Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Lo Spettro delle onde elettromagnetiche2) La misurazione della velocità della luce3) Onde elettromagnetiche in dielettrici omogenei4) Leggi della riflessione e rifrazione (Snell)5) I miraggi e il prisma6) Dispersione ed Assorbimento7) Diffusione della luce8) Onde elettromagnetiche nei conduttori9) Interferenza10) Diffrazione11) Il reticolo di diffrazione12) Il LASER13) Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster14) Riflessione totale ed onde evanescenti

Parte XXV: Propagazione delle onde elettromagnetiche nella materia

Frequenza =10k Hz

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22k =

Lunghezza d’onda =10n m

6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14n=

Radio diffusione(onde medie)

Luce visibile

Onderadio(lunghe)

Onde radio(corte)

TV

radar

infrarosso

ultravioletto

Raggi X

Raggi

Lo Spettro delle onde elettromagneticheLo Spettro delle onde elettromagnetiche

La misurazione della velocità di fase di un’onda è un problema concettuale oltre che tecnico

Data l’enorme velocità non è affatto facile seguire nel suo moto un fronte d’onda. Si devea Fizeau il primo metodo inventato per questo esperimento.

Omettendo tutte le lenti necessarie per realizzare l’esperimento, l’idea base fu la seguente:

d

Sorgente

Specchio semi riflettente

Osservatore

Se d è grande e la ruota dentata ruota velocementel’osservatore vede diminuire l’intensità. Quando il tempodi scambio di due dentelli della ruota è pari al tempo chel’onda percorra il tratto d l’osservatore non vedrà piùl’immagine

La misurazione della velocità della luceLa misurazione della velocità della luce

Un dielettrico omogeneo è caratterizzato da una costante dielettrica e da una permeabilitàmagnetica (0). Pertanto è richiesta una semplice modifica della equazione delle onde

01

2

2

22

t

E

vE

dove la velocità delle onde nel mezzo è

n

cv

rr

00

11

Dove si è introdotto l’indice di rifrazione assoluto n come

rrrn

L’indice di rifrazione dipende dal mezzo ma può dipendere dalla frequenza dell’onda.Se (non) dipende dalla frequenza del campo si dice che il mezzo (non) è dispersivo

Vedremo che i mezzi dispersivi assorbono energia elettromagnetica dall’onda e dannoluogo al fenomeno della dispersione delle onde elettromagnetiche

Onde elettromagnetiche nei dielettrici omogeneiOnde elettromagnetiche nei dielettrici omogenei

Se un’onda el.m. incontra nella sua propagazione la superficie di separazione fra duemezzi la sua velocità di fase dovrà cambiare, perché cambia l’indice di rifrazione

Supponiamo che un’onda incida sulla superficie piana di separazione di due mezzi,altrimenti omogenei, secondo una direzione k, facendo un angolo i con la perpendicolarealla superficie

1

2

zk i

L’esperienza mostra che si origineranno un’onda riflessa ed un’onda trasmessa (rifratta)

r1

r2

Le Leggi delle Riflessione e della RifrazioneLe Leggi delle Riflessione e della Rifrazione

I campi delle tre onde saranno descritti da le seguenti tre funzioni

1v

krtf

Onda incidente

1

1

v

krtf

Onda riflessa

2

2

v

krtf

Onda trasmessa

Ma le componenti tangenziali dei campi alla superficie di separazione (z=0) devono esserecontinue, e ciò deve valere per tutti i punti del piano e per tutti i tempi. Ciò è possibile solose gli argomenti delle tre funzioni sono uguali, Deve quindi essere

Dove k1 e k2 sono i versori delle direzioni delle onde riflessa e trasmessa e v1 e v2 levelocità nei due mezzi

2

2

1

1

1 v

kr

v

kr

v

kr

Queste relazioni consentono di predire, conoscendo l’angolo di incidenza i gli angolidelle onde riflessa e trasmessa o, come si dice, rifratta. Per l’onda riflessa (z=0)

ykkxkkv

ykxk

v

ykxkyyxx

yxyx

111

11

1

Data l’arbitrarietà di x e y, le parentesi si devono annullare simultaneamente. Questo vuoldire che le rette k e k1 devono essere coplanari, e siccome le componenti di k e k1 sono icoseni direttori deve essere

11

12

12

12

1222 11

rircosicos

kk;kkk;kkk zzzyxzyx

Cioè gli angoli di incidenza e riflessione sonouguali

Procedendo analogamente per l’onda rifratta

yv

k

v

kx

v

k

v

k;

v

ykxk

v

ykxk yyxxyxyx

12

2

2

2

12

22

1

Ancora una volta le parentesi si devono annullare separatamente. La proporzionalità frai coefficienti indica ancora una volta la coplanarità delle direzioni di propagazione delle dueonde. Per trovare una relazione fra gli angoli possiamo quadrare e sommare:

121

22

12

1

21

22

22

21

2

22

22

22

21

22

2

2

12

2

1

11

nn

n

c

n

n

c

rsin

isin

v

v

rsin

isin

v

rsin

v

isin

v

k

v

k

v

kk

v

kk;

v

k

v

k;

v

k

v

k zzyxyxyyxx

Si trova così la legge della rifrazione (Snell): il rapporto fra i seni dell’angolo di incidenza el’angolo di rifrazione è pari al rapporto fra gli indici di rifrazione assoluti dei due mezziovvero all’indice di rifrazione relativo dei mezzi

