G.M. - Edile A 2002/03

La forza elettrostatica o di Coulomb• Ha una espressione simile a quella di gravitazione universale, ma coinvolge le cariche.

FC =1

4πεo

q1q2

d2 εo =8.85×10−12Fm

• Anche la forza elettrostatica agisce a distanza

• ed è abbastanza intensa

• Le differenze con quella di gravitazione universale– Esistono due tipi di cariche: positive e negative

– Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono

• In Fisica I non faremo molto uso della forza elettrostatica, ma le interazioni elettromagnetiche sono l’origine delle altre forze che ora introdurremo: la forza elastica, le reazioni vincolari, la tensione nelle corde, le resistenze passive etc.

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La forza elastica• I corpi solidi tendono a conservare la loro forma

(pensate alla struttura cristallina)

• Se sono sottoposti ad una sollecitazione subiscono una deformazione.

• Per conservare la loro forma, applicano, a chi ha prodotto la deformazione, una forza che, per piccole deformazioni, è proporzionale alla deformazione stessa (comportamento elastico).

• Una volta rimossa la sollecitazione ritornano allo stato normale.

O

asse x

O

asse x

x

rFrFel

O

asse x

x

rFrFel

r F el =−kx

r i

Felx =−kx

• Il caso della molla:– k = costante elastica della molla

– La forza elastica agisce per contatto.

– La forza elastica è una forza di richiamo: se l’estremo libero della molla viene spostato da x=0, la forza elastica tende a riportarlo in quella posizione.

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La reazione vincolare• Consideriamo un corpo fermo su di un tavolo

orizzontale.

• La sua accelerazione è nulla.– Dalla II legge di Newton ricaviamo che la forza

complessiva agente sul copro deve essere nulla.

• Il tavolo ha schermato la forza peso?– No! Il tavolo esercita sul blocco una forza uguale

e contraria al peso in modo tale che la forza complessiva agente sul corpo sia nulla.

– Il corpo è in equilibrio

r F ∑ =m

r a =0

r P

r N

r P +

r N =m

r a =0 ⇒

r N =−

r P

• La forza richiesta per assicurare l’equilibrio è perpendicolare al tavolo.

• Per questo si chiama “Componente normale della reazione vincolare”– Normale vuol dire perpendicolare al vincolo, alla superficie del tavolo.

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La reazione vincolare

r F ∑ =m

r a =0

r P

r N

• Le reazioni vincolari si manifestano ogni volta che esiste un vincolo, ossia un impedimento, al moto di un corpo.– Nel caso in considerazione, il piano orizzontale

impedisce al corpo di occupare una qualsiasi posizione al di sotto del piano stesso: il corpo non può penetrare nel piano orizzontale.

• La reazione vincolare:– Ha sicuramente una componente normale al

vincolo diretta verso la parte di spazio consentito (componente Normale N)

• Se non ce l’ha vuol dire che non c’è contatto del corpo con il vincolo

– può avere una componente parallela al vincolo

• se ce l’ha si chiama “Forza di attrito”– Statico: il corpo è fermo rispetto al vincolo

– Dinamico: il corpo striscia sul vincolo.

• La reazione vincolare agisce per contatto

N.B.: La reazione vincolare non ha una espressione che permette di determinarla: essa va determinata caso per caso utilizzando le leggi di Newton.

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La forza di attrito statico

• La Forza di attrito è la componente parallela al vincolo della Reazione Vincolare.

• Si parla di attrito statico se non c’è scorrimento tra il corpo e la superficie su cui il corpo è poggiato

P

N

• Nel caso di un corpo appoggiato su un piano orizzontale abbiamo visto che la sola componente normale è sufficiente a garantire l’equilibrio del corpo.

• La forza di attrito, ossia la componente parallelo al vincolo è nulla.

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La forza di attrito statico

• Applichiamo al corpo una forza orizzontale. Si osserva che:– Per piccoli valori della forza applicata il corpo resta ferma.

– Se si aumenta la forza applicata, superato un certo valore il corpo si mette in movimento.

• Consideriamo per ora il caso in cui il corpo resta ancora fermo.

