1

Forza centripeta e gravitazione

1. Il moto circolare Quali sono le caratteristiche del moto circolare? Una particella si dice animata di moto circolare quando la sua traiettoria una circonferenza. Lo studio di questo tipo di moto viene effettuato individuando due direzioni istantanee, cio due rette orientate che cambiano ad ogni nuova lettura di cronometro. Si tratta della direzione radiale, lungo la semiretta che esce dal centro della circonferenza andando verso la posizione del punto che si sta muovendo; e della direzione tangenziale, sulla retta tangente alla circonferenza, orientata nel verso del moto e perpendicolare alla direzione radiale. Quali sono direzione e verso della velocit nel moto circolare? Quando una particella descrive una traiettoria curva, ed una circonferenza in particolare, per capire la direzione della velocit possiamo immaginare che dimprovviso scompaiano tutte le forze in azione. La particella si troverebbe allora nella condizione contemplata dalla legge dinerzia, la quale prevede che in assenza di forze il moto segua una linea retta. Si tratta della retta tangente alla traiettoria, che per definizione viene assunta come direzione della velocit in quel dato istante. Che cosa sappiamo di sbagliato riguardo al moto circolare? Prima di iniziare lanalisi del moto circolare, necessario rimuovere due idee errate che nei secoli si sono radicate, e che costituiscono un ostacolo alla comprensione di questo fenomeno.

Capitolo

7

DIREZIONE RADIALE

ISTANTANEA

DIREZIONE TANGENZIALE ISTANTANEA

v

v

2

prima idea errata: un oggetto pu seguire una traiettoria circolare senza che vi sia un binario di qualche tipo che lo costringa a farlo.

seconda idea errata: un oggetto in moto circolare tende ad essere scagliato verso

lesterno, in direzione radiale, dallazione di una forza detta centrifuga. Perch occorre un binario per sostenere il moto circolare? La prima delle due concezioni errate risale agli antichi Greci, i quali ritenevano il moto circolare la traiettoria perfetta, perch pensavano fosse seguita dagli oggetti celesti. Essendo perfetta, la traiettoria circolare doveva essere una condizione naturale per i corpi, incorruttibile, cio capace di sostenersi autonomamente ed immutabile nel tempo. Da Galileo in poi sappiamo che questo ruolo privilegiato spetta al moto rettilineo uniforme, il solo a proseguire indefinitamente senza che debba intervenire alcuna forza, e che per tale caratteristica viene addirittura considerato uno stato. Viceversa, muoversi lungo una traiettoria curva significa cambiare in ogni momento la direzione della velocit. Mutare velocit, anche se solo in direzione e non in intensit, vuol dire accelerare: una macchina che curvi con velocit di modulo costate Km/h30v , sta accelerando in direzione, anche se il

tachimetro segna sempre lo stesso valore perch non sta accelerando in intensit. Poich il secondo principio prevede che possa aver luogo unaccelerazione unicamente in presenza di una forza, ne deduciamo che nel moto circolare occorre una forza anche solo per cambiare ogni istante la direzione alla velocit. Come vedremo nel dettaglio, si tratta di una forza in direzione radiale, che punta sempre verso il centro della circonferenza: ne sono esempi la forza normale esercitata da un binario curvo, oppure la tensione di una corda legata al centro della circonferenza. Nella figura a lato, l dove il binario (in un piano orizzontale) si interrompe, la pallina prosegue con un moto in linea retta lungo la direzione tangenziale istantanea, dato che venuta meno la forza normale che la costringeva a curvare. Perch non esiste una forza centrifuga? Come sappiamo dalla terza legge della dinamica, non esistono forze solitarie, ma soltanto interazioni fra coppie di oggetti. Ogni forza deve avere due attori: un soggetto che la esercita (e che a sua volta subisce unazione uguale e contraria), ed uno che la subisce. Ora, nota a tutti la sensazione (illusoria) di essere scagliati verso lesterno, in direzione radiale, quando la nostra auto percorre un arco di curva. Ma si deve escludere che questa sensazione sia dovuta allazione di una forza, semplicemente perch non esiste alcun soggetto che esercita questa forza. Chi esercita la forza centrifuga? Non c risposta a questa domanda. Un passeggero su di unauto in curva crede di essere tirato verso lesterno, ma in realt mantiene soltanto la stessa direzione di velocit, che come abbiamo detto in ogni istante tangente alla traiettoria circolare. Se non ci fosse lauto egli volerebbe in direzione tangenziale non appena inizia la curva. Nel frattempo invece, la macchina gli si muove sotto ed intercetta continuamente la sua traiettoria rettilinea forzandolo verso il centro. Come si vede in figura, lo spostamento dellauto crea una valutazione errata, per cui egli pensa di

v

v

v

N

N

DIREZIONE RADIALE

ISTANTANEA

v

3

essere scagliato verso lesterno, ed invece non sta seguendo affatto la direzione radiale istantanea. Il meccanismo lo stesso di quando lauto frena, ed il passeggero prosegue il moto in avanti con la medesima velocit di prima della frenata. Analogamente, quando lauto accelera, al passeggero sembra di essere tirato indietro, ma sta solo proseguendo con la velocit che possedeva prima, mentre lauto ad aver cambiato stato di moto. Questa tendenza a proseguire il moto in direzione tangenziale responsabile fra le altre cose, del rigonfiamento della circonferenza del nostro pianeta allaltezza dellequatore, dove la velocit di rotazione massima. Analogamente il principio usato dalla centrifuga di una lavatrice per asciugare i panni. Come si vede dal disegno per, le goccioline di acqua non scappano in direzione radiale ma tangenziale, mentre il cestello continua a ruotare. E necessario che agisca una forza anche lungo la direzione istantanea della velocit? Immaginiamo la pallina di una roulette lanciata dal croupier. Inizialmente la pallina stava ferma, quindi la mano del croupier ha dovuto esercitare una forza per portarla fino ad avere velocit v . Come sappiamo dalla seconda legge della dinamica, da quel momento in poi, in assenza di qualsiasi attrito, non pi necessaria una forza nella direzione istantanea di v per mantenere la sua intensit v costante. Daltro canto non possiamo nemmeno escludere che una

tale forza ci sia: ad esempio quando unauto percorre una curva pu farlo con velocit di modulo costante, ma anche accelerando in intensit. Allo stesso modo, quando tentiamo di produrre con la mano il moto circolare in un peso agganciato ad una corda, dobbiamo prima metterlo in moto, esercitando una forza nella direzione della velocit. Successivamente compiamo due azioni: mantenendo ferma la mano tiriamo la corda in modo da costringere il peso a descrivere la circonferenza, ed ogni tanto dovremo pure dare un colpetto nella direzione della velocit per compensare lazione degli attriti e della gravit, che tendono a far diminuire lintensit della velocit da noi inizialmente impressa. Nel seguito ci occuperemo della cinematica del moto circolare in cui lintensit della velocit rimane costante, che chiameremo moto circolare uniforme. Nel moto circolare uniforme, ad essere costante dunque solo v , mentre v

cambia ogni istante direzione. Come possiamo ricavare laccelerazione lungo la direzione radiale? Preso un punto in moto circolare uniforme di raggio r , consideriamo un arco di circonferenza AB, e lintervallo di tempo t che occorre al punto per percorrerlo. In questo stesso tempo il raggio della circonferenza avr spazzato langolo e la velocit avr cambiato direzione passando da Av

a

Bv . Poich sia Av

che Bv sono perpendicolari al raggio, se li riportiamo con

unorigine comune, immediato concludere che anche la velocit ha spazzato lo stesso angolo . Dal metodo di punta-coda per la somma dei vettori si riconosce subito che il vettore v che unisce le punte di Av

e Bv il vettore

differenza, cio A Bv v v da cui B Av v v

. Consideriamo ora il triangolo delle velocit ed il triangolo AOB: sono entrambi isosceli e con un angolo uguale, pertanto sono simili:

v

F ?

