MOTO CIRCOLARE UNIFORME - INFN Sezione di …bartolo/Corso_Fisica_Geo...MOTO CIRCOLARE UNIFORME Ø...
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MOTO CIRCOLARE UNIFORME § Considerate un corpo (pun;forme) che si muove lungo una circonferenza di raggio r con velocita ` v in modulo costante : |v|=costante § il corpo ruota aGorno ad un asse ortogonale al piano della circonferenza § Se |v|=costante si traGa di un moto periodico: dopo un certo tempo T la par;cella ripassa per la stessa posizione (cioe` ha percorso una circonferenza intera) x y r ϑ Dal momento che il corpo si muove sulla circonferenza esso si trovera` sempre ad una distanza |r|=r pari al raggio della circonferenza, e quindi la sua posizione e` univocamente determinata dall’angolo ϑ (ϑ e` una coordinata angolare) O
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MOTOCIRCOLAREUNIFORME
§ Considerateuncorpo(pun;forme)chesimuovelungounacirconferenzadiraggiorconvelocita`vinmodulocostante:|v|=costante§ ilcorporuotaaGornoadunasseortogonalealpianodellacirconferenza
§ Se|v|=costantesitraGadiunmotoperiodico:dopouncertotempoTlapar;cellaripassaperlastessaposizione(cioe`hapercorsounacirconferenzaintera)
x
y
�rϑ
Dalmomentocheilcorposimuovesullacirconferenzaessositrovera`sempreadunadistanza|r|=rparialraggiodellacirconferenza,equindilasuaposizionee`univocamentedeterminatadall’angoloϑ(ϑe`unacoordinataangolare)
O
MOTOCIRCOLAREUNIFORME
Ø PeriodoT:iltempoimpiegatoperpercorrereun’interacirconferenzaT = 2πr
v
Ø Frequenzaν(indicatadallaleGeragrecanu):e`l’inversodelperiodolasuadimensionefisicae`quelladell’inversodiuntempo;lasuaunita`dimisurae`s−1=Hz(Hertz)Lafrequenzamisurailnumerodigirialsecondo.Ø Velocita`angolareω:lavelocita`conlaqualeilraggioveGorer``spazza’’l’angoloθ:
seilcorposimuoveconv=costanteancheω=dθ/dt=costante=Δθ/Δtequindi:unita`dimisurarad/s(radian;alsecondo).N.B.:vedremofrapocochesipuo`definireunavelocita`angolareveGoriale.
ν =1T
ω =dθdt
ω =2πT
= 2πν
MOTOCIRCOLAREUNIFORME
Ø velocita`v:Ilsuomodulovsara`datodaDirezioneeversodellavelocita`v:comesappiamoilveGorevelocita`e`tangenteallatraieGoria,quindinelcasodiunmotocircolaree`ortogonalealraggiodellacirconferenza.
v= 2πrT
=ωr
x
y
�r ϑ
v
MOTOCIRCOLAREUNIFORME
Ø Accelerazionea:Intantono;amocheancheseilmodulodellavelocita`ve`costantec’e`un’accelerazionediversadazero,perche`ladirezionedellavelocita`cambia.Ingeneraleinfa7unve9orepuo`variareneltemposeovariailsuomoduloolasuadirezione(otu9eedue).LosicapiscescrivendoungenericoveGorevcome
!am =Δ!vΔtBRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
(45) a
c
=
v
2
r
= !v = !
2r
(46) a
t
= ↵ r
(47) ! = costante =
d✓
dt
! ✓(t) = ✓0 + !t
(48) x(t) = r cos ✓ = r cos(✓0 + !t);
(49) y(t) = r sin ✓ = r sin(✓0 + !t)
ModulodelveGore
VersoredelveGorecheneindicadirezioneeverso
MOTOCIRCOLAREUNIFORME
Ø Accelerazionea:N.B.:sev=costantegraficamentevuoldirecheiveGorivievfhannolastessalunghezzaQuindiΔv=vf−vi≠0èam≠0ancheseilmodulodellavelocita`v=cost.Daquestoesempiosivedeancheche,mentrelavelocita`veGorialeve`tangenteallatraieGoria,ilveGoreaccelerazioneingeneralenonloe`.Nelcasoches;amoconsiderandodimotocircolareuniformesicapiscechel’accelerazionepuntaversoilcentrodellacirconferenza.
