Parte I: La Fisica come Scienza teorico-sperimentale e concetti di base

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) I propositi della Fisica2) Le grandezze fisiche ed il concetto di misura3) Scalari e Vettori4) I fenomeni fisici come evoluzione spazio-temporale delle grandezze fisiche5) Algebra dei vettori

Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Chiediamoci Chiediamoci Perché?Perché?

1) Perché il Sole sorge e tramonta?2) Perché gli oggetti cadono?3) Perché esistono solidi e fluidi?4) Perché vedo?5) Perché ci sono oggetti caldi o freddi?6) Perché una pallina che rotola sul pavimento si fermerà?7) Perché ci sono i fulmini?8) Perché un oggetto esposto al sole si riscalda?9) Perché il mare ed il cielo sono azzurri?10) Perché posso udire e produrre suoni?11) Perché il rosso Ferrari è diverso dal rosso della salsa di pomodoro?12) Perché il gesso aderisce alla lavagna o una matita scrive?13) Perché una bussola segna il nord?14) Perché posso vedere in TV real time una partita di calcio?

Milioni sono le domande possibili ed alcune di incredibile sottigliezza.Scoprire le risposte può dare una ineguagliabile gioia, come leggere una poesia o ascoltaredella musica.

Le domande si riferiscono a fenomeni fisici e la Fisica si occupa di cercare le rispostee di capire come sfruttare ciò che comprendiamo per il progresso dell’umanità.

La Fisica o Filosofia NaturaleLa Fisica o Filosofia Naturale

Si comincia a fare Fisica nel momento in cui ci si chiede, per esempio:

1) Cosa accade attorno a me?2) Perché e come avviene un determinato fenomeno?3) Esistono regolarità e/o analogie fra i fenomeni che osservo?4) Sono in grado di predire con accuratezza l’accadimento di un fenomeno?

La Fisica nasce nel momento in cui si cerca di capire la realtà che ci circonda ediventa Scienza nel momento in cui le risposte che si trovano alle domande di cui soprasono attendibili, condivise e verificabili da chiunque.

Delle domande di cui sopra, in particolare la no. 4 è rilevante e differenzia la Fisica daaltre Scienze, in cui l’aspetto classificativo (no. 3) può essere preponderante, quali laBotanica o la Mineralogia.

Per far questo è necessario seguire delle procedure che aumentino il grado di confidenzae completezza delle risposte che troviamo, specie se ciò comporta delle predizioni, per lequali non è possibile fare prima la prova. Per esempio:

1) Come fa un ingegnere ad essere SICURO che il viadotto che ha progettato non crollerà?2) Come si può essere SICURI che un razzo raggiungerà Marte?

Per far ciò l’Uomo ha elaborato il metodo scientifico, la cui rigorosa applicazione pur nonessendo assoluta garanzia di correttezza dei risultati è tuttavia il più sicuro metodo diindagine a tutt’oggi trovato.

In Fisica l’applicazione di tale metodo va sotto il nome di Paradigma

Il Paradigma della FisicaIl Paradigma della Fisica

La Natura è scritta nel linguaggio della Matematica (G. Galilei)

Galileo Galilei, il primo grande fisico sperimentale, si accorse che era possibile riassumerele regolarità osservabili nei fenomeni naturali mediante formule matematiche, a volte anchemolto semplici: le Leggi della Fisica.

Il suo metodo (provando e riprovando) consisteva nel ripetere, in maniera controllata,molte osservazioni (esperimenti) e dai risultati con un procedimento induttivo stabilirePrincipi e Leggi.

Tale metodo è, per forza di cose, insufficiente: pur essendo molti i casi in cui una Legge ètrovata valida, il numero di casi esplorati è comunque limitato ed è una pretesa (induzione)voler applicare tale legge a casi non ancora noti.

È la Fisica una scienza sperimentale?

Isaac Newton si accorse che una volta postulati i Principi, tuttavia, tramite la Matematicaera possibile dedurre altre leggi (a priori) e formulare delle predizioni (un po’ come ladimostrazione dei teoremi) di fenomeni non ancora verificati o scoperti.

La verifica sperimentale (a posteriori) di questi nuovi fenomeni, qualora positiva, dà forzaal metodo ed è una conferma indiretta della validità dei Principi.