P

fo

Rv

x

y

r P +

r R v +

r f o =m

r a =0 ⇒

Px +Rvx+fox =0

Py +Rvy+foy =0

Pz +Rvz +foz =0

Rvx +fo =0

−mg+Rvy =0

Rvz =0

Rvx =−foRvy =mg

Rvz =0

componenticomponenticomponenti

componentimodulo

Rvx=forza di attrito statico

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Il valore massimo della forza di attrito statico

• Non esiste una espressione per determinare la forza di attrito statico (intensità, direzione, verso)– La forza di attrito statico si determina applicando le leggi di Newton.

– Nel caso precedentemente analizzato abbiamo trovato:• L’intensità uguale a quella della forza orizzontale applicata• direzione quella della forza orizzontale applicata• verso opposto.

• Abbiamo anche osservato che aumentando l’intensità della forza orizzontale applicata, raggiunto un certo valore, il corpo si mette in moto.– Il modulo della forza di attrito statico è limitato superiormente, non può

aumentare oltre un certo valore!

– Il valore massimo della forza di attrito statico dipende• dal modulo della componente normale N della reazione vincolare.

• dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (s)

• dalla temperatura

– Non dipende• Dalla superficie di appoggio

Fas ≤μsN

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La forza di attrito statico

• Il contatto avviene in un numero finito di asperità.

• Si verificano delle deformazioni, quindi forze elastiche.

• L’area di effettivo contatto è– proporzionale alla deformazione

complessiva

– proporzionale alla forza complessiva esplicata (N).

• L’area di effettivo contatto è la stessa nei due casi (N è lo stesso nei due casi).

Pochi punti molto deformati

Molti punti poco deformati

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La forza di attrito dinamico• Se le superfici a contatto sono scabre e c’è scorrimento tra esse.

• Nel caso dell’attrito dinamico è possibile determinare tutto: modulo direzione e verso.– È diretta in verso apposto al moto (stessa direzione della velocità ma

verso opposto)

– Il modulo della forza è dato da:

• La forza di attrito dinamico – dipende

• dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (d)• dalla componente normale (N)• dalla temperatura

– non dipende• dalla superficie di appoggio• dalla velocità di scorrimento delle superfici a contatto

• La forza di attrito dinamico è più piccola del valore massimo della forza di attrito statico (d< s)

– Nel caso dell’attrito statico si formano delle vere e proprie saldature nei punti di effettivo contatto, che non hanno il tempo di formarsi nel caso dinamico.

Fad =μdN Superfici lisce: i coefficienti di attrito

statico e dinamico sono nulli!

La reazione vincolare ha solo la

componente normale

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I coefficienti di attritoSuperfici s d

Legnos ulegno 0.25-0.5 0.2

Vetr os uvetro 0.9-1.0 0.4

Acciaio s u acciai , o superficipulite

0.6 0.6

Acciai os uacciai , o superficilubrificate

0.09 0.05

Gomm as u cement o armatoasciutto

1.0 0.8

Sc i di le gno cerat os u nevesecca

0.04 0.04

Tefl on suteflon 0.04 0.04

Questi numeri sono indicativi, i coefficienti di attrito dipendono molto dallo stato delle superfici, dalla temperatura, dall’umidità, etc.

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Tensione nelle corde• La corda è un dispositivo per trasmettere (applicare) una forza ad un

corpo.– Le corde possono trasmettere forze aventi la stessa direzione della corda– Inoltre possono solo tirare

• Consideriamo un corpo di massa m attaccato ad una corda.– Tiriamo la corda con la forza F2.

– Chiamiamo F1 la forza che il corpo di massa m esercita sulla corda

– Per la terza legge di Newton, la forza che la corda esercita sul corpo sarà Fc=-F1.

F2

F2m

mFc=-F1

F1

Applichiamo la seconda legge di Newton alla corda:

r F 1 +

r F 2 =m

r a

In condizioni statiche

r a =0 ⇒

r F 1 =−

r F 2⇒

r F c =

r F 2

In condizioni dinamiche si arriva allo stesso risultato se la massa della corda è nulla

m=0 ⇒r F 1 =−

r F 2 ⇒

r F c =

r F 2

Corda ideale: m=0, L=costante

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Tensione nelle corde• Nelle corde ideali la forza si

trasmette identica lungo tutta la corda.

– Tensione della corda– Se si taglia la corda in un punto

qualsiasi la parte a destra del taglio eserciterà su quella a sinistra una forza di modulo pari alla tensione e viceversa.

