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Motocircolareuniforme

Principidelladinamica

Moto circolare uniforme

Il moto circolare con velocita scalare costante si dice motocircolare uniforme. La traiettoria e una circonferenza,caratterizzata dunque da un punto centrale e da un raggio, egiacente su un piano. Si tratta quindi di un moto bidimensionale.

x(t) = R0 + R(t)

v(t) =dx(t)

dt=

dR(t)

dt

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Sistema di riferimento cartesiano

Un sistema di riferimento conveniente per un moto circolareuniforme consiste in un piano cartesiano con il centro dellacirconferenza posto sull’origine. In questo sistema possiamocalcolare le componenti lungo gli assi dei vettori posizione evelocita a partire dall’angolo θ(t) e dal raggio R.

x(t) = ix(t) + jy(t)

x(t) = R cos θ(t)

y(t) = R sin θ(t)

v(t) = ivx(t) + jvy(t)

vx(t) =dx(t)

dt= −R sin θ(t)

dθ(t)

dt

vy(t) =dy(t)

dt= R cos θ(t)

dθ(t)

dt

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Velocita angolare

La grandezza fisica ω(t) =dθ(t)dt

e chiamata “velocita

angolare”. Esprime l’incremento o decremento dell’angolo θ perunita di tempo e viene misurata in rad/s.

Nel caso di moto circolare uniforme e quindi velocita scalarecostante e facile vedere che in intervalli di tempo uguali∆t1 = ∆t2 verranno spazzati angoli uguali ∆θ1 = ∆θ2, per cui lavelocita angolare ω(t) = ∆θ1

∆t1= ∆θ2

∆t2= ω risulta costante.

Il “periodo di rivoluzione” T e il tempo impiegato dal corpo perpercorrere tutta la circonferenza e tornare al punto di partenza. Elegato alla velocita angolare dalla relazione T = 2π

ω . Il numero dirivoluzioni ν che vengono compiute nell’unita di tempo τ = 1 s ela grandezza fisica chiamata “frequenza del moto”: detto n ilnumero di rivoluzioni n = τ

T si ha che ν = nτ = 1

T . Ovvero: lafrequenza si calcola facendo il reciproco del periodo, e l’unita dimisura e 1/s = s−1 = Hz (Hertz)3 / 28



Integrazione delle equazioni del moto circolareuniforme

Visto che la velocita angolare ω e costante, possiamo esprimere l’angolo in

funzione del tempo e di ω: θ(∆t) =∫ dθ

dtdt =

∫ω dt = (t− t0)ω + θ0.

Otteniamo quindi subito le espressioni per le componenti della posizione,velocita e accelerazione nel moto circolare uniforme1.

x(t− t0) = R cos(θ(t− t0)) = R cos(ω (t− t0) + φ)

y(t− t0) = R sin(ω (t− t0) + φ)

vx(t− t0) =dx(t)

dt= −ωR sin(ω (t− t0) + φ)

vy(t− t0) =dy(t)

dt= ωR cos(ω (t− t0) + φ)

ax(t− t0) =dvx(t)

dt= −ω2R cos(ω (t− t0) + φ)

ay(t− t0) =dvy(t)

dt= −ω2R sin(ω (t− t0) + φ)

1L’angolo θ0 iniziale si esprime di solito con la lettera greca φ. φ vienechiamata anche “fase”4 / 28



Coordinate polari

La descrizione vettoriale del moto circolare uniforme beneficiadall’introduzione del sistema di coordinate curvilineobidimensionale detto “sistema di coordinate polari”.

Nel sistema di coordinate polari e definita un’origine e unasemiretta per il quale l’angolo e nullo.

Una posizione e individuata da una coppia di coordinate: ladistanza dall’origine, detta raggio, e l’angolo che la semirettadeve spazzare per raggiungere la posizione. L’angolo e orientatoin modo che una grandezza positiva corrisponde ad una rotazioneantioraria. L’angolo e definito a meno di multipli di 2π.

A differenza del sistema di coordinate cartesiano, la differenza diposizione non e calcolabile facendo la differenza tra coordinate.

