Elettrostatica I

• Forza di Coulomb

• Principio di Sovrapposizione Lineare

• Campo Elettrico

• Linee di campo

• Flusso, teorema di Gauss e sue applicazioni

• Conduttori

• Energia potenziale elettrostatica

Elettricita e Magnetismo

Fenomeni elettrici e magnetici sono stati osservati fin dall’antichita.

Un po’ di storia:

• In Cina, documenti suggeriscono che il magnetismo fu osservato gia

nel 2000 AC

• In Grecia, fenomeni elettrici e magnetici (esperimenti con ambra e

magnetite) erano gia noti nel 700 AC

Un po’ di storia piu recente:

• 1785: Charles Coulomb formula la legge dell’inverso del quadrato per

le forze elettriche

• 1820: Hans Ørsted scopre che l’ago della bussola cambia direzione

quando e posto vicino ad un filo che porta corrente

Elettricita e Magnetismo - segue

• 1831: Michael Faraday e Joseph Henry mostrano che se un filo e in

moto vicino ad un magnete, una corrente elettrica e prodotta nel filo

• 1870: James Clerk Maxwell usa osservazioni e altri fatti sperimentali

come base per formulare le leggi dell’elettromagnetismo note come

equazioni di Maxwell

Unificazione di elettricita e magnetismo – sono le equazioni giuste, ma non sono

consistenti con il principio di relativita galileiana

• 1888: Heinrich Hertz verifica le predizioni delle leggi di Maxwell e

produce onde elettromagnetiche

• 1905: Albert Einstein propone la soluzione per l’inconsistenza fra

equazioni di Maxwell e relativita galileiana (teoria della relativita)

Legge di Coulomb

• Ci sono due tipi di cariche elettriche: positive e

negative

– Le cariche negative sono il tipo posseduto dagli elettroni

– Le cariche positive sono il tipo posseduto dai protoni

• Cariche dello stesso segno si respingono

Cariche di segno opposto si attraggono

• La forza e diretta lungo la congiungente fra le

due cariche u12

La forza e proporzionale all’inverso del quadrato della distanza r:

~F12 = kq1q2r2

u12

nel vuoto. Ovviamente vale la III legge di Newton, per cui ~F21 = −~F12

Unita di misura della carica

Quanto vale la costante k che appare nell’espressione

F12 = kq1q2r2

della forza di Coulomb? dipende dall’unita di misura della carica.

Nel SI, la carica q si misura in Coulomb (indicata con C); k vale:

k ≡(

1

4πε0

)= 8.99× 109N ·m2/C2

La costante ε0 = 8.85 × 10−12C2/N/m2 e introdotta per convenienza

ed e chiamata costante dielettrica del vuoto.

Da notare che k = 10−7c2 unita SI, dove c ' 3× 108 m/s e la velocita della luce.

Due cariche di 1C a distanza di 1m si attirano quindi con una forza

F = 9× 109 N!

Quantizzazione della carica

Molti esperimenti mostrano che la carica elettrica e quantizzata,

ovverosia esiste solo in pacchetti discreti: q = ±Ne, dove N e un

intero, e e l’unita fondamentale di carica:

• e = 1.6× 10−19 C. Per gli elettroni: q = −e; per i protoni: q = +e.

Dato il gran numero di cariche presenti nella materia, l’uguaglianza delle

cariche fondamentali positive e negative deve essere esatta, o altrimenti

tutti i corpi avrebbero una carica netta.

La carica netta di un sistema isolato e sempre

conservata. Per esempio, se si elettrizza un corpo

per sfregamento, non c’e ne creazione ne distruzione

di carica, ma solo trasferimento di carica (elettroni)

dal materiale che si carica positivamente (vetro) a

quello che si carica negativamente (seta).

Esempio: l’atomo di idrogeno

Il modello piu semplice dell’atomo piu semplice: un sistema formato

da un elettrone e un protone, tenuto insieme dalla forza di Coulomb.

Consideriamo orbite circolari, assumiamo il protone (particella di massa

mp ' 1800me >> me ' 0.9× 10−30 kg) fisso nel centro.

