Corso di Fisica Generale IICorso di Fisica Generale II

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Il principio di Relatività di Galilei2) Il teorema di addizione delle velocità3) Inconsistenza dell’Elettromagnetismo con la Meccanica Classica4) L’esperimento di Michelson e Morley5) I principi della Relatività di Einstein6) Simultaneità di due eventi e sincronizzazione7) Le trasformazioni di Lorentz8) Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi9) Lo Spazio-tempo di Minkowski ed il cono di luce10) Il quadrivettore quantità di moto e la relazione massa-energia

Parte XII: Cenni di teoria della relatività

x ’= x x = x’y’ = y y = y’z’ = z - uzt z = z’ + uzt’t’ = t t = t’

R R’ R’ R

Le Leggi della Meccanica sono le stesse in tutti i possibili sistemi di riferimento inerziali

x

t• P

x’

t’

O

yzz’

y’

O’uzt

Riferimenti Inerziali R ed R’:

Traslano con velocità u=cost.

Trasformazioni di Galilei

Il Principio di Relatività di GalileiIl Principio di Relatività di Galilei

Le equazioni per (x,y) ed (x',y') sono una diretta conseguenza dell' isotropia dello spazio

Le equazioni per t e t’ esprimono il postulato dell’esistenza di un tempo assoluto

Vale il Principio di Reciprocità: RR' è la trasformazione inversa di R' R e si ottiene conu - u. Di conseguenza la distinzione

R= "in quiete" R'="in moto"

è puramente arbitraria: un osservatore1) solidale con R vede O' allontanarsi con vel. u 2) solidale con R' vede O allontanarsi con vel. -u

Il concetto di moto è relativo

Postulato della Teoria della Relatività: E’ impossibile distinguere per mezzo di unesperimento o fenomeno fisico un riferimento inerziale da un’altro

Le misure delle distanze in R ed in R' sono eseguite con regoli dalle stesse caratteristichechimico-fisiche, che si suppone non cambino nei passaggi R’R’, calibrati una volta pertutte a t=0

Alcuni CommentiAlcuni Commenti

Siccome dt=dt’, r’=r-ut, e la velocità di trascinamento è costante

“In quiete”

dt

rdv

“In moto”

uvturdt

d

td

rdv

Ciò corrisponde alla nostra intuizione, ma è una conseguenza dell’ ipotesi di tempo assoluto

La conseguenza di ciò è che le accelerazioni sono le stesse in ogni riferimento e quindianche le forze (se le masse restano costanti)

“In quiete”

dt

vda

Fam

Fam

“In moto”

auvdt

d

td

vda

Quindi se m=m’, F=F’. In riferimenti non inerziali 0dt

ud

FF

Il Teorema di addizione delle velocitàIl Teorema di addizione delle velocità

t

E

cJBrot

t

BErot

Bdiv

Ediv

20

0

1

0

Le equazioni di Maxwell Costanti universali

220

72

00

24130

122

7

0

18

00

1041

108541878184

10

109979245821

Atml;m/henryxc

Atmlm;/faradx.c

tlcsec;/mx.c

Le costanti e c dipendono solo dalla scelta del sistema di unità di misura. Quindiè strano che una velocità non dipenda dalla scelta del riferimento

Sia che possono essere espresse in termini di c

Le predizioni delle equazioni di Maxwell accadono: e.g. onde elettromagnetiche, dipolioscillanti, etc.

Inconsistenza fra l’Elettromagnetismo e la Meccanica ClassicaInconsistenza fra l’Elettromagnetismo e la Meccanica Classica

Alcuni risultati dell’elettromagnetismo sono:

Tutto ciò è palesemente inconsistente con le trasformazioni di Galilei

È possibile elaborare

Tre ipotesi di consistenzaTre ipotesi di consistenza

1) Le onde elettromagnetiche si propagano in un mezzo, l’ ETERE, che è anche un riferimento "privilegiato", la cui esistenza deve essere provata (Maxwell,1879)

2) Le Trasformazioni di Galilei sono corrette ma l’Elettromagnetismo è non formulato correttamente (Teorie Emissive, Lorentz-Fitzgerald e altri)

