TEORIA DELLA GRAVITAZIONE

“La soluzione del problema della gravitazione non può essere la medesima nella fisica

classica e nella teoria della relatività generale”

L’evoluzione della fisica pag 246

Due idee fondamentali:

1) Non esiste la forza di gravità, ma le masse deformano, incurvandolo, lo spazio-tempo.

2) I corpi che abitualmente pensiamo come soggetti alla forza di gravità devono essere considerati come particelle libere di muoversi nello spazio-tempo,seguendo le sue geodetiche(= traiettoria più breve possibile)

CUORE DELLA TEORIA

LO SPAZIO-TEMPO

La materia dice allo spazio-tempo come curvarsi.Lo spazio-tempo dice alla materia come muoversi..

(JJJohn A. Wheeler.

LO SPAZIO-TEMPO

Si passa da una visione “dinamica” della gravitazione

ad una visione “cinematica”

o meglio ancora “geometrica”.

La geometria da usare non è però quella euclidea:lo spazio-tempo non è euclideo

DESCRIZIONE GEOMETRICA DELLA GRAVITA’

Cosa significa?Pensiamo ad una superficie sferica,

pensando che essa sia tutto ciò che esiste.In questo spazio-tempo:

1) le “rette” sono le circonferenze massime e le geodetiche sono archi di circonferenza

2) Non esistono rette parallele3) La somma degli angoli interni di un triangolo è

maggiore di 180°

SPAZIO-TEMPO NON EUCLIDEO

ESEMPIO DELLA SUPERFICIE SFERICA ( geometria non euclidea ellittica)

Supponiamo che lo spazio-tempo sia come questa superficie

sferica .Consideriamo due punti che si

muovono su due “rette” diverse.

Noi li vediamo avvicinare e potremmo interpretare ciò come l’effetto di una forza

attrattiva tra i due , ma essi stanno solo percorrendo

la propria geodetica

Lo spazio-tempo della relatività generale ha una geometria non euclidea .

Una massa non soggetta a forze che si trova nello spazio-tempo per il 1° principio della

dinamica si muove di moto rettilineo uniforme, ma le “rette” che percorre sono le

geodetiche!

MOTI NELLO SPAZIO-TEMPO

MOTI NELLO SPAZIO-TEMPO

La massa scura, che è libera, non è

“attratta dalla massa arancione” , ma

segue l’andamento dello spazio- tempo intorno alla massa

arancione

CONFERME SPERIMENTALI

• 1- La deflessione della luce per effetto gravitazionale

• 2-La precessione del perielio di mercurio• 3-Il red shift gravitazionale• 4-Il rallentamento gravitazionale degli orologi• 5-Le onde gravitazionali

Ci si aspetta che la traiettoria della luce vicino ad una massa ( in un campo gravitazionale) sia curva per due motivi :

1) In un sistema di riferimento accelerato la luce segue una traiettoria curvilinea; per il principio di equivalenza non c’è differenza tra un sistema accelerato e un campo gravitazionale,quindi anche in un campo gravitazionale la luce deve seguire una traiettoria curvilinea

2) La luce trasporta energia e l’energia è massa.

E’ vero!!!

CONFERME SPERIMENTALI: 1- Deflessione della luce

CONFERME SPERIMENTALI: 1- Deflessione della luce

Un raggio di luce proveniente dalla stella A

viene curvato passando nelle vicinanze del

Sole. La stella viene osservata

nella posizione apparente B data dalla proiezione del raggio di luce che arriva a

Terra. I raggi di luce vengono curvati passando nelle

vicinanze di una grande massa.

CONFERME SPERIMENTALI: 1- Deflessione della luce

La congettura sulla curvatura della luce fu verificata sperimentalmente per la prima volta nel 1919 durante

un’eclissi totale di Sole.IDEA di Einstein:

«Immaginiamo che ci sia una stella lontana, dietro al nostro Sole. Non dovremmo vederla, perché è coperta dal disco solare. Accade spesso, invece, che questi corpi celesti nascosti si possano lo stesso scorgere: la loro luce, infatti, viene deflessa dalla normale traiettoria rettilinea, perché "attratta" da grandi masse, proprio come il Sole».

LA CURVATURA DELLA LUCECONFERME SPERIMENTALI: 1- Deflessione della luce

• Figura A

Le stelle vengono osservate in assenza del Sole. Il raggio di luce che parte da esse giunge direttamente agli occhi dell’osservatore

• Figura B

Le stelle vengono osservate in presenza del Sole.

Il raggio di luce che parte da esse viene deflesso dal campo gravitazionale del Sole e l’osservatore le vede in una posizione differente rispetto a quella della figura A.

