Urti tra corpi estesi - INFN Genovagagliard/ingegneria_industriale/2011-2012... · L’urto e...
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Urti tra corpi estesi Statica Urti tra corpi estesi Analogamente a quanto visto nel caso di urto tra corpi puntiformi la dinamica degli urti tra corpi estesi pu` o essere studiata attraverso i principi di conservazione. Distinguiamo tra situazione iniziale, prima dell’urto, quando l’interazione tra i corpi pu` o essere considerata trascurabile, e situazione finale, quella dopo l’urto. Tanto pi` u breve ` e l’urto tanto minore ` e l’effetto delle forze esterne non impulsive - tipo la forza peso - durante l’urto. Le forze di contatto - tra una palla da biliardo e la sponda - sono tipicamente impulsive. Una forza ` e impulsiva se ` e ragionevole modellizzarla come una forza infinita che agisce per un periodo infinitesimo, ma tale che lim Δt→0 R Δt F (t)dt = I . 1 / 43
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Urti tracorpi estesi
Statica
Urti tra corpi estesi
Analogamente a quanto visto nel caso di urto tra corpipuntiformi la dinamica degli urti tra corpi estesi puo esserestudiata attraverso i principi di conservazione.
Distinguiamo tra situazione iniziale, prima dell’urto, quandol’interazione tra i corpi puo essere considerata trascurabile, esituazione finale, quella dopo l’urto.
Tanto piu breve e l’urto tanto minore e l’effetto delle forzeesterne non impulsive - tipo la forza peso - durante l’urto. Leforze di contatto - tra una palla da biliardo e la sponda - sonotipicamente impulsive. Una forza e impulsiva se e ragionevolemodellizzarla come una forza infinita che agisce per un periodoinfinitesimo, ma tale che lim∆t→0
∫∆t F (t)dt = I.
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Statica
Urti tra corpi estesi
Se non agiscono forze impulsive esterne al sistema durante l’urtosi ha:
Conservazione della quantita di moto totale del sistema:P I =
∑imiv
Ii deve essere uguale, vettorialmente, alla
quantita di moto finale PF =∑
j mjvj(finale).
La conservazione della quantita di moto durante l’urtoimplica - come gia visto, che la velocita del centro di massadel sistema e invariante durante l’urto.
Conservazione del momento della quantita di moto totaledel sistema: LI
Ω = LFΩ
Conservazione dell’energia cinetica, se le forze interne alsistema non compiono lavoro durante l’urto.
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Urto tra dischi anaelastico
Un disco di raggio R e massa m1 scivola su un piano ed urta conun parametro d’impatto d un secondo disco uguale e fermo.Dopo l’urto i dischi procedono uniti.
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2. Il secondo corpo non ha velocita inizialeper cui la velocita del centro di massa evCM = m1
m1+m2vI = 1
2 vI .
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2.
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2. Possiamo anche scegliere come polo il
centro di massa del sistema: si tratta di un polo inmovimento, e per il teorema di Koenig il momento angolarerispetto a tale polo e sempre uguale al momento angolarecalcolato nel sistema del centro di massa...
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2.
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema.
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2.
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema.Questo significa che si conservano quantita di motoe momento della quantita di moto.
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2.
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema.
Dopo l’urto i corpi proseguono uniti.
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2.
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema.
Dopo l’urto i corpi proseguono uniti. Geometricamente ilcentro di massa al momento dell’urto si trova nel punto dicontatto tra i dischi. Prima e dopo l’urto il centro di massapercorre una traiettoria rettilinea orientata come la velocitadel primo disco: questo significa che il momento dellaquantita di moto associato al moto del centro di massa erispetto al polo scelto e nullo prima e dopo l’urto, e chequindi LI
O = L′
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2.
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema.
Dopo l’urto i corpi proseguono uniti.
L’urto e anaelastico.
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Urto tra dischi anaelastico
La quantita di moto iniziale e P I = mvI e l’energia inizialee E = 1
2 m(vI)2.
Il momento della quantita di moto iniziale calcolato rispettoad un polo posto nel punto in cui i dischi si urtano eLIO = mvId/2.
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema.
Dopo l’urto i corpi proseguono uniti.