– La tensione può essere messa in evidenza inserendo una molla nel taglio e osservando il suo allungamento

– A volte si usano delle carrucole ideali (piccolo raggio e piccola massa, senza attriti) per cambiare la direzione della tensione.• Le carrucole ideali non

cambiano l’intensità della tensione.

TFsd

Fds

m=0 ⇒r F ds =−

r T ⇒

r F sd =

r T

r F ds+

r T =m

r a

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Applicazione

• Indichiamo con m1 la massa del blocco, con m2 quella del secchio (msc) e della sabbia (msb)

• Troviamo le forze agenti su ciascuno dei corpi.

• Blocco– La forza peso– La tensione della fune– La reazione vincolare del tavolo composta da

• La componente normale• La forza di attrito

Un blocco di 28.0 kg è collegato ad un secchio vuoto di 1 kg mediante una corda che scorre su una carrucola ideale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra il tavolo e il blocco è 0.450 mentre quello di attrito dinamico è 0.320. Il secchio viene gradualmente riempito di sabbia fino a che il sistema inizia a muoversi.

• calcolare la massa della sabbia versata nel secchio• l'accelerazione del sistema• la tensione nella corda un istante prima che inizi il moto e durante il

moto.

• Secchio– La forza peso

– La tensione della fune

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Applicazione

• Fissiamo un sistema di riferimento inerziale (Laboratorio)

• Scriviamo la seconda legge dei Newton per i due corpi:

Disegnamo le forze. Costruiamo il diagramma del corpo libero

blocco secchio r P 1

r P 1

r P 2

r P 2

r T 2

r T 1

r N

r F as

r F as

r N

r T 1

r T 2 x

y

r P 1 +

r F as +

r N +

r T 1 =m1

r a 1blocco

r P 2 +

r T 2 =m2

r a 2secchio

• Proiettiamo sugli assi coordinati

x : −Fas+T =m1a1x

y : N −m1g=m1a1y

In condizioni statiche l’accelerazione del secchio è nulla, quindi la corda si dispone lungo la verticale, la tensione ha solo la componente verticale

r P 2 +

r T 2 =0 ⇒

r T 2 =−

r P 2

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Applicazione

blocco secchio r P 1

r P 1

r P 2

r P 2

r T 2

r T 1

r N

r F as

r F as

r N

r T 1

r T 2 x

y

Si ottiene:

Fas ≤μsN ⇒ m2g≤μsN =μsm1g

Ma la forza di attrito statico è limitata superiormente:

In condizioni statiche

r P 1 +

r F as +

r N +

r T 1 =0blocco

r P 2 +

r T 2 =0secchio

x : −Fas+T =0

y : N −m1g=0x :

y : T −m2g=0

T =m2g Fas =T =m2g N =m1g

Il sistema comincerà a muoversi quando

m2g=μsm1g ⇒ m2 =μsm1 =0.450×28.0kg=12.6kg

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Applicazione

blocco secchio r P 1

r P 1

r P 2

r P 2

r T 2

r T 1

r N

r F ad

r F ad

r N

r T 1

r T 2 x

y

Poichè

m2 =msc+msb ⇒ msb =m2 −msc =12.6kg−1.0kg=11.6kg

Non appena il sistema inizia a muoversi cambiano le condizioni dinamiche:

r P 1 +

r F ad +

r N +

r T 1 =m1

r a 1blocco

r P 2 +

r T 2 =m2

r a 2secchio

x : −Fad+T =m1a1x

y : N −m1g=m1a1y

x :

y : T −m2g=m2a2yRicordiamo che Fad =μdN

Osserviamo che a1y =0 Il blocco rimane a contatto con il tavolo durante il suo moto y1(t)=0

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Applicazione

blocco secchio r P 1

r P 1

r P 2

r P 2

r T 2

r T 1

r N

r F ad

r F ad

r N

r T 1

r T 2 x

y

blocco secchiox : −μdN +T =m1a1x

y : N −m1g=0

x :

y : T −m2g=m2a2y

Abbiamo tre equazioni e 4 incognite: T, N, a1x, a2y. Troppe!!

