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M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI 1

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI(ultima modifica 01/10/2012)

CAMPI ELETTRICI STATICI o ELETTROSTATICA


CAMPO ELETTROSTATICO

L’elettrostatica studia i campi dovuti a cariche elettriche (sorgenti) a riposo (fisse nello spazio). In tali condizioni i campi generati non cambiano con il tempo e non si generano campi magnetici.

L’elettrostatica studia il campo più semplice, ma ha una importanza fondamentale per comprendere i modelli elettromagnetici più complessi e generali.

La spiegazione di molti fenomeni naturali come: fulmini (lightining), effetto corona, St. Elmo fire, grain explosion e i principi di diverse applicazioni industriali come l’oscilloscopio, ink-jet printer, xerografy e electret microphone, sono basati sulla elettrostatica.


La teoria dei campi elettrostatici è finalizzata a definire le relazioni che legano:

• la configurazione geometrica e la natura dei conduttori e dielettrici,

• la distribuzione delle cariche sui conduttori e dielettrico interposto,

• le differenze di potenziale fra i conduttori e

• la distribuzione del campo nel dielettrico.

Si tratta essenzialmente della risoluzione di un problema all’equilibrio.


Per esempio la determinazione delle grandezze di campo è utilizzata per determinare:

•la capacità fra conduttori,

•il gradiente massimo di isolamento o rigidità dielettrica,

•il valore del campo fra le placche di deflessione in un oscilloscopio,

•la schermatura della griglia di un tubo a vuoto,

•il campo agente su elettroni e lacune di un transistore,

•la forza di accelerazione che agisce su un elettrone in un cannone elettronico.


Lo sviluppo dell’elettrostatica nella fisica elementare inizia con la : Legge fondamentale dell’elettrostatica di Coulomb (1785), espressa dalla relazione, matematica:

La forza che si stabilisce tra due cariche Q1 e Q2 di dimensioni

trascurabili rispetto alla distanza di separazione R12, ha:

• il modulo proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale alla distanza R12,

• la direzione lungo la linea di connessione delle cariche e

• il verso tale che le cariche di natura diversa si attraggono e le cariche uguali si respingono.

N R

Q QK a F 2

12

21R12 12 R12 R12

+Q1+Q2

+Q1

-Q2

12F

12F

12F

12F


La legge di Coulomb è basata su prove empiriche evidenti e quindi è anche un postulato.

Il caso più semplice dell’elettrostatica si ha per un

Campo elettrostatico dovuto a cariche elettrostatiche nel vuoto

per definirlo è necessaria solo una delle quattro grandezze fondamentali vettoriali, che sono utilizzate per descrivere il modello elettromagnetico più generale:

l’intensità del campo elettrico .E


In generale l’esistenza di un campo in un punto P di esso, è rilevabile attraverso le forze che agiscono su una carica di sondaggio (test) puntiforme q posta in quel punto P.

La carica q deve essere tale da non alterare la distribuzione del campo.

Il campo elettrico in un punto P generico del campo è definito come la forza per unità di carica, che agisce su una carica puntiforme di sondaggio o test fissa q, quando questa sia posta in P:

ha la stessa direzione della forza che agisce sulla carica test.

EF

E [N] F

m

V

q

F lim E

0q


Se

Infatti:

m

V

C

N E

NF

Cq

m

V

m

1

A

W

sA

1

m

J

sA

1

m

mN

C

N


I due postulati fondamentali dell’elettrostatica nel vuoto sono definiti attraverso la divergenza e il rotore di :

Queste equazioni affermano che il campo elettrico statico:

• non è solenoidale a meno che = 0,

• ma esso é irrotazionale.

E

vuotonel tàpermettivi la é ε

volumicacarica di densità la é ρ :dove 0EErot

e

ε

ρEE div

0

0


I due postulati fondamentali dell’elettrostatica descrivono due aspetti fondamentali dei fenomeni fisici legati alla presenza di un campo elettrostatico.

Il I° postulato esprime analiticamente che il flusso elettrico che passa attraverso una superficie chiusa é esattamente uguale alle cariche contenute in quella superficie.