Se l’indice di rifrazione del primo mezzo è più grande di quello del secondo si ha

1

2

z

i

r2

Al crescere dell’angolo di incidenza si raggiungerà un angolo limite iL per il quale l’angolo dirifrazione sarà superiore di 90 gradi. In tal caso si verifica il fenomeno della riflessione totale:l’onda elettromagnetica non potrà penetrare nel secondo mezzo, e vi sarà solo l’onda riflessa

Oggetto Osservatore

Se un mezzo non è omogeneo (si pensi all’aria con zone di umidità o temperatura variabili)le onde el.m. non potranno quindi propagarsi in linea retta. Questa è la ragione del verificarsidi fenomeni spettacolari o strani quali i miraggi (Fata Morgana)

Immagine

I miraggiI miraggi

Un dispositivo che sfrutta il fenomeno della rifrazione è il prisma

Il vetro ha un indice di rifrazione relativo all’aria pari a nrel=0.666. Questo fa sì chel’angolo limite per la riflessione totale sia

00

41666090

Lrel

L i.n

sinisin

Quindi un prisma a 450 si consente di deviare la luce secondo la figura

Tuttavia se il fascio di luce non è monocromatico, ma è bianco, cioè è costituitodalla sovrapposizione di onde di tutte le frequenze comprese nella banda dellaluce visibile, à la Fourier, e l’incidenza non è 900 si avrà il fenomeno dellaDispersione ottica

Il prismaIl prisma

Con un prisma è possibile misurare l’indice di rifrazione di un materiale per un’ondamonocromatica.

Dovrà essere:

isinn

rsin;rsinnisin 1

i i’r r’

A

B C

D Studiando il triangolo BCD

riri;riBCD;riDBC;CDB

Studiando il triangolo ABC

iirrrr22

Cerchiamo ora di vedere come varia al variare dell’angolo di incidenza i (non può esserelineare). A questo scopo differenziando e le leggi di rifrazione

rcos

icos

icos

rcos

di

d

dircos

icos

icos

rcosrd

icos

rcos

nid;rd

icos

rcosndr

icos

rcosndi

drrd:rdrcosn

idicos;drrcosndiicos;iddid

1

1

1

Dall’ultima relazione è ovvio che l’angolo di deviazione è minimo se i=i’ e r=r’ cioè quandoil percorso dell’onda è simmetrico rispetto alla bisettrice

Indicando questa deviazione minima con m avremo

2

22

2

sin

sinn;r;i

m

m

Quest’ultima relazione può essere usata per misurare n

Bisogna tuttavia porsi le domande: Perché l’indice di rifrazione varia al variare dellafrequenza dell’onda elettromagnetica? Con quale legge?

Supponiamo che un’onda elettromagnetica piana passi dal vuoto ad un gas di densità N.

-e

+e

.c.cez,y,xEt,z,y,xE ti 0

Se immaginiamo che un elettrone investito dalla radiazione sia legato al nucleo da unaforza elastica di costante k, questo acquisirà un momento elettrico di dipolo p=ex(t), cheoscillerà nel tempo. Se ipotizziamo, inoltre, che queste oscillazioni avvengono, a causa diattriti interni con uno smorzamento , avremo:

zp(t)

tiexpeEkxxmxm 0

Questa è l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato e forzato che possiamo risolvereponendo

tiexpX~

tx

Dispersione ed AssorbimentoDispersione ed Assorbimento

Derivando e sostituendo

tiexpEim

etx

tiexpEm

etiexpX

~i

tiexpX~

x;tiexpX~

ix

tiexpEm

exxx

m

k

0220

020

2

2

0200

1

Dove, a parte le condizioni iniziali, c’è l’ulteriore richiesta che x sia reale

La cosa interessante è, però, che possiamo scrivere il momento di dipolo come

im

etEtp

220

2 1

cioè in termini di una polarizzabilità complessa e dipendente dalla frequenza del campo

Notiamo subito che il modulo della polarizzabilità, la funzione di risposta dell’atomo alcampo esterno, decresce al crescere della frequenza e che nel limite statico (=0) tornail valore elettrostatico della polarizzabilità

0

2

02

20

0

1E

k

eEe

mp

Un tipico andamento del modulo della polarizzabilità è

0

5 10-6

1 10-5

1.5 10-5

=100=200=400=600

0 500 1000 1500 2000

La polarizzabilità quindi assume relativamente grandi valori alla frequenza di risonanzae tende a zero per frequenze elevate. È piccola per bassa frequenza.

Da tutto ciò si comprende che l’atomo si polarizza e, quindi, il campo compie lavoro perfrequenze vicine alla frequenza di risonanza. Cosa ne è di questa energia trasferita?