F

Av

Bv

A

B

O

rs

Av

Bv

v

goccia

4

v s

rv

Dividiamo per t ambo i membri e riordiniamo:

v v s

t r t

Quando tende a zero lintervallo temporale t , sappiamo che il rapporto s

t

diviene il modulo della velocit istantanea v . Il rapporto v

t

diventa invece

il modulo dellaccelerazione istantanea, la cui direzione si mantiene sempre parallela a v e cos alla fine risulta perpendicolare a v . Infatti nel triangolo delle velocit, quando 0 si ha 90 dovendo la somma rimanere uguale a 180 . La chiamiamo quindi accelerazione centripeta Ca

, in quanto diretta lungo il raggio puntando verso il centro. Quindi sostituendo nella

relazione precedente v

t

con Ca e

s

t

con v si trova che lintensit

dellaccelerazione centripeta vale:

2

C

va

r

Esempio 1 Sopra ad un piano orizzontale, una pallina di massa Kg0.0500m viene

lanciata in una guida circolare di raggio m0.200r e percorre un giro

completo in s1.45 . Assumendo che il modulo della velocit sia rimasto

costante durante il giro, calcolare laccelerazione centripeta della pallina e la forza normale esercitata su di lei dalla guida. Troviamo innanzitutto il modulo della velocit:

m/ss

2 6.28 0.2000.866

1.45 1.45r

v

Fissiamo quindi un riferimento sul piano con lorigine nel centro della circonferenza e consideriamo listante in cui la pallina taglia lasse delle ascisse come in figura. In direzione orizzontale agisce la forza normale, mentre

laccelerazione vale 2

( / ; 0 )a v r :

N2

20.8660.0500 0.187

0.200x x xv

N ma N mr

e per laccelerazione centripeta si ha:

m/s2

220.866 3.75

0.200Cv

ar

Ca

v

Bv

Av

0 90

v

v

rN

v

Ca

N x

y

5

Cosa si intende con il termine forza centripeta ? Se una particella di massa m segue un moto circolare uniforme di raggio r , lungo la direzione radiale istantanea la seconda legge della dinamica si scrive:

2

r

vF m

r

Si chiama forza centripeta la somma delle componenti in direzione radiale rF di tutte le forze che agiscono su di una particella in moto circolare. Non si tratta quindi di un nuovo tipo di forza, ma solo del nome che sinteticamente si assegna alla risultante delle forze che producono laccelerazione centripeta. Nel precedente esempio 1 la forza centripeta fornita dalla normale alla guida, in questo caso lunica ad agire sulla pallina in direzione radiale. Riflettiamo sul fatto che la forza normale una forza passiva, che in grado di fornire sempre il valore che occorre per costringere loggetto a percorrere la traiettoria circolare di quel raggio con quella velocit. Se ad esempio il modulo della velocit raddoppiasse, la guida dovrebbe fornire una forza centripeta

2 2(2| |) | |4v vr r

m m

quattro volte pi grande, e cos via finch la forza richiesta

non divenisse cos intensa da piegare la guida stessa. E quanto accade ai treni che deragliano per aver tentato di percorrere le curve a velocit superiore al massimo che il binario poteva sopportare senza deformarsi. La forza centripeta pu avere le origini pi diverse: la tensione di una corda insieme alla gravit producono la forza centripeta quando si fa ruotare una massa ad un suo capo, lattrito statico fra pneumatici ed asfalto fornisce la forza centripeta che serve per far percorrere allauto una curva, la forza di gravit funge da forza centripeta per tenere la Luna in orbita attorno alla Terra, e cos via. Esempio 2 Una massa Kg0.600m agganciata al capo di una fune lunga m0.500 viene

fatta ruotare in un piano verticale, imprimendogli nel punto pi in basso una velocit m/s5.00v . La traiettoria circolare ma il modulo della velocit non

rimane costante in quanto la massa rallentata dalla gravit mentre sale ed accelerata mentre scende. Sapendo che nel punto pi in alto risulta

m/s2.32v , si calcolino la forza centripeta, laccelerazione centripeta e la

tensione della fune nelle posizioni di massima e minima altezza. Nella posizione di minima altezza abbiamo, lungo lasse y (che in quel momento coincide con la direzione radiale):

2| |y y y

vT W ma T mg m

r

N2 2| | 5.00

0.600 9.81 0.600 35.90.500

vT mg m

r

mentre la forza centripeta e laccelerazione centripeta valgono:

T

y

W

TW

y

6

N35.9 0.600 9.81 30.0rF T mg

m/s2 2

2| | 5.00 50.00.500C

va

r

m/s250.0ya

Nel punto di massima altezza abbiamo, sempre lungo la direzione radiale y : 2| |

y y y

vT W ma T mg m

r

N2 2| | 2.32

0.600 0.600 9.81 0.5730.500

vT m mg

r

mentre la forza centripeta e laccelerazione centripeta valgono: N0.573 0.600 9.81 6.46rF T mg

m/s2 2

2| | 2.32 10.80.500C

va

r

m/s210.8ya

Riflettiamo sul fatto che la tensione della corda non coincide con la forza centripeta, ma anzi T

aggiusta il suo valore facendosi minima quando

aiutata dalla gravit nel produrre la forza centripeta, come accade nel punto pi alto, e facendosi invece massima quando contrastata dalla gravit nel produrre la forza centripeta, come accade nel punto pi basso. Esempio 3 Unauto segue una strada curva procedendo a velocit di modulo costante v .

Si calcoli il modulo della sua accelerazione nei tratti AB, BC, CD, DE specificando dove massimo e dove minimo. Lungo i tratti AB, CD, DE, che sono archi di circonferenza, laccelerazione solo centripeta essendo il modulo della velocit costante. Si ha:

2

AB

va

R

;

2 2

34

4

3CDv v

aRR

;

2 2

13

3DEv v

aRR

mentre nel tratto rettilineo BC essendo costante il modulo della velocit si ha: 0BCa

Il massimo valore di accelerazione, tutta centripeta, si ha quindi durante la curva di raggio minimo DE, il minimo valore di accelerazione centripeta nella curva di raggio massimo AB, mentre il minimo valore di accelerazione in assoluto il valore nullo che si ha nel tratto rettilineo BC. Esempio 4 Unautomobile di massa Kg1500m percorre una curva circolare di raggio

m40.0r alla velocit di m/s15.0 . Si trovi quanto vale la forza centripeta.

