DINAMICA DEI CORPI ELASTICI E CONCETTI DI BASE DELLE VIBRAZIONI Mirko RINCHI Scopo: mettere in evidenza le caratteristiche fondamentali delle strutture vibranti Cosa una vibrazione ? La vibrazione un fenomeno caratterizzato da moti alternati di piccola ampiezza ed alta frequenza spesso sovrapposti al movimento cinematico degli organi delle macchine. Problemi delle vibrazioni nelle macchine e negli impianti: rotture per fatica; impossibilit di mantenere le prestazioni di progetto; accoppiamento vibroacustico con emissione di rumore; possibili effetti dannosi sulluomo. Come si giustifica una vibrazione dal punto di vista fenomenologico? La vibrazione si genera per le propriet elastiche delle strutture e coinvolge trasferimenti tra energia potenziale elastica ed energia cinetica. Il fenomeno si manifesta anche in assenza di forze esterne eccitatriciallorch si perturba lo stato del corpo imponendo ad esso una variazione del suo stato di moto (condizioni iniziali).Nella sperimentazione si osserva che in conseguenza di una perturbazione delle condizioni iniziali di quiete della struttura e in assenza di forzanti esterne i fenomeni vibratori tendono ad attenuarsi pi o meno rapidamente nel tempo. Se consideriamo soltanto le forze elastiche e le forze dinerzia non si giustifica il decadimento dellampiezza dei fenomeni vibratori (la loro ampiezza resta costante e dipende solo dalla perturbazione imposta al tempo t=0, il che sta a significare che la forza elastica e quella dinerzia sono entrambe forze conservative). Occorre pertanto introdurre effetti dissipativi, pi o meno forti, che ad ogni ciclo di oscillazione assorbano una quota parte dellenergia totale (somma di quella elastica e di quella cinetica). Queste forze, che possono essere di diversa natura si chiamano forze smorzanti.Come si affronta lo studio di un fenomeno vibratorio ? Come tutti i fenomeni di interesse ingegneristico le vibrazioni meccaniche possono essere affrontate in via teorica o in via sperimentale. Definizioni: modello fisico - schematizzazione esemplificativa che si effettua partendo dallanalisi della struttura vibrante (organo di macchina, manufatto di interesse civile, impianto completo, ecc.); modello matematico - trasposizione sotto forma diespressioni matematiche del modello fisico - le vibrazioni meccaniche si traspongono in problemi matematici basati su equazioni differenziali, cio su legami analitici che coinvolgono gli spostamenti dei punti della struttura e le derivate degli spostamenti stessi, in genere fino al secondo ordine. Come si classificano i modelli fisico-matematici con cui si studiano le vibrazioni? Modelli a parametri concentrati(lumped models) Si schematizza la struttura come se fosse composta da pi elementi nei quali si concentra solo una propriet meccanica. Avremo cos elementi dotati solo di propriet inerziali ed altri privi di massa ma capaci di sviluppare la forza. Il loro modello matematico basato su equazioni differenziali ordinarie. Modelli a parametri distribuiti(continuous models) Si attribuiscono le propriet meccaniche l dove si trovano e cio allinterno del corpo punto per punto del suo volume. Il loro modello matematico basato su equazioni alle derivate parziali. Modelli lineari Danno modelli matematici basati su equazioni differenziali ordinarie lineari. Modelli nonlineari Danno modelli matematici basati su equazioni differenziali ordinarie non lineari. Come si estrae il modello fisico di una struttura vibrante? Modelli a parametri concentrati Dipende dalla esperienza e abilit del progettista. In genere si ottengono modelli attendibili solo per strutture molto semplici in cui le propriet di massa e quelle di elasticit sono ben separate. Un caso particolare, abbastanza ben modellabile, rappresentato dai sistemi meccanici articolati in presenza di elementi di forza inseriti dal progettista (molle, ammortizzatori, etc) (MULTIBODY SYSTEM). Modelli a parametri distribuiti Non presentano difficolt concettuali per essere in qualche modo ideati, in quanto la struttura viene descritta cos come disegnata e si pu far ricorso a note teorie della meccanica dei solidi. Le difficolt sono di tipo matematico perch si perviene a strutture algebriche basate su equazioni differenziali alle derivate parziali che in genere non si sanno risolvere in forma chiusa. E necessario ricorrere a soluzioni numeriche (ad. Esempio con metodi