Gruppo1-2 INFN FIRENZE - Carica elettrica ed...

Sfregate una bacchetta di bachelite (PVC o altro):Elettroscopio carico le foglioline si divaricano. Induzione o Contatto.

Con i 2 metodi si caricano i

due elettroscopi con cariche

di segno opposto.

2017/Fall R.D'Alessandro, Chiara Fort, Renato TorreLaboratorio di Fisica (CdL Chimica)

Carica elettrica ed elettroscopi

1Carica per induzione

Carica per contatto

Collegamentoa terra--


Carica per induzione

2

- - -

Avvicino una sfera caricataper sfregamento ad esempio

++

--

Due sfere metallichein contatto scariche

1 2

- - -

Separo le due sfere cheprima erano scariche

++ - - -

3

Allontano la sfera caricataper sfregamento

+++ - - -

4

- - -

Avvicino una sfera caricataper sfregamento ad esempio

++

--

Una sfera metallicascarica

1 2

Metto a terra il latosinistro della sfera cheprima era scarica

3

Allontano la sferacaricata per sfregamento

+++

5

- - - ++

-- -

-Tolgo il collegamentoa terra: la sfera cheprima era scarica rimanecon solo le cariche positive

4

- - - ++

Elettroscopi - esistenza di un “qualcosa” con due segni possibili [ + , -] .Forza di Coulomb:Millikan, dimostra che la carica

elettrica è quantizzata e il quanto

minimo è la carica dell'elettrone.

Qe = -1,602 * 10-19 C , ε0 è la permettività del vuoto o costante dielettrica del vuoto, uguale a:ε0 = 8,854 187 817 * 10−12 F m−1 .


Carica elettrica

3

Forza di Coulomb:T cos(θ) = mg

T sin(θ) = F = k q2 / L2

tg(θ) = F/mg = kq2/mgL2

tg(θ1) = kq2 / mgL12

tg(θ2) = kq2 / 4mgL22

tg(θ1)/tg(θ2) = 4L22 / L1

2

Se θ è piccolo: tg(θ) ≈ sin(θ) ≈ L / 2l

Quindi si ha: L1 / L2 = 4L22 / L1

2 L1 = 41/3 L2


Verifica Forza di Coulomb

4

mgmg

TT

F F

Associata alla distribuzione di carica Q2, si puòdefinire un campo elettrico E:

tale che la forza che agisce su Q1 è: FCoul. = Q1EPer muovere la carica Q1 all'interno di un campo Edal punto A al punto B si deve compiere un lavoro:

Dove φA(B) è il potenziale nel punto A (B).


Campo elettrico e potenziale

5


Carica elettricaLa carica elettrica si conserva: ad oggi NON abbiamoalcuna indicazione sperimentale che questo non sia vero. (L'attrazione gravitazionale tra un elettrone e tutti quelli presenti nella terra è 10-38

volte più piccola della loro repulsione elettrostatica ..... ma la carica dei protonibilancia esattamente ...)

Esistono materiali in cui la carica (elettroni) è libera di muoversi. CONDUTTORI. Tipicamente i metalli. I superconduttori ad alta temperatura sono ceramici (ossido di bismuto-stronzio-calcio-rame).

Nei conduttori le cariche si dispongono in maniera tale da annullare il campo elettrico all'interno e rendere il potenzialecostante (elettrostatica).

6


CorrenteQuando due corpi carichi vengono posti in contatto traloro, ad esempio tramite un conduttore, le cariche passanoda un corpo all'altro fino a raggiungere il bilanciamento.

Questo passaggio di carica per unità di tempo costituiscequello che chiamiamo corrente elettrica. 1 Ampere è iltransito di 1 Coulomb di carica al secondo.

In generale, delle cariche in movimento, equivalgono a una corrente. Basti pensare non solo ai fili elettrici, ma anche ai plasmi, ai cannoni elettronici, agli acceleratori, agli ioni in un elettrolita.

7


CorrenteQuindi definiamo la corrente come:

Se i è costante nel tempo avremo una correntestazionaria o continua, se i invece è una funzionedel tempo f(t) avremo una corrente variabile.La corrente alternata è un caso particolare di corrente variabile:–deve essere periodica e a media nulla! Ad esempio f(t) = I0 sin(ωt+φ).

8


9

L'elettrone è stato scoperto da JJ Thomson nel 1897, ma più di un secolo prima, la gente aveva già studiato fenomeni elettrici (e magnetici), anche quantitativamente, e aveva già fissato una convenzione sulle cariche degli oggetti o quali lati di una batteria sono positivi e quali di essi sono negativi.Poiché questa convenzione era già stata stabilita, non c'era assolutamente alcuna libertà nella decisione sul segno della carica dell'elettrone. È stato semplicemente misurato nei raggi catodici ecc. e si è rivelato negativo.Storicamente, il primo uomo a decidere su una convenzione di segno per la carica elettrica è stato probabilmente Benjamin Franklin nel XVIII secolo. Il suo modello di elettricità assumeva che gli oggetti carichi contenessero del fluido ovvero una carica elettrica di tipo continuo (come il phlogiston, il fluido che si credeva fosse il calore). Se c’era troppo fluido, naturalmente identificato con il segno più, allora la carica elettrica era positiva, negativa altrimenti.Anche quando furono scoperte le particelle elementari, non c'era modo di dimostrare che una delle due convenzioni di segno era migliore dell’altra. Gli elettroni potrebbero portare una carica positiva nella convenzione opposta, ma i protoni ei nuclei che sono altrettanto importanti sarebbero caricati negativamente.È importante che, una volta fissata una convenzione per la carica elettrica, emerga una convenzione naturale per il segno della corrente e della tensione. Con la convenzione adottata universalmente si ha che nei circuiti le frecce per la corrente (che va dai terminali positivi a quelli negativi) hanno la direzione opposta rispetto alle velocità degli elettroni. Questa discrepanza è diventata evidente solo dopo aver scoperto che le correnti erano costituite dagli elettroni a carica negativa, molto molto tempo dopo l'impostazione della Convenzione di Benjamin Franklin. Questa discrepanza apparente non provoca problemi finché seguiamo con coerenza la convenzione adottata ricordandoci che le frecce rappresentano la corrente secondo le convenzioni stabilite e non la velocità degli elettroni.Si deve anche sottolineare che esistono conduttori in cui i portatori di carica (e quindi la corrente) sono positivi (o entrambi), ad esempio le soluzioni saline (ioni cariche positivamente) o i semiconduttori (lacune). In quei conduttori, i segni della corrente sono in accordo con il segno della velocità dei portatori di carica (positiva).

Perché gli elettroni sono "negativi" e i protoni "positivi"?


Campo ElettricoIn maniera più appropriata si ragiona in termini di campo elettrico E che agisce sulle cariche.La forza che agisce sulla carica è data da FE = qE.Il quadro di riferimento è quello di una distribuzione di cariche che dà origine a un certo campo elettrico E, che a sua volta influisce sulla particella carica sotto esame.Noi non ci dobbiamo preoccupare di come viene generato (e mantenuto) E, ma solo dei suoi effetti.

10


Potenziale e generatoriLe cariche si spostano sotto l'azione di un campo elettrico. Per spostare una carica in un campo elettrico io devo compiere un “lavoro” : dL = Fdx = qEdx =Variazione di energia del sistema .

Dall'elettrostatica si deriva che l'energia potenziale associata allacarica è pari al lavoro necessario per spostare la caricadall'infinito a quel punto nello spazio = qφ ; il potenziale φ è definito a meno di una costante.

Quello che conta quindi è la differenza di potenziale tra due punti nello spazio, come ad esempio ai capi di un conduttore. Il lavoro associato allo spostare una carica dal punto A al punto B è quindi: L = q(φA - φB)

Questa differenza di potenziale viene mantenuta per mezzo di dispositivi chiamati: GENERATORI. 11


Potenziale e generatoriQuindi in un conduttore, le cariche si muovonosotto l'azione del campo elettrico E.Chi genera (e mantiene) E ?

In generale una distribuzione di cariche ρ . Ad esempio su un condensatore, le cariche sullearmature a e b, generano una differenza di potenziale tale che:

12


GeneratoriQuindi, potremmo pensare di spostare dellecariche, ad esempio sulle armature di un condensatore, in maniera da raggiungere la differenza di potenziale voluta.Ma una volta attaccato il condensatore carico a un circuito, ad esempio un conduttore, le cariche (in movimento sotto l'azione di E) alla fine sineutralizzerebbero tra loro.Quindi dobbiamo rifornire costantemente le cariche alle armature del condensatore. 13


GeneratoriUn dispositivo che tramite processi fisici e/o chimici riesce a mantenere una differenza di potenziale ai suoi capi fornendocorrente a un “carico”, si chiama generatore:

–Elettrochimici = batterie, accumulatori

–Elettromeccanici = alternatori, dinamo

Due classi fondamentali:–Generatore di tensione

–Mantiene la differenza di potenziale ai suoi capi indipendente dal carico !