3) Le Trasformazioni di Galilei non sono corrette e la Teoria della Relatività va corretta (Relatività ristretta di Einstein)

1) Non esistono azioni a distanza2) I campi si propagano per onde la cui velocità di fase nel vuoto è c3) c è una costante universale4) I campi non sono invarianti per cambiamento di riferimento, (e.g. in un riferimento solidale con una carica puntiforme questa è ferma e non subisce forze di Lorentz in un campo magnetico perché v=0)

 

TeoriaSistema di riferimento

Dipendenza della velocità

Connessione spazio-temporale

Trasformazioni

Teoria classica dell’Etere

Etere c non dipende dal moto della sorgente

spazio e tempo sono indipendenti

Trasformazioni di Galilei

Teorie emissiveNessun rif. privilegiato

c dipende dal moto della sorgente

spazio e tempo sono indipendenti

Trasformazioni di Galilei

Teoria della Relatività Speciale

Nessun rif. privilegiato

c non dipende dal moto della sorgente

spazio e tempo sono interdipendenti

Trasformazioni di Lorentz

Caratteristiche delle teorie di consistenzaCaratteristiche delle teorie di consistenza

Esperimento Etere Staz. no contraz.

Etere Staz. contraz. di Lorentz

Etere solidale corpi pond.

Sorgente originale

Balistica Relatività speciale

Aberrazione sì sì no sì sì sì

Coeff. Fizeau sì sì no sì irr. sì

Michelson-Morley no sì sì sì sì sì

Michelson-Morley l. s. no sì sì no no sì

Kennedy-Thorndike no no sì sì sì sì

Sorg. e specchi in moto sì sì sì sì no sì

De Sitter, stelle binarie sì sì sì no no sì

Massa-velocità no sì no irr. irr. sì

Massa-Energia irr. irr. irr. irr. irr. sì

Radiaz.cariche in moto sì sì irr. no no sì

Decadimento mesoni irr. irr. irr. irr. irr. sì

Trouton-Noble no sì sì irr. irr. sì

Induzione unipolare no no irr. irr. irr. sì

Legenda: sì= accordo; no=disaccordo; irr.= irrilevante per la teoria

Confronto Teorie-EsperimentiConfronto Teorie-Esperimenti

Per verificare l’esistenza dell’etere Michelson ideò il seguente esperimento. Se l’Etere esistenon può essere solidale con la Terra. Quindi facendo interferire i raggi che percorrono itratti AS1 ed AS2 e ruotando l’interferometro deve essere possibile misurare una variazionedi frange

s1

s2

l2

l1

Ad

LL

TT

Esperimento I

s1

s2

l2

l1

A

d

LL

TT

Esperimento II

L’esperimento di Michelson-MorleyL’esperimento di Michelson-Morley

Se la Terra si muove rispetto a l’Etere con velocità v e la direzione di tale moto è AS2,il tempo t2 che impiega la luce a percorrere il tratto AS2A sarà

222

22

211

vc

cl

vcvclt

A A

H

S1

Mentre a percorrere il tratto AS1A starà un tempo t1, perché vi sarà stata un traslazione2AH=vt1 del punto A

22

11

21

21

2221

1

2

4

222

vc

ltl

tv

cHSAH

cc

ASt s

La distanza fra le frange di interferenza dipende dal rapporto fra la differenza di camminodelle due onde e la lunghezza d’onda

2

2

2

1

2

2

21

11

2l

c

v

l

c

v

ttcI

Se adesso si ruota l’inteferometro di 90 gradi (Esp. II), i ruoli di l1 ed l2 si invertono

2

2

21

2

2

21

11

2

c

v

ll

c

v

ttcII

La rotazione dovrà dare dunque una variazione di frange legata alla differenza di fase

2

2

2

2

21

1

11

1

2

c

v

c

v

llIII

Pertanto ripetendo l’esperimento per tantissime differenti rotazioni, a tutte le ore del giornoe della notte, tutti i giorni dell’anno, nell’arco di molti anni (inclinazione dell’asse terrestre)si dovrà apprezzare una differenza nelle frange di interferenza che corrisponderà al momentoin cui la direzione del moto terrestre rispetto all’Etere sarà parallelo

