Fluidodinamica Geofisica e Astrofisica

Fluidodinamica Geofisica e Astrofisica

Studio del modello del Campo Magnetico InterplanetarioSpirale di Parker/Ballerina Piroettante

Studente:• Alice Pellegrino 06/07/2018

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INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE

• STORIA DEL VENTO SOLARE

• MODELLO DI PARKER

• SONDE SPAZIALI e RELATIVE SCOPERTE

• MODELLO DELLA BALLERINA PIROETTANTE

• PLASMA

• FISICA DEI PLASMI

• TEORIA MAGNETOIDRODINAMICA

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INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



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ELIOSFERA

• Il Sistema Solare è all’interno della Nube Interstellare Locale, estesa per circa 30 anni luce e caratterizzata da un plasma ad una temperatura di qualche 103 K (~0.1 𝑝𝑎𝑟𝑡/𝑐𝑚3)

• L’Eliosfera è la zona d’influenza solare, oltre la quale lo spazio non risente più dell'influsso elettromagnetico solare e si considera spazio interstellare

• La struttura dell’Eliosfera prende il nome di Modello «Dinner plate»:

• Al centro il flusso è supersonico come il vento solare

• I bordi del «plate» si oppongono al moto così come avviene per la pressione del mezzo interstellare

• Viene a formarsi un’onda si shock a causa dell’interazione del flusso con i bordi del «plate» e viene a formarsi una regione di transizione del flusso da super- a sub-sonico

• Il Sole si muove a circa 26 km/s rispetto al Mezzo Interstellare Locale (LIM) e tutta l’Eliosfera impiega circa 38 anni per spostarsi di 200 AU, pari circa al suo diametro, attraverso il LIM

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ELIOSFERA• All’interno dell’Eliosfera abbiamo:

1. Termination shock: superficie di shock stazionario al di là del quale il flusso del vento solare passa da un regime super- a sub-sonico → conversione energia cinetica in energia termica; troviamo solo plasma di origine solare

2. Eliopausa: superficie di confine tra il plasma di origine solare (vento solare) ed il plasma solo del mezzo interstellare; è il confine dell’espansione del plasma del vento solare

3. Elioguaina interna: regione compresa tra il termination shock e la Eliopausa, nella quale il flusso del vento solare viene deflesso dal suo moto radiale verso la coda dell'eliosfera (contiene mix di plasma solare e interstellare)

4. Elioguaina esterna: regione al di fuori della Eliopausa nella quale il plasma interstellare è deflesso e costretto a fluire attorno ad essa (solo plasma interstellare)

5. Bow shock: (ipotetica) onda di shock stazionaria presente al di fuori della Elioguaina esterna in cui il flusso di plasma interstellare super-sonico viene rallentato a sub-sonico e compresso

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INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



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SOLE• Il Sole è una sfera di gas concentrato ad elevate temperature posta a circa 3 ∙ 1017 Km dal centro della Galassia su un

braccio a spirale animato da una velocità orbitale di circa 250 km/s, ad una distanza media dalla Terra di circa 𝟏𝟒𝟗. 𝟓𝟗𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟔 Km (pari ad un’Unità Astronomica, distanza che la luce percorre in circa 8 minuti)

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SOLE• Il Sole è una sfera di gas concentrato ad elevate temperature posta a circa 3 ∙ 1017 Km dal centro della Galassia su un

braccio a spirale animato da una velocità orbitale di circa 250 km/s, ad una distanza media dalla Terra di circa 𝟏𝟒𝟗. 𝟓𝟗𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟔 Km (pari ad un’Unità Astronomica, distanza che la luce percorre in circa 8 minuti)

TERRA

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SOLE• Il Sole è classificato come una stella nana gialla di tipo spettrale 𝐺2𝑉 dove:

• 𝐺2 indica che la temperatura superficiale della stella è pari a circa 5 777 K (5 504 °C) – questa caratteristica le conferisce un colore bianco estremamente intenso e cromaticamente freddo, che però spesso può apparire giallognolo, a causa della diffusione luminosa nell'atmosfera terrestre, in ragione dell'elevazione dell'astro sull'orizzonte e nondimeno della limpidezza atmosferica

• V (5 in numeri romani) indica che il Sole è nella sequenza principale, ovvero in una lunga fase di equilibrio stabile in cui l'astro fonde, nel proprio nucleo, l'idrogeno in elio

• La Magnitudine Apparente (m), misurata considerando Vega a magnitudine di riferimento 0 e a partire dalla superficie terrestre (ipotizzata priva di atmosfera), è pari a:

• La Magnitudine Visuale Assoluta (M) associate al Sole – ossia la m che avrebbe il corpo celeste se posto ad una distanza dalla terra pari a 10 parsec (32.6 anni luce) – è pari a 4.8

• La superficie visibile è escluisivamente lo strato più esterno della stella, chiamata «Atmosfera Solare»

𝒎 = −2.5 log 𝐿𝐹 + 𝐶 = −26.8

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SOLE

CARATTERISTICHE PRINCIPALI

Parametro Valore

Massa (M⊙) 1.989 × 1030 Kg

Densità media 1.408 × 103 kg/m³

Diametro solare medio (R⊙) 1.391 × 109 m

Temperatura superficiale 5777 K

Luminosità 3.827 × 1026 W

Periodo di rotazione (all’Equatore) 27 d 6 h 36 min

Età stimata 4.57 miliardi di anni

Equatore

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SOLE

ROTAZIONE SOLARE• Il Sole è un corpo gassoso ed in quanto tale non è semplice determinarne la rotazione:

• È molto difficile fissare punti di riferimento utili per misurare il tempo necessario a compiere una rotazione completa

• Si può supporre che la rotazione del Sole non sia quella di un corpo rigido, ma che abbia valori diversi in funzione delle varie latitudini

• Le prime misure di rotazione sono state eseguite prendendo come riferimento (come traccianti) i vari fenomeni a lunga vita dell’attività solare, ovviamente prime fra tutte le macchie solari. In particolare, Galileo Galilei le utilizzò ed osservò che il loro transito non avveniva lungo corde rettilinee, ipotizzando la presenza di un angolo di inclinazione dell’asse solare rispetto all’orbita terrestre

• Solo in seguito a svariate osservazioni fu possibile definire una legge di rotazione differenziale (formulata da Newton e Nunn) per rappresentare la velocità di rotazione alle varie latitudini e come valore medio della velocità delle macchie di lunga durata, alla latitudine in cui maggiore era la presenza del fenomeno, fu preso 27.27 giorni

• Oggi sappiamo che la rotazione del Sole dipende dalla latitudine considerate ed infatti avviene in maniera differenziata fra equator (~ 27 giorni) ed I poli (~ 34 giorni)

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SOLE

CAMPO MAGNETICO SOLARE• Il Campo Magnetico Solare è complesso, ma spesso assimilabile, soprattutto nello studio applicativo, ad un dipolo

magnetico

• A partire dalla superficie solare ipotizzeremo linee di forza del campo magnetico uscenti la cui direzione sarà influenzata dalla velocità differenziata fra equatore solare e poli

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SOLESTRUTTURA INTERNA

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SOLESTRUTTURA INTERNA

• Il Nucleo è circa ¼ del raggio complessivo, la temperatura è di circa 15 milioni di K ed è dove avvengono le reazioni di fusione nucleare per la generazione d’energia

• La Zona Radiativa (fra 0.2 e 0.7 raggi solari) avvolge il nucleo centrale, ne assorbe l'energia e la trasmette per irraggiamento agli strati superiori

• La Tachocline è una zona di transizione fra Zona Radiativa e Convettiva (0.7 raggi solari) • La Zona Convettiva (~ 200.000 km di spessore) è trasmette l’energia verso l’esterno

attraverso gas caldi in risalita (correnti convettive)• La Fotosfera (~ 200 km di spessore) è il primo strato visibile, da cui l'energia

proveniente dall'interno è libera di propagarsi nello spazio (sede di fenomeni come le macchie solari e i brillamenti)

• La Cromosfera (~ 2000 km di spessore) è un sottile involucro costituito da gas rarefatto che appare di colore rossastro (lo strato è trasparente, caratterizzato da atomi d’idrogeno)

• La Corona (non ha limiti definiti) è costituita da plasma a elevatissima temperatura (oltre un milione di kelvin) ed è la parte esterna dell’Atmosfera solare

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INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



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VENTO SOLAREIl Sole emette un flusso di particelle dall’Atmosfera superiore che prende il nome di Vento Solare

• È formato da plasma e la sua composizione chimica è identica a quella della corona (73% Idrogeno, 25% Elio e 2% elementi in tracce)

• Si tratta di flusso di particelle cariche (protoni ed elettroni) generato dall'espansione della corona solare che viaggia nello spazio causando perturbazioni magnetiche in tutto il sistema solare

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VENTO SOLAREIl Sole emette un flusso di particelle dall’Atmosfera superiore che prende il nome di Vento Solare

• La presenza di un flusso continuo di particelle provenienti dal Sole fu inizialmente ipotizzata nel 1950 da Biermann, in seguito all’osservazione delle code di plasma delle Comete, ed in seguito teoricamente modellizzata da Parker nel 1958

• Alcuni parametri tipici del vento solare misurati dall’orbita terrestre (distante dal Sole circa 1 UA) sono:

Parametro Valore

Intervallo di velocità del flusso di particelle 300-800 km/s

Intervallo di densità del numero di particelle 3-20 1/cm³

Percentuale di protoni 96 %

Percentuale di ioni 𝐇𝐞𝟐+ (più altre componenti minoritarie ed elettroni) 4 %

Intervallo di Temperatura per elettroni e protoni 104 − 106 K

Misure del campo magnetico ~4 nT

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INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



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STORIA DEL VENTO SOLARE• L’idea della presenza di una sorta di polvere che circondasse il Sole e permeasse lo spazio interplanetario (agente

fisico in grado di stabilire una qualche connessione tra il Sole e la Terra) è comparsa in diversi contesti e diverse caratteristiche:

• Gian Domenico Cassini (1625-1714), astronomo di corte di Luigi XIV, fondatore e primo direttore dell’Osservatorio di Parigi, ne parlò nel tentativo di interpretare le caratteristiche della «luce zodiacale», la debole e diffusa luminosità che si estende in prossimità del piano dell’orbita terrestre (ad oriente poco prima dell’alba e ad occidente poco dopo il tramonto)

• Nel XVIII secolo, Isaac Newton (1642 -1727) ipotizzò la presenza di un «etere» resistivo permeante il sistema solare

• Nel 1835 Friedrich W. Bessel (1784-1846) riprese l’idea formulata da Newton per interpretare i dati disponibili circa le code delle comete

• Henri A. Becquerel (1852-1908), professore al Museo di storia naturale di Parigi e premio nobel per la fisica nel 1903, fu tra i primi nel 1878 ad avanzare l’ipotesi che particelle (gas gostituito da idrogeno in grado di portare con sé una carica elettrica positiva) eventualmente provenienti dalle macchie solari arrivassero ad influnenzare la fenomelogia geofisica

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STORIA DEL VENTO SOLARE• Nel 1881, Eugen Goldstein (1850-1933) adottò un punto di vista simile a quello di Becquerel, sostenendo che le

correnti di origini solare fossero costituite da raggi catodici (elettroni)

• Nel 1896, il fisico norvegese Olaf F. Birkeland (1867-1917) fu il primo a dichiarare esplicitamente che qualcosa di più della semplice radiazione provenisse dal Sole e investisse la Terra, intuendo che solo in questo modo era possibile interpretare che il campo geomagnetico fosse attivo in permanenza (intuizione che rimase a lungo non dimostrata)

• Nel 1900, Sir Oliver Lodge (1851-1949) avanzò l’ipotesi che le tempeste magnetiche fossero causate dall’arrivo di «torrenti o nuvole volanti di atomi carichi o ioni»

• A partire dagli anno ‘30 del 900, Sydney Chapman (1888-1970) e Vincent C.A. Ferraro (1907-1974) effettuarono una serie di calcoli per arrivare alla dimostrazione che una nube di ioni espulsi dal Sole, viaggiando alla velocità di 1000-2000 km al secondo, avrebbe raggiunto la Terra in un giorno o due, perturbandone, al passaggio, il campo magnetico

• A partire dagli anni quaranta, le idee di Birkeland iniziarono a trovare conferma in una serie di fatti sperimentali, non legati alla fenomenologia geofisica e giustificabili esclusivamente nell’ipotesi che lo spazio interplaneratio non fosse vuoto (o che il sole emettesse con continuità radiazione corpuscolare): lo studio accurato della fenomelogia legata alle code ioniche delle comete

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STORIA DEL VENTO SOLARE• Fra il 1943 e il 1944, C. Hoffemeister (1912-1978) pubblicò una serie di lavori in cui analizzò in dettaglio il

fenomeno dell’orientazione della coda di molte comete, intepretabile come effeto congiunto della loro velocità orbitale e della velocità di un flusso radiale di materiale di origine solare

• Fra il 1951 e il 1957, gli studi di Hoffemeister vennero ampiamente sviluppati da Ludwig Biermann (1907-1986) e fu possibile prevedere che il Sole emettesse un flusso continuo di gas ionizzato in tutte le direzioni

• Nel 1957, sempre Sydney Chapman iniziò un’approfondito studio riguardante le implicazioni di una temperatura coronale del Sole tanto elevata per comprendere specialmente il perché di una temperatura molto più elevata presente negli strati esterni, e non interni, dell’atmosfera solare. In particolare, Chapman formulò l’ipotesi di una corona estesa ben oltre la parte visibile, con temperature ragguardevoli anche a distanze compatibili con l’orbita terrestre, che inglobasse la Terra e si estendesse ben oltre, anche se con densità ridotte (corona solare statica, calda ed idrostaticamente estesa in tutto lo spazio interplanetario)

• La formulazione di Chapman non trovava risposta al problema di alcune evidenze sperimentali che trovavano giustificazione nella presenza di flussi continui di materia di origine solare e non di una presenza statica di gas di particelle nello spazio interplanetario o di emissioni episodiche da parte del sole

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STORIA DEL VENTO SOLARE• Fra il 1943 e il 1944, C. Hoffemeister (1912-1978) pubblicò una serie di lavori in cui analizzò in dettaglio il

fenomeno dell’orientazione della coda di molte comete, intepretabile come effeto congiunto della loro velocità orbitale e della velocità di un flusso radiale di materiale di origine solare

• Fra il 1951 e il 1957, gli studi di Hoffemeister vennero ampiamente sviluppati da Ludwig Biermann (1907-1986) e fu possibile prevedere che il Sole emettesse un flusso continuo di gas ionizzato in tutte le direzioni

• Nel 1957, sempre Sydney Chapman iniziò un’approfondito studio riguardante le implicazioni di una temperatura coronale del Sole tanto elevata per comprendere specialmente il perché di una temperatura molto più elevata presente negli strati esterni, e non interni, dell’atmosfera solare. In particolare, Chapman formulò l’ipotesi di una corona estesa ben oltre la parte visibile, con temperature ragguardevoli anche a distanze compatibili con l’orbita terrestre, che inglobasse la Terra e si estendesse ben oltre, anche se con densità ridotte (corona solare statica, calda ed idrostaticamente estesa in tutto lo spazio interplanetario)

• La formulazione di Chapman non trovava risposta al problema di alcune evidenze sperimentali che trovavano giustificazione nella presenza di flussi continui di materia di origine solare e non di una presenza statica di gas di particelle nello spazio interplanetario o di emissioni episodiche da parte del sole

MODELLO CORONALE STATICO

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(Approfondimento)


• Le principali equazioni in forma di divergenza (trascurando l’effetto di attrito viscoso e considerando la velocità radiale 𝒗 = 𝑣𝑟 𝒓 del flusso di plasma uscente dalla superficie solare):

• Legge di conservazione della massa (equazioni di continuità):

• Legge di conservazione della quantità di moto:

• Legge di conservazione dell’Energia:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝒗 = 0

𝜕(𝜌𝒗)

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ (𝜌𝒗)𝒗 + 𝜵𝑝 + 𝜌𝒈 = 0

𝜕(𝜌𝑒)

𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ (𝜌𝑒𝒗 + 𝑝𝒗) + 𝜌𝒈 ∙ 𝒗 = 0

• Con 𝑝, 𝜌 e 𝒈 rispettivamente la pressione e la velocità del plasma e l’accelerazione gravitazionale

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(Approfondimento)


• Le principali equazioni in forma quasi lineare diventano:




𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌 𝛻 ∙ 𝒗 + 𝒗 𝛻 ∙ 𝜌 = 0

𝜌𝜕𝒗

𝜕𝑡+ 𝜌(𝒗 ∙ 𝛻)𝒗 + 𝜵𝑝 +

𝜌𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛

𝑟2 = 0

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛻 𝑝 + 𝛾𝑝𝛻 ∙ 𝒗 = 0

• Dove abbiamo considerato 𝑐𝑃

𝑐𝑉= 𝛾 ed 𝑒 = 𝑒𝑖 +

𝑣2

2così da ottenere:

𝜌𝑒𝑖 = 𝑐𝑣𝜌𝑇 =𝑐𝑣𝑝

𝑅=

p

(𝑐𝑃 −𝑐𝑣)/𝑐𝑃=

𝑝𝑐𝑃𝑐𝑣

− 1=

𝑝

𝛾 − 1

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(Approfondimento)


• Le principali equazioni in coordinate sferiche (considerando anche le ipotesi di stazionarietà e simmetria sferica,

quindi 𝜕

𝜕𝜃= 0 e

𝜕

𝜕𝜑= 0) diventano:




𝑣𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌

1

𝑟2

𝜕(𝑟2𝑣)

𝜕𝑟= 0

𝜌𝑣𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑝

𝜕𝑟+


𝑟2 = 0

𝑣𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝛾𝑝

1

𝑟2

𝜕(𝑟2𝑣)

𝜕𝑟= 0

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(Approfondimento)


• Considerando il Modello di Chapman, quindi l’ipotesi di modello coronale statico, avremo identicamente soddisfatte sia la Legge di conservazione della massa che la Legge di conservazione dell’Energia, mentre la Legge di conservazione della quantità di moto diventa l’equazione di equilibrio idrostatico dell’atmosfera solare:

𝜌𝑣𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑝

𝜕𝑟+


𝑟2 = 0

• Equazione di equilibrio idrostatico :𝜕𝑝

𝜕𝑟+


𝑟2 = 0

• Considerando il plasma un gas termicamente e caloricamente perfetto (𝜌 =𝑝

𝑅𝑇≈

𝑝𝑚𝑃

2𝑘𝑇), si può ricavare

un’espressione dell’Equazione di equilibrio idrostatico integrabile considerando un modello non isotermo per la temperatura della corona solare, un flusso di calore costante in condizioni stazionarie (𝛻𝒒 = −𝜎𝛻𝑇 = 0)

• Applicando appropriate condizioni iniziali e al contorno, se il modello fosse valido la pressione per 𝑟 → ∞ dovrebbe tendere a zero ed invece si ottiene un valore di circa 6 ordini di grandezza maggiore della pressione del gas interstellare (risultato non in accordo con le evidenze sperimentali)


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STORIA DEL VENTO SOLARE

• Teorie/Scoperte/Formulazioni di Parker:

• A partire dall’analisi delle leggi barometriche arrivò alla conclusione che un gas molto caldo, in assenza di una pressione esterna che tenda a contrastarlo, tenda nevitabilmente a espandersi

• Formulò l’ipotesi di un’espansione inizialmente lenta ma che, all'aumentare della distanza, diventa sempre più rapida man mano che la pressione all'interno della corona gradualmente prevale sul peso del gas sovrastante

• Definì questa continua espansione «vento solare» sviluppando la teoria reltiva a questo flusso supersonico e predicendo la forma a spirale di Parker del campo magnetico solare agli estremi del sistema solare

• «Le code delle comete di Biermann sono vere e proprie maniche a vento solare che indicano la direzione e l’intensità dell’espansione della corona solare»

• «Il vento solare trasporta con sé un campo magnetico, in quanto il gas è ionizzato […] Se il Sole non ruotasse (come in realtà fa in 25 giorni) il vento solare trascinerebbe il suo campo magnetico generale direttamente nello spazio, cosicché le linee di forza avrebbero andamento esattamente radiale rispetto al Sole […] La rotazione del sole, però, sovrappone a questo campo radiale un campo circolare , con il risultato che il campo trasportato dal vento solare assume una forma a spirale»

• A partice dal 1958, Eugene N. Parker (nato nel 1927), fisico dell’Università di Chicago, propose un nuovo modello di equilibrio coronale

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INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



MODELLO DI PARKER

• Le principali assunzioni di Parker erano relative ad un flusso uscente continuo, isotermo e a simmetria sferica (volendo possiamo rilassare l’ipotesi di fenomeno isotermo considerando un atmosfera adiabatica o politropica)

• Le principali equazioni sono:


• Equazione del momento:

• Equazione di stato (legge dei gas ideali):

𝜵 ∙ 𝜌𝒗 = 0

𝜌 𝒗 ∙ 𝛻 𝒗 = −𝜵𝑝 + 𝜌𝒈

𝑝 = 𝜌𝑅𝑇

• Assumiamo una temperatura costante (𝑇 = 𝑇0)

• La velocità è presa puramente radiale (𝒗 = 𝑣 𝒓)

• L’accelerazione gravitazionale è espressa in termini di 𝑔 = −𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛

𝑟2

• Stiamo ignorando al momento l’influenza del campo magnetico e della rotazione del Sole

MODELLO CORONALE IN ESPANSIONE

MODELLO DI PARKER• In coordinate sferiche, assumendo un flusso costante, possiamo scrivere: 𝜵 ∙ 𝜌𝒗 =

𝑑

𝑑𝑟𝑟2𝜌𝑣𝑟 = 0 ⇒ 𝑟2𝜌𝑣𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

• Di conseguenza, sostituendo nell’Equazione del momento otteniamo:

𝜌 𝒗 ∙ 𝛻 𝒗 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒 = 𝜌𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= −

𝑑𝑝

𝑑𝑟−

𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛𝜌

𝑟2 ⇒ 𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= −

1

𝜌

𝑑𝑝

𝑑𝑟−

𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛

𝑟2

• In condizioni isoterme, 𝑑𝑇

𝑑𝑟= 0 quindi:

𝑑𝑝

𝑑𝑟= 𝜌𝑅

𝑑𝑇

𝑑𝑟+ 𝑅𝑇

𝑑𝜌

𝑑𝑟• Differenziando l’Equazione di stato in in termini di 𝑑𝑟 otteniamo:

1

𝜌

𝑑𝑝

𝑑𝑟= 𝑅𝑇

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟

𝑑(𝑟2𝜌𝑣𝑟)

𝑑𝑟= 𝑟2𝜌

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟+ 𝜌𝑣𝑟

𝑑𝑟2

𝑑𝑟+ 𝑟2𝑣𝑟

𝑑𝜌

𝑑𝑟= 0 ⇒

1

𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟+

1

𝑟2

𝑑𝑟2

𝑑𝑟+

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟= 0 ⇒

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟= −(

1

𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟+

2

𝑟)

• Differenziando quanto appena ricavato dall’Equazione di conservazione della massa:

MODELLO DI PARKER• A questo punto, a partire da 𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= −

1

𝜌

𝑑𝑝

𝑑𝑟−


𝑟2 , otteniamo:

⇒ 𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= −𝑅𝑇

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟−


𝑟2

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟= −(

1

𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟+

2

𝑟)

1

𝜌

𝑑𝑝

𝑑𝑟= 𝑅𝑇

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟

𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= −

1

𝜌

𝑑𝑝

𝑑𝑟−


𝑟2

𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= −𝑅𝑇

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑟−


𝑟2

⇒ 𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= 𝑅𝑇(

1

𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟+

2

𝑟) −


𝑟2

• Da cui:

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟𝑣𝑟 −

𝑅𝑇

𝑣𝑟− 𝑅𝑇

2

𝑟+


𝑟2 = 0

MODELLO DI PARKER• Raggiungiamo un punto critico quando

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟= 0, condizione in cui avremo:


𝑟2= 𝑅𝑇

2

𝑟⇒ 2𝑅𝑇 =


𝑟

• Definendo velocità critica il termine 𝑣𝑐 = 𝑅𝑇 1/2, otteniamo l’espressione per il raggio critico:

𝑟𝑐 =𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛

2𝑅𝑇=


2𝑣𝑐2 ⇒ 𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛 = 2𝑟𝑐𝑣𝑐

2

• Di conseguenza: 𝑑𝑣𝑟


𝑅𝑇

𝑣𝑟− 𝑅𝑇

2

𝑟+


𝑟2 =𝑑𝑣𝑟


𝑣𝑐2

𝑣𝑟− 𝑣𝑐

22

𝑟+


𝑟2 = 0

• Riarrangiando i termini:

𝑑𝑣𝑟


𝑣𝑐2

𝑣𝑟=

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟

𝑣𝑟2 − 𝑣𝑐

2

𝑣𝑟= 𝑣𝑐

22

𝑟−


𝑟2 =2𝑣𝑐

2𝑟

𝑟2 −𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛

𝑟2 =2𝑣𝑐

2𝑟 − 2𝑟𝑐𝑣𝑐2

𝑟2 =2𝑣𝑐

2

𝑟2 (𝑟 − 𝑟𝑐)