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Coordinate polari

R(t1)(3, π/3)

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Coordinate polari

R(t1)(3, π/3)

R(t2)(2, 2π/3)

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Coordinate polari

R(t1)(3, π/3)

R(t2)(2, 2π/3)

∆R(t2 − t1) 6= (1, π/3)

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Coordinate polari

R(t1)(3, π/3)

R(t2)(2, 2π/3)

∆R(t2 − t1) 6= (1, π/3)

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Coordinate polari

R(t1)(3, π/3)

R(t2)(2, 2π/3)

∆R(t2 − t1) 6= (1, π/3)

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Versori curvilinei

Un sistema di coordinate curvilineo gli “assi cartesiani” sonosempre unitari e sempre perpendicolari tra di loro, ma differisconoin funzione della posizione: ogni punto ha la sua terna di assi,eventualmente diversa da quella di altri punti!

Nel caso delle coordinate polari si hanno, in ogni punto, gli assir(x, y) e θ(x, y): il primo (versore radiale) ha direzione e versodel vettore posizione x(x, y), il secondo (versore tangente) eperpendicolare al primo in modo ordinato.

Visto che gli assi r e θ sono in generale diversi per ogni puntovengono disegnati di solito in corrispondenza del punto inquestione.

La posizione di un punto si esprime in termini di questi versoricome come R = rr

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Derivata di vettori

∆R(t2 − t1) = R(t2)−R(t1)

dR

dt=

dr(t)r(t)

dt=

dr

dtr + r

dr

dt

dR

dtcirc = r

dr

dt

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Derivata di vettori

∆R(t2 − t1) = R(t2)−R(t1)

dR

dt=

dr(t)r(t)

dt=

dr

dtr + r

dr

dt

dR

dtcirc = r

dr

dt

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Derivata di vettori

∆R(t2 − t1) = R(t2)−R(t1)

dR

dt=

dr(t)r(t)

dt=

dr

dtr + r

dr

dt

dR

dtcirc = r

dr

dt

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Derivata di versori

dr

dt= θ

∆θ

∆t= θω(t)

dR

dt= v(t) =

dr

dtr + r(t)ω(t)θ

vcirc = rω(t)θ

vcircunif = rωθ

dθ

dt= −rω(t)

dv

dtunif = a = rω

dθ

dt= −rω2r

acirccentr = −rω2(t)r

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Derivata di versori

dr

dt= θ

∆θ

∆t= θω(t)

dR

dt= v(t) =

dr

dtr + r(t)ω(t)θ

vcirc = rω(t)θ

vcircunif = rωθ

dθ

dt= −rω(t)

dv

dtunif = a = rω

dθ

dt= −rω2r


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Derivata di versori

dr

dt= θ

∆θ

∆t= θω(t)

dR

dt= v(t) =

dr

dtr + r(t)ω(t)θ

vcirc = rω(t)θ

vcircunif = rωθ

dθ

dt= −rω(t)

dv

dtunif = a = rω

dθ

dt= −rω2r


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Derivata di versori

dr

dt= θ

∆θ

∆t= θω(t)

dR

dt= v(t) =

dr

dtr + r(t)ω(t)θ

vcirc = rω(t)θ

vcircunif = rωθ

dθ

dt= −rω(t)

dv

dtunif = a = rω

dθ

dt= −rω2r


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velocita e accelerazione nel moto circolare (uniforme)

vcirc = rω(t)θ

vcirc−unif = rωθ

acirc−unif = −rω2r

acirc−centr = −rω2(t)r

|acirc−unif | = rω2

=|v|2

r

|acirc−centr| = rω2(t) =

|v(t)|2

r

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vcirc = rω(t)θ





=|v|2

r


|v(t)|2

r

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vcirc = rω(t)θ





=|v|2

r


|v(t)|2

r

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Primo Principio

“Un corpo non sottoposto a forze permane nello stato di moto rettilineouniforme”

Ovviamente falso: occorre tenere presente anche il caso in cui il corpo siafermo - almeno nel nostro sistema di riferimento. Quindi: “Un corpo nonsottoposto a forze permane nello stato di moto rettilineo uniforme se inmoto, e nello stato di quiete se in quiete”

Non sottoposto a forze non e possibile: ammettendo di sapere cosa sia larisultante delle forze, il primo principio deve essere riformulato cosı: “Uncorpo sottoposto a forze la cui risultante sia nulla permane nello stato diquiete se in quiete, e nello stato di moto rettilineo uniforme se in moto”

Banalmente falsificato su una giostra: occorre quindi riformularlo cosı: “In unsistema inerziale (ammettendo di sapere cosa sia) un corpo sottoposto aforze la cui risultante sia nulla permane nello stato di quiete se in quiete, enello stato di moto rettilineo uniforme se in moto”

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Secondo Principio

Molto piu facile, ma introduce una nuova grandezza fisica: la massa.