Sapendo poi che il coefficiente di attrito statico fra pneumatici ed asfalto 0.950s , si calcoli la massima velocit alla quale lauto pu percorrere la

curva e la forza centripeta in questo secondo caso.

N

W

sf x

y

R

3R

4

1R

3

A

BC

D

E

7

La forza centripeta fornita tutta dalla forza di attrito statico sf

, e la sua

direzione perpendicolare a quella in cui avanzano le ruote. Nel primo caso sf

non raggiunge il suo valore massimo, ma sappiamo per che la sua intensit

soddisfa la condizione 0 s sf N

. Indicando con x la direzione radiale

istantanea come in figura, si ha:

N2

2415.01500 0.844 10

40.0sx x sv

f ma f mr

Per avere la velocit massima dobbiamo calcolare invece proprio la massima

forza di attrito statico s N

e quindi trovare N

. Dallequilibrio in direzione

verticale si ha: 0 0y yN W N mg N mg

che sostituito nella relazione precedente: 2

maxsx x s s

vf ma N m m

r

g m

2v

r

m/s0.950 9.81 40.0 19.3sv gr .

In questo caso per la forza centripeta risulta

N2

2419.31500 1.40 10

40.0rv

F mr

.

Esempio 5 Unautomobile di massa Kg1300m , che viaggia alla velocit costante di

m/s10.5v , passa sopra ad un dosso il cui profilo pu essere considerato

una circonferenza di raggio m15.0R . Si dica, senza svolgere alcun calcolo,

se quando lauto raggiunge la sommit, la forza normale esercitata dal terreno maggiore, minore od uguale al peso della vettura. Si calcolino quindi le intensit della forza centripeta e della forza normale in quel momento. Quando si trova nel punto pi alto lauto sta descrivendo una circonferenza, quindi deve agire su di lei una forza verticale che punta verso il centro. Questo significa che la somma delle forze che agiscono in verticale deve puntare in basso, cio la forza N

deve avere unintensit minore di quella del peso W

. E

ben nota infatti la sensazione di alleggerimento che da passeggeri si sperimenta sulla sommit dei dossi: quello che si percepisce proprio la diminuzione della forza normale, che come sappiamo, invece, quando siamo in quiete resta sempre uguale al peso. La forza centripeta il risultato delle azioni congiunte di N

e W

, che in

verticale si sottraggono. Osservando la direzione dellasse verticale si ha 2

v

y Ra

, da cui si ricava per la forza centripeta:

N

W

R

y

N

W

N N

W

W

8

N2

2310.51300 9.56 10

15.0y y y rv

N W ma F N mg mR

mentre per la normale: N N3 3 39.56 10 1300 9.81 9.56 10 3.20 10N mg N

Esempio 6 Una pallina di massa Kg0.300m , appesa ad un filo lungo m0.750L , gira

a velocit di modulo costante descrivendo una circonferenza, mentre langolo che il filo forma con la verticale rimane sempre 25.0 . Sapendo che la pallina compie un giro in s1.50 si trovi la tensione del filo, lintensit della

forza centripeta e lintensit dellaccelerazione centripeta. Calcoliamo innanzitutto il raggio della traiettoria circolare:

msin 0.750 sin25.0 0.317R L

e ricaviamo da questo il modulo della velocit della pallina:

m/ss

2 6.28 0.3171.33

1.50 1.50R

v

e lintensit dellaccelerazione centripeta:

m/s2

221.33 5.58

0.317Cv

aR

Fissato un riferimento nellistante rappresentato in figura, sappiamo che in direzione verticale non c accelerazione, poich se langolo rimane costante, la pallina non pu n salire n scendere. Si ottiene: cos25.0 0y y yT W ma T mg

N0.300 9.81 3.25cos25.0 0.906

mgT

La forza centripeta data dalla componente orizzontale della tensione, e coincide anche con la composizione data dalla regola del parallelogramma della tensione e del peso, poich la risultante di queste due forze, come abbiamo detto, tutta orizzontale:

Nsin 25.0 3.25 0.423 1.37rF T

Esempio 7 Sopra ad un piano, fissata ad una corda, una massa Kg0.450m descrive un

moto circolare uniforme di raggio m0.500r con velocit m/s2.50v .

Allaltro capo della corda pende immobile, da un foro ricavato al centro del piano, una seconda massa M . Si trovi il valore di M . Fissato un riferimento con la direzione radiale istantanea lungo lasse x , abbiamo che la forza centripeta fornita dalla tensione della corda:

R

L

Forza centripeta

W

y

x

T

M

m

9

N2

22.500.450 5.63

0.500x xv

T ma T mr

Per la massa appesa, la condizione di equilibrio richiede che lungo lasse verticale sia nulla laccelerazione:

N0 5.63y y yT W ma T Mg Mg T

da cui si ottiene:

Kg5.63 0.5749.81

TM

g

Esempio 8 Una blocco di massa m , scivola senza attrito lungo il profilo di un igloo a forma di sfera avente raggio R , partendo dal punto pi alto con una velocit orizzontale cos piccola da potersi considerare nulla. Ad un certo valore dellangolo il blocco si stacca dalligloo, descrivendo una traiettoria parabolica di caduta libera. Spiegare perch si distacca e calcolare quanto vale la velocit in quellistante. Fintanto che il blocco segue il profilo delligloo sta descrivendo una traiettoria circolare, e quindi occorre che le forze agenti su di lui, normale N

e peso W

,

producano la forza centripeta necessaria. La normale N

come sappiamo una forza passiva, che adegua man mano la sua intensit in conseguenza della forza con la quale il blocco viene premuto contro ligloo. Se ligloo non ci fosse, il blocco seguirebbe sin dallinizio una traiettoria parabolica di caduta libera, che si troverebbe nello spazio occupato dal ghiaccio. A mano a mano che procede la discesa, questa traiettoria ipotetica si va aprendo sempre pi perch aumenta lintensit della velocit con cui la caduta libera avrebbe inizio. Nellistante in cui la parabola diventa tutta esterna alligloo, il blocco non viene pi premuto contro il ghiaccio e cos si stacca. In quel momento, dato che cessa di essere premuto, si annulla anche la forza normale. Scegliendo un riferimento come in figura, osserviamo che il modulo della velocit non uniforme, ma cresce durante la caduta per lazione della gravit. Il blocco seguir il profilo circolare delligloo solo fino a quando la somma delle

forze radiali rF riuscir a produrre la necessaria forza centripeta 2

v

Rm

: 2

cosv

r RF N mg m

Imponendo la condizione trovata sopra, per cui la normale si annulla al momento del distacco, si trova la velocit:

mg cos m 2

v

R

cosv Rg

x

M

m T

W

T

y

N

N

N = 0

W

y

x

N

direzione radiale

istantanea

y

R cos

10

Esempio 9 Unautomobile di massa m tenta di eseguire il giro della morte lungo una pista circolare di raggio R . Si trovi la velocit minima av

con la quale deve arrivare nel punto pi alto della pista. Per poter eseguire il giro le ruote dellauto devono mantenere sempre il contatto con la pista, in particolare nel punto pi alto. Questo avviene solo se in ogni momento la velocit istantanea che la traiettoria di caduta libera che tende a far descrivere allauto ha la parte iniziale esterna alla pista, come nella curva blu in figura. In tal modo la pista deve esercitare una forza normale per costringere lauto a deviare verso il centro, ed il contatto assicurato. Se viceversa la velocit istantanea cos bassa da produrre una traiettoria di caduta libera interna alla pista (curva gialla), il contatto viene meno. Quando la condizione di contatto soddisfatta nel punto pi alto, essa certamente soddisfatta anche nellintero tragitto, dato che forza di gravit fa diminuire lintensit della velocit man mano che lauto sale. Indicando con av

la velocit alla sommit, in quel momento risulta: 2 2

a av v

y y y R RN W ma N mg m N mg m

La forza centripeta 2

av

Rm

che occorre per mantenere lauto in pista tanto pi

piccola quanto minore av . Il valore minimo di av

quello a cui basta la sola

gravit a produrre 2

av

Rm

. Per esso risulta dunque 0N

nel punto pi alto: 2

2aa a

vmg m v gR v gR

R

Esempio 10 Unautomobile di massa m percorre una curva di raggio m150R alla

velocit di m/s15.0 . Sapendo che la strada inclinata ed indicato con

langolo che essa forma con lorizzontale, si trovi il valore di che permette allauto di percorrere la curva anche in assenza di attrito fra pneumatici ed asfalto. Come si ricava dalla figura la somma vettoriale della forza normale e del peso debbono fornire la necessaria forza centripeta per descrivere una curva di raggio R alla velocit assegnata. Il secondo principio della dinamica in forma vettoriale si scrive: CN W ma N mg ma

Lequazione sopra scritta facilmente visualizzabile in termini geometrici grazie al metodo di punta-coda. Si forma un triangolo di ipotenusa N

ed i cui

cateti Cma ed mg , in base ai dati del problema, devono essere rispettivamente

orizzontale e verticale. Si dimostra facilmente che pure langolo fra N

ed mg . Risulta dunque:

N

W

y

N

R

0v

x

y

W

N

N

11

tan Cma m

mg

2| |vR

m

2 2

1| | 15.0 0.153; tan (0.153) 8.699.81 150

v

gRg

Allo stesso risultato si perviene facendo il rapporto delle componenti orizzontale e verticale della forza normale:

2| |x x x

vN ma N m

R

0 0y y y yN W N mg N mg 2| | 2| |

tanvRx

y

mN v

N mg gR

Esempio 11 Un disco ruota su di un piano orizzontale compiendo giri/min33 . Ad una

distanza di cm25.0 dal centro viene appoggiato un blocchetto di massa m .

Sapendo che il coefficiente di attrito statico fra blocco e disco vale 0.150s si dica se il blocchetto scivola. Il blocchetto scivola sicuramente se la massima forza di attrito statico non pu fornire la forza centripeta necessaria per seguire quel particolare moto circolare. Per calcolare la forza centripeta ricaviamo la velocit:

lunghezza di 1 girom/s

secondi in un minuto33 33 2 33 6.28 0.250

0.86460 60

rv

220.864

2.990.250r

vF m m m

r

Il valore della forza centripeta non noto in quanto ignota la massa del blocchetto. Tuttavia anche lattrito statico che deve produrla ha un valore massimo che dipende da m . Sapendo che lequilibrio in direzione verticale produce N mg

:

,max 0.150 9.81 1.47S S Sf N mg m m

e come si vede risulta sempre 2.99 1.47m m qualunque sia la massa, cio il blocchetto scivola in ogni caso perch lattrito statico non ce la fa a fornire la necessaria forza centripeta, neppure in caso assuma il suo valore massimo. Esempio 12 Si determinino velocit ed accelerazione centripeta di un punto sulla superficie terrestre che si trovi alla latitudine italiana, sapendo che m66.378 10TR .

Il punto descrive in un periodo h s24 86400T una circonferenza di raggio:

m6 6cos 42 6.378 10 0.7431 4.739 10Tr R

m/s6

6 4

4

2 6.28 4.739 10 6.28 4.73910 344

8.64008.6400 10

rv

T

e come si vede la velocit trovata superiore alla velocit del suono in aria. Per laccelerazione risulta:

N mg

Cma

mg

N

R

N

y

N

x

N

Sf

cm25

r

42 TR

12

m/s2

2 55 6 2 2

6 6

344 1.18336 100.2497 10 2.50 10

4.739 10 4.739 10C

va

r

Esempio 13 Un ponte sospeso forma un arco di circonferenza incurvato verso il basso, di raggio

m200R . Sul cartello di avvertimento si legge che il ponte sopporta al massimo

un carico di N41.50 10 . Quale limite di velocit deve rispettare unautomobile di

massa Kg1200 se vuole attraversare il ponte senza che questo si rompa?

Osserviamo che il peso dellauto N41200 9.81 1.18 10W

inferiore al

carico massimo sopportabile, tuttavia questo non permette di concludere che il ponte non si rompe in quanto la forza normale N

che esso esercita sullauto, oltre ad

equilibrare la componente radiale del peso dellauto ( RW

in figura), deve anche produrre la necessaria forza centripeta affinch lauto possa seguire la traiettoria circolare imposta dalla forma del ponte. Al crescere della componente radiale del peso, la forza normale cresce in intensit fino al suo massimo, assunto nel punto pi basso, dove deve equilibrare lintero peso dellauto. La velocit massima si ottiene imponendo che il valore massimo della normale (quello nel punto pi basso) sia proprio N41.50 10 :

2v

N mg mR

41.50 10200

Nv R g

m

31.200 10m/s9.81 23.2

y

N

W

R

W

N

R

W

T

W

13

2. La legge di gravitazione universale Cosa dice la legge della gravitazione universale? Lesperienza mostra che qualunque coppia di corpi si attrae reciprocamente con una forza detta gravitazionale, la cui intensit tanto maggiore quanto pi le masse sono vicine, e tanto maggiore quanto maggiore il valore della massa di ciascuno di essi. Nel caso particolare in cui le due masse siano puntiformi questa forza attrattiva

GF

diretta lungo la retta congiungente i due corpi, ed ha unintensit inversamente proporzionale al quadrati della loro distanza r e direttamente proporzionale al prodotto delle due masse:

1 22G

m mF G

r

Con 1m ed 2m abbiamo indicato le rispettive masse in kilogrammi, mentre r e

GF

sono ovviamente espressi in metri e Newton. G una costante fondamentale

della natura, che nel Sistema Internazionale vale :

2

2

NmKg

116.67 10G

e le sue unit di misura sono quelle che occorrono per far tornare Newton al primo

membro: N Kg m2 2

G . Osserviamo che G un fattore di proporzionalit

cos piccolo che per produrre forze gravitazionali dellordine di qualche Newton servono masse enormi, come quella di un pianeta.