• Quindi: 1

𝑣𝑟

𝑑𝑣𝑟

𝑑𝑟(𝑣𝑟

2 − 𝑣𝑐2) =

2𝑣𝑐2

𝑟2 (𝑟 − 𝑟𝑐)

MODELLO DI PARKER• L’equazione ottenuta esprime l’equazione del momento in termini di flusso di velocità radiale e per ottenere una

soluzione, si può procedere integrando (otteniamo un’equazione trascendentale per la velocità in funzione del raggio):

𝑣𝑟

𝑣𝑐

2

− 2ln(𝑣𝑟

𝑣𝑐) = 2 ln

𝑟

𝑟𝑐+ 4

𝑟𝑐𝑟

+ 𝑐

• Otteniamo le «Soluzioni di Parker per il vento solare», ricavabili dalla soluzione dell’equazione differenziale al variare della costante 𝑐 e delle condizioni iniziali e al contorno

• Il modello di Parker per anni non fu accettato dalla comunità fisica/astrofisica finché all’inizio del 1960 le sue teorie non furono confermate dalle prime osservazioni in situ che mostrarono l’evidenza sperimentale di una regione interplanetaria pervasa da un flusso supersonico di plasma solare

SOLUZIONI DI PARKER• Soluzione 1: non ha alcuna corrispondenza fisica. Il plasma

non può lasciare la superficie solare con velocità inferiore a quella del suono, raggiungere un raggio massimo minore di 𝑟𝑐 ed in seguito tornare indietro e raggiungere nuovamente il Sole a velocità super-sonica

• Soluzione 2: Non ha alcuna corrispondenza fisica e non parte nemmeno dalla superficie solare

• Soluzione 3: inizia con una velocità maggiore di quella del suono, ma le osservazioni hanno provato che un tale fenomeno non avviene (soluzione da trascurare perché non consistente con una fotosfera solare statica)

• Soluzione 4: prende il nome di soluzione di brezza solare ed il plasma si manterrà sempre al di sotto della velocità del suono

• Soluzione 5: si tratta del caso particolare in cui il plasma lascia la superficie solare con una determinata velocità e passa attraverso il punto critico (punto sonico), identificato per 𝑟 = 𝑟𝑐 e 𝑣 = 𝑣𝑐 (soluzione di vento solare)

r/rc

v/vc

Critical point

SOLUZIONI DI PARKER: BREZZA SOLARE• In questo caso, per grandi distanze la velocità radiale tende a zero ed otteniamo:

−2 ln𝑣𝑟

𝑣𝑐≈ 4 ln

𝑟

𝑟𝑐⇒ ln

𝑣𝑟

𝑣𝑐≈ ln

𝑟

𝑟𝑐

−2

⇒𝑣𝑟

𝑣𝑐=

𝑟𝑐𝑟

2

• Da cui: 𝑣𝑟𝑟2 = 𝑣𝑐𝑟𝑐

2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

• Dalla conservazione della massa abbiamo ottenuto 𝑟2𝜌𝑣𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, quindi: 𝜌 =𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑣𝑟𝑟2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ⇒ 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

• Quanto ottenuto corrisponde ad affermare che per una distanza tendente ad infinito, la pressione e la densità del plasma tenderà ad un valore non nullo e molto grande, cioè qualcosa di non ammissibile (soluzione priva dialcuna corrispondenza fisica)

SOLUZIONI DI PARKER: VENTO SOLARE• In questo caso, per grandi distanze la velocità radiale è molto maggiore della velocità critica, raggiunta in

corrispondenza della distanza critica 𝑟𝑐

• Considerando le caratteristiche del plasma per questa soluzione avremo:𝑣𝑟

𝑣𝑐

2

− 2ln(𝑣𝑟

𝑣𝑐) = 4 ln

𝑟

𝑟𝑐+ 4

𝑟𝑐𝑟

+ 𝑐

0

0

• Quindi:

𝑣𝑟

𝑣𝑐

2

≅ 4 ln𝑟

𝑟𝑐⇒ 𝑣𝑟 ≅ 𝑣𝑐 4 ln

𝑟

𝑟𝑐= 2𝑣𝑐 ln

𝑟

𝑟𝑐

• Anche in questo caso ricorriamo all’equazione di conservazione della massa per ricavare la densità del plasma:

𝑟2𝜌𝑣𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ⇒ 𝜌 =𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑣𝑟𝑟2 =

𝑐𝑜𝑠𝑡

2𝑣𝑐𝑟2 ln

𝑟𝑟𝑐

=𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑟2 ln𝑟𝑟𝑐

𝜌 =𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑣𝑟𝑟2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ⇒ 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

• La densità tenderà a zero man mano che la distanza dalla superficie solare aumenterà e di conseguenza, considerando un plasma isotermo (𝑝 = 𝜌𝑅𝑇), anche la pressione tenderà ad annullarsi (unica soluzione in accordo con le evidenze sperimentali)

• Volendo calcolare il raggio critico 𝑟𝑐, dobbiamo effettuare le seguenti assunzioni:

Parametro Valore

Raggio del Sole ~ 696 ∙ 106 m

Massa del Sole ~ 1.99 ∙ 1030 𝑘𝑔

Temperatura coronale ~ 106 K

Velocità del suono (𝒗𝒄 = 𝑹𝑻) ~ 105𝑚

𝑠

Costante di gravitazione universale ~ 6.67 ∙ 10−11𝑁𝑚2

𝑘𝑔

𝑟𝑐 =𝐺𝑀𝑆𝑢𝑛

2𝑣𝑐2 ≈ 6.64 ∙ 109𝑚 ~ 9.5 𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖

• Ricorrendo a:

SOLUZIONI DI PARKER: VENTO SOLARECalcolo del Raggio critico

38

MODELLO DI PARKER • La formulazione finora effettuata per il Modello di Parker non tiene in considerazione l’influenza del campo

magnetico

• Man mano che ci allontaniamo della Fotosfera e della Cromosfera non possiamo più ignorare l’effetto del campo magnetico all’interno del Modello di Parker e dobbiamo iniziare a considerare il vento solare come mezzo magnetizzato

• L’alta conduttività del plasma permette l’assunzione di campo magnetico congelato e trasportato al di fuori dell’atmosfera solare dal vento solare (la direzione delle linee di forza del campo dipenderà dalla direzione del vento solare e dalla velocità di rotazione del Sole)

• In caso di vento solare fosse esclusivamente radiale (𝒗 = 𝑣𝑟 𝒓), considerando un sistema di riferimento co-rotante col Sole definito in coordinate sferiche, possiamo esprimerne la velocità come:

𝑉𝑟 = 𝑣𝑟

𝑉ф = −𝑤𝑆𝑢𝑛 𝑟 sin(𝜃)

𝑈𝜃 = 0

• Trascurando la rotazione differenziale, la velocità di rotazione del Sole sarà pari a:

𝑤𝑆𝑢𝑛 = 2.7 ∙ 10−6𝑟𝑎𝑑

𝑠

• La componente non radiale compare a causa della trasformazione effettuata nel sistema di riferimento rotante

39

MODELLO DI PARKER • Il percorso seguito dal campo magnetico in questa formulazione è rappresentato dalle linee di flusso della

velocità nel sistema di riferimento rotante, stimate mediante la seguente equazione:

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑ф=

𝑈𝑟

𝑈ф=

𝑣𝑟

−𝑤𝑆𝑢𝑛 𝑟 sin(𝜃)

• La Soluzione di Parker ci dice che per distanze molto maggiori rispetto al raggio critico (𝑟𝑐), la velocità radiale è quasi costante. Assumendo, allora 𝑣𝑟 = 𝑣0 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, possiamo integrare l’equazione considerando come condizioni di partenza quelle relative alla superficie solare:

𝑟 − 𝑅𝑆𝑢𝑛 =𝑣0

−𝑤𝑆𝑢𝑛 𝑟 sin 𝜃(ф 𝑟 − ф𝑆𝑢𝑛)

• Dove ф𝑆𝑢𝑛 è l’angolo di Azimut iniziale relativo alla superficie del Sole

• Il risultato ottenuto in seguito all’integrazione descrive una figura geometrica definita come Spirale di Archimede (guarda slide «BASI TEORICHE (5.2)/(5.2)»)

• La distanza di avvolgimento (∆𝑅) viene definita in funzione della distanza radiale in cui la spirale si è avvolta inizialmente attorno al Sole, quindi avremo ∆𝑅 = 2𝜋𝑣0/𝑤𝑆𝑢𝑛 (con una velocità radiale costante del vento solare pari a circa 400 km/s, ∆𝑅 ≈ 6 𝐴𝑈) 𝑩

𝑤𝑆𝑢𝑛 𝒗

40

MODELLO DI PARKER • Circa 10 anni dopo la formulazione di Parker, fu evidente la necessità di modificarne la teoria per includere in

maniera consistente l’influenza del campo magnetico del Sole

• A partire dalla conservazione della massa, dall’equazione della divergenza per il campo magnetico, l’equazione di congelamento del campo magnetico e l’equazione del momento, possiamo iniziare la trattazione come segue:

Nel modello di stato stazionario, la velocità di perdita di massa del Sole è costante, stimabile come:

𝑀 = 4𝜋η𝑟2𝑣𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

Nelle regioni dove la velocità radiale sarà costante, di conseguenza, avremo η ∝1

𝑟2 ()

Dalla conservazione del flusso magnetico, considerando sia 𝐵𝜃 che 𝐵ф nulle (per tutte le possibili ф o nelle

piccole regioni in cui la derivata 𝜕𝐵ф

𝜕𝑡può essere trascurata), otteniamo:

𝛻 ∙ 𝑩 = 0 ⇒ 𝐵𝑟𝑟2 = 𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛

2

41

MODELLO DI PARKER

𝛻 x 𝒗 x 𝑩 = 0

ф ∶𝜕

𝜕𝑟𝑟 𝑣ф𝐵𝑟 − 𝑣𝑟𝐵ф = 0

r ∶𝜕

𝜕ф𝑟 𝑣ф𝐵𝑟 − 𝑣𝑟𝐵ф = 0

Integrando la componente lungo ф, otteniamo:

𝐵ф =𝑣ф𝐵𝑟 + 𝐶

𝑣𝑟 𝑟

Impiegando la relazione ottenuta per la conservazione del flusso magnetico (𝐵𝑟𝑟

2 = 𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛):

𝐵ф =𝑣ф𝐵𝑟 + 𝐶

𝑣𝑟 𝑟

Assumiamo, per semplicità, che la velocità del fluido ed il campo magnetico abbiano esclusivamente

componenti azimutali e radiali (𝒗 = 𝑣𝑟 𝒓 + 𝑢ф ф e 𝐁 = 𝐵𝑟 𝒓 + 𝐵ф

ф)

Ricorrendo alla condizione di congelamento per il campo magnetico, avremo:

Questa equazione espressa in coordinate sferiche ci da tre equazioni, ma le informazioni lungo la componente 𝜃 non sono consistenti, quindi avremo esclusivamente:

42

MODELLO DI PARKER

Assumiamo, per semplicità, che la velocità del fluido ed il campo magnetico abbiano esclusivamente

componenti azimutali e radiali (𝒗 = 𝑣𝑟 𝒓 + 𝑣ф ф e 𝐁 = 𝐵𝑟 𝒓 + 𝐵ф

ф)

Assumendo anche in questo caso 𝑣𝑟 = 𝑣𝑆𝑢𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, necessariamente avremo la componente azimutale non

costante, ma pari a 𝑢ф =𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟(𝑅𝑆𝑢𝑛𝑤𝑆𝑢𝑛sin(𝜃))

Da 𝛻 ∙ 𝑩 = 0 espresso in coordinate sferiche abbiamo già ottenuto che 𝐵𝑟 = 𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

2

Dall’equazione d’induzione magnetica in caso di assenza del termine diffusivo (teorema del congelamento):

𝛻 x 𝐯 x 𝐁 = 0 = 𝛻 x

𝒓 𝜽 ф𝑣0 0 𝑣ф

𝐵𝑟 0 𝐵ф

= 𝛻 x 𝐵𝑟𝑣ф 𝜽 − 𝐵ф𝑣0

𝜽

Espressa in coordinate sferiche in seguito al calcolo del rotore avremmo una componente lungo ф:

𝛻 x 𝐵𝑟𝑣ф 𝜽 − 𝐵ф𝑣𝑆𝑢𝑛

𝜽 =1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟 𝐵𝑟𝑣ф − 𝐵ф𝑣𝑆𝑢𝑛 = 0 ⇒ 𝑟 𝐵𝑟𝑣ф − 𝐵ф𝑣𝑆𝑢𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

43

MODELLO DI PARKER

Utilizzando quanto ottenuto finora, possiamo ricavare l’equivalente di questa espressione sulla superficie solare (𝒓 = 𝑹𝑺𝒖𝒏):

𝑅𝑆𝑢𝑛 𝐵𝑟𝑣ф − 𝐵ф𝑣0 = 𝐵𝑟 𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑣ф𝑅𝑆𝑢𝑛 − 𝐵ф 𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑣𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

0 A questo punto:

⇒ 𝐵𝑟 𝑆𝑢𝑛

𝑣ф𝑅𝑆𝑢𝑛 = 𝐵𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

2

𝑅𝑆𝑢𝑛𝑤𝑆𝑢𝑛 sin 𝜃 𝑅𝑆𝑢𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑢ф 𝑆𝑢𝑛 = 𝑅𝑆𝑢𝑛𝑤𝑆𝑢𝑛sin(𝜃)

𝐵𝑟 𝑆𝑢𝑛

= 𝐵𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

2

Che, riordinando i termini, diventa: 𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛2 𝑤𝑆𝑢𝑛 sin 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

Sostituendo l’espressione ricavata nella formula generale in funzione della distanza:

𝑟 𝐵𝑟𝑣ф − 𝐵ф𝑣0 = 𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛2 𝑤𝑆𝑢𝑛 sin 𝜃 ⇒ 𝐵ф =

𝑟 𝐵𝑟𝑣ф − 𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛2 𝑤𝑆𝑢𝑛 sin 𝜃

𝑟𝑣𝑆𝑢𝑛

44

MODELLO DI PARKER Ricordando le espressioni generiche per campo magnetico radiale e componente azimutale della

velocità:

𝐵ф =𝑟𝐵𝑟𝑣ф − 𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛

2 𝑤𝑆𝑢𝑛 sin 𝜃

𝑟𝑣𝑆𝑢𝑛=

𝑟 𝐵𝑆𝑢𝑛


𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

2𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟(𝑅𝑆𝑢𝑛𝑤𝑆𝑢𝑛sin(𝜃)) −

𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛2 𝑤𝑆𝑢𝑛 sin 𝜃


𝐵𝑟 = 𝐵𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

2

𝑢ф =𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟(𝑅𝑆𝑢𝑛𝑤𝑆𝑢𝑛sin(𝜃))

possiamo ulteriormente sviluppare l’espressione della componente azimutale del campo magnetico come:

Da cui:

𝐵ф =𝐵𝑆𝑢𝑛𝑅𝑆𝑢𝑛

2 𝑤𝑆𝑢𝑛 sin 𝜃

𝑟𝑣𝑆𝑢𝑛[

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

2

− 1]

𝐵𝑟 = 𝐵𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

2

49

INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



50

SONDE SPAZIALI e RELATIVE SCOPERTE

• L’opportunità di una prima delle previsioni di Parker per quanto riguarda il Campo Magnetico Interplanetario da Pioneer 5 (11 marzo 1960), che rilevò, in prossimità dell’orbita terrestre, l’esistenza di un campo magnetico interplanetario di intensità estremamente bassa

• In seguito, le osservazioni sistematiche del campo magnetico interplanetario iniziarono nel 1963 con Explorer XVIII che fu in grado di fornire i primi dati sull’intensità (ampiezza compresa fra 4 e 7 nT e valori estremi pari a 1 e 10 nT) e la direzione («punta leggermente al di sotto del piano dell’eclittica» con verso uscente dal Sole, polarità positiva, o opposto, con polarità negativa) del campo magnetico interplanetario – esplicita verifica del modello di Parker

• L’analisi dei dati a disposizione (di Explorer XVIII) permise di evidenziare con molta chiarezza l’organizzazione interna del Campo Magnetico Interplanetario, caratterizzata da un’alternanza di regioni unipolari (o settori).

• In seguito ad osservazioni effettuate su tempi più lunghi, apparve ancora più evidente come l’alternanza di polarità delle linee di forza positive e negative fosse tutt’altro che casuale:

• Le indagini di Norman F. Ness (nato nel 1933) e di John M. Wilcox (1925- 1983) su un’intera rotazione solare provarono che ad alcuni giorni di polarità marcatamente positiva ne succidevano altri a polarità marcatamente negativa (alternanza che rimaneva inalterata anche in più rotazioni consecutive). Ne dedussero che la «struttura a settori organizza non solo la direzione del campo magnetico, ma anche le variazioni di velocità del vento solare»

51

SONDE SPAZIALI e RELATIVE SCOPERTE• La regolarità della struttura a settori può essere interpretata in termini di estensione a tutto lo spazio

interplanetario di uno strato di corrente che separa due emisferi solari con linee di forza di opposta polarità

• Un’organizzazione con più di due settori richiede una struttura più articolata per lo strato di corrente, interessato da gobbe o irregolarità tali da comportare attraversamenti multipli dello strato stesso da parte delle sonde interplanetarie nel corso di ciascuna rotazione solare

• «Settori di polarità magnetica negativa e settori di polarità magnetica positiva sono separati da cosiddetti strati di corrente. Hannes Alfvén , fisico svedese insignito del premio Nobel, ha assimilato questa struttura rotante a quella del gonnellino ondeggiante di una ragazza impegnata in una danza. E ha denominato questa struttura «Modello della ballerina piroettante» (Neuber, Musmann e Dehmel, 1984)

• L’alternanza di settori è però rilevabile esclusivamente da parte di sonde poste in prossimità dell’Equatore solare perché misure in situ effettuate a latitudini sufficientemente elevate (maggiori dell’angolo di inclinazione tra l’asse magnetico e di rotazione solare o maggiori dell’estensione latitudinale delle gobbe) comporterebbero valori sempre costanti di polarità magnetica per un’intera rotazione solare (sempre o sopra o sotto lo strato di corrente)

• Dal confronto delle osservazioni simultanee di Helios I e II (1974 e 1976) sa diverse latitudini eliografiche fu possibile concludere che «la posizione latitudinale e longitudinale degli attraversamenti di settore magnetico è consistente con uno strato di corrente di forma irregolare, inclinato di circa 10° rispetto all’Equatore geografico» (Villante ed altri, 1979)

52

INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



53

MODELLO DELLA BALLERINA PIROETTANTE • La Corrente Magnetica Diffusa (CMD) è uno strato di confine a basse latitudini presente fra le due polarità del CMI

(è posto fra linee di campo magnetico aperte di polarità opposta generate dalle estensioni esterne del campo magnetico solare a forma di dipolo) e viene spesso chiama Ballerina Piroettante a causa della sua struttura caratterizzata da gobbe ed avvallamenti che non seguono l’equatore eliografico

• La Corrente Magnetica Diffusa (CMD) rappresenta un vero e proprio equatore magnetico per l’Eliosfera, separando il campo magnetico solare positivo (Nord) da quello negativo (Sud) come richiesto dalle Equazioni di Maxwell (il vettore differenza fra i due campi magnetici è una misura del densità di corrente lineare)

• La struttura del CMD è fortemente influenzata dall’attività solare, ed assume forme diverse in corrispondenza della fase di minima (la struttura tende a convergere verso l’equatore eliomagnetico) e massima (struttura più complessa)

• La latitudine del CMD dipende fortemente dalla longitudine considerata e la longitudine istantanea non è rappresentativa della latitudine media stimata (varia da +17° a -20° - risultati ottenuti in funzione delle osservazioni di Pioneer I)

• Ad una distanza pari ad 1 UA lo spessore della CMD è approssimativamente pari a 10’000 km

54

MODELLO DELLA BALLERINA PIROETTANTE • Una caratteristica peculiare della CMD riguarda l’inclinazione presente fra asse di rotazione del sole e l’asse del

dipolo magnetico:

Trasformando il piano della corrente magnetica diffusa espresso nelle coordinate del campo magnetico solare nel sistema eliografico, vediamo come la CMD oscilla nel piano dell’equatore eliografico, formando una serie di picchi e valli (modello della ballerina piroettante)

Le linee del CMI si possono discostare dalla dinamica ideale della Spirale di Archimede a causa delle interazioni al di fuori del piano equatoriale solare con il vento solare (provvisori gradienti di velocità radiali, azimutali e poloidale del vento solare)

55

MODELLO DELLA BALLERINA PIROETTANTE

• Considerando la direzione del campo magnetico assimilabile a quella di una particella di plasma che fluisce radialmente a partire dalla superficie solare verso lo spazio interplanetario con un determinato gradiente di velocità azimutale, otteniamo:

𝐵𝑟 𝑟 = 𝐵𝑟 𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

2

𝐵𝜃 𝑟 = 𝐵𝜃 𝑅𝑆𝑢𝑛

(𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟)

𝐵𝜑 𝑟 = 𝐵𝜑 𝑅𝑆𝑢𝑛

(𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟)

⇒

𝐵𝑟 𝑟 = 𝐵𝑟𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

2

+ 𝐵𝜃𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟

21 − 𝑟

𝑅𝑆𝑢𝑛(

1

𝑣𝑑𝑣𝑑𝜃

)

𝐵𝜃 𝑟 = 𝐵𝜃𝑅𝑆𝑢𝑛(𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟)

𝐵𝜑 𝑟 = 𝐵𝜑𝑅𝑆𝑢𝑛(𝑅𝑆𝑢𝑛

𝑟)

• Per distanze non troppo ingenti, considerando un raggio vicino alla superficie solare, il gradiente di velocità non cambia sostanzialmente i valori del campo magnetico

• Le verifiche effettuate fra dati teorici e sperimentali, sulla base del modello descritto, dimostrano che il gradiente di velocità azimutale è effettivamente causa delle variazioni nella direzione del campo magnetico

56

MODELLO DELLA BALLERINA PIROETTANTE

• Più in generale, nelle prossimità della superficie solare, il plasma è maggiormente confinato dal forte campo magnetico e quindi solitamente ruota seguendo la rotazione del Sole attorno al proprio asse

• Da quanto abbiamo precedentemente dimostrato nel Modello di Parker, sappiamo che già a qualche raggio solare di distanza dalla superficie del Sole la velocità diventerà più radiale che azimutale (la velocità di co-rotazione sarà molto minore rispetto a quella del vento solare). Il campo magnetico avrà una direzione media complessivamente radiale, con una componente azimutale piccola, ma importante, influenzata dalla rotazione del sole

• Considerando distanze ancora maggiori, il campo magnetico sarà continuamente alterato dal flusso del vento solare in funzione della seguente equazione (la otteniamo dalla Legge di Faraday in condizioni di conduttività infinita ed applicando la definizione di derivata convettiva):

𝑑𝑩

𝑑𝑡= 𝒗 ∙ 𝛁 𝑩 +

𝜕𝑩

𝜕𝑡= −𝑩 𝛁 ∙ 𝒗 + 𝑩 ∙ 𝛁 𝒗

57

MODELLO DELLA BALLERINA PIROETTANTE • Di conseguenza, il campo magnetico presente dopo circa 5 giorni (𝑻) di viaggio (a partire dalla superficie solare, in

direzione della Terra) potrà essere stimato come: 𝑩(𝑟) =

𝟎

𝑻

[−𝑩 𝛁 ∙ 𝒗 + 𝑩 ∙ 𝛁 𝒗] 𝑑𝑡

• Considerando il vento solare costante (in condizioni stazionarie), dall’integrazione della precedente equazione ricaveremo le condizioni per un campo magnetico spiraleggiante:

Il primo termine descrive come 𝑩 aumenta/diminuisce in termini di ampiezza, ma non come varia la direzione Il secondo termine è responsabile per la variazione di direzione di 𝑩, direttamente influenzata dalla velocità di

rotazione del Sole

• Il vento solare, essenzialmente radiale, non dipende dalla velocità angolare di rotazione del sole ma, trasportando con sé le linee di forza del campo magnetico solare, trasmetterà ed amplificherà, anche a grandi distante, le informazioni sulla rotazione del Sole appartenenti alla componente iniziale azimutale di 𝑩 attraverso il termine diadico

• Qualsiasi effetto addizionale in termini di gradiente di velocità sono in grado di comportare anche ingenti alterazioni, sia temporali che spaziali, rispetto al modello spiraleggiante del CMI, visibili soprattutto più aumenta la distanza radiale da Sole

58

MODELLO DELLA BALLERINA PIROETTANTE • In aggiunta ai possibili discostamenti rispetto il modello a Spirale di Archimede per il CMI a causa delle variazioni

della velocità del vento solare, riconosciamo le possibili conseguenze causate da una sorgente di campo magnetico vicina al Sole:

Esempio di particolari perturbazioni

In questo caso, il campo magnetico nelle prossimità del Sole non avrà più direzione radiale con una piccola componente azimutale, ma avrà proprio una differente conformazione che verrà trasportata (teorema di congelamento) nel plasma fino alla Terra (1 UA)