Dalla polarizzabilità possiamo risalire alla suscettività e quindi all’indice di rifrazione:

000 2

111

NN

nN

dove si è fatto uso che per un gas la densità N è un numero piccolo

Il fatto che la materia possa essere polarizzata dall’onda el.m. può quindi essere descrittoda un indice di rifrazione complesso

2222200

2

222220

220

0

2

221

m

Nen;

m

Nen

;ninn

Per comprendere il significato fisico di quanto sopra, scriviamo l’espressione dell’onda el.m.all’interno della materia (z>0) dove si propaga con velocità v=c/n

c

zntiexp,zE

c

z'ntiexp

c

znexpE

c

nztiexpE

v

ztiexpEt,zE 0000

Da questa espressione si capisce che n’ gioca il ruolo dell’indice di rifrazione propriamentedetto, e la sua dipendenza dalla frequenza ci dice che avviene il fenomeno della dispersione

Il ruolo di n’’(<0) invece è quello di far diminuire l’ampiezza dell’onda esponezialmentementre questa si propaga nella materia: il fenomeno dell’assorbimento

L’ampiezza dell’onda, e quindi la sua intensità decresce all’interno della materia

=0.2=0.8z

Vuoto Materia

Per quanto riguarda l’intensità

c

nzexpI,zI

c

znexpE,zE,zI

2

2

0

2

0

2

è detto coefficiente di assorbimento

Dunque un’onda el.m. che si propaga nella materia perde energia. Questa viene cedutaagli atomi che si polarizzano per il lavoro compiuto dal campo elettrico.

Per frequenze elevate la polarizzabilità tende a zero: in tal caso l’elettrone deve oscillarecosì velocemente che le forze di attrito viscoso (dovute a tutte le altre cariche del sistema)diventano enormi e l’ampiezza delle oscillazioni dell’elettrone tende a zero. In tal casol’atomo non si polarizza e quindi non assorbe energia. Ecco perché i raggi passanoabbastanza indisturbati (escludendo l’Effetto Compton) nell’atmosfera, e per schermarli,nelle centrali nucleari si usano grandissimi spessori di materia. Ecco perché i raggi Xattraversano il corpo umano e consentono di fare le radiografie

I corpi trasparenti assorbono poca energia mentre i corpi opachi assorbono tutta l’energiadell’onda incidente

Noi abbiamo modellato la materia come un solo atomo e con un solo elettrone. Nella realtàla materia è fatta di molti atomi ed elettroni. Questo fa sì che la parte immaginaria di nabbia molti massimi corrispondenti a molte frequenze di risonanza (che corrispondono aisalti quantici che gli elettroni possono compiere fra differenti livelli energetici). Questepossono cadere in bande di frequenza molto lontane fra loro (dall’infrarosso al X)

Questa, insieme alla diffusione della radiazione, è la ragione per cui una radiografia mostrazone chiare (le ossa) e scure (tessuti molli) che assorbono in maniera differente la radiazione

Considerazioni sull’assorbimentoConsiderazioni sull’assorbimento

I livelli energetici (bande) elettronici normalmente distano energie che sono dell’ordinedei fotoni della luce visibile o ultravioletta, per gli elettroni di valenza. Per eccitare i livellielettronici più profondi ci vogliono i raggi X. Le vibrazioni dei nuclei attorno alle loroposizioni di equilibrio, invece, hanno energie comparabili con lo spettro infrarosso. Leeccitazioni interne dei nuclei cadono nello spettro dei raggi

Accanto al fenomeno dell’assorbimento c’è il fenomeno della riflettività (diffusione) della luce:alcune radiazioni non penetrano nella materia ma vengono riemesse. Il colore degli oggettiilluminati da luce bianca dipende dal fatto che alcune onde di opportune frequenzevengono assorbite mentre quelle riflesse si combinano determinando così il colore dell’oggetto

A temperatura ambiente i nuclei dei corpi vibrano: questo significa che emettono radiazioneinfrarossa per mantenersi in equilibrio termico con l’ambiente

La Terra, di notte, si raffredda emettendo radiazione infrarossa. Se l’atmosfera consenteil passaggio di questa radiazione la Terra può raggiungere l’equilibrio termico.Se l’atmosfera invece riflette indietro la radiazione infrarossa allora la Terra non puòraffreddarsi e la sua temperatura è destinata a salire. La presenza di anidride carbonica(o di altri gas Serra) nell’atmosfera aumenta moltissimo la riflettività infrarossa dellaatmosfera. Questa è l’origine dell’Effetto Serra.

Anche il vetro, che è trasparente alla luce visibile, ha una grande riflettività infrarossa:Infatti le sue proprietà sono usate per costruire le serre florovivaistiche.

La dipendenza della frequenza dell’indice di rifrazione (parte reale) è l’origine di fenomenispettacolari come l’arcobaleno. Dopo una pioggia si può formare uno strato atmosfericosaturo d’acqua che è molto dispersivo. Le differenti componenti della luce bianca vengonorifratte con angoli differenti e quindi si vedono i sette colori dell’iride. In realtà la frequenzavaria con continuità dal rosso al violetto.