ε

ρEE div

0


Infatti integrando il primo e secondo membro relazione analitica del I° postulato, espressa mediante l’operatore divergenza si ha:

che rappresenta la legge di Gauss : il flusso totale di un campo elettrico nel vuoto, uscente da una superficie chiusa, è uguale alla carica totale racchiusa nella superficie diviso 0.

ε

QsdE :cui da

sdEdv E:divergenza della teorema ilper

, dv ρε

1dv E :ha si

ε

ρEE div

0S

SV

V0V0


Il II° postulato esprime, come si può verificare empiricamente che:

• L’energia di un campo elettrostatico in un dato istante dipende solo dal valore e dalla posizione delle cariche in quell’istante e non dipende da come esse si sono evolute.

• Facendo percorrere ad una carica un percorso chiuso, non si compie nessun lavoro (proprietà conservativa del campo elettrostatico)

Analiticamente questi concetti possono essere espressi da:

0 EE rot


Infatti integrando la relazione che esprime il II° postulato, espressa mediante il rotore del campo e applicando il teorema di Stokes si ha:

L’integrale lineare del campo elettrico lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero.

Il prodotto scalare integrato lungo un qualsiasi percorso dl, , è pari alla tensione lungo tale percorso.

Tale relazione nella teoria circuitale esprime la legge delle tensioni di Kirchhoff : la somma algebrica delle tensioni lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale a zero.

0ldEds ECS

dVldEC


Un altro modo per dire che il campo è irrotazionale è che l’integrale lineare del campo lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero, ossia è indipendente dal percorso e dipende solo dai punti estremi del percorso:

P1

P2

C1

C2

1

2

2

1

21

ldEldE

0ldEldE

P

P

P

P

CC


Postulati dell’Elettrostatica nello spazio vuoto

Forma differenziale Forma integrale

0ερ

E 0S

QsdE

0E 0ldEC

M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Campo elettrostatico dovuto ad una carica q fissa in una regione dello spazio vuota e illimitata.

Si tratta del problema elettrostatico più semplice possibile.

Se q è posta nell’origine degli assi, il campo elettrico è radiale e ha la stessa intensità in tutti i punti appartenenti ad una sfera di raggio R generica.

Si ha:

da cui risulta:

R

E

Raq

0S S

R εq

dsaEasdE RR

2

R R

0S

qE ds E 4 π R

ε

mV

Rε4

qaEaE

20

RRR

z

y

x

16


In generale se la carica q non è localizzata nell’origine del sistema di coordinate scelto, occorre considerare un versore

diverso:

essendo:

qPa

E

qPaq

o

x

y

z

2o

P'RR4

qaE qP

R 'RR

'R

P

mV

4

q3

o

'RR

'RRE

,'RR'RR

a

P

qP


In particolare la forza che agisce su una carica q2 posta all’interno di un campo generato dalla carica q1 è data dalla relazione:

che rappresenta la forma matematica della legge di Coulomb.

è il valore del campo nel punto P dove è posta la carica q2.

N R4π

qqaEqF

2o

21R12212

12E

12F


Se il campo elettrostatico è generato da un insieme discreto di cariche

q1, q2,,…,qn , poiché l’intensità del campo elettrico è una funzione lineare di q con fattore di proporzionalità , è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

Il campo totale in un punto P dovuto ad un insieme di cariche, è la somma vettoriale dei campi generati da ciascuna carica:

E

mV

RR

RRq

41

En

1k3'

k

'kk

o

20R/4a R


Campo elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche

Il campo dovuto a una distribuzione volumica continua di carica si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi di ciascuna carica elementare relativa al volume differenziale dv’, per la distribuzione di carica.

La densità di carica volumica (C/m3) é una funzione delle coordinate.

