CINEMATICA Descrizione geometrica del moto Studiamo: 1) Moto in una dimensione 2) Moto nel piano -...
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CINEMATICA
Descrizione geometrica del moto
Studiamo:
1) Moto in una dimensione
2) Moto nel piano
- Moto uniforme- Moto uniformemente accelerato
- Il caso del grave
- Natura vettoriale delle grandezze cinematiche

CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE
Grandezze fondamentali
velocità scalaremedia in (t1, t2)
velocitàscalare
istantanea
accelerazionemedia in (t1, t2)
accelerazioneistantanea
MKS:m/s
MKS: m/s2
Se vm è la stessa per qualunque intervallo di tempo, il moto si dice: uniforme.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
LEGGIFONDAMENTALI
Se a t = 0, x0 = 0:
Se a t = 0, anche v0 = 0:
Si ricava quindi:
a = cost

Ricapitolando:
a = cost
a = 0
a = costv
t
a = 0v
t
Area = vt Area=

caduta libera lungo la verticale
Moto uniformemente accelerato
Leggi del moto
Se a t = 0, y0 = h e v0 = 0 :
hy
0

SA
LIT
AD
ISC
ES
A
tempo di salita
tempo di caduta
quota raggiunta
velocità finale> v0
distanza percorsa
v0
Salita e discesa
t1 = t2Da cui si ricava:

MOTO IN DUE DIMENSIONIPosizione, velocità e accelerazione sono vettori nel piano
Se r e r+dr sono le posizioni a t e t+dt
La v di un corpo nel piano, in un punto P ha modulo uguale alla v scalare e direzione
tangente alla traiettoria in quel punto
r
y
x
P
L’accelerazione è determinata dai cambiamenti di modulo direzione e verso della velocità

a = cost

LE LEGGI DI CADUTA DEI GRAVI
Sviluppo storico
In che modo un corpo acquista velocità mentre cade?
Leggi che pongono in relazione spazio di caduta, tempo di caduta, e velocità dei gravi in caduta secondo due studiosi del
XIV secolo Alberto di Sassonia e Nicola di Oresme, secondo Leonardo da Vinci (1452-1519) e
Galileo Galilei (1564-1642)Necessità di superare una descrizione qualitativa(forma mentis Aristotelica) mediante misurazioni
quantitative (esperimenti) e linguaggio matematico

Confrontiamo le leggi di Leonardo e Galileo…
Siano sP ed st lo spazio incrementale e lo spazio totale percorsi in successive unità di tempo t
Legge degli interi
consecutivi
Legge dei numeri dispari
LEONARDO GALILEO
Quando t = 1, sP = c, quindi c è numericamente uguale allo spazio che qualsiasi grave percorrerà nella 1° unità di tempo
nel suo moto di caduta. Nel SI, c ha un valore di circa 4,9 m/s2 ed ha lo stesso valore per tutti i gravi che cadono nel vuoto in
prossimità della superficie della Terra.
Quale formulazione scegliere per descrivere la caduta di un grave?
Quella che non entra in contraddizione con l’esperienza

La fotografia mostra la caduta di una sfera in successivi istanti di tempo (CRONOFOTOGRAFIA).
Con gli orologi moderni possiamo studiare direttamente la caduta libera e verificare i risultati di Galileo.
Un dispositivo emette lampi di luce a intervalli di temporegolari: è il nostro orologioorologio.
Tra ogni coppia di immagini consecutive è trascorso lo stesso intervallo di tempo. Si misurano gli spazi percorsi con una scala graduata.
Dati di questo tipo sono ideali per scegliere tra la legge di Leonardo e quella di Galileo per lo spazio percorso in successivi intervalli di tempo.

Scegliamo la legge di Galileo
Spazio percorso tra un lampo ed il consecutivo, sP.
Spazio di caduta
totale st
Spazio di caduta
totale st
GALILEO LEONARDO
cc
3c
5c
7c
9c
11c
….
3c
4c
5c
2c
6c

1) 2)
Sostituendo 1 in 2 si ottiene:
Per h = 0
E quindi per a = cost = 2c:
Questa accelerazione costante è così importante che la denotiamo con un simbolo proprio:
g = accelerazione di gravità
Legge della caduta
dei gravi

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
L’intensità della forza è proporzionale al prodotto delle masse dei punti materiali e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Ogni corpoOgni corpo esistente nell’universo attira ogni altro ogni altro corpocorpo con una forza gravitazionale. G è la costante di costante di gravitazione universale.gravitazione universale.
Le forze di gravitazione esistenti tra due punti materiali (tra loro opposte per il principio di azione e reazione) hanno come retta di applicazione la retta individuata dalle posizioni dei due punti.
universalità
direzione e verso
intensità

È una legge fondamentale di natura…
Spiega la legge empirica di Keplero che pone in relazione il raggio di un orbita R con il suo periodo T: una Forza che decresce come 1/R2 porta ad orbite che sono sezioni coniche (ellissi, cerchi, parabole e iperboli).
“forza gravitazionale in cielo”Spiega la legge empirica di Galileo per la caduta libera dei gravi: la terra esercita sopra ogni corpo una forza di attrazione gravitazionale.
“forza gravitazionale in terra”La fisica della terra diventa identica alla
fisica del cielo

La forza risultante sulla mela si ottiene sommando vettorialmente tutte le forze (F1 , F2 ,…) che si esercitano tra particella della mela e particella della Terra.
Vale il principio di sovrapposizione:
…con il calcolo integrale si dimostra che…due corpi a simmetria sferica che non si toccano si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata nel centro.
la Terra e la mela si possono trattare come punti materiali.
PROPRIETÀ ESCLUSIVA DELLE LEGGI IN CUI LA FORZA È INVERSAMENTE PROPORZIONALE
AL QUADRATO DELLA DISTANZA.