Al crescere della frequenza l’indice di rifrazione diminuisce abbastanza velocementepassando attravesro la frequenza di risonanza

=600

=400

n'(

)

=400

=600

n''(

)

Questa è la causa del fatto che quando il sole è basso sull’orizzonte il cielo assume unacolorazione rossastra, ovvero la luna bassa sull’orizzonte può anch’essa essere rossastra:Alla rifrazione con l’atmosfera le radiazioni più deviate sono quelle di bassa frequenza

La dispersione e l’assorbimento sono fenomeni intimamente connessi

Alcune considerazioni sulla dispersioneAlcune considerazioni sulla dispersione

Un atomo irradiato si comporta come un dipolo che oscilla con la frequenza dell’ondaincidente. Di conseguenza deve a sua volta irradiare. La potenza irradiata può esserecalcolata con la formula del dipolo oscillante.

La legge oraria del dipolo oscillante è

arg;EPtcosP.c.ctiexpEtp 0000

La potenza irradiata dal dipolo oscillante diventa allora:

24020

6

1

6

1p

cp

cWd

La potenza diffusa da un volume in cui i dipoli sono distribuiti con densità N è quindi

220

240

2

240 1

6

1

6

1E

N

n

cN

P

cN

t

w

La cosa interessante di questa formula è la dipendenza da 4. Ciò significa che le radiazionidi frequenza più elevata sono diffuse molto di più di quelle di frequenza più bassa. Questo èil motivo per cui l’aria o il mare che sono trasparenti in realtà quando illuminati dalla lucedel sole appaiono blu

Diffusione della luceDiffusione della luce

Se un’onda incide sulla superficie di un conduttore il campo elettrico costringerà glielettroni ad oscillare (per esempio parallelamente alla superficie).

Questi moti elettronici sono vere e proprie correnti, la cui densità è legata al campo elettricodalla legge di Ohm

Possiamo trovare l’equazione di queste onde con le Equazioni di Maxwell immaginando cheeventuali densità (accumuli) di carica di volume siano trascurabili:

t

E

vEBrot

t

BErot

Bdiv

Ediv

2

1

0

0

Nella IV Eq. abbiamo sostituito la legge di Ohm ed abbiamo rimarcato il fatto che laconducibilità deve cambiare con la frequenza: dato l’attrito viscoso in cui si muovono glielettroni, al crescere della frequenza, e quindi della velocità degli elettroni stessi, l’attritoaumenta e, pertanto l’ampiezza delle oscillazioni deve diminuire all’aumentare della frequenza

Onde elettromagnetiche nei conduttoriOnde elettromagnetiche nei conduttori

Prendendo il rotore di ambo i membri della IV (III) e sostituendo la III (IV) e la II (I)

01

01

1

2

2

22

2

2

22

22

t

E

vt

EE

t

B

vt

BB

Erottv

ErotBBdivgrad

Abbiamo trovato un’equazione simile aquella di D’Alembert, ma con un temine che èlegato a possibili smorzamenti

Cerchiamo una soluzione tipo onda piana per queste equazioni

,kikiv

kiv

k

ft

f;fi

t

f;fk

x

f

t

f

vt

f

x

ftkxiexpFt,xf

2

2

2

22

22

22

2

2

2

2

22

2

01

Per effetto della conducibilità finita (grande) del mezzo il vettore d’onda k risulta complessoe la relazione di dispersione è più complicata di quella di un mezzo non dispersivo.

La circostanza che il vettore d’onda k sia complesso è legata all’assorbimento

xkexpI,xIxkexptxkiexpEt,xE 200

La quantità =(k’’)-1 è lo spessore di conduttore che l’onda attraversa riducendo la suaampiezza di un e-esimo, e va sotto il nome di spessore di penetrazione.

Si capisce come per un buon conduttore tale spessore può essere ridottissimo: quanto piùil conduttore è buono tanta più energia viene sottratta all’onda sotto forma di lavoro pergenerare correnti e tanto più calore viene prodotto per effetto Joule

Per un buon conduttore gli spessori di penetrazione possono essere dell’ordine dei nanometri,mentre per l’acqua del mare d è dell’ordine delle centinaia di metri

Questo risultato spiega la ragione fisica del fatto che i metalli sono opachi per la luce visibile,e sono anche buoni materiali per schermare onde di alta frequenza (raggi X)

I meccanismi di assorbimento spiegano perché un materiale lasciato al Sole si riscalda(si pensi ad una automobile).

Le sorgenti di luce naturale non sono monocromatiche e sono inoltre incoerenti. Questaproprietà discende dal fatto che l’emissione di luce avviene quasi sempre perché deglielettroni decadono da livelli eccitati a livelli energetici più bassi (vuoti) emettendo un fotone.

Essendo una sorgente costituta da molti atomi, se anche tutti gli atomi emettessero fotonisolo di una frequenza (e questo non basta a fare l’onda monocromatica), i singoli eventi diemissione sarebbero assolutamente scorrelati gli uni dagli altri. Pertanto l’onda emessa,benché possa essere monocromatica e polarizzata normalmente presente dei bruschisalti di fase assolutamente casuali

In generale quindi un’onda piana non è rigorosamente sinusoidale e la sua espressionematematica dovrebbe essere del tipo

t,xtkxsinEt,xE 0

Se la funzione di fase (x,t) fosse costante nel tempo l’onda si direbbe coerente temporalmente.Se fosse spazialmente uniforme l’onda si direbbe spazialmente coerente. Se (x,t) fossecostante sia nello spazio che nel tempo l’onda sarebbe coerente (sorgenti laser).