Δx1 =−Δy2 ⇒Δx1

Δt=−

Δy2

Δt

Sfruttiamo il fatto che la corda è ideale, la sua lunghezza resta costante per qualunque valore delle tensione.Se il blocco avanza di un tratto x1 (positivo), il secchio si abbassa di y2 (negativo)

vx1 =−vy2 ⇒ ax1 =−ay2

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Applicazione

blocco secchio r P 1

r P 1

r P 2

r P 2

r T 2

r T 1

r N

r F ad

r F ad

r N

r T 1

r T 2 x

y

Da cui

−μdN +T =m1a1x

N −m1g=0

T −m2g=m2a2y

Ricavando T dall’ultima e sostituendo nella seconda:

N =m1g

−μdm1g+T =m1a1x

T −m2g=−m2a1x

T =m2g−m2a1x

−μdm1g+m2g−m2a1x =m1a1x

a1x =m2g−μdm1g

m1 +m2

T =m2g−m2m2g−μdm1g

m1 +m2

=m1m2g+m

22 g−m

22 g+μdm1m2g

m1 +m2

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Applicazione

blocco secchio r P 1

r P 1

r P 2

r P 2

r T 2

r T 1

r N

r F ad

r F ad

r N

r T 1

r T 2 x

y

L’accelerazione è costante: il moto dei due corpi è uniformemente acceleratoa1x =

m2g−μdm1gm1 +m2

T =m1m2g1+μd( )

m1 +m2

Confrontiamo la tensione T con il caso statico T=m2g

T =m2g

m1 1+μd( )m1 +m2

<m2gm1 1+μs( )m1 +m2

=m2gm1 +m1μs

m26 7 8

m1 +m2

=m2g

La tensione nel caso dinamico è più piccola che in quello statico

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Le resistenze passive• Con questo nome si indica la forza che un fluido esercita su di un corpo

che si muove al suo interno (un'automobile che si muove nell'aria, un sasso che cade nell’acqua, una goccia di pioggia che cade nell’aria).

• La resistenza passiva è sempre opposta al moto.

• Se la velocità del corpo è piccola allora la forza è proporzionale all’opposto della velocità:

r R p =−b

r v

D =12

CρAv2 dove

C =coefficiente aereodinamico 0.4÷1( )

ρ =densità del fluido

A =area efficace

• Se la velocità del corpo è elevata allora l’intensità della resistenza passiva diventa proporzionale al quadrato della velocità:

Per una sfera di raggio r, b=6r, in cui è la viscosità del mezzo:Glicerina 1.5 Ns/m2 (poise)Olio lubrificante 20° 0.03Acqua 20° 1.0x10-3

Aria 20° 1.8x10-5

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Le resistenze passive• Consideriamo un moto di caduta che avviene in presenza di una resistenza

passiva.• Inizialmente la velocità è nulla, la resistenza passiva è nulla, l’accelerazione è

quella di gravità, caso (a).• Man mano che aumenta la velocità, la resistenza passiva aumenterà,

l’accelerazione sarà minore di g, ma la velocità continuerà ad aumentare, caso (b).

• La velocità continuerà ad aumentare fin tanto che la resistenza passiva diventa uguale al peso, caso (c).– Da questo punto in poi il moto sarà

uniforme – La velocità del moto uniforme viene

chiamata velocità limite.– per distanza di regime si intende la distanza

che il corpo deve percorrere per raggiungere il 95% della velocità limite.

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Resistenza passiva-alcuni esempi di velocità limite e di distanza di regime

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La cui soluzione è:

Moto di caduta di un chicco di grandine

• Trascuriamo la spinta di Archimede, data la grande differenza di densità tra il ghiaccio e l’aria (circa un fattore 1000)

• Le forze agenti sono: la forza peso e al resistenza passiva

• La velocità iniziale sia nulla.

• Consideriamo un sistema di riferimento con l’asse y verticale.

r P +

r R p =m

r a

mr a =

r P −b

r v

• Per quanto riguarda gli assi x e z, le soluzione vx=0 e vz=0 soddisfano l’equazione differenziale e le condizioni iniziali.– Il moto avviene lungo

l’asse y

dv'dt

=−bm

v'

max =−bvx

may =−bvy −mg

maz =−bvzdvy

dt=−

bm

vy +mgb

⎛ ⎝

⎞ ⎠

ponendo v'=vy +mgb

si ha dv'=dvy

vy +mgb

= vyo +mgb

⎛ ⎝

⎞ ⎠ e

−bm

t vy =−mgb

1−e−

bm

t⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

v'=v'o e−

bm

t

risostituendo

Per t che tende all’infinito la velocità tende alla velocità limite mg/b