Poiché un elemento differenziale di cariche equivale ad una carica puntiforme, il contributo di carica dv’ in un elemento di volume elementare dv’ all’intensità del campo elettrico nel punto P é:

ρ dv'dq con Rπε4

dqaEd 2

o

R


Quindi l’intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione volumica di carica continua è:

Il campo elettrico totale sarà:

2o

RR4π

ρdv'aEd

mV

dv'RR

ρ 4π

1E

RR

a

mV

dv'Rρ

a 4π

1E

V'3

o

R

V'2

oR

V’

dv’

R

P


L’intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione superficiale di carica continua è:

L’intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione di carica lineare continua è:

mV

ds'R

ρa

4π1

ES'

2S

Ro

mV

dl'R

ρa

4π1

EL'

2l

Ro


Potenziale Elettrico

Si può definire il potenziale elettrico facendo riferimento alla

I° identità nulla, per la quale il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero:

Infatti per il teorema di Stokes , l’integrale superficiale su una superficie è uguale all’integrale lineare del lungo un precorso chiuso che delimita la superficie :

ed essendo:

0V) ( (V)) (grad rot

V

ldVsdV) ( CS

0V0dVldV ldVdVCC


Ossia se il campo è irrotazionale, esso può essere espresso come il gradiente di un campo scalare:

Poiché le grandezze scalari sono più facili da trattare rispetto a quelle vettoriali, si è indotti a definire il potenziale V tale che:

e a calcolare il campo attraverso l’operatore gradiente.

Il potenziale elettrico ha un significato fisico: esso equivale al lavoro fatto per trasportare una carica da un punto P1 ad un altro P2 del campo, in senso contrario a quello del campo:

VE

V o C

J

2

1

12

P

P

ldEq

WVV

VE 0 E


Esso non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni dei punti, si definisce differenza di potenziale elettrico tra i punti P1 e P2:

V 2

1

12 P

P

ldEVV

E

P1

P2C1

C2


Occorre fare due puntualizzazioni :

1. L’inclusione del segno negativo nella relazione è necessaria per essere conformi con la convenzione per la quale il potenziale elettrico aumenta spostandosi in direzione opposta a quella del campo, ossia il campo è diretto dalle cariche positive verso quelle negative e il potenziale aumenta in senso inverso;

2. In base alla definizione del gradiente di un campo scalare, la direzione di è parallela alle superfici delle linee di flusso o di campo, che indicano in ogni punto la direzione del campo , sono ovunque perpendicolari alle linee equipotenziali o alle superfici equipotenziali.

V

E


Potenziale elettrico dovuto a una distribuzione di cariche

Il potenziale elettrico in un punto a distanza R da una carica q, riferito all’infinito, si può determinare dalla equazione:

da cui:

La differenza di potenziale tra due punti P2 e P1 alla distanza R2 e R1 rispettivamente dalla carica q è:

2

04

R R

R R

qV E dR a a dR

R

4 o

qV V

πε R

2 2

21 2 11 1 2 1

1 1

4 4

R R

P PR R

o o

q qV V V VdR dR

R R R

VE


Lungo le linee equipotenziali la differenza di potenziale è nulla, in quanto la forza di campo non compie nessun lavoro essendo la forza perpendicolare al trattino dl in ciascun punto.

Esempio: lungo il percorso P1- P3, il lavoro è uguale a zero.

Il potenziale elettrico di un punto a distanza R da un sistema di cariche q1, q2,,…,qn , è ottenuto attraverso la sovrapposizione degli effetti dalla somma dei potenziali dovuti alle singole cariche:

q

P1

P2

P3

R1

R2

V RR

q

4π1

VN

1k'k

k

o


Come esempio, si consideri il dipolo elettrico costituito dalle cariche +q e –q separate da una piccola distanza d

dipolo elettrico

Le distanze dalle cariche del punto del campo P siano R+ e R-

rispettivamente e il potenziale in P sarà:

z

+q

-q

R

R-

R+

P

d

R1

R1

4πq

Vo

+

-d

Punto

Ra R

θp


Se d << R

e

Per cui sostituendo nella espressione del potenziale:

dove, è il momento del bipolo e il campo elettrico può essere ottenuto dalla relazione:

cos2Rd

1Rcos2d

RR1 1

1

cos2Rd

1Rcos2d

RR1 1

1

V Rπε4

ap Voppure

Rπε4θcosd q

V 2o

r

2o

dqp E

VE

+

-d

Punto

Ra R

θp


In coordinate sferiche si ha:

essendo:

si ha:

θRV

aRV

a VE R

θsinaθcos2aRπε4

1E θR3

0

V Rπε4

θcosd qV 2

o


Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in un volume finito, si ottiene integrando il contributo di un elemento di carica per l’intero volume :

Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una superficie finita:

Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una linea di lunghezza finita :

V dv' Rρ

4π1

VV'0

V ds' R

ρ

4π1

VS'0

S

V dl' R

ρ

4π1

VL'

l

0


Conduttori nei campi elettrostatici

La classificazione dei materiali in base alle loro proprietà elettriche è la seguente:

• conduttori,

• semiconduttori e

• isolanti o dielettrici.

Tutti questi materiali sono composti da atomi.

La rappresentazione schematica del modello atomico è di un nucleo di cariche positive con le cariche negative degli elettroni che orbitano intorno.


Nei conduttori gli elettroni delle orbite più esterne sono debolmente vincolati alle loro orbite e migrano facilmente da un atomo all’altro.

Negli isolatori o dielettrici in condizioni normali sono vincolati fortemente alle loro orbite ed è necessario applicare un campo esterno perché gli elettroni migrino.

Le proprietà elettriche dei semiconduttori stanno tra quelle di conduttori e quelle degli isolatori, essi possiedono un numero limitato di cariche mobili libere.


Conduttori nei campi elettrostatici

La proprietà elettrica macroscopica dei materiali è caratterizzata da un parametro costitutivo chiamato conduttività, che sarà definita in seguito, quando si studieranno i campi dovuti a cariche in movimento.

Se viene generato un campo elettrico nel conduttore, il campo esercita una forza sulle cariche e fa si che si muovano una rispetto all’altra.

Questo movimento continuerà sino a quando tutte le cariche raggiungeranno la superficie del conduttore e si ridistribuiranno in modo tale che la carica e il campo interni si annullino.


All’interno di un conduttore in condizioni statiche la densità

di carica ρ e il campo si annullano:

Infatti:

•la prima condizione è dovuta al fatto che all’interno del conduttore non è presente alcuna carica e

•la seconda condizione è dovuta alla legge di Gauss: il flusso totale uscente attraverso la superficie chiusa che delimita il conduttore è uguale a zero.

0E

0ρ

E


Quindi se si considera un campo elettrostatico, generato da due corpi conduttori carichi A (con carica +Q) e B (con carica -Q) e nel campo elettrostatico così generato si introducono dei corpi conduttori, non precedentemente caricati, essi assumono, all’atto della introduzione del campo, un determinato valore del potenziale uguale per tutti i punti della regione occupata dal conduttore.

La superficie esterna del conduttore C risulta essere una superficie equipotenziale del campo, dalla quale partono e arrivano linee di forza (o di flusso) in numero uguale, essendo nulle le somme delle cariche indotte positive +q e negative -q.

BA

C+Q -Q

---

+++

-q +q


La distribuzione sulla superficie del conduttore sottoposto a un campo elettrostatico, dipende dalla forma della superficie e tali cariche devono risultare fisse in uno stato di equilibrio: ciò equivale a dire che le componenti tangenziali del campo elettrico, che producono forze e movimenti tangenziali devono essere nulle.

Sulla base di tali considerazioni si ha che per un conduttore immerso in un campo elettrostatico:

• Il campo in tutti i punti della superficie del conduttore risulta ovunque normale alla superficie.

• In condizioni statiche la superficie di un conduttore è una superficie equipotenziale.

• Poiché dappertutto all’interno del conduttore, in tutti i punti all’intero del conduttore si ha lo stesso potenziale elettrico V.

0E


Quando un conduttore è inserito all’interno di un campo elettrostatico, alle cariche interne adesso è richiesto un tempo finito per ridistribuirsi sulla superficie del conduttore e raggiungere lo stato di equilibrio.

