Moto circolare uniforme e

uniformemente accelerato

§  Grandezze angolari

§  Caratteristiche cinematiche del moto

circolare uniforme

§  Caratteristiche cinematiche del moto

circolare uniformemente accelerato

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Moto circolare uniforme Moto di un punto materiale lungo una circonferenza (o un arco di circonferenza) di raggio r a velocità costante in modulo.

Il vettore velocità istantanea è costante in modulo, varia in direzione ed è tangente alla circonferenza.

Vettore posizione §  ha modulo costante pari al raggio della circonferenza §  ruota alla medesima velocità del punto; varia la sua direzione

ma si mantiene sempre ortogonale alla velocità.

!r

Traiettoria à circonferenza

r

!v

y

x

rr

!v

!r!v

t0

t1

t2

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

L’accelerazione nel moto circolare uniforme

P Q

!r

!r

ac =v2

r

!ac !ac

Il modulo dell’accelerazione centripeta è costante e vale:

Il vettore velocità è costante in modulo ma cambia continuamente direzione

Il corpo è soggetto ad un’accelerazione centripeta, diretta radialmente verso il centro

della circonferenza che definisce la traiettoria.

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Grandezze cinematiche angolari

Q

P θ

Si consideri il moto di un punto materiale su un arco di circonferenza tra i punti P e Q durante un certo intervallo di tempo Δt.

x

y

!r

θ > 0: verso antiorario

θ < 0: verso orario

La posizione angolare del punto in Q è definita come l’angolo θ formato da e il semiasse positivo x (scelto come semiretta di riferimento). Per convenzione:

!r

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Durante questo moto, mentre il vettore spostamento ruota di un angolo θ, il punto percorre una distanza s pari alla lunghezza dell’arco descritto.

La lunghezza s dell’arco da P a Q vale

Lunghezza di un arco e distanza angolare

Q

P θ x

y s =θ ⋅ r

La distanza angolare tra P e Q è l’ampiezza dell’angoloθ in radianti:

θ =sr

con θ espresso in radianti

Per convertire un angolo da gradi a radianti: θ(gradi) :180 =θ(rad) :π ⇒θ(rad) = π

180θ(gradi)

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Velocità angolare

P

Q x

y La velocità angolare indica la variazione della posizione angolare (ossia l’angolo percorso dal raggio vettore) nel tempo.

ω =dθdt

!v

!ω

!v

!ω

Rotazione in senso antiorario Rotazione in senso orario

La velocità angolare è un vettore con direzione perpendicolare al piano di rotazione e verso dipendente dal senso di rotazione.

!ω

MANO DESTRA

ωm =ΔθΔt

>> Unità di misura nel SI: rad/s

ω MEDIA ω ISTANTANEA !r

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Relazione tra velocità angolare e tangenziale

La velocità istantanea del corpo in moto lungo l’arco di circonferenza (detta velocità tangenziale o periferica) può essere scritta come:

dtsdv =

s =θ ⋅ r

v = dsdt= r dθ

dt= rω

La lunghezza s dellʼ’arco si può esprimere come:

Sostituendo (2) in (1) si ricava

(1)

(2)

P

Q θ x

y

!r

!v

Relazione vettoriale

Relazione tra i moduli v =ω ⋅ r⇔ω =vr

Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è costante in modulo, direzione e verso.

!v = !ω × !r

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Legge oraria del moto circolare Possiamo descrivere il moto del punto materiale lungo la circonferenza definendo come varia nel tempo la sua posizione angolare anziché definire come variano nel tempo le sue coordinate x ed y.

θ −θ0 =ω(t − t0 )

y

x

r!r

!v

θ0

t0

!ω

ω =θ −θ0t − t0

Siano θ e θ0 le posizioni angolari del punto ai tempi t e t0; essendo ω è costante in modulo:

La legge oraria trovata consente di determinare la posizione angolare θ del punto a un generico istante t, note la sua posizione

angolare iniziale θ0 e la velocità angolare ω

θ =θ0 +ω(t − t0 )

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Il moto circolare uniforme è periodico

T = 2πrv

Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto, percorrendo con velocità costante una circonferenza, ad intervalli regolari di tempo (ossia ad ogni giro) il corpo torna nella posizione iniziale.

Il periodo è il tempo impiegato dal corpo a percorrere una (sola!) volta la circonferenza:

T = 2πω

La frequenza è l’inverso del periodo ed indica il numero di giri nell’unità di tempo (un secondo):

f = 1T=ω2π

=v2πr

y

x

r !r

!v!ω

>> Unità di misura nel SI: 1/s = Hz (hertz)

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Moto di un punto materiale lungo una circonferenza (o un arco di circonferenza) di raggio r con accelerazione tangenziale costante in modulo.

Si può osservare che:

§  Il vettore velocità tangenziale varia anche in modulo.

§  Se varia il modulo della velocità tangenziale ü  varia anche la velocità angolare

ü  varia il modulo della accelerazione centripeta

§  Se varia la velocità angolare si ha

un’accelerazione angolare

v

y

x

r

!at!ac!a

Moto circolare uniformemente accelerato

ω =vr

ac =v2

r!a = !ac +

!ata = ac

2 + a2t

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Accelerazione angolare

Se la velocità angolare di un corpo aumenta o diminuisce nel tempo, il corpo è soggetto ad un’accelerazione angolare.

Accelerazione angolare media: Accelerazione angolare istantanea:

αm =ΔωΔt

α = limΔt→0

ΔωΔt

=dωdt

>> Unità di misura: radianti/s2 (rad/s2)

Se la direzione dell’asse di rotazione non varia, α è un vettore che ha la stessa direzione dell’asse, e quindi di ω.

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

!at =!α ×!rat =

dvdt

v =ωr

!

"#

$#⇒ at =

d(ωr)dt

=dωdtr =αr

Accelerazione angolare e accelerazione tangenziale

Se il modulo della velocità angolare varia, anche il modulo della velocità tangenziale at varia.

Legame tra accelerazione (istantanea) angolare e tangenziale:

!v

!ω

!r!at

!α

!v

!ω

!at

!α

!r

Esempio: Rotazione in senso antiorario.

Accelerazione Decelerazione

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Legge oraria del moto circolare uniformemente accelerato

dωd t

=αdθd t

=ω(t)

ω(0)=ω0 θ(0)=θ0

Risolviamo l’equazione differenziale del I ordine

ω(t) = α dt∫ + c =α dt∫ + c =

=αt + c

Imponiamo la condizione iniziale

ω(0) =α ⋅0+ c =ω0 → c =ω0

ω(t) =α ⋅ t +ω0

θ(t) = ω(t)dt∫ + c2 =

(α ⋅ t +ω0 )dt∫ + c2 =12αt2 +ω0t + c2

θ(0) = 12α ⋅0+ω0 0+ c2 =θ0→ c2 =θ0

θ(t) = 12α ⋅ t2 +ω0 ⋅ t +θ0

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF

Equazioni cinematiche del moto circolare uniformemente accelerato

Legge oraria: angolo in funzione del tempo

ω =ω0 +α t

Attenzione al segno dell’accelerazione!

Velocità angolare in funzione del tempo

Le leggi del moto rotazionale con accelerazione angolare costante hanno la stessa forma funzionale delle leggi del moto rettilineo uniform. accelerato. Si ottengono le une dalle altre sostituendo:

ϑ −ϑ 0 =ω0 t +12α t2

MOTO UNIFORME

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

θ =θ0 +ω tx = x0 + vt

A.S

ola

no -

Fis

ica

- C

TF