Qualora, al di là di ogni dubbio, il fenomeno predetto non avvenga, allora si è in presenzadi un fatto nuovo che implica la necessità di formulare dei nuovi principi a PARZIALEcorrezione di quelli già stabiliti (falsificazione).

È la Fisica è una scienza teorica?

La Fisica è quindi una scienza teorico-sperimentaleLa Fisica è quindi una scienza teorico-sperimentale

Possiamo quindi individuare la seguente procedura:

1) Osservazione sperimentale di un numero grande ma limitato di fenomeniper postulare la validità generale di Principi e/o Leggi

2) Deduzione teorica di possibili fenomeni dai principi (tesi)3) Verifica sperimentale delle deduzioni (antitesi)4) Eventuale correzione dell’insieme dei Principi (sintesi).

OsservazioniOsservazioni

PrincipiPrincipi

PredizioniPredizioniSì conferma Principi

Noelaborazione nuovi Principi

VerificaVerifica

Induzione

Deduzione

I fenomeni fisici e le approssimazioni fatte per descriverliI fenomeni fisici e le approssimazioni fatte per descriverli

Lo Spazio e il Tempo sono il dominio geometrico in cui avvengono i fenomeni fisici

Un fenomeno fisico è caratterizzato dal fatto che alcune grandezze fisiche cambierannodurante il fenomeno. P.es. durante il moto di un corpo, uno dei fenomeni fisici piùsemplici, la sua posizione cambierà, cioè assumerà posizioni differenti in differenti istanti.

Però il moto potrebbe essere complicato dal fatto che il corpo è esteso, e durante ilmoto esso ruoterà, p.es. come una palla di biliardo. Ancora, potrebbe cambiare formadurante il moto, come un palloncino o una bolla di sapone o l’acqua in un bicchiere.

In realtà, spesso per comprendere e descrivere un fenomeno (capire cioè perché e comeavviene) bisogna ricorrere a modelli idealizzati come il punto materiale od il corpo rigido.Il primo fornisce esaurienti spiegazioni se non siamo interessati alle rotazioni ma solo alletraslazioni dei corpi; il secondo se non siamo interessati alle deformazioni che il corposubisce durante il suo moto

I risultati, cioè le leggi che si troveranno una volta stabilito un modello, varrannorigorosamente solo per esso: i risultati che troveremo per un punto materiale non sipotranno estendere al caso di un corpo esteso, se le eventuali rotazioni e deformazioni diquesto giocano un ruolo predominante. L’arte del fisico o dell’ingegnere sta nel capirequanto i risultati di un dato modello sono applicabili ai casi reali.

Le grandezze fisicheLe grandezze fisiche

Esempi di grandezze fisiche sono il volume di un corpo, la sua massa, la sua temperatura,la velocità del suo centro di massa, la sua energia, etc.. L’evoluzione spazio-temporaledelle grandezze fisiche sono i fenomeni fisici

Tutte le possibili grandezze fisiche hanno un comune requisito: devono essere misurabili

Ciò implica che per definire una grandezza fisica qualsivoglia sia necessario individuareun esperimento che consenta di assegnare un numero (reale) alla grandezza in esame,consenta cioè di effettuare la misura.

La lunghezza di un tavolo è una grandezza fisica: posso definire una unità di misura,e.g. il metro (m), e per confronto diretto determinare il rapporto fra la lunghezza e l’unitàstessa. Tale metodo di misura si dice diretto.

Un procedimento analogo può essere usato per misurare i tempi (cronometro) ole masse (bilancia).

Le grandezze Lunghezza, Massa e Tempo si dicono grandezze fondamentali: tutte le altregrandezze fisiche possono essere espresse come prodotti o rapporti di potenze (dimensioni)di queste tre grandezze.

Spessissimo, ma non sempre, le grandezze fisiche hanno dimensioni

Per moltissime grandezze fisiche spesso non è possibile individuare un esperimento checonsenta una misura diretta

Per esempio, per misurare una velocità (che è il rapporto fra una distanza ed il tempoimpiegato a percorrerla) è necessario, in linea di principio, eseguire due misurazioni(lunghezza e tempo). Ovvero ciò può essere effettuato da uno strumento di misura(il tachimetro) opportunamente tarato. Un tale metodo di misura si dice indiretto.