Due onde non coerenti, possono essere coerenti fra di loro se la loro differenza di fase èsempre costante

S

S1

S2

Con uno schermo e due fenditure si possonocostruire due onde coerenti fra loro

Coerenza delle onde elettromagneticheCoerenza delle onde elettromagnetiche

Un fenomeno caratteristico della propagazione ondosa è l’interferenza

Consideriamo due onde coerenti o coerenti tra loro, sinusoidali e polarizzate rettilineamente.Siano emesse da due sorgenti distanti x cerchiamo l’intensità totale in un punto P che distix1 dalla prima sorgente ed x2 dalla seconda

x

P

x

x1

x2

Se le sorgenti fossero isolate l’intensità in P sarebbe la somma delle intensità delle due ondecome se le sorgenti fossero isolate

0

202

2

02

202222

022

0

201

2

01

101111

011

2

11

2

11

2

1

Z

EdtE

TZItxksinEE

Z

EdtE

TZItxksinEE

T

T

Ma il campo in P è la risultante dei due campi, e dall’operazione di modulo quadro deve comparire un termine di doppio prodotto

InterferenzaInterferenza

Definendo T il m.c.m. dei periodi T1 e T2

dttxksintxksin

T

EE

ZI

IIIdtEEEETZ

dtEETZ

PI

EEE

T

TT

2220

111

02

01

012

12210

21

2

2

2

10

2

021

0

21

21

21111

Se il termine I12 non è nullo si dice che le onde interferiscono. Questo può essere nullo nellamaggioranza dei casi, infatti l’interferenza è un fenomeno naturale difficile da notare.

(1) Se le onde non sono coerenti tra loro, le funzioni di fase che apparirebbero nelle funzioniseno sotto il segno di integrale annullerebbero l’integrale stesso.

(2) Se le onde fossero polarizzate perpendicolarmente il prodotto scalare della ampiezzesi annullerebbe

(3) Se le onde non fossero monocromatiche l’integrale si annullerebbe (vedi Analisi di Fourier)

Per semplicità ipotizziamo quindi che le onde siano coerenti (tra loro), polarizzateparallelamente e di uguale frequenza. In queste ipotesi

;kkk;TTT;

;III;EEE

212121

2100

201

Sostituendo

xkcosEZ

IIPI

xkcosEZ

xxkcosEZ

I

tdtcostsinT

kxsinkxcoskxcoskxsin

kxcoskxcostdtsin

T

kxcoskxcos

kxsinkxsintdtcos

T

kxsinkxsin

kxsinkxcoskxcoskxsintcostsinkxcoskxcostsinkxsinkxsintcos

kxcostsintcoskxsinkxcostsintcoskxsintkxsintkxsin

dttkxsintkxsinT

E

ZI

T

T

T

T

11

2

11

0

2

2

21

20

012

20

012

20

012

0

2121

21

0

221

21

0

221

2121212

212

221121

20

1

20

012

Da cui si vede che I12 può essere positivo o negativo al variare della distanza fra le sorgenti.Siccome

xxk 2

Si vede che la differenza di fase con cui le onde giungono in P dipende dal rapporto fra ladifferenza di cammino rapportata alla lunghezza d’onda

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20

I

x

Graficando il funzione di x l’intensità

Massima Intensità=4I

Minima intensità =0(Oscurità)

Valor medio=2I

Nei punti di massima intensità si dice che vi è interferenza costruttiva, mentre nei punti dioscurità si ha interferenza distruttiva

212122 nxn

x

interferenza distruttiva

2222 nxn

x

interferenza costruttiva

Multiplo pari di mezze lunghezze d’onda Multiplo dispari di mezze lunghezze d’onda

Questo esperimento non è praticamente realizzabile. Si può facilmente realizzare però ilseguente

Nella regione di sovrapposizione

x1

S

S1

S2 x2

le onde arrivano con differenze di fase a causadella differenza fra x1 e x2

Ruotando lo schermo vedremo una immagine analoga a

Queste sono le frange di interferenza. Dalla loro periodicità si può risalire allalunghezza d’onda della radiazione

Uno dei fenomeni più spettacolari in natura è quello della diffrazione delle onde

Questo fenomeno, che è caratteristico della propagazione ondosa, consiste nel fattoche in certe situazioni le onde non sembrano propagarsi in linea retta

Il principale strumento per comprendere questo fenomeno è il cosidetto Principio diHuyghens. Questo è la conseguenza di un teorema detto di equivalenza

Il Principio di Huyghens si può formulare come segue: i punti (geometrici) investiti daun fronte d’onda al tempo t possono considerarsi come sorgenti di onde sfericheelementari, il cui inviluppo costituisce il fronte d’onda al tempo t+t

DiffrazioneDiffrazione

Col Principio di Huyghens è facile spiegare le leggi della riflessione e rifrazione

1

2

i

O

A

B

Un fronte d’onda piana che viaggia con velocità v1 nel mezzo 1 in cide nel punto O all’istantet=0. Dopo t secondi il punto A avrà raggiunto il punto B: AB=v1t

Nel frattempo i punti della superficie cominciano ad emettere onde sfericheil cui inviluppo è il fronte dell’onda riflessa

