Miniripasso di dinamica rotazionalegagliard/ingegneria_industriale...mettere in rotazione un’elica...

Momentoangolare esecondaequazionecardinale

Esempi

Miniripasso di dinamica rotazionale

Prima dell’interruzione abbiamo visto che:

L’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione attorno adun asse fisso e data dalla somma delle energie cinetiche delle”massette” che compongono il corpo, di cui e possibiledeterminare la velocita in funzione della velocita angolare dirotazione del corpo stesso e della distanza dall’asse fisso dirotazione:

Ec(t) =∑i

1

2miv

2i (t) =

∑i

1

2miω

2(t)r2i =

=1

2ω2(t)

∑i

mir2i =

1

2Iasseω

2(t)

Come esempio, cercare di determinare la potenza necessaria permettere in rotazione un’elica di un aereo, supponendo che lavelocita angolare passi da 0 a 30 giri/s in 10 s.

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Esempi

Miniripasso di dinamica rotazionale

Per un corpo in rotazione costante si ha conservazionedell’energia cinetica, che implica la conservazione dellaquantita di moto.La grandezza corrispondente alla quantita di moto per uncorpo puntiforme e il momento della quantita di motoL = m (r(t) − rO(t))×v(t). Si determina sempre rispettoad un punto O chiamato ”polo” (non e necessariamentel’origine degli assi!) ed e funzione della posizione, dellavelocita istantanea e della massa del corpo puntiforme.

Come esempio, provare a determinare il momento della quantitadi moto di un corpo in moto rettilineo uniforme rispetto all’originee rispetto ad un punto che giace sulla traiettoria del moto.

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Esempi

Momento della quantita di moto di un corpo rigido

Come sempre ci mettiamo in una situazione in cui l’asse dirotazione e fisso - ovvero non cambia orientamento durante ilmoto. Prendiamo il polo come un punto sull’asse di rotazione.

ω = zω

ri = ri ⊥ ω + ri ‖ ω = Ri + ri ‖ ω

vP = ω×ri = ω×Ri

vP = |Ri|ω perche Ri ⊥ ω

Per trovare il momento della quantita di moto di un corpo inrotazione attorno ad un asse fisso basta sommare i momenti dellaquantita di moto di tutti i suoi componenti.

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Esempi

L(t) =∑i

mi (ri(t) − rO(t))×vi(t)

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Esempi

L(t) =∑i

mi ri(t)×vi(t) perche polo posto sull’origine

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Esempi

L(t) =∑i

mi ri(t)×vi(t) =∑i

mi ri(t)×(ω(t)×ri(t))

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Esempi

L(t) =∑i

mi ri(t)×(ω(t)×ri(t))

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Esempi L(t) =∑i

mi ri(t)×(ω(t)×ri(t)) =

=∑i

mi ri(t)×(ω(t)×Ri(t))

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Esempi

L(t) =∑i


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Esempi

L(t) =∑i


A×(B×C) =B(A ·C)−C(A ·B)

(A×B)×C =− C×(A×B) = −A(C ·B) +B(A ·C)

A×B×C nonsense..

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Esempi

L(t) =∑i


=∑i

miω(t)R2i −Ri(t)(ω(t) ·ri(t))

A×(B×C) =B(A ·C)−C(A ·B)

(A×B)×C =− C×(A×B) = −A(C ·B) +B(A ·C)

A×B×C nonsense..

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Esempi L(t) =∑i


= ω(t)Iasse −L ⊥ ω

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Esempi

L(t) =∑i


= ω(t)Iasse −L ⊥ ω

Se il corpo e simmetrico rispetto all’asse di rotazione per ognimassetta in Ri(t), ri(t) ne esiste una in R′i(t), r

′i(t) per cui

ω(t) ·ri(t) = ω(t) ·r′i(t) ma Ri(t) = −R′i(t), per cui−∑

imiRi(t)(ω(t) ·ri(t)) = −L ⊥ ω = 0. SOLO in questocaso L = ωIasse. E SOLO in questo caso il momento angolare euguale ovunque sia stato preso il polo sull’asse di rotazione.

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Esempi

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Esempi

Primo teorema di Kaoenig per il momento angolare

Noto il momento angolare rispetto al CM nel sistema del CMpossiamo determinare quello rispetto ad un punto qualsiasi in unaltro sistema inerziale che chiamiamo Sistema del Laboratorio(SL). Al solito abbiamo per la posizione e la velocita di un puntodel corpo rSL = ri = rCM + r′i e vSL = vi = vCM + v′i.