1

12

12

tlvtt

xxv

La seconda equazione si chiama equazione dimensionale e precisa quale combinazionedelle grandezze fondamentali fornisce le dimensioni della velocità:lunghezza per tempo a –1.

In Fisica, in qualunque equazione le dimensioni del primo membro devono esserele stesse del secondo membro, ovvero gli addendi di una somma devono avere tutti lestesse dimensioni: se ciò non accade la formula è semplicemente sbagliata.

Si noti come il prodotto (o il rapporto) di due grandezze fisiche estenda ilsignificato della operazione di moltiplicazione (divisione)

I Sistemi di Unità di MisuraI Sistemi di Unità di Misura

Una misurazione diretta di una grandezza fisica, ovvero il confronto diretto fra lagrandezza che si vuol misurare ed una unità di misura è possibile solo per le tregrandezze fondamentali, lunghezza, massa e tempo.

La scelta delle unità di misura è ovviamente arbitraria. Tuttavia un requisito fondamentaledelle leggi fisiche è il fatto che esse si riferiscono a fenomeni riproducibili. Di conseguenzaè altamente desiderabile che in differenti parti del mondo uno stesso esperimento dia lostesso risultato anche dal punto di vista numerico. Questo è il motivo per cui si è deciso diusare il cosidetto Sistema Internazionale (SI), nel quale le unità di misura scelte sonoil Metro, il Kilogrammo ed il Secondo (MKS)

Una scelta equivalente, basata sempre su un sistema decimale, è il Centimetro, il Grammoed il Secondo (CGS)

Esistono naturalmente molti altri sistemi, specie per le lunghezze, i volumi e le masse, spessousati nei paesi anglosassoni. P.es.:

1 Pollice(inch)=0.0254 m; 1 Piede(foot)=0.3048 m; 1 Miglio(mile)=1609,3 m;1 anno luce(ly)=9.46 x 1015 m; 1 raggio di Bohr(a0)= 0.529 x 10-10 m1 Libbra(lb o pound)=0.454 Kg; 1 Oncia(oz)=75,666 g1 Pinta (pint)=0.564 Litri=0.564 dm3

(i numeri indicati in rosso si chiamano COSTANTI UNIVERSALI)

Alcune classificazioni delle grandezze fisicheAlcune classificazioni delle grandezze fisiche

Una prima classificazione per le grandezze fisiche le divide in grandezze fisicheESTENSIVE ed INTENSIVE

Lunghezze, aree, volumi, massa sono ovviamente estensive: sono una misuradella estensione dei corpi

Altre grandezze, invece non dipendono dalla estensione di un corpo, p.es. la densità, lapressione, la temperatura, e si chiamano intensive.

Un’altra possibile differenziazione fra le grandezze fisiche è la loro natura SCALARE,VETTORIALE O TENSORIALE.

Una grandezza scalare è individuata da un solo numero. La massa di un corpo è,ovviamente una grandezza scalare. Così la temperatura o la densità, o ancora l’energia.

Palermo

Catania

Messina

Molte altre grandezze sono caratterizzate da almeno tre quantità. P.es. dire che unauna automobile viaggia a 100Km/ora non è abbastanza: bisogna pure dire se viaggia, p.es.sulla Messina-Palermo o sulla Messina-Catania o ancora sulla Palermo-Catania. Ma nonbasta ancora: bisogna dire se viaggia da Messina verso Palermo o viceversa.

Ciascuno dei casi precedenti, infatti corrisponde ad un fenomeno fisico diverso. Questadiversità può essere tenuta in conto dicendo che la velocità è un vettorela velocità è un vettore:essa è caratterizzata da tre quantità1) modulo (100 Km/ora),2) direzione (la retta, i questo caso l’autostrada lungo la quale l’automobile viaggia)3) verso (Palermo-Catania o Catania-Palermo)

Naturalmente se l’automobile non viaggia in linea retta (e.g. in curva) la sua velocità èdiversa istante per istante, anche se il tachimetro segna sempre lo stesso valore: infattila direzione della velocità (la tangente alla linea curve percorsa dalla automobile)è diversa in ogni istante, quindi in ogni istante la velocità è un vettore diverso.

