Meccanica dei Sistemi e Termodinamicasavrie/lectures_0708/onde_oscil...Corsi di Laurea in: Fisica e...

A. A. 2007-8 Prof. Savrié Mauro www.fe.infn.it/~savrie

1

Meccanica dei Sistemi e Termodinamicamodulo di: Onde e Oscillazioni

Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,Tecnologie Fisiche Innovative

Lezioni ( docente: Savrié Mauro )lunedì : 11:00-13:00 aula martedì : 11:00-13:00 aula

-prova scritta: esito positivo:p ≥27 no orale??(valida 1 A.A.) sconsigliato: 15/30≤p


2

Testi consigliati:1) Mazzoldi,Nigro,Voci:

FISICA (1° vol. ) ed. EdiSES Napoli2) W.E.Gettys,F.J.Keller,M.J.Skove

FISICA 1 ed. Mc Grow-Hill3) H.C. Ohanian:

FISICA ( 1° e 2° vol. ) ed. Zanichelli Bologna4) Borgia,Grilli

FISICA Meccanica Termodinamica ed. C.I.S.U. Roma


3

Oscillazioni• sono moti periodici: corde, bilanceri, atomi, pendoli…….• in natura: moti oscillatori smorzati

•Lo smorzamneto si può compensare fornendo energia al sistema: oscillazioni forzate

• sono di natura NON SOLO meccanica• hanno un periodo:

• ……e una frequenza:( ) [ ]T;econdis:T

[ ]11 o −− T;sHertz:ν

Esempio: punto materiale oscillante tra due estremi (PENDOLO).

direzionein che moduloin sia genere,in variabili,:;;; Favrvvvv

Le forze associate ai moti periodici sono le più generali•costanti: le abbiamo studiate per prime•funzioni del tempo : costanti in modulo: forze centripete

costanti in direzione: forze impulsive (urti frontali)


4

UgradUF ∇−=−=vv

É una tipica forza di richiamoIn “O” l’ equilirio è stabile

In termini di Energia.....

punto di equilibrio dove la risultante

delle forze agenti sul punto è nulla

xmx 1x2x ar

amF rr=

x1x

2x

( )xF

oFr

Fr mm

o

x1x2x

( )xU

o FrF

r mx dx

dU=

=

tanpendenza ϑ

ϑ


5

.tcosUKE =+=

La particella non puòmuoversi al di fuori di X1,X2per una data energia E. Oltre questi limiti U>E e l’energia cinetica sarebbenegativa!!!!!

se non agiscono forze dissipative!!!!E= energia meccanica totale!!


6

Consideriamo un sistema ad un grado di libertà costituito da un punto materiale• angolo• distanza• ascissa curvilinea…..

La sua energia potenziale sarà funzione di una sola variabile:

Assumiamo che il sistema abbia una posizione di equilibrio stabile che prenderemo come riferimento : ( ) 00 =pU

Proviamo a fare lo sviluppo in serie di Taylor del potenziale nell’ intorno di X=0 e per piccole oscillazioni :

( ) ( ) ( ) ( ) ....02100 2''' +++= xUxUUxU pppp

Ma in X=0 c’è un minimominimo: ( ) ( ) 00;00 ''' >== KUU pp

( ) 221 KxxU p +=

( )xUU pp =


7

Il caso particolare dell’ Oscillatore ArmonicoOscillatore Armonico

x− x+kxF −=

kxF −=

0=F

oscillazione armonica:• posizione di equilibrio stabile “o”• estremi fissi simmetrici rispetto “o”• |x1|= ampiezza del moto

• ( ) 221 KxxU =

xm

1x+1x−o

vr


8

( ) 221 KxxU += ( ) Kx

xxUFx −=∂

∂−=

• componente della forza lungo la direzione x• è una forza “centrale”• è proporzionale alla deformazione• è detta anche “forza di richiamo”• forza “quasi elastica”

00 ll Δ+

x

o0lKΔ

mg

0lkmgP Δ==

m

m

Se spostiamo la massa m dalla posizione di equilibrio della quantità x, la proiezione sull’assedel risultante delle forze agenti su m vale:

( )xlkmgR +Δ−= 0

kxR −=

0==+ amFP vvv

0l

x

ma:

0lkmg Δ=

In condizioni di equilibrio:

y

• l0=lunghezza molla soggetta al suo solo peso• l0+Δl0=lunghezza molla con la massa m appesa• x=spostamento dall’ equilibrio (allungamento)

( ) ( ) 0ˆˆˆˆ 0 =⋅Δ−+⋅=⋅+ iilkigmiFP rvv


9

Imponiamo al sistema uno spostamento “x=a” dalla posizione di equilibrio e poi lasciamolo libero………..

m x

o

ax =

xdtdxv &==

vv0

20

40

60

80

100

120

140

160

-15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00

a− a

{}

KE

pE

Sotto l’ azione della forza “quasi elastica” il sistemasi muove verso la posizione di equilibrio con:

Diminuisce la sua energiaenergia potenzialepotenziale

aumenta la sua energiaenergia cineticacinetica 2

21 xmEk &=


10

applichiamo la II legge della dinamica: amF vv=

Che in una dimensione scriviamo: xmKx &&=−

0=+ xmkx&&

Equazione del moto dell’ oscillatore armonico

Come si risolve?

xmkx −=&& È una funzione la cui derivata seconda è la funzione stessa cambiata di

segno ( a meno di una costante!!!!!.......come sen(x) e cos(x)

Ipotesi plausibile: ( )δω += tcosAx( )

tsinbtcosasintsincostcostcos

ωωδωδωδω

+=−=+

Tutte le combinazioni lineari di seno e coseno!!!!