!am =Δ!vΔt
vi
vf
MOTOCIRCOLAREUNIFORME
Ø Accelerazionea:N.B.:sev=costantegraficamentevuoldirecheiveGorivievfhannolastessalunghezzaQuindiΔv=vf−vi≠0èam≠0ancheseilmodulodellavelocita`v=cost.Daquestoesempiosivedeancheche,mentrelavelocita`veGorialeve`tangenteallatraieGoria,ilveGoreaccelerazioneingeneralenonloe`.Nelcasoches;amoconsiderandodimotocircolareuniformesicapiscechel’accelerazionepuntaversoilcentrodellacirconferenza.
!am =Δ!vΔt
vivf
am
MOTOCIRCOLAREUNIFORME
Ø Accelerazionea:IlveGoreaccelerazionee`unveGorechehalastessadirezionedelraggiodellacirconferenza,epuntaversoilcentrodellacirconferenza(siparlainfa^diaccelerazionecentripeta)Ilsuomoduloe`Dimostrazione:sivedaparagrafo4.7apag.65deltesto.
a = v2
r=ω v =ω 2 r
O
MOTOCIRCOLAREGENERICO
§ Inquestocasouncorpo(pun;forme)simuovelungounacirconferenzadiraggiorconvelocita`ilcuimodulonone`costanteneltempomaingeneralecambiadaistanteaistantev=v(t)àilchevuoldirecheanchelavelocita`angolarecambiacoltempoω=ω(t)§ Con;nuaarimanerevalidalaformula§ Perl’accelerazioneveGorialea:adessohaduecomponen;un’accelerazionecentripeta,maancheun’accelerazionetangenziale(cioe`tangenteallacirconferenza).
a=ac+at
v=ω r
MOTOCIRCOLAREGENERICO
at
ac
Infa^scriviamoilveGorevelocita`ancoracome
Allora
Accelerazionetangenzialeat:e`infa^parallelaalveGorevelocita`v.Ilsuomoduloe`
Accelerazionecentripeta;ilsuomoduloe`
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
dv̂
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
c
=
dv
dt
v̂
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
dv̂
dt
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
(45) a
c
=
v
2
r
= !v = !
2r
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
(45) a
c
=
v
2
r
= !v = !
2r
(46) a
t
= ↵ r
OBRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
ˆ
v+ v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
(45) a
c
=
v
2
r
= !v = !
2r
(46) a
t
= ↵ r
(47) ! = costante =
d✓
dt
! ✓(t) = ✓0 + !t
(48) x(t) = r cos ✓ = r cos(✓0 + !t);
(49) y(t) = r sin ✓ = r sin(✓0 + !t)
MOTOCIRCOLAREGENERICO
Ø Accelerazionetangenziale
e`infa^parallelaalveGorevelocita`v(stessoversodivseilmodulodivaumenta,ovverodv/dt>0,versooppostoavseilmodulodivdiminuisce,ovverodv/dt<0).Ilsuovalorenumericoe`datodadoveabbaimointrodoGol’accelerazioneangolareαovverolavariazionedellavelocita`angolareperunita`ditempo(simisurainrad/s2).
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v v̂
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
dv̂
dt
(38) a
c
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
c
=
dv
dt
v̂
(40) ↵ =
d!
dt
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v v̂
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
dv̂
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
c
=
dv
dt
v̂
(40) ↵ =
d!
dt
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
MOTOCIRCOLAREGENERICO
Ø Accelerazionecentripeta
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
Possoancheesprimerlainquestomodo:doveabbiamointrodoGolavelocita`angolareveGorialeω,definitacomequelvePorechehamodulopariallavelocita`angolareω,direzionecoincidentecoll’assedirotazioneeversotaleda``vedere’’larotazioneprocedereinsensoanSorario.