La natura tensoriale di altre grandezze sta nelle seguenti considerazioni:Se applico una sollecitazione ad un corpo, lungo un verso ed una direzione arbitrari,la maniera con cui il corpo reagisce potrebbe avvenire lungo una direzione diversa daquella della sollecitazione. Vedremo come la sollecitazione (causa) ed il comportamentodel corpo (effetto) siano legati da una funzione che le accoppia: spesso questa funzione,detta funzione di risposta, ha una natura tensoriale.

Nei corsi di Geometria e Meccanica Razionale vedrete come un vettore è un tensore diRango 1, mentre i tensori propriamente detti sono tensori di rango 2,3,…etc.. Gli scalarisono tensori di Rango 0

È possibile fare delle operazioni algebriche con i vettori, e.g. somma, prodotto etc., ma ilsignificato di queste operazioni è profondamente diverso da quello delle operazioni frascalari

Dobbiamo discutere velocemente l’algebra dei vettori che ci serviranno prestissimoper comprendere il significato di molte grandezze fisiche.

Si definisce somma di due vettori abbac (prop.commutativa)

Visto che i due vettori addendi possono avere due direzioni differenti la somma sieffettua con la regola del parallelogramma

La differenza fra due vettori è analoga alla somma, basta cambiare il verso al secondovettore

bad

d

b

b

a

Algebra dei vettori: somma e differenzaAlgebra dei vettori: somma e differenza

b

a c

Clicca per esercitazione

Clicca per esercitazione

È possibile moltiplicare uno scalare per un vettore. In tal caso il risultato sarà un vettoreparallelo a quello di partenza ed il cui modulo è il semplice prodotto dello scalare per ilmodulo del vettore

0 ses a||b;asb;asb

Ne segue che è sempre possibile rappresentare un vettore come prodotto di uno scalarepari al suo modulo ed un vettore di modulo unitario detto versore

1 a;aaaaa

Algebra dei vettori: prodotto di un vettore per uno scalareAlgebra dei vettori: prodotto di un vettore per uno scalare

Si definisce prodotto scalare di due vettori la quantità scalare che si ottiene moltiplicandoi moduli dei due vettori ed il coseno dell’angolo compreso

abab babaabbas coscos

(proprietà commutativa)

Ovvero il prodotto del modulo del primo (secondo) per la proiezione del secondo (primo)lungo la direzione del primo

a

b

ab

aba cosa

b

ab

abb cos

1) Se due vettori sono perpendicolari (ab =/2) il loro prodotto scalare è nullo (cos ab =0)2) Se l’angolo ab è ottuso (acuto) il loro prodotto scalare è negativo (cos ab <0)3) Se i due vettori sono paralleli (ab =0) il prodotto scalare è massimo (cos ab =1)4) Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso è pari al quadrato del modulo del vettore

abab

Algebra dei vettori: prodotto scalareAlgebra dei vettori: prodotto scalare

Si definisce prodotto vettoriale fra due vettori un vettore diretto perpendicolarmenteal piano definito dai due vettori fattori, il cui modulo è pari all’area del parallelogrammadescritto dai due fattori ed il cui verso è dato dalla regola della mano destra: immaginandodi far ruotare il primo vettore verso il secondo ed orientando la mano destra nel senso dirotazione, il verso del vettore prodotto è quello del pollice (destro).

baababbac

abbac

sinsin;sin

(proprietà anticommutativa)

c

b

a

ab

ATTENZIONE: Non è definita l’operazione di divisione fra vettori

Algebra dei vettori: prodotto vettorialeAlgebra dei vettori: prodotto vettoriale

Un punto in un piano può essere rappresentato da una coppia di numeri reali

Scegliendo un’origine e due assi perpendicolari (ortogonali), si può stabilire unacorrispondenza biunivoca fra i punti e due numeri reali: le coordinate cartesiane

