Quantit a di moto prima e dopo l’urto - o il fenomeno impulsivo,...

Urti

Corporigido

Urto tra corpi

I fenomeni di urto tra corpi sono difficilmente modellizzabili edescrivibili in termini di equazioni del moto, perche le forze cheagiscono sui corpi nell’urto sono impulsive e non note.

Una descrizione dei fenomeni di urto puo essere invece moltosemplificata dall’applicazione dei concetti di:

Quantita di moto prima e dopo l’urto - o il fenomeno impulsivo,qualunque esso sia;

Invarianza della quantita di moto in assenza di forze esterne -impulsive, eventualmente - durante l’urto, e consequentemente:

Invarianza del moto del centro di massa del sistema anche inpresenza di urti tra corpi che compongono il sistema, in quantodinamiche provocate da forze interne

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Urto tra due corpi

Due corpi di massa m1 e m2 collidono con velocita, primadell’urto, pari a v1 e v2, collineari. Assumiamo che durante l’urtosul sistema formato dai due corpi non agiscono forze esterneimpulsive. Quindi possiamo affermare che:

La quantita di moto totale si conserva

il moto del centro di massa del sistema e invariato prima edopo l’urto.

Le grandezze incognite nel dopo urto sono le due velocita finalidei corpi, ed abbiamo a disposizione un principio di conservazione(quello della quantita di moto totale), per cui possiamo solodeterminare una delle due velocita in funzione dell’altra:

vCM =1

m1 +m2(m1v1 +m2v2) =

1

m1 +m2(m1v1f +m2v2f )

∆Pcm = 0 = ∆P2 + ∆P1 → v2f = v2 −m1

m2(v1f − v1)

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Secondo teorema di Koenig

A seguito dell’urto possiamo avere una variazione di energiacinetica, perche in generale non e detto che le forze agentinell’urto non compiano lavoro.

L’energia cinetica del sistema e la somma di tutte le energiecinetiche dei suoi componenti. Visto che abbiamo fin’ora trattatocorpi estesi come corpi puntiformi anche per quel che riguardal’energia cinetica e ragionevole pensare che sia possibile associareal moto del centro di massa un’energia cinetica.

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Consideriamo un sistema con n corpi di massa mi e velocita vi.Se introduciamo la velocita v′

i per ognuno dei corpi come lavelocita che hanno nel sistema di riferimento in moto con lavelocita del centro di massa abbiamo la relazione: vi = vcm +v′

i.Con queste grandezze costruiamo l’energia cinetica:

Ec =∑i

1

2miv

2i =

∑i

1

2mi(vcm + v′

i)2

∑i

1

2mi(vcm + v′

i)2 =

1

2vcm

2∑i

mi +∑i

1

2mi(v

′i)

2 +

+ vCM ·∑i

miv′i =

=1

2Mtotv

2cm + E′c + vCM ·

∑i

miv′i

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Ec =∑i

1

2miv

2i =

∑i

1

2mi(vcm + v′

i)2

∑i

1

2mi(vcm + v′

i)2 =

1

2vcm

2∑i

mi +∑i

1

2mi(v

′i)

2 +

+ vCM ·∑i

miv′i =

=1

2Mtotv


∑i

miv′i

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Ec =∑i

1

2miv

2i =

∑i

1

2mi(vcm + v′

i)2

∑i

1

2mi(vcm + v′

i)2 =

1

2vcm

2∑i

mi +∑i

1

2mi(v

′i)

2 +

+ vCM ·∑i

miv′i =

=1

2Mtotv


∑i

miv′i

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Ec =1

2Mtotv

2cm + E′

c + vCM ·∑i

miv′i =

1

2Mtotv

2cm + E′

c

”L’energia cinetica puo essere scomposta in energia cineticacalcolata nel sistema solidale al centro di massa piu l’energiacinetica associata al moto del centro di massa”

La grandezza∑

imiv′i e nulla. Infatti:∑

i

mivi =∑i

mivcm +∑i

miv′i

Ptot = Pcm +∑i

miv′i

Ptot = Pcm →∑i

miv′i = 0

”Nel sistema del centro di massa la quantita di moto totale enulla”7 / 41

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Ec =1

2Mtotv

2cm + E′

c + vCM ·∑i

miv′i =

1

2Mtotv

2cm + E′

c


La grandezza∑


i

mivi =∑i

mivcm +∑i

miv′i

Ptot = Pcm +∑i

miv′i

Ptot = Pcm →∑i

miv′i = 0


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Urto tra due corpi

Possiamo comprendere meglio cosa succede in un urto se usiamol’informazione che il moto del centro di massa e cosı purel’energia cinetica associata al centro di massa sono invariati dopol’urto.

