Forza viscosa - ge.infn.itgagliard/ingegneria_industriale/2011-2012... · costante, come la forza...

Equazionidel moto

Lavoro edenergiacinetica

Forza viscosa

Abbiamo visto che la forza di attrito in un fluido puo esseremodellizzata come:

FA = −kv legge di Stokes (1)

F = −kv2 v

|v|attrito turbolento (2)

Per entrambi i modelli l’equazione differenziale del motocorrispondente

mdv

dt= FA(v) (3)

e del tipo ”a variabili separabili”:

mdv

dt= FA(v)∫ v(t)

v0

mdv

FA(v)=

∫ t

0dt = t

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Moto viscoso: legge di Stokes

Nel caso del modello 1 troviamo la soluzione per la velocita e laposizione in funzione del tempo:

mdv

dt= −k v∫ v(t)

v(0)m

dv

v= −k

∫ t

0dt = −k t

lnv(t)v(0)

= −k/m t

v(t) = v(0)e−km

t = v(0)e−tτ ; τ =

m

k”tempo di dimezzamento”

x(t) = x(0) +∫ t

0v(t) dt = x(0) + τv(0)[1− e−

tτ ]

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Biglia di acciaio in glicerina, v(0) = 2 m/s, m = 5 g.

R =ρvL

µ≈ 20 moto laminare

v(t) = v(0)e−tτ ; τ =

m

k

τ =m

6πµR≈ 0.022 s

∆x(∞) =

∫ ∞

0

v(t) dt = τv(0) ≈ 5 cm

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R =ρvL


v(t) = v(0)e−tτ ; τ =

m

k

τ =m

6πµR≈ 0.022 s

∆x(∞) =

∫ ∞

0

v(t) dt = τv(0) ≈ 5 cm

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Equazionidel moto





R =ρvL


v(t) = v(0)e−tτ ; τ =

m

k

τ =m

6πµR≈ 0.022 s

∆x(∞) =

∫ ∞

0

v(t) dt = τv(0) ≈ 5 cm

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Equazionidel moto





R =ρvL


v(t) = v(0)e−tτ ; τ =

m

k

τ =m

6πµR≈ 0.022 s

∆x(∞) =

∫ ∞

0

v(t) dt = τv(0) ≈ 5 cm

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Equazionidel moto





R =ρvL


v(t) = v(0)e−tτ ; τ =

m

k

τ =m

6πµR≈ 0.022 s

∆x(∞) =

∫ ∞

0

v(t) dt = τv(0) ≈ 5 cm

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Moto forzato in fluido viscoso

Il moto di un corpo in moto in un fluido viscoso sotto l’azione di una forzacostante, come la forza peso, e la soluzione dell’equazione:

ma = −kv + k2 (4)

Notiamo che un moto a velocita COSTANTE vc = k2/k risolve l’equazionedel moto - per un particolare valore di velocita iniziale. Questa soluzioneparticolare ci da quella che e chiamata la ”velocita limite”.

Notiamo che se il corpo si muove alla velocita limite allora sul corpo larisultante delle forze e nulla, perche e nulla l’accelerazione del corpo.

Notiamo infine che non si ”raggiunge” la velocita limite, la si ha comecondizione iniziale: quello che succede e che la velocita del corpo ”tende” allavelocita limite.

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Moto forzato in fluido viscoso: equazione del moto

Matematicamente possiamo esprimere la soluzione generale dellavelocita in funzione del tempo per l’equazione 4 come la sommadella soluzione particolare a velocita costante con la soluzionedell’equazione omogenea 1:

mdvc

dt+ k vc = k vc = k2 → vc =

k2

k

mdv(t)dt

+ k v(t) = 0 → v(t) = Ae−tτ ; τ =

m

k

vsol(t) = v(t) + vc = Ae−tτ +

k2

kdvsol(t)

dt=

dv(t)dt

mdvsol(t)

dt+ k(vsol(t)) = k2

x(t) = x(0) +∫ t

0v(t) dt = x(0) + vct + τA[1− e−

tτ ]

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Caduta dentro un fluido viscoso: forza di gravita elegge di Stokes


mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22

v(t) = Ae−tτ + vc

v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸

da fermo a velocita limite

+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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Equazionidel moto




mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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Equazionidel moto




mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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mdv

dt= −k v + mg

vc =m

kg = τg ≈ 0.22


v(0) = v0 → A = v0 − vc

v(t) = vc(1− e−tτ )︸︷︷︸


+ v(0)e−tτ︸︷︷︸

smorzato

x(t) = x(0) +

∫ t

0

v(t) dt =

= x(0) + vct + τ(v0 − vc)[1− e−tτ ]

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Moto turbolento

In moto turbolento la forza di attrito e quella dell’eq. 2 e,procedendo come nel caso dell’eq. 4:

mdv

dt= −k v2∫ v(t)

v(0)m

dv

v2= −k

∫ t

0dt = −k t

− 1v(t)

+1

v(0)= −k/m t

v(t) =v(0)

1 + v0km t

t1/2 =m

kv(0)”tempo di dimezzamento”

Come nel caso 1 abbiamo un tempo di dimezzamento, solo chequesta volta dipende anche dalla velocita iniziale.