“L’accelerazione di un corpo e proporzionale attraverso una grandezza fisicachiamata massa alla forza che agisce sul corpo”

Ovvero: se un corpo accelera, su di esso agisce una forza; e sullo stesso corpola forza e tanto piu intensa, quanto piu intensa e l’accelerazione del corpostesso.

Poiche la massa non dipende dalla direzione o verso dell’accelerazioneabbiamo che la forza F agente su un corpo quando il corpo e accelerato e asua volta un vettore: possiede direzione, verso e intensita.

L’equazione che esprime matematicamente il secondo principio e:

F = ma

Fi = m ai(i = x, y, z)

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Secondo Principio

Il secondo principio vale anche nei sistemi non inerziali, ammettendo disapere cosa siano. Le forze che inducono un’accelerazione in un corpopossono essere forze “reali” o “apparenti”.

L’unita di misura della massa e il kg, unita di misura fondamentale. L’unitadi misura della forza e il Newton, N, unita di misura derivata: N = kgm/s2

Varie forze che agiscono sullo stessocorpo si sommano vettorialmente, e lasomma delle forze e chiamata la “risul-tante delle forze”. Il secondo princi-pio si riformula cosı: “L’accelerazionedi un corpo e proporzionale attraversouna grandezza fisica chiamata massaalla risultante delle forze che agisconosul corpo”. In formule:∑

F = ma

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Terzo Principio

“Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria”.

Azione e la parola che Newton usava per indicare una forza. Essendo presentiuna azione e reazione occorre avere una interazione tra due corpi. Il terzoprincipio si riformula cosı: “In una interazione tra due corpi alla forza che ilprimo esercita sul secondo corrisponde una forza di uguale intensita edirezione, ma verso opposto, applicata dal secondo sul primo”

In formule, detta F12 la forza che il secondo corpo subisce per l’interazionecon il primo, e F21 la forza che il primo corpo subisce per l’interazione colsecondo, abbiamo:

F12 = −F21

Il terzo principio si applica a coppie di corpi. Se abbiamo molti corpi ilprincipio si applica individualmente a tutte le combinazioni:

Fij = −Fji, i 6= j

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Terzo Principio

La distinzione tra forze vere e apparenti si fa in base al terzoprincipio: sono forze “vere” quelle a cui si applica il terzoprincipio.

Sottoposto ad una forza apparente, come per esempio la forzacentrifuga dentro un’auto che affronta una curva, un corpoaccelera; non esiste tuttavia un corpo che subisca la forza ugualee contraria a quella del corpo accelerato.

Possiamo anche definire un sistema inerziale, come un sistema incui appaiono solo forze reali.

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Forza peso

La forza peso e la forza dovuta all’attrazione gravitazionale che la terraesercita su ogni massa posta in prossimita della sua superficie.

In prima approssimazione la forza peso e diretta lungo la verticale, verso ilcentro della terra. La sua intensita standard alla superficie terrestre eproporzionale alla massa del corpo su cui agisce attraverso la costanteg = 9.81 m/s2.

Dal secondo principio della dinamica otteniamo per un corpo di massa mposto vicino alla superficie terrestre:

F = −mg j = ma

ay = −g

ax = 0

La forza peso applicata ad un corpo gli fornisce quindi una accelerazionecostante diretta lungo la verticale: il corpo si trova in una situazione di motouniformemente accelerato.

Siamo in grado di predire la dinamica di ogni corpo posto vicino alla

superficie terrestre.27 / 28



Forza peso

La forza peso da un’accelerazione costante e uniformemente diretta verso ilbasso solo in prima approssimazione.

Un primo effetto correttivo e l’altitudine. La forza peso e un caso particolaredella forza di gravitazione, la cui intensita che dipende dall’inverso delquadrato della distanza tra un corpo e il centro della terra.

Se ci troviamo sulla superficie terrestre ad una distanza r1 = RT = 6.371 kmdal centro della terra, e successivamente ci spostiamo ad un’altitudine∆r = 10 km, ci allontaniamo dal centro della terra portandoci ad unadistanza r2 = r1 + ∆r. Tra l’intensita delle corrispondenti forze peso F1 e F2

vale la relazione:F1

F2=

r22

r21

r22 ≈ r

21 + 2r1∆r

F1

F2≈ (1 +

2∆r

r1)

F1 = F2(1 +2∆r

r1)

F2 ≈ F1(1−2∆r

r1)

Sostituendo i valori numerici vediamo che l’effetto percentuale e di circa il

0.3%.28 / 28

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