...e se è vero...


11

( )δω += tcosAx •È la soluzione più generale (famigliafamiglia di di motimoti possibilipossibili)•Dipende da 3 costanti arbitrarie: come si determinano?( )δωω +−= tsinAx&( )δωω +−= tcosAx 2&&

Se sostituiamo nell’ equazione del moto:

( ) ( )δωδωω +−=+− tcosAmktcosA2 mk=2ω

Ma cos’è ω? ha le dimensioni T-1 !se incrementiamo il tempo della quantità: ω

π2

( )[ ] ( ) ( )δωδπωδωπω +=++=++= tcosAtcosAtcosAx 22

Periodo:kmT π

ωπ 22 == frequenza: ( )

mk12

2−== π

πων

Tππνω 22 == Rimangono arbitrarie: A,δ verietà di moti

determinata SOLOSOLO dalle caratteristiche del sistema

k,m


12

( )δω += tcosAx

• :ampiezza max del moto

• :fase del moto

• :costante di fase iniziale

δω +t

δ

A

Relazioni caratteristiche:

( )( )( )( ) xtAxatA

tAsenxvtAx

22 cos2cos

cos

ωδωω

πδωω

δωωδω

−=+−==

++−=

+−==+=

&&

&

δ,A : sono determinate dalle condizioni iniziali del moto


13

a) uguale ampiezza e frequenza. Differenza di fase di 45°b) stessa fase stessa frequenza:A1 /A3=2 c) ampiezza e fase uguali. f4 /f1=2

moto armonico. Confronto tra:• elongazione• velocità• accelerazione


14

Alcune considerazioni energeticheL’ energia del punto materiale, se non agiscono forze dissipative, si conserva :

UKE +=

( )δω +== tcosKAKxU 22221

21

( ) ( )δωδωω +=+== tsenKAtsenAmxmK 22222221

21

21

&

2

21 KAUmax =

22

21 AmKmax ω==

2

21 KAKmax =

E...in funzione di t E...in funzione di x


15

( ) ( )[ ] .tcosKAtcostsenKAUKE ==+++=+= 222221

21 δωδω

N.B.LL’’ energiaenergia totaletotale di di unauna particellaparticella cheche sisi muovemuove di di motomoto armonicoarmonico èè proporzionaleproporzionale al al quadratoquadrato delldell’’

ampiezzaampiezza del del motomoto

222

21

21

21 kAkxxmUKE =+=+= &

( )22 xAmkx −±=&

La velocità è:• massima in x=0• nulla alla massima elongazione


16

Esempio 1Una molla orizzontale si allunga di 3 cm sotto l’ effetto di una forza di 9N. Se ad essa si attacca una massa M=1Kg e si allontana la massa di x=4cm dalla posizione di riposo su un tavolo privo di attrito e la si abbandona poi liberamente, determinare:

skmT 36.0

3.172

10322

2==

⋅==

πππ

1210303.09 −⋅=== NmxFK

( ) N.kxF 120403 −=⋅−=−=

1max 69.0

2 −=== msAT

Ax πω&

cmx 4max =

a) la costante elastica della mollab) la massima forza che la molla esercita su Mc) il periodo di oscillazioned) l’ ampiezza del motoe) la velocità massima della massa M

f) l’accelerazione massimag) velocità, accelerazione,K,U, in A/2h) energia totale del sistema oscillantei) equazione del moto del corpo

22

2max 121

10304.0 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=== ms

mkAAa ω

( )( ) 14

22

6.0104163.17

2−− −=⋅−−

=−−=

ms

xATv π

( ) ( ) J...AEAKE 24006018022 =+=+=J..KxU

J...mvK

0601041035021

18060150 21

422

22

=⋅⋅⋅⋅==

=⋅⋅==

−

26 −−=−= msxmKa

JKvKKAUE 24.021

21 2

max2

max =====

( )δω += tAx cos( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒⋅=⋅=

==

⋅=

−−=

−

−

0104cos1043.172

104

220

1

2

δδ

πω

mxsT

A

t

( ) ( )tx 3.17cos104 2−⋅=


17

Il pendolo semplice (matematico)

Tv

m

ϑlx =τϑ vmgsen

rcosmg vϑgmv

ϑ

l

Se lSe l’’ oscillazioneoscillazione non non èè piccolapiccola

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ........sensen

glT mm

243

21

22112 42

2

22

2

ϑϑπmϑ =spostamento angolare massimo

ϑϑ ≠sen

ϑmgsenF −=⇒≅ ϑϑsen xkx

lmgmgF −=−=−= ϑ

gl

lgmm

kmT πππ 222 ===

confrontare le dimensioni

per: %..errm 5015 ϑ0>ϑ


18

Il pendolo semplice 2

Tv

m

ϑlx =τϑ vmgsen

rcosmg vϑgmv

ϑ

l

ατ I= 2mlI =ϑτ mglsen−=

ϑϑ mglsendtdml −=2

22

Per angoli piccoli: ϑϑ ≅sen

0=+ ϑϑlg&& ( )ϕωϑϑ += tcos0

lg=ω

glT π

ωπ 22 ==

Non dipendeda M

0>ϑ0


19

Il pendolo semplice: l’energia

Tv

m

ϑlx =τϑ vmgsen

rcosmg vϑgmv

ϑ

l

22

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dtdIIK ϑω

( )[ ] ( )ϕωϑϕωωϑ +=+−= tmgltmlK 220202 sin21sin

21

( )ϑcosmglmghU −== 1

Se θ è piccolo: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−≅ .....