A’

r1

Il raggio della sfera centrata in O sarà pari a A’B’=v1T1 e dall’uguaglianza dei triangoliOAB e OA’B’ discende l’uguaglianza degli angoli di incidenza e riflessione

Analogamente per la rifrazione si trova OC/AB=v2/v1 e quindi la Legge di Snell dato che iraggi sono cateti e proporzionali al seno dell’angolo opposto

r2

C

Per comprendere questo fenomeno facciamo il seguente esercizio: un’onda piana incidesu una fenditura e noi vogliamo ricostruire l’immagine riprodotta su uno schermo moltodistante (diffrazione di Fraunhofer)

O

h

Per ricostruire il fronte d’onda ad una inclinazione (vergenza) piccola posso considerare isegmenti infinitesimi fra x e x+dx come sorgenti di onde sferiche elementari. Ciascunelementino produrrà un campo infinitesimo dE con una fase dipendente da x e dall’angolo

dx

r

x

xsin

Il campo sarà proporzionale al volume della fenditura e potremo scrivere:

dx,xtkrsinAdE

La fase dipenderà dal rapporto fra la lunghezza d’onda ed il tratto in più che l’ondaelementare emessa dal punto x dovrà percorrere

kxsinkx

sinx,x 2

L’ultima approssimazione è una conseguenza del fatto che lo schermo è ad una distanzar>>h, Integrando

khtkrcostkrcos

kh

Ahsind

k

AkxtkrsindxAE

khtkr

tkr

h

0

Con le formule di prostaferesi

22

2

khtkrsin

khsin

khAE

Pertanto si vede che, a parte il fattore di fase inessenziale in argomento del seno,la dipendenza del campo dall’angolo sta nel fattore

2

khz

z

zsin

L’intensità raccolta sullo schermo varierà dunque proporzionalmente a2

2

z

zsin

Al variare del rapporto /h quindi l’intensità cambia molto. Nel caso in cui h ed sonoconfrontabili l’immagine di un foro rotondo sarà dunque

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

h=1 mh=1 m

I(z)

z

=1m

2

Per comprendere la dipendenza del fenomeno dal rapporto /h, notiamo che la variazionedi z fra i primi due minimi, z, è pari a .

h

hz

2

2

Allora, se la lunghezza d’onda è trascurabile rispetto alle dimensioni della apertura, ancheuna piccolissima variazione dell’angolo ci fa passare dalla luce all’ombra, se invece ilrapporto /h si avvicina all’unità diventano visibili i massimi laterali.

Questo è il motivo per cui la luce del sole che entra da una finestra forma sulla pareteopposta o sul pavimento una zona di luce nettamente separata dall’ombra. Ma unforo di uno spillo in una tenda nera tenderà a diffrangere la luce in tutte le direzioni.

Ma la diffrazione è un fenomeno molto più frequente e quotidiano in natura: è il motivoper cui da una stanza si sentono voci o rumori provenienti da un’altra, o il motivo per ilquale le anse di un fiume vicino alla foce a delta hanno le stesse dimensioni del letto.Ancora: una superficie di vetro liscia può riflettere la luce mentre una scabra non lo fa;se strofinate delicatamente il bordo di un bicchiere col gambo con dell’acqua il bicchiereemette un suono, ma se l’acqua è frizzante il bicchiere non suona

Si noti che la fenditura è l’equivalente di una funzione Rect (vedi Cenni di analisi di Fourier)e che il campo risultante è proporzionale alla funzione Sync, la trasformata di Fourier dellaRect

Un reticolo di diffrazione è un dispositivo che consente di combinare gli effetti didiffrazione con l’interferenza. Esso è costituito da una serie di fenditure equispaziatecon passo p. Un’onda che incide su ogni fenditura produrrà una serie di onde diffratteche interferiranno fra loro.

In funzione dell’angolo di osservazione, si dovranno rivelare effetti di interferenzacostruttiva e distruttiva

/p=1/p=1/2

I

q

È facile vedere che i massimi cadranno nei punti qmax tali che

2

122

nq;sin

pq max

Il reticolo di diffrazioneIl reticolo di diffrazione

Si capisce quindi che con una radiazione di lunghezza d’onda nota si potrà determinareIl passo del reticolo o viceversa, semplicemente misurando la distanza angolare tra imassimi

In effetti è proprio quello che si fa per studiare i reticoli cristallini dei solidi. UsandoRaggi X , le cui lunghezze d’onda sono confrontabili con le distanze interatomiche, sipossono determinare le posizioni degli atomi

La sigla LASER sta per Light Amplifier by Stimulated Emission Radiation

Il laser è uno strumento che consente la produzione di luce coerente, monocromatica epolarizzata

Esso sfrutta il fenomeno della emissione stimolata

Stato vuoto

Stato occ.

Emissione spontanea: se un elettrone decade da un livello eccitato ad uno più bassoemette un fotone

h

Il LASERIl LASER

Stato vuoto

Stato occ.

Emissione stimolata: se un fotone di energia h investe un elettrone nel livello 2 lo faimmediatamente precipitare al livello

h

Stato occ.

