A.A. 2006-07prof. Savrié Mauro [email protected] savrie 1 Meccanica dei Sistemi e Termodinamica...

A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie

1

Meccanica dei Sistemi e Termodinamica

modulo di Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,

Tecnolgie Fisiche Innovative

Anno Accademico 2006-2007

Lezioni ( docente: Savrié Mauro ) Mercoledì : 8:30-10:30 aula F4 Venerdì: 10:30-12:30 aula F4

Esercitazioni ( docente: G.Zavattini) giovedì : 8:30-10:30 aula F4 Le copie delle presenti trasparenze sarannodisponibili in rete all’ indirizzo: www.fe.infn.it/~savrie cercare...ma occhio agli errori! Inizio lezioni: 10 Gennaio 2007Fine lezioni: 17 Marzo 2007Esami: - prova scritta: esito positivo: p >18/30 sconsigliato: 15/30<p<18/30 non ammesso: p<15/30

- prova orale : esito positivo: p>18/30


2

(Le forze centrali e ) la gravità(Le forze centrali e ) la gravità

1. Forze centrali

•Sono forze molto importanti in fisica•Sono sempre dirette verso un centro di forza•Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza•Sono conservative•Il momento angolare si conserva

ox

y

P

r

'r P’

F

'F rFF ˆ

Repulsiva!!

0 rr

FrFr

ostante)(Cl

prima del ‘600 nella gravitazione (Universo) non c’era niente da spiegare.

• corpi “terreni”• corpi celesti

0dt

ld


3

Newton nel 1665 ( nel 1665 ( aveva 23 anniaveva 23 anni ) ipotizza che la caduta dei ) ipotizza che la caduta dei

gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle stesse leggi.stesse leggi.

non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di Tycho Brahe ed i calcoli del MATEMATICO Keplero che aveva enunciato 3 leggi ( fenomenologiche).

1.1. i pianeti si muovono su orbite ellittiche di i pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochicui il Sole occupa uno dei fuochi

2.2. I pianeti si muovono con velocità areolare I pianeti si muovono con velocità areolare costantecostante

3.3. i quadrati dei periodi di rivoluzione sono i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie proporzionali ai cubi delle distanze medie dal Sole ( semi-asse maggiore )dal Sole ( semi-asse maggiore )

Dimostrazione della II legge:

S

pv

r

tv

se consideriamo un intervallodi tempo infinitesimo dt:

dtvmrm

dtvrdA

2

1

2

1

dtvmrm

dA

2

1

dt Lm

dA2

1 costante

m

L

dt

dA

2

2mrmrvLvmrvvmrvmrL r


4

pianeta Massa

(Kg)

<Dist> dal Sole (m)

Dist. al perielio (Km)

Distanza all’afelio (Km)

Periodo

(s)

anni

T2/r3

(s2/m3)

Mercurio 3.181023 5.79 1010 45.9 106 69.8 106 7.60 106

0.241

2.97 10-19

Venere 4.88 1024 1.08 1011 107 106 109 106 1.94 107

0.615

2.99 10-19

Terra 5.98 1024 1.50 1011 147 106 152 106 3.16 107

1.0

2.97 10-19

Marte 6.42 1023 2.28 1011 207 106 249 106 5.94 107

1.88

2.98 10-19

Giove 1.90 1027 7.78 1011 740 106 816 106 3.74 108

11.9

2.97 10-19

Saturno 5.68 1026 1.43 1012 1350 106 1510 106 9.35 108

29.5

2.979 10-19

Urano 8.68 1025 2.87 1012 2730 106 3010 106 2.64 109

84.0

2.95 10-19

Nettuno 1.03 1026 4.50 1012 4460 106 4540 106 5.22 109

165

2.99 10-19

Plutone 1.4 1022 5.91 1012 4410 106 7360 106 7.82 109

248

2.96 10-19

I PianetiI Pianeti

LUNA:

1. dist. dalla Terrra 0.384 106 Km2. diametro: 3476 Km3. volume 22 109 Km3 1/49 VTerra

4. massa: 1/80 MTerra

5. densità: 0.61 ρTerra3.34ρacqua

6. gravità: 1/6 g

Sole 1. diametro: 1.4 106 Km2. densità 0.25ρTerra

3. gravità: 28g4. massa 1030 Kg


5

Le principali lune di Giove (satelliti naturali del pianeta)Le principali lune di Giove (satelliti naturali del pianeta)

luna Massa

(Kg)