In entrambi i casi il numero di linee di forza che
attraversano la superficie sferica si conserva.
L’intensità della forza esercitata da una sorgente sferica:
RAPPRESENTAZIONE DELL’ INTENSITÀ DEL CAMPO GRAVITAZIONALE CON LE LINEE DI FORZA
(a) (b)
Linee di forza dovute ad una massa puntiforme (a) nel centro di una sfera di osservazione e (b) in un punto decentrato:
(*)
(d)(c)
Linee di forza dovute (c) ad una distribuzione a simmetria sferica di masse puntiformi mi e (d) alla stessa massa totale
di (c) concentrata nel centro. In entrambi i casi il numero di linee di forza che attraversano
la superficie sferica è direttamente proporzionale
alla massa totale della sorgente.
(a), (b), (c), (d) rappresentano la (*)

Determinazione della forza che si esercita su una massa puntiforme (punto materiale), situata all’interno di uno strato sferico.
STRATI SFERICI
La forza gravitazionale dovuta a una massa distribuita simmetricamente su uno strato sferico è:
uguale a quella che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro;
nulla ovunque all’interno dello strato.
Una retta che interseca una sfera forma lo stesso angolo rispetto alla normale alla sfera in entrambi i punti di intersezione.

Diagramma del modulo della forza gravitazionale in funzione della distanza dal centro della Terra nell’ipotesi di massa volumica mv uniforme.
APPLICAZIONE Qual è la forza gravitazionale che si esercita su un corpo posto ad una distanza r dal centro della Terra?
La forza che cerchiamo è dovuta unicamente allo materia contenuta in una sfera di raggio r. Lo strato di materia situato all’esterno del corpo non esercita forza.
orientata radialmente. diretta verso il centro della Terra.
F(r)
rLi
near
e proporzionalea r -2

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ SULLA TERRA
MT
Legge di gravitazione universale+
Secondo principio della dinamicaLegge di Galileo
…da cui: costante!
In prossimità della Terra tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione costante indipendente dalla massa del corpo.
… C.V.D

Le traiettorie di un sasso lanciato orizzontalmente con differenti
velocità da un monte conducono al moto orbitale. (Principia)
IN CONSEGUENZA ALLA FORZA GRAVITAZIONALELA LUNA È IN CADUTA LIBERA SULLA TERRA….
La luna ha la velocità giusta per ruotare intorno alla Terra: cade
continuamente, ma in virtù della curvatura della Terra, non la raggiunge
mai.
Una mela in caduta libera sulla Terra percorre 4,9 m in 1 s; nello stesso tempo la Luna in caduta libera percorre 0,14 cm.
>
Previsione di Newton sullo
spazio di caduta della luna in 1 s
Previsione..

Geometria per determinare lo spazio di caduta della Luna in
un tempo di caduta di 1 s.d = spazio orizzontale che la Luna
percorre in 1 s.
verifica: MOTO REALE DELLA LUNA
Per Pitagora:
Ottimo accordo con il valore previsto teoricamente:un’esperienza eseguita sulla Terra rivela le leggi del cielo.

SATELLITI ARTIFICIALI IN ORBITE CIRCOLARI
Moto circolare uniforme: accelerazione centripeta di modulo costante v 2/r.
Sul satellite agisce la forza gravitazionale:
Tale F impartisce al un’accelerazione centripeta:
l’orbita del satellite è un cerchio.
v
r
MT
msat
Grandezze pertinenti al moto orbitale dei
satelliti
Velocità alla quale la forza gravitazionale terrestre fa sì che lo spazio che il satellite percorre cadendo sia tale da mantenerlo
nella sua orbita.Relazione tra il periodo T ed
il raggio dell’orbita: caso particolare della 3° legge di
Keplero.