Michelson e Morley non rivelarono MAI variazioni delle frange superiori agli errorisperimentali

Pertanto se l’Etere esiste è solidale con la TerraPertanto se l’Etere esiste è solidale con la Terra (cioè non esiste)

Ci sono evidenze sperimentali e teoriche sufficienti ad ammettere che la velocità di fasedelle onde elettromagnetiche è costante

Queste evidenze falsificano la teoria della Relatività di Galilei, in particolare negano ilteorema di addizione delle velocità

Per quanto spiacevole e contrario alle nostre intuizioni possa essere la teoria della Relativitàdi Galilei è inesatta e va ampliata per tenere in conto che c=costante

È necessario, pertanto, introdurre un nuovo principio della Teoria della Relatività:c=costante

Sulla base dei nuovi principi bisogna cercare le nuove leggi di trasformazione che devonoridursi alle trasformazioni di Galilei per velocità relative piccole rispetto a c

In Fisica quello che conta sono i fatti e non le sensazioni, che sono basate sulla nostraesperienza quotidiana per la quale

u << cu << c

I principi della Relatività di EinsteinI principi della Relatività di Einstein

Pertanto i Principi della Teoria della Relatività di Einstein devono diventare:

1) Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali

2) La velocità delle onde elettromagnetiche ha lo stesso valore c in tutti i riferimenti inerziali

Come vedremo ciò ha delle conseguenze concettuali drammatiche: bisogna abbandonareil concetto di tempo assoluto

Bisogna poi dare delle ricette per la sincronizzazione degli orologi in sistemi in motorelativo

La costanza di c in tutti i riferimenti implica che due eventi simultanei nel sistema in quietenon lo siano per un osservatore in moto

l’onda el.mag. NON raggiungei punti A e B simultaneamenteperché A si avvicina ad O’ convelocità u, mentre B si allontanada O’ con velocità -u

O’

d d

AB u

c t A d u t A ; c t B du t B

t A

dcu

; t B d

c u

t A t B

AB O

d d

l’onda el.mag. raggiungei punti A e B simultaneamente

dctA ; dctB

tA

dc; tB

dc

tA tB

"In quiete" "In moto"

Un onda è emessa da una sorgente posta nell’originedel riferimento al tempo t=0 quandoO’ coincide con O

Simultaneità e sincronizzazioneSimultaneità e sincronizzazione

Il tempo trascorre in maniera differente in riferimenti inerziali diversi

Non si può pensare di sincronizzare gli orologi portandoli prima tutti nell’origine O e quinditrasportarli nei punti dello spazio (x,y,z) perché il moto altera lo scorrimento del tempo.Ogni punto dello spazio deve avere il suo proprio orologio, e deve usarsi il fatto chec=costante (II principio della relatività) per sincronizzare tutti gli orologi: un orologioin (x,y,z) è sincronizzato con un orologio in O se segna un tempo

c

zyxz,y,xt

222

quando è raggiunto da un’onda partita da O all’istante in cui l’orologio in O segnava t(O)=0e se ciò è vero per tutti gli istanti successivi.

Spazio e tempo sono quindi intimamente connessi

Si deve introdurre il concetto di Evento Puntuale mediante l’assegnazione delle quattrovariabili (x,y,x,t)

Possiamo ora cercare le equazioni di trasformazione per due riferimenti inerziali imponendoche non esista un tempo assoluto ma che la velocità della luce sia una costante

Sincronizzazione degli orologiSincronizzazione degli orologi

x

t

x’

t’

O

yzz’

y’

O’uzt

a a’

Consideriamo due riferimenti inerziali, e cerchiamo dapprima le trasformazioni lungole direzioni perpendicolari alla direzione del moto di trascinamento

Deve essere: y=a(R); y’=a’(R’);=> k=a’/a

Ora posso invertire le direzioni di x e z e non deve fisicamente cambiar nulla se lo spazio èomogeneo: x-x, y y, z -z; x’ -x’, y’ y’, z’ -z’.