<dist.> da Giove

(Km)

Dist. al periastro di Giove

Distanza all’ apoastro di Giove

Periodo (giorni)

Io 8.9 1022 422 103 422 103 422 103 1.77

Europa 4.8 1022 671 103 671 103 671 103 3.55

Ganimede 1.5 1023 1070 103 1068 103 1071 103 7.16

Callisto 1.1 1023 1883 103 1870 103 1896 103 16.69

satelliti M (Kg)

<dist.> T(Km)

Dist. al periastro. (*103 Km)

Dist. apoa. (*103 Km)

Periodo (minuti)

Sputnik I 83 6.97 103

6.60 7.33 96.2

Sputnik II 3000 7.33 103

6.61 8.05 104

Explorer I 14 7.83 103

6.74 8.91 115

Vanguard I 1.5 8.68 103

7.02 10.3 134

ExplorerIII 14 7.91 103

6.65 9.17 116

Sputnik III 1320 7.42 103

6.59 8.25 106

I satelliti artificiali (della Terra)I satelliti artificiali (della Terra)


6

Conseguenze importanti della Conseguenze importanti della 22a a e 3 e 3aa legge legge

cost.Ka

TIII ; cost.Kr

dt

dAII 23

2

12

2

1

Nell’approssimazioneapprossimazione delle orbite circolariorbite circolari

2

T

La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale:

3

2

2

22

4

4

rK

rMF

T

rMrMFF

T

TTS

TTcTS

,

,

2r

MF S

S,T

....è una forza inversamente proporzionale al quadrato del raggio. Per azione e reazione questa forza è uguale a quella esercitata dalla Terra sul Sole ed è proporzionale alla massa della Terra, per simmetria...........

rrT

MF

rrMaMF

P

PP

ˆ

ˆ2

2

2

pianeta del massaM P

Con la stessa approssimazione ( ma si potrebbe dimostrare che vale sempre):

dalla III legge


7

Per il principio di azione e reazioneazione e reazione :

Che valgono contemporaneamente se: FM M

rT

2

Cosa fece realmente Newton?

• confrontò le accelerazioni della luna e di un grave ( vedremo come )• considerò le masse puntiformi ( non era evidente nel caso generale!)

Ed ipotizzò…………….

3

2

2

2

,

44

rK

rM

T

rMF

S

TTST

TSSTTSST KMKMFF ,,

Definendo la nuova costante:

TSST kMkM

22 44

Per simmetria quindi:

2r

MMF Tmodulo della forza


8

12212

2112 r̂

r

MMGF

N.B.N.B.

2r

MmGF

Infatti se nella legge ricavata prima indichiamocon G una costante di proporzionalità:

GG= costante di gravitazione universale

Dimensioni: L M T3 1 2

Valore: 6 67 10 112

2

3 1 2. Nm

Kgm Kg s

F12 ......... la forza è attrattiva

La legge di gravitazioneLa legge di gravitazioneuniversaleuniversale

G

E prima abbiamo visto che:

È una costante che non dipende nè da M né da r


9

Dimostrazione della III legge

Usiamo il sistema Terra-Luna nell’ aprossimazione dell’ orbita circolare ( ma è sempre vera!!!):

M

m

r R

c

ω

ω

C centro di massa

R

r

m

M

00)(cm

e aF

rm

rR

MmG 2

2

2

3232 4

T

rrGM 32 4

rGM

T

cost.GMr

T

43

2

rivisto finqui 07 febbraio 2007


10

Come fece Newton per verificare la validità della legge di Come fece Newton per verificare la validità della legge di Gravitazione Universale? (forse....)Gravitazione Universale? (forse....)

consideriamo il sistema Terra-Luna ed assumiamo che si possa fare l’ approssimazione di masse puntiformi (scopriremo che è vero!!!)Confrontiamo le accelerazioni della Luna e di un grave sulla superficie della Terra.

nell’ ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento inerziale:

22;

L

T

LL

T

T

r

MG

m

Fa

r

MG

m

Fg

22

22

2

22

2

22

2

2

4

4

4T

ra

rr

Tgr

T

ra

ra

gr

rr

va

r

r

a

g

LL

TL

2L

LL

TL

2L

LL

LL

T

L

L

mrrTg

r LT3

L822

210843

4 .