alle differenze finite) Si ricorre a metodi tradizionali oppure a tecniche automatiche di discretizzazioneMETODO TRADIZIONALI TECNICHE DI DISCRETIZZAZIONE La pi diffusa il metodo agli elementi finiti F.E.M. (Finite Element Method) Caratteristiche dei codici F.E.M. - Si suddivide la struttura in tante porzioni (Elementi) individuate da punti particolari (nodi). Le propriet meccaniche dellelemento si distribuiscono allinterno stesso attraverso funzioni di forma scelte arbitrariamente ma tali da far coincidere nei nodi le propriet meccaniche del continuo con quelle ivi attribuite dalle funzioni di forma stesse. Il problema dello studio di un sistema vibrante viene quindi svolto seguendo la storia del solo spostamento dei nodi; gli elementi pi comuni conducono alla soluzione di un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, che si affronta con tecniche analitiche standard. Come si estrae il modello fisico di una struttura vibrante? Esempi di modelli fisici a parametri concentrati Un auto con le sue sospensioni- con questa schematizzazione il modello ha, nel piano, 4 gradi di libert ( lo spostamento verticale delle due coppie di ruote (anteriori e posteriori), il moto verticale e quello di beccheggio dello chassis).Se interessano solo gli spostamenti verticali dello chassis si pu mettere a punto un modello piano a 2 gradi di libert (moto verticale dello chassis e delle 4 ruote assieme). N.B. da questo semplice esempio risalta immediata la seguente considerazione: non esiste un unico modello di un dato sistema meccanico; la validit del modello dipende da ci che si vuole studiare e dalla sensibilit del tecnico. Il modello di un carroponte pu essere diverso a seconda delle sollecitazioni a cui sottoposto e dal tipo di effetti che si vuole studiare.Trave rigida: si suppone rigida la trave su cui scorre il carrello se interessano solo le vibrazioni verticali del carico generate dall'elasticit del cavo. Trave flessibile: si suppone flessibile la trave su cui scorre il carrello se interessano oltre alle vibrazioni verticali del carico anche le sollecitazione sulla trave e sui supporti (per un dimensionamento). Esempi di modelli fisici Rotore continuo o a parametri concentrati Con rotori del tipo riportato nella figura, pur essendo evidentemente sistemi continui, si fa spesso lipotesi di concentrare le propriet di massa nella parte dellalbero di maggior diametro (assimilabile ad un disco rigido), mentre le propriet elastiche vengono concentrate nelle parti che hanno sezione minore e quindi sono pi facilmente deformabili. Il modello del sistema diventa a masse concentrate e, finch ci si limita ad analizzare il comportamento del rotore alle basse frequenze, molto pi comodo ed i risultati sono vicini alla realt. Esempi di modelli fisici Vibrazioni torsionali di un rotore - si immagina il rotore formato da tanti dischi rigidi intercalati da tratti elastici. I grafici sottostanti indicano due possibili deformazioni torsionali dellalbero durante la vibrazione Vibrazioni di un fabbricato sottoposto ad un evento sismico Si soppongono rigidi i solai e si concentra lelasticit del sistema nei pilastri portanti supposti perfettamente flessibili. Come si affronta un problema teorico di vibrazioniProblema di vibrazioni Scelta del modello Parametri concentrati (lumped model) Parametri distribuiti Equazioni differenziali ordinarie Equazioni differenziali alle derivate parziali Discretizzazione agli Elementi Finiti N.B. dallo schema logico della procedura appare chiaramente perch lo studio dei modelli a parametri concentrati sia di fondamentale importanza: ad essi infatti si perviene automaticamente attraverso studi dinamici agli elementi finiti. Caratteristiche dei modelli matematici lineari a parametri concentrati Il modello si distingue in base ai gradi di libert posseduti: modelli a un grado di libert, rappresentati da equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti; modelli a N gradi di libert, rappresentati da sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti.Il pi completo modello lineare a un grado di libert ha il modello fisico e il modello matematico sottostanti: m k c f0 e jet Modello fisico Modello matematico (equazione di moto) e f k xdtdxcdtx dmt j022e= + +Smorzatore viscoso Forza di inerzia Forzaviscosa Forzamolla Forza esterna di tipo armonico x = spostamento verticale della massa m Il presente