GRAVITAZIONE

Sommario. In questa serie di problemi vengono toccati tutti i concetti fon-damentali dell’ultima parte del corso.

1. Problemi

1.1. Moto circolare.

1.1.1. Giro della morte. Il binario in figura 1.1 ha un raggio di 7.2m.

Figura 1.1. Il motociclista deve raggiungere la velocità minimanecessaria per completare il giro della morte

(1) Scrivi l’equazione della dinamica lungo l’asse z per il corpo nella posizioneindicata in figura (il punto più alto del cerchio).

(2) Determina la velocità minima necessaria affinché il motociclista completi ilgiro senza cadere.

1.1.2. Centrifuga. Il blocchetto (m = 2.4 kg) viene mantenuto in posizione graziealla rotazione del cilindro.

(1) Scrivi le equazioni della dinamica per il blocco lungo gli assi x e z.(2) Si sa che il cilindro ha un raggio di 54 cm e compie la propria rotazione in

1.2 s. Determina le forze di sostegno e di attrito subite dal blocchetto.

1.2. Moto circolare e gravità apparente.1

GRAVITAZIONE 2

Figura 1.2. Il blocchetto di massa m aderisce alla parete internadel cilindro rotante.

1.2.1. Base spaziale rotante. Una settore di una base spaziale ha la forma di uncilindro in rotazione (vedi fig. 1.3). Nella zona dello spazio in cui si trova questabase la gravità è del tutto trascurabile.

Al suo interno il cilindro è diviso in due sezioni, una interna di raggio r1 = 40me una esterna di raggio r2 = 90m.

Figura 1.3.

(1) Stabilisci il periodo di rotazione del cilindro, sapendo che il sostegno suuna persona che si trova nella sezione esterna è pari a metà di quello cheavvertirebbe la stessa persona sulla superficie terrestre.

(2) Determina, nelle stesse condizioni, il sostegno su una persona di massam = 62 kg che sta in piedi nella sezione interna.

1.2.2. Jogging in un cilindro in rotazione. L’anello in figura 1.4 si trova in una zonadello spazio in cui la gravità è completamente trascurabile.

La velocità periferica del cilindro è v. Entrambe le persone raffigurate si muovonoad una velocità pari a v/5.

GRAVITAZIONE 3

Figura 1.4. Una palestra in una ipotetica base spaziale ha la for-ma di un anello in rotazione, e le persone svolgono esercizi ginnicimuovendosi sulla superficie interna dell’anello.

(1) Scrivi l’equazione della dinamica (lungo il raggio) per entrambe le persone.(2) Mostra, risolvendo le equazioni, che la ragazza si trova in una situazione

favorevole, perché avverte un peso minore di quel che avvertirebbe se simuovesse in verso opposto.

1.3. Gravitazione universale. Per rispondere alle prossime domande si tengapresente che il campo di gravità di un pianeta è determinato dalla formula

g (r) = GmP

r2

e che la forza di gravità tra il pianeta ed un corpo di massa m è determinatadalla relazione

F (gravità) = GmPm

r2

1.3.1. Gravità ed effetto centrifugo. Una persona di massa pari a 100 kg si trovaall’equatore del pianeta, in piedi su una bilancia. Che massa indica la bilancia?

1.3.2. Massa, forza di gravità e peso. Le prossime domande si riferiscono alla figura1.6

(1) Quanto vale il campo di gravità sulla sommità della torre?(2) Qual è il periodo orbitale dell’astronave?(3) Una persona di massam = 100 kg si trova sulla sommità della torre; quanto

pesa?(4) Quanto peserebbe la stessa persona se fosse sull’astronave?

GRAVITAZIONE 4

Figura 1.5. Il raggio del pianeta è pari a 0.95 volte il raggio dellaTerra, la sua massa è pari a 0.92 volte la massa della Terra e ladurata del suo giorno è pari a 20.8 ore.

Figura 1.6. Una torre eretta sull’equatore di un pianeta ha un’al-tezza pari a metà del raggio del pianeta (si tratta di un esempiomolto ipotetico). Si sa che la gravità del pianeta alla superficie èpari a 9.5N/kg ed il raggio è pari a 1.02rT (non si tratta, ovviamen-te, della Terra). Un’astronave orbita attorno al pianeta sfiorandoad ogni giro la sommità della torre. Il periodo di rotazione delpianeta è pari a τrot = 23.2 h.

1.3.3. Orbite e masse centrali. Il pianeta in figura 1.7 ha raggio pari a 0.95rTerra.(1) Determina l’accelerazione orbitale di un satellite sulla prima orbita, sapendo

che ha raggio r1 = 1.5 rP ed è percorsa in 2.64 ore.(2) Determina il campo di gravità del pianeta sulla prima orbita.(3) Determina il campo di gravità del pianeta alla superficie.(4) Determina la massa del pianeta.

GRAVITAZIONE 5

Figura 1.7.

(5) Un satellite di massa m = 280 kg si trova su un’orbita di raggio r2 = 2.5 rP.(a) Determina il suo periodo orbitale.(b) Determina la coppia azione-reazione tra satellite e pianeta.