–Impedenza nulla (resistenza d'uscita nulla).

–Generatore di corrente–Eroga una corrente dai suoi capi indipendente dal carico !

–Impedenza infinita (resistenza d'uscita infinita).14

Generatori di tensione:

Generatori di corrente:

Distinguere tra “Terra” e “ Comune”!– Il terminale “Comune” è il terminale di riferimento del circuito, rispetto al quale vengono misurate ad esempio le tensioni.


Simboli

Ground

15


Unità di misura in elettrologia.

Sistema di misura MKSA:–Lunghezza: Metro - [m]–Massa: Chilogrammo - [Kg]–Tempo: Secondo - [s]–Corrente elettrica: Ampere - [A]Di conseguenza:–La forza si misura in Newton [N] - [Kg m s-2]–La carica in Coulomb [C] - [A s] 16


Ampere

Due fili di sezione infinitesima e di lunghezzainfinita, paralleli e posti a 1 metro di distanza (r) unodall'altro:In ambedue circola una corrente uguale:

–Campo magnetico (Legge di Ampère: B=µ0*I/2πr )–La corrente è 1 A, quando i due fili si respingono con una forza = 2*10-7 N .

17


Altre unità di misuraPotenziale elettrico : Volt - [V] - [ N m C-1 ]Resistenza elettrica : Ohm - [Ω] - [ V A-1 ]Potenza elettrica : Watt - [W] - [ V A ]Energia elettrica : Joule* - [J] - [ V A s ] - [ N m ]Capacità elettrica : Farad - [F] - [ C V-1 ]Campo magnetico : Tesla -[T] - [ N A-1 m-1 ]Induttanza elettrica : Henry - [ H ] - [ T m2 A-1 ]Non è necessario sempre rapportarsi a Kg,m,s,A. Si può (e sicuramente è piùimmediato) ricorrere alle unità sopra citate.

18


Conduzione elettrica (metallo)Elettroni in un metallo sono liberi

Urtano continuamente sugli atomi del reticolo

Resistenza “viscosa” al loro movimento

La distanza media percorsa tra due collisioni si chiama libero cammino medio

Sotto l’azione di un campo elettrico, la velocità (di deriva) non cresce indefinitivamente (come nel vuoto) ma assume un valore stazionario

a = me

v μΕ Legge di Ohm

; v = at !!

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Conduzione elettrica (metallo)Con quale velocità si muovono queste cariche ?

Applicando un campo elettrico, abbiamo una velocità di deriva (drift) vd = µeEd .

La densità di corrente è comunque data da:–j = qnvd q=carica dell’elettrone, n densità numerica dei portatori di carica

–I = j*S S=superficie del conduttore (d'ora in poi useremo i moduli)

vd = I/Sqn , se I = 1 A, avremo:–S = 1mm2 = 10-6 m2 ; q=1.6 10-19 C ; n(rame)= 9 1028 atomi/m3

–vd = 1/(10-6 *1.6*10-19 *9 1028 )=1/(1.6*9 103 )= 7 10-5 m/s

Da confrontarsi con vtermica di circa 105 m/s12 mv2 =

32 kT

T temperatura, k costante di Boltzmann, m massa dell’elettroneMassa elettrone = 9.10938188 × 10-31 kgCostante di Boltzmann = 1.3806503 × 10-23 m2 kg s-2 K-1

20

vdrift = µeE !–Dovuto al moto “viscoso” delle cariche all'interno del conduttore.–E = 0, in un conduttore ma in elettrostatica!– µe mobilità degli elettroni nel conduttore (rame)

j (densità di corrente) = I/S * n (normale alla superficie)

j = nqv j = nqµE = σE (σ conducibilità, n densità di portatori)

Idx/S= σEdx I(1/σ) dx/S = Edx ( ρ = 1/σ ) Iρdx/S (ρ resistività [Ωcm])= Edx --> IR=V


Legge di Ohm

21

Resistività ρ [Ωm]Resistenza ρL/S [Ω], diminuisce con la sezione ! [Ω] = [VA-1]

Simbolo:Resistività dei materiali:

Conduttori: Ag: 1.59 10-8 [Ωm], Cu: 1.72 10-8 [Ωm], Au: 2.44 10-8 [Ωm]

Semiconduttori: Si: 6.4 102 [Ωm] Isolanti: Vetro: 1012 [Ωm]


Resistenze

S

L

ρ

22


Resistenze

23


Circuiti a costanti concentrateCircuiti in cui gli effetti dovuti allo spostamentodelle cariche sono confinati ai singoli elementi del circuito e non ai collegamenti tra elementi.Le linee di collegamento sono “ideali”.Convenzioni (disegna come vuoi, ma poi rispettai segni) :–La corrente positiva scorre da + a - .–Se V>0 , I > 0–Se V<0 , I < 0 24


Volt, Ampere e WattSe abbiamo una forza d'attrito che ostacola ilmovimento delle cariche, avremo anche del caloredissipato. EFFETTO JOULE.L'energia è data da qV, la potenza da d/dt (qV) cioè da IV e simisura in Watt [W] = 1 V x 1 A = 1 J/s --> [W] = [VA] = [Js-1]

Convenzionalmente la potenza assorbita è > 0, la potenzaerogata < 0 .

Nel circuito R utilizza (assorbe) la

potenza erogata del generatore V:

PR=VI > 0 ; PG = -VI ( I scorre da - a + ) < 0.

Si Pi = 0 (Conservazione dell'energia, )25


Legge di Ohm (2)V = IR, ma in generale ogni volta che troviamouna relazione lineare tra corrente e tensione, passante per l'origine, parliamo di comportamentoOhmico, e R assume il significato di coefficientedi proporzionalità.La potenza dissipata dalla resistenza:

–W = VI = IRI = I2R = V2/R–NON è lineare–La potenza viene dissipata in calore, luce, radiazioneelettromagnetica in generale. 26


Calcolo potenza dissipata da una resistenza e dipendenza temporale

V=5V, R=1KΩ, PMAX = 250mWI = ? , P = ? -->

–VI = ?, I2R = ?, V2/R = ?

Se V == V(t) cosa cambia ?R è un numero reale positivo, che non dipendedalla frequenza!R NON introduce sfasamenti, quindi:

–I=V/R avrà la stessa fase di V27


CircuitiRami, Nodi, Maglie

–Ramo è un tratto di circuito–Nodo è un punto dove convergono 2 o più rami–Maglia è un tratto chiuso di circuito

–2 elementi che condividono un nodo si dicono in SERIE.–2 elementi che condividono due nodi si dicono in PARALLELO.Gli elementi del circuito (generatori, resistenze, ecc.) hanno due terminali. Ci possono essere elementi con 3 o piu' terminali(esempio potenziometro). In generale sono riconducibili ad aggregati di elementi con 2 soli terminali.

28


Circuiti (2)

Utile scomporli in tante maglie.Tanti elementi in serie e in parallelo.

29


Leggi di KirchhoffCurrents Law: Σi Ii = 0, la carica si conserva.–La somma delle correnti entranti in un nodo è nulla.

–Deriva dalla conservazione della carica e dal fatto che nei circuiti si presume nulla la corrente di spostamento (DIV J = 0)

Voltages Law: Σi Vi = 0–La somma delle differenze di potenziale (tensioni) lungo una maglia è nulla.

–Deriva dalla conservazione dell'energia.

–Si evince anche dal fatto che il campo elettrico è conservativo.

Attenti ai segni!

30

RSERIE = R1 + R2

RPARALL = R1R2/(R1 + R2)1/RPARALL = 1/R1 + 1/R2

Perchè ? Siamo in regime stazionario e vale la legge di Ohm. Calcoliamo V e I nei due casi.–SERIE: (I è la stessa in R1 e R2) IR1=V1, IR2=V2

–V1 + V2 = V I(R1 + R2) = V RSERIE = R1 + R2

–PARALLELO: (I diversa in R1 e R2 ma stessa V ai capi)I1R1=V, I2R2= V–I1 + I2 = I I2(1+R2/R1) = I V/I = RPARALL=V/ I2(1+R2/R1)

–RPARALL=V/ I2(1+R2/R1) = R2/(1+R2/R1) = R1R2/(R1 + R2)


R1

R2

Serie e parallelo di resistenze

R1R1R1 R2

31


Partitore di tensione

I

+

0V-

Prima applicazione di una serie di resistenze:I = Vin/RSERIE , RSERIE = R1 + R2

I = Vin/(R1 + R2)Vin- Vout = IR1 , Vout- 0V = IR2

Vout = VinR2/(R1 + R2)-Vin + (Vin- Vout ) + (Vout- 0V) = 0; ( KVL )Vin - (IR1) - (IR2) = 0; Vin = I(R1 + R2) ecc.ecc.Potenziometro .........