modello matematico consente di studiare gli spostamenti della massa rispetto alla condizione di equilibrio statico. Il peso (come una qualsiasi forza costante) influenza solo la posizione di equilibrio ma non le vibrazioni attorno ad essa, e viene quindi trascurato nei problemi di dinamica.Con quali componenti fisici si realizzano modelli lineari? Gli unici elementi di forza utilizzabili per costruire modelli matematici lineari sono molle elastiche e smorzatori viscosi. Le relazioni costitutive, che legano forza e cinematica della deformazione sono ricordate neri riquadri sottostanti. MOLLA LINEARE x Fe Fe = k x Fe - forza esercitata dalla molla k - rigidezza della molla x - deformazione della molla SMORZATORE VISCOSO dx/dt Fv Fv = c dx/dt Fv - forza esercitata dallo smorzatore viscoso c - coefficiente di smorzamento viscoso dx/dt - velocit di deformazione dellosmorzatore viscoso ok = tang(o) oc = tang(o) Soluzione del modello a parametri concentrati di pag. 14 Soluzione matematica dellequazione Essendo una equazione differenziale lineare (la x e derivate hanno tutte esponente 1), la soluzione (legge oraria del moto) risulta dalla somma di due componenti: la soluzione xt (t) dellequazione omogenea associata []; un integrale particolare xr(t) , che una qualsiasi soluzione che soddisfa l'equazione completa (con il termine noto). e f k xdtdxcdtx dmt j022e= + +0 k xdtdxcdtx dm22= + +(((

||.|

\|+||.|

\| =||.|

\|+ = tmmk cB tmmk cA e tmmk cA e t xmctmctt2424242121222cos sen sen ) ( Soluzione dellequazione omogenea associata. Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari (ITR analisi matematica) si ha che la soluzione : La soluzione dellomogenea associata il prodotto di una funzione armonica e una esponenziale con esponente negativo (c > 0) Frequenza caratteristica del sistema Fase Parametri importanti per caratterizzare la vibrazione La soluzione dellequazione omogenea gi trovata nella pagina precedente pu anche essere riscritta in forma diversa, adottando dei parametri adimensionali: ( ) , e, e+ =t A e t xnttn 21 sen ) (en(s-1) - pulsazione naturale del sistema (la pulsazione della vibrazioni nella risposta libera - quando il sistema non soggetto a forze esterne - quando si esclude lo smorzamento) - dipende solo dai parametri del sistema; cc (Nsm-1) - smorzamento critico (valore dello smorzamento al di sopra del quale non si hanno oscillazioni nella risposta libera del sistema - dipende solo dai parametri del sistema); , = c/ cc fattore di smorzamento (numero puro che indica l'attitudine del sistema a smorzare pi o meno rapidamente le sue oscillazioni libere). mkn= ekm cc2 =012345678910 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Tempo (s) Posizione (m) Per trovare lintegrale particolare xr(t) dellequazione differenziale si ipotizza che questo sia una funzione generica del tempo t dipendente da un certo numero di costanti, e si verifica se tale funzione, per qualche valore di queste ultime, possa soddisfare lequazione completa. E evidente che la scelta delle funzioni dipende dal tipo di forzante a cui soggetto il sistema. Se, come nel nostro caso, la forzante di tipo armonico alla frequenza O (anche se indicato con notazione esponenziale) si andranno a cercare soluzioni xr(t) di tipo armonico, con la stessa frequenza della forzante O, in cui le costanti da determinare saranno lampiezza A delloscillazione e la fase rispetto alla forzante. Se quindi ipotizzo la soluzione xr(t) = Ae j(Ot+) , basta eseguirne le derivate e sostituirle nellequazione completa. Calcolando le derivate Ae j (t) xt j (r) + OO = Ae - (t) xt j(r2) + OO = Basta sostituirle nellequazione differenziale per ottenere, con facili passaggi: ( ) e f Ae k jt j0t j(2O + O= + O + O ) mRicordando che:1 12 = = j j ) (Sfruttando le propriet delle funzioni esponenziali e osservando che la relazione deve essere verificata in ogni istante t, si perviene ad una funzione complessa: Questa funzione lega il modulo A e la fase della risposta ai parametri meccanici del sistema, allampiezza della forzante f0 ed alla pulsazione O in modo tale che la xr(t) sia effettivamente lintegrale particolare della equazione differenziale. Come tutte le funzioni complesse, tale equazione in O, individuata dal modulo e dalla fase. Questultima risulta: Per la fase risulta, analizzando i due membri dellequazione a capo della pagina: ( ) e f e Ae k jt j0t