59

INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



60

PLASMA• Lo stato di plasma (gas completamente ionizzato) rappresenta uno dei quattro stati di aggregazione della materia,

insieme allo stato solido, liquido ed gassoso

• La trasformazione di un gas in un plasma avviene quando esiste nel gas una frazione apprezzabile di particelle aventi energia media confrontabile con quella di ionizzazione e quando le particelle ionizzate hanno influenza essenziale sulle sue proprietà

• La materia cosmica si trova al 99% in stato di alta ionizzazione ed alta mobilità delle particelle (plasma ad elevataconducibilità e non gas neutro)

Parametro Valore

Densità numerica di particelle (n) 5 × 106 𝑚−3

Temperatura (T) 20 𝑒𝑉 (23.21 ∙ 104 𝐾)

Il plasma associate al Vento Solare ha le seguenti caratteristiche:

61

PLASMA

• Lo stato di plasma si raggiunge spontaneamente nella materia in equilibrio termodinamico a 𝑻 ≥ 𝟏𝟎𝟒 K ed è determinato dalla sua composizione, dalla conventrazioni delle componenti e dalla temperatura

• Il plasma semplice è costituito da particelle neutre di un tipo (ioni monovalenti dello stesso tipo ed elettroni) ed il suo stato di ionizzazione è descritto dalla Legge di Saha (in condizioni di equilibrio termodinamico):

𝑛𝑒𝑛𝑖

𝑛𝑛=

2 2𝜋𝑚𝑒𝑇32

ℎ3 e−𝐸𝑖𝑇 = 𝑓(𝑇)

• Dove:• 𝑛𝑒 , 𝑛𝑖 , 𝑛𝑛 sono le densità di elettroni, ioni ed atomi neutri• 𝐸𝑖 è l’energia di ionizzazione degli atomi• 𝑚𝑒è la massa dell’elettrone (9.11 ∙ 10−31 kg)• ℎ è la Costante di Planck (6.626 ∙ 10−34 J s)• 𝑇 la Temperatura del plasma espressa in unità energetiche (eV)

62

PLASMA• Un plasma in equilibrio termodinamico ha uno stato di ionizzazione completamente caratterizzato una volta

assegnate concentrazione e temperatura (ne determina l’Energia media e la distribuzione della velocità delle particelle maxwelliana)

• Un plasma in condizioni di equilibrio parziale:

• Abbiamo una distribuzione maxwelliana per le particelle, ma temperature differenti:• Gli elettroni e gli ioni hanno stati di equilibrio separati, ma il sistema globale non è all’equilibrio

termodinamico• Possiamo introdurre una Temperatura elettronica (𝑇𝑒) ed una Temperatura ionica (𝑇𝑖)

• Un plasma non equilibrio termodinamico avrà una distribuzione della velocità delle particelle differente dalla distribuzione di Maxwell e la conoscenza delle temperature medie delle componenti è insufficiente per caratterizzarne il comportamento in assenza di ulteriori informazioni sulla funzione di distribuzione della velocità delle particelle

• Il plasma, essendo costituito da cariche elettriche libere, è un ottimo conduttore di corrente elettrica e la presenza di suddette cariche cambia drasticamente il comportamento della materia perché intervengono le forzecoulombiane a lungo range in aggiunta a quelle d’interazione a corto range, tipiche della materia neutra

63

INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



64

FISICA DEI PLASMI• Una carica q puntiforme fissa in un plasma genera un campo elettrostatico a cui possiamo associare un potenziale

elettrostatico (ф) differente da quello che verrebbe a generarsi nel vuoto (ф =𝑞

𝑟)

• La densità di carica elettrica (𝜌𝑒) deve comprendere la carica principale e la densità di carica di polarizzazione dovuta alla differenza delle densità di elettroni e ioni in prossimità di q (assunta all’origine del sistema di riferimento scelto):

𝜌𝑒 = 𝑞 ∙ 𝛿 𝑟 − 𝑒(𝑛𝑖 − 𝑛𝑒)

• Descriviamo il campo intorno alla una singola carica q (considerando carica positiva) mediante l’Equazione di Poisson:

𝛻2ф = −4𝜋𝜌𝑒 = 4𝜋𝑒 𝑛𝑖 − 𝑛𝑒 − 4𝜋𝑞 ∙ 𝛿 𝑟

• Dove la Funzione di Dirac 𝛿 𝑟 caratterizza la densità di carica elettrica di q nell’origine del sistema di riferimento

65

FISICA DEI PLASMI• All’equilibrio termodinamico la distribuzione delle particelle cariche è la Distribuzione di Boltzmann, per cui si ha

rispettivamente per elettroni e ioni:

𝑛𝑒 = 𝑛0exp(𝑒ф

𝑇𝑒)

𝑛𝑖 = 𝑛0exp(𝑒ф

𝑇𝑖)

• Dove 𝑛0 è la densità media di elettroni e di ioni nella regione imperturbata, lontano dalla carica q (plasma neutro, quindi 𝑛𝑒 = 𝑛𝑖 = 𝑛0)

• Sostituendo le espressioni per le due distribuzioni di particelle nell’Equazione di Poisson, troviamo:

𝛻2ф = 4𝜋𝑒𝑛0[ exp𝑒ф

𝑇𝑖− exp(

𝑒ф

𝑇𝑒) ] − 4𝜋𝑞 ∙ 𝛿 𝑟

66

FISICA DEI PLASMI – Lunghezza di Debye

• Considerando distanze sufficientemente grandi dalla carica q, l’energia potenziale è molto minore dell’energia termica, quindi:

𝑒ф ≪ 𝑇𝑖,𝑒

yields𝛻2ф = 4𝜋𝑒2𝑛0 (

1

𝑇𝑒+

1

𝑇𝑖) ф

• Essendo il problema a simmetria sferica, il laplaciano 𝛻2 in coordinate sferiche si riduce alla sola parte radiale e possiamo porre:

λ𝐷𝑒,𝑖=

𝑇𝑒,𝑖

4𝜋𝑒2𝑛0

1

λ𝐷2 =

1

λ𝐷𝑒

2 +1

λ𝐷𝑖

2e

• L’equazione per ф diventa:

1

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2

𝑑ф

𝑑𝑟=

ф

λ𝐷2

yieldsф =

𝑞

𝑟exp(−

𝑟

λ𝐷)

67

• Abbiamo ottenuto l’espressione per il potenziale assumendo che:

• Il potenziale si annulli all’infinito • Nella condizione 𝑟 ≪ λ𝐷, nelle immediate vicinanze della carica q, non essendoci schermatura, il potenziale

coincida con quello coulombiano (ф(𝑟) ≅𝑞

𝑟)

• Nella condizione 𝑟 > λ𝐷 il potenziale sia notevolmente più debole di quello coulombiano (decadimento più rapido a causa dell’effetto di schermatura del plasma)

• Nella sfera di raggio λ𝐷 si raccoglie una carica di polarizzazione che scherma il campo elettrostatico a grande distanza, dove questa lunghezza caratteristica prende il nome di Lunghezza di Debye

• In caso di un rapporto arbitrario tra 𝑇𝑒 e 𝑇𝑖, la Lunghezza di Debye si può calcolare ricorrendo a:

λ𝐷 =1

4𝜋𝑒2𝑛0

𝑇𝑒𝑇𝑖

𝑇𝑒 + 𝑇𝑖

• In caso una delle due temperature fosse molto maggiore dell’altra, useremo esclusivamente il valore maggiore (T) come segue:

λ𝐷 =𝑇

4𝜋𝑒2𝑛0= 7.43 ∙ 103

𝑇

𝑛0= [𝑚]

FISICA DEI PLASMI – Lunghezza di Debye

68

• Il plasma è un gas di particelle cariche la cui energia potenziale elettrostatica di interazione con le particelle più

vicine (distanza media fra le particelle di circa 𝑛−1

3) è molto inferiore all’energia termica media, quindi:

FISICA DEI PLASMI – Parametro di Plasma

𝑁𝐷 = 𝑛 ∙ λ𝐷3 ≫ 1

𝑒2

𝑛−13

≪ 𝑇

• Ricordando la definizione di Lunghezza di Debye in funzione della Temperatura, assumendo che 𝑛0 = 𝑛, possiamo ricavare il Parametro di Plasma:

• Il Parametro di Plasma rappresenta approssimativamente il numero di particelle nella sfera di raggio λ𝐷, detta Sfera di Debye per cui vale:

𝑁𝐷 = 4.1 ∙ 1011 𝑇32 𝑛−

12

• Dove esprimeremo la Temperatura in eV ed n in 𝑚−3

69

• La condizione 𝑁𝐷 ≫ 1 deve essere soddisfatta per considerare nell’Equazione di Poisson la carica elettrica come un continuo e non come una sommatoria delle single cariche che circondano la carica centrale (comportamenticollettivi dominanti)

• Un plasma ideale ha Parametro di Plasma 𝑁𝐷 = 1

• In un plasma possiamo trascurare gli effetti quantistici se la dimensione del pacchetto d’onda di un tipico elettrone(definite Lunghezza d’onda di De Broglie) corrispondente alla velocità termica media degli elettroni è piccolarispetto alla distanza media fra le particelle. In questa condizione, non si hanno interazioni fra le funzioni d’onda e possiamo affermare:


ℎ

𝑚𝑒𝑣𝑡ℎ𝑒≪ 𝑛−

13

• Ricavando l’espressione per 𝑣𝑡ℎ𝑒 a partire dall’energia termica del sistema:

𝑇 =1

2𝑚𝑒𝑣𝑡ℎ𝑒

2yields

𝑣𝑡ℎ𝑒 =2𝑇

𝑚𝑒

• Riscriviamo la precedente condizione come:

𝑇 ≫ℎ2𝑛

23

2𝑚𝑒= 𝛼𝐸𝐹

Energia di Fermi

Fattore numerico

70

• Un plasma è complessivamente neutro a livello macroscopico grazie alla reciproca compensazione della carica spaziale degli ioni positivi e degli elettroni


Avviene in volumi abbastanza grandi e considerando intervalli di tempo sufficientemente lunghi

• Comunemente il plasma viene definito mezzo «quasi-neutro»

• La distanza caratteristica di separazione delle cariche del plasma può essere stimata supponendo che in una regione del mezzo sia violata la condizione di neutralità con conseguente deficit di elettroni entro una sfera di raggio L (𝑛𝑒 = 𝑛𝑖 − 𝑛). Dalla Legge di Gauss (𝜵 ∙ 𝑬 = 4𝜋𝜌𝑒) ed impiegando il Teorema della Divergenza, si ottiene la seguente espressione per il Campo Elettrico:

𝑬 ∙ 𝑑𝑺 = 4𝜋𝑒 𝑛𝑖 − 𝑛𝑒 𝑑𝑉

S V

71

• Applicando il tutto ad una sfera di raggio r, grazie alla simmetria sferica del problema otteniamo per il Campo Elettrico:


4

3𝜋𝑒 𝑛𝑟 𝑟 ≤ 𝐿

4

3𝜋𝑒 𝑛

𝐿3

𝑟2 𝑟 > 𝐿

𝐸 𝑟 =

• Confrontiamo ora la massima densità di energia elettrostatica (휀𝑒𝑠 =𝐸𝑚𝑎𝑥

2

8𝜋) con la minima densità di energia termica

(휀𝑡ℎ = 𝑛𝑇), dove T è la minore temperatura fra quella degli elettroni e quella degli ioni positivi:

• Da cui otteniamo:

휀𝑒𝑠

휀𝑡ℎ=

2𝜋𝑒2 𝑛𝐿2

9𝑛𝑇

𝑛

𝑛= 18

휀𝑒𝑠

휀𝑡ℎ

λ𝐷

𝐿

2

• In tutti i casi pratici risulta 휀𝑒𝑠 ≪ 휀𝑡ℎ (definizione di plasma), quindi 𝑛

𝑛≪ 1 (plasma sempre quasi-neutro) e le

concentrazioni di elettroni e ioni positivi sono pressocché uguali (solo su scale con 𝐿 ≪ λ𝐷 vi sono deviazioni dallaneutralità e λ𝐷 risulta essere la distanza caratteristica di separazione delle cariche)

72

• Il tempo caratteristico di separazione delle cariche del plasma può essere stimato in base alle seguenti considerazioni:

• Nel plasma gli ioni positivi sono considerati fermi a causa della loro massa elevata• La presenza di uno strato di elettroni di spessore L spostato dalla propria posizione iniziale di una

distanza d, piccola rispetto ad L, induce la creazione di due strati di carica opposta (separazione L e densità di carina ± ne)

• Il campo elettrico presente fra i due strati a carica opposta è pari a 𝐸 = 4𝜋𝑛𝑒𝑑 e tende a richiamare glielettroni verso la posizione di equilibrio

• Gli ioni positive attraggono gli elettroni con una forza pari a – 𝑒𝐸, da cui l’equazione del moto pari a:

FISICA DEI PLASMI – Frequenza di Plasma

𝑚𝑒 𝑑 = −𝑒𝐸 = −4𝜋𝑛𝑒𝑒

2𝑑yields

𝑑 +4𝜋𝑛𝑒𝑒

2

𝑚𝑒𝑑 = 0

Rappresenta un’oscillazione armonica a frequenza:𝒘𝑷𝒆 =

𝟒𝝅𝒏𝒆𝒆𝟐

𝒎𝒆

73

• La frequenza di plasma per gli elettroni è una grandezza fondamentale della fisica dei plasmi:


𝑤𝑃𝑒 =4𝜋𝑛𝑒𝑒

2

𝑚𝑒

• La frequenza di plasma per gli ioni di carica Ze (Z numero atomico degli ioni) la seguente espressione:

𝑤𝑃𝑖 =4𝜋𝑛𝑖𝑍

2𝑒2

𝑚𝑖

• Di conseguenza, la frequenza delle oscillazioni complessive (Frequenza di plasma), nel caso in cui non si trascurasse il modo degli ioni, diventa:

𝑤𝑃 = 𝑤𝑃𝑖 + 𝑤𝑃𝑒

• Dato che la massa degli elettroni è molto inferiore rispetto alla massa degli ioni nel plasma, si ha:

𝑤𝑃𝑒 ≫ 𝑤𝑃𝑖

yields𝑤𝑃 ≅ 𝑤𝑃𝑒

74

• Ricapitolando alcune proprietà/caratteristiche proprie del plasma, possiamo stimare:


𝑓𝑃𝑒 =𝑤𝑃𝑒

2𝜋≅ 8.98 𝑛𝑒 Hz

𝑓𝑃𝑖 =𝑤𝑃𝑖

2𝜋≅ 0.210 𝑍

𝑛𝑖

𝐴Hz

• Dove A è il numero di massa degli ioni, mentre 𝑛𝑒 ed 𝑛𝑖 sono in 𝑚−3

• Le oscillazioni della carica di volume nel caso di violazione della quasi-neutralità sono dette oscillazioni di plasma o oscillazioni di Langmuir, e di conseguenza la frequenza corrispondente è detta Frequenza di Langmuir

• Le oscillazioni del plasma determinano il meccanismo di restaurazione della quasi neutralità (mediamente, su un grande numero di oscillazioni, il plasma può considerarsi neutro)

• Il tempo caratteristico di separazione delle cariche di plasma (misura del tempo necessario al plasma per ristabilire la neutralità in seguito ad una sua violazione) sarà:

𝑡𝐷 ≅1

𝑤𝑝≅

𝑚𝑒

4𝜋𝑛𝑒𝑒2 ≅

λ𝐷𝑒

𝑣𝑡ℎ𝑒~ λ𝐷𝑒

𝑚𝑒

𝑇𝑒

12

75

FISICA DEI PLASMI – Teoria delle orbite (1)• Le proprietà fondamentali del plasma sono determinate dalle caratteristiche del moto delle sue particelle cariche

• La descrizione del moto di una singola particella carica in presenza di campi elettrici e magnetici non prenderà in considerazione:

• Le interazioni presenti fra le particelle• La modifica che eventuali campi esterni imposti subiscono a causa della presenza e del moto delle cariche

stesse

• Il moto di una particella di carica q e velocità v in presenza di un Campo Elettrico (E) ed un campo Magnetico (B) è descritto da:

𝑚 𝒗 = 𝑞𝑬 +𝑞

𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Dove 𝒗 è l’accelerazione della particella e sia E che B saranno funzione del tempo e dello spazio (siamo interessati

esclusivamente ai casi per cui vale 𝑣 ≪ 𝑐, dove 𝑐 = 2.998 ∙ 108 𝑚

𝑠è la velocità della luce nel vuoto)

76


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

Ω =𝑞𝐵

𝑚𝑐= [

1

𝑠]─ Dove abbiamo definito la Frequenza di Ciclotrone come:

─ Con Periodo di Ciclotrone pari a: 𝑇Ω =2𝜋

Ω

• Primo caso:

𝑬 = 0

𝑩 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝐵 𝒛 𝒗 = Ω 𝒗 x 𝒛 𝒗 =

𝑞

𝑚𝑐𝒗 x 𝐵 𝒛 𝒗 =

𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛

• Moltiplicando scalarmente ambo i termini del risultato ottenuto per 𝑚𝒗:

𝑚𝒗 ∙ 𝒗 = 𝑚𝒗 ∙ (Ω 𝒗 x 𝒛)= 0yields

𝑚𝒗 ∙ 𝒗 =1

2𝑚

𝑑

𝑑𝑡𝑣2

yields𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

FISICA DEI PLASMI – Teoria delle orbite (1)

77


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

Ω =𝑞𝐵

𝑚𝑐= [

1

𝑠]─ Dove abbiamo definito la Frequenza di Ciclotrone come:

─ Con Periodo di Ciclotrone pari a: 𝑇Ω =2𝜋

Ω

• Moltiplicando scalarmente ambo i termini del risultato ottenuto per 𝒛:

𝒗 ∙ 𝒛 = (Ω 𝒗 x 𝒛) ∙ 𝒛= 0yields

𝒗 ∙ 𝒛 =𝑑𝒗

𝑑𝑡∙ 𝒛 =

𝑑

𝑑𝑡𝒗 ∙ 𝒛 =

𝑑 𝑣//

𝑑𝑡= 0

yields𝑣// = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

• Primo caso:

𝑬 = 0


𝑞


𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛


78


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Abbiamo ottenuto:

𝑣// = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

• Avendo definito 𝑣// e 𝑣⟂ la componente parallela e perpendicolare della velocità della particella rispetto al

campo magnetico (B)

𝑊 =1

2𝑚𝑣2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑊// =1

2𝑚𝑣//

2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑊⟂ =1

2𝑚𝑣⟂

2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

• Primo caso:

𝑬 = 0


𝑞


𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛


79


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Primo caso:

𝑬 = 0

𝑩 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝐵 𝒛

• Possiamo affermare che, in queste condizioni, l’Energia Cinetica totale (𝑾) e le sue due componenti associate al moto parallelo (𝑊//) e perpendicolare (𝑊⟂) del campo magnetico si conservano

𝑣𝑥 = 𝛺𝑣𝑦

yields 𝑣𝑥 = 𝛺 𝑣𝑦 = −𝛺2𝑣𝑥

𝑣𝑦 = −𝛺𝑣𝑥

𝑣𝑧 = 0yields

𝑣𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑣𝑧0 = 𝑣//

• Scomponendo nelle componenti lungo ( 𝒙, 𝒚, 𝒛):

𝒗 = Ω 𝒗 x 𝒛 𝒗 =𝑞


𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛

INTEGRANDO

𝑣𝑥 = 𝑣⟂cos(𝛺𝑡 + ф)

𝑣𝑦 =1

𝛺 𝑣𝑥 = −𝑣⟂sin(𝛺𝑡 + ф)

• Dove: 𝑣⟂2 = 𝑣𝑥0

2 + 𝑣𝑦02 e ф = acos(

𝑣𝑥0

𝑣⟂)


80


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Primo caso:

𝑬 = 0


• Le espressioni per (x,y,z) si ricavano integrando nuovamente le espressioni delle velocità lungo gli assi coordinati:



𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛

𝑥 − 𝑥0 =𝑣⟂𝛺

sin(𝛺𝑡 + ф)

𝑦 − 𝑦0 =𝑣⟂𝛺

cos(𝛺𝑡 + ф)

𝑧 − 𝑧0 = 𝑣//𝑡

• I parametri (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) sono determinati dalle condizioni iniziali


81


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Primo caso:

𝑬 = 0


• Abbiamo un moto circolare uniforme di raggio 𝜌 sul piano (x,y) perpendicolare al Campo Magnetico (𝑩) ed una traslazione uniforme lungo 𝒛:



𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛

𝑥 − 𝑥0 =𝑣⟂𝛺

sin(𝛺𝑡 + ф)

𝑦 − 𝑦0 =𝑣⟂𝛺

cos(𝛺𝑡 + ф)

𝑧 − 𝑧0 = 𝑣//𝑡

Raggio di Larmor

𝜌 =𝑣⟂ 𝛺

= 𝑐𝑜𝑠𝑡~ 𝑚𝑇

• Il segno della carica determina il verso della rotazione rispetto al Campo Magnetico (se si guardasse nel verso opposto al campo, una carica negativa ruoterebbe in senso antiorario, una carica positiva in senso orario)


82


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Primo caso:

𝑬 = 0


• Abbiamo un moto circolare uniforme di raggio 𝜌 sul piano (x,y) perpendicolare al Campo Magnetico (𝑩) ed una traslazione uniforme lungo 𝒛

• Il segno della carica determina il verso della rotazione rispetto al Campo Magnetico (se si guardasse nel verso opposto al campo, una carica negativa ruoterebbe in senso antiorario, una carica positiva in senso orario)

• Assumendo l’Orbita di Larmor come una spira di area A percorsa da corrente, impiegando il Teorema di equivalenza di Ampère, possiamo definire il Momento Magnetico (𝝁) associato come:



𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛

𝝁 =1

𝑐𝑖 𝑨 =

𝑞Ω

2𝜋𝑐𝑨 dove : 𝑖 =

𝑞

𝑇=

𝑞Ω

2𝜋


83


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Primo caso:

𝑬 = 0


• Assumendo l’Orbita di Larmor come una spira di area A percorsa da corrente, impiegando il Teorema di equivalenza di Ampère, possiamo definire il Momento Magnetico (𝝁) associato come:



𝑞𝐵

𝑚𝑐𝒗 x 𝒛

𝝁 =1

𝑐𝑖 𝑨 =

𝑞Ω

2𝜋𝑐𝑨 dove : 𝑖 =

𝑞

𝑇=

𝑞Ω

2𝜋

• Considerando l’area della spira 𝐴 = 𝜋𝜌2 ed il verso di A sempre opposto a quello di B ( 𝑨 = − 𝑩 = −𝒃), esprimiamo:

𝝁 =𝑞Ω

2𝜋𝑐𝑨 = −

𝑊⟂𝐵

𝒃 = −𝑊⟂𝐵2 𝑩


84

FISICA DEI PLASMI – Campo di Larmor


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Primo caso:

𝑬 = 0


• Assumendo queste condizioni, in un plasma di densità n, la rotazione di Larmor determina la formazione di un campo magnetico 𝑩𝑳 (campo indotto o campo di Larmor), campo proprio delle particelle, definito come:

𝑩𝑳 = 4𝜋𝑛𝝁 = −4𝜋𝑛𝑊⟂

𝐵2 𝑩

• Il Campo di Larmor è antiparallelo rispetto al campo esterno ed il plasma si definisce diamagnetico

85

FISICA DEI PLASMI – Campo di Larmor• Nel caso di orbita di Larmor, in un plasma di densità n, la rotazione di Larmor determina la formazione di un

campo magnetico 𝑩𝑳 (campo indotto o campo di Larmor), campo proprio delle particelle, definito come:

𝑩𝑳 = 4𝜋𝑛𝝁 = −4𝜋𝑛𝑊⟂

𝐵2 𝑩

• Il Campo di Larmor è antiparallelo rispetto al campo esterno ed il plasma si definisce diamagnetico

• La stima del rapporto fra campo magnetico indotto ed esterno permette di comprendere quando 𝑩𝑳 risulta

trascurabile (consideriamo 𝑊⟂ ≈𝑊

2): 𝐵𝐿

𝐵=

2𝜋𝑛𝑊

𝐵2 =1

4

𝑛𝑊

(𝐵2/8𝜋)

• Definendo il rapporto fra la densità di energia cinetica (휀𝑊 = 𝑛𝑊) e la densità di energia magnetica (휀𝑚 =𝐵2/8𝜋)

𝛽 =𝑛𝑊

(𝐵2/8𝜋)

• Possiamo trascurare l’effetto di retroazione del plasma sul campo magnetico fintanto che 𝜷 ≪ 𝟏

86


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Secondo caso:

𝑬 = cost = E// 𝒛 + 𝐸⟂ 𝒚



• In questo caso, otteniamo:

𝑣𝑥 = 𝛺𝑣𝑦

𝑣𝑦 =𝑞

𝑚𝐸⟂ − 𝛺𝑣𝑥

𝑣𝑧 =𝑞

𝑚E//

𝑣𝑥 = 𝑣⟂ cos 𝛺𝑡 + ф + (𝑞

𝑚𝛺)𝐸⟂

𝑣𝑦 = − 𝑣⟂ sin 𝛺𝑡 + ф

𝑣𝑧 = 𝑣// +𝑞

𝑚E//𝑡

87


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Secondo caso:


• Possiamo osservare come, diversamente rispetto al caso in cui 𝑬 = 0, sul piano perpendicolare al campo magnetico (B) subentri una velocità costante aggiuntiva (velocità di deriva elettrica) che corrisponde a:

𝑬 = cost = E// 𝒛 + 𝐸⟂ 𝒚


𝒗𝑬 =𝑞𝐸⟂𝑚𝛺

𝒙 =𝑐𝐸⟂𝐵

𝒙 = 𝑐𝐸

𝐵 𝑬 x 𝑩

• In direzione parallela al campo magnetico (B) appare un’accelerazione costante pari a 𝑞

𝑚E//

• In queste condizioni, il moto della particella è uniformemente accelerato lungo la direzione del campo magnetico per effetto della componente di E // a B, mentre sul piano ortogonale a B abbiamo un moto composto dalla rotazione di Larmor (moto di girazione) e da una deriva costante del centro della circonferenza di Larmor(detto centro di guida/centro di Larmor) nella direzione 𝒙 (moto di deriva elettrica) con velocità 𝒗𝑬

88


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Secondo caso:

FISICA DEI PLASMI – Velocità di deriva elettrica

• La velocità di deriva elettrica corrisponde a:

𝑬 = cost = E// 𝒛 + 𝐸⟂ 𝒚


𝒗𝑬 =𝑞𝐸⟂𝑚𝛺

𝒙 =𝑐𝐸⟂𝐵

𝒙 = 𝑐𝐸

𝐵 𝑬 x 𝑩

• Questa velocità è indipendente dalla massa della particella, non dipende dalla carica ed in un plasma neutro non produce corrente

• L’origine della deriva da campo elettrico può intendersi• In assenza dell’azione del campo elettrico, la particella si muoverebbe lungo una circonferenza di raggio pari al

raggio di Larmor ed il verso della rotazione è tale che la forza di Lorentz risulti centripeta:

• A seconda del segno della carica, la forza elettrica qE accelererà la particella lungo una porzione o l’opposta della circonferenza di Larmor, quindi verrà a determinarsi una traiettoria che prende il nome di trocoide

89


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz


• Nell’espressione della Forza di Lorentz il campo elettrico compare mediante l’intervento della forza qE; qualsiasi altra forza costante ed uniforme agente e non dipendente dalla velocità produrrà il medesimo effetto

• Ripetendo la trattazione svolta per una forza elettrica generica qE nel caso di una generica forza F (dove 𝑬 =𝑭

𝑞),

troveremo una velocità di deriva data da:𝒗𝑭 == 𝑐

𝐹

𝑞𝐵 𝑭 x 𝑩

• Da questa deduzione segue che, contrariamente a quanto accade nel caso di un campo elettrico, una forza agente che non dipenda dalla carica elettrica (es. 𝑭 = 𝑚𝒈) produrrà una deriva di verso opposto per cariche di segno opposto, determinando una corrente netta non nulla

90


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso: moto di una particella carica in presenza di campi elettrici e magnetici con lievi variazioni termini spaziali e temporali

• Troviamo una soluzione analitica per l’equazione del moto nell’ambito dell’approssimazione di deriva (o del centro di guida)

• Definiamo una lunghezza ed un tempo caratteristici di una data grandezza vettoriale 𝑮(𝒓, 𝑡):

• Tempo caratteristico di 𝑮(𝒓, 𝑡):

• Lunghezza caratteristica di 𝑮(𝒓, 𝑡):

• Le variazioni dei campi dovute ai gradienti spaziali e alla dipendenza temporale esplicita devono avvenire, in questa casistica, su lunghezze e tempi molto maggiori delle lunghezze e tempi caratteristici del modo della particella


𝑇 ≡1

𝐺

𝜕𝑮

𝜕𝑡

−1

𝐿 ≡1

𝐺𝛻 ∙ 𝑮

−1

91


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:


𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

dove:

𝐿⟂ = 𝜵⟂

𝐿// = 𝜵//

• Il rapporto𝑣𝐸

𝛺rappresenta lo spostamento della particella nella direzione di deriva elettrica nel tempo

impiegato per percorrere l’orbita di Larmor

• Il rapporto 𝑣//

𝛺rappresenta lo spostamento della particella nella direzione del campo magnetico nel tempo

impiegato per percorrere l’orbita di Larmor

92


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:


𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

Assicurano che in un periodo di girazione la particella si muova in una regione spaziale all’interno della quale la variazione del campo dovuta ai gradienti spaziali sia piccola

Assicura che nel medesimo periodo sia piccola la variazione dei campi dovuta alla dipendenza temporale esplicita

• In queste condizioni conviene scomporre il moto della particella come segue:

𝒓 = < 𝒓 > + 𝒓 ≡ 𝒓𝒄 + 𝒓

𝒗 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=

𝑑 < 𝒓 >

𝑑𝑡+

𝑑 𝒓

𝑑𝑡≡ 𝒗𝒄 + 𝒗

Dove:• Il simbolo <…> indica la media su un periodo di girazione• 𝒓𝒄 e 𝒗𝒄 identificano il moto (lentamente variabile) del centro

della circonferenza di Larmor (centro di guida o di Larmor) rispetto al quale la particella ruota a distanza 𝒓 e velocità 𝒗

93


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:


𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

• Definiamo una «media corrente», una funzione dipendente dal tempo anche se corrispondente ad una media:

𝒓 = < 𝒓 > + 𝒓 ≡ 𝒓𝒄 + 𝒓

𝒗 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=

𝑑 < 𝒓 >

𝑑𝑡+

𝑑 𝒓


𝒓𝒄 𝑡 = < 𝒓 > =1

𝑇 𝑡−

𝑇2

𝑡+𝑇2𝑟 𝑡′ 𝑑𝑡′ =

𝛺

2𝜋 𝑡−

𝑇2

𝑡+𝑇2𝑟 𝑡′ 𝑑𝑡′

• Definiamo una «media corrente», una funzione dipendente dal tempo anche se corrispondente ad una media:

94


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:


𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

• Stiamo rappresentando il moto della particella in queste condizioni come la sovrapposizione del moto di Larmorintorno al centro di guida e del moto di deriva del centro di guida stesso per effetto dei campi esterni

𝒓 = < 𝒓 > + 𝒓 ≡ 𝒓𝒄 + 𝒓

𝒗 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=

𝑑 < 𝒓 >

𝑑𝑡+

𝑑 𝒓


95


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:

FISICA DEI PLASMI – Invarianza di 𝝁

𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

• Definiamo 𝜖 come l’ordine di grandezza delle quantità a sinistra nelle varie disuguaglianze

• Quando 𝜖 ≪ 1, il momento magnetico 𝝁 è una costante (invariante adiabatico):

𝒓 = < 𝒓 > + 𝒓 ≡ 𝒓𝒄 + 𝒓

𝒗 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=

𝑑 < 𝒓 >

𝑑𝑡+

𝑑 𝒓


𝜇 =𝑊⟂𝐵

• Questa proprietà viene dedotta dall’invarianza adiabatica dell’integrale di azione esteso ad un periodo di moto quasi-periodico (Dimostrazione nella slide «Basi Teoriche (3.1)/(3.2)/(3.3)»)

96


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:


𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

• Definiamo 𝜖 come l’ordine di grandezza delle quantità a sinistra nelle varie disuguaglianze

• Quando 𝜖 ≪ 1, il momento magnetico 𝝁 è una costante (invariante adiabatico)

• L’equazione del moto diventa:

𝒓 = < 𝒓 > + 𝒓 ≡ 𝒓𝒄 + 𝒓

𝒗 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=

𝑑 < 𝒓 >

𝑑𝑡+

𝑑 𝒓


𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡=

𝑞

𝑚𝑬 + 𝛺(𝒗𝒄 x 𝒃) −

𝜇

𝑚𝛁𝐵

97


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:


𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

𝒓 = < 𝒓 > + 𝒓 ≡ 𝒓𝒄 + 𝒓

𝒗 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=

𝑑 < 𝒓 >

𝑑𝑡+

𝑑 𝒓


• L’equazione del moto ricavata è nel caso di una particella fittizia tale da avere un determinato centro di guida (responsabile della componente dipendente da 𝒗𝒄) e con massa e carica uguali a quelle di una particella vera con

momento magnetico 𝝁 di modulo 𝜇 =𝑊⟂

𝐵(responsabile del termine −

𝜇

𝑚𝛁𝐵, forza dovuta all’interazione fra il

dipolo magnetico ed il gradiente magnetico):𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡=

𝑞


𝜇

𝑚𝛁𝐵

98


𝑐𝒗 x 𝑩

Forza di Lorentz

• Terzo caso:


𝜌

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣𝐸

𝛺

1

𝐿⟂≪ 1 ;

𝑣//

𝛺

1

𝐿//≪ 1

1

𝛺

1

𝑇≪ 1

𝒓 = < 𝒓 > + 𝒓 ≡ 𝒓𝒄 + 𝒓

𝒗 =𝑑𝒓

𝑑𝑡=

𝑑 < 𝒓 >

𝑑𝑡+

𝑑 𝒓


• La componente rapidamente variabile 𝒓 abbiamo un moto di girazione attorno al centro di guida (di raggio 𝜌 e frequenza Ω)

• L’equazione del moto ricavata non è facilmente integrabile dato che sia E che B (quindi Ω) dipendono da r e t. Di conseguenza, ne troveremo una soluzione approssimata (prossima slide)

99


𝑑𝑣𝑐//

𝑑𝑡=

𝑞

𝑚𝑬// −

𝜇

𝑚𝛻//𝐵 + 𝒗𝒄 ∙

𝑑𝒃

𝑑𝑡

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡=

𝑞


𝜇

𝑚𝛁𝐵

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡∙ 𝒃 =

𝑞

𝑚𝑬// −

𝜇

𝑚𝛻//𝐵

𝑑𝑣𝑐//

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝒗𝒄 ∙ 𝒃 =

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡∙ 𝒃 + 𝒗𝒄 ∙

𝑑𝒃

𝑑𝑡⇒

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡∙ 𝒃 =

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡∙ 𝒃 − 𝒗𝒄 ∙

𝑑𝒃

𝑑𝑡

• A partire da:

• Moltiplichiamo scalarmente ambo i termini per b:

• Sostituendo, otteniamo la seguente Equazione per il moto parallelo:

• Ricordando che 𝒗𝒄 ∙ 𝒃 = 𝑣𝑐//, abbiamo:

100


𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡=

𝑞


𝜇

𝑚𝛁𝐵

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡x 𝒃 =

𝑞

𝑚𝑬x 𝒃 + 𝛺(𝒗𝒄 x 𝒃) x 𝒃 −

𝜇

𝑚𝛁𝐵 x 𝒃 =

𝑞

𝑚𝑬x 𝒃 + 𝛺(−𝒗𝒄⟂) −

𝜇

𝑚𝛁𝐵 x 𝒃

• A partire da:

• Moltiplichiamo vettorialmente ambo i termini per b:

• Da cui:𝒗𝒄⟂ =

𝑐

𝐵𝑬x 𝒃 −

𝜇𝑐

𝑞𝐵𝛁𝐵 x 𝒃 −

𝑚𝑐

𝑞𝐵

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡x 𝒃

• Abbiamo ottenuto le seguenti due espressioni in cui il moto non è risolto, coinvolgendo il termine 𝑣𝑐:

𝒗𝒄⟂ =𝑐

𝐵𝑬x 𝒃 −

𝜇𝑐


𝑚𝑐

𝑞𝐵

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡x 𝒃

𝑑𝑣𝑐//

𝑑𝑡=

𝑞

𝑚𝑬// −

𝜇

𝑚𝛻//𝐵 + 𝒗𝒄 ∙

𝑑𝒃

𝑑𝑡I termini 𝒗𝒄 ∙

𝑑𝒃

𝑑𝑡e

𝑑𝒗𝒄

𝑑𝑡x 𝒃 includono la derivata temporale che

introduce un ordine 𝜖. Di conseguenza, per ottenere 𝒗𝒄⟂ e 𝑑𝑣𝑐//

𝑑𝑡al primo ordine basterà esprimere 𝒗𝒄 all’ordine zero in

questi termini

101


• Otteniamo:

𝒗𝒄⟂ =𝑐

𝐵𝑬x 𝒃 −

𝜇𝑐


𝑚𝑐

𝑞𝐵

𝑑𝒗𝒄(𝟎)

𝑑𝑡x 𝒃

𝑑𝑣𝑐//

𝑑𝑡=

𝑞

𝑚𝑬// −

𝜇

𝑚𝛻//𝐵 + 𝒗𝒄

(𝟎)∙𝑑𝒃

𝑑𝑡

• Dove:𝒗𝒄

(𝟎)= 𝑣𝐸 + 𝑣//𝒃 =

𝑐

𝐵𝑬x 𝒃 + 𝑣//𝒃

Queste equazioni sono valide al primo ordine in 𝜖

• La prima equazione descrive il moto del centro di guida lungo le linee di forza del campo magnetico (moto caratterizzato da varie accelerazioni)

• Per quanto riguarda l’ultimo termine, abbiamo:𝑑

𝑑𝑡𝒃 𝒓 𝑡 , 𝑡 =

𝜕𝒃

𝜕𝑡+ (𝒗𝒄 ∙ 𝛁) 𝒃

Variazione temporale esplicita

Variazione temporale associata al moto (alla disomogeneità

spaziale del campo)

• Dato che il gradiente introduce un ordine 𝜖, al primo ordine in 𝜖 scriviamo: 𝒗𝒄(𝟎)

∙𝑑𝒃

𝑑𝑡= 𝒗𝒄

(𝟎)∙

𝜕𝒃

𝜕𝑡+ (𝒗𝒄 ∙ 𝛁) 𝒃

102


• A partire dall’espressione ottenuta nella slide precedente, introducendo un’ascissa s lungo le linee di forza del campo magnetico ed un’ascissa n ortogonale alle stesse, otteniamo:

𝒗𝒄(𝟎)

∙𝑑𝒃

𝑑𝑡= 𝒗𝒄

(𝟎)∙ [

𝜕𝒃

𝜕𝑡+ 𝒗𝒄 ∙ 𝛁 𝒃] = 𝒗𝒄

(𝟎)∙ [

𝜕𝒃

𝜕𝑡+ 𝑣𝑐//

𝜕𝒃

𝜕𝑠+ 𝑣𝑐⟂

𝜕𝒃

𝜕𝑛]

• In configurazioni magnetiche in cui il versore b non varia spostandosi i direzioni perpendicolari, si avrà 𝜕𝒃

𝜕𝑛= 0

• Il termine 𝜕𝒃

𝜕𝑠(relativo alla variazione di b lungo la direzione delle linee di forza) può essere stimato considerando

due posizioni vicine (distanti di ∆𝑠) assimilabili ad un arco di circonferenza di angolo al centro pari ad 𝛼 (illustrato nell’immagine):

𝛼

R: raggio di curvatura

R

∆𝒃

𝒃𝟏

𝒃𝟐

𝒔• Dalla similitudine dei due triangoli isoscele in figura sappiamo che ∆𝒃 =

∆𝒃

𝒃 =

∆𝑠

𝑅

• Nel caso in cui 𝛼 → 0, si ha 𝜕𝒃

𝜕s≅

∆𝒃

∆𝑠 =

1

𝑅, con

𝜕𝒃

𝜕sorientato secondo la

«normale principale» alla linea di forza, situata nel piano contenente il cerchio osculatore, e diretto verso il cerchio di curvatura

103


• Introduciamo il vettore raggio di curvatura R, di modulo R, orientato nella stessa direzione di 𝜕𝒃

𝜕s, ma con verso

opposto: 𝜕𝒃

𝜕s≈ −

𝑹

𝑅2

• Di conseguenza, per l’Equazione del moto parallelo abbiamo:

𝑑𝑣𝑐//

𝑑𝑡=

𝑞

𝑚𝑬// −

𝜇


𝟎∙𝑑𝒃

𝑑𝑡=

𝑞

𝑚𝑬// −

𝜇


𝟎∙ [

𝜕𝒃

𝜕𝑡−

𝑣𝑐//

𝑅2 𝑅]

• Per quanto riguarda l’Equazione del moto perpendicolare, possiamo esprimere i tre diversi contributi come:

𝒗𝒄⟂ =𝑐

𝐵𝑬x 𝒃 −

𝜇𝑐


𝑚𝑐

𝑞𝐵

𝑑𝒗𝒄𝟎

𝑑𝑡x 𝒃 = 𝒗𝑬 + 𝒗𝑮 + 𝒗𝒂

Deriva da campo elettrico

104

FISICA DEI PLASMI – Deriva da gradiente magnetico

• La deriva da gradiente magnetico (𝒗𝑮) è stimabile ricordando la velocità di deriva dovuta alla presenza della forza F che agisce su un dipolo magnetico di momento 𝝁 = −𝜇𝒃 tale per cui:

𝒗𝑭 = 𝑐𝐹


𝑭 = 𝑭𝝁 = 𝛁 𝝁 ∙ 𝑩 = −𝜇𝛁𝑩

𝒗𝑮 = −𝜇𝑐

𝑞𝐵𝛁𝐵 x 𝒃

105

FISICA DEI PLASMI – Deriva da accelerazione

• La deriva da accelerazione (𝒗𝒂) è la deriva associata alla forza d’inerzia agente nel sistema di riferimento solidale al centro di guida:

𝑭 = 𝑭𝒊 = −𝑚𝒂 = −𝑚(𝑑𝑣𝑐

0

𝑑𝑡)

𝒗𝑭 = 𝑐𝐹


𝒗𝒂 = 𝒗𝒄𝟎

∙ [𝜕𝑏

𝜕𝑡−

𝑣𝑐//

𝑅2 𝑅]

• Nello specifico: 𝒗𝒂 = −1

Ω

𝑑

𝑑𝑡𝑣𝐸 + 𝑣//𝒃 x 𝒃

• Ricordando che: d

dt𝑣// 𝒃 =

dv//

dt𝒃 + v//

d𝐛

dt

• Essendo 𝒃 x 𝒃 = 0, scriviamo la deriva da accelerazione come: 𝒗𝒂 = −1

𝛺

𝑑𝑣𝐸

𝑑𝑡x 𝒃 −

𝑣//

𝛺

𝑑𝒃

𝑑𝑡x 𝒃 = 𝒗𝑷 + 𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗

• In cui ritroviamo 𝒗𝑷 (deriva di polarizzazione) e 𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 (deriva di curvatura)

106

FISICA DEI PLASMI – Deriva da accelerazione

• La deriva da polarizzazione (𝒗𝑷) nel caso di campo magnetico costante è dipendente dal segno della carica e produrrà corrente elettrica ad ogni variazione temporale del campo elettrico (in particolare, all’accensione e allo spegnimento del campo a causa del contributo della corrente di polarizzazione)

• La derivata 𝑑𝒃

𝑑𝑡è la derivata totale di b rispetto al tempo nel moto del centro di guida e deve tener conto delle

variazioni temporali esplicite e di quelle dovute al moto delle particelle all’ordine zero, quindi possiamo esprimere la deriva di curvatura (𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗) come:

𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 = −𝑣//

𝛺

𝑑𝒃

𝑑𝑡x 𝒃 = −

𝑣//

𝛺

𝜕𝒃

𝜕𝑡− 𝑣𝑐

0∙ 𝜵 𝒃 x 𝒃 = −

𝑣//

𝛺

𝜕𝒃

𝜕𝑡+ 𝑣𝐸 ∙ 𝜵 𝒃 + 𝒗// 𝒃 ∙ 𝜵 𝒃 x 𝒃

Termine nullo• Per quanto riguarda l’ultima componete, il termine 𝒃 ∙ 𝜵 seleziona il gradiente nella direzione di B, quindi:

𝒗// 𝒃 ∙ 𝜵 𝒃 = 𝒗//

𝜕𝑏

𝜕𝑠≈ −𝒗//

𝑹

𝑅2 ⇒ 𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 = −𝑣//

𝛺

𝜕𝒃

𝜕𝑡− 𝒗//

𝑹

𝑅2 x 𝒃

• Nel caso di campo magnetico costante: 𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 = −𝑣//

2

𝛺𝑅 𝑹 x 𝒃

107

FISICA DEI PLASMI – Deriva da curvatura

• Nel caso di campo magnetico costante: 𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 = −𝑣//

2


• La velocità di curvatura in queste condizioni è diretta secondo la binormale alla linea di forza del campo magnetico (normale alla tangente e alla normale principale) e può essere riscritta come:

𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 = −𝑐(𝑣//

2 /𝑅)

𝑞𝐵 𝑹 x 𝒃

• Di conseguenza, il centro di guida seguirà le linee di forza con la velocità 𝒗// e sente, nel sistema di riferimento

con esso solidale, una forza centrifuga (pari a (𝑣//2 /𝑅) 𝑹) a cui sarà associata una determinata curvatura dovuta

alla curvatura delle linee di forza, detta anche deriva centrifuga

108

FISICA DEI PLASMI – Deriva da accelerazione• In una zona caratterizzata dalla presenza di plasma priva di correnti, sappiamo che la configurazione magnetica

deriva esclusivamente dalle correnti esterne

• La Legge di Ampère (vedi slide «Basi Teoriche (2)») associata sarà: 𝛻 x 𝑩 =4𝜋

𝑐𝑱 = 0

• In queste condizioni, 𝛻𝑩𝟐 = 2 𝑩 ∙ 𝛻 𝑩 + 2𝑩 x 𝛻 x 𝑩 diventa: 𝛻𝑩𝟐 = 2 𝑩 ∙ 𝛻 𝑩

• Inoltre, ricordando che 𝛻𝑩𝟐 = 2𝑩 𝛁𝑩, possiamo scrivere: 𝛻𝑩 = 𝒃 ∙ 𝛻 𝑩

• Quindi:𝛻𝑩 x 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝛻 𝐵𝒃 x 𝒃 =[𝒃 𝒃 ∙ 𝛻𝐵 + 𝐵 𝒃 ∙ 𝛻 𝒃] x 𝒃 = [𝐵 𝒃 ∙ 𝛻 𝒃] x 𝒃

Termine nullo perché parallelo a 𝒃

• Ricordiamo anche che: 𝒃 ∙ 𝛻 𝒃 =𝜕𝒃

𝜕𝑠= −

𝑹

𝑹𝟐 ⇒ 𝛻𝑩 x 𝒃 = −𝐵

𝑅 𝑹 x 𝒃

109

FISICA DEI PLASMI – Teoria delle orbite (3)• In assenza di correnti, esprimeremo la deriva da gradiente magnetico e la deriva di curvatura come segue:

𝒗𝑮 = −𝜇𝑐

𝑞𝐵𝛁𝐵 x 𝒃 = −

𝒗⟂𝟐

2𝛺𝛁𝐵 x 𝒃 =

𝒗⟂𝟐

2𝛺𝑅 𝑹 x 𝒃

𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 = −𝑣//

2

𝛺𝐵𝛁𝐵 x 𝒃 =

𝑣//2


• Le due componenti di deriva hanno espressioni analoghe. Sommandone i contributi, si ottiene:

𝒗𝑫 = 𝒗𝑮 + 𝒗𝒄𝒖𝒓𝒗 = −

𝒗⟂𝟐

𝟐 + 𝑣//2

𝛺𝐵𝛁𝐵 x 𝒃 =

𝒗⟂𝟐

𝟐 + 𝑣//2


• Nel caso di particelle con velocità parallela elevata, il contributo della deriva di curvatura è molto elevato, mentre in caso di una componente di velocità ortogonale elevata, si ha un’elevata deriva da gradiente magnetico

110

FISICA DEI PLASMI – Specchi magnetici• Certe configurazioni del campo magnetico possono essere impiegate come «trappole magnetiche» per confinare

il plasma

• La trappola magnetica più semplice ha simmetria assiale con un campo magnetico longitudinale di intensità crescente ai due estremi (viene realizzata con due spire o due solenoidi percorsi da corrente – configurazione a specchi)

• Ipotizziamo di realizzare tale configurazione ricorrendo a due avvolgimenti circolari percorsi da corrente posti a distanza L su due piani perpendicolari all’asse z (asse di simmetria di rotazione della configurazione):

• Le due bobine prendono il nome di specchi magnetici ed hanno come obiettivo quello di annullare ed invertire la velocità parallela all’asse z delle particelle presenti nella zona interna

• Nelle prossimità dell’asse z il campo è pressoché parallelo a 𝒛 ed il suo modulo mostra due massimi in corrispondenza delle bobine

• Per la conservazione del momento magnetico (𝜇 =𝑊⟂

𝐵) si vede che, nella vicinanza dei due specchi

l’energia cinetica perpendicolare (𝑊⟂) deve aumentare per compensare l’aumento di B. Di conseguenza, dato che 𝑊 = 𝑊⟂ + 𝑊// è costante essendo il campo statico, la componente parallela dell’energia cinetica