A causa dello scambio z -z, z’ -z’ il ruolo di R ed R’ si scambia (si inverte uz): devequindi essere pure k=a/a’. Ma siccome a e a’ non dipendono dallo stato di moto di O e O’deve essere k2=1. Siccome non ho cambiato il segno di y deve essere per forza k=+1 e quindi

aa

Ovvero le distanze lungo y (perpendicolare al moto relativo) non cambiano. Pertanto

yy

xx

Le Trasformazioni di LorentzLe Trasformazioni di Lorentz

Non può però essere così per z e z’ (la direzione del moto) e per t e t’ (non esiste il tempoassoluto)

Tali trasformazioni devono essere lineari, perché deve essere sempre possibile scambiareil ruolo di R ed R’ (Principio di Reciprocità)

Proviamo con leggi del tipo: bzatt;utzz dove i parametri REALI , a e b vanno determinati imponendo c=costante

Se all’istante t=0 O ed O’ coincidono e una sorgente emette un’onda sferica, le equazionidel fronte d’onda nei due riferimenti saranno

"In quiete" "In moto"

22222 tczyx 22222 tczyx

Sostituendo nell’ultima equazione a x’,y’,z’ e t’

22

222222222222

222222

2 tc

uactzabcuzcbyx

bxatcutzyx

Ma i fronti d’onda devono coincidere, quindi per confronto si ottengono le tre equazioni

1012

22222222

c

ua III);abcu II);cb I)

Ricavando b2 dalla I e a2 dalla III .c

ua;

cb

2

2222

22 11

1

E riscivendo la II, quadrandola e sostituendo

2

2

2

22

222242224222224

222

224242242422

1

1

1

1

1

11

1

c

uc

u

;ucucu;ucu

cc

ucu;bacu;abcu

Sostituendo nelle altre a;c

ub

2

La scelta dei segni deve essere consistente col fatto che R è in quiete e R’ è in moto(a,>0 e b<0)

Si ottengono così le famose Trasformazioni di Lorentz

zc

u'tt

ut'zz

'yy

'xx

zc

ut't

utz'z

y'y

xx

22

RR’ R’R

Rispettano il Principio di Reciprocità (scambiare u-u equivale a scambiare il sistema inquiete con quello in moto)

Rispettano l’isotropia dello Spazio

Si riducono alle trasformazioni di Galilei nel limite u<<c

Ecco perché Galilei e la nostra intuizione falliscono: le velocità cui siamo abituati sonotroppo piccole rispetto alla velocità della luce

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2

Definendo 2

121

c

u

In pratica differisce da 1 solo per valori di > 0.2, cioe u > 6.0 107 m/sec

Un osservatore fermo in R vuole misurare la lunghezza d di un regolo fermo in R’

O

z

z’O’dd

z1 z2

z’1 z’2uzt

L’osservatore in O deve registrare contemporaneamente rispetto al suo orologiole coordinate z1 e z2

"In quiete" "In moto"

12 zzd 12 zzd

ddzzd 12

Gli oggetti in moto rispetto ad un osservatore appaiono contratti nella direzione del moto,rispetto al risultato ottenibile da un osservatore FERMO rispetto ad essi

Contrazione delle lunghezzeContrazione delle lunghezze

O z

z’

O’uz

Un osservatore fermo in O’ (in moto) misura la distanza temporale fra due eventi

Troverà 12 ttT

Per la quarta trasformazione di Lorentz (con z’=0)

TT;tt;tt 2211

Per un osservatore “in moto il tempo” scorre più lentamente che per un osservatore“in quiete” (paradosso dei gemelli)

Si definisce il tempo proprio di un corpo in moto come il tempo segnato da un orologiosolidale col corpo stesso

Dilatazione dei tempiDilatazione dei tempi

È possibile definire una lunghezza pari a x4=ct. Siccome c è una costante universale, questegrandezze fisiche, tempo e lunghezza hanno lo stesso significato fisico.(Attenzione 4 è un apice non un esponente!)