32


I

+

0V

Rload

Partitore di tensioneVout è un generatore di tensione ideale ?....Ecco cosa succede quando collego una resistenza di carico Rload all'uscita.

Rload si trova in parallelo a R2, quindi cambia il valore di IVout = VinR2//load /(R1 + R2//load)Utili per fare Voltage References di valore arbitrario(purché approssimativamente si abbia Iout = 0).

33


Partitore di correntePrima applicazione di un parallelo di resistenze:I = Vin/R// , R// = R1R2/(R1 + R2)I = Vin(R1 + R2)/(R1R2)I1R1= Vin, I2R2= Vin

I = I1 + I2 ; KCL --> La somma delle correntientranti in un nodo è zero.I = I2(1+R2/R1) = I1(1+R1/R2)I2 = I R1/(R1+R2) ; I1 = I R2/(R1+R2)

+-

R1 R2

I

I2I1Vin

34


Calcolo di una magliaDeterminare V12

R// = R1R2/(R1 + R2)I = Vin/(R3 + R//)Spesso più rapido così che fare un sistema di N eqz. per le maglie da risolvere poi. Nel caso in questione avremmo avuto 3 equazioni per le 3 maglie (con I, I1 e I2).I1 (o I2) si determinano poi usando la formula del partitore ….

+-

R1 R2

I

I2I1

R3

VinV12

+

-

35


Voltmetri e Amperometri

Voltmetro ideale:–Legge la tensione tra due nodi senza perturbare il circuito.

–Rinput = infinito

Amperometro ideale:–Legge la corrente che scorre in un ramo senza perturbare il circuito.

–Rinput = 0

Il voltmetro è in parallelo all'elemento, l'amperometro in serie!

36


MultimetroVoltmetro, Amperometro, Ohmmetro.

–Ohmmetro ?

Precisione: 0.5% + (1-2 digit).Continua e alternata.Portata (schema partitore di ingresso)

Autoranging!

ADCIN

1

2

3

4

9M

900K

90K10K

37


Misura di una tensione in uscita da un circuito.

Nella maggior parte dei casi, il multimetro (o l'oscilloscopio) sono più che adeguati.Con quale parametro ci si confronta ?–Impedenza di ingresso dello strumento e impedenza d'uscita del circuitoNel caso in cui questo confronto fosse o sfavorevole o “sconosciuto” si possono utilizzaretecniche ad “annullamento di corrente”.

38


Metodo potenziometricoAppartiene a quella classe di metodi di misura ad azzeramento.

–Si cambia un parametro (e.g. la tensione di un generatore) fino ad ottenere l'azzeramento della variabilemisurata (e.g. la corrente in un ramo).

All'inizio R0 NON E' PRESENTE !

+-

Vx

I0Rx

Volt+ rV -

V

Rx

R0

+-

V0

rV Volt

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Metodo potenziometricoQuando la tensione V misurata ai capi di rV è uguale a zero, vuol dire che I0 è nulla.

–V = I0rV

–Vx -I0Rx-I0rV-V0= 0 --> Vx = V0 (quando I0 = 0)

L'errore può essere di sensibilità, cioè si varia V0 ma V non varia

Oppure di precisione su V che in questo caso essendo V = 0 si limita agli 1-2 digit di troncatura. A questi si sommal'errore sulla lettura di V0.

–∆Vx = ∆V0 + ∆V40


Metodo potenziometricoPer misurare Rx, inseriamo R0 nel circuito.Riazzeriamo I0. Troveremo un nuovo valore di V0che indicheremo con V'0.Per la legge del partitore, avremo:–V'0 = VxR0/(R0 + Rx) = V0R0/(R0 + Rx)–(R0 + Rx)V'0 = V0R0

–Rx = R0(V0 - V'0)/V'0L'errore su Rx:

41


Errore su Rx = R0 (V0 - V'0)/V'0 :

Derivata logaritmica:

Metodo potenziometrico

42


Spesso con questo metodo, l'errore più rilevanterisulta essere quello di sensibilità.Variando la tensione, l'amperometro (voltmetro) non si scosta dallo zero.Dipende dalla corrente minima che può essererilevata dal nostro “NULL DETECTOR” .Il multimetro di laboratorio ha una sensibilitàmassima di 0,1 mA . Ma anche di 0,1mV.

Conviene usarlo come Voltmetro o Amperometro ?

Metodo potenziometrico

43


Trasformazione delle maglieCircuiti lineari:

–Esiste una relazione lineare tra “ingresso” e “uscita”–Iout = KVin + I0 ; Vout = αIin + V0 ; ecc. ecc.

Vale quindi il principio di sovrapposizione:–Il contributo di ogni generatore presente nel circuito puòessere considerato indipendentemente dagli altri. Il risultato finale si ottiene poi sommando tutti i contributi.

• Sostituire “correttamente” i generatori .......

44


Esempio:Circuito con generatore di tensione e generatore di corrente:

–Valutare la Iout che scorre nella resistenza di carico–Iout sarà data dalla somma di I1 e I2 dovuterispettivamente al generatore di tensione Vin e al generatore di corrente I0 .

+-

Vin I0 Rload

Iout

45


Thevenin e NortonUn circuito lineare può essere sostituito dal suoequivalente, costituito da un generatore di tensionecon una resistenza in serie.

–La tensione del generatore è quella misurata in uscita al circuito in assenza di carico–La resistenza serie si calcola sostituendo ogni generatoredel circuito con la sua impedenza (ovvero spegnendo igeneratori).

Esempio: partitore di tensione .....Norton è il duale di Thevenin: Generatore di correntee resistenza in //. VTh = IN*RN ; RN= RTh

46


Generatore di tensione rimpiazzato da un cortocircuito (R = 0)Generatore di corrente rimpiazzato da un circuitoaperto (R = ∞)

Thevenin e Norton (2)

+-

Vth

Rth

Rth

=

47


Esempio TheveninPartitore di tensione:

–Vth = Vout (misurata/calcolata in assenza di carico)

Rimane da calcolare Rth

I

+

0V

+

-

+-

Vth

Rth

48


RThevenin Si sostituisce a Vin la sua impedenzainterna con V=0 (cortocircuito)L'impedenza “vista” da Vout è data quindi dal parallello di R1 e R2 .

–Immaginate che Vout sia un generatoreesterno collegato al circuito. Vout /I è appunto l'impedenza cercata !

Rth quindi diventa: Rth = R1R2/(R1+R2)

I

+

0V

+

-

49

Infatti attacchiamo un carico Rload ad entrambi icircuiti e calcoliamo il nuovo valore di Vout .

Caso A: partitore inizialeCaso B: equivalente di Thevenin


Rload

Dall'esterno si comportano allastessa maniera

I

+

0V

+

-

+-

Vth

Rth

Rload

Vout

+

-

Caso A

Caso B50


Calcolo di VoutCaso A: Vout = Vin R2//Rload / (R1 + R2//Rload) ;

Poiché : R2//Rload = R2Rload / (R2 + Rload)

Si ha: Vout = Vin R2Rload / (R1(R2 + Rload) + R2Rload)

Caso B: Vout = Vth Rload / (Rth + Rload) ;

Poiché : Rth = R1R2/(R1+R2) e Vth = Vin R2 / (R1 + R2)

Si ha: Vout = Vin R2 Rload /(R1 + R2)(Rth + Rload)

Cioè sostituendo anche Rth si ha :

Vout = Vin R2Rload / (R1R2 + R1Rload + R2Rload)

In entrambi i casi abbiamo la stessa tensione in uscita, come ci si aspettava.

Caveat potenza dissipata! L'equivalenza vale solo per grandezze LINEARI!

51


Diagramma I-V per una resistenzaUsiamo un partitore costituito da un potenziometro, che alimentauna serie di resistenze.

–Una calibrata di valore noto e l'altra incognita.

–Due Voltmetri connessi, uno a R0 e uno a RX.

Non superate PMAX (R0)= V0I !

PMAX (RX)= VXI !

Tracciate Vx=f(I)Vx = RxI ; I = V0/R0 52


CELLACILINDRO 4 TERMINALI1 E 4 PER LA CORRENTE2 E 3 PER LEGGERE LA TENSIONE

1

2

3

4

Livello dellasoluzione

53


Diagramma I-V per la cellaUsiamo un generatore di corrente in alternata.–La corrente verso la cella viene determinata da:

– Icella = I0 = Vgen / (Rpot + 200 Ohm).

