Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Gli stati della materia: solidi liquidi e gas2) Volume e Densità3) La Pressione4) Fluidi nel campo della gravità: legge di Stevino5) Principio dei vasi comunicanti, Principio di Pascal e Principio di Archimede6) Punto di vista Lagrangiano ed Euleriano7) Moti laminari e turbolenti8) Numero di Reynolds e viscosità9) Equazione di Bernoulli10) Equazione di Poiseuille

* Data la compattezza del corso non è possibile un approfondimento dei concetti. Glistudenti sono indirizzati al corso di Idraulica (II anno)

Parte VIII: Cenni di Meccanica dei fluidi*

Noi oggi sappiamo che la materia è costituita da atomi, e che a loro volta gli atomi sonocostituiti da nuclei, carichi positivamente e nei quali è concentrata praticamente tuttala massa dell’atomo, mentre gli elettroni, carichi negativamente e molto più leggeri, sonodistribuiti intorno ai nuclei.

Gli atomi, grazie alle proprietà degli elettroni, posso legarsi fra loro, dando vita a molecoleed a forme di aggregazione piuttosto complicate, come, ad esempio, i solidi

Le dimensioni lineari degli atomi sono moto piccole, dell’ordine di 10-10 m

Questo comporta che il volume occupato da un atomo è dell’ordine di 10-30 m3

Allora in un pezzetto di materia lungo 10-8 m, il cui volume è 10-24 m3 conterrà unnumero di atomi pari a

atomi 1010

10 630

24

N

Gli stati di aggregazione della materiaGli stati di aggregazione della materia

In realtà questa è la situazione dei solidi e dei liquidi, per i quali la densità volumicadel numero di atomi è abbastanza elevata

-4000

-2000

0

2000

4000

Energia potenziale interatomica

U(r

)

r

10-10 m

Il seguente grafico della energia di interazione di un atomo messo nell’origine conun altro posto alla distanza r ci fa capire come due atomi si attirino (debolmente)quando sono lontani e si respingano (fortemente) quando sono troppo vicini

Distanza di equilibrio

La materia quindi si trova in uno stato condensato quando gli atomi, ovvero i loro nuclei,stanno a determinate distanze (dette di equilibrio)

Normalmente accade però che gli atomi o le molecole si muovano. Se tali moti sonoessenzialmente vibrazioni attorno alle posizioni di equilibrio normalmente lo statodi aggregazione è lo stato solido. La caratteristica principale dello stato solido è ilpossedere una forma propria.

Quest’ultima affermazione significa che il sistema fisico è in grado di resistere aicosiddetti sforzi di taglio

Un solido può deformarsi un po’ sotto uno sforzo di taglio, magari la deformazionepuò essere plastica (invece che elastica) e permanente, magari può pure spezzarsi,ma se prendiamo un sbarra di acciaio e la facciamo sporgere dal tavolo non si piegae non cade

Può accadere, però, che le molecole possano traslare e muoversi indipendentemente.In tal caso accade che una molecola si allontani dalla sua posizione di equilibrio, ma inbrevissimi istanti (10-6 secondi), essa può essere sostituita da un’altra quasi nella stessaposizione. Ciò fa sì che mediamente ci sia sempre una molecola ad una distanza di equilibrio,benché quasi mai la stessa molecola.

Questo è possibile solo se l’attrazione fra gli atomi è ben più debole che nei solidi, e, quindi,è molto più facile tagliare questi sistemi: i fluidi

Vedremo presto che i fluidi vanno distinti in gas e liquidi, i primi sono fluidi comprimibilimentre i secondi sono incomprimibili

Per qualunque di questi mezzi, tuttavia, un pezzetto di materia piccolo sulla scalamacroscopica (10-8m) è comunque costituito da un enorme numero di molecole o atomie lo studio della sua evoluzione spazio-temporale non può effettuarsi mediante la II leggedi Newton: posto di conoscere le forze risultanti su ciascuna molecola in ogni istante sidovrebbero risolvere sistemi di milioni di equazioni differenziali in milioni di funzioniincognite

Una prima approssimazione che si fa in Fisica Classica per studiare le proprietà fisichedi sistemi così complicati è di pensare la materia (solida, liquida e gassosa) come continua

Ciò è giustificato dal fatto che le distanze interatomiche sono, come abbiamo visto, moltopiù piccole delle scale di distanze cui siamo normalmente interessati se ci interessano leproprietà macroscopiche di un sistema fisico.

Assumere che la materia sia continua comporta il pensare che la massa sia distribuitain maniera continua. Questo vuol dire che possiamo sempre pensare di dividere un datovolume macroscopico di materia in tanti volumetti infinitesimi e scoprire che in esso viè contenuta una quantità di massa infinitesima

dm dxdydzdV Massa totale

V

dmM

Il Volume e la DensitàIl Volume e la Densità

Ciò consente di introdurre la densità di massa, ovvero la quantità di massa per unitàdi volume, come il seguente campo scalare

V

dVtzyxMdVtzyxdm ,,,,,,

La densità di massa è una grandezza fisica intensiva (non dipende dalla estensione) ed èun campo poiché indica una corrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio (x,y,z) ed iltempo t, ed i valori assunti dalla densità in quel punto in quell’istante.