Esempio 14 Calcolare la forza gravitazionale con cui si attraggono due masse puntiformi di

Kg100 ciascuna, poste alla distanza di m1.00

N11 71 22 2

100 1006.67 10 6.67 10

1.00G

m mF G

r

Una forza, come si vede, inferiore al milionesimo di Newton. Che relazione esiste fra la forza

12F e la forza

21F in figura?

Se indichiamo con 12F

la forza che agisce su 1m ad opera di 2m , e con 21F

la forza

che agisce su 1m subisce ad opera di 2m , indipendentemente dal fatto che le due masse siano differenti od uguali, il principio di azione e reazione impone che si abbia sempre 12 21F F

. Infatti nella formulazione matematica della legge di

gravitazione, GF

rappresenta indifferentemente sia 12F

che 21F

. Quindi se

lasciamo cadere una pietra dallalto la forza che la Terra esercita sulla pietra ha la stessa intensit della forza che la pietra esercita sulla Terra. Tuttavia, essendo la

1m

2m

r12F

21F

14

massa della pietra molto pi piccola, la sua accelerazione molto maggiore rispetto a quella che subisce il pianeta e quindi la pietra a muoversi verso il centro della Terra e non viceversa1:

G GT pietra

T pietra

F Fa a

m m

E se le masse non sono puntiformi? Questa espressione matematica della legge della gravitazione universale, vale esclusivamente per oggetti assimilabili a dei punti. Un oggetto rigorosamente puntiforme unentit solo teorica: nella pratica si considerano puntiformi oggetti in cui la distanza r coinvolta nella legge di gravitazione sia molto grande rispetto alle loro dimensioni trasversali (almeno un ordine di grandezza, cio dieci volte pi grande). In questo senso anche una stella pu essere considerata puntiforme se le sue dimensioni sono rapportate alle distanze interplanetarie. Se per le masse non sono puntiformi dobbiamo immaginarle scomposte in porzioni piccolissime rispetto alla loro estensione, e sommare vettorialmente gli effetti della legge di gravitazione fra tutte le possibili coppie di punti. Infatti lesperienza mostra che vale il principio di sovrapposizione, per il quale la forza con cui interagisce ciascuna coppia la stessa che si avrebbe se tutte le altre coppie non esistessero.

E se le masse hanno forma sferica? In caso di masse sferiche il calcolo descritto sopra si semplifica notevolmente perch la sfera pu essere scomposta in coppie di punti uno a sinistra ed uno a destra alla stessa distanza dalloggetto che viene attratto, e cos la risultante di ciascuna coppia punta sempre verso il centro della sfera. Analogamente anche la risultante complessiva diretta verso il centro della sfera e cos possiamo utilizzare la formula della gravitazione immaginando ad esempio che la massa di un pianeta sia tutta concentrata nel centro. Se entrambe le masse sono sferiche, come ad esempio la Terra e la Luna, possiamo pertanto usare la formula a patto che r rappresenti la distanza fra i centri2.

E grazie agli studi di Newton, pubblicati nella sua fondamentale opera Philosphiae Naturalis Pincipia Mathematica (1687) sappiamo dunque che la Terra esercita su di noi un forza, la cui natura identica a quella che esercita sulla Luna. Questo nuovo modo di vedere le cose rappresent da un lato la prima grande unificazione

1 In realt accelerano entrambe verso il centro di massa del sistema che costituiscono.

2 Va detto anche che nel momento stesso in cui assumiamo che le masse siano puntiformi, e che tutte le loro propriet possano essere individuate da una grandezza scalare m, anche solo da motivi di simmetria si potrebbe dedurre che la loro interazione deve essere diretta lungo la congiungente, in quanto in uno spazio vuoto con le sole due masse in studio, non si potrebbe definire nessunaltra direzione in modo univoco.

C

C

1F

2F

r

15

scientifica di due fenomeni apparentemente distinti (il peso sulla superficie della Terra ed il moto orbitale del nostro satellite), dallaltro fu un significativo balzo in avanti nella comprensione del mondo, specie se confrontato con il punto di vista aristotelico per il quale il peso degli oggetti era dovuto alla naturale tendenza che questi avevano a ricongiungersi al luogo della loro origine.

Cos una mappa gravitazionale ? Nelle regioni del pianeta dove la distribuzione della massa non a perfetta simmetria sferica, la risultante non sar esattamente diretta verso il centro della Terra, ma subir piccoli scostamenti. Questo accade quando ad esempio si hanno cavit sotterranee come quelle naturali che racchiudono un giacimento petrolifero o di gas. Una misura accurata della variazione della direzione della forza di gravit rispetto al centro della Terra permette di individuare tali cavit, e viene detta mappa gravitazionale. E con questo sistema che ad esempio si scoperta una cavit ripiena di rocce sedimentarie leggere nelle penisola dello Yucatan in Messico, probabilmente dovuta al cratere scavato dallasteroide che 65 milioni di anni fa port allestinzione i dinosauri. Esempio 15 Si trovi a quale distanza d dal centro della Terra, un oggetto di massa m tirato con eguale intensit tanto dalla forza di gravit terrestre che da quella lunare, essendo

m83.84 10Lr il raggio medio dellorbita lunare.

Si ha che la massa m attratta rispettivamente dalla Terra e dalla Luna con forze la cui intensit si scrive:

2

TT

M mF G

d

2( )L

LL

M mF G

r d

Uguagliando e semplificando si ottiene:

G TM m

2G

d L

M m2

( )( )

L T LL

r d M d Mr d

Nellultimo passaggio si potuta estrarre la radice di ambo i membri essendo positive tutte le quantit presenti (infatti 0Lr d ). Osserviamo in particolare che il risultato non dipende dalla massa m delloggetto. Risolvendo:

24

24 22

5.97 10

5.97 10 7.35 10Ld r

m12 12 85.97 910 0.900 3.46 10105.97 0.0735

L L Lr r r

Come si vede il punto in questione dista dalla Terra 910

della distanza Terra-Luna.