Stato vuoto

h

Accanto ai fenomeni di emissione bisogna considerare il fenomeno di assorbimento:un fotone può essere assorbito da un elettrone che passa dallo stato più basso allo statoeccitato

Di conseguenza se irradiamo un atomo possiamo avere in uscita due fotoni (emissioneStimolata) o nessuno (assorbimento). In.oltre la probabilità che avvenga l’uno o l’altroprocesso (sezione d’urto) è uguale

Se però irradiamo un sistema di molti atomi il flusso di fotoni sarà minore in uscita di quelloin entrata: la popolazione del livello 1 (numero di atomi con l’elettrone nel livello) èmaggiore di quella del livello 2 all’equilibrio

Questo è un inconveniente, per la realizzazione di un amplificatore di luce, ma l’emissionestimolata è un meccanismo promettente per realizzare luce monocromatica e coerente:gli atomi emettono tutti quando investiti dalla radiazione, quindi l’emissione è in fase

L’amplificazione di luce si può realizzare mediante l’inversione della popolazione, conun sistema a tre o quattro livelli (materiale attivo)

Dec. rapido

Dec. rapido

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Il sistema a quattro livelli è più efficiente perché la popolazione del livello 1 resta sempreminore di quella del livello 2

Tuttavia ancora non siamo che all’inizio della costruzione di questa macchina (il cuirendimento è evidentemente basso)

Il materiale attivo deve essere inserito in una cavità risonante (Fabry-Perot): una cavitàmetallica le cui pareti sono estremamente riflettenti e parallele.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Se la lunghezza d della cavità non è un multiplo esatto della lunghezza d’onda tutte leonde nella cavità si distruggeranno per interferenza. Se invece d=N, allora quest’ondaandrà avanti e indietro nella cavità continuamente stimolando l’emissione degli atomi.La luce potrà essere prelevata da un lato usando uno specchio semiriflettente

d

Partendo dalle leggi di Snell è possibile determinare le intensità delle onde riflessa e rifratta

Innanzitutto notiamo che un’onda non polarizzata può essere decomposta nellasovrapposizione di due onde polarizzate rettilineamente, i cui campi siano perpendicolari

Siccome i due campi non interferiscono (cfr. Interferenza), si potrà scrivere

psppssnonnonpsnon EEEIEIEIEEE

Inoltre se l’onda è completamente non polarizzata le ampiezze di Es e Ep possono essereprese uguali, cosicché le due onde trasportano la stessa quantità di energia. Invece se leampiezze di Es e Ep differiscono, allora l’onda si dice parzialmente polarizzata e sidefinisce rapporto di polarizzazione

ps

ps

II

II

Se consideriamo adesso un’onda non polarizzata incidente sulla superficie di separazionedi due mezzi possiamo decomporla nei due campi e studiarli separatamente

Coefficienti di Fresnel: riflettività e trasmittivitàCoefficienti di Fresnel: riflettività e trasmittività

Per studiare la riflessione e la rifrazione di un’onda non polarizzata, conviene scegliere ilcampo Es perpendicolare al piano definito dalla direzione di propagazione e dalla normalealla superficie, il piano di reazione (il campo Es parallelo alla superficie o polarizzazione “S”)ed il campo Ep giacente nel piano stesso (polarizzazione “P”).

Le ampiezze del campo elettrico e del campo magnetico sono legate dall’impedenzacaratteristica del mezzo, generalizzazione dell’impedenza del vuoto

EZ

nH

n

ZZ

r

r

0

0

0

0

1

2

z

i i

r

pH

pE

“P”

1

2

z

i i

r

sE

sH

“S”

Le condizioni di continuità alla superficie di separazione impongono che le componentitangenziali dei campi elettrico e magnetico siano continue. Questo comporta

ptptpt

ststst

ptptpt

ststst

HHH

HHH

EEE

EEE

Ma le ampiezze dei campi elettrico e magnetico sono proporzionali, quindi è possibileottenere un sistema di equazioni nelle ampiezze dell’onda riflessa e rifratta

spp

sss

ppp

ss

EnEnEn

rcosEnicosEnicosEn

rcosEicosEicosE

sEEE

211

211

Risolvendo e facendo uso della legge della rifrazione

pp

pp

ss

ss

Ericosrisin

icosrsinE

Eritg

ritgE

Erisin

icosrsinE

Erisin

risinE

22

Definendo i coefficienti riflessione di Fresnel come

s

ss

p

pp E

Er;

E

Er

Si ottiene dopo qualche manipolazione

rcosnicos

rcosnicos

icosrsinrcosisin

icosrsinrcosisinr

rcosicosn

rcosicosn

rcosrsinicosisin

rcosrsinicosisinr

s

p

12

12

12

12

Questi coefficienti sono il rapporto fra le ampiezze delle onde. Si possono introdurre icoefficienti di riflessione come i rapporti fra le intensità dell’onda incidente e riflessa. Cioè:

22

22

2

2

sss

ssp

pp

pp r

E

E

I

IR;r

E

E

I

IR sp

Analogamente si possono definire i coefficienti di trasmissione, tp, ts Tp e Ts

Se l’angolo di incidenza è tale che 12nitg B

è facile vedere che l’angolo di incidenza e quello di rifrazione sono complementari

2

rirsinicos

rsin

isin

icos

isinBB

B

B

B

Pertanto al tendere dell’angolo di incidenza all’angolo di Brewster, tg(iB+r) diverge, quindiE’p tende ad annullarsi.