Spesso accade che la distribuzione di massa sia uniforme, quindi la densità assume semprelo stesso valore (la densità media) in tutti i punti del corpo. Se ciò accade si dice che il corpoè omogeneo. Considerare la densità una funzione del punto consente di studiare i sistemidisomogenei.

Spesso accade pure che la densità sia costante al variare del tempo (per un mezzodisomogeneo ciò significa che la densità è diversa punto per punto, ma i diversi valoriassunti in ogni punto siano costanti nel tempo). Un tale mezzo è incomprimibile ed ècaratterizzato matematicamente dal fatto che la densità non dipende esplicitamente daltempo

0,,

t

zyx

Si pensi ad un palloncino. Possiamo pensare di comprimerlo, ovvero di ridurne il volume:siccome la quantità di massa in esso contenuta non fuoriesce, la densità deve aumentare.

I gas sono dunque fluidi comprimibili: la densità può cambiare nel tempo.

Ma se il palloncino fosse pieno d’acqua non sarebbe affatto facile comprimerlo: se nepotrebbe cambiare facilmente la forma, ma non il volume totale

I liquidi sono quindi caratterizzati dalla incompressibilità, ovvero la loro densità nondipende esplicitamente dal tempo (in realtà la compressibilità di un liquido è piccolama non è nulla).

Il volume e la densità sono due proprietà macroscopiche di un sistema fisico, e la loroconoscenza è necessaria se vogliamo descrivere (macroscopicamente) il comportamentodella materia

Esistono molte altre variabili macroscopiche, la cui conoscenza può aiutarci nello studiodei sistemi materiali

Se nuotando sott’acqua scendessimo troppo in profondità sentitremmo del doloreai timpani

Tuttavia se prendessimo un delicatissimo calice di cristallo di Boemia e lo tenessimosott’acqua esso non si romperebbe

La prima osservazione dice che l’acqua (e così tutti i liquidi) trasmette delle forze.La seconda evidentemente prova che tali forze devono in qualche modo bilanciarsi(altrimenti il bicchiere si romperebbe).

Nel caso dell’acqua, visto che i liquidi sono dotati di massa, le forze che vengonoesercitate sono evidentemente dovute alla gravità, ma non è chiaro dove esse si applichino

Nel caso del palloncino gonfio, non è immediatamente evidente quali sono le forze checonsentono alla plastica di dilatarsi ed al palloncino di assumere la propria forma.Anche in questo caso non è molto significativo in quali punti della parete tali forzesono applicate

La PressioneLa Pressione

È invece importante comprendere che le forze che esercita un fluido si applicano susuperfici

La pressione è proprio definita come la forza per unità di superficie:

dS

dF

S

FlimPS

0

Vedremo che nel caso del palloncino la pressione è il risultato dei tantissimi urti chele molecole del gas esercitano sulle pareti. Anche la pressione, dunque, è una variabilemacroscopica

La pressione si può misurare in diverse unità di misura:

1) 1 Pascal=1Newton/m2 (MKS)2) 1 bar= 105 Pascal3) 1 Atmosfera= pressione dell’aria a livello del mare= 1.013 bar=1013 millibar4) 1 Atmosfera= 760 Torr= 760 mm di mercurio

Anche la pressione in un fluido è in generale un campo P=P(x,y,z,t)

All’interno di un liquido la pressione non dipende dalla direzione secondo cui agisconole forze, se il fluido è a riposo

Ciò si comprende col fatto che una sottilissima lastra di vetro non si rompe: la pressionesu entrambe le facce deve bilanciarsi qualunque sia l’orientazione della lastra

Questa circostanza è una proprietà dei fluidi che si chiama isotropia (equivalenzadi tutte le diverse direzioni), e la pressione, in tal caso, si dice idrostatica

Bisogna tuttavia realizzare che l’equilibrio (diciamo per ora che il liquido èmacroscopicamente immobile) è una condizione importante perché la pressione idrostaticasia la stessa in tutti i punti: se così non fosse, per esempio, differenti strati di liquidosarebbero in moto relativo

Per comprendere il dolore ai timpani del sub, consideriamo un cilindro di base A edaltezza h all’interno di un liquido

Ah

Supponiamo che il fluido sia a riposo (il cilindro è fermo) e valutiamo le forzeche agiscono sulle sue basi dall’alto e dal basso

Falto

Fbasso

ghPFF

AhgPAmgPAFAPPF

altobasso

altobasso

;

(h, la profondità, cresce muovendosi verso il basso)

Fluidi nel campo della gravitàFluidi nel campo della gravità

In sostanza, nel limite di cilindretti infinitesimi, siccome l’area delle basi si elide,otteniamo la seguente equazione differenziale, detta Legge di Stevino, che descrive lavariazione della pressione con la profondità

gdh

dP

Se il fluido è omogeneo =cost., l’equazione differenziale può essere integrata a patto diconoscere il valore ad una quota di riferimento (e.g. h=0)

ghPhP 0

Si noti che se P0 fosse la pressione atmosferica al livello del mare, questa formula cipredice come la pressione diminuisce (h è orientato verso il basso) all’aumentare dellaaltitudine. La stessa equazione predice pure come aumenta la pressione nello scenderein profondità sott’acqua.