–Vgen = VRMS = 1 Volt , viene fornita e non si può cambiare. Vanno scelti via via i valori più opportuni di Rpot e usato un Voltmetro (in alternata) per misurare la tensione ai capi 2 e 3 (RED) della cella.

Si fanno più misure(~10) di V per ognivalore di I0, poi sicambia I0 impostatocambiando Rpot e siriprendono altre 10 misure. Questo per 7-10 valori diversi di corrente.

V

2

1

3

4

Scheda generatore di corrente

54

2017/FallR.D'Alessandro, Chiara Fort, Renato Torre

Laboratorio di Fisica (CdL Chimica)

Istogramma V23Fissato un valore di I0 (e.g. 1 mA) leggiamo V23 più volte e annotiamo i valori letti.

V23 ha un errore a priori ovvero sistematico Riempiamo un istogramma con bin di larghezza maggiore di ∆V23 (sistematico)

C'è dispersione ? Oppure tutti i valori stanno in unico bin ?

Calcolare quindi <V23> (valor medio), la deviazione standard σV23 e la deviazione standard del valor medio σ<V23>.

Ripetere per altri valori di I (e.g. 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 5 mA). Eseguire il fit per trovare R e Voffset (V=RI+Voffs)

Cambiare concentrazione (0.1%,0.3%,0.5%,0.7%,1%)

“Sanity check”: per I=1mA, valutare 1/R = I/V23 , per ogniconcentrazione. Dovrebbero scalare con la concentrazione.

55


Retta IVSi usano le formule complete del χ2 . L'errore infatti non è costante(inoltre, se necessario, viene sommato in quadratura l'erroresistematico sulla lettura di V23).La corrente I, invece, si suppone precisa !! Cioè nota con un errore MOLTO piùpiccolo della fluttuazione su V. Ma è un ipotesi che, in generale, andrebbeverificata. Ad esempio nel vostro caso sarebbe da confrontare con l’errore su Vx , ∆I = ∆Vgen/Rpot + (Vgen/R2

pot) ∆Rpot (segue da: I = Vgen/Rpot )

–Vgen viene fornita dall'esterno (∆Vgen/Vgen = 0.5%)

–Rpot la misurate voi (Errore del multimetro : 1% +/- 1-2 digit )

–NON È NECESSARIO FARLO PER LA RELAZIONE !

È invece ESSENZIALE valutare per ogni concentrazione il χ2

ottenuto in funzione dei gradi di libertà ed eseguire poi il fit dellaconducibilità in funzione della concentrazione di sale per tutte le concentrazioni misurate (almeno 5 concentrazioni). 56


Relazione - Soluzione salinaEsporre CHIARAMENTE cosa state misurando:

Metodo usato Circuito usato (con diagramma) Strumenti utilizzati con stima a priori dell’errore sistematico

I fit delle rette V=RI+Voffset vanno fatti usando le σ del Vmedio .

Valutate se dovete aggiungere anche il contributo del sistematico.

Se il χ2 ottenuti sono comunque molto elevati usate le σ delledistribuzioni di V al posto di quelle del Vmedio .

Valutate se Voffset è compatibile con zero e nel caso rifate il FIT dellerette VI forzando il termine costante a zero. Questo migliora la precisione su R.

Infine fate il fit della conducibilità in funzione della concentrazionesalina e valutatene il χ2 . 57


Lettere agli studenti sulla Sol. Salina

Il giorno 21 novembre 2016 07:09, Raffaello D'Alessandro <[email protected]> ha scritto:

Bravo/i.Bello il grafico con le barre di errore.Ottimo il forzare b a zero, visto che è compatibile con zero. Avete notato come aumenti la precisione sul coefficiente "a" ?

Ma ci sono alcune cose che mancano in questa elaborazione.1) Non è chiaro se state usando la sigma del valor medio. DOVETE usare la sigma del valor medio. (forse b non sarà più compatibile con zero , o forse sì)2) Manca l'errore sistematico, che va sommato in quadratura all'errore statistico. A meno che non sia trascurabile (ad esempio DeltaV < 1/5 sigmaV).3) Che valore vi è venuto del chi2 ?? Se è molto alto (e con le sigma dei valori medi potrebbe anche essere così) allora potete provare a fare il fit con le sigma della distribuzione(cioè quelle che avete usato nel foglio che mi hai mandato ora).

4) Unità di misura anche nelle tabelle.

Le funzioni del foglio di calcolo non usano le sigma, comunque sono utili per un "sanity check" .

58

Buonasera,La contatto per chiederle dei pareri sullo studio del chi-quadro di V=RI. In allegato troverà un solo grafico per la prima concentrazione. Considerazioni: le colonne di dati 1/sigma^2, x/sigma^2, ..., mi sono solo servite per poter fare le sommatorie di S, Sx,

... . Il valore di a scritto nell'equazione della retta sul grafico è il valore ottenuto facendo il fit della retta direttamente con le funzioni del foglio di calcolo, mentre in basso al grafico è stato calcolato il valore di a e di b secondo lo studio del chi-quadro. Pensa che possa andare bene, oppure c'è bisogno di fare dei cambiamenti? La ringrazio per il suo tempo e mi scuso per il disturbo.----------

mailto:[email protected]


Lettere agli studenti sulla Sol. Salina(continuazione)

59

Buonasera,La ringrazio per la risposta. Errori statistici ed errori sistematici sono tutti riportati su un altro documento, mentre per questo grafico che le ho inviato è stato usato come sigma, purtroppo erroneamente, la somma (non in quadratura) fra errore sistematico e deviazione standard. Secondo quanto ha proposto si potrebbe operare così per trovare il sigma da usare:

1) trovo deviazione standard S2) trovo il sigma del valore medio (sigma= S/radq N)3) sommo, in quadratura, il sigma del valor medio e l'errore sistematico4) utilizzo quest'ultimo come sigma per lo studio del chi-quadro

O si sbaglia qualcosa? All'inizio non avevamo usato il sigma del valor medio poiché facendo degli istogrammi, anche "qualitativi", delle dieci misure prese(per ogni valore della concentrazione e di Rpot) non venivano delle distribuzioni che ricordassero delle gaussiane. Se poi usando il sigma del valor medio

viene più preciso senza portare svantaggi allora verrà usato. Il valore del chi^2 va riportato in relazione oppure serve solo a noi come linea guida? La ringrazio ancora per il suo tempo per il suo aiuto.

Bene, ma il (3) va fatto solo se il sistematico è comparabile con sigma valor medio. Il chi2 deve essere valutato per decidere se il fit è ragionevole o meno. Se viene molto elevato (rispetto ai gradi di libertà) dovete : 1) verificare dal grafico che non ci sia uno o due punti chiaramente sbagliati (magari un valore di corrente impostato male). 2) Eventualmente allargare le barre di errore usando la deviazione standard al posto della sigma del valor medio.

Il chi2 deve essere riportato nella relazione assieme ai vostri commenti.

Ricordatevi alla fine il fit conducibilità vs concentrazione.


BREAK!

60


Correnti VariabiliLimitiamoci ai casi in cui le variazioni sono “lente” rispetto ai tempi di propagazione dei segnali nel circuito.Quanto è il tempo di propagazione (lampadina a 1 metro dall'interruttore) ?Accensione lampadina, velocità termica 106 m/s, velocità di drift 10-5 m/s, propagazione campo E.M. 2/3 velocità della luce (3x108 m/s).Corrente e tensione si propagano con il campo E.M.I nostri casi sono detti: “Quasi-stazionari”. 61


Quasi-stazionarietàNon vuol dire che non ci interessano i transitori. A volte cercheremo soluzioni per il transitorio a volte soluzioni a “regime”.Implicazioni per i “tempi” di variazione (o lunghezze d'onda dei segnali).T(periodo) = 2π/ω ; ω = 2π/T (ω = pulsazione) ;ν(frequenza) = ω/2π = 1/T.λ(lunghezza d'onda) = vE.M.(velocità di fase)/ν.

vE.M. tipiche nei cavi, 2/3 c

c (velocità della luce) -->1 metro in 3,33 ns . 62


Nuovi elementi circuitali (reattanza)Condensatori e induttanze diventano importanti quando consideriamo correnti variabili nel tempo.Al contrario delle resistenze (che dissipano calore per effetto Joule), questi elementi sono “conservativi”, cioè non dissipano energia ma l'accumulano per poi cederla al circuito.Questo non vuol dire che non si “oppongano” al passaggio della corrente (che varia nel tempo)!Questa “resistenza” al passaggio della corrente si chiama reattanza e si misura in Ohm. 63


CondensatoreIl condensatore è costruito da due armature metalliche separate da un dielettrico.