In assenza di processi dissipativi, l’intensità dell’onda incidente si divide fra quella incidentee quella trasmessa, quindi per incidenza pari all’angolo di Brewster e polarizzazione P tuttal’intensità viene trasmessa

Questa circostanza è suscettibile di spettacolari applicazioni ingegneristico/architettoniche.Se le vetrate di un edificio sono opportunamente inclinate ed orientate, in modo da far sì chela luce solare incida per tutto il giorno con angoli vicini all’angolo di Brewster del vetro, siotterrà che nell’edificio penetri la massima intensità luminosa possibile. Le famose piramididel Museo del Louvre, sono ispirati a questo semplice fenomeno fisico.

Angolo di BrewsterAngolo di Brewster

La legge di Snell predice fenomeni diversi a seconda dei valori degli angoli e dell’indice dirifrazione relativo

121

2 nn

n

rsin

isin

Nel caso in cui n2>n1, n12>1, ricavando l’angolo di rifrazione si avrannosoluzioni reali, e l’angolo di rifrazione saràminore dell’angolo di incidenza

Nel caso in cui n1>n2, n12<1, l’angolo di rifrazionesarà maggiore dell’angolo di incidenza e siavranno soluzioni reali solo se i i ,l’angolo limite per cui r=/2

1

2

zk

i

r

1

2

zk

i

r

1

2

zk i

r

Riflessione totaleRiflessione totale

Vogliamo capire ora cosa accadrà per angoli di incidenza superiori all’angolo limite.Apparentemente non si avrà nessun’onda trasmessa, e, come nel caso del prisma a 45°si avrà

00

41666090

Lrel

L i.n

sinisin

Questo è un caso interessante per studiare l’efficacia dell’uso deinumeri complessi in Fisica

Si può estendere la definizione delle funzioni trigonometriche ai numeri complessi tramitei loro sviluppi in serie di potenze

0

2642

0

12753

21

6421

121

753

k

kk

k

kk

!k

x...

!

x

!

x

!

xxcos

!k

x....

!

x

!

x

!

xxxsin

semplicemente immaginando x come un numero complesso x=a+ib

Le identità trigonometriche restano tutte valide, e vanno introdotte le funzioniiperboliche mediante le seguenti formule

sinhiisin;coshicos

sinhcosicoshsinisincosicossinisin

sinhsinicoshcosisinsinicoscosicos

Da cui

Inoltre per /2

puro oimmaginari:sinhiicos

per reale:coshisin

2

0112

È possibile verificare che (esercizio):

122 isinicos

Siccome può essere cosh>1, assumendo che la legge di Snell valga anche nel campodei numeri complessi, si avrà per i i

11

1

212

2

212

2

12

n

isini

n

isinrcos

n

isinrsin

Ora, per angoli complessi anche i coefficienti di Fresnel sono numeri complessi,pertanto

*

spspspsp rrrR 2

È facilissimo, adesso, vedere che se i i

1 sp RR

Cioè, tutta l’energia trasportata dall’onda incidente resta nel primo mezzo

Ci domandiamo ora se nella riflessione totale ci sia un campo elettromagneticonel secondo mezzo (z>0)

1

2 z

ki

x

Considerando la componente parallela alla superficie del campo elettrico Ey, cioèun’onda che si propaga nella direzione x

.c.czikexpykxkitiexpE.c.crktiexpEE zyxyyy 00

Nell’ultima espressione il vettore d’onda è diretto come la direzione di propagazione ed ilsuo modulo è

2

k

Onde evanescentiOnde evanescenti

Ma per i , kz sarà un immaginario puro:

122

2

2

12

n

sinzicoszzk i

rz

Scartando il segno “+” (perché se l’ampiezza dell’onda crescesse durante la propagazionesi negherebbero i Princìpi della Termodinamica)

.c.cykxkitiexpz

expE

.c.cykxkitiexpn

sinzexpEE

yxy

yxi

yy

0

2

20 1

2

12

Quest’ultima formula rappresenta un’onda che si propaga nel piano (x,y) e la cuiampiezza si smorza in funzione della profondità z con una lunghezza caratteristica

1

1

22

2

12

n

sin i

Si noti che se i non è vicino all’angolo limite

Le formule precedenti definiscono l’onda evanescente. Questa è un’onda che presentacaratteristiche abbastanza diverse da un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto.

Un calcolo completo (M.Born e E.Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press 1993)mostra innanzitutto che l’onda evanescente non è trasversale (il campo elettrico nonsi annulla lungo la direzione di propagazione)

Si può far vedere (esercizio) che le componenti tangenziali alla superficie (x ed y) delvettore di Poynting sono sempre non nulle mentre è sempre nulla la componente z.Ciò significa che l’energia non può viaggiare lungo la normale alla superficie. Pertantoessa deve restare confinata sulla superficie (trasportata dall’onda evanescente) e quinditrasferita all’onda riflessa totalmente

L’energia trasportata deve quindi viaggiare secondo il seguente schema

1

2 z

ki

x

Onda evanescente