Quindi:

L(t) =∑i

mi (ri(t)− rO(t))×vi(t) =∑i

mi ri(t)×vi(t) −∑i

mi rO(t)×vi(t)

=∑i

mi (rCM (t) + r′i(t))×(vCM (t) + v′

i(t))−

−∑i

mi rO(t)×(vCM (t) + v′i(t)) =

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Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i


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Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i


= (rCM (t)− rO(t))×vCM (t)∑i

mi+

17 / 50


Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i



mi+

+ (rCM (t)− rO(t))×[∑i

miv′i(t)]+

18 / 50


Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i



mi+

+ (rCM (t)− rO(t))×[∑i

miv′i(t)]+

+ [∑i

mir′i(t)]×vCM (t)+

19 / 50


Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i



mi+

+ (rCM (t)− rO(t))×[∑i

miv′i(t)]+

+ [∑i


+∑i

mi r′i(t)×v′

i(t)20 / 50


Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i


= M (rCM (t)− rO(t))×vCM (t)+

+ (rCM (t)− rO(t))×[∑i

miv′i(t)]+

+ [∑i


+∑i

mi r′i(t)×v′

i(t)

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Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i



+ (rCM (t)− rO(t))×[0]+

+ [∑i


+∑i

mi r′i(t)×v′

i(t)

22 / 50


Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i



+ (rCM (t)− rO(t))×[0]+

+ [0]×vCM (t)+

+∑i

mi r′i(t)×v′

i(t)

23 / 50


Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i



+ (rCM (t)− rO(t))×[0]+

+ [0]×vCM (t)+

+ L′

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Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i



+ L′

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Esempi



Quindi:

L(t) =∑i


i(t))−

−∑i


= M (rCM (t)− rO(t))×vCM (t) + L′

Quindi il momento angolare nel sistema del laboratorio e uguale almomento angolare calcolato rispetto al CM nel sistema del centro dimassa piu il momento angolare associato al moto del centro di massanel SL. Si noti che la dimostrazione riportata calcola il momento nel SLrispetto ad un punto qualsiasi, anche in movimento26 / 50


Esempi

Variazione del momento angolare

Come la quantita di moto - secondo il primo e secondo principio delladinamica - anche il momento angolare si conserva fino a quanto noninterviene un’”azione” esterna a modificarlo. Dobbiamo determinare lanatura di questa ”azione”.

Possiamo ottenere la variazione del momento angolare totale di unsistema di corpi derivandone l’espressione rispetto al tempo:

L =∑i


dL

dt=

∑i

mi

dri(t)

dt×vi(t) −

−∑i

mi

drO(t)

dt×vi(t) +

+∑i

mi (ri(t) − rO(t))×ai(t)

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Esempi




L =∑i


dL

dt=

∑i

mi

dri(t)

dt×vi(t) − Nullo perche paralleli −

−∑i

mi

drO(t)

dt×vi(t) +

+∑i


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Esempi




L =∑i


dL

dt= −

∑i

mi

drO(t)

dt×vi(t) +

+∑i


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Esempi




L =∑i


dL

dt= −

drO(t)

dt×∑i

mivi(t) +

+∑i


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Esempi




L =∑i


dL

dt= −

drO(t)

dt×∑i

mivi(t)(velocita del centro di massa) +

+∑i


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Esempi




L =∑i


dL

dt= −Mtot vO(t)×vCM+

+∑i


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Esempi




L =∑i


dL


+∑i

(ri(t) − rO(t))×(F(Ext)i + F

(App)i + Fij)

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Esempi

Momento di una forza

dL


+∑i


(Appa)i + Fij)

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Esempi


dL

dt=

∑i


(Appa)i + Fij)

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Esempi


dL

dt=

∑i


(Appa)i )

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Esempi


dL

dt=

∑i

(ri(t) − rO(t))×(F(Ext)i ) = M

(E)O

Il momento di una forza, calcolato SEMPRE rispetto ad un polo,e definito come MF = (r − rO)×F . Il momento totale ditutte le forze si effettua sommando i momenti delle singole forzecalcolati attraverso il loro punto di applicazione ri

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Esempi

Equazioni cardinali del moto

Abbiamo ora tutti gli elementi per definire la dinamica di un sistema di corpi.

Quantita di moto di un sistema di corpi: P =∑

i mivi = MtotvCM

Prima equazione cardinale:dP

dt= F (E)

Momento della quantita di moto di un sistema di corpi:LO =

∑i mi (ri − rO)×vi . In caso di simmetria rispetto ad un asse

di rotazione si ha Lasse = ωIasse. In caso sia noto il moto del centrodi massa e il moto nel sistema del centro di massa abbiamoLO(t) = Mtot (rCM(t) − rO(t))×vCM(t) +L′

Seconda equazione cardinale:dLO

dt=

∑i (ri(t) − rO(t))×(F

(Ext)i ) = M

(E)O - se il polo scelto e

fermo oppure coincide con CM oppure e in moto parallelamente al CM,oppure il CM e in quiete; E se le forze interne sono radiali; E se le forzeapparenti sono trascurabili. ALTRIMENTIdLO

dt= M

(E+appa)O + vO×P

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Esempi

Macchina di Atwood

Due corpi appesi mediante un filo di massa trascurabile einestensibile ad una carrucola massiccia costituiscono unamacchina di Atwood.