∆Ec = ∆(1

2Mtotv

2cm) + ∆E′

c = ∆E′c

Calcoliamo dunque la variazione dell’energia cinetica ponendocinel sistema del centro di massa (SCM):

P ′f = P ′

i = 0→ v′2f = − m1

m2v′1f e analogamente v′2i = − m1

m2v′1i

∆E′c =

1

2m1(v′1f )2 +

1

2m2(v′2f )2 − 1

2m1(v′1i)

2 − 1

2m1(v′2i)

2 =

=1

2m1(1 +

m22

m21

)((v′1f )2 − (v′1i)2) =

=1

2m1(1 +

m22

m21

)((v1f − vcm)2 − (v1i − vcm)2) = ∆Ec

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Urto tra due corpi

Nei grafici sono mostrate, in funzione della velocita finale delcorpo ”uno” nel sistema del laboratorio (SL), la velocita delcorpo ”due” nel SL e la variazione di energia cinetica del sistemasempre nel SL, per m1 = 1 kg, v1 = 1 m/s, m2 = 2 kg,v2 = −2 m/s.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−2

0

v1f

v 2f

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

20

40

60

80

v1f

∆E

c

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Urto tra due corpi


−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−2

0

v1f

v 2f

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

20

40

60

80

v1f

∆E

c

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Urto tra due corpi


−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−2

0

v1f

v 2f

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

20

40

60

80

v1f

∆E

c

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Urto tra due corpi


−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−2

0

v1f

v 2f

−6 −4 −2 0 2 4 6

0

20

40

60

80

v1f

∆E

c

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Urto tra due corpi completamente anaelastico edelastico

La variazione in negativo massima dell’energia cineticacorrisponde ai corpi fermi nel SCM, quindi corpi con la stessavelocita - quella del centro di massa - nel SL. In queste condizionisi parla di urto completamente anaelastico.

Nel caso invece di ∆Ec = 0 parliamo di urto elastico. Nel SCMquesto avviene in due casi:

v′f = v′i, ovvero niente urto.

v′f = −v′i.

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Urto tra due corpi completamente anaelastico edelastico

Visto che per un urto elastico sappiamo la velocita nel SCM,trovare le corrispondenti velocita nel SL e semplice:

vCM =1

m1 +m2(m1v1 +m2v2)

1v′i = v1 − vCM = v1 −

1

m1 +m2(m1v1 +m2v2)

1v′f = −1v

′i = vCM − v1

1vf =1 v′f + vCM = 2vCM − v1 = 2

m2

m1 +m2v2 +

m1 −m2

m1 +m2v1

2vf = 2vCM − v2 = 2m1

m1 +m2v1 +

m2 −m1

m1 +m2v2

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Corpo rigido

Un corpo viene definito rigido se per ogni coppia di punti si mantieneinvariata la distanza.

Se consideriamo un corpo rigido e lo spostiamo nello spazio e facilerendersi conto che il moto e caratterizzabile come spostamento del CMe rotazione degli assi che formano il SCM.

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Si puo dimostrare che in generale per descrivere la posizione nellospazio di un corpo rigido sono necessari sei parametri: laposizione del centro di massa (tre parametri) e l’orientamentodegli assi (tre angoli - detti ”di Eulero”). Quindi un corpo rigidonon e equivalente ad un punto materiale, la cui posizione edescritta da tre parametri.

Noi per lo piu analizzeremo moti in cui la posizione del centro dimassa e la rotazione intorno ad un asse fisso nel SL sarannosufficienti per descrivere il moto. In questi moti due parametriche servono ad identificare l’orientamento dell’asse di rotazione -”latitudine e longitudine” sono fissi, e quindi solo quattroparametri descrivono completamente il moto.

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Moto con asse fisso

Prendiamo un corpo rigido in rotazione con una certa velocita angolareω(t) attorno ad un asse fisso e mettiamoci nel SCM, con un asse - disolito z - orientato lungo l’asse di rotazione, con la convenzione che ilverso sia quello dato dalla ”regola della vite”...

Ogni particella mi del corpo ha una posizione ri(t) e una velocita vi(t);la rigidita del corpo e la fissita dell’asse di rotazione implicano che ilmoto e circolare, di raggio Ri, con velocita di modulo v(t) = ω(t)Ri.

vP = |R|ω

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Energia cinetica

Per trovare l’energia cinetica di un corpo in rotazione attorno adun asse fisso, per esempio z, basta sommare le energie cinetichedi tutti i suoi componenti:

Ec(t) =∑i

1

2miv

2i (t) =

∑i

1

2miω

2(t)r2i =

=1

2ω2(t)

∑i

mir2i

La grandezza I =∑

imir2i =

∫V dmr2, con r distanza tra un

punto del volume del corpo e l’asse di rotazione si chiama”Momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione”. E unacaratteristica geometrica del corpo. Si parla SEMPRE dimomento d’inerzia rispetto ad un asse.