Tr lo aveva misurato Eratostene

22T

T

L

LTLT r

mMGF

r

mMGF ;,

mr mr TL68 1038610843 .;.

si conoscevano (rL era inizialmente errato):

in accordo con i dati!!!


11

32

2

1062.3 T

L

L r

r

a

g

232

22

1072.24 msT

r

r

va

L

L

L

LL

se g=9.81 ms-1: misurato!!!

31061.3 La

g coincide entro l’ 1% con coincide entro l’ 1% con il rapporto inverso del il rapporto inverso del quadrato delle distanzequadrato delle distanze

inoltre: 2

211

1

221067.6

Kg

Nm

r

MgG

r

MGg

T

T

T

T

Calcolare la variazione di g con la quotaCalcolare la variazione di g con la quota

2hr

MG

m

Fhrrghrrrr

T

TgravT

.)(

TTTT

TTT r

hg

r

hrGM

r

hrGM)r(g 21211 2

2

2

!!!!02

Tr

h

g

g!!!!02

Tr

h

g

g

400

115

60156000

Tr

hKmhr

KmKm

200

1975809 22 gmsms.:g

l’ accelerazione della Luna la possiamo calcolare in base al suo T edalla sua distanza

se è vero che l’ accelerazione del grave e della Luna seguono la stessa legge:

Cavendish


12

Misura di Gcon la Misura di Gcon la Bilancia di CavendishBilancia di Cavendish


13

Massa inerziale e massa gravitazionaleMassa inerziale e massa gravitazionale

MASSAda esperimentidi dinamica

da esperimentigravitazionali

ma sono uguali le quantità che si misurano?

siano dati tre corpi:

# Min Mgr distanza

A MA,in MA,gr dAC=r

C MC,in MC,gr dCB=r

B MB,in M,gr

2

,,

2

,, ;r

MMGF

r

MMGF grCgrB

CBgrCgrA

CA

grB

grA

B

A

BCB

ACA

M

M

P

PPFPF

,

,

ma in un esperimento inerziale:

B

A

B

A

in,BB

in,AA

M

M

P

P

gMP

gMP

in,B

gr,B

in,A

gr,A

in,B

in,A

gr,B

gr,A

M

M

M

M

M

M

M

M


14

Bisogna fare un esperimento!Bisogna fare un esperimento!

Newton.

.2gr

in

gm

lmT

solo se: min.=mgr. g

lT 2

1. Eötvos (1909): min.=mgr. con 1/108

2. Dicke (1964) : min.=mgr. con 1/1010

Baricentro e centro di Massa?Baricentro e centro di Massa?

Bessel:misure accurate con pendoli:

4106

11

m

m

.gr

.in


15

Campo GravitazionaleCampo Gravitazionale

n

ii

i

itot r

r

mmGF

103

0

0

g

r̂r

Gdmg

rr

mG

m

Fg

n

ii

i

itot

2

103

00

m3

mi

m1

m2

m0

0ir

0if

campo: funzione vettoriale della posizione ( e del tempo?)campo: è un “intermediario”

1. regione di spazio sede di forze gravitazionali2. è una grandezza vettoriale

3. il campo di una massa non è perturbato dalle altre masse4. caratterizzato da un vettore tipico:

massa di unità

Forza


16

•il segno meno indica che per x>0 il campo è verso sx •come va il campo per x>>a?

23

22

21

2

22

ax

xGmg

r

x

r

mGcosgg

x

x


17

verifichiamo che è conservativo:

rr

MmGF ˆ

2

23222

23222

23222

)(

)(

)(

zyxGMmzf

zyxGMmyf

zyxGMmxf

z

y

x

Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che:

0;0; ˆˆ2ˆ ffr

Mmgfr

B

AAB sdFW

B

AAB sdrGMmrW

ˆ2

B

AAB drrGMmW 2

rr

MmGF ˆ

2

Ox

y

z A

Br

'r

sd

dr


18

ABAB rr

GMmW11

funzione solo del puntofunzione solo del punto

dalla definizione di potenziale: C.r

MmGrV

per una distribuzione continua di massa:

dmr

GmrV )(

N.B.