64


CondensatoreSe collego un generatore di tensione V0 (DC) ai capidi un condensatore, sulle armature si accumulerà unacarica elettrica tale da rendere la tensione ai capi del condensatore uguale a quella del generatore. A questo punto non fluisce più corrente nel circuito.Il fatto che la carica immagazzinata dal condensatore sia proporzionale alla tensioneapplicata è l'essenza dell'effetto capacitivo. In questocaso la relazione è lineare, e la costante di proporzionalità è detta: capacità del condensatore.

65


CapacitàC = Q/V-->[C](Coulomb)/[V](Volt) = [F] (Farad)Questa costante di proporzionalità e determinata dalle caratteristiche geometriche e materiali del condensatore.–Un condensatore a facce piane e parallele:–C = e0erA/dA volte, pur essendoci una proporzionalità tra tensione e carica, questa non è lineare. In questo caso si preferisce definire C come dQ/dV.Ad esempio la CT di un diodo contropolarizzato. 66


Calcolo della capacità di un condensatore

Facce piane e parallele (superficie A, distanza d)La carica superficiale σ è uguale a Q/A .

V= Ed = σd/ε = Qd/εAC = Q/V = εA/dDipende solo dalla geometria!

67


Relazione V-A per un condensatorePartiamo da C = Q/V:

–Q = CV–Ma: I = dQ/dt–Quindi se deriviamo a destra e a sinistra la prima equazione, rispetto al tempo otteniamo:

I = C dV/dt (Relaz. tra I e V)–Quando V è costante I = 0!

E' una equazione differenziale che possiamointegrare (Relaz. tra V e I):

68


Grafici corrente tensioneL'uso di v e i minuscolo per esprimere “piccole” variazioni nel tempo. Qui non necessario ma in altri contesti sì.Variazione istantanee di i, ma mai variazioni istantanee di v.

t

i(t) v(t)

t69


Energia immagazzinataÈ l'energia (il lavoro) necessaria a caricare ilcondensatore.Questa non viene persa in calore (a meno di effettisecondari legati alla “realtà” del componente).Rimane immagazzinata sotto forma di campo elettrico all'interno del condensatore stesso.La potenza:L'energia quindi:

70


Energia (2)In termini di carica si calcola il lavorocompiuto dal generatore per spostare unacarica infinitesima dq da un'armatura all'altradel condensatore C posto alla tensione V .

dL = Vdq ; ma V = q/C quindi: dL = qdq/C

dL = dU(Variazione dell'energia elettrostatica)Integrando in dq otteniamo: U = 1/2 q2/C = 1/2 CV2 71


Serie di condensatoriQuasi-stazionario: DivJ=0, la corrente è uguale(istante per istante) in tutto il circuito.Condensatori in serie:Si applica la KVL: v-v1-v2-.....vn = 0

Quindi:72


Parallelo di condensatoriSempre caso quasi-stazionario. Si applica la KCL.i = i1 + i2 + .... + in

Quindi:

L'opposto che per le resistenze ....... 73


InduttanzaLegge di Faraday (legge dell'induzione elettromagnetica): in un circuito chiuso posto in un campo magnetico variabilesi genera una f.e.m. indotta (e quindi una corrente che scorrenel circuito).

–Si ha lo stesso fenomeno per un circuito in movimento in un campo magnetico costante.

–Legge di Lenz: la corrente è tale da dar luogo a un campo magneticoche si oppone alla variazione che l'ha generata (conservazionedell'energia).

B(t)

I

si oppone ... 74


InduttanzaLegge di Biot-Savart (magneto-statica): un conduttore percorso da corrente genera un campo magnetico d'induzione B.

Legge di Ampère:

Quindi un circuito chiuso in cui circola corrente si ha anche l'induzione di un campo magnetico.

Se questo, varia nel tempo, a sua volta avremo una f.e.m. autoindotta che si oppone alla variazione della corrente stessa. 75


InduttanzaSi genera quindi una tensione VB, dovuta appuntoalla variazione del campo magnetico indotto, proporzionale a dI/dt (alla variazione della correnteche genera il campo magnetico).Il coefficiente di proporzionalità si chiamainduttanza: L -> Henry -> [H] = [V][s]/[A]

Il flusso si misura in weber: una variazione di flussodi un weber al secondo, induce una f.e.m. di un Volt. [Wb]. 76

v = L di/dtAnaloga a quella del condensatore, solo che adessose i = cost. allora v = 0.Per circuiti in continua L si comporta come un corto circuito mentre il condensatore come un circuito aperto.Integrando otteniamo:Le variazioni di i sono proporzionali al reciprocodi L e all'integrale di v!


Relazione V-A per un'induttanza

77


Variazione istantanee di v, ma mai variazioniistantanee di i.

Grafici corrente tensione

t

v(t)i(t)

t

t

i(t)v(t)

t

v=Kt i=1/2Kt2

78


Energia immagazzinataE' l'energia (il lavoro) necessaria a far circolareuna certa corrente i nell'induttanza.Questa non viene persa in calore (a meno di effettisecondari legati alla “realtà” resistiva).Rimane immagazzinata sotto forma di campo magnetico.La potenza:L'energia:

79


Serie di induttanzeQuasi-stazionario: DivJ=0, la corrente è uguale(istante per istante) in tutto il circuito.Induttanze in serie:Si applica la KVL: v-v1-v2-.....vn = 0

Quindi:80

Sempre caso quasi-stazionario. Si applica la KCL.i = i1 + i2 + .... in

Quindi:Analogamente alle resistenze .......


Parallelo di induttanze

81


Convenzione segni per gli elementi circuitali

Il generatore è un'oggetto a se, è responsabile del flusso di corrente nel circuito.

Gli elementi circuitali hanno, per convenzione, il segno + e il segno - nel verso della corrente. Cioè la corrente scorre da + a - .–R: la corrente provoca una caduta di tensione IR che si sottrae alla d.d.p del generatore

–C: una I entrante aumenta le cariche sull'armatura del condensatore(+) e quindi dv/dt >0

–L: se dI/dt>0 allora si ha una f.e.m. che si sottrae alla d.d.p. del generatore che fa fluire I nel circuito.

82


Circuiti RCPrimo circuito: C è il generatore di tensione

+

-

VC

I

R VR

C

-

+

Q0/C =

Interruttore chiuso a t0

+

-VC

IR

VR

C

+

-

= Q0/C

Interruttore chiuso a t0

+VGEN

-

IC IR

83


Primo circuito RCCaso semplice, un condensatore (C) carico (Q0), che viene chiuso su una resistenza R da un interruttore all'istante t0.–Per t <= t0 si ha: VC = Q0/C, VR = 0, I = 0 .–Per t > t0 si ha: VC = VR = Q/C = ?, I = ?Scriviamo l'equazione della maglia:–VC + IR = Q/C + IR = 0–Ma I = dQ/dt quindi:–dQ/dt + Q/RC = 0 Equazione omogenea del primo ordine.

84


Primo circuito RCRaggruppando, troviamo:Integrando:

Facendo l'esponente otteniamo:

Essendo V = Q/C, I = dQ/dt , otteniamo espressionianaloghe in funzione del tempo anche per la tensione e la corrente. 85


La quantità di carica sulle armature del condensatore decade esponenzialmente con unacostante di tempo τ = RC !Passato un tempo τ , Q si è ridotta a:–0.3679 Q0 ( cioè si è ridotta a Q0/e )–VC segue lo stesso andamento di Q, ovviamente–I essendo uguale a dQ/dt, segue lo stessoandamento di Q. La corrente massima si ha per t = t0. ed è: IMAX = I(t0) = VC(t0)/R = Q0/RC

Primo circuito RC

86


CorrentedQ/dt è la corrente IC che fluisce nelle armature del condensatore, per questo è negativa!– -Q0/t e-(t-t0)/t = -V0/R e-(t-t0)/t

IC = - IR , se applicate la legge dei nodiall'interruttore.Quindi IR = I, è uguale, come ci si aspetta, a:–V0/R e-(t-t0)/t

–Dovuta al fatto che C è il nostro generatore di tensione (che si scarica ....) 87


Secondo circuito RCGeneratore in continua. Assumiamo che il condensatore(C) sia inizialmente scarico (Q(0) = 0). All'istante t0(= 0) viene chiuso l'interruttore e inizia a fluire la corrente I.

–Per t <= 0 si ha: VC = Q(0)/C = 0, VR = 0, I = 0 .–Per t > 0 si ha: VC = Q(t)/C = ?, I = ?

Scriviamo l'equazione della maglia:–VGEN - VC - IR = VGEN - Q/C - IR = 0–Ma I = dQ/dt quindi:–dQ/dt + Q/RC = VGEN

• La cui omogenea è:–dQ/dt + Q/RC = 0 (Equazione del circuito precedente.)

88


La soluzione sarà data dalla soluzionedell’omogenea più una soluzione particolare.