2. Soluzioni

2.1. Moto circolare.

2.1.1. Giro della morte. Orientiamo l’asse z dal basso verso l’alto.(1) Indichiamo con N il sostegno del binario sulla moto.L’equazione richiesta

è

m

(−v

2

r

)= −N −mg

I segni si possono semplificare e si ottiene mv2

r = N +mg.(2) La condizione affinché la moto non cada è N≥0 e quindi

m

(v2

r− g)≥ 0

la soluzione del problema è pertanto v≥√gr; a questo punto basta sostituirei valori del campo di gravità e del raggio.

2.1.2. Centrifuga. L’idea è che tanto più velocemente ruota il cilindro tanto più ègrande l’attrito disponibile per sostenere il blocchetto; indichiamo con A la forzadi attrito e con N la forza di sostegno. Orientiamo l’asse x da sinistra verso destrae l’asse z verso l’alto.

(1) Le equazioni richieste sono

m(4π2 r

τ2

)= N

0 = A−mg

(2) A questo punto basta sostituire nelle equazioni i dati del problema.

GRAVITAZIONE 6

2.2. Moto circolare e gravità apparente. L’idea alla base di questi problemi èche in assenza di gravità un ambiente cilindrico in rotazione determina un sostegnocentripeto proporzionale alla massa dei corpi, simulando così la presenza di gravi-tà. L’equazione della dinamica per un corpo appoggiato alla superfice interna delcilindro è

m(−4π2 r

τ2

)= −N

(l’asse di riferimento è orientato dal centro verso l’esterno), e così si dimostra ilsostegno (centripeto) è proporzionale alla massa,

N = m · 4π2 r

τ2

proprio come la forza di gravità.(1) Basta sostituire i dati nell’equazione

��m · 4π2 r2τ2

=1

2��mgTerra

(2) L’accelerazione nella sezione interna è

a1 =r1r2a2

(verifica!) dove a2 è l’accelerazione nella sezione esterna. Il sostegnorichiesto pertanto è

N1 = mr1r2a2 =

1

2

4

9mgTerra =

2

9mgTerra

A questo punto basta sostituire il valore dato della massa.

2.2.1. Jogging in un cilindro in rotazione. L’uomo percorre un’orbita circolare convelocità

v1 = v +1

5v =

6

5v

mentre la donna percorre un’orbita circolare con velocità

v2 = v − 1

5v =

4

5v

(perché si muove nel verso opposto). Se fossero fermi rispetto al cilindro starebberopercorrendo un’orbita circolare a velocità v.

(1) Le equazioni sono

36

25muomo

(@−v2

r

)=@−N1

16

25mdonna

(@−v2

r

)=@−N2

(2) Dato che il peso coincide con il sostegno, l’uomo avverte un peso pari ai36/25 di quello che ha da fermo (e quindi superiore), mentre la donnaavverte un peso pari ai 16/25 di quello che ha da fermo (e quindi inferiore).

2.3. Gravitazione universale.

GRAVITAZIONE 7

2.3.1. Gravità ed effetto centrifugo. L’equazione della dinamica per la persona è

muomo

(−v

2

r

)= N −mgP

La gravità del pianeta si determina così:

gP = GmP

r2P= G

0.92mT

(0.95rT)2 =

=0.92

0.952GmP

r2P

∼= 1.02gT

(«T» sta per «Terra»); per determinare l’accelerazione centripeta si noti che τ =20.8 · 3600 s e si usi la formula

a = 4π2 rPτ2

2.3.2. Massa, forza di gravità e peso.(1) Usiamo la legge dell’inverso del quadrato, tenendo presente che la sommità

della torre si trova a distanza rP + 12rP = 3

2rP.

gP

(3

2rP

)=

(rP32rP

)2

gP =4

9gP

(2) Basta risolvere l’equazione

m

(−4π2

32rP

τ2

)= −m · 4

9gP

che può essere anche semplificata così:

π2 rPτ2

=2

27gP

e a questo punto occorre sostituire i dati del problema (l’incognita è ilperiodo orbitale τ).

(3) Se la persona si trova in piedi sulla sommità della torre si muove di motocircolare con periodo τrot e l’equazione che regola la sua dinamica è

m

(−4π2

32rP

τ2rot

)= N −m · 3

2gP

e a questo punto basta sostituire i dati; il peso è inferiore a quello cheavvertirebbe sulla superficie del pianeta.

(4) Il peso sarebbe pari a zero (come discusso in aula).

2.3.3. Orbite e masse centrali.(1) r1 = 1.5 · 0.95 · 6.37 · 106 m ∼= 9.08 · 106 m; τ1 = 9504 s; si trova immediata-

mente che l’accelerazione orbitale (segno a parte) vale

a1 ∼= 3.97m

s2

(2) Come già visto in precedenza il campo sull’orbita vale quanto l’accelerazioneorbitale

gP (r1) ∼= 3.97N

kg

GRAVITAZIONE 8

(3) Usiamo la legge dell’inverso del quadrato:

gP (rP) ∼= 2.25 · 3.97 N

kg∼= 8.93

N

kg

(4) Usiamo la legge di gravitazione universale:

6.67 · 10−11 Nm2

kg2︸ ︷︷ ︸G

mP

(0.95 · 6.37 · 106 m)2∼= 8.93

N

kg

(5) Indichiamo solo il procedimento.(a) Bisogna risolvere l’equazione

mS

(−4π2 2.5rP

τ2

)∼= −mS ·

1

6.25· 8.93 N

kg

(b) La forza è data da F = mSgP (2.5rP) = G mPmS(2.5rP)2