Che relazione c con la forza peso espressa nella forma mg ? Sulla superficie del pianeta la distanza dal centro della Terra sempre costante e pari al suo raggio m66.378 10TR . Per questo si pu calcolare una volta per tutte il

valore dellaccelerazione dovuta alla gravit sulla superficie terrestre per tutti gli oggetti, dato che la forza di gravit dipende anchessa dalla massa e questa si

C petrolioroccia

d

m

16

semplifica nella seconda legge della dinamica applicata in direzione radiale. Ad un oggetto in caduta libera. Sapendo che Kg245.97 10TM risulta:

TGy y

M mF ma G

2T

mR

ya

m/s24

11 26 2

5.97 106.67 10 9.81

(6.378 10 )ya

ed quindi da questo calcolo che si ottiene il noto valore m/s29.81g . Questo

calcolo permette di capire perch tutti gli oggetti, di maggiore o minore massa, accelerano con la stessa intensit verso il basso. Infatti, poich GF

proporzionale

ad m , i corpi pi massivi subiscono una forza maggiore rispetto a quelli meno massivi. Tuttavia i corpi di massa maggiore hanno anche bisogno di una forza maggiore per accelerare, dato che proporzionale ad m pure la loro inerzia, cio la tendenza a resistere allazione di una forza ( il secondo membro della legge di Newton F ma

). In altre parole ci vuole pi forza per accelerare di m/s29.81 un

oggetto massiccio che uno di piccola massa. Che succede allaccelerazione di gravit salendo di quota? Il denominatore viene incrementato del valore della quota, il che fa diminuire laccelerazione di gravit. Ad esempio in cima allEverest si ha:

m/s24

11 26 2

5.97 106.67 10 9.78

(6.378 10 8850)Everestg

mentre su di una stazione spaziale orbitante ad unaltezza di Km300 :

Km m/s24

11 2300 6 6 2

5.97 106.67 10 8.93

(6.378 10 0.300 10 )g

Come si vede la diminuzione dellaccelerazione di gravit in unorbita bassa quale quella a Km300 dellordine del dieci per cento. La condizione di assenza di

peso degli astronauti non quindi imputabile a questo, (infatti la gravit ben presente a quellaltezza e fornisce la necessaria forza centripeta!), ma al fatto che il loro moto assimilabile ad un moto di caduta libera, e non percepiscono il peso perch non c una superficie sulla quale si appoggiano ad esercitare una forza normale su di loro. Che succede allaccelerazione di gravit se cambia la massa del pianeta? Generalizzando i calcoli precedenti, si ha che laccelerazione di gravit Pg sulla

superficie di un pianeta di massa PM e raggio PR data da:

C

y

GF

17

2P

PP

Mg G

R

Una radicale diminuzione della massa in un pianeta di dimensioni confrontabili con la Terra comporta pertanto una diminuzione del valore dellaccelerazione dovuta alla gravit sulla superficie, ad esempio:

m/s23

11 26 2

6.43 106.67 10 3.73

(3.39 10 )Marteg

m/s22

11 26 2

7.35 106.67 10 1.62

(1.74 10 )Lunag

Quindi sulla Luna un uomo di massa Kg100 attratto con una forza di N162 , cio

quella con cui la Terra attira una massa di Kg16.5 . Lo stesso uomo sulla superficie

di Marte attratto con una forza di N373 , vale a dire quella con cui la Terra attira

una massa di Kg38 .

Tuttavia non va dimenticato che la forza gravitazionale decresce con linverso del quadrato della distanza dal centro, pertanto sulla superficie di un pianta come Saturno, che ha una massa quasi cento volte quella terrestre ma un raggio equatoriale dieci volte pi esteso, si ottiene una accelerazione di gravit paragonabile alla nostra:

m/s26

11 26 2

5.68 106.67 10 10.5

(60.268 10 )Saturnog

Esempio 16 Sulla superficie di Marte un oggetto lanciato verticalmente con velocit iniziale

m/s100ov raggiunge unaltezza m1340h . Sapendo che il raggio di Marte

misura m63.39 10MR si calcoli la massa di Marte.

Come sappiamo la massima altezza h raggiungibile da un oggetto lanciato

verticalmente con velocit iniziale 0v data dalla relazione: 20

2 M

vh

g , dove

Mg laccelerazione di gravit sulla superficie del pianeta, in questo caso Marte.

Calcoliamo Mg invertendo la formula:

m/s2 2

20 100 3.732 2 1340Mv

gh

Invertendo la relazione che permette di trovare laccelerazione di gravit sulla superficie di un pianeta si ottiene la massa del pianeta:

Kg2 2 12

232 11

3.73 3.39 106.43 10

6.67 10M M M

M MM

GM g Rg M

GR

GF

r

18

3. Il moto orbitale circolare Che cosa impedisce alla Luna di cadere sulla Terra? La sorprendente risposta che la Luna in effetti cade sulla Terra, vi cade continuamente, cos come vi cadono tutti i satelliti artificiali in orbita attorno al pianeta. Un oggetto in orbita tende a cadere in ogni istante verso il centro della Terra, tuttavia il terreno, per cos dire, gli scappa via da sotto esattamente con lo stesso passo, quindi non riesce mai ad avvicinarsi alla superficie. La figura a lato, tratta dai Principia di Newton (1687) illustra in che senso un moto orbitale possa essere visto come situazione limite di un lancio orizzontale. Fissata la quota, al crescere della velocit iniziale aumenta la gittata e con essa si allarga la curvatura della traiettoria. Quando la curvatura arriva a seguire quella della Terra, il proiettile entra in orbita. Con quale velocit pu essere percorsa un orbita circolare? E immediato rendersi conto che non possibile percorrere unorbita alla velocit che si desidera, ma che piuttosto questa risulta stabilita dallaltezza alla quale si vuole fissare lorbita. Lungo la direzione radiale istantanea si ha infatti che la forza di gravit fornisce la forza centripeta necessaria. Poich la gravit diminuisce con laltezza, diminuir anche la forza centripeta che essa pu fornire e quindi con laltezza decresce pure la velocit orbitale ov

. In un riferimento con lasse radiale

uscente dal centro della Terra si ha:

TM mG2r

m

2

ov

r

To

GMv

r

Questa relazione fornisce la velocit orbitale (o kepleriana) ov

con la quale lorbita

deve essere percorsa se si vuole che rimanga stabile, cio che lintensit della forza di gravit fornisca proprio il valore della forza centripeta necessaria a percorrere quella circonferenza. Osserviamo che:

Come si vede dalla presenza di r al denominatore, la velocit orbitale decresce con laltezza da terra: le orbite pi sono esterne pi sono lente.

Osserviamo inoltre che la velocit orbitale non dipende dalla massa, e per questo motivo ad esempio una stazione spaziale e gli astronauti al suo interno, possono seguire la stessa orbita pure se di masse molto differenti.