E’ necessaria l’eclissi in modo che la luce del Sole non copra la luce da esse emessa

CONFERME SPERIMENTALI: 1- Deflessione della luce

La prima osservazione di deflessione della luce venne effettuata nel 1919 da Arthur Eddington e suoi collaboratori durante un’ eclissi solare totale, in modo da poter vedere la luce emessa dalle stelle vicine al Sole. Le osservazioni vennero effettuate simultaneamente nelle città di Sobral (Brasile) e a São Tomé e Príncipe sulla costa occidentale dell'Africa.

Il risultato fu considerato una notizia straordinaria e finì sulle prime pagine di tutti i giornali più importanti, dando risonanza ad Einstein e alla sua teoria della relatività in tutto il mondo.

CONFERME SPERIMENTALI: 1- Deflessione della luce

2-Precessione del perielio di Mercurio

• L’asse dell’orbita del pianta Mercurio tra un a rivoluzione e l’altra non è fisso, ma si sposta, ruotando (per un arotazione completa ci vogliono circa tre milioni di anni)

2-Precessione del perielio di Mercurio

2-Precessione del perielio di Mercurio

Nella fisica newtoniana ogni pianeta descrive intorno al sole un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei fuochi.

Il punto di massimo avvicinamento, chiamato perielio è fisso.

Ci sono però un certo numero di fattori nel nostro sistema solare che causano lo spostamento del perielio dei pianeti.

Tale spostamento, detto precessione, è dovuto principalmente all'attrazione gravitazionale degli altri pianeti ed in misura minore, allo schiacciamento polare del Sole.

• Il tasso anomalo di precessione del perielio dell'orbita di Mercurio fu riconosciuto nel 1859 come un problema della meccanica celeste da Urbain Le Verrier.

• La sua ri-analisi sulle osservazioni calcolate in base al tempo utile del transito di Mercurio sul disco del Sole dal 1697 al 1848 ha mostrato che il tasso reale della precessione è in disaccordo con quello che viene calcolato tramite la teoria di Newton, di una quantità stimata inizialmente di 38" (arcosecondi) per secolo (successivamente ri-stimata a 43").

• Furono proposte alcune soluzioni ad hoc , ma tutte in definitiva infruttuose .• Verrier ipotizzò la presenza di un altro pianeta ( Vulcano) che ne perturbava le orbite.• Nella relatività generale, questao mutamento dell'orientazione dell'ellisse orbitale dentro il suo piano orbitale,

viene spiegata per mezzo della gravitazione mediata dalla curvatura dello spazio-tempo. • Einstein dimostrò che la relatività generale prevede esattamente una quantità osservata di spostamento di

perielio. Questo è stato un potente fattore che ha motivato l'adozione della relatività generale.• Anche se le misurazioni precedenti delle orbite planetarie sono state effettuate con telescopi convenzionali, la

maggior parte di quelle più accurate vengono adesso realizzate con i radar. La precessione complessiva osservata di Mercurio è di 5600 arcosecondi per secolo per quanto riguarda la posizione dell'equinozio invernale del Sole.

2-Precessione del perielio di Mercurio

Croce di Einstein

Anello di Einstein

Lentegravitazionaledisomogenea

1-Deflessione della luce: lente gravitazionale

Il campo gravitazionale non è costanteIl campo gravitazionale non è costante

Dove la gravità è più forte , il tempo scorre più lento.

Orologi più veloci in montagna, più lenti a livello del mare

E’ stato verificato sperimentalmente!!!

4-Rallentamento gravitazionale degli orologi

“Il problema di formulare le leggi della fisica per qualsiasi SC è stato risolto dalla teoria della relatività generale ; la teoria che l’ha preceduta e che si applica solo ai sistemi inerziali è chiamata teoria della relatività speciale . Naturalmente le due teorie non possono contraddirsi, poiché le vecchie leggi della relatività speciale vanno incluse nelle leggi generali , valevoli per un sitema inerziale”

L’evoluzione della fisica pag 222

RELATIVITA’ GENERALE

In un’ascensore

in caduta libera non si

sente la gravità

RELATIVITA’ GENERALE

Immaginiamo ora un ascensore all'ultimo piano di un grattacielo. Di colpo si spezza il cavo portante e la cabina inizia a cadere

liberamente con accelerazione costante. Contemporaneamente una persona che si trova nel suo interno lascia

cadere un sasso ed una piuma. La forza di gravità attrae allo stesso modo sia i due oggetti che

l'ascensore, per cui la velocità relativa tra sasso e piuma è nulla. In altre parole sia il sasso che la piuma non arrivano a toccare il fondo

dell'ascensore, dal momento che quest'ultimo sta cadendo con la loro stessa accelerazione.

L'uomo all'interno della cabina potrebbe quindi a buon diritto affermare di trovarsi in una zona dello spazio lontana dall'azione gravitazionale di stelle e pianeti, dal momento che i due oggetti lasciati a se stessi rimangono sospesi a mezz'aria.

RELATIVITA’ GENERALE

Relatività GeneraleRelatività GeneraleRelatività GeneraleParadosso dei gemelliParadosso dei gemelli

Tutti i sistemi di riferimento sono validi

Situazione simmetrica?