L’urto e anaelastico.Come vedremo, questo significa che nonsi conserva l’energia del sistema.
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Urto tra dischi anaelastico
LIO = mvId/2
LFO = ICMωF
ICM = 2(ID +mR2)
ωF =mvId
4(ID +mR2)
vCM = vI/2
∆EC =1
2m(vI)2−
− 1
2(2m)v2CM −
1
2ICM (ωF )2 =
=1
4m(vI)2(1− 1
4
md2
(ID +mR2))
Che succede se il disco 2 e in rotazione?
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Statica
Urto senza attrito
Un disco di raggio R e massa m1 scivola su un piano ed urta conun parametro d’impatto d un secondo disco uguale e fermo.L’urto e elastico.
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Urto senza attrito
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema. Questo implica che:
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Urto senza attrito
Durante l’urto non agiscono forze impulsive esterne alsistema. Questo implica che:
Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
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Urto senza attrito
Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
L’assenza di attrito garantisce che le forze impulsive cheagiscono su ognuno dei dischi sono dirette lungo lacongiungente dei dischi stessi. Questo implica che
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Urto senza attrito
Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
il momento angolare totale calcolato rispetto al punto diimpatto e anche il momento angolare di ognuno dei singolidischi si conserva. Implica anche che al momento dell’urtonon esistono MOMENTI impulsivi che possono dare originead una rotazione dei dischi intorno al loro asse.
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Urto senza attrito
Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
il momento angolare totale calcolato rispetto al punto diimpatto e anche il momento angolare di ognuno dei singolidischi si conserva. Implica anche che al momento dell’urtonon esistono MOMENTI impulsivi che possono dare originead una rotazione dei dischi intorno al loro asse.
Dopo l’urto i corpi sono in moto traslatorio.
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Urto senza attrito
Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
il momento angolare totale calcolato rispetto al punto diimpatto e anche il momento angolare di ognuno dei singolidischi si conserva. Implica anche che al momento dell’urtonon esistono MOMENTI impulsivi che possono dare originead una rotazione dei dischi intorno al loro asse.
La conservazione della quantita di moto (e l’uguaglianzadelle due masse) garantisce che le velocita finali dei dischiperpendicolari alla direzione della velocita iniziale sonouguali ed opposte
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Urto senza attrito
Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
il momento angolare totale calcolato rispetto al punto diimpatto e anche il momento angolare di ognuno dei singolidischi si conserva. Implica anche che al momento dell’urtonon esistono MOMENTI impulsivi che possono dare originead una rotazione dei dischi intorno al loro asse.
La conservazione della quantita di moto (e l’uguaglianzadelle due masse) garantisce che le velocita finali dei dischiperpendicolari alla direzione della velocita iniziale sonouguali ed opposte
L’angolo sin(θ) = d/2R che la velocita finale del secondodisco forma con l’orizzontale e noto perche e nota ladirezione dell’impulso (lungo la congiungente tra i centri)
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Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
il momento angolare totale calcolato rispetto al punto diimpatto e anche il momento angolare di ognuno dei singolidischi si conserva. Implica anche che al momento dell’urtonon esistono MOMENTI impulsivi che possono dare originead una rotazione dei dischi intorno al loro asse.
La conservazione della quantita di moto (e l’uguaglianzadelle due masse) garantisce che le velocita finali dei dischiperpendicolari alla direzione della velocita iniziale sonouguali ed opposte
L’angolo sin(θ) = d/2R che la velocita finale del secondodisco forma con l’orizzontale e noto perche e nota ladirezione dell’impulso (lungo la congiungente tra i centri)
L’urto e elastico perche la forza vincolare non sposta il suopunto di applicazione durante l’urto
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Si conservano quantita di moto e momento della quantita dimoto.
il momento angolare totale calcolato rispetto al punto diimpatto e anche il momento angolare di ognuno dei singolidischi si conserva. Implica anche che al momento dell’urtonon esistono MOMENTI impulsivi che possono dare originead una rotazione dei dischi intorno al loro asse.