211cos 2ϑϑ

( )ϕωϑϑ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−== tmglmglmghU 220

2 cos21

2111

202

1 ϑmglUKE =+=

lg=ω


20

2.Pendolo di torsione

χϑτ −=Esiste un momento di richiamo

χϑϑατ −=== 22

dtdII ϑχϑ

Idtd

−=22

Per analogia formale con il pendolo semplice:

( )δωϑϑ += tcosm χπIT 2=

Si può:•Misurare T e se è noto si ricava I•Se è noto I si può misurare il coefficiente di torsione

χ

costante di torsione

Pmϑ

mϑ2

R Q


21

Esempio 2Una sbarra sottile di massa M=0.1Kg e lunghezza l=0.1m è sospesa ad un filo che passa per il suo centro ed è ortogonale alla sbarra stessa. La sbarra è fatta oscillare ed il periodo risulta T=2.0s.Se la sbarra viene sostituita con una lamina a forma di triangolo equilatero appesa anch’essa per il centro di massa, il periodo risulta essere T’=6.0s.Trovare il momento d’ inerzia della lamina rispetto all’ asse di rotazione.

252

103.812

01.01.02

mKglMIsbarra ⋅⋅=⋅

== −χ

π IT 2=

χπ sbarrasbarra

IT 2=

χπ laminalamina 2

IT =lamina

sbarra

lamina

sbarra

II

TT

=

242

52

ssbarralamina 105.72

6103.8 mkgTTII l ⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

Finqui 14 aprile 2008


22

3. Pendolo fisico

C

ϑ

ϑ d

P

gmv

ϑτ sendgM −= Non è soddisfatta la condizione del motoarmonico

Ma per Ma per piccolipiccoli angoliangoli…….. χϑϑτ −=−= dgM

Ma: ϑατ &&PP II == ϑχϑ

PI−=&&

MgdIIT PP π

χπ 22 ==

N.B.il moto è oscillatorio ma per grandi oscillazioni non èPERIODICO

Se la massa è puntiforme: ld;mM;mlI === 2 glT π2=


23

Esempio 3sia dato un corpo esteso di massa M. Determinarne sperimentalmente il C.d.M. ed il momento di Inerzia. Trovare inoltre quale dovrebbe essere la lunghezza di un pendolo semplice avente il suo stesso periodo.

..mc

..sp

d

2

2

4πMgdTI =

MgdI

gl ππ 22 = Md

Il =

Esempio 4Un disco è imperniato sul bordo. Trovare il suo periodo per piccole oscillazioni e la lunghezza del pendolo semplice equivalente.

rc

p2

21 MrIcm =

222

23

21 MrMrMrI p =+= g

rMgrMr

MgrIT P

232

2322

2

πππ ===

orl

32

=non dipendedalla massa

rMrIl

23

== il centro di oscillazione del disco è centrato in “O”

centro di oscillazionedel pendolo fisico

MgdIT Pπ2=

l


24

Definizioni ed equazioni relative al moto armonico semplice

0=+ xmkx&&equazione del moto:

kmT π2=periodo di oscillazione:

frequenza naturale:mk

n πν

21

=

frequenza angolare naturale:mk

n =ω

forza di richiamo: xmKxF n2ω=−=

spostamento: ( ) ttsentAsenx nnn ωβωαϕω cos+=+=ϕβϕα AsenA == ;cos

αβϕβα 1222 tan;; −=+=A

velocità: ( )ϕωω += tAv nn cos tsent nnnn ωβωωαω −= cos


25

Definizioni ed equazioni relative al moto armonico semplice

accelerazione:

modulo della velocità:

energia potenziale:

energia cinetica:

energia totale:

condizioni iniziali di ampiezza:

costante di fase:

( ) xtsenAa nnn 22 ωϕωω −=+−=

22 xAv n −=ω

( )ϕω +== tsenKAKxU 22221

21

( )[ ]ϕω +−= tKA n2cos141 2

( )[ ]ϕω ++=−= tKAUKAK n2cos141

21 22

222

21

21

21 KAmxmvUKE =+=+=

2

202

0n

vxAω

+=

0

010101 tancosv

xA

vAxsen n

n

ωω

ϕ −−− ===

energie medie: EUK21

==

00 ; xv

n

== βω

α

ϑϑ

ϑϑϑ22

22

211cos2cos2cos

sensen−=−=

=−=


26

Composizione di moti armonici

Spesso accade che vengano combinati moti armonici rettilinei ortogonali(C.R.O.)

•Per moti isofrequenziali:

•Differenza di fase:

( )( )αω

δω+=+=

tcosAytcosAx

y

x

( ) ( ) αδαωδω −=+−+ ttSe scegliamo il tempo t in modo che α=0 ( la fase è arbitraria!!!):

( ) tcosAytcosAx yx ωδω =+= ( ) ( )δωδωδω sintsincostcosAtcosAx xx −=+=

yAytcos =ω

δωδ sintsincosAy

Ax

yx

−=−Elevando al quadrato e ricordando che:

2

222 11

yAytcostsin −=−= ωω


27

δδ 222

2

2 2 sinxyAA

cosAy

Ax

yxyx

=−+

Equazione di un’ ellisse centrata nell’ origine ed inscritta in un rettangolo di lati 2Ax,2AY

Casi particolari:

1. δ=0 eq. di una retta

2. δ=π eq. di una retta

3. Ay=Ax, δ=π/2 eq. di un cerchio

xAA

yx

y=

xAA

yx

y−=

222 Ayx =+

E in questo caso il moto ècircolare ed uniforme

2222222yxyx aaA;vvA;yxA +=+=+= ωω


28

o

yA

xA

°45

1=x

y

AA

2παδ +=

x

y

o

yA

xA

°45

1=x

y

AA αδ =

x

y

o

yA

xA

°60

2=x

y

AA

αδ =x

y

o

yA

xA

2=x

y

AA

2παδ +=

x

y

o

yA

xA

1=x

y

AA

4παδ −=

x

y

4πsenAy

4πsenAx

o

yA

xA

2=x

y

AA

4παδ −=

x

y

4πsenAy

4πsenAx


29

dtdxbFd −=

La soluzione è molto difficile!!!!! Ma se b è piccolo….02

2

=++ xmK

dtdx

mb

dtxd

2

2

dtxdmma

dtdxbKx ==−−

E se agiscono forze dissipative?

0>= .tcosb

Moti oscillatori smorzati,

amFi

ivv =∑


30

Vita media: bm

eAA : 20 ==τ

022

=++ xmK

dtdx

mb

dtxd rimane difficile Moti oscillatori smorzati,

mb

2=βCostante di smorzamento:

pulsaz. del motosmorzato:

*ω

*ω*ω

TE

Pperiodo un in energia di media perditaataimmagazzin energiaQ ππ 22 ==

fattore di qualità dell’ oscillatore

βω2

≅Q

Cosa succede se b=0?

per un oscillatore debolmente smorzato: più grande è Q, meno è smorzato l’ oscillatore che

compie circa Q/2π oscillazione in in un tempo parialla vita media τ

:,α0A fissate dalle condizioni iniziali

potenza mediadissipata in un

periodo

( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−==

+= −

220

2**

*20

222

cos

mb

mb

mK

teAx mbt

ωπυω

αω


31

Esempio 4una massa sferica di raggio R=0.25m e m=0.1Kg è sospesa tramite una molla ad un sostegno ed oscilla verticalmente in aria. Supponendo che la forza di attrito da parte dell’ aria sia proporzionale alla velocità, si calcoli quanto cala l’ ampiezza del moto dopo un’ora..

xRxbFa && ηπ6== per l’ aria1151081 −−−⋅= sKgm.η 151058 −−⋅= Kgsb .

1410342

−−⋅== smb .β

( ) ( ) 21036000

10342

0

4

.A

tAsteeA

tA t.mbt ≅⇒=⇒==−⋅−−

( ) ( )222 22 mbmbmK −=−= ωω*

se T~1s( )242 1034 −⋅−= .* ωωN.B.

ll’’ effetto delleffetto dell’’ attrito attrito èè importante per limportante per l’’ ampiezza ma ha un effetto trascurabile sulla frequenzaampiezza ma ha un effetto trascurabile sulla frequenzaOROLOGI A PENDOLOOROLOGI A PENDOLO

ωω ≅*

atto di fede


32

Fino ad ora abbiamo visto solo “oscillazioni naturali”

1. Senza attrito

2. Con “attrito” ( )22 2mb* −= ωωm

k=ω

Ma supponiamo che esista una: forza esterna periodica tcosF'F ''m ω=

….la soluzione è:

2

2

dtxdmtcosF

dtdxbkx ''m =+−− ω

( )ϕω −= tsinGFx ''m

( )[ ] 21222222 '''' bmG ωωω +−= Gbcos''ωϕ 1−=

il sistema oscilla con la frequenza della forza esterna!!!

angolo di fase tra forzaesterna e spostamento


33

( )ϕω −= tsinGFx ''m ( )[ ] 21222222 '''' bmG ωωω +−=

ωω ''

1. oscilla con la ω dell’ eccitazione2. in generale non è un moto smorzato

Caso semplice con b=0:

( )22 ωω −= ''mGωωωω '''' ; ⇒

GFm è piccolo

ωω →'' ∞→GFm

bmQ ω

βω

=≅2

grandi valori di Q (b 0;Q ∞)grande ampiezza di oscillazione

1Q2Q

3Q

4Q

4321 QQQQ


34

TacomaTacoma NarrowsNarrows bridgebridge

a Puget Sound ( Washington)

crollato il 7 novembre 1940


35

Oscillazioni a due corpim è come dire che il supporto ha “massa infinita”:

• variazione lungh. molla=spostamento di m• l’ altra estremità della molla è fissa• U del sistema funzione della posizione di m

molti sistemi oscillanti in natura sono a “ due corpi”: molecole bi-atomiche.il comportamento è come quello a 1 corpo se introduciamo la:

massa ridottamassa ridotta

Fv

k( )tx1( )tx2

2m 1mFv

−

molla:•lunghezza a riposo: l•lunghezza della molla: (x1 –x2)•“allungamento” della molla: x=(x1 –x2)-l

kxdt

xdm −=21

2

1

kxdt

xdm =22

2

2

kxmdt

xdmm 221

2

12 −=

kxmdt

xdmm 122

2

21 =sottraiamo!