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Moto turbolento

Nel caso di forza costante F = mg abbiamo ancora una velocita limite:

mdvc

dt+ k v2

c = k v2c = mg → vc =

√mg

k

Ma non possiamo piu usare come soluzione una soluzione particolare piu unasoluzione dell’omogenea. Fortunatamente e ancora possibile trovare lasoluzione analitica (nel caso di partenza da fermo):

mdv

dt+ k v2 = mg∫ v(t)

v(0)

dv

1− kmg

v2= g

∫ t

0

dt = g t

v(t) = vce2gt/vc − 1

e2gt/vc + 1

2gt

vc≤ 1 → v(t) ≈ vc

2gt/vc

2= gt → tu =

vc

2g

gt

vc= 2 → v(t) ≈ vc → tr =

2vc

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L’esperienza di Galileo

”...Il mostrarci l’esperienza che due palle di grandezza eguale, madi peso l’una 10 o 12 volte piu grave dell’altra, quali sarebbero,per esempio, una di piombo e l’altra di rovere, scendendodall’altezza di 150 o 200 braccia, con pochissimo differentevelocita arrivano in terra...” (G.Galilei, Discorsi e dimostrazionimatematiche intorno a due nuove scienze (1638))

τStokes =m

6πµR≈ 106 s(!)

vcStokes= τg ≈ 107 m/s(!)

Re =ρvL

µ≈ 107

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L’esperienza di Galileo

”...Il mostrarci l’esperienza che due palle di grandezza eguale, madi peso l’una 10 o 12 volte piu grave dell’altra, quali sarebbero,per esempio, una di piombo e l’altra di rovere, scendendodall’altezza di 150 o 200 braccia, con pochissimo differentevelocita arrivano in terra...” (G.Galilei, Discorsi e dimostrazionimatematiche intorno a due nuove scienze (1638))

vc =√

mg

1/2CρA≈ 220(70) m/s piombo(legno)

Re =ρvL

µ≈ 105

trturbo=

2vc

g≈ 45(14) s

tu < tr/4 ≈ 11(3) smoto uniformemente accelerato

∆x(tu) = 1/2gt2u ≈ 500(50) m

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Lavoro di una forza

Si parla di lavoro per la prima volta nel 1826 (source: Wikipedia),quindi in tempi relativamente moderni. Probabilmente perche laquantificazione e lo studio del lavoro diventa importante conl’avvento delle macchine a vapore (introdotte intorno al 1780,stessi anni dell’introduzione del ”Cavallo Vapore”)...

Una forza compie un lavoro quando viene spostato il suo punto diapplicazione nella direzione in cui si esercita. Quantitativamenteil lavoro effettuato e lineare con lo spostamento e con l’intensitadella forza, e si determina col prodotto di queste due quantita.

Il lavoro compiuto da una forza puo essere negativo, se il versodello spostamento e opposto al verso della forza.

L’unita di misura del lavoro e il Joule J, e dimensionalmente illavoro e mv2t−2.

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Lavoro compiuto da una forza

A titolo di esempio consideriamo un sistema composto da un pesoappeso ad un cavo ideale e sollevato con l’aiuto di una puleggia.

ma = mg − T

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Lavoro compiuto da una forza

A titolo di esempio consideriamo un sistema composto da un pesoappeso ad un cavo ideale e sollevato con l’aiuto di una puleggia.

ma = mg − T

wF = F∆x

wmg = −mg∆x

Notiamo che non occorre risolvere

l’equazione del moto dell’oggetto per

determinare il lavoro compiuto dalla

forza peso e dalla forza di gravita.

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Prodotto scalare

Forza e spostamento possono non avere la stessa direzione. In tal caso illavoro compiuto dalla forza si determina a partire dalla componente dellospostamento collineare con la forza. L’operazione vettoriale che permette difare questo calcolo si chiama ”prodotto scalare”

Il prodotto scalare di due vettori F e ∆x si scrive F ·∆x. Il risultatodell’operazione e uno scalare - cioe nel nostro caso un numero reale.

In termini di componenti il prodotto scalare e definito come:

F ·∆x =∑

i=x,y,z

Fi∆xi = Fx∆xx + Fy∆xy + Fz∆xz

Conoscendo i moduli e l’angolo θ tra i vettori possiamo anche scrivere ilprodotto scalare come:

F ·∆x = |F ||∆x| cos (θ)

Il prodotto scalare e distributivo e commutativo:A ·(B + C) = A ·B + A ·C e A ·B = B ·A.