jj2O O= + O + O c m2 2 220 0) ( ) ( c k mfc j k mfAe AjO + + O =O + + O = =( ) ) ( ) ( (0jf e A) k j2fase fase fase c m fase = + + + O + O ( ) ( ) k j 0 0 k j2 2+ O + O = = + + + O + O c m fase c m fase ( )2O O =m kctan arc Concetto di funzione risposta in frequenza La risposta del sistema quindi composta dalla somma dellintegrale particolare e della soluzione dellomogenea associata. Tuttavia, come si gi visto, questultimo termine tende a smorzarsi e quindi dopo un po' di tempo (a regime) il sistema si assesta e vibra costantemente con una ampiezza ed una fase costanti ricavabili dalle precedenti equazioni.La funzione complessa o(O) definita dal rapporto tra il modulo dellampiezza delloscillazione a regime e lampiezza della forzante, detta ricettanza, rappresenta quindi il modulo e la fase della risposta del sistema a regime quando sottoposto ad una forzante unitaria alla frequenza O. c j m k fAejO + O = = O210o ) (051015 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 051015 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 051015 -15 -10 -5 0 5 10 15 + = TransitorioRegime Rispostacompleta Rappresentazione grafica delle FRF Le funzioni come quella vista in precedenza vengono dette funzioni di risposta in frequenza (FRF). Le tre pi utilizzate mettono in rapporto lo spostamento, la velocit e laccelerazione del sistema rispetto ad una forzante unitaria alla frequenza assegnata. Di solito sono rappresentate tramite i diagrammi di Bode che non sono altro che il modulo e la fase delle rispettive FRF: Risonanza c j m k fxO + O = O = O210) ( ) ( oc j m kjfxYO + O O= O = O20) ( ) (c j m k fxAO + O O = O = O220) ( ) ( 10-1 100 101 102 -90-80-70-60-50-40-30-20-1010-1 100 101 102 -50-45-40-35-30-25-20-15-10-510-1 100 101 102 -70-60-50-40-30-20-1001010-1 100 101 102 -180-160-140-120-100-80-60-40-20010-1 100 101 102 -100-80-60-40-2002040608010010-1 100 101 102 020406080100120140160180Modulo (decibel) Fase (gradi) SISTEMI LINEARI A N GRADI DI LIBERTA Il modello matematico un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine lineari e a coefficienti costanti: { } { } { } { } ) (t F x Kx x C x M = + + Essendo: {x} - il vettore di stato, formato dagli spostamenti degli N nodi scelti per caratterizzare la deformazione della struttura;M - matrice quadrata di ordine N delle masse da concentrare negli N nodi; K - matrice quadrata di ordine N delle rigidezze di collegamento tragli N nodi; C - matrice quadrata di ordine N degli smorzamenti dei moti relativi tra gli N nodi; {F(t)} - vettore delle forze dinamiche applicate a ciascun nodo. In analogia con quanto visto per i sistemi a un grado di libert, la soluzione la somma di due contributi: la soluzione generale o soluzione del sistema omogeneo (transitorio); una soluzione particolare (regime). La soluzione generale: come si comporta un sistema lineare a N gradi di libert se si perturba il suo stato iniziale di quiete .Deve essere risolto il sistema omogeneo di equazioni differenziali lineari Imponendo la soluzione {x} = {x0} ejet Si trova che esistono N valori di e [e1 < e2< e3,...., < en] per i quali, sostituiti nellequazione omogenea, possibile trovare una soluzione diversa da quella identicamente nulla. I valori eisono le pulsazioni naturali del sistema e costituiscono, dal punto di vista matematico, gli autovalori del sistema di equazioni (algebriche) associate. Ad ogni autovalore corrisponde un autovettore +i , formato da N componenti. Ma quale il significato fisico degli autovalori ( pulsazioni naturali) e degli autovettori (modi di vibrare)? { } { } { } { } 0 = + + x Kx x C x M Significato degli autovalori ( pulsazioni naturali) Sono quelle frequenze di oscillazione con le quali il sistema si pu muovere anche se non sottoposto ad alcuna forzante (le vibrazioni sono determinate solo da condizioni iniziali - spostamento e velocit - non nulle). La loro caratteristica dipende solo dai parametri del sistema. Significato fisico dellautovettore (il modo corrispondente ad una data pulsazione naturale) Se si suppone che il sistema libero vibri con una frequenza pari ad una pulsazione naturale ei , si ha che le soluzioni del sistema lineare associato (il vettore delle ampiezze di oscillazione di ogni punto xi) sono infinite, ma tutte proporzionali tra di loro. Uno qualsiasi di tali vettori costituisce un autovettore del sistema. Se si trovano gli autovettori corrispondenti