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
Ealloratroviamo(N.B.:ωe`ortogonaleav).cheinfa^perunmotocircolareuniformeridalaformulagia`vista(quipero`veωdipendonodaltempo).
vr
ω
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
MOTOCIRCOLAREGENERICO
Ø Accelerazionecentripeta
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
Possoancheesprimerlainquestomodo:doveabbiamointrodoGolavelocita`angolareveGorialeω,definitacomequelvePorechehamodulopariallavelocita`angolareω,direzionecoincidentecoll’assedirotazioneeversotaleda``vedere’’larotazioneprocedereinsensoanSorario.
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
Ealloratroviamo(N.B.:ωe`ortogonaleav).cheinfa^perunmotocircolareuniformeridalaformulagia`vista(quipero`veωdipendonodaltempo).
vr
ω
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
ac
N.B.:laformulacheesprimecomecambianeltempoladirezionediunveGoreve`completamentegenerale,cioe`valeperunqualsiasigenericoveGorecheistantaneamentes;aruotandoconvelocita`angolareveGorialeω.VasoGoilnomediFormuladiPoisson.
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
MOTOOSCILLATORIOARMONICO
§ Riconsideriamoilmotocircolareuniforme§ Allorasesonointeressatoallecomponen;delmotolungoxey
§ Ovveroleproiezionidiunmotocircolareuniformenellesuecomponen;lungoxeysonodeimoBoscillatoriarmonici(ovverocondipendenzasinusoidaledaltempo)Sitra9adimoBperiodiciconperiodoT=2π/ωTerminologia:r:ampiezzadell’oscillazione(spostamentomassimodelcorpo)θ0:faseinizialeω:pulsazionedell’oscillazione
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
(45) a
c
=
v
2
r
= !v = !
2r
(46) a
t
= ↵ r
(47) ! = costante =
d✓
dt
! ✓(t) = ✓0 + !t
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
(45) a
c
=
v
2
r
= !v = !
2r
(46) a
t
= ↵ r
(47) ! = costante =
d✓
dt
! ✓(t) = ✓0 + !t
(48) x(t) = r cos ✓ = r cos(✓0 + !t);
(49) y(t) = r sin ✓ = r sin(✓0 + !t)
BRIEF ARTICLE 7
Moti circolari
(36) v = |v|v̂ = v
ˆ
v
(37) a =
dv
dt
=
dv
dt
v̂ + v
d
ˆ
v
dt
(38) a
t
=
dv
dt
=
d(!r)
dt
= ↵r
(39) a
t
=
dv
dt
ˆ
v
(40) ↵ =
d!
dt
(41) a
c
= v
d
ˆ
v
dt
(42) v
d
ˆ
v
dt
= v (! ⇥ ˆ
v) = (! ⇥ v)
(43) a
c
= |! ⇥ v| = !v = !
2r =
v
2
r
(44)
d
ˆ
v
dt
= (! ⇥ ˆ
v)
(45) a
c
=
v
2
r
= !v = !
2r
(46) a
t
= ↵ r
(47) ! = costante =
d✓
dt
! ✓(t) = ✓0 + !t
(48) x(t) = r cos ✓ = r cos(✓0 + !t);
(49) y(t) = r sin ✓ = r sin(✓0 + !t)
N.B.:e`lastessacosavistaperunmotore^lineouniforme,solochequis;amousandolavariabileangolareϑ.Bastarifareglistessipassaggisos;tuendoax->ϑ
MOTOOSCILLATORIOARMONICO
§ Nell’esempioconsiderato,cosavuoldireinpra;caaverecheimo;delcorpolungol’assexelungol’asseysonodeimo;oscillatoriarmonici?Immaginatediavereundiscocheruotaconvelocita`angolarecostanteefissateunchiodosulbordodeldisco(quindiadistanzardalcentro).Poiosservateildiscoditaglio:vedreteappuntoilchiodocheperiodicamenteripassaperlaposizioneinzialeeappuntooscillatra–redr
�
x
y ω+r
−r
RIFERIMENTIPERIMOTICIRCOLARI
Sistudinoiseguen;paragrafidellibro:- Dalparagrafo10.1alparagrafo10.5.- Paragrafo15.1,15.2e15.7