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Prodotto scalare

A ·B = |A||B| cos θ

= AxBx = AB

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Prodotto scalare


= AxBx + AyBy = 0

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Prodotto scalare


= AxBx + AyBy = AxBx

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Prodotto scalare

A ·B = |A||B| cos θ = −|A||B|= AxBx + AyBy = AxBx

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Prodotto scalare

A ·B = A ·(Bx + By) == A ·Bx = AxBx

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Prodotto scalare

A ·B = |A||B| cos θ == AxBx + AyBy

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Prodotto scalare

A ·B = A ·(B‖ + B⊥)

= A ·B‖A = B‖AA =

= B ·A‖B = A‖BB

Il lavoro e il prodotto dellaforza parallela allo spostamentoper lo spostamento, oppure dellospostamento parallelo alla forzaper la forza

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Lavoro di una forza lungo una traiettoria

Abbiamo gia visto che una traiettoria puo essere descritta come una serie dipiccoli spostamenti. Quando un corpo si muove lungo una traiettoria sottol’azione di una forza, abbiamo che la forza effettua un lavoro.

Possiamo calcolare il lavoro della forza lungo la traiettoria come la somma deilavori:

wF =∑

i

F (Ri) ·∆Ri,i+1

Al limite per spostamenti infinitesimi dl abbiamo un’integrale di linea cherappresenta la definizione piu generale di lavoro: il lavoro compiuto da unaforza F che sposta il suo punto di applicazione da x1 a x2 lungo una curvaC e

w ≡∫

C

F ·dl (5)

In generale il lavoro dipende dal cammino percorso C.

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Lavoro della forza peso lungo una traiettoriaparabolica

Proviamo, usando l’espressione 5, a calcolare il lavoro compiuto dalla forzapeso su un proiettile in moto parabolico dalla partenza al punto di massimaaltezza:

F ·dx = (0, −mg) ·(dx, dy) = −mg dy = −mg dy(t)

vy(t) =dy(t)

dt→ dy = vy(t)dt

w =

∫C

F ·dx =

∫ tmax

0

−mgvy(t) dt

vy(t) = vy(0)− gt∫ tmax

0

−mgvy(t) dt = −mgvy(0)tmax +1

2mg2t2max

tmax =vy(0)

g→ wmg = − 1

2m(vy(0))2

Il lavoro compiuto e negativo - il prodotto scalare tra spostamento e forza

peso e sempre minore di zero lungo il ramo di traiettoria considerato.

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Teorema lavoro-energia cinetica

Supponiamo di avere un corpo che sotto l’azione della risultante di forze Fche agiscono su di esso percorre una traiettoria. E possibile calcolare il lavorodi tutte le forze che agiscono sul corpo in funzione della velocita iniziale efinale del corpo stesso.

F ·v = F ·dx

dt∫ t2

t1

F ·vdt =

∫ t2

t1

F ·dx

dtdt =

=∑

i

∫ t2

t1

Fi

dxi

dtdt =

∑i

∫ xi2

xi1

Fidxi =

∫C

F ·dl

∫ t2

t1

F ·vdt =

∫ t2

t1

mdv

dt·vdt =

=

∫ t2

t1

m1

2

d( v ·v)

dtdt =

1

2mv2(t2)−

1

2mv2(t1)∫

C

F ·dl =1

2mv2(t2)−

1

2mv2(t1)

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Energia cinetica

La grandezza 12 mv2 e chiamata ”Energia Cinetica” e la sua

variazione corrisponde ad un lavoro fatto sul corpo. L’unita dimisura dell’energia cinetica e il Joule J = kgm2s−2

Se un corpo non ha una variazione di energia cinetica, il lavorocomplessivo effettuato dalle forze che agiscono su quel corpo enullo:

oggetto in moto circolare uniforme: accelerazione centripeta,quindi forza centripeta. Varia la direzione della velocita, nonla velocita scalare, per cui non c’e’ variazione di energiacinetica e la forza centripeta non compie lavorooggetto sollevato o spostato a velocita costante: larisultante delle forze e nulla, e quindi non compie lavoro. -come del resto ci aspettiamo visto che la forza centripeta eperpendicolare alla traiettoria in ogni punto per cui il suoprodotto scalare con lo spostamento e nullo.

Mentre il lavoro e l’energia cinetica sono grandezze chedipendono dal sistema di riferimento in cui sono calcolate, lagrandezza w −∆Ec e indipendente dal sistema di riferimento.

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Potenza

La potenza e una grandezza che esprime la variazione del lavoroin funzione del tempo:

P =d

∫C F ·dl

dt

Possiamo riscrivere l’integrale in una forma che dipende daltempo, cambiando le variabili dx = vdt e abbiamo per lapotenza istantanea un’espressione che dipende dalla forza agentesul corpo e dalla sua velocita:

P =d

∫t F ·vdt

dt= F ·v

Nel caso conosciamo il lavoro effettuato in un certo intervallo ditempo possimo determinare la potenza media:

< P >=1

∆t

∫∆t

d∫t F ·vdt

dtdt =

1∆t

∫C

F ·dl =1

∆tw

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