L’astronave, quando inverte la rotta, sente un’accelerazione avvertita come un’accelerazione di gravità orologio rallenta

Relatività GeneraleAnche il cammino della luce è influenzato dai corpi che distorcono lo spazio-tempo

Prima evidenza sperimentale

1919 Eclisse

Relatività Generale

Croce di Einstein

Anello di Einstein

Lentegravitazionaledisomogenea

Relatività GeneraleLa curvatura dello spazio-tempo cambia a seconda della massa

dell'oggetto

Se un oggetto è abbastanza massivo (almeno 3 volte la massa del Sole) può collassare fino a un punto (singolarità la teoria non è completa?)

Stadio finale della vita di una stella

Relatività GeneraleI buchi neri sono previsti dalla Relatività Generale: regioni in

cui la curvatura è così forte da intrappolare anche la luce

Nulla che vi si avvicini troppo (orizzonte degli eventi – linea invisibile)

ne può fuggire

Osservatori esterni non possono vedere aldilà di questa lineaOsservatori esterni non possono vedere aldilà di questa linea

Immagine artistica

• Campo EM =) trasf. di Lorentz• Campo Gravitazionale =) ?• Ma se non conosciamo le equazioni del campo (per il campo EM sono le eq. di Maxwell) come• possiamo determinare il gruppo di invarianza? Qui si esprime al massimo livello il genio di• Einstein:• L’esempio dell’osservatore in caduta libera =) un cambio di coordinate elimina (localmente) il• campo gravitazionale• L’esempio dell’osservatore che accelera =) un cambio di coordinate genera un campogravitazionale• Einstein osserva allora che (generalizzare astrattamente era una sua caratteristica)• Un cambiamento arbitrario del sistema di coordinate spazio-temporali è indistinguibile da un• cambiamento del campo gravitazionale. Dunque non si dovrebbe assumere l’esistenza di• sistemi di coordinate privilegiati.• Si perviene così all’idea che la fisica del campo di gravità deve essere tale da avere un• gigantesco gruppo di invarianza: tutte le possibili trasformazioni di coordinate, non solo• il limitato gruppo delle TL lineari: e riempiamo dunque il box• Campo Gravitazionale =) trasformazioni arbitrarie• al più soggette solo a restrizioni di tipo matematico (differenziabilità, invertibilità, ecc.).• Nota tecnica: Il gruppo di tutte le trasformazioni di coordinate soggette a queste• restrizioni è detto il gruppo dei diffeomorfismi dello spazio-tempo

• Costruire una teoria le cui equazioni ammettano il gruppo dei diffeomorfismi è un problema difficilissimo che costò ad Einstein almeno 10 anni di lavoro. Ma deve essere possibile eliminare, almeno localmente, il campo di gravità: basta mettersi in caduta libera!

• Perciò Einstein basa la sua teoria sul seguente assioma, detto il Principio di

• equivalenza forte • A. In un piccolo intorno di ogni evento (punto dello spazio-tempo)• è possibile trovare un sistema di coordinate spazio-temporali• rispetto al quale le leggi fisiche sono le stesse che in assenza di• gravitazione, cioè quelle della relatività ristretta.• Queste coordinate si chiamano localmente inerziali (CLI) [..]

• Supponiamo di voler calcolare gli effetti del campo gravitazionale in una regione dell’universo, per

• esempio il sistema solare o una porzione della galassia.• In base all’assioma possiamo dividere la regione in tante piccole regioni, scegliervi le• coordinate in caduta libera e calcolare gli effetti come se non ci fosse gravitazione.• quando si incollano tutte queste piccole regione si ottiene in generale uno spazio-

tempo• Curvo• per esempio, una particella libera si muoverà su uno spezzone di linea retta nelle CLI:• incollando tutti gli spezzoni si otterrà in generale una linea curva, magari chiusa come

l’orbitadi un pianeta!• È in questo modo che Einstein ha potuto calcolare la precessione anomala del

perielio di• Mercurio, un annoso problema astronomico che durava da almeno 50 anni!

• La teoria si chiama Relatività Generale perchè possiede il massimo grado di relatività: tutti i

• sistemi di coordinate sono ammessi. Al punto tale che non è nemmeno più richiesto un

• significato fisico diretto nel senso operazionale, le coordinate rappresentando semplicemente

• convenzioni che si utilizzano per “etichettare” gli eventi• La curvatura, che la geometria insegna a calcolare, è infatti totalmente

indipendente dalla• coordinate scelte, e caratterizza il campo gravitazionale: infatti essa è nulla se e

solo se lo• spazio-tempo è quello della RS• Il PE è di fatto la definizione dell’interazione gravitazionale, che permette di

distinguerla da• altre forze a lungo raggio d’azione

• Il passaggio dalla RS alla RG ci ha insegnato che è possibile liberare la Fisica dalla

• più potente delle convenzioni:• la scelta delle coordinate spazio-temporali