F = meac = −meω2r =⇒ k

e2

r2= meω

2r

da cui ω =e

r

√k

rme

Per l’atomo di H, r = 0.529 × 10−10 m e si trova F ' 8.2 × 10−8 N,

mentre la frequenza di rotazione vale f =ω

2π' 6.6 × 1015 Hz, come

la frequenza delle onde elettromagnetiche emesse o assorbite. Velocita:

v = ωr ' 2.2× 106 m/s, circa 1/100 della velocita della luce.

Principio di sovrapposizione

• La legge di Coulomb e lineare nella carica.

• Per essa vale il principio di sovrapposizione lineare:

La forza risultante agente su di una carica e uguale alla somma

vettoriale delle forze individuali dovute a tutte le altre cariche

Nel caso in cui non sia possible o conveniente

tenere traccia delle forze individuali (per esempio

quando si ha una distribuzione continua di cariche)

la forza risultante puo essere scritta come somma

(o integrale) vettoriale delle forze esercitate da ogni

volumetto infinitesimo di carica

Campo Elettrico

La forza elettrica agente su di una carica 2 da parte di una carica 1 e

fattorizzabile come prodotto della carica del corpo 2 per una funzione

vettoriale che dipende solo dalle caratteristiche della carica 1.

Quest’ultima si dice campo e si indica di solito con la lettera E:

~F12 = q2 ~E1

~E1 e il campo elettrico generato dalla particella 1, che sappiamo valere

~E1 =kq1r212

u12

In generale, un campo (vettoriale) associa ad ogni punto dello spazio

un vettore. Esempio gia noto: campo gravitazionale terrestre, ~g (sulla

superficie della Terra). E’ un esempio di campo costante.

Linee di Campo

Per rappresentare graficamente un campo, e

per darne una descrizione qualitativa, si usano

le linee di campo:

• si tracciano linee tangenti in ogni punto

al campo, indicandone il verso con una

”freccetta”:

• le linee sono piu fitte in regioni di campo

forte, meno fitte in regioni di campo debole.

In figura le linee di campo per il campo di una

carica. Notare che le linee di campo ”escono”

dalle cariche positive (o ”entrano” nelle cariche

negative).

Linee di Campo II

Le linee di campo per un campo costante sono

parallele e con spaziatura costante. Come e

diretto il campo?

Campo generato da due cariche

uguali. Vicino ad ogni carica, le

linee di forza somigliano a quelle

di una singola carica. Attorno al

punto C non ci sono linee: perche?

Linee di campo per due cariche

uguali ma di segno opposto (un

dipolo): notate come le linee

”escano” dalla carica positiva ed

”entrino” nella carica negativa.

Campo elettrico di un dipolo

Il campo elettrico di un dipolo (vedi figura) e un

caso semplice (ma non banale) ed importante.Nel punto P, ~E e diretto lungo x e vale

E = E1x + E2x = 2kq

r2cos θ = 2

kq

a2 + y2a√

a2 + y2

ovvero E = k2qa

(a2 + y2)3/2. Notare la dipendenza dal

fattore D = 2qa, noto come momento di dipolo.

A grandi distanze, y >> a, si trova: E ' kDy3

.

Introduciamo un vettore ~D di modulo D e diretto dalla

carica negativa a quella positiva: ~E ' −k~D

y3.

Qual e il valore del campo elettrico se il punto P e lungo l’asse x?

Elettrone in campo costante

Supponiamo che un elettrone sia

”iniettato” in una zona di campo elettrico

costante. Qual e il suo moto?

La forza ~F = e ~E e costante in modulo e direzione, quindi il moto e

uniformemente accelerato lungo ~E, uniforme in direzione perpendicolare

a ~E:

x(t) = vit, y(t) =1

2at2, a = −eE

me

La traiettoria e una parabola: y = − eE

2mev2ix2.

Notare la dipendenza dae

me, rapporto fra carica e massa dell’elettrone.