–Q(t) = K e-t/RC + ?Soluzione Particolare?–Una soluzione particolare è data da Q = cost. = CVGEN

–Q(t) = K e-t/RC + CVGEN , K = ?

• K viene determinata dalle condizioni iniziali, per t = 0, Q(0) = 0 (condensatore scarico), quindi–Q(0) = K + CVGEN = 0 K = - CVGEN

Q(t) = CVGEN(1 - e-t/RC) V(t) = VGEN(1 - e-t/RC)

Secondo circuito RC

89


Quindi il condensatore si carica e, una voltaraggiunta la tensione VGEN, la corrente smette di fluire (I decade exp... : IMAX = I(0) = VGEN/R ).Se il generatore in continua viene sostituito da uno a onda quadra che oscilla tra V1 e V2 ( >V1) con un periodo T >> τ = RC, osserveremo il condensatorecaricarsi fino a raggiungere V2 e successivamentescaricarsi fino a raggiungere V1 e così via con periodo T .

Secondo circuito RC

90


Carica scarica di un condensatoreI(t) ?

t

VGE

N

VC

V

90%

10%

T

e-

t/τ

91


Come risalire a t da una misuraall'oscilloscopio

Si misura il tempo in cui il segnale passa dal 10% (t1) al 90% (t2) della sua ampiezza massima (Vin) :–Vout = Vin (1-exp(-t/τ))

–0.1 Vin = Vin (1-exp(-t1/ τ)) → 0.9 Vin=Vin exp(-t1/ τ)

–0.9 Vin = Vin (1-exp(-t2/ τ)) → 0.1 Vin=Vin exp(-t2/ τ)

Dividiamo membro a membro ottenendo:

9 = exp(t2 - t1 / τ) → τ = (t2-t1) / ln9

92


OSCILLOSCOPIOE' un Voltmetro! Quindi impedenza d'ingressoelevata (ma non infinita ....) schematizzabile come un parallelo tra un resistenza (1 MΩ) e una capacità(10-20 pF).Permette di visualizzare l'andamento della tensionein funzione del tempo su uno schermo a fosfori(analogico) oppure televisivo (digitale).Due controlli fondamentali:

–Scala delle tensioni–Scala dei tempi 93


E' meno preciso di un multimetro, tipicamente si ha un 3% di errore di calibrazione oltre all'errore di lettura (analogico).–Il multimetro però anche quando misura l'alternata può al massimo misurare il valore R.M.S. di una sinusoide e per di più limitata a una frequenza massima di 500Hz.

Indispensabile ogni volta che si vuole “vedere” lo sviluppo temporale di un segnale.Il segnale viene visualizzato su uno schermo con un reticolo sovrapposto.–Tutte le unità di misura sono riferite ai “quadretti” dello schermo. 20mV a quadretto, 10us a quadretto ecc. ecc.

OSCILLOSCOPIO

94


Poichè sullo schermo si possono vedere anche più tracce, normalmente si hanno almeno due ingressi indipendenti per i segnali.

OSCILLOSCOPIO

Ingresso 1

Ingresso 2

Controllo V/div 2

Controllo V/div 1

Controllo secondi/div

95


Circuito di trigger:–Problema: decidere quale intervallo del segnalemostrare **.–Normalmente si usa un circuito a soglia, cioè chescatta quando il segnale supera un certo livello di tensione minima (oppure “scende” sotto un certolivello).–Al superamento della soglia il circuito di trigger faràvisualizzare all'oscilloscopio il segnale in ingresso.

** Negli oscilloscopi analogici, affinchè l'occhio umano possa vedere la traccia luminosa bisogna che questa passiripetutamente sui fosfori dello schermo stimolandoli. Quindi è assolutamente indispensabile che si mostri sempre lo stesso identico spezzone temporale del segnale. Negli oscilloscopi digitali questa sincronizzazione non è necessaria(misura “one shot”) ma nel caso di segnali ripetitivi permette di migliorare la misura.

OSCILLOSCOPIO

96


Tubo catodico e placchette di deflessione

Cannone elettronico

Accelerazione

Placche di deflessione

Impatto sul fosforo e

Visualizzazione traccia

97


Convertitore ADC e computer ...

Amplificatore/adattatore in ingresso.Convertitore Analogico Digitale (ADC)

Memoria, Computer per la visualizzazione dei dati in memoria.

Circuito di trigger !! La cosa più difficile. 98


CampionamentiIl generatore d'onda quadra parte solo con il consenso del circuito di trigger (i.e. quando Vin > Vth).

Il periodo dell'onda quadra T è legato alla scala dei tempi (s/DIV.) In generale T<= di una divisione.

T stabilisce la cadenza dei campionamenti (conversioni) del segnale in ingresso fatti dall'ADC e scritti in memoria.

V

t

Tonda

quadra

Campionamenti

99


BREAK!

100


Correnti alternateCorrente (tensione) alternata, si riferisce a:

–una grandezza periodica–a media nulla–V(t) = V0cos(ωt + φ) - funzione periodica con pulsazione w e sfasamento φ.

Una funzione periodica è rappresentabile come somma di funzioni armoniche semplici:

101


Funzione sinusoidalef(x) = sin(x) ; periodo 2π ;Definiamo x = ωt (t=tempo)ω = freq. angolare. [rad./s]T = periodo = 2π/ωf = 1/T = ω/2π = ν = frequenza ciclica [Hz]Una tensione che varia sinusoidalmente :–V(t) = V(t + nT) = V0 sin(ωt + φ)

–φ è la fase iniziale della sinusoide (al tempo t=0)–φ > 0, t0 deve essere < 0 (anticipo) e viceversa 102


Numeri complessiUn numero complesso è costituito da una parte Reale e una parte Immaginaria ( i = √(-1) ) e puòessere rappresentato in vari modi:–z = a + ib (notazione algebrica)–z = r eiφ (notazione esponenziale)–z = r /_φ (notazione polare)– z = r cosφ + i r sinφ– eiφ = cosφ + i sinφ (vedere dopo)

– r = (a2 + b2)1/2 (MODULO)– φ = arctg(b/a) (FASE)

φa

b

r

z

ℜ

ℑ

103


Numeri complessiVantaggi del formalismo con numeri complessi:

Semplificazione dei calcoli Le eqz. differenziali vengono riportate ad eqz. algebriche.

Finiti i calcoli poi dobbiamo ritrovare la soluzione “Reale”!

Cioè trovare il modulo e la rotazione (fase) del vettore.

Il complesso coniugato di un numero complesso:–z = a + i b --> z* = a - i b

Modulo quadro di un numero complesso:–zz* = a2 + i ba - i ba + b2 = a2 + b2 (REALE !)

–z + z* = 2a (REALE .. MA ..NON è il modulo!) 104


Funzione sinusoidaleRappresentazione complessa. Serie di Taylor:

x ix eix = cos x + i sin x La somma delle due serie (cos x + i sin x) è ugualeallo sviluppo in serie dell'esponenziale complesso.Le operazioni con gli

esponenziali sono più semplici:

eg. il prodotto di due coseni105


Rappresentazione complessaV(t) = V0cos(ωt + φ) = Re (V0ei(ωt + φ))V(t) = Re (V0eiφeiωt) = Re (V^eiωt)V^ è un numero complesso chiamato fasore .L'uso della rappresentazione complessa ci permettedi riportare ad equazioni algebriche, le equazionidifferenziali che regolano l'impiego di condensatorie induttanze.Caveat: grandezze lineari (la frequenza rimaneunivoca), soluzioni a regime (non vi è dipendenzadal tempo)!

106

V(t) = V0cos(ωt + φ) = Re (V0ei(ωt + φ)) = Re (V^eiωt)Derivate:

dV/dt = -ωV0sin(ωt + φ) = Re (iωV^eiωt) quindi:– per i fasori: V^ : d/dt iωV^

Integrali (in maniera analoga):– per i fasori: V^ : V^/iω

Rappresentazione grafica:– ωt è la rotaz. dipendente dal tempo

– φ è l'angolo di fase a t=0.

– eiπ/2 = i ; e-iπ/2 = -i2017/Fall R.D'Alessandro, Chiara Fort, Renato Torre


Derivate e integrali di tensioni (correnti) alternate

φ

ℑ

ℜ

V0eiφ

ωt

107

Resistenze: NON introducono sfasamenti!–tensione e corrente sono in fase–l'impedenza è puramente reale (rappr. con i fasori)–I(t) = V(t)/R (Legge di Ohm) = V0cos(ωt + φ)/R

–I(t) = I0cos(ωt + φ) , con I0 = V0/R

Con i fasori:–V^ = I^R , con V^ = V0e

iφ , e I^ = I0eiφ (stessa fase)!


Elementi circuitali in C.A.