1. la forza di Newton è corretta solo se M ha una distribuzione di massa sferica o se è puntiforme altrimenti vale per gli elementi dm

2. per i sistemi legati gravitazionalmente

02

1 2 r

MmGmvE

r

MmG-rU • <0 per r finito

• =0 per R=∞•Fg è attrattiva•W>0 se m viene da ∞• U(r) vale per qualunque cammino

dr

dUrF

dalla definizione di energia potenziale:

Cr

MmGrEp


19

r

MmG

r

MmG

r

MmGmvE

2

1

2

1 2

consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell’ origine di un sistema di riferimento inerziale e l’ orbita di m sia circolare.

r

MmGrU 222

2

1

2

1rmmvK

nel approssimaione di orbita circolare:

22

2 r

MmGrm

rR

MmG

32rGM

22rr

GM r

GMmK

2

1

02

1

r

MmGE

per tutti i sistemiper tutti i sistemilegatilegati

02

1

a

MmGE

per orbite ellitticheper orbite ellittichea= semi asse magg.a= semi asse magg.


20

)(nergiaE

r

K

UE

00 E

0r

UKE

si può dimostrare che per un’orbitaqualunque :

22

23

12

eJ

G

mM

MmE

ll' orbitangolare demomento aJ :cost. orbitatà dell' eccentricie

orbita ellisse cerchio parabola iperbole

Eccent. 0<e<1 e=0 e=1 e>1

En.totale <0 <0 =0 >0

00 E

00 E


21

Riordiniamo le idee sulRiordiniamo le idee sulpotenziale gravitazionalepotenziale gravitazionale

Per come avevamo definito il potenziale:

Che per l’ energia potenziale del P.M. in b:

U U U Lb a ab

U L Ub ab a In cui L’energia potenziale di aa può esserescelta arbitrariamentearbitrariamente.Per una particella rispetto al campo terrestrela poniamo uguale a zero sulla superficie terrestre:

U L mg y mgyab 0

Nei casi generali:

Ua 0

U r L r 0


22

Per una particella di massa mm che si muoveverso la Terra in direzione radiale la forza cheagisce sulla particella (forza del campo):

F r GM m

r

U r L F r dr

U r GM m

rdr

U r GM m

rG

M m

r

T

r

r

Tr

T

r

T

2

2

Quindi l’ energia e’ una proprietà del sistemasistemadi massedi masse e non di una delle masse del sistema.Per la forza:

FdU

dr

d

drG

M m

r

F GM m

r

T

T

2


23

EsempioEsempioVelocità di fuga

Il lavoro necessario per portare la massa all’ infinito partendo dalla superficie terrestre, è dato da:

U r GM m

rT

T

Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziale?

L GM m

rJ Kgr

T

T

6 107 1

1310 10402112 KmhKms

r

MGv

T

T .

L’energia potenziale di un corpo di massa m sulla superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di segno, che le forze del campo compiono per trasportare il corpo di massa m dall’ infinito (ove Fg=0; Ug=0) fin sulla superficie terrestre:

T

T

r

mMGmv 2

02

1


24

2) Periodo massimo di un pendolo

mx

0x

Tr

xR

mMG

R

xFcosFF

mgR

mMGF

T

T

Tx

T

T

2

2

KxFx

g

R

RGM

RT

RmM

G

m

K

mT

T

T

T

T

T

T

22

22

2

3

s.T 60384

EsempioEsempio

g

lT 2 ???


25

Sistemi di particelleSistemi di particelle

Se due particelle sono a distanza r la loroenergia potenziale è:

U r L r

Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per portare le particelle da distanza infinita a distanza r

L r

L rEnergia potenziale di un sistema=lavoro che forze esterne devono compiere per costituire il sistema a partire da una configurazione di riferimento

Nel campo terrestre noi ( forza esterna) dovremmo compiere il lavoro :

• per separare il P.M dalla Terra :

• per portarlo dall’ infinito a r:

U y mg y mgy

U y L mgyr


26

E per un sistema diE per un sistema dipiù masse...più masse...

m1

m2

m3

o x

y

E l’energia potenziale del sistema:

23

3223

13

3113

12

2112

r

mmG:r

r

mmG:r

r

mmG:r

23

32

13

31

12

21

r

mmG

r

mmG

r

mmGU

Mentre per separare i corpi:

L U


27

E l’energia potenziale del sistema è la somma:

223

3223

213

311332

12

21122

r

mmGr

r

mmGrm

r

mmGrm

:

::::

U Gm m

rG

m m

rG

m m

r

1 2

12

2

1 3

13

2

2 3

23

2

Mentre per separare i corpi: L U

E per un sistema di più masse...E per un sistema di più masse...