P(x0,y0)

x0

y0

x

y

O

Ma quello stesso punto può essere individuato definendo un vettore, il cui modulo è datodalla distanza del punto dall’origine, la cui direzione è data dalla retta congiungentel’origine con il punto ed il cui verso va dall’origine al punto

r

Anche gli assi coordinati possono essere identificati da due vettori di modulo unitario:i versori

x

y

Rappresentazione dei vettoriRappresentazione dei vettori

Si noti come le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani siano appunto le coordinate.Queste sono ricavabile per mezzo del prodotto scalare con i versori

sinrcosryry;cosrxrx

200

P(x0,y0)

x0

y0

x

y

O

r

x

y

Allora usando la regola del parallelogramma si può scrivere

yyxxr 00

Le quantità x0 e y0 si chiamano le componenti del vettore lungo i rispettivi assi e sonoquantità scalari, mentre i vettori

yyy;xxx 0000

si chiamano i vettori componenti del vettore dato

0x

0y

Tecnicamente l’espressione yyxxr 00 è una combinazione lineare

Abbiamo cioè rappresentato il vettore r

in termini dei versori y,xE le componenti x0 e y0 sono i coefficienti della combinazione lineare

Il motivo per cui la cosa funzione è che il set

y,x È ortonormale e completo rispetto all’operazione di prodotto scalare

Ortonormalità: yoxmenmnse

mnsemn

0

1

Completezza: non esiste nessun altro vettore che goda della proprietà di ortonormalitàche non coincida con uno degli elementi del set (due sole dimensioni!!!)

Naturalmente questa decomposizione è possibile per qualunque vettore, non solamenteper il vettore posizione usato per l’esempio precedente: l’unica differenza sarà che ledimensioni fisiche delle componenti non saranno lunghezze, ma, p.es. velocità, forza, etc.

Si noti che se avessimo scelto un sistema di assi differente (per esempio ruotato rispetto aquello usato, ovvero avessimo scelto un’altra origine O, la rappresentazione sarebbe stataugualmente valida, solo che i valori di x0 ed y0 sarebbero stati diversi

Alcune considerazioni sullo sviluppo precedenteAlcune considerazioni sullo sviluppo precedente

P(x0,y0)

x0

y0

x

y

O

r

x

y

O’ x’

y’

x’0

y’0

r

x

y

P(x0,y0)

x0

y0

x

y

O

r

x

y

y’

x’

x’0

y’0

Naturalmente, il caso più interessante per la Fisica Classica è quello dello spaziotridimensionale.

La rappresentazione dei vettori è facilmente estendibile introducendo un terzo versoreperpendicolare al piano individuato dai primi due (di solito il piano orizzontale)

x

y

z

x y

z

P(x0,y0,z0)

r

y0

x0

z0

Si ha: zzyyxxr 000

Si ha inoltre: yxz;xzy;zyx (permutazioni cicliche)

yzx;xyz;zxy

Vettori in tre dimensioni (3D)Vettori in tre dimensioni (3D)

In termini delle componenti cartesiane le operazioni fra vettori assumono le seguentiforme

zbaybaxbabac zzyyxx

Somma o differenza

Prodotto zsaysaxsaasb zyx

Prodotto scalare zzyyxx

zyxzyx

bababa

zbybxbzayaxaba

Prodotto vettoriale

zbabaybabaxbaba

bbb

aaa

zyx

bac xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

Operazioni vettoriali in termini delle componentiOperazioni vettoriali in termini delle componenti

Invece delle coordinate cartesiane conviene spesso usare dei sistemi di coordinate diversiche possano faciltare la soluzione dei problemi, la cui scelta è spesso dettata dallasimmetria del problema

Riferendoci al caso del piano (2D), una scelta alternativa alle coordinate cartesiane èquella delle coordinate polari, in cui il punto si individua dando la distanza r dall’origine,detta in questo caso polo, e l’angolo formato dalla congiungente l’origine col punto el’asse delle x

P(x0,y0)(r,)

x

y

O x0

y0

r

rr

Formule di trasformazionecartesiane-polari 2D

sin

cos

0

0

0

0

20

20

ry

rx

x

yarctg

yxr

Coordinate PolariCoordinate Polari

Coordinate polari cilindricheCoordinate polari cilindriche

zhx

yarctg

yxr

e

hz

ry

rx22

sin

cos

P

z

r

r

hφ

Coordinate polari sfericheCoordinate polari sferiche

x

y

z

r

r

P

x

yarctg

r

zarc

zyxr

e

rz

ry

rx

cos

cos

sinsin

cossin222