φ

ℑ

ℜ

V0eiφ

I0eiφ108


Induttanze (i = eiπ/2):–I(t) = I0cos(ωt + φ) Iêiωt

–V(t) = L dI(t)/dt–V(t) = -ωL I0sin(ωt + φ) = ωL I0cos(ωt + φ + π/2)

–V(t) = iωL Iêiωt = ωL Iêi(ωt+ π/2)

–Le ultime 2 espressioni sono identiche tra loro (i = eiπ/2).

Quindi l'induttanza introduce uno sfasamento di π/2 . Cioè la tensione anticipa la corrente di 90 gradi. Con i fasori :

–Vêiωt = iωLIêiωt V^ = iωLI^


109


Capacità:–V(t) = V0cos(ωt + φ) Vêiωt

–I(t) = C dV(t)/dt–I(t) = -ωC V0sin(ωt + φ) = ωC V0cos(ωt + φ + π/2)–I(t) = iωC Vêiωt = ωC Vêi(ωt+ π/2)

Le ultime 2 espressioni sono identiche tra loro (i = eiπ/2).

Quindi la capacità introduce uno sfasamento di π/2 . Cioè la corrente anticipa la tensione di 90 gradi. Con i fasori :

–Iêiωt = iωCVêiωt I^ = iωCV^


110


La generalizzazione della resistenza è l'impedenza.–V = RI --> Z = R (puramente Reale)–V^ = iωLI^ --> Z = iωL (puramente Immaginaria)–V^ = I^/iωC-->Z=1/iωC=-i/ωC(puramente Immaginaria)–Usando solo onde sinusoidali e cercando le soluz. a regime, non abbiamo più la dipendenza dal tempo.

Legge di Ohm generalizzata: V^ = Z^I^


φ

ℑ

ℜ

I0eiφ

φ

ℑ

ℜ

V0eiφ

I0ei(φ+π/2)V0ei(φ+π/2)

ωtωtL C

111


Leggi di KirchhoffImpedenze complesse:

–ZC(ω) = 0 per ω che va a infinito.–ZC(ω) = inf. per ω che va a zero.–ZL(ω) = inf. per ω che va a infinito.–ZL(ω) = 0 per ω che va a zero.

Ai fasori si applicano pari pari le leggi di Kirchhoff viste per le correnti in continua:–KVL: V^

1 + V^2 + V^

3 + .... + V^n = 0

–KVC: I^1 + I^

2 + I^3 + .... + I^

n = 0112


Come conseguenze diretta della validità delle leggi di Kirchhoff (slowly varying signals!), avremo anche:

–Serie di impedenze:

Z^eq = Z^

1 + Z^2 + Z^

3 + ..... + Z^n

–Parallelo d'impedenze:

1/Z^eq = 1/Z^

1 + 1/Z^2 + 1/Z^

3 + ..... + 1/Z^n

Partitore di tensione: V^1 = V^

GEN Z^1/(Z^

1 + Z^2)

Partitore di corrente: I^1 = I^

GEN Z^2/(Z^

1 + Z^2)

Leggi di Kirchhoff

113

VGEN = V0cos(ωt)Fase iniziale = 0.Ci interessa la tensione ai capi del condensatore V^

C

L'equazione differenziale è data da:

equivalente (con i fasori e le impedenze complesse) a:

–V^GEN - I^(Z^

R + Z^C) = 0, con: Z^

R = R e Z^C = 1/iωC

–V^C = I^Z^

C = I^/iωC


Circuito RC in alternata+

-VC

I

R

VR

C

+

-

= Q/C

+VGEN

-

114

Definiamo ωC = 1/RC = frequenza di taglio del circuito.

Questa è la tipica risposta di un filtro passa-basso. Cioè di un circuito che lascia passare la tensione in continua e/o in alternata con frequenza minore di ωC, ma attenua/blocca(sempre di più al crescere della frequenza) la tensione con frequenza superiore a ωC.


Circuito RC in alternata

115

Vediamo separatamente il modulo e la fase di V^C rispetto a

V^GEN = V0

GEN .(abbiamo supposto senza perdere generalità che la fase iniziale del generatore sia nulla)

–Sappiamo che a + ib può essere scritto come Aeiφ.–A = (a2+b2)1/2, e φ = arctg(b/a)

Quindi (V^C = |V^

C|eiφ , e V^GEN = V0

GEN) :



φ

116


Fase:

per ω = ωC(freq. di taglio) : φ = -π/4 per ω = 0 : φ = 0 per ω∞ : φ = -π/2

Modulo del guadagno (G = |V^C|/|V^

GEN| ):

per ω = 0 : G =1 per ω∞ : G= 1 per ω = ωC : G = 1/21/2 = 0,71


ω

f

0

−π/4

−π/2

ωC

ω0

G

0

1

0.7

ωC117


G guadagno del circuito, è più generalmente nota come funzione di trasferimento (di solito complessa).–G = V^

C/V^GEN = VCeiφeiωt / V0

GENeiωt

Nel campo reale:–VGEN(t) = V0

GENcos(ωt)–VC(t) = V0

GEN/(1+(ω/ωC)2)1/2 cos(ωt + φ)Quindi la tensione ai capi del condensatore saràoltre che attenuata anche sfasata di un angolo φdipendente da ω.


118


Decibel e Diagrammi di BodeI grafici mostranti G e la fase φ, normalmente non sono riportatiin scala lineare bensì log-log e log-lin.

Sia per il guadagno G che per la fase φ, la frequenza ω è sempre mostrata in scala logaritmica (base 10).

La fase φ viene messa in ordinata con una scala lineare, per cui il grafico della fase in funzione di ω risulta lin-log.

Il modulo del guadagno |G| normalmente viene espresso in decibel (dB).

–GdB = 20 log10(|G|) = 20 log10(VC/V0GEN)

–Se VC < V0GEN (come nel nostro caso) allora GdB < 0.

Grafici costruiti a questa maniera sono chiamati diagrammi di Bode.

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Diagrammi di Bode per il filtro passa-basso (Circuito RC)

Facile identificare la frequenza di taglio.

La pendenza di GdB dopo ilpolo a ω = ωC è di 6dB per ottava, ovvero di 20dB per decade.

Nei grafici a lato la frequenzadi taglio è 100 Hz.

Alla frequenza di taglio GdB è a -3dB e f = -45o.

-3dB = 20 log10(|G|) quindi|G| = 1/21/2 che è infatti ilvalore assunto quando ω = ωC.

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Esperienza C (Circuito RC).Oscilloscopio – Caratterizzazione di un circuito RC

Vout=Vin (1-exp(-t/τ))

0.1 Vin =Vin (1-exp(-t1/τ)) → 0.9 Vin=Vin exp(-t1/τ)

0.9 Vin =Vin (1-exp(-t2/τ)) → 0.1 Vin=Vin exp(-t2/τ)

da cui dividendo membro a membro V0 e con facilipassaggi si ottiene:

τ = (t2-t1) / ln9 --> ∆τ/τ = ∆t2/t2 + ∆t1/t1 .τ = RC (CONFRONTARE)! --> ∆τ/τ = ∆R/R + ∆C/C 121


In questa seconda parte dell’esperimento, il generatore di funzioni deve generare

un’onda sinusoidale della forma: Vin = Ain cos (2πνt)

La differenza di potenziale ai capi del condensatore visualizzata sull’oscilloscopio

sarà della forma: Vout = Aout cos (2πνt + φ)

Il guadagno si misura facendo il rapporto tra le ampiezze picco-picco delle due

sinusoidi.

Lo sfasamento si misura prendendo l'intervallo di tempo ∆t tra le due sinusoidi (a

metà del fronte di salita). φ = 2π∆t/T = ω∆t = 2πν∆t (ν letta dal generatore, molto più

precisa del periodo letto sull'oscilloscopio).

Riportate i risultati in due Bode plot (guadagno e fase) dai quali ricavare la frequenza

di taglio, e confrontatela con quanto trovato precedentemente.

Esperienza C (Circuito RC).

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Non più in programma dal 2015 (Annus mirabilis Brunello).


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Doppio multimetro (2015 no)

Impedenza d'ingresso di un multimetro 10MΩ.Prima si attacca un multimetro all'uscita e simisura V1, poi se ne aggiunge ancora un'altro e sirimisura la tensione in uscita V2 = V1.Si assume che i 2 voltmetri abbiano la stessaimpedenza.Ricavare Vx e Rx e propagare gli errori.

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Derivazione di Vx e Rx.L'unica differenza nei due casi è il parallelo tra le due rV

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Propagazione degli erroriDerivata logaritmica:

126


Propagazione degli erroriDerivata logaritmica:

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Diodo a semiconduttore (2015 no)Atomi, livelli energetici (discreti):

Fermioni (Principio di esclusione di Pauli)Spin (quarto numero quantico), s = ± 1/2.