ad ogni pulsazione naturale ei (vettori colonna) e si affiancano, si ottiene una matrice quadrata + di dimensioni (NxN) che viene chiamata matrice modale. Ma cosa rappresenta un autovettore? Se si vuole calcolare le vibrazioni flessionali di una trave doppiamenteincastrata si pu far ricorso ad una discretizzazione del sistema continuo, approssimandolo con un sistema di N masse concentrate (nodi). Il modello a parametri concentrati avr allora N gradi di libert che sono gli spostamenti lungo la verticale di ciascun nodo. Il sistema avr allora N autovalori ed N autovettori. Gli autovalori sono le frequenze con le quali la trave pu vibrare anche se non c forzante; gli autovettori sono le deformate che la trave assume in corrispondenza ad ogni frequenza naturale. Se la trave vibra alla frequenza naturale ei, la corrispondente deformata necessariamente proporzionale allautovettore (la forma della deformata della trave non cambia nel tempo ). In generale la legge di moto di un corpo libero contiene tutte e solo le frequenze naturali e la deformata costituita da una combinazione lineare dei modi propri del sistema.Lampiezza e la fase del contenuto armonico della vibrazione dipendono soltanto dalle condizioni iniziali nodi Condizioni iniziali I modo flessionale e1 II modo flessionale e2 III modo flessionale e3 Per quanto riguarda la risposta del sistema sottoposto ad un vettore di forzanti di tipo armonico {F}={f0}ejOt (tutte della medesima frequenza O), vale lo stesso discorso gi fatto per i sistemi ad un grado di libert. La legge di moto di ogni nodo data dalla somma di un transitorio (che dopo un certo tempo si estingue) e della soluzione di regime che , per ogni punto, una funzione armonica con la stessa frequenza delle forzanti. Per calcolare la risposta a regime si pu procedere simbolicamente come per i sistemi ad un grado di libert: si suppone quindi che la risposta sia anchessa armonica con la stessa frequenza O della forzante e quindi: {x}={x0}ej(Ot+) in cui {x0} il vettore delle ampiezze delle oscillazioni dei nodi (nel caso del sistema ad un grado di libert era un semplice scalare).La soluzione particolare: comportamento del sistema a regime ) t j(0}e {x j } x { + OO = ) t j(02}e {x - } x { + OO = Poich risulta: Dal sistema di equazioni differenziali si ottiene: | |t jt je f e x K C j MO+ O= + O + O } { } {0) (0 2Eliminando la dipendenza dal tempo tramite il termine esponenziale si ha: | | } { } {0 0 2f e x K C j Mj= + O + O oppure: | | } { } {012 0f K C j M e xj + O + O =| |12) (+ O + O = O K C j M o La matrice viene detta matrice di ricettanza del sistema ad N gradi di libert ed simmetrica. Lelemento generico oij(O) della matrice una funzione che rappresenta lampiezza della oscillazione del nodo i-esimo quando il sistema sottoposto ad una unica forzante di ampiezza unitaria (per ogni frequenza O) agente sul nodo j-esimo. Se si suppone, per semplicit, che il sistema abbia 3 gradi di libert si ottiene:{ } { }033 32 3123 22 2113 12 110f e xj((((

O O OO O OO O O=) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) (o o oo o oo o oSe si impone una forzante unitaria al solo nodo 2, il sistema pu essere riscritto come O = O = O =)`((((

O O OO O OO O O=)`11101032 0322 0212 0133 32 3123 22 2113 12 11030201) () () () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) (oooo o oo o oo o ojjjjjje xe xe xe xe xe xIn modo analogo si definiscono le matrici Y(O) ed A(O) i cui elementi generici di posto ij rappresentano lampiezza della velocit e dell'accelerazione del nodo i-esimo quando il sistema sottoposto ad una unica forzante di ampiezza unitaria agente sul nodo j-esimo. Nuovo Pignone Training g Rappresentazione grafica di una generica FRF In ognuno dei diagrammi di Bode (modulo e fase) delle FRF di un sistema ad N gradi di libert possibile individuare, nel grafico del modulo, N picchi in corrispondenza delle frequenze naturali del sistema. I diagrammi di Bode delle funzioni di risposta in frequenza (oij, Yij e Aij) sono naturalmente tutti diversi tra di loro (a parte la simmetria delle matrici) ma i picchi si hanno sempre in corrispondenza delle stesse frequenze (questo in virt del fatto che le frequenze naturali sono frequenze caratteristiche del sistema e non dipendono dalla FRF considerata e quindi dai nodi che vengono considerati). Frequenza (rad) 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Frequenza (rad) Modulo (dB) Fase (gradi) Per un sistema a 3 gradi di libert (N=3) Analizzando i grafici di Bode delle funzioni di risposta in frequenza possibile studiare il comportamento a regime di tutti i sistemi lineari.In realt molti componenti meccanici hanno caratteristiche non lineari: Per tali sistemi possibile ricavare le equazioni differenziali di moto ma queste non possono essere risolte in forma chiusa. Nei sistemi non lineari, inoltre, non vale il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi le tecniche di analisi in frequenza viste fino ad ora non possono essere applicate. La soluzione di tali sistemi di equazioni differenziali non lineari quindi affidata ai computers. Questi, con lausilio di programmi di simulazione risolvono i sistemi di equazioni differenziali con metodi numerici. Quando possibile gli elementi non lineari vengono linearizzati (se gli spostamenti sono piccoli) SilentblocMolle a elica Molle a tazza DINAMICA DEI ROTORI E uno dei settori pi avanzati e importanti della dinamica dei sistemi flessibili. Esistono diversi modelli per la schematizzazione fisica e la valutazione del loro comportamento: rotore rigido su supporti cedevoli; rotore flessibile su supporti rigidi; rotore flessibile su supporti cedevoli. (non si tratta il caso limite di rotore rigido su supporti rigidi perch gi affrontato nel modulo di dinamica del corpo rigido). In ogni caso si cerca di determinare : le velocit critiche del rotore -regimi di funzionamento in corrispondenza dei quali lampiezza dellorbita del rotore rapportata alla forza eccitatrice(squilibrio) presenta un massimo locale. Stabilit delle condizioni operative- attitudine del rotore a recuperare il suo stato di equilibrio allorch cessano eventuali azioni di disturbo. IL ROTORE DE LAVAL Carl Gustaf Patric DE LAVAL (1845-1913) fu uno dei ricercatori pi impegnati nello studio delle turbomacchine, sviluppando sia studi di fluidodinamica che di meccanica. Fu nominato The man of high speeds dopo che mise a punto in condizioni operative una turbina a vapore che sperimentalmente raggiunse i 30.000 rpm. A lui si deve la messa a punto del primo modello fisico-matematico capace di giustificare i principali problemi di comportamento dinamico del rotore di una turbomacchina. Il modello noto come rotore De Laval un rotore flessibile su supporti rigidi che si basa sulle ipotesi sotto indicate. Si considera un rotore snello e flessibile che porta calettato in mezzeria un disco a rappresentare gli effetti dinamici della girante. Il modello schematizzato nella figuraa fianco. o Nella figura con O si indica la posizione istantanea dellasse di rotazione nella sezione della girante. Per effetto della presenza di uno squilibrio, il baricentro G del disco non cade in O. ma alle distanza o da esso. Le ipotesi sono le seguenti: I cuscini sono considerati come appoggi perfetti. Il disco rigido ed essendo collocato in mezzeria pu solo traslare senza inclinarsi n rispetto allasse x n rispetto allasse y ( non esistono pertanto effetti giroscopici). Lalbero di massa trascurabile, flessibile edelastico con rigidezza k costante in ogni direzione avente origine in O sul piano (x,y). Il sistema piano ed applicando le equazioni cardinali della dinamica otteniamo le tre equazioni del moto: 0002222= u= +O += +O +..) sen () cos (Jkydtt y dmkxdtt x dmooCome si pu facilmente osservare, le tre equazioni di moto sono disaccoppiate. Infatti nella prima compaiono solo gli spostamenti del centro del disco lungo lasse x, nella seconda solo quelli rispetto allasse y mentre la terza rappresenta lequilibrio del rotore alla rotazione intorno al proprio asse. Per quanto riguarda lo studio del moto del disco sul piano (x,y), questultima equazione pu essere trascurata. Le prime due equazioni possono essere formalmente semplificate introducendo al posto delle coordinate scalari x e y, la coordinata vettoriale che individua O partendo dall'origine del piano (x,y). Se si considera il piano (x,y) alla stregua di un piano complesso che ha lasse reale coincidente con quello delle ascisse e lasse immaginario con quello delle ordinate, la nuova coordinata di riferimento diventa il vettore r = x + i y che rappresenta con il suo modulo la distanza di O dallorigine e con la sua fase la posizione angolare dello stesso punto O. Si moltiplichi la seconda equazione (quella di equilibrio lungo lasse