(𝑊//) dovrà diminuire, come anche la velocità parallela, fino ad un suo eventuale annullamento con

conseguente inversione del moto

111

FISICA DEI PLASMI – Specchi magnetici• Le particelle risentono dell’azione del gradiente del campo magnetico ed anche dall’equazione del moto parallelo

(𝑑𝑣//

𝑑𝑡= −

𝜇

𝑚𝛻//𝐵) appare evidente di come ci sia una forza che si oppone al moto in verso in cui B cresce

• Le particelle giunte nella condizione di inversione di moto, senza superare la barriera di B, vengono confinate nello spazio presente fra le due bobine

• La condizione tale per cui una particella venga riflessa e quindi confinata è:

• Nel punto in cui il campo magnetico è minimo (𝐵 = 𝐵𝑚𝑖𝑛 in 𝑧 = 0) caratterizziamo la particella con il valore della sua energia cinetica perpendicolare in tale condizione (𝑊⟂0) ed imponendo l’invarianza del momento magnetico si ottiene:

𝜇 =𝑊⟂𝐵

=𝑊⟂0𝐵𝑚𝑖𝑛

• La velocità parallela si annulla per il valore di 𝐵 = 𝐵𝑅 per cui 𝑊// = 0, quindi 𝑊⟂ = 𝑊 − 𝑊// = 𝑊 e

si avrà anche:

𝜇 =𝑊

𝐵𝑅=

𝑊⟂0𝐵𝑚𝑖𝑛

⇒ 𝐵𝑅 = 𝐵𝑚𝑖𝑛

𝑊

𝑊⟂0

112

FISICA DEI PLASMI – Specchi magnetici• Definendo 𝐵𝑚𝑎𝑥 il valore del campo in corrispondenza delle bobine, in caso si avesse 𝐵𝑅 < 𝐵𝑚𝑎𝑥 e quindi la

particella sarà confinata se:𝐵𝑅 = 𝐵𝑚𝑖𝑛

𝑊

𝑊⟂0< 𝐵𝑚𝑎𝑥

• Definendo il rapporto di specchio (misura della profondità della buca magnetica) come 𝑹𝑺 =𝑩𝒎𝒂𝒙

𝑩𝒎𝒊𝒏, possiamo

riscrivere la condizione di confinamento come:

𝑊

𝑊⟂0< 𝑅𝑆 ⇒

𝑣//0

𝑣⟂0< 𝑅𝑆 − 1

• Se la condizione appena definita non fosse rispettata, la particella sarebbe in grado di superare la barriera ma troverebbe un campo insufficiente per la riflessione e quindi verrebbe persa

• Indicando con 𝜃 l’angolo fra 𝒗 e 𝒃 e con 𝜃0 il suo valore in 𝑧 = 0, possiamo verificare che rimangono intrappolate solamente le particelle per cui 𝜃0 verifica la seguente disuguaglianza:

sin2 𝜃0 >1

𝑅𝑆• I vettori velocità delle particelle non confinate per 𝑧 = 0 giacciono all’interno del cono di perdita di semi-apertura:

𝜃𝑆 = asin(1

𝑅𝑆)

113

FISICA DEI PLASMI – Interazioni fra particelle• La teoria delle orbite trattata prescinde dalle interazioni fra particelle, ma in un plasma il moto delle particelle è

influenzato dalle collisioni

• Per analizzare le proprietà del plasma si può applicare l’approccio della teoria cinetica dei gas (suddivisione delle traiettorie delle particelle in zone di collisione e tratti tra collisioni successive):

• Nelle zone di interazione delle particelle non si tiene conto dell’influenza dei campi esterni• Nei tratti tra due collisioni consecutive si ignorano le forze di interazione tra le particelle

• Considerando gli urti elastici di particelle cariche fra loro ed avendo particelle cariche, prevarrà la forza d’interazione di Coulomb:

Nel caso di urto fra due particelle cariche in assenza di altre particelle (sistema isolato), possiamo imporre sia la conservazione dell’energia che della quantità di moto totali:

1

2𝑚1𝑣1

2 +1

2𝑚2𝑣2

2 =1

2𝑚1𝑣1

′2 +1

2𝑚2𝑣2

′2

𝑚1𝒗𝟏 + 𝑚2𝒗𝟐 = 𝑚1𝒗𝟏′ + 𝑚2𝒗𝟐

′

La prima relazione è valida solamente a grande distanza dalla zona di interazione e quindi trascuriamo l’energia potenziale e sono entrambe relazioni fra grandezze molto prima e molto dopo l’urto

114

FISICA DEI PLASMI – Interazioni fra particelle• Cosa accade nel sistema di riferimento del baricentro?

𝒓𝒃 =𝑚1𝒓𝟏 + 𝑚2𝒓𝟐

𝑚1 + 𝑚2

𝒗𝒃 =𝑑𝒓𝒃

𝑑𝑡=

𝑚1𝒗𝟏 + 𝑚2𝒗𝟐

𝑚1 + 𝑚2

𝒗𝒃 = 𝒗𝒃′

• Cosa accade nel sistema di riferimento in cui il baricentro è fisso (sistema del centro di massa)? Definiamo la velocità relativa fra le due particelle prima dell’urto come 𝒗 = 𝒗𝟏 − 𝒗𝟐 e la velocità relativa

dopo l’urto come 𝒗′ = 𝒗𝟏′ − 𝒗𝟐

′

𝒗𝟏𝒃 = 𝒗𝟏 − 𝒗𝒃 =𝑚2

𝑚1 + 𝑚2𝒗

𝒗𝟐𝒃 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝒃 = −𝑚1

𝑚1 + 𝑚2𝒗

Dopo l’urto avremo:

𝒗𝟏𝒃′ = 𝒗𝟏 − 𝒗𝒃 =

𝑚2

𝑚1 + 𝑚2𝒗′

𝒗𝟐𝒃′ = 𝒗𝟐 − 𝒗𝒃 = −

𝑚1

𝑚1 + 𝑚2𝒗′

Prima dell’urto avremo:

115


La quantità di moto totale in questo sistema è nulla: 𝑚1𝒗𝟏𝒃 + 𝑚2𝒗𝟐𝒃 =𝑚1𝑚2

𝑚1 + 𝑚2𝒗 −

𝑚2𝑚1

𝑚1 + 𝑚2𝒗 = 0

𝒗𝟏 = 𝒗𝒃 +𝑚2

𝑚1 + 𝑚2𝒗

𝒗𝟐 = 𝒗𝒃 −𝑚1

𝑚1 + 𝑚2𝒗

Il moto delle due particelle è completamente determinato dalla velocità del baricentro e dalla velocità del moto relativo:

L’energia cinetica totale risulta essere:

𝑇 =1

2𝑚1𝑣1

2 +1

2𝑚2𝑣2

2 =1

2𝑀𝑣𝑏

2 +1

2𝑚𝑣2

Dove abbiamo definito la massa totale del sistema (m) e la massa ridotta (M):

𝑚 = 𝑚1 + m2 𝑀 =𝑚1𝑚2

𝑚1 + 𝑚2

Energia del baricentro

Energia del moto relativo

116


Abbiamo ricavato quindi:𝒗𝟏𝒃 =

𝑚

𝑚1𝒗

𝒗𝟐𝒃 =𝑚

𝑚2𝒗

𝒗𝟏 = 𝒗𝒃 +𝑚

𝑚1𝒗

𝒗𝟐 = 𝒗𝒃 −𝑚

𝑚2𝒗

Inoltre, si ha:

Nel sistema del centro di massa le velocità delle particelle subiscono in un urto esclusivamente un cambio di direzione (𝑣1𝑏 = 𝑣1𝑏

′ ed anche 𝑣2𝑏 = 𝑣2𝑏′ )

𝒗𝟏 − 𝒗𝟐 = 𝒗𝟏′ − 𝒗𝟐

′ ⇒ 𝑣 = 𝑣′

• Se la forza d’interazione è la Forza di Coulomb nel sistema del centro di massa le traiettorie di due particelle provenienti dall’infinito sono delle iperboli complanari (nel caso di masse e cariche uguali, gli asintoti sarebbero paralleli ed equidistanti)

117


L’angolo di scattering 𝜽 (angolo di deflessione di una particella nell’urto) è dato dalla Relazione di Rutherford:

𝑡𝑎𝑛𝜃

2=

𝑞1𝑞2

𝑚𝑣2

1

𝑏

Dove b è il parametro d’urto (rappresenta la separazione fra le direzioni delle velocità iniziali delle particelle)

Nel caso di Forza di Coulomb (forza centrale per cui si conserva il momento angolare) il parametro d’urto si conserva fra prima e dopo l’urto dato che 𝒓 x 𝑚𝒗 = 𝑏𝑚𝑣

La distanza di Landau (è la distanza a cui l’energia potenziale di interazione è pari all’energia cinetica) è definita come:

𝑏0 = 2𝑞1𝑞2

𝑚𝑣2

𝑡𝑎𝑛𝜃

2=

1

2

𝑏0

𝑏

Si vede come la distanza di Landau indichi, come ordine di grandezza, il valore del parametro d’urto al di sotto del quale l’urto produce una deflessione a grande angolo

Per angoli piccoli si ha ϑ ≈𝑏0

𝑏

Riscriviamo quindi la Relazione di Rutherford come:

118

FISICA DEI PLASMI – frequenza di collisione• Che caratteristiche presenta l’interazione di una particella di prova con un plasma di densità n?

• La particella subirà una deflessione a grande angolo con una determinata frequenza:

• Come risultato di un singolo urto binario a grande angolo• Come effetto cumulativo di una successione di urti a piccolo angolo (processo più efficace e dominante)

• Nel plasma c’è un effetto di schermatura e di conseguenza il raggio di azione della forza coulombiana in esso è limitato dalla distanza di Debye (λ𝐷):

• Il parametro d’urto della particella di prova è limitato nell’intervallo 0 ≤ 𝑏 ≤ λ𝐷

• Per parametro d’urto maggiore della lunghezza di Debye non ci sarà riflessione in quanto la particella non risentirà della forza coulombiana

• Il numero di singoli urti subiti dalla particella di prova nel tempo 𝒕 (numero di particelle con cui viene a contatto nel tempo 𝑡) è dato dal numero di particelle contenute nel cilindro di raggio λ𝐷 e di lunghezza 𝑣𝑡 (𝑣velocità della particella)

• La frequenza dei singoli urti (per tutti i possibili urti) è data da: ν =𝑛𝜋λ𝐷

2 𝑣𝑡

𝑡= 𝑛𝜋λ𝐷

2 𝑣

• La frequenza degli urti a grande angolo di deflessione (tali per cui 0 ≤ 𝑏 ≤ 𝑏0 ≪ λ𝐷) è:

• La frequenza degli urti a piccolo angolo di deflessione sarà:

ν𝐺 = 𝑛𝜋𝑏02𝑣

ν𝑃 = ν − ν𝐺 = 𝑛𝜋(λ𝐷2 − 𝑏0

2)𝑣

119

FISICA DEI PLASMI – frequenza di collisione• Che caratteristiche presenta l’interazione di una particella di prova con un plasma di densità n?

• Il rapporto 𝝂𝑮

𝝂=

𝒃𝟎𝟐

𝝀𝑫𝟐 stimato nel caso più sfavorevole permette di dimostrare che 𝑏0 ≪ λ𝐷:

Ipotizziamo di avere un plasma di idrogeno e di avere per particella di prova un elettrone (velocità

termica associata pari a 𝑣𝑡ℎ𝑒 =2𝑇

𝑚𝑒

1

2). Otteniamo quindi:

Abbiamo posto: Λ =λ𝐷

𝑏0⇒ Λ = 4𝜋λ𝐷

3

Avendo definito il parametro di plasma come 𝑁𝐷 = 𝑛λ𝐷3 e siamo interessati al caso in cui 𝑁𝐷 ≫ 1, è

semplice dedurre che:

𝑏0 = 2𝑞1𝑞2

𝑚𝑣2 = 2𝑒2

𝑚𝑒𝑣𝑡ℎ𝑒2 =

𝑒2

𝑇=

1

4𝜋λ𝐷2

Λ = 4𝜋𝑁𝐷 ≫ 1 ⇒ λ𝐷 ≫ 𝑏0 ⇒𝜈𝐺

𝜈=

𝑏02

𝜆𝐷2 ≪ 1 ⇒ 𝜈P ≅ 𝜈 ≫ 𝜈𝐺

120

FISICA DEI PLASMI – frequenza di collisione• L’effetto cumulativo degli urti a piccolo angolo (molto più frequenti) è importante?

• Definiamo ν𝑐 la frequenza con cui una successione di piccoli urti a piccolo angolo può accumulare statisticamente una deflessione grande della particella di prova:

Per simmetria, l’effetto cumulativo di molte collisioni non produce una variazione netta di velocità perpendicolare

• Considerando un insieme di particelle prova con identiche condizioni iniziali che collide con un insieme di particelle bersaglio, la funzione di distribuzione delle velocità dell’insieme di prova subirà una progressiva modifica (si avrà una diffusione nello spazio delle velocità):

─ < ∆𝑣⟂2 > cresce nel tempo

─ < 𝑣⟂ > è costante─ < ∆𝑣⟂ > è nullo

• In caso di eventi indipendenti, gli scarti quadratici medi si sommano e per capire quanto questa somma sia confrontabile col quadrato della velocità iniziale delle particelle incidenti, possiamo stimare la frequenza 𝝂𝒄

come il tasso di crescita di < ∆𝒗⟂𝟐 > riferita alle condizioni iniziali:

< ∆𝑣⟂2 > È una dimensione tipica della diffusione

ν𝑐 =1

𝑣2

𝑑

𝑑𝑡< ∆𝑣⟂

2 >

121

FISICA DEI PLASMI – collisione 𝒆− con 𝒒+

• Il caso relativo a collisioni di particelle leggere con un insieme di particelle pesanti ferme può essere associato al caso di collisioni elettrone-ione in un plasma nella condizione 𝑇𝑒 ≅ 𝑇𝑖, e quindi anche:

𝑚𝑒𝑣𝑒2 ≅ 𝑚𝑖𝑣𝑖

2 ⇒ 𝑣𝑒 ≅𝑚𝑖

𝑚𝑒

12

𝑣𝑖 ≫ 𝑣𝑖

• Inoltre, essendo 𝑚𝑖 ≫ 𝑚𝑒, si dimostra che il baricentro viaggerà con la velocità dello ione:

𝑣𝑏 ≅𝑚𝑒𝑣𝑒 + 𝑚𝑖𝑣𝑖

𝑚𝑖≅

𝑚𝑒

𝑚𝑖

𝑚𝑖

𝑚𝑒𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 ≅ 𝑣𝑖

• Siamo interessati a valutare la crescita in media del quadrato della velocità trasversa:

Ogni urto con angolo di deflessione 𝜃 piccolo produce uno scarto quadratico medio della velocità trasversa

pari a ∆𝑣⟂2 ≅ 𝑣2𝜃2 (si ha infatti: ∆𝑣⟂= 𝑣𝑠𝑖𝑛(𝜃) ≅ 𝑣𝜃)

Per 𝜃 ≪ 1, la Relazione di Rutherford è pari a 𝑡𝑎𝑛𝜃

2=

1

2

𝑏0

𝑏, quindi otteniamo: ∆𝑣⟂

2 ≅𝑣2 𝑏0

2

𝑏2

122


• Dato che dall’analisi statistica gli scarti quadratici si combinano additivamente in caso di eventi indipendenti, in questo caso lo scarto quadratico medio perpendicolare dovuto a 𝑵𝒃 urti, caratterizzati dal parametro d’urto b, sarà dato da:

< ∆𝑣⟂2 >𝑏= 𝑁𝑏∆𝑣⟂

2 ≅ 𝑁𝑏

𝑣2 𝑏02

𝑏2

• Il numero di urti nel tempo 𝑡 con parametro d’urto compreso fra 𝑏 e 𝑏 + 𝑑𝑏 è dato dal numero di particelle contenute nel cilindro cavo di raggi 𝑏 e 𝑏 + 𝑑𝑏 e di lunghezza 𝑣𝑡, per cui 𝑁𝑏 = 𝑛𝑣𝑡(2𝜋𝑏𝑑𝑏). In seguito a questa considerazione, otteniamo:

< ∆𝑣⟂2 >𝑏= 𝑁𝑏∆𝑣⟂

2 ≅ 2𝜋𝑛𝑣3𝑡 𝑏02𝑑𝑏

𝑏

• Integrando rispetto a 𝑏 fra gli estremi 𝑏0 e λ𝐷: < ∆𝑣⟂2 > = < ∆𝑣⟂

2 >𝑏 = 2𝜋𝑛𝑣3𝑡 𝑏02

𝑏0

λ𝐷 𝑑𝑏

𝑏= 2𝜋𝑛𝑣3𝑡 𝑏0

2 ln(λ𝐷

𝑏0)

• Ricordando l’espressione per 𝑏0 (= 2𝑞1𝑞2

𝑚𝑣2) e la definizione per il rapporto fra i parametri d’urto massimo e

minimo (Λ =λ𝐷

𝑏0), esprimeremo la frequenza ν𝑐 come:

ν𝑐 =1

𝑣2

𝑑

𝑑𝑡< ∆𝑣⟂

2 > =8𝜋𝑛𝑞1

2𝑞22

𝑚2𝑣3 ln Λ

123


• La grandezza ln Λ = ln(λ𝐷

𝑏0) è detta Logaritmo di Coulomb e dipende solo debolmente dalla densità e dalla

temperatura (è piuttosto elevato per valori tipici dei parametri dei plasmi)

• Nel caso di temperature superiori a qualche eV la Lunghezza d’onda di De Broglie λ𝐵 di un elettrone con energia

𝑇 (λ𝐵 =ℎ

𝑚𝑒𝑣𝑡ℎ𝑒=

ℎ

2𝑚𝑒𝑇) risulta essere maggiore di 𝑏0 =

2𝑒2

𝑚𝑒𝑣𝑡ℎ𝑒2 =

𝑒2

𝑇e di conseguenza si prenderà come estremo

inferiore dell’integrale λ𝐵. In queste condizioni:

ln Λ = ln(λ𝐷

λ𝐵)

• Confrontando l’espressione per la frequenza ν𝑐 con la frequenza ν𝐺 otteniamo:ν𝑐

ν𝐺= 2 ln Λ ≈ 40 ≫ 1

• La frequenza con cui deflessioni a grande angolo si producono come risultato di più urti con deflessioni a piccolo angolo è maggiore della frequenza con cui avvengono singoli urti a grande angolo di deflessione

124


• Stimiamo il valore medio della frequenza di collisione 𝝂𝒄 (ν𝑒𝑖) mediando l’espressione di 𝜈𝑐 sostituendo i parametri esplicitati nelle espressioni:

• Stiamo considerando urti fra particelle di prova ed il plasma e, nello specifico, riferendoci a collisioni fra elettroni e ioni (di carica 𝑍𝑒) abbiamo: 𝑞1 = 𝑞𝑒 = −𝑒

𝑞2 = 𝑞𝑖 = 𝑍𝑒

𝑚 ≅ 𝑚𝑒

𝑣 ≅ 𝑣𝑒

𝑛 = 𝑛𝑖 =𝑛𝑒

𝑍𝑒e

ν𝑒𝑖 =8𝜋𝑛𝑒4

232 𝑚𝑒

12

𝑍𝑛𝑒

𝑇𝑒

32

ln Λ = 2.91 ∙ 10−12𝑍𝑛𝑒

𝑇𝑒

32

ln Λ

• Le frequenze di collisione nel caso elettrone-elettrone o ione-ione si ottengono ricorrendo ad una trattazione statistica in grado di tener conto del moto del baricentro delle singole collisioni:

ν𝑒𝑒 =𝑘1

𝑍ν𝑒𝑖

ν𝑖𝑖 = 𝑘2

𝑚𝑒

𝑚1

12 𝑇𝑒

𝑇

32

𝑍2ν𝑒𝑖

Con: ν𝑖𝑒 = 𝑘3(𝑚𝑒

𝑚𝑖)ν𝑒𝑖

• Dove 𝑘1, 𝑘2 e 𝑘3 sono costanti dell’ordine dell’unità e di conseguenza, per Te ≈ 𝑇𝑖 ed essendo 𝑚𝑒 ≪ 𝑚𝑖, abbiamo: ν𝑒𝑖 ≅ ν𝑒𝑒 ≫ ν𝑖𝑖 ≫ ν𝑖𝑒

125

FISICA DEI PLASMI – collisione fra particelle uguali• La frequenza di collisione elettrone-elettrone (ν𝑒𝑒 =

𝑘1

𝑍ν𝑒𝑖) è stata stimata dalla media statistica effettuata

sull’espressione per la frequenza ν𝑐, considerando:𝑚 =

𝑚𝑒

2

𝑞1 = 𝑞2 = −𝑒

𝑣 ≅2𝑇𝑒

𝑚𝑒𝑛 = 𝑛𝑒e

• La frequenza di collisione ione-ione (ν𝑖𝑖 = 𝑘2𝑚𝑒

𝑚1

1

2 𝑇𝑒

𝑇

3

2𝑍2ν𝑒𝑖) è stata stimata dalla media statistica effettuata

sull’espressione per la frequenza ν𝑐, considerando:𝑚 =

𝑚𝑖

2

𝑞1 = 𝑞2 = 𝑍𝑒

𝑣 ≅2𝑇𝑖

𝑚𝑖𝑛 = 𝑛𝑖 =

𝑛𝑒

𝑍e

• La frequenza di collisione ione-elettrone (ν𝑖𝑒 = 𝑘3(𝑚𝑒

𝑚𝑖)ν𝑒𝑖) è stata stimata considerando che uno ione, per

modificare il proprio impulso in seguito ad urti contro elettroni, deve compiere molti più urti rispetto a quelli che ne deve compiere un elettrone nel caso opposto ed il rapporto fra il differente numero di urti è legato all’inverso del rapporto fra le masse

126

FISICA DEI PLASMI – RESISTIVITÀ ELETTRICA• In un plasma la corrente elettrica è dovuta essenzialmente al moto ordinato degli elettroni (gli ioni, a causa

della massa elevata, sono quasi del tutto inerti)

• Fissato il campo elettrico che la guida, la corrente elettrica è limitata dalle collisioni con gli ioni che determinano la perdita di una consistente di quantità di moto degli elettroni

𝑚𝑒

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝑒𝐸 − 𝑚𝑒 𝑢 ν𝑒𝑖• L’equazione del moto degli elettroni si scrive come:

• Dove 𝑢 è la loro velocità media nella direzione del campo elettrico, il secondo termine è la forza elettrica ed il terzo rappresenta la forza di attrito sugli elettroni (la variazione di quantità di moto parallela al campo elettrico dovuta alle collisioni con gli ioni nell’unità di tempo)

• Allo stato stazionario (𝑑𝑢

𝑑𝑡= 0) l’accelerazione subita per opera del campo elettrico sarà bilanciata dalla forza

collisionale di attrito per ottenere il valore stazionario della velocità media ( 𝑢): 𝑢 = −𝑒

𝑚𝑒 ν𝑒𝑖𝐸

• Per la densità di corrente si ha: 𝑗 = −𝑛𝑒𝑒 𝑢 =𝑛𝑒𝑒2

𝑚𝑒 ν𝑒𝑖𝐸

• Ricaviamo allora la Resistività elettrica (η) come: η =𝐸

𝑗=

𝑚𝑒ν𝑒𝑖

𝑛𝑒𝑒2 =8𝜋

232

𝑒2𝑚𝑒

1

2𝑍𝑇𝑒

−3

2 ln Λ

127

FISICA DEI PLASMI – RESISTIVITÀ ELETTRICA

• La resistività elettrica (η =8𝜋

232

𝑒2𝑚𝑒

1

2𝑍𝑇𝑒

−3

2 ln Λ) ha una debole dipendenza dalla densità e dalla temperatura

contenuta nel ln Λ

• La resistività elettrica (η) ha un andamento in funzione della temperatura del tipo η ∝ 𝑇𝑒

−3

2

• Per l’uso pratico si ricorre alla formula: η Ω𝑚 = 8.8 ∙ 10−4𝑍𝑇𝑒

−3

2 (𝑒𝑉)

• La resistività elettrica del plasma è molto bassa e diminuisce rapidamente con la temperatura

η =4𝜋ν𝑒𝑖

𝑤𝑃𝑒2• La resistività elettrica (η) può anche essere espressa come:

• Dove abbiamo assunto che la velocità relativa negli urti degli elettroni con gli ioni fosse tipicamente pari a 𝑣𝑡ℎ𝑒, funzione di massa e temperatura elettronica (assunzione valida per la maggior parte degli elettroni)

• Esistono gruppi di elettroni, nella coda della distribuzione maxwelliana delle velocità, con velocità e velocità media molto superiore a quella termica (elettroni sovratermici) ed in questo caso dovremmo considerare la velocità media (𝑢), ottenendo: ν𝑒𝑖 ~ 𝑢−3

128

FISICA DEI PLASMI – RESISTIVITÀ ELETTRICA• La forza collisionale di attrito e la forza elettrica devono bilanciarsi allo stato stazionario per determinare la 𝑢 di

equilibrio

• Esistono due punti di equilibrio:

1. Il punto a velocità 𝒖𝟏 ≪ 𝑣𝑡ℎ𝑒 è quello relativo alla gran parte degli elettroni; si tratta di un punto di equilibrio stabile perché discostandosi da questo punto, la forza collisionale d’attrito varia in maniera da ripristinare l’equilibrio

2. Il punto a velocità 𝒖𝟐 è un punto di equilibrio instabile perché quando la velocità media aumenta, la forza collisionale d’attrito diminuisce favorendo ulteriormente l’accelerazione delle particelle da parte del campo elettrico

• Gli elettroni che raggiungono la velocità 𝑢2 vengono detti di runaway perché sfuggono agli urti e grazie al campo elettrico raggiungono energie molto elevate nel caso in cui rimangano all’interno della zona di plasma (possono diventare particelle relativistiche raggiungendo energie molto maggiori dell’energia termica del plasma)

129

INDICE• ELIOSFERA

• SOLE

• VENTO SOLARE





• PLASMA



130

TEORIA MAGNETO-IDRODINAMICA• Siamo interessati ad analizzare il confinamento del plasma mediante un campo magnetico

• Dobbiamo simultaneamente risolvere:

• le equazioni che descrivono il comportamento del plasma in un campo magnetico• Le equazioni che determinano il campo magnetico nel plasma

• La risoluzione di questo sistema di equazioni è generalmente molto complicato e vanno operate alcune semplificazioni per trovarne le soluzioni.