Tale tempo dipende dalla conduttività del materiale e per i buoni conduttori è molto piccolo, (per il rame è dell’ordine di 10-19 s) .


Schermo elettrostatico

L’uso di uno schermo elettrostatico rappresenta una tecnica per ridurre la capacità di accoppiamento tra corpi conduttori. Si consideri un corpo conduttore 1 all’interno di uno schermo conduttore 2 collegato a terra e un terzo corpo conduttore 3.

Se un conduttore, come il conduttore 2, è cavo il campo elettrico all’interno di esso è nullo, ossia l’involucro metallico può essere adoperato per sottrarre la parte di spazio da esso delimitata, all’influenza di campi elettrici esterni.

21

3


Campo elettrostatico in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto

Per definire la componente tangenziale del campo, si calcoli la circuitazione del campo elettrostatico, ossia l’integrale lineare lungo il contorno abcda avente :larghezza: ab=cd=w e altezza: bc=da= h con h0

infatti il campo è nullo nel conduttore ( tratto della circuitazione cd) e i contributi al calcolo dell’integrale nei tratti bc e da sono trascurabili poiché h0

a

b

cd

w

h conduttore

spazio vuoto

s

EnnEaS

0E 0 ΔwEldEldE ttababcda


Per definire la componente normale del campo, si applica il teorema di Gauss, considerando una superficie Gaussiana, come riportato in figura con la superficie superiore nello spazio vuoto e quella inferiore nel conduttore. Calcolando l’integrale superficiale del campo sulla superficie Gaussiana si ha:

Quindi nella superficie di separazione tra il conduttore e lo spazio vuoto, per le condizioni statiche descritte:•la componente tangenziale del campo è nulla e •la componente normale del campo è uguale alla densità di carica superficiale diviso per la permettività dello spazio vuoto.

=E s sn

o oS

SE d s S E


Condizioni al contorno in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto

Quando un conduttore è posto in un campo elettrostatico, questo fa si che gli elettroni all’interno del conduttore si muovano in direzione opposta a quella del campo e le cariche positive in direzione concorde con quella del campo.

Così le cariche libere si distribuiranno sulla superficie del conduttore creando un campo indotto tale da annullare il campo esterno

•sia all’interno del conduttore che

•in direzione tangenziale alla sua superficie.

Quando le cariche raggiungono una condizione di equilibrio, il conduttore è di nuovo un corpo equipotenziale

0E t o

snE


Dielettrici nel campo elettrostatico

I dielettrici ideali non contengono cariche libere. Quando un corpo dielettrico è posto all’interno di un campo elettrostatico, non ci sono cariche libere indotte che si muovono da un atomo all’altro come nei conduttori.

Poiché i dielettrici contengono cariche vincolate queste agiscono sul campo elettrico.

Un campo elettrico agisce sul dielettrico in due modi diversi:

1. polarizzazione elettronica e

2. polarizzazione per orientamento.


La polarizzazione elettronica che consiste in uno spostamento relativo delle orbite degli elettroni periferici degli atomi rispetto al nucleo, per cui ogni atomo si comporta come un dipolo orientato secondo il campo.

La polarizzazione per orientamento si presenta insieme a quella elettronica, in quei dielettrici in cui, già in assenza di campo esterno, le molecole costituiscono dei bipoli, che in assenza di campo sono orientati disordinatamente per l’agitazione termica.

Tali molecole sono macroscopicamente neutre.

In presenza di un campo si polarizzano i dipoli elettrici, ossia si orientano nella direzione del campo, modificando il campo elettrico sia all’interno che all’esterno del materiale dielettrico.


Alcuni materiali dielettrici: electrets conservano una polarizzazione permanente anche quando il campo si annulla, ossia cessa la causa che ha generato la polarizzazione.

Questi materiali si ottengono ponendo certe cere o materiali plastici in un campo elettrico, dopo averli precedentemente scaldati.

Gli electrets sono materiali che presentano un comportamento analogo ai magneti permanenti e hanno trovato una importante applicazione nei microfoni ad alta fedeltà.

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