Come si calcola il periodo di unorbita circolare? Si chiama periodo T il tempo che occorre a descrivere unorbita completa:

C

y

GF

r

o

v

19

2 22

2

2 4o

o

r rT v

v T

che sostituita nella relazione per la velocit orbitale produce:

costante2 2 33

22 2 2

4 2

4T T

T

GM GMr rT r

r T TGM

Lultima forma di questa relazione viene detta terza legge di Keplero per il moto orbitale. Quanto deve essere alta come mimino unorbita? Se non vi fosse latmosfera, e la Terra fosse una sfera dalla superficie liscia, sarebbe possibile unorbita anche al livello del mare. Tuttavia il fatto di dover spostare laria per muoversi implica, per la terza legge di Newton, che laria eserciti una forza uguale e contraria, rallentando cos il moto, ed impedendo la stabilit dato che la velocit orbitale deve restare costante. Pertanto lorbita pi bassa possibile si ha alla quota in cui laria sufficientemente rarefatta da non ostacolare il moto: sono circa

Km150 . Gli Shuttle percorrono orbite con Km250r alla velocit di circa

Km/s8 e 1 30minT h , i satelliti GPS orbite con Km20000r e 12T h . E

inoltre possibile che unorbita sia geosincrona, cio tale che il suo periodo duri esattamente un giorno. Sostituendo h s424 8.64 10T si ottiene:

m Km2

13 73 4.22 10 358002 T TT

r GM h r R

A quellaltezza la velocit orbitale circa m/s100 . Se poi lorbita geosincrona

avviene nel piano che contiene lequatore, e nello stesso verso di rotazione della Terra, si dice geostazionaria. Un satellite per telecomunicazioni segue tale orbita, in modo da mantenersi sempre sopra ad uno stesso punto sulla superficie dellequatore terrestre3. Sono efficaci i satelliti spia? I satelliti spia debbono percorrere orbite basse per avere risoluzione sufficiente a distinguere oggetti vicini. Lelevata velocit che le orbite basse richiedono, fa si che il tempo di transito sopra allobiettivo sia estremamente breve. Con riferimento alla figura, si ha 2 sin 45 2d h h , e se laltezza la tipica dei satelliti spia,

Km300h , il tempo di permanenza sopra allobiettivo in un passaggio con

Km/s8ov sar s300 2

8 cio dellordine del minuto. Per di pi la successiva

orbita non ripasser esattamente sopra allobiettivo perch la Terra sotto ha ruotato

3 Il che permette facilmente di individuare il sud in una grande citt europea, semplicemente osservando la direzione verso la quale puntano le antenne paraboliche televisive per ricevere il segnale satellitare.

45

d

h

20

e con velocit differente dal satellite e si dovranno attendere numerose orbite per un nuovo transito.

Come funziona il sistema GPS ? Il sistema di posizionamento globale (Global Positioning System) si avvale di un ricevitore ed una rete di 24 satelliti posti a quota m20000 , con un periodo orbitale di

h12 . Il nostro apparecchio solo ricevitore, non invia alcun segnale ai satelliti, che

quindi neppure sanno della nostra esistenza. Essi inviano il segnale della loro posizione in ogni istante: bastano tre di questi segnali per poter individuare con certezza la nostra posizione sul pianeta. Per capire riferiamoci ad un piano e supponiamo di ricevere la posizione del satellite A insieme al tempo in cui il segnale stato inviato. Dalla velocit della luce, alla quale viaggiano le onde radio, ricaviamo la nostra distanza da A. Questo permette di concludere che ci troviamo su di una circonferenza (nello spazio una sfera) centrata in A, di raggio pari alla distanza ricavata. Contemporaneamente riceviamo il segnale dal satellite B, e quindi dovremo stare pure lungo una circonferenza di centro B e raggio trovato con lo stesso sistema. Questo riduce la nostra possibile posizione solo ai punti 1 e 2 in figura. La ricezione di un terzo segnale permette infine di stabilire che la nostra posizione la 1, perch dobbiamo appartenere pure ad una terza circonferenza con centro in C.

Esempio 17 Lorbita del pianeta Nettuno pu approssimativamente essere considerata una circonferenza. Sapendo che Nettuno dista dal Sole circa 30 volte quanto dista la Terra, si calcoli quanti anni gli occorrono per completare una rivoluzione.

Possiamo rispondere utilizzando la terza legge di Keplero per il moto orbitale:

costante3 3

2 2T N

T N

r r

T T

Le informazioni del testo possono essere espresse scrivendo che 30N Tr r . Sostituendo:

3Tr

3 3

2

30 T

T

r

T

322 3 2

230 30 164N T N T T

N

T T T T TT

ed essendo anno1TT si ha anni164NT . Esempio 18 Le osservazioni mostrano che la Luna impiega g h27 7 43min per una rivoluzione

completa attorno alla Terra (rivoluzione siderale). Assumendo che lorbita sia circolare e che Kg227.35 10LM calcolare la distanza media della Terra dal

nostro satellite e laccelerazione centripeta della Luna.

Trasformiamo il periodo in secondi: s627 24 3600 7 3600 43 60 2.36 10T

sappiamo che vale la relazione:

A

B

C

12

21

23

2

2

4L T T

o LL

r GM T GMv r

T r

sostituendo i valori dati: 2 2 12 11 24

3 32 2

2.36 10 6.67 10 5.97 10

4 4T

L

T GMr

12 11 24 2523 3 32.36 6.67 5.97 10 1.78 10

39.44

m Km3 8 81.78 10 10 3.83 10 383000

Per laccelerazione centripeta occorre conoscere la velocit orbitale:

m/s8

8 6 2 3

6

2 6.28 3.83 10 6.28 3.8310 10.2 10 1.02 10

2.362.36 10L

o

rv

T

che inserita fornisce:

m/s2

3 2 26 8 3 2

8

(1.02 10 ) 1.0210 2.72 10

3.833.83 10

oC

L

va

r

Esempio 19 Un satellite descrive unorbita circolare attorno alla Terra ad una distanza di

Km500 dalla sua superficie, impiegando 94.6min . Trovare la frequenza di

rotazione del satellite (numero di giri ogni secondo), la sua velocit orbitale e laccelerazione centripeta. Mostrare quindi che laccelerazione centripeta uguale allaccelerazione dovuta alla gravit terrestre. Per prima cosa calcoliamo il raggio dellorbita, r R h , ed il periodo in secondi:

m Km m m6 6 6 66.378 10 500 (6.378 10 0.500 10 ) 6.88 10r

s s394.6 60 5676 5.68 10T

Il numero di giri in un secondo si trova dividendo s1 per la durata di un giro in

secondi, cio prendendo il reciproco del periodo:

s Hzs

3 1 4

3

1 10.170 10 1.70 10

5.88 10f

T

questo numero si dice frequenza e la sua unit di misura, s 1 detta Hertz Hz .

Calcoliamo la velocit orbitale e poi laccelerazione centripeta:

m/s6

6 3 3

3

2 6.28 6.88 10 6.28 6.8810 7.61 10

5.685.68 10o

rv

T

m/s2

3 2 26 6 2

6

(7.61 10 ) 7.6110 8.41

6.886.88 10

oc

va

r

Laccelerazione dovuta alla gravit terrestre si trova facendo il rapporto fra la forza gravitazionale e la massa m del satellite:

1GF

m m

TM mG

2411

2 6 2

5.97 106.67 10

(6.88 10 )r

22

m/s11 24 12 1 22

6.67 5.9710 0.841 10 8.41

6.88

Esempio 20 Lastronave Enterprise si posiziona in orbita (geo)stazionaria attorno al pianeta Klingon, ad una distanza di Km47.00 10 dalla superficie, compiendo una

rivoluzione in due giorni terrestri. Il capitano Picard chiede al tenente comandante Data quale sia la massa di Klingon, ma una tempesta magnetica ha cancellato parzialmente i dati e risulta disponibile solo il raggio

Km41.00 10KR . Aiutate Data a calcolare la massa del pianeta.