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Momento d’inerzia

A titolo di esempio calcoliamo il momento d’inerzia di un astasottile rispetto ad un asse passante per il suo centro.

dm = dxρ =M

Ldx

I =

∫dmr2 =

M

L

∫ L/2

−L/2

dxx2 =

=M

L((L/2)3

3− (−L/2)3

3) =

1

12ML2

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Momento d’inerzia


dm = dxρ =M

Ldx

I =

∫dmr2 =

M

L

∫ L/2

−L/2

dxx2 =

=M

L((L/2)3

3− (−L/2)3

3) =

1

12ML2

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Momento d’inerzia


dm = dxρ =M

Ldx

I =

∫dmr2 =

M

L

∫ L/2

−L/2

dxx2 =

=M

L((L/2)3

3− (−L/2)3

3) =

1

12ML2

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Teorema di Huygens-Steiner

Noto il momento d’inerzia rispetto ad un asse passante per il CMe possibile determinare il momento d’inerzia rispetto ad un altroasse parallelo al primo, posto a distanza d.

Poniamo senza perdere di generalita di conoscere il momento

d’inerzia di un corpo rispetto all’asse z′, e sempre senza perderedi generalita prendiamo un sistema di riferimento in cui l’asse z e

parallelo a z′ e la posizione del centro di massa erCM = (xCM , yCM ), con x2CM + y2CM = d2. Abbiamo cheri = rCM + r′i, dove r′i e la posizione di un punto nel SCM.

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Abbiamo dunque:

I =∑i

mir2i =

∑i

mi(rCM + r′i)2 =

=∑i

mi((xCM + x′i)2 + (yCM + y′i)

2) =

=∑i

mi(x2CM + y2CM ) +

∑i

mi((x′i)2 + (y′i)

2)+

+ 2xCM

∑i

mix′i + 2yCM

∑i

miy′i =

=∑i

mi(x2CM + y2CM ) +

∑i

mi((x′i)2 + (y′i)

2)

I = Md2 + I ′

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Momento d’inerzia

Come esempio di applicazione del teorema di Huygens-Steinercalcoliamo il momento d’inerzia di un asta sottile rispetto ad unasse passante per un’estremita, usando il momento d’inerziarispetto ad un asse passante per il CM calcolato in precedenza.Abbiamo:

I = ICM +M(L/2)2 =

=1

12ML2 +

1

4ML2 =

1

3ML2

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Momento d’inerzia

Come esempio di applicazione del teorema di Huygens-Steinercalcoliamo il momento d’inerzia di un asta sottile rispetto ad unasse passante per un’estremita, usando il momento d’inerziarispetto ad un asse passante per il CM calcolato in precedenza.Abbiamo:

I = ICM +M(L/2)2 =

=1

12ML2 +

1

4ML2 =

1

3ML2

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Tabella momenti d’inerzia

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Momento d’inerzia di un cilindro cavo

Per calcolare momenti d’inerzia di oggetti con cavita di formaregolare puo essere utile ”realizzare” il foro come una zona in cuisi sovrappongono due oggetti di cui uno di densita negativa: inquesto modo il foro e un’area a densita zero.

Come esempio consideriamo il cilindro cavo di raggio interno R1,raggio esterno R2, massa M e altezza h, e determiniamone ilmomento d’inerzia rispetto ad un asse passante per l’asse delcilindro.

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Momento d’inerzia di un cilindro cavo

Abbiamo:

I = IR2 − IR1 =1

2M2R

22 −

1

2M1R

21 =

1

2(ρπR2

2h)R22 −

1

2(ρπR2

1h)R21 =

1

2(ρπh)(R4

2 −R41) =

=1

2(ρπh)(R2

2 −R21)(R2

2 +R21) =

1

2M(R2

2 +R21)

Occorre in generale prestare attenzione alla normalizzazione dellamassa dell’oggetto ottenuto sommando o sottraendo varie formeelementari.

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Pendolo semplice

Usiamo quanto visto fin’ora per trovare l’equazione del moto diun pendolo.

Abbiamo che:

L’energia meccanica si conserva

La forza peso agente sulla massaM e equivalente a quella su uncorpo puntiforme di massa M ,abbiamo cheU(θ(t)) = −MgR cos(θ(t)) -U(θ = π/2) = 0.