FORZA CENTRIFUGA
a0 : è l’accelerazione centripeta (segno -) rispetto
al sistema di riferimento inerzialer : distanza dall’asse di rotazione: velocità angolare del sistema di riferimentov = r: velocità del punto
fC cresce al crescere di r ed è diretta verso
l’esterno: FORZA CENTRIFUGA
Nei sistemi di riferimento che ruotano di moto circolare uniforme rispetto
ad un sistema di riferimento inerziale è presente una forza fC data da:

Esempio: Moto circolare uniforme di un corpo vincolato ad un palo da una fune:
m
m
1) Nel sistema di riferimento inerziale:
Diagramma delle forze:
T = mv2 / r
2) Nel sistema di riferimento in rotazione:
T = mv2 / r fc = mv2 / r

Applicazione: CENTRIFUGHE
Per separare le particelle solide in un liquido,fc ha un’azione più efficace della sola gravità
R
m2R
mgFRIS
mg
Assecentrifuga
…la rotazione genera fc orizzontale…Sulla particella agisce quindi:
FRIS = m 2 R + m g = gravità efficace
AUMENTA LA VELOCITÀ DI DERIVA
centrifugaultracentrifuga
30103
1886,28 103
1010
3604 105
3,6 105
4 108
PROPRIETÀ (S-1) R(cm) 2 R 2 R/g

Studiamo la velocità di deriva
Forza su particella solida di massa m in liquido di massa m0 e viscosità
Gravità efficacecorretta per Archimede
Forzaviscosaresistiva
All’equilibrio FRIS = 0, v = vD
Per una particella sferica di raggio r
K = 6 rVelocità Derivacresce con r2
(corpi grandi!)
:

energia meccanica energia elettrica
Trasformazione
“l’energia di un corpo è la misura del lavoro che esso può compiere in virtù del particolare stato in cui si trova”
L’Energia
“nella mutevolezza delle forme e degli scambi di energia, l’energia totale di un sistema (isolato) si conserva.”
Caratteristica fondamentale di questa grandezza è che ad essa è associato un principio di conservazione :
L’esistenza di principi di conservazione è una delle principali scoperte in fisica e rimane inalterata anche
nella fisica moderna. Accrescono la nostra comprensione della dinamica e ne semplificano l’analisi.

L’Energia presenta una molteplicità di forme e di processi di scambio: lavoro meccanico, energia cinetica, energia potenziale, calore….
Il lavoro rappresenta l’energia impressa ad un corpo da una forza esterna. Una forza compie lavoro ogni volta che produce uno spostamento del corpo su cui agisce.
Nel caso di FORZA COSTANTE:
Il lavoro fatto da una F costante è dato dal prodotto dell’intensità della F per la proiezione dello spostamento subito dal suo
punto di applicazione nella direzione della F .
Nel caso di FORZA VARIABILE:
Il lavoro fatto da una F variabile quando il suo punto di applicazione si sposta da A a B lungo una curva è dato da:
F
Fds
P1 P2ds
l’unita di misuraè il Joule

Energia cineticaInterpretiamo Ecin come: energia associata al moto.
Il lavoro compiuto dalla F modifica l’ Ecin
Se un corpo di muove sotto l’azione di più forze di risultante F :
Grandezza scalareUnità di misura: JouleDipende da m e dallo stato di moto istantaneo di un corpo (v)
…per uno spostamento finito si ottiene:
TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA:
(1° risultato verso l’individuazione di un
principio di conservazione…)
L’ Ecin di un corpo può essere modificata (aumentata E > 0,
diminuita E > 0) quando una forza compie un lavoro L 0
e si ha: L = Ecin

Energia potenziale U
Interpretiamo U come l’energia associata alla posizione.
È la misura del lavoro che un corpo può compiere in virtù della sua posizione in
un campo di forze conservativo.
Tale lavoro non dipende dal percorso per andare dal punto A al punto B, ma solo dalla posizione di A e B.
U è definita a meno di una costante:
è possibile fissare arbitrariamente lo zero dell'energia potenziale senza ambiguità, poiché il lavoro è definito in termini di variazioni di U e la forza come gradiente.
e vale:
A
BI
II

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA TOTALE
L’ENERGIA MECCANICA TOTALE DI UN SISTEMA È UNA COSTANTE DEL MOTO
SE IL SISTEMA È ISOLATO E GLI OGGETTI CHE LO COMPONGONO INTERAGISCONO SOLO MEDIANTE
FORZE CONSERVATIVElllllllllllllll
Si definisce Energia Meccanica la quantità:
Etot = Ecin + U
Legge fondamentale di natura: più efficace e profonda del metodo newtoniano

Applicazione: il piano inclinato
Galileo solleva la sfera alla quota h dotandola di energia potenziale U. Lasciata libera la sfera
acquista velocità v. Durante il moto vale:
θmgh
r
Etot = U = mgh v = 0
Trovo la costante ponendomi in z = h. Vale:
per z
hz
E = mgh
E = mgz + ½ mv²

Si definisce il sistema da studiare.
Si sceglie una posizione di riferimento per U=0 e la si usa coerentemente.
Si scrive l’energia totale del sistema nel punto, per esempio A, in cui si vuole determinare una certa quantità incognita (come la velocità o la quota);
EA = UA + KA.
Si trova un altro punto, per esempio il punto B, in cui si conosce tutto riguardo al moto del corpo e si scrive l’energia
totale in quel punto: EB = UB + KB .
La conservazione dell’energia implica che EA = EB; si
eguagliano le due energie e si risolve rispetto alla quantità incognita.
PROCEDIMENTO GENERALE
IMPORTANTE:Il procedimento vale anche per forze
continuamente variabili