Elettrone in campo costante II

Supponiamo ora la situazione in figura. Qual

e il moto dell’elettrone, e quanto vale la sua

energia cinetica finale?

Supponiamo x(t = 0) = xi = 0. Avremo:

x(t) =1

2at2, v(t) = at, a =

eE

me

L’elettrone arriva in x = xf al tempo t:

t =√

2xf/a, con velocita vf =√

2xfa.

L’energia cinetica finale e

Kf =1

2mev

2f =

1

2me(2xfa) = eExf

Da notare che eExf e il lavoro fatto dalle forze elettriche sulla carica.

Campo elettrico per distribuzioni di carica

Per un sistema di molte cariche puntiformi, il campo elettrico si puo

calcolare come somma di tutti i contributi delle varie cariche:

~E =∑i

~Ei =∑i

kqir2iri

Se le cariche sono presenti in numero macroscopico, conviene introdurre la densita dicarica ρ(~r): carica per unita di volume, in funzione della posizione. La somma diventaun integrale sul volume:

~E = k

∫rdq

r2= k

∫r

r2ρdxdydz

dove ~r e la distanza fra la carica dq e il punto in cui si calcola il campo.

Il calcolo del campo elettrico puo diventare assai laborioso. Esiste pero

un altro approccio, spesso piu conveniente, basato sul concetto di flusso

del campo elettrico.

Flusso del campo elettrico

Il Flusso di un campo elettrico (o di

qualunque campo) costante ~E attraverso

una superficie A e definito come

Φ = AE cos θ

dove θ l’angolo fra il campo elettrico e la normale alla superficie.

Se il campo elettrico e la normale

alla superficie sono allineati, il flusso e

semplicemente il prodotto della superficie

per il campo elettrico: Φ = AE.

E se la superficie non e un piano? e se il campo elettrico non e costante?

Flusso del campo elettrico II

Dividiamo la nostra superficie in tanti elementi di superficie ∆Ai

con direzione ni che possiamo considerare piani e sui quali possiamo

considerare ~E = ~Ei costante

Flusso su ogni elemento di superficie:

Φi = ~Ei ·∆ ~Ai = Ei∆Ai cos θi

dove ∆ ~Ai = ni∆Ai. Flusso complessivo:

Φ =∑i

Φi =∑i

~Ei ·∆ ~Ai

Nel limite di elementi di superficie infinitesimi,

la somma diventa un integrale sulla superficie:Φ =

∫~E · d ~A

Teorema di Gauss

Per il flusso su di una superficie chiusa

del campo elettrico, vale:

Φ =

∮~E · d ~A = 4πkQ =

Q

ε0

dove Q e la carica contenuta all’interno

della superficie∮indica integrazione su superficie chiusa

• La dimostrazione e semplice per una carica puntiforme; in generale,

la si puo ottenere dal principio di sovrapposizione lineare

• Il teorema di Gauss e valida solo per forze ∝ 1/r2

• E’ equivalente ad una delle equazioni di Maxwell.

Teorema di Gauss II

Conseguenze del teorema di Gauss:

Il flusso prodotto dalla carica puntiforme

e lo stesso attraverso tutte le superfici

S1, S2, S3,.., che circondano la carica;

il flusso attraverso questa superficie e

invece nullo se la carica e all’esterno.

Applicazione: Filo uniformemente carico

Assumiamo un filo di lunghezza infinita. Il campo elettrico non puo

dipendere dalla posizione lungo il filo; inoltre ha simmetria cilindrica,

per cui deve essere diretto radialmente rispetto al filo.

Scegliamo una superficie chiusa come in

figura: il flusso attraverso di essa e

Φ = 2πrlE

Solo la superficie laterale del cilindro da

un contributo: per le altre due, d ~A ⊥ ~E.

La carica contenuta e Q = λl (λ carica per unita di lunghezza), da cui

2πrlE =λl

ε0=⇒ E(r) =

λ

2πε0r=

2kλ

r

Notate la dipendenza come 1/r, distanza dal filo!

Applicazione: piano infinito uniformemente carico

Per simmetria, il campo elettrico non dipende dalla posizione sul piano,

e ortogonale al piano, ha verso opposto da lati opposti.