3m 1m

2m

13r

12r23r

y

xo

223

322

13

312

12

21

r

mmG

r

mmG

r

mmGL


28

EsempioEsempio

Energia potenziale (di legame)del sistema Terra-Sole:

Avendo considerato:

M M

M Kg

r m

s T

T

TS

30 10

6 0 10

15 10

5

24

11

.

.

.

U GM M

rJTS

S T

TS

5 0 1033.


29

Dimostrazione della I legge diDimostrazione della I legge diKepleroKeplero

o x

y α

r̂

d

rd

rd

il moto avviene nel piano:

dt

drvsenv

dt

drvvr

cos

dalla conservazione dell’ energia: costante

2

1 2 r

MmGmvE

r

MmGE

dt

dr

dt

drm

22

2

1

ma il momento angolare si conserva: costanteL

dt

drrmrmvsenL

2mr

L

dt

d

r

MG

m

E

rm

L

dt

dr2

222

22

v


30

2

1

22

2

22

r

MG

m

E

rm

L

dt

dr

ma dato che ci interessa solo la relazione tra r e l’ anomalia φ

2mr

L

dt

d

2

1

22

22

22

1

rM

GmE

rmL

mr

L

dr

d

2

12

221

r

b

r

ab

r

drd

E

MmGa

Em

Lb

2

2

22

si può integrare ( non tanto facilmente!!!!)

22

2

0 cosbar

arba

222 cos bbaar

equazione di un’ ellisse di assi a ( maggiore)equazione di un’ ellisse di assi a ( maggiore)e b ( minore)e b ( minore)

I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellitticheI pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche

φ0=cost. di integ.0


31

1f 2fa

b

BA

)y,x(P

equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine

a

ba

àellitticittàeccentricie

a

ffe

221

1

10

e

2acost.PfPf 21

o

aeof 1

2a2

1222

122 yaexyaex


32

2acost.PfPf 21 aPfPf '' 21

a

ba

a

ce

2 2

1f 2fa

b

BA

M)y,x(P

c2

o

'P


aeff 221

a

ba

àellitticittàeccentricie

a

ffe

221

aoM

asenoMy

aoMx

cos

coscos

222 1 eab

cerchio ausiliario o eccentrico


33

sinbycosax

222

222

sinbycosax

22222

22222

sinbayacosabxb 222222 bayaxb

12

2

2

2

b

y

a

x


1f 2fa

b

BA

M)y,x(P

c2

'P

sinbycosax

eq. cartesiana dell’ ellisse eq. parametrica dell’ ellisse


34

1f 2fa

b

BA

M)y,x(P

c2

'P


eccentricaanomalia

veraanomalia

vettoreraggiorMf 2

dal teorema di Pitagora:

22222 cos easenbr

xf

yf

22

2

22

yx ffffr

222 senbff x 22

2 2cos aff y

22222 1 cos1 eabsen

cos1 ear


35

1f Of 2a

b

Q

c2

r

d

r

a

ba

a

cε

22

)y,x(P

S

D

d

cosrDd

cosrD

r

DDr

cos11

x

y

cos1

Dr

fattore di scala

222 cos bbaar cos22

2

baa

br

cos122

2

aba

a

br

cos1

2

a

br

a

br

2

cos1

A'A

L’ equazione della nostra orbita era:L’ equazione della nostra orbita era:


36

d

r

a

b

22a

a

c

1f Of 2a

b

Q

c2

r

)y,x(P

S

D

d

x

y

A'A

quando il punto P coincide con A:

OAD

OA

AV

OA

d

r

OAOAD

1

DOA

quando il punto P coincide con A’:

'

'

OAD

OA

d

r

'' OADOA

1

'D

OA

21

2'2

D

OAOAa

2

222 11

a

baaaD

a

bD

2


37

Domanda da 10 punti!!!!Domanda da 10 punti!!!!

Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il ““raggio” dell’ orbita?raggio” dell’ orbita?

φ

P

r

x

y

descriviamo il moto in sistema di riferimento non inerziale con origine nel Sole ed un asse diretto da S verso P. Il sistema ruota con velocità angolare ω:

r

rrmF

rr

MmGF

c

g

ˆ

ˆ2

2

La componente radialedel risultante delle forze:

rdt

dm

r

MmGFFF CGR

2

2

L

costante in generale ( orbite ellittiche ) ma il mom. angolare:

costante

3

2

22 mr

L

r

MmGF

mr

L

dt

dR

è conservativa

centrifuga app. forzaF

grav. forzaF

c

g


38

drFrU reff .

2

2

2mr

L

r

MmGrU eff .

0. rU eff

r per eGMm

Lr per

rU .eff

2

2

2

0

rrrper

rU eff

2 minima

0

.

U(r)

r

Ueff.(r)

-GMm/r

U(r)

r

r0

2

322

0 2L

mMGU

02

0 UrrK:tipo del è

esiste quindi un forza di richiamo:forza di richiamo:

0. 2 rrK

r

UF eff

r

r*

nell’ intorno di r0 l’ energia potenziale è ben approssimanta da una funzione del tipo

02

0 UrrKrU


39

Rappresentazione grafica Rappresentazione grafica

dei campi di forzadei campi di forzalinee di forzalinee di forza

1. Il vettore del campo ha la direzione della tangente alla linea di forza in ogni punto

2. iniziano e finiscono sulle “sorgenti” del campo

3. la loro densità è proporzionale all’ intensità del campo

4. la loro distribuzione nello spazio in genere rispecchia le “simmetrie” delle sorgenti


40

Linee di forza che indicano il campo gravitazionale vicino ad una massa puntiporme. La direzione delle L.d.F. indica la direzione del campo in ogni punto; la densità delle linee è proporzionale all’ intensità del campo


41

Esempio 41Esempio 41

o

RT

r

x

y

MT

F mg mG

M

Rrr

F mGM

Rrsin

T

T

xT

T

3

3

sinx

r

F GM mr

R

x

rG

M m

Rxx

T

T

T

T

3 3

aF

mG

M

Rx xx

x T

T

3

2

Dove:

2 322 5 10 g

RT

R

gs

T

T


42

Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso di uno strato sferico

cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa?

e se la distribuzione è piena?


43

34

3

R

M

V

Mtetancos

Per un punto che dista r dal centro:

rR

MG

r

'MGg

R

rMr 'M

r 32

3

33

3

4


44

QuesitoQuesito

Ad una distanza r dal centro:

'V'M 2r

m'MGF

rm

GF

3

4

Cosa ci ricorda?Cosa ci ricorda?

mG

m

m

KT

4

322

'.G

T 2843


45

Distribuzione di massa a simmetria sferica..........come puntiforme.

Consideriamo per ora uno “strato sferico”

Consideriamo una fetta dell strato ( anello):

tspessoredr.hargl

rsen.lungh

2 dsenr t dV 22

dsenr t dVM 22

La forza esrecitata dall’ anello sulla massa m di “prova” in P:

cosx

dsenrm tG cos

x

mdMGdF

22

22


46

cosx

dsenrm tG cos

x

mdMGdF

22

22

cosRrrRx;x

cosrRcos 2222

dRrsenxdx;R

xrRcosr 22

2

222

dxx

rR

R

mrGtdF

1

2

22

2

22

244

R

MmG

R

mtrGrKdFF

rR

rR

dxRr

xdsen

K rdxx

rRrR

rR

412

22

ma dato che:

come se tutta la massa fosse concentrata in un punto


47

Vale assumendo:1. Simmetria sferica2. E se ρ=ρ(r)?3. Vale per la FG che agisce su m ma

viceversa

Possiamo dimostrare che F=0 dentro lo strato?

Siamo sempre ricondotti ad un integrale del tipo:

dx x rRIB

A 1222

RrB ;RrA Ma ora:

0F ;I

0

A.A. 2006-07prof. Savrié Mauro [email protected] savrie 1 Meccanica dei Sistemi e Termodinamica...

Documents

Transcript of A.A. 2006-07prof. Savrié Mauro [email protected] savrie 1 Meccanica dei Sistemi e Termodinamica...