• Descriviamo il plasma come un unico fluido, neutro ma conduttore e sensibile all’azione dei campi elettrici e magnetici

• Per la validità di questa teoria:

• I tempi caratteristici dei vari processi in esame devono essere molto superiore ai tempi macroscopici (inverso della Frequenza di Langmuir, periodi di rotazione delle particelle nel campo magnetico, inverso della frequenza degli urti)

• Le distanze caratteristiche dei processi devono essere molto superiori delle distanze microscopiche (Lunghezza di Debye, Raggi di Larmor per elettroni e per ioni)

131

TEORIA MAGNETO-IDRODINAMICA• La descrizione del plasma come fluido conduttore è valida per fenomeni abbastanza lenti e su scale abbastanza

grandi, quando siano soddisfatte le seguenti condizioni:𝜏 ≫ (𝑤𝑃

−1, 𝛺𝑖−1, 𝛺𝑒

−1, 𝜈𝑐𝑜𝑙𝑙−1 )

𝐿 ≫ (λ𝐷, 𝜌𝑖 , 𝜌𝑒)

• In queste ipotesi, si trascurano gli effetti della discretezza delle particelle

• Essendo il plasma un fluido conduttore, interagendo con campi elettrici e magnetici, varranno le Equazioni di Maxwell (guarda slide «Basi Teoriche (2)»)

• Considerando la seconda e la terza equazione di Maxwell, possiamo ricavare l’equazione di continuità per la corrente elettrica (ricordando che 𝛻 ∙ 𝛻 x 𝑯 = 0):

𝟐 𝜵 𝐱 𝑯 =4𝜋

𝑐𝑱 +

1

𝑐

𝜕𝑫

𝜕 𝑡

𝟑 𝜵 ∙ 𝑫 = 4𝜋 𝑞0 = 𝛻 ∙ 𝛻 x 𝑯 =

4𝜋

𝑐𝛻𝑱 +

1

𝑐𝛻

𝜕𝑫

𝜕 𝑡=

4𝜋

𝑐𝛻𝑱 +

4𝜋

𝑐

𝜕𝑞

𝜕𝑡⇒

• Da cui: 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝛻𝑱 = 0

132

TEORIA MAGNETO-IDRODINAMICA• Per definire il tempo caratteristico 𝒕𝒆𝒒 per cui si stabilizza la configurazione di cariche all’interno di un mezzo in

presenza di campi, partiamo dall’espressione della densità di corrente (𝒋) in funzione della conducibilità elettrica (𝜎) è definita come:

𝑡𝑒𝑞 ≅1

4𝜋𝜎≡

𝑣𝑐𝑜𝑙𝑙

𝑤𝑃2

• Ricordando l’espressione ottenuta per la Resistività elettrica (η) : η = 4𝜋𝑣𝑒𝑖

𝑤𝑃𝑒2

• Abbiamo:

𝒋 = 𝜎𝑬

• Assumendo 𝐃 = 𝑬 (con 𝜵 ∙ 𝑫 = 4𝜋 𝑞), otteniamo:

η = 𝜎−1

𝑣𝑒𝑖 = 𝑣𝑐𝑜𝑙𝑙

𝑤𝑃𝑒 = 𝑤𝑃

⇒

• Dato che i tempi caratteristici dei processi descritti devono essere molto superiori ai tempi microscopici,

dovremmo avere 𝜏 ≫ 𝑡𝑒𝑞 e di conseguenza il termine 𝜕𝑞

𝜕𝑡deve essere trascurabile rispetto a 4𝜋𝜎𝑞 (dato che

𝜕𝑞

𝜕𝑡~

𝑞

𝜏e 4𝜋𝜎𝑞~

𝑞

𝑡𝑒𝑞) ed otteniamo:

𝜕𝑞

𝜕𝑡+ 𝛻𝒋 = 0 ⇒

𝜕𝑞

𝜕𝑡+ 𝜎𝛻𝑬 = 0 ⇒

𝜕𝑞

𝜕𝑡+ 4𝜋𝜎𝑞 = 0

𝑞 ≅ 0

133

TEORIA MAGNETO-IDRODINAMICA• Un plasma tale per cui siano valide le seguenti condizioni è quasi-neutro: 𝜏 ≫ (𝑤𝑃

−1, 𝛺𝑖−1, 𝛺𝑒

−1, 𝜈𝑐𝑜𝑙𝑙−1 )

𝐿 ≫ (λ𝐷 , 𝜌𝑖 , 𝜌𝑒)• Possiamo definire la velocità caratteristica del fenomeno considerato come:

𝑣~𝐿

𝜏

• Stimiamo l’ordine di grandezza dei campi 𝑬 e 𝑩 a partire dalle equazioni di Maxwell considerando 𝑫 = 𝑬 e 𝑩 = 𝑯 (il rotore scala come l’inverso di una lunghezza):

𝟐 𝛻 x 𝑯 =4𝜋

𝑐𝑱 +

1

𝑐

𝜕𝑫

𝜕 𝑡

(𝟒) 𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

⇒

𝟐 𝛻 x 𝑩 =4𝜋

𝑐𝑱 +

1

𝑐

𝜕𝑬

𝜕 𝑡

(𝟒) 𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

⇒

B

L~

𝑗

𝑐+

𝐸

(𝑐𝜏)

E

L~

𝐵

(𝑐𝜏)

⇒

𝐵 ~𝐿

𝑐𝑗 +

𝑣

𝑐𝐸

𝐸 ~𝑣

𝑐𝐵

• Nel caso in cui 𝑣 ≪ 𝑐 sarà anche 𝜏 ≫𝐿

𝑐e di conseguenza si ha 𝐸 ≪ 𝐵

• Da 𝐵 ~𝐿

𝑐𝑗 +

𝑣

𝑐𝐸 segue che la corrente di spostamento è trascurabile rispetto alla corrente di conduzione

134

TEORIA MAGNETO-IDRODINAMICA• Per definire la conducibilità elettrica (𝜎) nel sistema di riferimento del mezzo (nel fluido) possiamo applicare le

regole di trasformazione di Lorentz e di conseguenza avremo: 𝑬′ = 𝛾(𝑬 +

1

𝑐𝒗 x 𝑩)

𝑩′ = 𝛾(𝑩 −1

𝑐𝒗 x 𝑬)

• Dove 𝒗 è la velocità del fluido ed il parametro 𝛾 è dato da: 𝛾 =1

1 −𝑣𝑐

2

• In particolare, se 𝒗 ≪ 𝒄 si ha 𝛾 ≅ 1 ed essendo 𝐸 ~𝑣

𝑐𝐵: 𝑩′ = 𝛾(𝑩 −

1

𝑐𝒗 x 𝑬) ≈ 𝑩

Dell’ordine di 𝑣

𝑐

2𝐵 e

quindi trascurabile

• Abbiamo ottenuto che, a differenza del campo magnetico, il campo elettrico dipende dal sistema di riferimento

• Nel sistema di riferimento del fluido, la densità di corrente sarà: 𝒋 = 𝜎𝑬′ = 𝜎(𝑬 +1

𝑐𝒗 x 𝑩)

135

TEORIA MAGNETO-IDRODINAMICA• L’espressione della densità di corrente nel sistema di riferimento del fluido prende anche il nome di Legge di

Ohm generalizzata:

𝒋 = 𝜎𝑬′ = 𝜎(𝑬 +1

𝑐𝒗 x 𝑩)

• Inoltre, le Equazioni di Maxwell possono essere riscritte considerando che le correnti di spostamento sono trascurabili rispetto a quelle di conduzione (plasma quasi-neutro con 𝑞 ≅ 0 ⇒ ometteremo la Legge di Gauss (3)):

𝟐 𝜵 𝐱 𝑩 =4𝜋

𝑐𝑱

(𝟒) 𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

𝟏 𝛻 ∙ 𝑩 = 0

Queste equazioni riguardano la parte elettrica e magnetica del nostro

problema

136

• Vogliamo descrivere il fluido costituito da plasma a due componenti completamente ionizzato:

𝜌 = 𝜌𝑒 + 𝜌𝑖 = 𝑚𝑒 + 𝑚𝑖 𝑛 ≅ 𝑚𝑖𝑛 Densità di massa:

𝒗 =𝑚𝑖𝒗𝒊 + 𝑚𝑒𝒗𝒆

𝑚𝑒 + 𝑚𝑖≅ 𝒗𝒊 +

𝑚𝑒

𝑚𝑖𝒗𝒆 Velocità idrodinamica (velocità del baricentro):

Pressione cinetica: 𝑝 = 𝑛𝑖𝑇𝑖 + 𝑛𝑒𝑇𝑒

• L’Equazione di conservazione della massa in forma locale (equazione di continuità per la massa) vale in caso possano essere trascurati gli effetti di ricombinazione delle particelle ed i processi di ionizzazione (effetti di creazione e distruzione del plasma stesso) e può essere espressa come segue:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝜌𝒗 = 0

Variazione locale della densità di massa

Tiene conto del flusso di massa

MHD (1): Conservazione della massa (2 componenti)

137

• In caso di moto incomprimibile (per M < 0.3 siamo in regime di moto incomprimibile e possiamo trascurare le caratteristiche di comprimibilità del fluido) il campo delle velocità è solenoidale e possiamo scrivere l’equazione di continuità della massa come:

0 =𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝜌𝒗 =

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌 𝜵 ∙ 𝒗 + 𝒗 𝜵 𝜌 =

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝜌 𝜵 ∙ 𝒗

• La variazione della densità di massa nel tempo può essere dovuta sia ad una variazione temporale esplicita che ad una variazione associata al modo, tale per cui:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌 𝜵 ∙ 𝒗 + 𝒗 𝜵 𝜌 =

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝜌 𝜵 ∙ 𝒗 ⇒

𝑑𝜌

𝑑𝑡=

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝒗 𝜵 𝜌

• Di conseguenza, se 𝑑𝜌

𝑑𝑡= 0, si ha 𝜵 ∙ 𝒗 = 0

MHD (1): Conservazione della massa (2 componenti)

138

MHD (2): Equazione Idrodinamica (2 componenti)• Trascurando la viscosità ed assumendo la pressione isotropa, possiamo scrivere l’equazione per la velocità, o

meglio l’equazione idrodinamica del moto del plasma considerato come un tutto unico:

𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡= −𝜵𝑝 + 𝒇

• Dove:

𝒋 = 𝑒𝑛(𝒗𝒊 − 𝒗𝒆)

Densità di forza elettromagnetica:

Accelerazione idrodinamica:𝑑𝒗

𝑑𝑡=

𝜕𝒗

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝜵 𝒗

Densità di corrente:

Densità di forza elettrostatica (trascurabile)

Densità di forza magnetica associata all’interazione della

densità di corrente col campo magnetico

• Nel caso di processi lenti (variazione della velocità media piccola) ed in equilibrio termodinamico (𝒗 = 0) l’Equazione Idrodinamica diventa:

𝜵𝑝 := gradiente della pressione cinetica

𝜵𝑝 = 𝒇 =1

𝑐𝒋 x 𝑩

𝒇 = 𝑞𝑬 +1

𝑐𝒋 x 𝑩 ≅

1

𝑐𝒋 x 𝑩

• Essendo il plasma globalmente neutro, il campo elettrico non può influenzarlo e quindi nell’espressione della Densità di forza elettromagnetica non comparirà la forza associata

139

MHD (3): Equazione di stato (2 componenti)• L’equazione di stato descrive l’evoluzione termodinamica del fluido nel tempo e prende il nome di equazione

politropica (il parametro 𝛾 è detto indice politropico):𝑑

𝑑𝑡𝑝𝜌−𝛾 ≡

𝜕

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛁 𝑝𝜌−𝛾 = 0

• Questa equazione può essere utilizzata per descrivere diversi tipi di trasformazione termodinamica, a seconda del valore di 𝛾:

Valore del parametro Equazione di stato Tipo di trasformazione

𝜸 = 𝟏 𝑝𝜌−1 ≡ 𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ISOTERMA (T=cost) per un gas perfetto

𝜸 =5/3 𝑝𝑉−𝛾 = 𝑝𝜌−𝛾 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ADIABATICA per un gas perfetto monoatomico

• Definendo il parametro λ come il numero di gradi di libertà delle molecole di gas considerato, si ha:

• Nel caso di gas monoatomico, si ha 𝜆 = 3 e quindi 𝛾 = 5/3

𝛾 = 1 +2

λ

140

MHD (3): Equazione di stato (2 componenti)• Sviluppando la derivata temporale nell’Equazione di stato si ottiene:

𝑑

𝑑𝑡𝑝𝜌−𝛾 ≡ 𝜌−𝛾

𝑑𝑝

𝑑𝑡− 𝑝𝛾𝜌−𝛾−1

𝑑𝜌

𝑑𝑡= 0 ⇒

𝑑𝜌

𝑑𝑡=

1

𝛾

𝜌

𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑡

0 ≡ 𝜌−𝛾𝜕

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛁 𝑝 − 𝑝𝛾𝜌−𝛾−1

𝜕

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛁 𝜌 = 𝜌−𝛾

𝜕

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛁 𝑝 − 𝑝𝛾𝜌−𝛾−1[

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝛁 ∙ 𝜌𝒗 − 𝜌 ∙ 𝛁 ∙ 𝒗]

• Se l’indice politropico tendesse all’infinito, avremmo un moto incomprimibile (𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝑡)

• Ricordando che:

• L’equazione politropica viene spesso espressa e sviluppata come segue:

𝒗 ∙ 𝛁 𝜌 = 𝛁𝜌𝒗 = 𝛁 ∙ 𝜌𝒗 − 𝜌 𝛁 ∙ 𝒗

• Inoltre, considerando l’espressione per l’equazione di continuità della massa (𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝜌𝒗 = 0), il tutto

si riduce a: 𝜕

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛁 𝑝 + 𝛾 𝑝𝛁 ∙ 𝒗 = 0

• Un riepilogo delle Equazioni della Magneto-idrodinamica è offerto nella slide «basi teoriche (4.1),(4.2),(4.3),(4.4)»

141

MHD: Densità di forza magnetica• In quali condizioni le forze magnetiche agenti su ogni elemento di volume di plasma equilibrano il gradiente di

pressione?

Dall’equazione idrodinamica in condizioni di processi lenti ed equilibrio magnetoidrodinamico, sappiamo che:

𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡= −𝜵𝑝 + 𝒇 = 0 ⇒ 𝒇 = 𝜵𝑝

Dall’espressione della Densità di forza magnetica, sappiamo che: 𝒇 = 𝑞𝑬 +1

𝑐𝒋 x 𝑩 ≅

1

𝑐𝒋 x 𝑩

Di conseguenza, avremo: 𝜵𝑝 = 𝒇 =1

𝑐𝒋 x 𝑩 ⇒ 𝒇 ∙ 𝑩 = 0 ⇒ 𝒇 = 𝒇⟂ 𝑒 𝒇// = 0

Esprimendo la Densità di corrente elettrica come 𝒋 =𝑐

4𝜋𝛻 x 𝑩, otteniamo: 𝒇 =

1

𝑐𝒋 x 𝑩 =

1

4𝜋(𝛻 x 𝑩) x 𝑩

Ricordando che: 𝛻 x 𝑩 x 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝛻 𝑩 −1

2𝛻𝑩𝟐

Avremo: 𝒇 =1

4𝜋𝑩 ∙ 𝛻 𝑩 −

1

8𝜋𝛻𝑩𝟐

142

MHD: Densità di forza magnetica• In quali condizioni le forze magnetiche agenti su ogni elemento di volume di plasma equilibrano il gradiente di

pressione?

Abbiamo ottenuto per la Densità di forza magnetica la seguente espressione:

Definendo la Pressione Magnetica (𝑝𝑚 =𝐵2

8𝜋), avremo:

𝒇 =1

4𝜋𝑩 ∙ 𝛻 𝑩 −

1

8𝜋𝛻𝑩𝟐

𝒇 =1

4𝜋𝑩 ∙ 𝛻 𝑩 −

1

8𝜋𝛻𝑩𝟐 =

1

4𝜋𝑩 ∙ 𝛻 𝑩 − 𝛁𝑝𝑚

Di conseguenza, nell’Equazione Idrodinamica riconosciamo sia un gradiente di pressione cinetica (𝛁𝑝) che un gradiente di pressione magnetica (𝛁𝑝𝑚):

𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡= −𝜵𝑝 +

1

4𝜋𝑩 ∙ 𝛻 𝑩 − 𝛁𝑝𝑚

143

MHD: Densità di forza magnetica• la Densità di forza magnetica può essere rappresentata sotto forma di divergenza di un tensore

• Un tensore è generalmente definibile affiancando due vettori (es. 𝑸 = 𝑩 𝑩) per ottenere una matrice di 3x3 elementi 𝑄𝑖𝑗 = 𝐵𝑖𝐵𝑗 con 𝑖=𝑗=1,2,3

• La divergenza di un tensore risulta essere un vettore di componenti:

(𝛁: 𝑸) =

𝑗=1

3𝜕

𝜕𝑥𝑗𝑄𝑖𝑗 =

𝑗=1

3𝜕

𝜕𝑥𝑗𝐵𝑖𝐵𝑗 = 𝐵𝑖

𝑗=1

3𝜕𝐵𝑗

𝜕𝑥𝑗+

𝑗=1

3

𝐵𝑗

𝜕𝐵𝑖

𝜕𝑥𝑗𝑖 = 1,2,3

• Di conseguenza, avremo: 𝛁: 𝑸 = 𝛁: 𝑩 𝑩 = 𝑩 𝛁 ∙ 𝐵 + 𝑩 ∙ 𝛁 𝑩

• Se 𝐵 rappresenta il campo magnetico, dalla prima Equazione di Maxwell sappiamo che 𝛁 ∙ 𝐵 = 0, quindi:

𝛁: 𝑸 = 𝑩 ∙ 𝛁 𝑩

• Riscriveremo allora la Densità di forza magnetica come: 𝒇 =1

4𝜋𝛁: 𝑩 𝑩 −

1

8𝜋𝛁: 𝑩𝟐 𝑰

• Il Tensore identità ( 𝑰, 𝐼𝑖𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 ) è tale da avere: 𝛁: 𝑩𝟐 𝑰=𝛁𝑩𝟐

144

MHD: Densità di forza magnetica• Definiamo il Tensore di Maxwell come : 𝑴 =

1

8𝜋(2 𝑩 𝑩 − 𝑩𝟐 𝑰)

𝒇 =1

4𝜋𝛁: 𝑩 𝑩 −

1

8𝜋𝛁: 𝑩𝟐 𝑰 = 𝛁: 𝑴

• DI conseguenza scriveremo la Densità di forza magnetica proprio come divergenza del Tensore di Maxwell:

146

MHD: Bilancio della quantità di moto• Ricordando che:

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −𝜵 ∙ 𝜌𝒗 = −𝜌 𝜵 ∙ 𝒗

𝑑

𝑑𝑡𝜌𝒗 = 𝜌

𝑑𝒗

𝑑𝑡+ 𝑣

𝑑𝜌

𝑑𝑡⇒ 𝜌

𝑑𝒗

𝑑𝑡=

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝒗 + (𝒗 ∙ 𝛁) 𝜌𝒗 − 𝑣

𝑑𝜌

𝑑𝑡

• Di conseguenza:

• Dall’Equazione di conservazione della massa:

𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡=

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝒗 + 𝒗 ∙ 𝛁 𝜌𝒗 + 𝜌𝒗 𝜵 ∙ 𝒗

• Definendo Tensore della quantità di moto 𝑻 = 𝜌 𝒗 𝒗, avremo: 𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡=

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝒗 + 𝜵: 𝜌 𝒗 𝒗 =

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝒗 + 𝜵: 𝑻

• Scriveremo, quindi, l’Equazione Idrodinamica come:𝜕

𝜕𝑡𝜌𝒗 + 𝜵: 𝑻 = −𝜵𝑝 + 𝒇 = −𝜵: 𝑝 𝑰 + 𝛁: 𝑴

• Da cui segue l’Equazione di bilancio della quantità di moto (vettoriale) scritta come equazione di continuità in cui abbiamo trascurato l’effetto della viscosità:

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝒗 + 𝜵: 𝑻 + 𝑝 𝑰 − 𝛁: 𝑴 = 0 ⇒

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝒗 + 𝜵: 𝜌 𝒗 𝒗 + 𝑝 +

𝐵2

8𝜋 𝑰 −

1

4𝜋 𝑩 𝑩 = 0

147

MHD: Bilancio dell’Energia• Considerando la derivata temporale della densità di energia magnetica, abbiamo che:

𝑑

𝑑𝑡

𝐵2

8𝜋= (

𝜕

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛁)

𝐵2

8𝜋

(𝟒) 𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

𝒋 = 𝜎 𝑬 +1

𝑐𝒗 x 𝑩 ⇒ 𝑬 =

𝒋

𝜎−

1

𝑐𝒗 x 𝑩

• A partire da:

⇒𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋=

𝑩

4𝜋

𝜕𝑩

𝜕 𝑡= −

𝑐 𝑩

4𝜋𝛻 x 𝑬

• Da cui:𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋= −

𝑐 𝑩

4𝜋𝜎𝛻 x 𝒋 +

𝑩

4𝜋[𝛻 x ( 𝒗 x 𝑩)]

• Ricordando che 𝑩 ∙ 𝛻 x 𝑨 = 𝛻 𝑨 x 𝑩 + 𝑨 ∙ 𝛻 x 𝑩 , riscriveremo la precedente equazione come segue:

𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋= −

𝑐 𝑩

4𝜋𝜎𝛻 𝐣 x 𝑩 −

𝑐 𝑩

4𝜋𝜎𝛻 x 𝑩 +

𝑩

4𝜋𝛻 𝒗 x 𝑩 x 𝑩 +

𝑩

4𝜋𝒗 x 𝑩 ∙ 𝛻 x 𝑩

148

MHD: Bilancio dell’Energia• Combinando il primo col terzo termine ed il secondo col quarto ricaviamo:

𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋= −

𝑐

4𝜋𝛻

𝒋

𝜎−

1

𝑐𝒗 x 𝑩 x 𝑩 −

𝑐

4𝜋

𝒋

𝜎−

1

𝑐𝒗 x 𝑩 ∙ 𝛻 x 𝑩

𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋= −

𝑐

4𝜋𝛻 𝑬 x 𝑩 −

𝑐

4𝜋

𝒋

𝜎∙ 𝛻 x 𝑩 +

1

4𝜋𝒗 x 𝑩 ∙ 𝛻 x 𝑩 = −

𝑐

4𝜋𝛻 𝑬 x 𝑩 −

𝑗2

𝜎+

𝑐

4𝜋𝛻 𝐄 x 𝑩

• Da cui, ricorrendo a:

𝟐 𝛻 x 𝑩 =4𝜋

𝑐𝒋

𝒋 = 𝜎 𝑬 +1

𝑐𝒗 x 𝑩 ⇒ 𝑬 =

𝒋

𝜎−

1

𝑐𝒗 x 𝑩

• Otteniamo:

• Infine, considerando che 𝒗 x 𝑩 ∙ 𝒋 = −𝒗 ∙ (𝒋 x 𝑩):−

1

𝑐𝒗 ∙ 𝒋 x 𝑩 =

𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋+

𝑗2

𝜎+

𝑐


149

MHD: Bilancio dell’Energia• Abbiamo quindi espresso l’Equazione del bilancio di energia come segue:

• Dove il Vettore di Pointing è definito come: 𝑺 =𝑐

4𝜋𝐄 x 𝑩

• Consideriamo l’Equazione del moto moltiplicata scalarmente per 𝒗 al fine di ottenere il lavoro delle densità di forza:

−1

𝑐𝒗 ∙ 𝒋 x 𝑩 =

𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋+

𝑗2

𝜎+

𝑐


Lavoro fatto dalla Forza di Lorentz nell’unità di

tempo per unità di volume

Variazione della densità di energia magnetica

Potenza dissipata per effetto Joule

Tiene conto del Flusso del vettore di Pointing (o

flusso dell’energia elettromagnetica)