La conservazione della quantita di moto (e l’uguaglianzadelle due masse) garantisce che le velocita finali dei dischiperpendicolari alla direzione della velocita iniziale sonouguali ed opposte
L’angolo sin(θ) = d/2R che la velocita finale del secondodisco forma con l’orizzontale e noto perche e nota ladirezione dell’impulso (lungo la congiungente tra i centri)
L’energia cinetica, che e solo traslazionale, si conserva24 / 43
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Statica
sin(θ) = d/R
vI =1 vx + v2 cos(θ)
1vy + v2 sin(θ) = 0
1v2x +1 v
2y + v22 = (vI)2
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Statica sin(θ) = d/R
vI =1 vx + v2 cos(θ)
1vy + v2 sin(θ) = 0
1v2x +1 v
2y + v22 = (vI)2
Qual e l’angolo di deviazione del disco 1? Qual e quello del disco2? Che succede se il disco 2 e in rotazione? Il disco 1 puo esseredeflesso di 90 gradi?
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Altro esempio...
Una giostra e composta da un disco orizzontale, di raggio R = 1, 5 m emassa M = 100 kg, vincolato a ruotare senza attrito attorno al suo asse. Ilraggio del disco e R = 1.5 m e la di massa M = 100 kg. Inizialmente il discoruota con un periodo T1 = 1, 00 s.
Determinare l’energia cinetica della giostra.
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Altro esempio...
Una giostra e composta da un disco orizzontale, di raggio R = 1, 5 m emassa M = 100 kg, vincolato a ruotare senza attrito attorno al suo asse. Ilraggio del disco e R = 1.5 m e la di massa M = 100 kg. Inizialmente il discoruota con un periodo T1 = 1, 00 s.
Determinare l’energia cinetica della giostra.
L’energia cinetica e data dall’espressione Ec = 1/2Iω2. Nel nostro casoI = 1/2MR2 = 112.5 kgm2 e ω1 = 2π rad/s, per cui Ec = 2220 J
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Altro esempio...
Una giostra e composta da un disco orizzontale, di raggio R = 1, 5 m emassa M = 100 kg, vincolato a ruotare senza attrito attorno al suo asse. Ilraggio del disco e R = 1.5 m e la di massa M = 100 kg. Inizialmente il discoruota con un periodo T1 = 1, 00 s. Un bambino di massa m = 20 kg saltada terra e si ferma esattamente sul bordo della giostra, continuando a ruotaresolidalmente con essa. Il genitore osserva che adesso la giostra ruota ancoranello stesso verso ma con periodo T2 = 1, 25 s.
Determinare qual e ora l’energia cinetica del sistema giostra piubambino.
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Altro esempio...
Una giostra e composta da un disco orizzontale, di raggio R = 1, 5 m emassa M = 100 kg, vincolato a ruotare senza attrito attorno al suo asse. Ilraggio del disco e R = 1.5 m e la di massa M = 100 kg. Inizialmente il discoruota con un periodo T1 = 1, 00 s. Un bambino di massa m = 20 kg saltada terra e si ferma esattamente sul bordo della giostra, continuando a ruotaresolidalmente con essa. Il genitore osserva che adesso la giostra ruota ancoranello stesso verso ma con periodo T2 = 1, 25 s.
Determinare qual e il minimo modulo della componente orizzontaledella velocita, rispetto al suolo, con cui il bambino puo essere saltatosulla giostra (si consideri il bambino come un corpo puntiforme).
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Altro esempio...
Una giostra e composta da un disco orizzontale, di raggio R = 1, 5 m emassa M = 100 kg, vincolato a ruotare senza attrito attorno al suo asse. Ilraggio del disco e R = 1.5 m e la di massa M = 100 kg. Inizialmente il discoruota con un periodo T1 = 1, 00 s. Un bambino di massa m = 20 kg saltada terra e si ferma esattamente sul bordo della giostra, continuando a ruotaresolidalmente con essa. Il genitore osserva che adesso la giostra ruota ancoranello stesso verso ma con periodo T2 = 1, 25 s.