y) per i e la si sommi alla prima. Si osserva subito che le due equazioni scalari di partenza si trasformano nella seguente equazione vettoriale: Si tratta di una classica equazione differenziale che studia il moto di un oscillatore non smorzato sottoposto ad una forzante armonica. Come si osservato nella parte iniziale del presente modulo didattico la soluzione risulta dalla somma di due contributi: la soluzione dellequazione differenziale resa omogenea annullando il termine noto (integrale generale); la soluzione dell'equazione completa (integrale particolare). t ie m kr r mOO = +2o..INTEGRALE GENERALE DELLEQUAZIONE DI DE LAVAL Detta en = (k/m)1/2 la pulsazione naturale del sistema (N.B. dipendente solo dai parametri fisici del sistema e non dal regime di giri del rotore), essendo assente lo smorzamento la soluzione generale cos esprimibile r(t) = A eient+ B e-ient Si osservi che, essendo assenti forze dissipative, il moto non si attenua mai e permane infinitamente nel tempo. A e B dipendono dalle condizioni iniziali. In generale si pu osservare quanto segue: Il termine A eient rappresenta unorbita circolare di raggio A descritta con velocit angolareen nello stesso senso di rotazione del rotore sul proprio asse. Questa componente del moto nota come forward whirl. Il termine B e-ient rappresenta unorbita circolare di raggio B descritta con velocit angolareen insenso di rotazione opposto rispetto a quello del rotore sul proprio asse. Questa componente del moto nota come backward whirl. La somma dei due termini genera il moto effettivo del rotore come indicato nella figura della diapositiva seguente. La somma dei due termini precedentemente indicati genera unorbita ellittica di semiassi A e B del centro O del rotore. La combinazione del moto di forward whirl e di backward whirl genera un moto di precessione ( whirling) descritto a velocit en. NOTAZIONE IMPORTANTE. Le caratteristiche dellellisse dipendono solo dal valore di e di A e B (che in generale possono essere numeri complessi). Non si pensi che si verifichino contemporaneamente entrambi i tipi di precessione (concorde e discorde). Si hanno tre possibilit: Se |A|>|B|, il moto risultante di tipo forward. Se |A| O(regime di funzionamento subcritico) R positivo il che significa che il centro O del disco ruota in fase perfetta con lo sbilanciamento. Se en < O(regime di funzionamento ipercritico) R negativo il che significa che il centro O del disco ruota in opposizione di fase con lo sbilanciamento. Il comportamento del rotore in condizioni di funzionamento subcritiche visibile nelle figure sottostanti ) ) ( 1 () (22nnmRee OO=La figura a) rappresenta lorbita del moto forzato (in fase con il moto di O). La figura b) rappresenta il moto effettivo somma di quello di figura a) e del moto di whirling. (Si ricordi che lorbita ellittica descritta con velocit en , mentre quella circolare descritta con velocit O in generale diversa da en. ANALISI DEL MOTO DEL ROTORE AL VARIARE DELLA SUA VELOCITA ANGOLARE Si riprenda la formula che fornisce lampiezza dellorbita circolare eccitata dalla forza centrifuga Landamento del modulo del raggio R dellorbita forzata al variare di (O/en)2 riportato nel grafico sottostante Osservazioni: Se O = en, R non pi limitato e tale velocit detta velocit critica del rotore. Per O molto pi grandi di enil modulo di Rtende asintoticamente a portare la massa sullasse di rotazione con fase t rispetto al raggio vettore che individua la posizione di O. Con il suo modello De Laval dimostr la propriet di autocentraggio dei rotori alle velocit ipercritiche osservata sperimentalmente. ) ) ( 1 () (22nnmRee OO=10 -2 10 -1 10 0 10 1 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 (O/en) 2 dB Rotore flessibile con massa eccentrica in regime di funzionamento subcritico Rotore flessibile con massa eccentrica in regime di funzionamento ipercritico OO Giustificazione del fenomeno dellautocentramento del rotorealle velocit ipercritiche CARATTERIZZAZIONE DEI SUPPORTI Le forze che il cuscino esercita sul rotore influenzano in modo determinante il comportamonto dinamico del rotore stesso. Se si considerano cuscini portanti e lasse z coincide con lasse di rotazione del rotore, le forze che il supporto esercita sul rotore giacciono nel piano (x,y). Il perno, alloggiato nel suo cuscino portante, per lazione delle forze esterne, descrive unorbita nel piano (x,y).