𝜌𝒗 ∙𝑑𝒗

𝑑𝑡= −𝒗 𝜵𝑝 −

1

𝑐𝒗 ∙ (𝒋 x 𝑩)

150

MHD: Bilancio dell’Energia

• Osserviamo che, ricordando la legge di conservazione della massa, possiamo esprimere:

𝑑

𝑑𝑡

1

2𝜌𝑣2 = −

1

2𝜌

𝑑𝑣2

𝑑𝑡+

1

2𝑣2

𝑑𝜌

𝑑𝑡=

1

2𝜌

𝑑𝑣2

𝑑𝑡−

1

2𝜌𝑣2 𝜵 ∙ 𝒗

• Inoltre, considerando: 𝜵1

2𝜌𝑣2 𝒗 =

1

2𝜌𝑣2 𝜵 ∙ 𝒗 + 𝒗 ∙ 𝜵

1

2𝜌𝑣2

• Otteniamo:1

2𝜌

𝑑𝑣2

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜵

1

2𝜌𝑣2 𝒗 − 𝒗 ∙ 𝜵

1

2𝜌𝑣2

• Inoltre:

𝑑

𝑑𝑡

1

2𝜌𝑣2 =

𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝒗 ∙ 𝜵

1

2𝜌𝑣2

1

2𝜌

𝑑𝑣2

𝑑𝑡= 𝜌𝒗 ∙

𝑑𝒗

dt

⇒ 𝜌𝒗 ∙𝑑𝒗

dt=

𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜵

1

2𝜌𝑣2 𝒗

151

MHD: Bilancio dell’Energia• In seguito a quanto appena dimostrato, possiamo riscrivere l’espressione del lavoro delle densità di forza come:

−𝒗 𝜵𝑝 =𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜵

1

2𝜌𝑣2 𝒗 −

1


• Il Primo principio della Termodinamica, in forma differenziale, viene espresso come: 𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝐿 = 𝛿𝑄 − 𝑝𝑑𝑉

• In cui ritroviamo espresso il calore fornito in termini di 𝛿𝑄, l’Energia interna per unità di massa come 𝑈 ed il lavoro delle forze di pressione come −𝑝𝑑𝑉

• Dall’espressione differenziale del Primo principio della Termodinamica segue: 𝑑𝑈

𝑑𝑡=

𝛿𝑄

𝛿𝑡−

𝑝𝑑𝑉

𝑑𝑡

• Sapendo che 𝑉 = 𝜌−1, sulla base della conservazione della massa, possiamo scrivere:

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

1

𝜌= −

1

𝜌2

𝑑𝜌

𝑑𝑡=

1

𝜌𝜵 ∙ 𝒗

• Da cui:𝜌

𝑑𝑈

𝑑𝑡= 𝜌

𝛿𝑄

𝛿𝑡− 𝑝𝜵 ∙ 𝒗

152

MHD: Bilancio dell’Energia• L’Energia interna per unità di volume è definita come 𝑢 = 𝜌𝑈

• Nel caso di un gas perfetto, ricordando che 𝜆 = 1 +2

𝛾ed essendo 𝑝 = 𝑛𝑇, otteniamo:

𝑑𝑈

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

𝑢

𝜌=

1

𝜌

𝑑𝑢

𝑑𝑡−

𝑢

𝜌2

𝑑𝜌

𝑑𝑡=

1

𝜌

𝑑𝑢

𝑑𝑡+

𝑢

𝜌𝜵 ∙ 𝒗

𝑢 = 𝑛𝜆1

2𝑇 =

𝑛𝑇

2

2

𝛾 − 1=

𝑝

𝛾 − 1

• Facendo uso dell’espressione della conservazione della massa:

• Di conseguenza:𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑢 𝜵 ∙ 𝒗 − 𝜌

𝛿𝑄

𝛿𝑡+ 𝑝𝜵 ∙ 𝒗 = 𝟎

153

MHD: Bilancio dell’Energia• Per uno scalare ф arbitrario si dimostra che: ф𝜵 ∙ 𝒗 = 𝜵 ∙ ф𝒗 − 𝒗 ∙ 𝜵ф

• Ricorrendo a quanto appena dimostrato, una volta considerando ф = 𝑢 ed in seguito considerando ф = 𝑝, otteniamo:

𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑢 𝜵 ∙ 𝒗 − 𝜌

𝛿𝑄

𝛿𝑡+ 𝑝𝜵 ∙ 𝒗 =

𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑢𝒗 − 𝒗 ∙ 𝜵 𝑢 − 𝜌

𝛿𝑄

𝛿𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑝𝒗 − 𝒗 ∙ 𝜵 𝑝 = 0

• Quindi, considerando che 𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝒗 ∙ 𝜵 𝑢 ≡

𝜕𝑢

𝜕𝑡e ricordando:

−𝒗 ∙ 𝜵𝑝 =𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜵

1

2𝜌𝑣2 𝒗 −

1


• Otteniamo:𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑢𝒗 + 𝑝𝒗 − 𝜌

𝛿𝑄

𝛿𝑡+

𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜵

1

2𝜌𝑣2 𝒗 −

1

𝑐𝒗 ∙ (𝒋 x 𝑩) = 0

• Infine, sfruttando l’Equazione del bilancio di energia, abbiamo:

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑢𝒗 + 𝑝𝒗 − 𝜌

𝛿𝑄

𝛿𝑡+

𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜵

1

2𝜌𝑣2 𝒗 +

𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋+

𝑗2

𝜎+

𝑐

4𝜋𝛻 𝐄 x 𝑩 = 0

154

MHD: Bilancio dell’Energia• Definendo il flusso di calore (𝒒 = −𝑘 𝜵𝑻), con 𝑘 come conduttività termica, possiamo dire che il calore fornito,

positivo e negativo, all’unità di volume per conduzione termica (termine che spesso viene trascurato) è dato da:

• Di conseguenza:

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑢𝒗 + 𝑝𝒗 − (

𝑗2

𝜎+ 𝜵 ∙ (𝑘 𝜵𝑻)) +

𝜕

𝜕𝑡

1

2𝜌𝑣2 + 𝜵

1

2𝜌𝑣2 𝒗 +

𝜕

𝜕𝑡

𝐵2

8𝜋+

𝑗2

𝜎+

𝑐

4𝜋𝛻 𝐄 x 𝑩 = 0

−𝜵 ∙ 𝒒 = 𝜵 ∙ (𝑘 𝜵𝑻)

• Generalmente, la potenza termica fornita all’unità di volume è pari alla potenza joule dissipata più il calore fornito per conduzione termica:

𝜌𝛿𝑄

𝛿𝑡=

𝑗2

𝜎+ 𝜵 ∙ (𝑘 𝜵𝑻)

• Da cui:

𝜕

𝜕𝑡𝑢 +

1

2𝜌𝑣2 +

𝐵2

8𝜋+ 𝜵 ∙ [ 𝑢 + 𝑝 +

1

2𝜌𝑣2 𝒗 +

𝑐

4𝜋𝐄 x 𝑩 − 𝑘 𝜵𝑻] = 0

155

MHD: Bilancio dell’Energia• Abbiamo ricavato l’Equazione di Bilancio di Energia trascurando il lavoro delle forze viscose (che verrà espresso

da un termine del tipo 𝜵 ∙ 𝑨) scritta come equazione di continuità:

𝜕

𝜕𝑡𝑢 +

1

2𝜌𝑣2 +

𝐵2

8𝜋+ 𝜵 ∙ [ 𝑢 + 𝑝 +

1

2𝜌𝑣2 𝒗 +

𝑐

4𝜋𝐄 x 𝑩 − 𝑘 𝜵𝑻] = 0

Energia Interna, cinetica e magnetica (energia totale

per unità di volume)

Flusso dell’energia interna, dell’energia cinetica e del vettore di Pointing, più il flusso di calore ed il lavoro delle forze di pressione

157

MHD: Diffusione del campo magnetico• Eliminando il campo elettrico nel sistema di equazioni introdotto per l’analisi del confinamento del plasma,

abbiamo ottenuto la seguente espressione per esprimere la variazione del campo magnetico nel tempo quando la conducibilità elettrica è costante: 𝜕𝑩

𝜕 𝑡=

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵2𝐁 + 𝜵 x 𝒗 x 𝑩

• La variazione del campo magnetico nel tempo corrisponde essenzialmente a una convenzione di 𝑩, ad un trasporto di 𝑩 nel fluido, come se le linee di forza del campo fossero congelate e venissero trasportate nel plasma

• La variazione di campo magnetico nel tempo è determinata essenzialmente dal secondo termine dell’equazione ottenuta, mentre il primo termine ci dice che in una qualche misura le linee di forza diffondono e che l’ancoraggio delle linee di forza del plasma non è perfetto

• Studiamo i due casi limite relativi all’espressione ottenuta per la variazione del campo magnetico nel tempo

158

MHD: Diffusione del campo magnetico• Primo caso limite:

𝜕𝑩

𝜕 𝑡=

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵2𝐁

• L’equazione ottenuta, per ogni componente del campo, è quella di diffusione del campo magnetico (analoga all’equazione di Diffusività Termica)

• Definiamo, quindi, la Diffusività Magnetica come: 𝐷𝐵 =𝑐2

4𝜋𝜎

• Nel caso di un fenomeno caratterizzato da un tempo caratteristico 𝜏 ed una distanza caratteristica 𝐿, ricorriamo all’espressione di diffusione del campo magnetico per definire un tempo tipico della diffusione (𝜏𝐷) ed una distanza tipica della diffusione (𝐿𝐷) come segue:

𝜏𝐷 =𝐿2

𝐷𝐵

𝐿𝐷 = 𝐷𝐵𝜏𝐷

• La distanza 𝐿𝐷 prende il nome anche di distanza pelle perché è legata all’effetto pelle nei conduttori a corrente alternata e a volte si parla anche di tempo pelle per 𝜏𝐷

159

MHD: Diffusione del campo magnetico• Nel caso in cui 𝜏𝐷 ≫ 𝜏 o 𝐿𝐷 ≪ 𝐿 (come anche 𝐷𝐵 ≪

𝐿2

𝜏) la diffusione del campo magnetico è trascurabile per il

fenomeno considerato e si può trascurare il termine dipendente da 𝜎 in:𝜕𝑩

𝜕 𝑡=

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵2𝐁 + 𝜵 x 𝒗 x 𝑩

• Quanto ottenuto permette di meglio comprendere la teoria MHD ideale in cui ipotizziamo 𝜎 → ∞:

• Nel caso di plasma termonucleare (𝑇𝑒 = 1 𝑘𝑒𝑉, 𝜏𝐷 𝑠𝑒𝑐 ≈ 4.5 ∙ 10−3 𝐿2 (𝑐𝑚)) per dimensioni lineari dell’ordine del metro abbiamo un tempo caratteristico di diffusione dell'ordine del minuto; studiando, quindi, fenomeni dell’ordine di pochi millisecondi si potrà trascurare la diffusione ed affrontarne la trattazione con la teoria MHD ideale (𝜎 → ∞)

• In Astrofisica si ha a che fare con plasmi le cui dimensioni lineari sono in genere tali da poter trascurare la diffusione magnetica

• Se la conducibilità fosse molto grande, ma finita, il fatto che le linee di forza del campo non siano più esattamente congelate nel plasma ma si possano spezzare e riconnettere con topologia modificata può dar luogo alle cosiddette instabilità MDH resistive

160

MHD: Congelamento delle linee di forza di B• Per tempi di variazione dei parametri di plasma sufficientemente brevi (tali per cui 𝐷𝐵 ≪

𝐿2

𝜏) possiamo

trascurare la diffusione del campo magnetico ed ottenere: 𝜕𝑩

𝜕 𝑡= 𝜵 x 𝒗 x 𝑩

• Questa espressione corrisponde al limite di conducibilità elettrica infinita (Teoria MHD ideale)

• In un fluido con velocità v(𝒓, 𝑡) consideriamo un elemento di superficie solidale con il fluido stesso di area 𝑑𝜎 e normale 𝒏, tale per cui: 𝑑𝝈 = 𝑑𝜎𝒏

• Calcoliamo la derivata temporale del flusso di un vettore 𝑨(𝒓, 𝑡) attraverso l’ elemento di superficie definito:

Indichiamo con 𝑑𝜎1 e 𝑑𝜎2 l’elemento di superficie in due istanti diversi, 𝑡1 e 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑑𝑡 Nell’intervallo 𝑑𝑡 l’elemento di superficie subisce uno spostamento 𝑑𝒍 = 𝒗 𝑑𝑡 per cui la superficie mobile

determina un volume elementare 𝑑𝜏 = 𝑑𝒍 𝑑𝝈 Il flusso di un vettore 𝑨(𝒓, 𝑡) attraverso l’elemento di superficie sarà: 𝑨 ∙ 𝑑𝝈 = 𝐴𝑛𝑑𝜎 e la sua variazione in

𝑑𝑡 sarà pari a:

𝛿(𝐴𝑛𝑑𝜎) = (𝐴𝑛𝑑𝜎)2 − (𝐴𝑛𝑑𝜎)1

𝑑(𝐴𝑛𝑑𝜎) =𝜕𝐴𝑛

𝜕𝑡𝑑𝑡𝑑𝜎 + 𝛿(𝐴𝑛𝑑𝜎)

Il secondo termine può essere scritto per tener conto del fatto che l’elemento di superficie si sposta dalla posizione 1 alla 2:

161

MHD: Congelamento delle linee di forza di B

𝑨 ∙ 𝑑𝜮 = (𝐴𝑛𝑑𝜎)2 − (𝐴𝑛𝑑𝜎)1 + 𝑨 ∙ 𝑑𝒔 x 𝑑𝒍

Se Σ è la superficie che contorna l’intero volume elementare, il flusso totale di 𝑨 𝒓, 𝑡 attraverso Σ è dato dal flusso attraverso le superfici 𝑑𝜎 poste agli estremi del volume, più il flusso laterale:

In cui 𝑑𝒔 è l’elemento di linea del contorno di 𝑑𝜎 e l’integrale viene calcolato lungo il contorno 𝑑𝒔 x 𝑑𝒍 è un vettore ortogonale all’elemento di superficie laterale che ha come modulo l’area elementare

dell’elemento stesso Il termine 𝑨 ∙ 𝑑𝒔 x 𝑑𝒍 può essere riscritto come la circuitazione di un vettore sfruttando la proprietà di

invarianza del prodotto misto per permutazioni cicliche per cui, applicando successivamente il teorema del rotore (considerando 𝑑𝜎 la base del volume elementare), otteniamo:

S

𝑨 ∙ 𝑑𝒔 x 𝑑𝒍 ≡ 𝑑𝒍 x 𝑨 ∙ 𝑑𝑠 = 𝛁 x 𝑑𝒍 x 𝑨 ∙ 𝑑𝝈 = 𝛁 x 𝑑𝒍 x 𝑨 𝑛 𝑑𝜎

Applicando il Teorema della Divergenza avremo:𝑑𝜎

𝑨 ∙ 𝑑𝜮 = 𝛁 ∙ 𝑨 𝑑𝜏 = 𝛁 ∙ 𝑨 𝑑𝒍 𝑑𝝈 = 𝜵 ∙ 𝑨 𝑑𝑙𝑛𝑑𝜎S

162


Osservando che 𝑑𝑙𝑛 = 𝑣𝑛𝑑𝑡 e ricorrendo alle seguenti espressioni:

𝑑(𝐴𝑛𝑑𝜎) =𝜕𝐴𝑛

𝜕𝑡𝑑𝑡𝑑𝜎 + 𝛿(𝐴𝑛𝑑𝜎)

𝑨 ∙ 𝑑𝜮 = 𝛁 ∙ 𝑨 𝑑𝜏 = 𝛁 ∙ 𝑨 𝑑𝒍 𝑑𝝈 = 𝜵 ∙ 𝑨 𝑑𝑙𝑛𝑑𝜎

⇒ 𝜵 ∙ 𝑨 𝑣𝑛𝑑𝑡 𝑑𝜎 = 𝑑(𝐴𝑛𝑑𝜎) −𝜕𝐴𝑛

𝜕𝑡𝑑𝑡𝑑𝜎 + 𝑑𝜎 𝛁 x 𝑑𝒍 x 𝑨 𝑛

Quindi:

Scritto in una forma integrale per una superficie S finita, si ha:

𝑑

𝑑𝑡 𝑨 ∙ 𝑑𝝈 = [

𝜕𝑨

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑨 𝐯 − 𝜵x 𝒗 x 𝑨 ] ∙ 𝑑𝝈

S S

Questa equazione è un’identità vettoriale generale

𝑑

𝑑𝑡(𝐴𝑛𝑑𝜎) =

𝜕𝑨

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑨 𝐯 − 𝜵x 𝒗 x 𝑨

n

dσ

163


Otteniamo:

𝑑

𝑑𝑡 𝑨 ∙ 𝑑𝝈 = [

𝜕𝑨

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑨 𝐯 − 𝜵x 𝒗 x 𝑨 ] ∙ 𝑑𝝈

S S

Applicando la seguente, considerando: 𝑨 = 𝑩

𝑑

𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝝈 = [

𝜕𝑩

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝑩 𝐯 − 𝜵x 𝒗 x 𝑩 ] ∙ 𝑑𝝈

S S

Ricordando che 𝜵 ∙ 𝑩 = 0: 𝑑

𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝝈 = [

𝜕𝑩

𝜕𝑡− 𝜵x 𝒗 x 𝑩 ] ∙ 𝑑𝝈

S S

Nelle condizioni in cui possiamo trascurare l’effetto della Diffusività Magnetica, abbiamo:

𝑑

𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝝈 = 0 ⇒ 𝑩 ∙ 𝑑𝝈 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

S S

164


𝑑

𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝝈 = 0 ⇒ 𝑩 ∙ 𝑑𝝈 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

S S

• Per un fluido in cui sia valido il limite di conducibilità elettrica infinita abbiamo che per qualsiasi circuito in movimento col fluido il flusso attraverso la superficie racchiusa da tale percorso chiuso rimarrà costante (le linee di forza è come se fossero ancorate al fluido):

• Questo è il motivo per cui si parla di congelamento delle linee di forza e di conseguenza, per qualsiasi spostamento o deformazione di un contorno chiuso solidale col plasma, il flusso del campo magnetico attraverso una superficie delimitata dal contorno rimarrà costante

• Ricorrendo alla terza equazione della Teoria MHD (𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡) possiamo scrivere quanto segue:

𝑑

𝑑𝑡 𝑩 ∙ 𝑑𝝈 = −𝑐 [𝛻 x (𝑬 +

1

𝑐𝒗 x 𝑩)] ∙ 𝑑𝝈 = −𝑐 [𝛻 x 𝐄′ ] ∙ 𝑑𝝈 = 0S

SS S

• Riconosciamo il campo elettrico espresso nel sistema di riferimento in moto con la velocità 𝒗 del plasma

165

MHD: Congelamento delle linee di forza di B• La condizione di congelamento delle linee di forza del campo magnetico equivale sa dire che 𝐄′ = 0

𝜕𝑩

𝜕 𝑡= 𝜵 x 𝒗 x 𝑩• A partire dalla seguente relazione:

• Ricordando che 𝛻 ∙ 𝑩 = 0:𝜕𝑩

𝜕 𝑡= 𝜵 x 𝒗 x 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝜵 𝒗 − 𝒗 ∙ 𝜵 𝑩 − 𝑩 𝜵 ∙ 𝒗

• Ricorrendo anche alla seguente relazione: 0 =𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝜌𝒗 =

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌 𝜵 ∙ 𝒗 + 𝒗 𝜵 𝜌 =

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝜌 𝜵 ∙ 𝒗

• Otteniamo: 𝜵 ∙ 𝒗 = −1

𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑡−

1

𝜌(𝒗 ∙ 𝜵𝜌)

• Ricorrendo al risultato ottenuto nell’equazione relativa al campo magnetico, abbiamo:

1

𝜌

𝜕𝑩

𝜕 𝑡−

𝐵

𝜌2

𝜕𝜌

𝜕𝑡−

𝑩

𝜌2 𝒗 ∙ 𝜵𝜌 +1

𝜌𝒗 ∙ 𝜵 𝑩 =

𝑩

𝜌∙ 𝜵 𝒗

166

• Combinando le derivate temporali e spaziali:𝜕

𝜕 𝑡

𝑩

𝜌+ 𝒗 ∙ 𝜵

𝑩

𝜌=

𝑩

𝜌∙ 𝜵 𝒗 ⇒

𝑑

d 𝑡

𝑩

𝜌=

𝑩

𝜌∙ 𝜵 𝒗

• Consideriamo ora una linea congelata nel fluido sufficientemente piccola per valutare come varia ricorrendo ai differenziali:

Preso un elemento di linea del fluido 𝛿𝒍, con 𝒗 velocità di un estremo dell’elemento, la velocità dell’altro estremo sarà pari a 𝒗 + 𝛿𝒍 ∙ 𝛁 𝒗

L’aumento di 𝛿𝒍 in un tempo 𝑑𝑡 sarà 𝛿𝒍 ∙ 𝛁 𝒗𝑑𝑡 e la legge di variazione di 𝛿𝒍 è data da: 𝑑

𝑑𝑡𝛿𝒍 = 𝛿𝒍 ∙ 𝛁 𝒗

Ipotizzando che per un certo istante 𝑡∗ si abbia 𝛿𝒍 = 𝛼𝑩/𝜌, avremo un coefficiente di proporzionalità 𝛼 non

variabile durante il moto dato che sia 𝛿𝒍 e 𝑩

𝜌seguono la stessa legge di evoluzione

Avremo, quindi, 𝛿𝒍 = 𝛼𝑩/𝜌 valida per ogni istante di tempo

• Abbiamo dimostrato che elementi che nello stesso istante giacciono sulla medesima linea di forza (le linee di forza di campo magnetico sono congelate nel fluido)


167

EQUILIBRIO MHD• L’Equilibrio Magnetoidrodinamico è associato ad una condizione priva di accelerazioni, in cui la velocità

idrodinamica 𝒗 è costante

• Nel caso di Equilibrio Idrostatico, la velocità idrodinamica è nulla e si parlerà di Magnetoidrostatica a cui sono associate le seguenti equazioni:

𝜕𝑩

𝜕 𝑡=

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵2𝐁

𝛻 x 𝑩 =4𝜋

𝑐𝒋

𝛻 ∙ 𝑩 = 0

𝜵𝑝 =1

𝑐𝒋 x 𝑩 + 𝜌𝒈

Si tratta dell’Equazione Idrodinamica in cui compare una possibile densità di forza gravitazionale (𝜌𝒈)

168

EQUILIBRIO MHD• L’Idrodinamica classica conosce una serie di soluzioni per le Equazioni di Navier-Stokes e parte di queste

soluzioni possono essere reinterpretate come soluzioni del problema magnetoidrodinamico

• Consideriamo l’equazione del moto di un fluido normale (non conduttore): 𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡= −𝜵𝑝 + 𝜌𝒈

• In condizioni di flusso stazionario si ha 𝑑𝒗

𝑑𝑡=

𝜕𝒗

𝜕𝑡+ 𝒗 ∙ 𝛻 𝒗 = 𝒗 ∙ 𝛻 𝒗 dato che nulla dipende esplicitamente dal

tempo (𝜕𝒗

𝜕𝑡= 0)

• Dato che 𝛻𝑨2 = 2 𝑨 ∙ 𝛻 𝑨 + 2𝑨 x (𝛻 x 𝑨), possiamo scrivere: −𝜌 𝒗 x 𝛻 x 𝒗 +𝜌

2𝛻𝒗𝟐 = −𝜵𝑝 + 𝜌𝒈

• Supponendo di avere un fluido incomprimibile (𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 ⇒ 𝛻 x 𝒗 = 0) e di avere un Potenziale Gravitazionale pari a 𝒈 = −𝜵𝜴:

𝜵(𝑝

𝜌+ Ω +

1

2𝑣2) − 𝒗 x 𝛻 x 𝒗 = 0

• Se 𝒗 x 𝛻 x 𝒗 = 0, allora otteniamo l’espressione del Teorema di Bernoulli:𝑝

𝜌+ Ω +

1

2𝑣2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

169

EQUILIBRIO MHD• Considerando l’equazione per un plasma all’equilibrio idrostatico immerso in un campo magnetico

(𝜵𝑝 =1

𝑐𝒋 x 𝑩 + 𝜌𝒈), possiamo scrivere quanto segue:

𝜵 −4𝜋𝑝 − 4𝜋𝜌Ω − 𝑩 x(𝛻 x 𝑩) = 0

𝛻 x 𝑩 =4𝜋

𝑐𝒋 ⇒ 𝒋 =

𝑐

4𝜋𝛻 x 𝑩

𝒈 = −𝜵𝜴⇒

• Abbiamo ottenuto una relazione formalmente analoga a quella relativa al caso di un fluido non conduttore

(∗

) trattato con la Teoria Idrodinamica classica, di conseguenza:

𝑣∗ → 𝐵

𝑝∗

𝜌∗ + Ω∗ +1

2𝑣∗2 → −4𝜋 𝑝 + 𝜌Ω + 𝑐𝑜𝑠𝑡

• In particolare, mentre la condizione 𝛻 x 𝒗∗ = 0 di fluido incomprimibile trova la sua naturale controparte

nella 𝛻 ∙ 𝑩 = 0, la condizione𝜕𝒗∗

𝜕𝑡= 0 per un flusso stazionario richiede che sia 𝜎 → ∞ per avere

𝜕𝑩

𝜕𝑡= 0

• VI è corrispondenza fra le soluzioni idrodinamiche per un fluido incomprimibile in condizioni di flussostazionario e di equilibrio MHD ideale considerando le precedent associazioni (soluzioni equivalenti)

170

EQUILIBRIO MHD: Equilibri force-free• Considerando la seguente equazione in caso di equilibrio per velocità nulla ed assenza di forza gravitazionale:

𝜵𝑝 =1

𝑐𝒋 x 𝑩

• Nota la pressione 𝑝 e la caratteristica 𝐿 di variazione dei parametri del plasma, possiamo valutare il modulo del gradiente della pressione come: 𝑝

𝐿=

1

𝑐𝑗𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜃)

• Dove 𝜃 è l’angolo presente fra 𝒋 e 𝑩

• Nei casi in cui, a prescindere dai vettori, si ha 𝑝

𝐿≪

1

𝑐𝑗𝐵 affinché l’uguaglianza sia valida, 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≪ 1 che si

traduce nella seguente condizione: 𝒋 x 𝑩 ≅ 0

• Ricordando l’espressione della densità di forza magnetica in funzione di tensori, possiamo scrivere quanto segue:

𝒇 = 𝜵𝑝 =1

𝑐𝒋 x 𝑩 = 𝛁: 𝑴 = 𝛁 −

𝐵2

8𝜋+ 𝛁:

𝑩 𝑩

4𝜋⇒ 𝛁 𝑝 +

𝐵2

8𝜋= 𝛁:

𝑩 𝑩

4𝜋

• Vicino alla pressione cinetica (𝑝) compare la pressione magnetica (𝐵2

8𝜋). Nel caso in cui 𝑝 ≪

𝐵2

8𝜋, avremo:

𝛁𝐵2

8𝜋≈ 𝛁:

𝑩 𝑩

4𝜋⇒ 𝒇 ≈ 𝟎

171

EQUILIBRIO MHD: Equilibri force-free

• La condizione 𝑝 ≪𝐵2

8𝜋deve essere verificata affinché si possa trascurare la retroazione del plasma sul campo

magnetico (trascurare il campo prodotto dalle particelle in moto rispetto al campo esterno → 𝛽 =𝑛𝑊

𝐵2/8𝜋≪ 1)

ed in questo caso useremo come equazione di equilibrio:

• Possiamo riscrivere l’equazione di equilibrio come:

𝒋 x 𝑩 = 0

𝒋 =𝑐

4𝜋𝛻 x 𝑩 ⇒

𝑐

4𝜋𝛻 x 𝑩 x 𝑩 = 0 ⇒ (𝛻 x 𝑩)x 𝑩 = 0

• Un campo vettoriale per cui valga (𝛻 x 𝑩)x 𝑩 = 0 è definito force-free perché, anche in presenza di un campo elettrico e magnetico, non vi è alcuna forza elettromagnetica

• Esistono diversi casi reali di equilibri MHD in cui i campi sono force-free:

• Nella corona solare, come nel caso di vento solare, il plasma è rarefatto e quindi, anche se la temperatura

è elevata, la pressione cinetica 𝑝 = 𝑛𝑇 è piccola per cui la condizione 𝑝 ≪𝐵2

8𝜋è soddisfatta

• Nel campi vettoriali force-free abbiamo una conducibilità elettrica 𝜎 ∝ 𝑇𝑒3/2

abbastanza elevate per cui valga la teoria MHD ideale

172

EQUILIBRIO MHD: Equilibri force-free• L’espressione (𝛻 x 𝑩)x 𝑩 = 0 è una condizione sulla struttura del campo

• In primo luogo avremo 𝛻 x 𝑩 = 𝛼𝑩 dato che 𝛻 x 𝑩 dovrà essere parallelo al campo 𝑩 come conseguenza della condizione di campo vettoriale force-free

• Calcoliamo la divergenza della 𝛻 x 𝑩 = 𝛼𝑩:

0 = 𝛻 ∙ 𝛻 x 𝑩 = 𝛻 ∙ 𝛼𝑩 = 𝛼𝛻 ∙ 𝑩 + 𝛻𝛼 ∙ 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝛻𝛼 ⇒ 𝛻//𝛼 = 0

𝛻 ∙ 𝑩 = 0

𝛻 ∙ (𝛻 x 𝑩) = 0

𝛻 ∙ ф𝑩 = ф 𝛻 ∙ 𝑩 + 𝛻ф ∙ 𝑩

⇒

• Abbiamo ottenuto che la costante 𝛼 non varierà lungo le linee di forza

• Calcoliamo il rotore della 𝛻 x 𝑩 = 𝛼𝑩:

𝛻 x 𝛻 x 𝑩 = 𝛻 x 𝛼𝑩 = 𝛼𝛻 x 𝑩 + 𝛻𝛼 x 𝑩 = 𝛼2𝑩 + 𝛻𝛼 x 𝑩𝛻 x ф𝑩 = ф 𝛻 x 𝑩 + 𝛻ф x 𝑩 ⇒

• Inoltre, sfruttando quanto già dimostrato e che 𝛻 x 𝑩 x 𝑩 = 𝛻 ∙ 𝛻 ∙ 𝑩 − 𝛻2𝑩, possiamo dire che:

𝛻 x 𝛻 x 𝑩 = 𝛻 ∙ 𝛻 ∙ 𝑩 − 𝛻2𝑩 = −4𝜋𝜎

𝑐2

𝜕𝑩

𝜕𝑡

173

EQUILIBRIO MHD: Equilibri force-free• A partire da quanto ottenuto, mettendo insieme i risultati, si dimostra:

• In caso di conducibilità termica non troppo elevata, la configurazione magnetica evolverà nel tempo in funzione dell’espressione qui ricavata e volendo che la configurazione resti force-free, 𝑩 dovrà essere separabile:

𝛻 x 𝛻 x 𝑩 = 𝛼2𝑩 + 𝛻𝛼 x 𝑩

𝛻 x 𝛻 x 𝑩 = 𝛻 ∙ 𝛻 ∙ 𝑩 − 𝛻2𝑩 = −4𝜋𝜎

𝑐2

𝜕𝑩

𝜕𝑡

⇒ 𝛼2𝑩 + 𝛻𝛼 x 𝑩 = −4𝜋𝜎

𝑐2

𝜕𝑩

𝜕𝑡

𝑩 = 𝑩𝟎 𝒓 𝑓(𝑡)

• Di conseguenza: 𝑓 𝑡 𝛻 x 𝑩𝟎 = 𝛼𝑓 𝑡 𝑩𝟎 ⇒ 𝛻 x 𝑩𝟎 𝒓 = 𝛼𝑩𝟎 𝒓

• Dato che né 𝛻 x 𝑩𝟎 𝒓 né 𝑩𝟎 𝒓 dipendono dal tempo, avremo 𝛼 costante (𝜕𝛼

𝜕𝑡= 0)

• Inoltre, ricorrendo a 𝑩 = 𝑩𝟎 𝒓 𝑓(𝑡), otteniamo: 4𝜋𝜎

𝑐2

𝜕𝑡

𝜕𝑡+ 𝛼2𝑓 𝑡 𝑩𝟎 = 𝑓(𝑡)(𝑩𝟎 x 𝛻𝛼)

• Il vettore al primo membro è parallelo a 𝑩𝟎, quello a secondo membro è invece ad esso perpendicolare, quindi l’uguaglianza potrà essere soddisfatta solo nel caso in cui entrambi siano nulli:

𝑩𝟎 x 𝛻𝛼 = 0 ⇒ 𝛻⟂𝛼 = 0

174

EQUILIBRIO MHD: Equilibri force-free• Abbiamo dimostrato che 𝛼 non varierà né lungo le linee di forza, né nelle direzioni ad esse ortogonali. Di

conseguenza, possiamo dire che lo scalare 𝛼 è spazialmente costante (𝛻𝛼 = 0)

• Osserviamo che la condizione 𝑓 𝑡 𝑩𝟎 x 𝛻𝛼 = 0 implica che la 𝒇 𝒕 dovrà soddisfare un’equazione di diffusione (𝛼 ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza)

• Nei casi in cui la conducibilità elettrica non è molto elevata, l’evoluzione del campo magnetico segue:

𝛼2𝑩 + 𝛻𝛼 x 𝑩 = −4𝜋𝜎

𝑐2

𝜕𝑩

𝜕𝑡

• Quando 𝝈 → ∞, non valgono i ragionamenti fatti e lo scalare 𝜶 non è necessariamente costante

• Si dimostra che le configurazioni per cui 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 sono caratterizzare da energia magnetica minima e tendono ad essere più stabili

176

APPENDICE

• BASI TEORICHE

• BIBLIOGRAFIA

177

BASI TEORICHE (1)• La Forza di Coulomb determina la creazione di un campo elettrico non appena viene a svilupparsi una

separazione di carica

𝐹 = 𝑘𝑐

𝑓1 ∙ 𝑓2

𝑟2 𝑟

• Dove, definendo 휀0 la Costante Dielettrica nel vuoto (pari a 8.85 ∙ 10−12 𝐶2

𝑚2𝑁), abbiamo:

𝑘𝑐 =1

4𝜋휀0= 8.99 ∙ 109

𝑁𝑚2

𝐶2

• La Forza di Newton è: 𝑭 = 𝑚 𝒗

178

BASI TEORICHE (2)• Le Equazioni di Maxwell relative alla descrizione delle proprietà e condizioni iniziali e al contorno del Campo

Elettromagnetico sono:

𝟐 𝜵 𝐱 𝑯 =4𝜋

𝑐𝑱 +

1

𝑐

𝜕𝑫

𝜕 𝑡

(𝟒) 𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

𝟑 𝜵 ∙ 𝑫 = 4𝜋 𝑞

𝟏 𝛻 ∙ 𝑩 = 0

Sono richieste per descrivere i campi

Definiscono le condizioni iniziali e al contorno in termini di cariche e correnti

• Dove 𝑞 è la Densità di Carica Elettrica e 𝒋 è la Densità di Corrente derivati da una trattazione microscopica (𝜖 =𝜇 = 1), da cui:

𝑫 = 𝜖𝑬 = 𝑬

H= 𝜇𝑩 = 𝑩

179

BASI TEORICHE (3.1)• Il momento magnetico 𝜇 =

𝑊⟂𝐵

è invariante in due casi particolari:

• Caso 1: Campo elettrico nullo (𝑬 = 0 ⇒ 𝑣𝐸 = 0) e campo magnetico variabile nello spazio senza una variazione temporale esplicita (𝑩 = 𝐵 𝒓 𝒃, con b costante)

• L’equazione che governa il moto parallelo, avendo 𝑣𝑐// = 𝑣//, risulta essere:

• Ricordando che:

• Otteniamo:

• In un campo magnetico statico si conserva l’energia cinetica totale (𝑊// = 𝑊 − 𝑊⟂), quindi si ha:

𝑑𝑣//

𝑑𝑡= −

𝜇

𝑚𝛻//𝐵

𝑑𝐵

𝑑𝑡=

𝜕𝐵

𝜕𝑡+ 𝒗𝒄

𝟎∙ 𝜵 𝐵 = 𝑣//𝛻//𝐵

yields𝛻//𝐵 =

1

𝑣//

𝑑𝐵

𝑑𝑡

𝑑𝑣//

𝑑𝑡= −

𝜇

𝑚𝑣//

𝑑𝐵

𝑑𝑡

yields 𝑑

𝑑𝑡

1

2𝑚𝑣// = −𝜇

𝑑𝐵

𝑑𝑡

𝑑𝑊//

𝑑𝑡= −

dW⟂𝑑𝑡

= −𝑑

𝑑𝑡(𝜇𝐵) ⇒ 𝜇

𝑑𝐵

𝑑𝑡=

𝑑 𝜇𝐵

𝑑𝑡= 𝜇

𝑑𝐵

𝑑𝑡+ 𝐵

𝑑𝜇

dt⇒

d𝜇

𝑑𝑡= 0 ⇒ 𝜇 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

180

BASI TEORICHE (3.2)• Il momento magnetico 𝜇 =

𝑊⟂𝐵

è invariante in due casi particolari:

• Caso 2: Campo magnetico uniforme nello spazio, con una lenta variazione temporale (𝑩 = 𝐵 𝑡 𝒃, con bcostante) e conseguente campo elettrico che soddisfa la Legge di Faraday-Neumann dell’equazioni di Maxwell (slide «Basi Teoriche (2)»)):

• Il campo elettrico compie anche un lavoro su una rotazione di Larmor stimabile ricorrendo al Teorema del rotore (la superficie S sarà la superficie piana che ha l’orbita di Larmor come contorno):

• L’intensità del campo magnetico varia poco mentre la particella percorre la circonferenza di raggio 𝜌, quindi 𝜕𝐵

𝜕𝑡= 𝐵~𝑐𝑜𝑠𝑡 e può essere portato fuori dall’integrale ed ottenere:

• Da cui:

𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

∆𝑊⟂ = 𝑞𝑬 ∙ 𝑑𝒍 = 𝑞 𝛻 x 𝑬 ∙ 𝑑𝑆 = −𝑞

𝑐

𝜕𝑩

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑆

S SOrbita di Larmor

∆𝑊⟂ =𝑞

𝑐 𝐵𝜋𝜌2 =

𝜇2𝜋

Ω 𝐵 = 𝜇∆B

𝜇∆B = ∆𝑊⟂ = ∆ 𝜇𝐵 = 𝜇∆B + B ∆𝜇 ⇒ ∆𝜇 = 0 ⇒ 𝜇 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

181

BASI TEORICHE (3.3)• Nella Meccanica Classica un sistema descritto da una Hamiltoniana 𝐻(𝑝𝐾 , 𝑞𝐾 , λ) tale per cui, per una determinata

λ, abbia soluzioni periodiche con frequenza Ω𝐾 per le variabili canoniche (𝑝𝐾, 𝑞𝐾) ammette come invarianti gli integrali d’azione estesi ad un periodo:

𝐽𝐾 = 𝑝𝐾𝑑𝑞𝐾

• Le variazioni di λ devono avvenire su tempi lunghi rispetto al periodo del moto (invarianti adiabatici)

• Nel caso del moto di una particella in un campo magnetico debolmente variabile abbiamo una soluzione periodica ed un moto di girazione della particella perpendicolare al campo (frequenza di girazione pari alla

frequenza di ciclotrone Ω =𝑞𝐵

𝑚𝑐).

• Le variabili coniugate descriventi il moto della particella possono essere espresse come:𝑝⟂ = 𝑚𝑣⟂

𝑞⟂ = 𝑑𝑞⟂ = 𝜌𝐿𝑑ф• L’integrale di azione invariante per variazioni lente dell’intensità B del campo

(parametro del sistema) è:𝐽⟂ = 𝑚𝑣⟂𝜌𝐿𝑑ф = 2𝜋𝑚

𝑣⟂2

Ω= (

4𝜋𝑚𝑐

𝑞)𝜇

• L’invarianza del momento magnetico è legata all’invarianza dell’integrale di azione 𝐽⟂

182

BASI TEORICHE (4.1)• Le Equazioni della Magnetoidrodinamica sono:

𝟐 𝛻 x 𝑩 =4𝜋

𝑐𝒋

(𝟒) 𝛻 x 𝑬′ = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

𝟏 𝛻 ∙ 𝑩 = 0

Equazioni di Maxwell

𝒋 = 𝜎𝑬′ = 𝜎(𝑬 +1

𝑐𝒗 x 𝑩)Legge di Ohm generalizzata:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝜌𝒗 = 0Legge di conservazione della massa:

𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡= −𝜵𝑝 + 𝒇Equazione Idrodinamica:

Equazione politropica (o di stato):𝑑

𝑑𝑡𝑝𝜌−𝛾 = 0

183

BASI TEORICHE (4.2)• Inoltre, si dimostra che:

(𝟒) 𝛻 x 𝑬 = −1

𝑐

𝜕𝑩

𝜕 𝑡

𝒋 = 𝜎𝑬′ = 𝜎(𝑬 +1

𝑐𝒗 x 𝑩)

⇒𝜕𝑩

𝜕 𝑡= −𝑐 𝜵 x [

1

𝜎𝒋 −

1

𝑐𝒋 x 𝑩]

• Ipotizzando di avere 𝜎 costante nello spazio e considerando 𝒋 =𝑐

4𝜋𝛻 x 𝑩, svilupperemo la precedente

espressione per avere: 𝜕𝑩

𝜕 𝑡= −

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵 x 𝜵 x 𝑩 + 𝜵 x 𝒗 x 𝑩

• Abbiamo ottenuto un’espressione non più dipendente dal campo elettrico, e di conseguenza nessuna delle equazioni della Teoria Magnetoidrodinamica dipenderà da E

• Ricordando che 𝜵 ∙ 𝑩 = 𝟎, possiamo dimostrate che:

𝜵 x 𝜵 x 𝑩 = 𝜵 𝜵 ∙ 𝑩 − 𝜵2𝐁 = −𝜵2𝐁 ⇒𝜕𝑩

𝜕 𝑡=

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵2𝐁 + 𝜵 x 𝒗 x 𝑩

184

BASI TEORICHE (4.3)• Omettendo l’equazione che esprime la solenoidalità del campo magnetico (𝛻 ∙ 𝑩 = 0), le Equazioni della

Magnetoidrodinamica saranno:

2𝜕𝑩

𝜕 𝑡=

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵2𝐁 + 𝜵 x 𝒗 x 𝑩

1 𝛻 x 𝑩 =4𝜋

𝑐𝒋

3𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜵 ∙ 𝜌𝒗 = 0

4 𝜌𝑑𝒗

𝑑𝑡= −𝜵𝑝 + 𝒇

5𝑑

𝑑𝑡𝑝𝜌−𝛾 = 0

• SI tratta di un sistema completo (5 equazioni in 5 incognite)

• Le incognite sono la densità di massa del plasma, la velocità idrodinamica, l’intensità del campo magnetico, la densità di corrente e la pressione cinetica

• Abbiamo assunto la pressione delle particelle cariche isotropa separatamente per ciascuna specie di particelle

185

BASI TEORICHE (4.4)• Considerando un plasma con frequenza d’urto piccola in condizioni magnetiche complesse per cui necessitiamo di

un tensore diagonale delle pressioni, non possiamo assumere la pressione delle particelle cariche isotropa separatamente per ciascuna specie di particelle

• In questo caso, i cambiamenti nelle equazioni si riducono alla differenza delle componenti longitudinale e trasversale del gradiente di pressione nell’equazione del moto e a una modifica dell’equazione per la pressione

• La Teoria che tiene conto dell’anisotropia della pressione è chiamata Magnetoidrodinamica anisotropa

• Si parla di Magnetoidrodinamica Ideale quando possiamo ipotizzare infinita la conducibilità elettrica, o meglio, trascurare il primo termine al membro di destra rispetto agli altri presenti nella seguente equazione per l’intensità di campo magnetico:

𝜕𝑩

𝜕 𝑡=

𝑐2

4𝜋𝜎𝜵2𝐁 + 𝜵 x 𝒗 x 𝑩 ⇒ 𝜎 → ∞ :

𝜕𝑩

𝜕 𝑡= 𝜵 x 𝒗 x 𝑩

𝑬 =𝒋

𝜎−

1

𝑐𝒗 x 𝑩 ≅ −

1

𝑐𝒗 x 𝑩 ⇒ 𝑬′= 𝑬 +

1

𝑐𝒗 x 𝑩 = 0

• Inoltre, in queste condizioni, abbiamo anche:

186

BASI TEORICHE (5.2)• La Spirale di Archimede fu scoperta da Archimede (morto nel 212 a.C.), grande matematico siracusano, e fu esposta

per la prima volta nel suo trattato "Sulle spirali" indirizzato a Dositeo (tracce della spirale si trovano già in alcuni dipinti minoici risalenti al 1650 a.C.)

• Descrizione cinematica:

• Possiamo descrivere la spirale di Archimede introducendo due parametri: la velocità angolare ω costante con la quale la retta ruota intorno all’origine della spirale A e la velocità v costante con il quale il punto si muove sulla retta che ruota:

𝐴𝑃3 − 𝐴𝑃2 = 𝐴𝑃2 − 𝐴𝑃1

1. Il segmento AP1 ruota di un angolo 𝛼 fino a raggiungere la posizione AP22. Il segmento AP2 ruota dello stesso angolo 𝛼 fino a raggiungere la

posizione AP33. La differenza tra la lunghezza dei raggi non cambia:

4. Definito t è il tempo che la retta impiega per spostarsi da P1 a P2, nello stesso tempo t la retta si sposterà da P2 a P3 e quindi lo spazio in più LP2 che il punto P della spirale percorre nel tempo t sulla retta che ruota, sarà uguale allo spazio in più MP3 che nello stesso tempo t il punto P percorre per andare da P2 a P3

187

BASI TEORICHE (5.2)

• In un sistema di coordinate polari con polo nell’origine della spirale e asse nell’origine della rivoluzione otteniamo le equazioni:

𝜃 = 𝑤𝑡

𝑟 = 𝑣𝑡

• Eliminando il parametro t, otteniamo l’Equazione della Spirale di Archimede in coordinate polari: :

𝜌 = 𝑣𝜃

𝑤=

𝑎

𝑇

𝑇

2𝜋𝜃 =

𝑎

2𝜋𝜃

• Definiamo il periodo T come il tempo in cui la retta che ruota compie un intero giro

• La velocità angolare sarà 𝑤 =2𝜋

𝑇

• Il primo segmento AB è legato alla velocità v dalla relazione 𝐴𝐵 = 𝑣 𝑇

• Introducendo come parametro la lunghezza 𝑎 = 𝐴𝐵 di tale segmento, possiamo esprimere la spirale in funzione di a e T

188

APPENDICE

• BASI TEORICHE

• BIBLIOGRAFIA

189

BIBLIOGRAFIA (1)• Articoli utilizzati:

• Ferraro V.C.A., Onde di Alfvén nel Vento Solare, Queen Mary College, University of London, 1972• Parker E.N., Dynamics Of The Interplanetary Gas And Magnetic Fields, Enrico Fermi Institute for Nuclear

Studies, University of Chicago, 1958• Alfvén H., Carlqvist P., Interstellar Clouds And The Formation Of Stars, Department of Plasma Physics• Royal Institute of Technology (Stockholm, Sweden),1977• Shatten K.H., Large-scale Properties Of The Interplanetary Magnetic Field, NASA Goddard Space Flight Center,

Greenbelt, MD, United States, 1995• Hiltula T., Mursula K., Long dance of the bashful ballerina, Department of Physical Sciences, University of Oulu,

Oulu (Finland), 2006• Mursula K., Bashful ballerina: The asymmetric Sun viewed from the heliosphere, University of Oulu, Oulu

(Finland), 2007• Virtanen I., Asymmetry Of The Heliospheric Magnetic Field, Department of Physics University of Oulu Graduate

School University of Oulu (Finland), Report Series In Physical Sciences (Report No. 84), 2013• Schatten K. H., Large-scale Properties Of The Interplanetary Magnetic Field, NASA Technical Reports Server

(https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19730002039), 1972• Schatten K. H., Current Sheet Magnetic Model For The Solar Corona, NASA Technical Reports Server

(https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19730002037), 1972

https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19730002039

https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19730002037

190

BIBLIOGRAFIA (2)• Libri utilizzati:

• Villante, Al di là delle nuvole – La fisica delle interazioni Sole-Terra, Bollati Boringhieri, 2001• Piel A, Plasma Physics – An Introduction to Laboratory, Space, and Fusion Plasmas, Springer, 2010• Schwenn R., Solar Wind And Interplanetary Magnetic Field, Geophysics And Geochemistry (Vol.III), 1999• Pucella G., Segre S. E., Fisica dei Plasmi, Zanichelli, 2009

• Provenienza del materiale didattico/Tesi utilizzate:

• Professor Iver H. Cairns, ‘’Solar and Space Physics Course” (School of Physics, University of Sydney, Sydney (Australia))

• Trenchi L., Seminario “Il vento solare e le sue interazioni con la magnetosfera terrestre (I-II-III)’’, Sapienza –Università di Roma

• Professor Favini B., Fluidodinamica Geofisica e Astrofisica: “Basi Teoriche del Bow Shock Terrestre”, Sapienza –Università di Roma, lavoro prodotto da Magionami E., Pica E., Moriero I. e Gori T., 2015-16

• Tesi di Laurea in Fisica (Sapienza – Università di Roma, Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali –Dipartimento di Fisica), Laureando: Alessandro Retinò, Titolo: «La Magnetopausa Terrestre Ad Alta Latitudine: Studio Tridimensionale Con I Satelliti Della Missione Cluster», 2001-2002

• Joe Giacalone, Professore di Planetary Sciences, “Plasma physics with astrophysical and solar-system applications course” al Lunar and Planetary Laboratory (Tucson, Arizona), 2018

Fluidodinamica Geofisica e Astrofisica

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