Determinare qual e il minimo modulo della componente orizzontaledella velocita, rispetto al suolo, con cui il bambino puo essere saltatosulla giostra (si consideri il bambino come un corpo puntiforme). Leforze impulsive che agiscono sul sistema durante l’urto sono esercitatedal perno della giostra e quindi hanno momento nullo rispetto ad unpolo preso sul perno. Il momento angolare del sistema durante l’urto siconserva, ed in seguito non agiscono ulteriori forze esterne che possanomodificarle, per cui possiamo affermare che tra la situazione iniziale equella finale si ha conservazione del momento angolare del sistema.Quindi Mi = Iω1 +mR×v = Iω1 +mvR sin(θ) e Mf = (I+mR2)ω2
sono uguali. Per cui abbiamo: Mi = Mf → v = I2ω2−IωmR sin(θ)
. Il valore
minimo per la velocita si ha per sin(θ) = 131 / 43
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Altro esempio...
Una giostra e composta da un disco orizzontale, di raggio R = 1, 5 m e
massa M = 100 kg, vincolato a ruotare senza attrito attorno al suo asse. Il
raggio del disco e R = 1.5 m e la di massa M = 100 kg. Inizialmente il disco
ruota con un periodo T1 = 1, 00 s. Esiste un massimo valore per il modulo
della velocita?
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Statica
Statica
Abbiamo visto che le equazioni cardinali aiutano a descrivere ilmoto di un sistema di corpi.
Le stesse equazioni, uguagliate a zero, permettono di descriverele condizioni di equilibrio di un sistema: perche un sistema sia inequilibrio occorre che:
La quantita di moto totale sia nulla: P =MvCM = 0
Il momento della quantita di moto calcolato rispetto ad unpolo sia nullo
Dalla prima equazione cardinale:∑i F
(E) = 0 →dP
dt= 0.
Dalla seconda equazione cardinale:
M(E)O =
∑i (ri − rO)×(F
(E)i ) = 0 implica
dLO
dt= 0
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Trasformazione del momento di una forza
Le condizioni devono essere tutte soddisfatte: ad esempio, se la risultantedelle forze esterne non e nulla, puo esistere un polo rispetto al quale ilmomento delle forze e nullo, ma non lo e rispetto ad un’altro polo.
Dato il momento di una forza calcolato rispetto ad un polo Ω1 abbiamo,rispetto ad un polo Ω2:
MΩ2 = (r − rΩ2)×F =
= (r − rΩ1 + rΩ1 − rΩ2)×F =
= MΩ1 + (rΩ1 − rΩ2)×F
Da cui vediamo il momento e nullo per ogni polo solo se F e nulla - e quindi
solo se la risultante delle forze esterne F (E) e nulla - si ha che per ogni polo
scelto il momento delle forze esterne e nullo.
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Esempio di statica
Una palla di neve sferica di massa M
e raggio R e tenuta ferma su un piano
inclinato rispetto all’orizzontale di π/6
da una paratia. Tra palla e piano in-
clinato e’ presente una forza di attrito.
Determinare la forza F esercitata dalla
paratia sulla palla di neve e la forza di
attrito statico esercitata dal piano sulla
palla di neve
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Esempio di statica
Prendiamo come polo il punto di con-tatto tra palla e suolo.
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Esempio di statica
M (E) = Mg + MP + MA + MN =
= mR×g − RP ×FP + 0 + 0 =
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Esempio di statica
M (E) = Mg + MP + MA + MN =
= mR×g − RP ×FP + 0 + 0 =
= mgR sin(θ)− FPR cos(θ) = 0
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Esempio di statica
Equilibriamo la risultante delle forze es-terne lungo il piano inclinato
mgR sin(θ)− FPR cos(θ) = 0
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Esempio di statica
mgR sin(θ)− FPR cos(θ) = 0
F (E)‖ = FP‖ + FA + Fg‖ =
= FP cos(θ)−mg sin(θ)− FA =
= mg sin(θ)−mg sin(θ)− FA = 0
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Statica
Esempio di statica
mgR sin(θ)− FPR cos(θ) = 0
F (E)‖ = FP‖ + FA + Fg‖ =
= FP cos(θ)−mg sin(θ)− FA =
= − FA = 0
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Statica
Esempio di statica
mgR sin(θ)− FPR cos(θ) = 0
F (E)‖ = FP‖ + FA + Fg‖ =
= FP cos(θ)−mg sin(θ)− FA =
= − FA = 0
L’attrito non esercita alcuna forza sulla palla...
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problemino
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