( ) kxdt

xxdmm

mm−=

−+ 2

212

12

12

022

=+ xkdt

xdμ

=μ=x

Massa ridottaSpostamento relativo


36

022

=+ xkdt

xdμ( ) relativoospostamenttx

ridottamassa

=

=μ è la stessa equazione dedottaper l’oscillatore armonico

21

12

21

21 mm

mmmm

mm+

=+

=μdato che possiamoscrivere:

21

111mm

+=μ 21

m;m


37

Le onde nei mezzi elasticiÈ, tra le modalità di moto, la più diffusa:elastiche, elettromagnetiche…Proprietà salienti:

•velocità di propagazione•alterazioni dipendenti dal mezzo (riflessione, rifrazione, polarizzazione)•alterazioni prodotte da ostacoli (diffrazione,diffusione)•interazioni tra onde (interferenza )

Parleremo di onde nei mezzi elastici deformabili:onde meccaniche(elastiche)• spostamento dall’ equilibrio di una porzione del mezzo elastico;• non trasportano materia;• trasportano energia….ma in un mezzo;• sfruttano

• elasticità : forze di richiamo• inerzia : risposta alle forze di richiamo

• Longitudinali: le particelle materiali si spostano nella direzione della perturbazione;• Trasversali: le particelle materiali si spostano trasversalmente alla perturbazione;• Treni d’ onda: periodici o meno (impulsi);• Fronti d’onda: luogo dei punti in cui la perturbazione ha la stessa “intensità” ( stessa fase);• Raggi: rette normali ai fronti;• Onde piane ; Onde sferiche.


38

Le caratteristiche delle onde

( )tzyx ,,,ξperturbazione che si propagna nello spazio e nel tempo e descritta da una funzione del tipo:


39

I tipi di fronte

Onda Piana: descritta da una funzione in pratica unidimensionale. La perturbazione in un istante generico t0 assume lo stesso valore in tutti i punti del piano di eq. x=x0 . Ha un’ unica direzione di propagaziaone.

( )tx,ξ


40

I tipi di onde: longitudinali…… …. e trasversali

1.1. Longitudinali:Longitudinali:tutte le grandezze fisiche sugnificative variano solo in una direzione (..di propagazione):ξ(x,t)

2.2. trasversali:trasversali:fissato un piano y,z ortogonale a x ( direz. di prop.), la funzione d’ onda ξ(x,t) è un vettore:

( ) ( ) ( )ktxjtxtx zy ˆ,ˆ,, ξξξ +=v

1.1. trasvers.non polarizzate:trasvers.non polarizzate:Il vettore può assumere, nel tempo una qualunque direzione casuale, ortogonale a x (dir. di propagazione).

2.2. trasvers. polarizzate:trasvers. polarizzate:La direzione del vettore nel piano y,z segue una legge ben precisa

N.B.N.B.

:fissa direzione ha seξv

onda polarizzata linearmente:onda polarizzata linearmente:

•• direz. di direz. di ξξΞΞdirez. di direz. di polazizzazione;polazizzazione;

•• il piano in cui giace il piano in cui giace ξΞξΞpiano di polarizzazione.piano di polarizzazione.


41


42

La propagazione delle onde

Onda trasversale in una corda (es.: impulso)

y

xo

y'vt 'tt =0=t

xo

( )xfy = ( )'vtxfy −=

N.B.dire che y è funzione di (x-vt) significa che x e vt si trovano solonella cominazione: x-vt

( )vtxk −⋅ ( )vtx −log ( )3vtx − Ma: ( )22 vtx −


43

( )vtxfy −=

Per capire come si propaga l’ onda al passare del tempo possiamoconsiderare un particolare valore di y (fase costante) e vedere come sisposta al passare del tempo:

.tcosvtx =−

Al crescere del tempo x deve crescere perchè l’ argomento rimangacostante l’ onda si propaga verso destra) (verso delle X crescenti)

Di conseguenza: ( )vtxfy += Si propaga verso sinistra ( x decrescenti)

Velocità di fase dell’ onda:

tcosvtx =− 0=− vdtdx v

dtdx

=N.B.

Con velocità dell’ onda intendiamo sempre, per ora, la velocità di fasevelocita’ con cui si sposta un punto dell’ onda di fase data.

x

y

z

( )0000 ttvxxvtxvtx −+=⇒−=− cosa rappresenta?

Finqui 17 Aprile 2008


44

( )vtxfy −=Guardiamola meglio:

1. Per t fissato: abbiamo una “fotografia” della perturbazione ondosa(forma dell’ onda ad un certo istante)

2. Per x fissato: variazione temporale di un punto di coordinata “x”

Consideriamo una forma d’ onda che in un istante di tempo t fissofisso sia del tipo:

xsinyy m λπ2

=

-25,00

-20,00

-15,00-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,0015,00

20,00

25,00

-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00

vt

( ) ( )vtxyty m −= λπ2sin

x

y

λ

t=0t=t

periodoTvT =→=λ

Dopo un certo tempo t

è un’onda.....2λλ ++ x,x x, in valore stessolo ha y


45

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Ttxyy m λ

π2sin

possiamo riscriverla come:

Y:• ha lo stesso valore in x, x+λ,x+2 λ.....• ha lo stesso valore in t, t+T,t+2T......

introduciamo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

T

k

πω

λπ

2

2

( )tkxyy m ω−= sin ( )tkxyy m ω+= sinonda progressiva (x crescenti) onda regressiva (x decrescenti)

velocità di fase:kT

v

T

k

vTωλ

πω

λπ

λ

==⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

2

2pipiùù in generale:in generale:

( )φω −−= tkxyy m sin

se = -90° in x=0,t=0 y=ymφ ( )tkxyy m ω−= cos

In un punto diverso ad es. x=π/k ( )φω += tyy m sin

[ ]1−L 1−m

[ ]1−T 1−snumero d’ onda

pulsazione ofrequenza angolare

( )vtxsinyy m −= λπ2


46

Ha per soluzione una funzione del tipo:

Data una generica equazione d’ onda: ( )vtxfy −=Calcoliamo le derivate:

''fxy=

∂∂

2

2

''fvty 22

2

=∂∂

Il risultato è GENERALE!!!Ogni equazione del tipo:

L’ equazione delle onde(1)

( )x

vtxfxf

∂−∂

=∂∂ ' 'vf

tf

−=∂∂

2

2

22

2 1ty

vxy

∂∂

=∂∂

2

2

2

2

tyC

xy

∂∂

=∂∂

( )'vtxfy ±=E che rappresenta un fenomeno che si propaga “come un’onda” con velocità:

Cv 12 =


47

Data una generica equazione d’ onda:

Calcoliamo le derivate:

( ) t tempo e x punto un in pendenza tkxkAxy ω−=∂∂ cos

L’ equazione delle onde(2)

( ) elemento un di velocità dellay comp. tkxAty ωω −−=∂∂ cos

( )tkxAy ω−= sin

( ) acc.ne dell'y comp. tkxAsenty ωω −−=

∂∂ 2

2

2

( ) ( )txyk-vtkxAsenkvty 2 ,2222

2

=−−=∂∂ ω

222 kvk

v

=

=

ω

ω

( ) y -kkx-ωxAsenkxy 222

2

=−=∂∂ strettacurvagrande

xy

⇒∂∂ :2

2

convessaxy

piattaxy

concavaxy

⇒<∂∂

⇒=∂∂

⇒>∂∂

0

0

0

2

2

2

2

2

2 0xy>

∂∂

2

2

x

y

0x

y=

∂∂

2

2

x

y

0x

y<

∂∂

2

2

x

y

)(curvatura pendenza della variazione

2

2

22

2 1ty

vxy

∂∂

=∂∂


48

( ) 22

2

2

tyxx

xyF

∂∂

Δ=Δ∂∂ μ

come si interpreta? (nelle corde)onda trasversale in una corda come impulsotrasversale che si propaga lungo x.

( )122121 ϑϑϑϑ sensenFFsenFsenFFF yyy −=+−=+=∑Per piccoli spostamenti (.......vedremo che vale sovrapposizione) θ è piccolo

xytgsen∂∂

=≅ ϑϑ La derivata è “parziale” perchèY dipende anche da t

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∑12 x

yxyFFy

xxyFFy Δ∂

∂=∑ 2

2

Dalla II legge di Newton:

x

y

x xx Δ+

2Fv

1Fv

1ϑ2ϑ

yF Ma

μ= densità lineare della cordaμdx= massa (infinitesima) di dx

ipotesi:1. effetto dell’ onda è piccolo:

21 FFFvv

==2. è grande peso trascurabileF

variazione di pendenza tra 1 e 2

( ) xxyx

xy

xx

xxy

xy

xy

xy

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

≈ΔΔ∂∂

Δ=∂∂

Δ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

2

2

12

xmLm

Δ=⇒= μμ

2

2

2

2

ty

Fxy

∂∂

=∂∂ μ

μFv =

Non c’è moto di massa lungo l’ asse x


49

esempio:

Infatti le funzioni arbitrarie: ( )'vtxfy ±= la soddisfano:

UNa corda di lunghezza L=10m e massa m=1kg è sottoposta alla tensione T=90N:

1301.0/90 −=== msFvμ

11.0 −== kgmLmμ

Ipotesi fatte:θ1, θ2 piccoli A>>λ

2

2

2

2

ty

Fxy

∂∂

=∂∂ μ E’ lineare!

Un’ equazione differenziale è lineare se contiene termini del tipo: ...........,, 22

xy

xyy

∂∂

∂∂

e non contiene termini del tipo: ...........,,2

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

xy

xyyy

proprietà: la somma di funzioni d’ onda è ancora una funzione d’ onda

( ) ( ) ( )txytxytxy ,,, 11 += principio di sovrapposizione


50

Vale il: Principio di sovrapposizione:

“Due o più onde possono agire nello stesso punto dando come effetto la somma dei singoli effetti come se le onde agisseroindipendentemente l’ una dall’ altra” comportamento vettoriale

Solo se tra forza di richiamo e deformazione esiste una relazione lineare

Sviluppo in serie di Fourier delle funzioni periodiche di periodo T( )

....32 ........32

3210

3210

++++++++=

tsenBtsenBtsenBBtsenAtsenAtsenAAtf

ωωωωωω

Tπω 2= ii BA ;

( ) ∑ ∑∞

=

∞

=

++=1 1

000n n

nn tnsinbtncosaatf ωω

titancosb,a,a

T

nn =

=

0

02πω ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∫

∫

∫

π

π

π

ωπ

ωπ

π

2

00

2

00

2

00

1

121

tdtnsintfb

tdtncostfa

dttfa

n

n

( ) ( )∑∞

=

++=1

00n

nn tnsinCatf ϕω

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

n

nn

nnn

batana

baC

ϕ

21

22

costanti caratteristiche


51

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00


52

Finqui 28 Aprile 2008


53

Esempio 3una lunga corda orizzontale viene messa in oscillazione dall’ azione prodotta ad un suo estremo da una sbarretta oscillante trasversalmente con frequenza f=2s-1 ed ampiezza 5 cm. La fune ha una densità lineare δl=0.1 kg/m ed ha una tensione F=10N. Calcolare:

1. velocità dell’ onda2. ampiezza dell’ onda3. lunghezza d’ onda

del moto ondulatorio. Scrivere anche l’ equazione dell’ onda supponendo che si muova da sx verso dx e che, in t=0, l’ estremita’ che si trova in x=0 si trovi nella posizione di equilibrio y=0.