Atomo d’idrogenoOrbitali elettroniciIn generale 3 numeri quantici descrivonola funzione d’onda dell’elettrone:– n=1,2,3,…... K,L,M,N,….. shell– l= 0,1,2,….,n-1 s,p,d,f,….. subshell– ml=0,+-1, +-2,… +- l– E = F(n,l,m,s)– ∆E = hν– Si ha emissione di radiazione solo nelle transizionitra livelli energetici. Proprietà chimiche dipendono soprattuttodagli elettroni di valenza (occupano gliorbitali più esterni).

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Bande energeticheAvviciniamo gli atomiGuardiamo cosa succede agli elettroni più esterni

Silicio (A=14):1s22s22p63s23p2

Germanio (A=32):1s22s22p63s23p63d104s24p2

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Bande energetiche

Riarrangiamento dei livelli in bande.A seconda del passo reticolare, cambia radicalmente la struttura.

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Banda proibita(a)Isolante(b)Semi-conduttore(c)Metallo

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SemiconduttoriDue tipi di portatore–Elettroni–LacuneMeccanismo di conduzione bipolareAgitazione termica, libera coppie elettrone-lacuna, che successivamente si ricombinanoA regime si ha una situazione stazionaria con un certo numero di portatori liberi

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Due portatori di caricaL’elettrone mancante nei legami covalenti, può essereschematizzato a tutti gli effetti come una particella di caricapositiva e massa mh con mobilità µh .

L’elettrone che si muove a sinistraper riempire un legame covalente, equivale al movimento di una carica positiva verso destra.

Sono veramente due tipi di conduzione diversa,(schematizzabili come sopra).Verifica sperimentale con l’effetto Hall.

+

+

t

+

+

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Caratteristiche, silicio e germanio

Germanio SilicioNumero atomico

32 14

Densità (g/cm3) 5.3 2.3Atomi/cm3 4.4 1022 5.0 1022

EGAP (eV) T = 300 0K 0.72 1.1ni (cm-3) T = 300 0K 2.5 1013 1.5 1010

Resistività(Ωcm) T = 300 0K

45 230000

µn (cm2/Vs) T = 300 0K

3800 1300

µh (cm2/Vs) T = 300 0K

1800 500

•n (concentrazione di elettroni) = p (concentrazione di lacune) = ni ( concentrazioneintrinseca)•ni

2=A0T3exp-(Egap/kT) ; dipende fortemente dalla temperatura.•j = (nµn + pµp)qE = σE•EGAP dipende da T (10-4)•µ oltre a dipendere da Tdipende anche da E.i.Per E<103V/cm, µ è cost.ii.Per 103<E<104, µE-1/2

iii.Per E>104, µE-1

La velocità di saturazione ècirca 107 cm/s.

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Drogaggio nDonori (P,As,Sb)Atomi con 5 elettroni negliorbitali esterniUno dei 5 elettroni, risulta poco“legato” al suo atomo nel reticoloNella descrizione a bande, vieneintrodotto un livello energeticodiscreto (numero di donori comunque piccolo)

vicino alla banda di conduzione.

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Drogaggio p Accettori (B,Ga,In)Atomi con 3 elettroni negli orbitali esterniUno dei 4 legami covalenti, risulta “vuoto” e tende a prendere l’elettrone mancante dagli atomi vicini.Nella descrizione a bande, viene introdotto un livello energetico discreto (numero di accettori

comunque piccolo) vicino alla banda di valenza.

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Drogaggio

Con il drogaggio, cambiano le proprietà di conduzione elettrica del conduttore.L'aggiunta di 1 atomo donore su 106 atomi di silicio, riduce le lacune presenti nel materiale a valori prossimi a zero; rimangono solo gli elettroni per condurre la corrente.Se vengono usati atomi accettori, i ruoli si scambiano e nel materiale rimangono solo lacune.

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DrogaggioPossiamo quindi cambiare le caratteristiche del semiconduttore (es. silicio)La concentrazione ND di donori (tutti praticamente ionizzati) e la concentrazione NA di accettori si devono sommare alle concentrazioni di lacune ed elettroni presenti nel semiconduttore. Poichè il materiale è neutro si deve avere:– ND + p = NA + nIn un semiconduttore di tipo n (NA = 0) p è molto piccola e quindi n ≈ ND

Inoltre: np = ni2 (Legge di azione di massa)

p ≈ ni2/ND

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Qualche numero (silicio)Aggiungiamo donori; una parte in 108 atomi di silicio:

–ND = (Densità atomi di silicio)/108 = 5.0 1022 /108 = 5.0 1014

–n ≈ ND = 5 1014

–p = ni2/n ≈ ni

2/ND= 2.25 1020/5 1014 = 4.5 105

La resistività diventa: σ = nqµn = 5 1014 * 1.6 10-19 * 1300 = 1.04 10-1 (Ωcm)-1

ρ = 1/σ = 10 Ωcm

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Effetto HallSono davvero due tipi di portatori!–Effetto HALL

–F = qvB diretta lungo -Y

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Effetto HallSe il silicio è di tipo n, la corrente sarà data da elettroniliberi (carica negativa) che si muovono da destra a sinistra. Se di tipo p da lacune (carica positiva) che simuovono da sinistra a destra. In ogni caso migrano sullafaccia 1.

–Vhall = V21 > 0 se di tipo n

–Vhall = V21 < 0 se di tipo p

Se la conduzione nel materiale di tipo p fosse comunquedescritta da un “gas” di elettroni legati che si muovono da destra a sinistra, Vhall sarebbe uguale nei due tipi di semiconduttore.La lacuna si comporta “classicamente” come un portatore libero di carica positiva.

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Effetto Hall (tipo n)E = VHall/d , le cariche accumulate sulle superficigenerano un campo elettrico E tale da contrastare un ulteriore spostamento di cariche dovuto alla forza di Lorentz.

–VHall = Ed = Bvd ; j = nqv = I/wd–VHall = BI/nqw da cui si ricava la densità di portatori nq.–RHall = 1/nq, coefficiente di Hall.

Se viene misurata anche la conducibilità σ = nqµ siricava anche il valore della mobilità µ.Vale ovviamente anche per materiale di tipo p; siricava la mobilità delle lacune. 142


Giunzione p-n

Le lacune che si diffondono nella zona N si ricombinano con gli elettroni presenti, lasciando ionizzati gli ioni donori. Si viene a creare quindi una zona “fissa” di carica positiva. Lo stesso accade per gli elettroni che diffondono nella zona P.Queste cariche nude, danno origine ad un campo elettrico E che ostacola l’ulteriore diffusione di portatori.

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Diodo a giunzione

•Polarizzazione diretta (figura)–Generatore “abbassa” la barriera e favorisce il flusso dei portatori di carica “maggioritari”

Giunzione asimmetrica p>>n

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Circuito con il diodo

Caratteristica V-A (Volt-Ampere) del diodo

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Caratteristica V-A del diodo

•I = I0 (eV/ηVt -1)–I0 = Corrente di saturazione inversa–V = Tensione di polarizzazione esterna–Vt = Volt equivalente della temperatura– η = Coefficiente di correzionesilicio/germanio

Determinare, nella approssimazione a linea spezzata(“piecewise approximation”),i parametri Vg e Rd(nel range 1mA < I < 3mA).

1/RD

Vg 146


Tipi di diodo

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Circuito rettificatore a mezza onda e a onda intera (ponte).

Generatore alternata, R di carico, ecc. ecc.Grafici: Vin / Vout

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BREAK!

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Solenoide di sezione A e lunghezza d con N spire.Il campo magnetico B è diretto lungo l'asse del solenoide. Usiamo la legge di Ampere.–Bd = µNI (campo esterno al solenoide = 0, approx. d >> r)

–B = µNI/dF(B) = NAB

VL=(NAµN/d) dI/dt = LdI/dt (VL ostacola la crescita di I)

L = µN2A/d , dipende solo dalla geometria.2017/Fall R.D'Alessandro, Chiara Fort, Renato Torre


Induttanza del solenoide

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Induttanza del solenoide (2)Simmetria (riflessione/rotazione/traslazione lungo z):

B vettore assiale, quindi possibile solo direzione lungo z.

Conservazione energia linee di campo B esterne molto rarefatte. Per d --> inf. allora B --> 0. Quindi loop esterno B = 0.

Loop interno: corrente circuitata I=0, quindi B*l in su sarà ugualea B*l in giù. Poichè le dimensioni del loop sono variabili si ha cheB = costante.

Loop a cavallo delle spire: Bext = 0, Bint*l = µ0NI

Il flusso di B concatenato del soleinode è dato da: A (superficie) * N (numero di spire) * B.

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Gruppo1-2 INFN FIRENZE - Carica elettrica ed...

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