Consideriamo la superficie come in

figura. Il teorema di Gauss da

Φ = 2AE =Q

ε0

ovvero ponendo Q = Aσ, dove σ e

la carica per unita di superficie:

E =σ

2ε0

indipendente dalla distanza dal piano!

Applicazione: condensatore piano

Due piani paralleli uniformemente carichi di carica opposta a distanza x

formano un condensatore.

Con il risultato precedente e immediato trovare

che il campo elettrico nello spazio fra i due piani

vale

E =σ

ε0dove σ e la densita di carica superficiale per il

singolo piano; mentre nello spazio al di fuori dei

piani vale E = 0. Questo risultato e valido, in

modo approssimato, anche per piani finiti, purche

x sia piccolo rispetto alle dimensioni dei piani,

nella zona lontana dai bordi.

Applicazione: sfera di densita di carica uniforme

Per una sfera (di raggio a) uniformemente carica (con densita

di carica ρ = Q/(4πa3/3)) il campo elettrico e radiale ovunque.

a) Superficie esterna alla sfera:

4πr2E(r) =Q

ε0

b) Superficie interna alla sfera:

4πr2E(r) =q(r)

ε0=

1

ε0

ρr3

a3

Dal caso a) si ottiene: E(r) =Q

4πε0r2=kQ

r2, come se la carica fosse

concentrata nel centro (risultato gia trovato da Newton per la gravita).

Applicazione: sfera di densita di carica uniforme II

Dal caso b) si ottiene

E(r) =ρr

4πε0a3=kρr

a3=kQr

a3

cioe solo la carica presente all’interno

di una sfera di raggio r da contributo

al campo elettrico.

Il campo elettrico e quindi nullo, aumenta linearmente con il raggio fino

alla superficie, poi inizia a decadere come 1/r2.

Questi risultati hanno un corrispettivo per la forza gravitazionale, che

obbedisce alla legge 1/r2 come la forza elettrostatica e per la quale vale

il teorema di Gauss.

Conduttori

In un conduttore esistono cariche (elettroni) mobili. Di conseguenza:

• il campo elettrico all’interno di un conduttore

e nullo ovunque: le cariche si distribuiscono

sulla superficie in modo da annullare il campo

• la carica totale all’interno di un conduttore e

nulla, in conseguenza del teorema di Gauss

• il campo elettrico appena fuori del

conduttore e ortogonale alla superficie e vale

E = σ/ε0, dove σ e la densita di carica di

superficie del conduttore (si dimostra con il

teorema di Gauss, vedi figura)

Energia potenziale di due cariche

Si puo dimostrare che la forza di Coulomb

e conservativa e quindi esiste una energia

potenziale elettrostatica. Consideriamo per

semplicita una carica q1 nel campo generato

da un’altra carica q2 fissa nell’origine.

L’energia potenziale si ricava dal lavoro fatto

dalla forza elettrica fra rA e rB:

U(rB)− U(rA) = −∫ B

A

~F · d~s

ed ha la seguente espressione: U(r) =kq1q2r

Il risultato e analogo al caso della forza di gravita; l’energia potenziale gravitazionale

U(r) = −GMm/r si riduce alla forma nota U = mgh sulla superficie della terra

Energia potenziale elettrostatica II

Nel caso in cui abbiamo molte cariche, l’energia potenziale U e data da

U(~r1, ~r2, ...) =∑i>j

∑j

kqiqj|~ri − ~rj|

ovvero dalla somma dell’energia potenziale di tutte le coppie di cariche.

Se consideriamo invece una carica q in un campo elettrico ~E dato,

possiamo definire l’energia potenziale U tramite l’espressione

U(~rB)− U(~rA) = −∫ B

A

q ~E · d~s

(possiamo prendere U(~r) = 0 per un qualche valore di ~r, come nell’espressione

dell’energia potenziale di due cariche in cui si e assunto U(∞) = 0; oppure limitarci a

considerare differenze di energia potenziale che sono le sole significative)