L’energia cinetica e data da

Ec = 12I(

dθ

dt)2 =

12(MR2 + 0)(

dθ

dt)2 - nell’ipotesi

che il corpo sia cosı piccolo datrascurarne il momento d’inerziarispetto al CM.

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Pendolo semplice

Emecc = Ec + U =1

2MR2(

dθ

dt)2 −MgR cos(θ(t))

dEmecc

dt= MR2(

dθ

dt)(d2θ

dt2) +MgR sin(θ(t))(

dθ

dt) = 0

(d2θ

dt2) +

g

Rsin(θ(t)) ≈ (

d2θ

dt2) + ω2θ(t) = 0 con ω =

√g

R

θ(t) = A sin(ωt+ φ)

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Pendolo composto

Quando al posto di un oggetto puntiforme facciamo oscillare uncorpo rigido vincolato ad un asse passante per un suo puntoparliamo di ”pendolo composto” o ”pendolo fisico”.

U(θ(t)) = −Mgd cos(θ(t))

Ec =1

2I(

dθ

dt)2

(d2θ

dt2) +

Mgd

Isin(θ(t)) ≈

≈ (d2θ

dt2) + ω2θ(t) = 0

con ω =

√Mgd

I

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Pendolo composto

Come esempio di pendolo composto consideriamo il pendolo compostoda un filo di massa nulla di lunghezza L e una sfera di massa m eraggio r. Il momento d’inerzia rispetto all’asse passante per il punto disospensione e:

I = ICM +md2 =2

5mr2 +m(L+ r)2

e la pulsazione:

ω =

√Mgd

I=

√g(L+ r)

( 25 r

2 + (L+ r)2)I =

= ω0

√1

( 25

r2

(L+r)2 + 1)

Notiamo che ω < ω0: cio e dovuto al fatto che nel caso del pendolo

fisico parte dell’energia cinetica ricavata dalla discesa del CM e usata

per mettere in rotazione la sfera.36 / 41

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Momento della quantita di moto

Per un oggetto che ruota non si puo parlare di conservazionedella quantita di moto, in quanto in ogni istante le velocita deicorpi sono diverse. Occorre trovare una grandezza che si conserviper oggetti in rotazione uniforme.

Nel caso di oggetti in moto rettilineo non sottoposti a forze

abbiamo chedEc

dt= 1

2m

dP 2

dt= 1

2m PdP

dt= 0 quando

P = K. La corrispondente grandezza per un oggetto di massa min rotazione con velocita angolare ω su una circonferenza di

raggio r edEc

dt= 1

2I (mr rω)dmr rω

dt= 1

2I (mr v)dmr v

dt.

Quindi l’equivalente della grandezza vettoriale P e una grandezzail cui modulo e |L| = mrv. Tuttavia non possiamo costruirequesta grandezza con il prodotto scalare che conosciamo, perchenel moto circolare i vettori velocita e posizione sonoperpendicolari tra di loro.

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Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale e una operazione binaria che ha comeargomento due vettori, e restituisce un terzo vettore. Dati duevettori A, B si ha per C = A×B :

Il modulo di C e |A||B| sin(θ), con θ angolo compreso traA e B.

C e perpendicolare al piano individuato da A e B, e quindiad ognuno di essi.

Il prodotto vettore e nullo se A e B sono paralleli.

Il verso di C si determina con la ”regola della manodestra”...

Il prodotto vettore e anticommutativo: se C = A×B alloraB×A = −C = −A×B

Il prodotto vettore e distributivo: se(A + A′)×B = A×B + A′×B

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ω = zω

ri = Ri + ri ‖ ωvP = ω×ri = ω×Ri

vP = |Ri|ω perche Ri ⊥ ω

L’origine O puo esserein una qualsiasi posizionedell’asse di rotazione...

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Momento Angolare

Il Momento Angolare della Quantita di Moto permette didescrivere la cinematica - e dinamica - dei rimanenti treparametri del corpo rigido.

Definiamo il Momento Angolare - SEMPRE rispetto ad un puntoO chiamato ”POLO” come:

L = m (r(t) − rO(t))×v(t) (1)

. Dalla definizione segue che:

Un oggetto in moto rettilineo uniforme ha momentoangolare costante - eventualmente nullo quando il polo epreso sulla traiettoria.Un oggetto in moto circolare ha momento angolare rispettoal centro della circonferenza di raggio R percorsa|L| = mv(t)R, diretto perpendicolarmente al piano dellacirconferenza e orientato secondo il verso di rotazioneseguendo la ”regola della vite”41 / 41

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