Le forze esercitate dal cuscino sono spesso funzioni non lineari della posizione del centro del perno e della velocit con cui descrive lorbita. In considerazione della difficolt di trattare problemi non lineari si usa linearizzare lespressione delle forze , esprimendole con la seguente espressione: . .. .y c x c y k x k Fy c x c y k x k Fyy yx yy yx yxy xx xy xx x+ + + =+ + + = I coefficienti k e c sono detti coefficienti linearizzati di rigidezza e smorzamento del cuscino Le forze F possono essere espresse anche nella forma matriciale: .S C KS F + =Essendo F=[Fx,Fy] eS=[x,y] i vettori delle componenti delle forze e degli spostamenti,((

=yy yxxy xxk kk kK((

=yy yxxy xxc cc cCLe matrici di rigidezza e di smorzamento. SULLE MATRICI DI RIGIDEZZA E DI SMORZAMENTO DEI SUPPORTI anisotropi - Le matrici di rigidezza e smorzamento non sono simmetriche. La presenza dei coefficienti diversi da zero fuori della diagonale principale (termini incrociati) ha come conseguenza che forze agenti sul piano (x,z) provocano spostamenti sullaltro piano (y,z) e viceversa. In tal caso la deformata non giace necessariamente su un piano rotante alla stessa velocit del rotore. Lo studio diventa pertanto assai pi complesso. ((

=a bb aKI supporti possono essere: isotropi - Le matrici di rigidezza e smorzamento sono antisimmetriche e gli elementi della diagonale principale sono uguali. ((

=d ff dCLa deformata del rotore giace su un piano rotante con la stessa velocit angolare del rotore. Ponendosi solidali al piano della deformata il rotore appare fermo nella sua deformazione e il problema della determinazione della deformata del rotore si riduce ad un problema di statica ( ad esempio si comportano in tal modo i cuscinetti a rotolamento). Forze esercitate dai diversi tipi di supporto Il cuscino ha importanza fondamentale nel determinare il comportamento del rotore. La tecnica mette oggi a disposizioni diverse tipologie di questi dispositivi, come si evidenzia nella figura sottostante Una prima differenziazione pu essere fatta tra i cuscini a rotolamento e quelli ad olio. CUSCINI A ROTOLAMENTO- matrici di rigidezza e smorzamento antisimmetriche - comportamento isotropo - la deformata del rotore giace su un piano rotante alla velocit angolare del rotore. CUSCINI AD OLIO LISCI - matrici di rigidezza e smorzamento di tipo generale con coefficienti incrociati significativi, possono provocare fenomeni di instabilit anche a bassi regimi di rotazione. CUSCINI A LOBI - matrici di rigidezza e smorzamento di tipo generale con coefficienti incrociati non troppo significativi; aumentano la soglia di instabilit della macchina. CUSCINI A PATTINI OSCILLANTI - sono i preferiti per le applicazioni pi spinte perch quando il carico esterno divide simmetricamente il cuscino presentano coefficienti incrociati pressoch nulli, assicurando cos grande stabilit di funzionamento al rotore. CUSCINI A SOSTENTAMENTO MAGNETICO - non ancora diffusi nelle applicazioni industriali; hanno sulla carta il vantaggio di poter variare, entro dati limiti, la rigidezza e lo smorzamento secondo quanto desiderato dal progettista; obbligano il rotore a ruotare intorno ad un asse principale di inerzia. ESEMPIO DI DEFORMATA ASSUNTA DA UN ROTORE DURANTE IL SUO FUNZIONAMENTO Un rotore reale ha infinite velocit critiche. Dal punto di vista della progettazione vanno determinate tutte quelle che cadono in un intervallo di giri tale da poter influenzare il funzionamento del rotore nelle diverse condizioni operative. Nella figura a fianco si notano tre comportamenti critici nel campo di funzionamento preso in considerazione. Le diverse curve rappresentano le deformate modali( ampiezza delloscillazione flessionale del rotore in corrispondenza a ciascuna sezione) in corrispondenza della corrispondente velocit critica. Si pu osservare che la velocit critica pi bassa genera la deformata meno tormentata. In generale via via che crescono le velocit critiche aumentano il numero dei nodi e dei ventri osservabili nella deformata corrispondente.