Un evento puntuale EE(x,y,z,t) può essere quindi definito in termini delle quattrocoordinate spazio-temporali EE(x1=x,x2=y,x3=z,x4=ct)

Nei fatti abbiamo definito uno spazio quadridimensionale, lo Spazio-tempo di Minkowski,nel quale le trasformazioni di Lorentz assumono una forma estremamente più simmetrica

344

433

2211

344

433

2211

xxx

xxx

xx;xx

xxx

xxx

xx;xx

Inoltre le quantità 242322212242322212 xxxxs;xxxxs

sono identiche, quindi invarianti per trasformazione di Lorentz

In questo spazio quadridimensionale s gioca il ruolo del modulo del vettore posizione, equindi le trasformazioni di Lorentz vanno pensate come rotazioni delle coordinate inquesto spazio

Lo Spazio-Tempo di MinkowskiLo Spazio-Tempo di Minkowski

In questo spazio il moto di un punto materiale deve essere pensato come una sequenza dieventi puntuali: cioè il punto materiale in differenti punti spaziale a differenti tempi

La legge oraria del moto sarà quindi una traiettoria detta linea universo

Per moti solo nella direzione x3

tan

x3

x4

1czt

uc 1

450

x4

x3

450

Futuro

Passato

Alt

rove A

ltrove

Se la velocità della luce è il limite superiore di tutte le velocità, allora tutte le linee-universosono contenute nelle zone indicate da Passato (x4<0) e Futuro (x4>0)e le regioni indicate conAltrove sono irraggiungibili. Il Presente è il punto x4=0 e le linee tratteggiate sono lelinee-universo dei fotoni che viaggiano alla velocità della luce.

In caso di moti "spazialmente bidimensionali“ le linee-universo dei fotoni descrivonoun cono di rotazione detto il cono di luce

x3

x4

x2

Futuro

Passato

Altro

ve

Alt

rove

Nel caso di moti tridimensionali il cono di luce è un ipercono quadridimensionale

Sono la generalizzazione del concetto di vettore tridimensionale e si definiscono intermini delle componenti lungo i quattro assi spazio-temporali

4A,AAi

I quadrivettori si trasformano seguendo le trasformazioni di Lorentz e si distingue fracomponenti covarianti (pedici) e controvarianti (apici) legate da:

44

33

22

11 AA;AA;AA;AA

Si definisce prodotto scalare di due quadrivettori la somma dei prodotti delle componenticontrovarianti del primo per le corrispondenti covarianti del secondo

4

1ii

ii

i BABA

Di conseguenza il “modulo quadro” di un quadrivettore, ovvero il prodotto scalare di unquadrivettore per sé stesso è

242322214

43

32

21

1 AAAAAAAAAAAAAA ii

Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso non è quindi definito positivo:Se (AiAi) >0 si dice che il vettore è di genere spazio; se (AiAi) <0 si dice che il vettore è digenere tempo; se (AiAi) =0 si dice che il vettore è di genere luce

I quadrivettoriI quadrivettori

Si definisce il quadrivettore velocità come la derivata del quadrivettore posizione rispettoal tempo proprio

11

ii

ii vv;,

c

vx

cv

Si definisce quantità di moto il quadrivettore

40 p,pcvmp ii

con

2

2

0

2

2

00

11c

v

mmvmv

c

v

mvmp

e mc

c

v

cmcmp

2

2

00

4

1

m0 è la massa a riposo del punto materiale

Per piccoli valori di v/c (semplice sviluppo in serie):

...vmcmc

....c

v

c

vcm

c

vcmp 2

02

04

4

2

2

0

2

1

2

2

04

2

11

8

3

2

111

I quadrivettore velocità e quantità di motoI quadrivettore velocità e quantità di moto

Si definisce energia totale di un punto materiale come somma dell’energia in quiete edell’ energia cinetica (caso della particella libera)

cinq

Confrontando con l’espressione della quantità di moto

20

4 cmcc

p qcinq

La circostanza che energia e massa siano legate da una costante universale implica lacompleta equivalenza di questi concetti in fisica relativistica

Se calcoliamo il prodotto scalare della quantità di moto per sé stessa

20

2202

22

cmpccmc

ppp ii

Quest’ultima relazione va sotto il nome di relazione di dispersione

Relazione massa-energiaRelazione massa-energia