∆y1 = −∆y2 = −R∆θ

v1 = −v2 = −Rdθ

dt= −Rω

a1 = −a2 = −Rdω

dt

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Esempi

Macchina di Atwood


−m1g + T1 = m1a1

−m2g + T2 = m2a2

MO(T1) = R×T1 = RT1z

MO(T2) = R×T2 = −RT2z

T1R− T2R = IOdω

dt

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Esempi

Macchina di Atwood


−m1g + T1 = m1a1

−m2g + T2 = −m2a1

T1R− T2R = −IOa1

R

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Esempi

Macchina di Atwood


a1 = gm2 −m1

m2 +m1(

1

1 +I0/R2

m1+m2

)

T1 = g2m1m2

m1 +m2(

1 +I0/R

2

2m2

1 +I0/R2

m1+m2

)

T2 = g2m1m2

m1 +m2(

1 +I0/R

2

2m1

1 +I0/R2

m1+m2

)

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Esempi

Macchina di Atwood


ME0 = m1gR(−x×−y)+

+m2gR( x×−y) =

= (m1 −m2)gRz

L0 = m1v1R(−x×y)+

+m2v2R( x×y)+

+ IOωz

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Esempi

Macchina di Atwood


ME0 = m1gR(−x×−y)+

+m2gR( x×−y) =

= (m1 −m2)gRz

L0 = m1v1R(−x×y)+

+m2(−v1)R( x×y)+

+ (IO/R)(−v1)z

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Esempi

Macchina di Atwood


ME0 = m1gR(−x×−y)+

+m2gR( x×−y) =

= (m1 −m2)gRz

L0 = m1v1R(−x×y)+

+m2(−v1)R( x×y)+

+ (IO/R)(−v1)z

dL0

dt= −((m1 +m2)R+ I0/R)a1z

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Esempi

Macchina di Atwood

Due corpi appesi mediante un filo di massa trascurabile einestensibilead una carrucola massiccia costituiscono una macchina di Atwood.

ME0 = m1gR(−x×−y)+

+m2gR( x×−y) =

= (m1 −m2)gRz

L0 = m1v1R(−x×y)+

+m2(−v1)R( x×y)+

+ (IO/R)(−v1)z

dL0

dt= −((m1 +m2)R+ I0/R)a1z

(m2 −m1)gRz = ((m1 +m2)R+ I0/R)a1z

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Esempi

Rotolamento

Il rotolamento costituisce una dinamica particolare del moto diun corpo rigido. Perche si abbia rotolamento occorre che

l’asse di rotazione sia parallelo al suolo.

il corpo sia simmetrico rispetto all’asse di rotazione (cilindro,sfera, anello...)

Perche poi si abbia ”rotolamento senza strisciare” occorre che lavelocita del centro di massa del corpo sia ”sincronizzata” con larotazione intorno all’asse, in modo che il punto di contatto colsuolo sia fermo. Nel sistema del CM la velocita del punto dicontatto e v′C = ω×R. Nel sistema del suolo invece si ha chevC = vCM + v′C = 0, per cui ω×R = −vCM . In moduloabbiamo dunque che ωR = vCM , e, per esempio, se si tratta diun cilindro appoggiato al suolo che rotola con il verso dellavelocita del centro di massa positivo il rotolamento avviene insenso orario e quindi con velocita angolare negativa.47 / 50


Esempi

Sfera che rotola su un piano inclinato

Su un piano inclinato perfettamente liscio una sfera o un cubetto scivolano

traslando senza avere alcuna rotazione. L’attrito tra corpo e piano da origine

ad un momento delle forze esterne sulla sfera che la mette in rotazione.

ma = mg sin(θ) − Fa

dLO=CM

dt=

dL′

dt= I

dω

dt=

= MEO=CM = −FaR

a = −dω

dtR

ma = mg sin(θ) − I/R2a

a(1 +2

5) = g sin(θ)

a =5

7g sin(θ)

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Esempi






dLO=CM

dt=

dL′

dt= I

dω

dt=

= MEO=CM = −FaR

a = −dω

dtR

ma = mg sin(θ) − I/R2a

a(1 +2

5) = g sin(θ)

a =5

7g sin(θ)

Si e applicato il primo teorema di Koenig e la forma estesa della seconda EC,

usando un polo mobile coincidente con il CM

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Esempi






Fa ≤ µsN = µsmg cos(θ)

mg sin(θ) −5

7mg sin(θ) ≤ µsmg cos(θ)

µs ≥2

7tan(θ)

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