Dalla terza legge di Keplero applicata al pianeta Klingon si ricava unespressione per la massa KM del pianeta:

3 2 3

2 2 2

4

4K

K

GMr rM

GT T

Calcoliamo il raggio dellorbita ed il periodo in secondi: Km Km m4 4 71.00 10 7.00 10 8.00 10Kr R h

s s548 3600 172800 1.728 10T

Sostituendo: 2 3 2 3 21

21 11 102 11 2 10

4 4 3.14 8.00 10 4 9.86 51210

6.67 2.9866.67 10 1.728 10K

rM

G T

Kg Kg21 241013 10 1.01 10

Esempio 21 Si dice punto lagrangiano L1 una posizione fra la Terra e la Luna che abbia lo stesso periodo della Luna. Se considerassimo solo la gravit terrestre, un punto pi vicino della Luna non potrebbe mai soddisfare questo requisito, perch dovrebbe seguire la sua orbita pi velocemente della Luna. Tuttavia la gravit lunare equilibra parte della gravit terrestre rendendo il fenomeno possibile. Si imposti lequazione che permette di trovare il raggio r dellorbita del punto L1 Con riferimento alla figura, sulla massa m posta in L1 si ha:

TM mG2

LM mGr

2( )L

mr r

2

ov

r

Il periodo orbitale deve essere lo stesso della Luna, dal che si ricava la velocit:

32

222 2 2

L o

T

rT r v

TGM

2

r

32

22

3T

TLL

GM rGM

rr

G2TM G

r

2

1

( )L

L

M

rr r

G

2TM r3Lr

3 2 3( )T L T

L L

M M M

r r r r r

r

m

Lr

1L

23

4. Accelerazione tangenziale e centripeta Come possiamo decomporre un vettore? Nella situazione pi generale possibile, dovremo considerare leventualit che la velocit v

possa cambiare direzione, verso ed intensit in ogni istante. Per poter

analizzare la situazione dal punto di vista dellaccelerazione, sfrutteremo la propriet di decomposizione di un vettore, che qui brevemente richiamiamo. La tecnica di decomposizione consiste nellapplicare la regola del parallelogramma al contrario. Dati due vettori

1v e

2v , il loro vettore somma 1 2v v

ha per rappresentante il segmento orientato lungo la diagonale del parallelogramma di lati consecutivi

1v e 2v

, come in figura. Cambiando prospettiva allora, dato un qualunque vettore v

ed una coppia di rette incidenti r ed s, sar sempre possibile

decomporre v

in una componente lungo r, rv ed una componente lungo s, sv

.

Baster infatti disegnare il rappresentante di v

applicato nel punto di intersezione di r ed s e tracciare le parallele alle due rette a partire dalla testa del vettore. Come si vede dalla figura, la somma delle due componenti cos individuate restituisce sempre il vettore originario, cio r sv v v

. Qual la direzione dellaccelerazione nel caso pi generale? Poniamo quindi di avere un punto materiale che si muove seguendo una traiettoria curvilinea in due dimensioni. Il vettore velocit , per definizione, sempre tangente alla traiettoria e quindi, in ogni istante, cambia direzione. Nel caso generale anche il modulo della velocit cambia in ogni istante.

Procediamo decomponendo il vettore accelerazione nelle sue componenti lungo le due rette tangente e normale alla traiettoria, componenti indicate in figura con ta

ed na

rispettivamente.

1v

2v

1 2v v

r

srv

sv

v

a

ay

x

ta

ta

na

taa

ta

na a

na

na

figura 7

v

a

v

a

v

a

v

a

y

x

24

Possiamo vedere tale situazione come una combinazione dei casi elementari che conosciamo. Poich la velocit sempre tangenziale, la variazione del modulo della velocit pu essere dovuta solo ad un vettore anchesso nella direzione tangenziale. Quindi alla presenza di una componente tangenziale nell accelerazione ci dice di quanto deve essere allungato od accorciato il vettore velocit ogni secondo. La variazione della direzione della velocit invece riconducibile alla presenza di una componente normale nell accelerazione, proprio come accade nel moto circolare uniforme. Come si visto in quel caso infatti, unaccelerazione perpendicolare alla velocit non ne modifica mai il modulo, ma la fa solo ruotare. Possiamo approssimare la traiettoria in ogni punto con una circonferenza? La componente normale dunque responsabile del cambiamento di direzione della velocit istantanea. Possiamo pensare ad essa come allaccelerazione centripeta che avrebbe la nostra particella se si stesse movendo, anzich lungo la traiettoria reale, lungo quella circonferenza che meglio vi combacia intorno al punto dove stiamo osservando il moto. Una tale circonferenza, detta circonferenza osculatrice4, si individua senza ambiguit per ciascun punto P della traiettoria, considerato che, presi 1P e 2P in prossimit di esso, come in figura, per i tre punti non allineati P ,

1P e 2P passa una sola circonferenza. La circonferenza osculatrice nel punto P si

ottiene come posizione limite, facendo avvicinare sempre pi 1P e 2P a P . Il suo raggio viene detto raggio di curvatura della traiettoria in quel punto. Come si intuisce, la circonferenza osculatrice sar sempre abbracciata dalla traiettoria con la quale deve combaciare, cio si trover sempre nella regione di piano dove la curva rivolge la sua concavit. Pertanto sempre verso tale regione che punta la componente normale dellaccelerazione e di conseguenza anche laccelerazione complessiva, come viene schematicamente illustrato in figura. Che relazione c con laccelerazione nel moto rettilineo? La componente tangenziale dellaccelerazione, invece, responsabile della variazione del modulo della velocit, ed ha lo stesso significato che ha laccelerazione istantanea nel moto rettilineo, purch si sostituisca la coordinata rettilinea con unascissa curvilinea lungo la traiettoria.

4 Dal latino osculo, baciare. La circonferenza, cio, che meglio combacia con la traiettoria in quel punto.

na

ta

a

ta

a

P1P

2PP

1P

2P

1 2P P P na

( )s t

0s

25

y

x

a

v

Esempio 22 In figura rappresentata la traiettoria di un punto materiale. Si dica se possibile che i vettori accelerazione e velocit istantanea abbiano i versi riportati. La situazione proposta non possibile, perch il vettore velocit deve essere sempre tangente alla traiettoria ed il vettore accelerazione sempre orientato verso la parte del piano dove la traiettoria rivolge la sua concavit. Esempio 23 Qui a lato riportato landamento in funzione del tempo della velocit di un punto materiale. Sulla base di questa informazione e sullandamento della traiettoria seguita dal punto si stabilisca se langolo fra laccelerazione e la velocit acuto oppure ottuso. Langolo acuto perch il modulo della velocit sta aumentando, e pertanto la componente tangenziale dellaccelerazione deve essere orientata concordemente al verso di percorrenza della traiettoria. Di conseguenza il vettore accelerazione deve essere orientato prevalentemente nel verso di percorrenza, cosa che accade nel caso dellangolo acuto.

v

t

xa

v

angolo acutoy

a v

x

ottusoangoloy