare l'ordine degli addendi1 2 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4



• La risultante delle forze interne è nulla

– Le forze interne sono a coppia

r R i

(est)

i=1

n

∑

r f ij

j≠i∑

i=1

n

∑

r f ij

j≠i∑

i=1

3

∑ =r f 12 +

r f 13

i=11 2 4 3 4 +

r f 21+

r f 23

i=21 2 4 3 4 +

r f 31+

r f 32

i=31 2 4 3 4 =

r f 12 +

r f 21

=01 2 4 3 4 +

r f 13+

r f 31

=01 2 4 3 4 +

r f 23 +

r f 32

=01 2 4 3 4 =0

Risultante delle forze esterne

Risultante delle forze interne

r f ij =−

r f ji

– Ogni coppia ha risultante nulla

– La risultante è la somma di tanti termini tutti nulli

– Il caso di n=3

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r CM

r

r 2

r

r 2



• L’accelerazione del centro di massa è dovuta alle sole forze esterne.

• il centro di massa si muove come un punto materiale, avente una massa pari alla massa totale del sistema, sottoposto all'azione della risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema.

Mr a CM =

r R (est)

• Il moto dell’automobile è determinato dalle forze esterne: la forza peso, la normale esercitata dall’asfalto, la forza di attrito esercitata dall’asfalto, la resistenza passiva offerta dall’aria

• I singoli punti possono avere un moto complicato

• Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne

• Il moto del centro di massa rappresenta il moto di insieme del sistema

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r CM

r

r 2

r

r 2

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