μTv = 110

1.010 −== msv f

vvT ==λ m52

10==λ

( )φω −−= tkxyy m sin con le condizioni iniziali: ( ) 0sin0 =⇒−=⇒ φφmy

( )tkxyy m ω−= sin

( )txy ππ 44.0sin05.0 −=

111 410 5225 05.05 −−− ==⇒===⇒=== svkmsvmkmmcmym πωπλ

πλ


54

Potenza ed intensità delle ondey

xo 'x

ydFdW vv⋅=Fv

Fv

= tensione della fune

Per un’ onda sinusoidale chesi propaga lungo una corda : ( )tkxsenyy m ω−=

( ) ( )( ) ( ) ( )tkxFkytkxyFkytxP mmm ωωωω −=−−−= 222 coscos,

( )tkxkyxy

m ω−=∂∂ cos

2

22

kFv ωμ

== ( ) ( )tkxvytxP m ωμω −= 222 cos,μωk

Fk2

=

ydv

dtydF

dtdWP

vv⋅==

( )tyFsen

tyF

tyF

tyFP

∂∂

−=+∂∂

=∂∂

=∂∂⋅= ααβ 90coscosvv

Fv

ydvβ

α

α

xytgsen∂∂

=≅ ααSe α è piccolo:xy

tyFP∂∂

∂∂

−=Potenza trasferita dall’ onda ad un elemento di corda che acquistavelocità v

( )tkxyty

m ωω −−=∂∂ cos


55

( )∫+

=Tt

tdttP

TP 1

vFfyFkyP mm

2222 221 πω ==

e dato che: fv

kfT

πλπππω 22;22 ==== 2

1cossin 22 ==TT

xx

Non dipende ne’ da x ne’ da t!!!!!!

vfyP m μπ2222=

La potenza è indipendente dal tipo d’ ondaLa potenza dipende dal quadrato dell’ ampiezza e dal quadrato dellafrequenza dell’ onda. La potenza (non lo abbaimo dimostrato)si trasmette nel senso in cui sipropaga l’ onda.definizione:L’Intesità è la potenza trasmessa attraverso una superficie unitarianormale alla direzione di propagazione

⇒=μTvda:


56

Esempio 4

una sorgente di potenza P emette onde sferiche. Trovare la relazione tra l’ intensità delle onde emesse e la distanza delle onde dalla sorgente

1A2A

2I1IS

1r

2r

IntensitIntensitàà:: potenza trasmessa attraverso unasuperficie unitaria normale alla di-rezione di propagazione.

22

22

12

12 44 IrIrP ππ ==

21

22

2

1

rr

II=

dato che l’ intensità è proporzionale al quadrato dell’ ampiezza dell’ onda, l’ ampiezza dell’ onda è inversamente proporzionale alla distanza dalla sorgente


57

Interferenza (nello spazio) delle onde

E’ l’effetto della sovrapposizione di due o più treni d’ onda isofrequenziali. Consideriamo due onde della stessa velocità di propagazione ed ampiezza

( )ϕω −−= tkxsenyy m1 ( )tkxsenyy m ω−=2La prima la possiamo scrivere come:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= t

kxksenyy m ω

ϕ1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

ωϕω tkxsenyy m1

In un dato istante sono sfasatein posizione di una quantità: φ/k

In un dato luogo sono sfasatein tempo di un intervallo: φ/ω

( ) ( )[ ]tkxsentkxsenyyyy m ωϕω −+−−=+= 21

222 BCcosCBsensenCsenB −+=+


58

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

222

222 ϕωϕϕϕω tkxsencosycostkxsenyy mm

N.B.LL’’ ondaonda risultanterisultante ha la ha la stessastessa frequenzafrequenza delledelle ondeonde componenticomponenti ed ed ampiezzaampiezza::

22 ϕcosym

1. φ


59


60

Battimenti (interferenza nel tempo)

( )txksenyy m 111 ω−= ( )txksenyy m 222 ω−=

Se anche sono in fase in t=0 non lo saranno più negli istanti successivi

221 ωωω +=( )21 ωωω −=Δ

( ) ( )[ ]txksentxksenyyyy m 221121 ωω −+−=+=

( ) ( ) ( ) ( )2

cos2

2 21212121 txkktxkksenyy mωωωω −−−+−+

=

( )21 kkk −=Δ 221 kkk +=

2cos

22 BABAsensenBsenA −+=+

stessa ampiezza per “semplicità” ma non è neceessaria

21 ωω ≅


61

( ) ( )txkcostkxcosyt,xy m ωωΔΔ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

21

212

Ha un’ ampiezza “MODULATA” da: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − tkxcos ωΔΔ

21

21

fasedivelocitàv f == κω

gruppodivelocitàk

vg == ΔωΔ

( ) tfftffAtxy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

22cos

22cos2,0 2121 ππ

se ci mettiamo in un punto fisso x ( ad es. x=0)

tfAtAy 111 2coscos πω == tfAtAy 222 2coscos πω ==

2cos

2cos2coscos BABABA +−=+

ampiezza


62

un ricevitore in un punto X:1. frequenza effettiva come media delle frequenze:

2. ampiezza modulata:

3. massimo di ampiezza:

4. frequenza di battimento:

tffA ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22cos2 21π

221 ff +

12

2cos 21 ±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − tffπ due massimi per ciclo

21 fffb −=esempio:esempio:

HzfHzfHzfHzf

beff 2;440438442

.1

2 ==⇒⎭⎬⎫

==

121

2

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ffT

121

2

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

ffT


63

Effetto DopplerEffetto del moto relativo tra sorgente e osservatore

Vs=0λv0

fv

=λ

λvtn = Numero di onde percepite da un osservatore “fermo”

λtv'n 0= Numero di onde percepite in più da un osservatore “in moto”

Frequenza= numero di onde nell’ unità di t

fvvvvv

t

tvvt

tnnf 00

0'' +=+=+

=+

=λ

λλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

vvf

vvvff 00 1'

a) SorgenteSorgente fissafissa –– osservatoreosservatore mobilemobile

allontanamento ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

vvf

vvvff 00 1'

velocità del suono nel mezzo

frequenza emessa dalla sorgente


64

V0=0

b) SorgenteSorgente mobile mobile –– osservatoreosservatore fissofisso

1S 2S S

sv

12

Frequenza emessa:Velocità del suono nel mezzo:Velocità sorgente:

f

sv

Ad ogni ciclo la sorgente avanza di: fvs

e la lunghezza d’ onda percepita si accorcia dellastessa quantità.La lunghezza d’ onda percepita vale:

fv

fv' s−=λ

v

La frequenzapercepita vale: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

==ss vv

vf

fvvvvf

''

λ

Nel caso generale: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±±

=svv

vvf'f 0

'λ

'λ

effetto Doppler elettromagnetico:1. sorgenti galattiche2. variazione di λ3. allargamento delle righe spettrali4. solo moto relativo della sorgente e osservatore

In allontanamento: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==svv

vfvf'

'λ


65

Esempio 5

ma cosa possiamo dire se le velocità della sorgente e dell ‘osservatore sono piccole rispetto alla velocità del suono nel mezzo?Supponiamo:

vuvvs


66

luce bianca

schema di uno spettrografo a prisma

corposolido o liquidoincandescente

spettro continuo

gas incandescenteH2 e Na

corpo solidoo liquido

incandescente

gas freddi

serie di Balmer

riga delsodio

serie diBalmer

spettro in emissione e righe di emissione

spettro in assorbimento e righe di assorb.

lo spettro visibile ( non in scala )

ultraviolettoinfrarosso

lunghezza d’ onda(Å)(μm)

frequenza(+1017 Hz)

violetto verde giallo arancio rosso

40000.4

0.750

50000.5

0.600

60000.6

0.500

70000.7

0.430

80000.8

0.370

spostamento verso il bluvelocità negativain avvicinamento

spostamento verso il rossoùvelocità positiva

in allontanamento

righe spettralivelocità radiale

dell’ oggetto

1μ=10-6m1Å=10-10m


67

Onde Stazionarie

Corde tese tra due estremi fissati: riflessioni alle estremità

Onde propagantesi nel verso oppostoPrincipio di sovrapposizione

( )tkxsenyy m ω−=1 ( )tkxsenyy m ω+=2( ) ( )tkxsenytkxsenyyyy mm ωω ++−=+= 21

tsenkxyy m ωcos2= Onda Stazionaria

ampiezza OSCILLAZIONE!!!!OSCILLAZIONE!!!!Frequenza: moto armonicoN.B.

1. Tutte le “particelle” vibrano co la stessa frequenza2. Tutte con un’ ampiezza che dipende dalla posizione


68

Massimi (ventri):

Minimi (nodi):

;.........;;xcioè;.......;;kx λλλπππ45

43

4

25

23

2==

;.........;;;xcioè;.......;;kx λλλλπππ 223

2 32 ==

tsenkxyy m ωcos2=

N.B.1. non c’è trasporto di energia2. energia bloccata dai nodi3. energia stazionaria4. non è un vero “moto ondoso

ma piuttosto “oscillatorio”5. la corda è un insieme di

“oscillatori accoppiati”


69

onda stazionaria come svrapposizione di 2 onde

ogni elemento ha:1. inerzia ( energia cinetica)2. elasticità (en. potenziale )

tutta energia cinetica

tutta energia potenziale

tutta energia potenziale

en. potenziale e cinetica

en. potenziale e cinetica


70

questi sistemi hanno molti “modi propri di oscillazione”

a) assenza di eccitazione:

b) modo fondamentale:

c) secondo modo fondamentale:

d) terzo modo fondamentale:

L21 =λ

L=2λ

L32

3 =λ

Lnn2

=λ .........3,2,1 ;2=== n

Lvnvf

nn λ

μTv =,.....3,2,1 ;

2== nT

Lnfn μ


71


72


73


74


75


76

Fine argomento


77

La velocità delle onde(2)

x

y

xΔ

yΔ

1ϑ

2ϑ

1T

2T

piccoli, ⇒21 ϑϑ

TT,T =21lineicamassa =μ

:xlungomotoè'cnon ∑ =i

xiT 0

∑ −=i

yi sinTsinTT 21 ϑϑ Sx

ytansin =∂∂

=≅ ϑϑ

( ) STSSTTi

yi Δ=−=∑ 21 Che per il II principio:

2

2

tyxST

∂∂

= ΔμΔ 22

ty

xST

∂∂

= μΔΔ

2

2

0 ty

xST

xSTlim

x ∂∂

=∂∂

=→

μΔΔ

Δ

2

2

2

2

ty

Txy

∂∂

=∂∂ μ

μTv =


78

cosa succede se la velocità della sorgente supera quella del suono?

ss vv

tvvtsen ==ϑ =numero di Mach

onda d’ urto

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