Si noti altresì che proprio perché la pressione idrostatica è isotropa, la derivazioneprecedente è indipendente dalla posizione verticale, orizzontale od obliqua del cilindrettoall’interno del fluido, ovvero dell’area di base, dalle dimensioni e dalla forma

Non è affatto un principio, ma una conseguenza della Legge di Stevino

La pressione atmosferica alla superficie del liquido è la stessa in tutti i suoi punti, ovveronon dipende dalla forma né dall’area della superficie

Il principio dei vasi comunicantiIl principio dei vasi comunicanti

Consultare Fig. 16-17Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

Anch’esso è una conseguenza della Legge di Stevino

Considerando due punti in un liquido a profondità differenti si ha

1212 hhghPhP

Ne segue che la differenza di pressione fra i due punti, se il fluido è omogeneo edincomprimibile non può cambiare se per qualche causa esterna cambia la pressione inuno dei due punti

Principio di Pascal:Una variazione di pressione applicata ad un qualunque punto di un liquido in quieteviene trasmessa a tutte le parti del liquido

Il Principio di PascalIl Principio di Pascal

Prendiamo una provetta di vetro di sezione costante piena di mercurio, cioè di un liquidomolto più denso dell’aria e capovolgiamolo in una bacinella contenente mercurio, la cuisuperficie libera è soggetta alla pressione dell’aria. Il livello del mercurio scenderà.

h0

h1

Il mercurio continuerà a scendere fino a quando la pressione che esercita non eguaglieràla pressione dell’aria sulla superficie libera (lasciando il vuoto, P0=0)

mmmmmKgx

Paxh

g

PhhhhghhgPP

HgHgHg

76076.0sec/806.9/106.13

1001.1

;

233

5

110101001

P1

P0

Perché i sassi affondano mentre il legno galleggia? Perché un transatlantico che è fattod’acciaio galleggia? Perché una mongolfiera può sollevarsi in aria?

Principio di ArchimedeUn corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso delliquido spostato

È anch’esso una conseguenza della legge di Stevino

A

h

Falto

Fbasso

h0

h1

Il Principio di ArchimedeIl Principio di Archimede

Si noti che stavolta le due forze non si equilibrano, perché la densità dell’oggetto immersonon è la stessa di quella dell’acqua

VgMgghAFFF

AhgPAmgPAFAhgPAF

liqliqoggbassoaltoris

oggaltoliqbasso

;

L’ultima equazione afferma che oltre alla forza peso (ovviamente diretta verso il basso)sul corpo, a causa della pressione idrostatica si esercita una forza diretta verso l’alto ilcui modulo è proprio il peso del volume di liquido spostato

Questa analisi consente di studiare i problemi di galleggiamento, dove, tuttavia, bisognaconsiderare quanto il corpo penetra nel liquido (per calcolare il volume di liquido spostato)

Una nave, che è fatta d’acciaio e di aria, evidentemente galleggia perché la spinta diArchimede è maggiore del suo peso. Una mongolfiera si può sollevare in aria perchél’aria calda contenuta al suo interno è ad una densità minore di quella esterna

Si è visto che lo studio della meccanica dei fluidi non si può affrontare, se non ad unprezzo enorme dal punto di vista dei calcoli (p.es. con un supercomputer), seguendoil moto individuale delle moltissime molecole (1023 per grammomolecola di fluido).

Questo ha comportato per lo studio dei fluidi a riposo (idrostatica) l’introduzione dicampi, quali la densità di massa, e l’uso di proprietà macroscopiche invece che leproprietà microscopiche, quali, ad esempio la velocità delle singole molecole

Per studiare i fluidi in moto si deve passare dal cosiddetto punto di vista lagrangiano(dal nome del fisico matematico francese Lagrange) al punto di vista euleriano (dal nomedel fisico matematico svizzero Euler)

Consideriamo un fluido in moto (p. es. l’acqua in una condotta):1) il punto di vista lagrangiano consiste nel seguire il moto di tutte le molecole

individualmente e considerare le velocità come proprietà individuali dellesingole molecole

2) Il punto di vista euleriano consiste nel separare il concetto di velocità come proprietàdi una data particella e nel farlo diventare un campo: la velocità che una qualsiasiparticella possiede in un dato punto in un dato istante

Punti di vista lagrangiano ed eulerianoPunti di vista lagrangiano ed euleriano

Si pensi all’acqua che fluisce in tubo di plastica (p.es. state innaffiando le piante in ungiardino). L’acqua fluisce in maniera stazionaria (flusso stazionario), ma se ostruiteparzialmente con un dito l’apertura del tubo l’acqua fluisce più velocemente. La velocitàdi scorrimento del fluido, che è data dalla velocità delle singole molecole, tuttavia noncambia molto al variare della molecola ma è diversa nei differenti punti del tubo (e.g.dipende dalla sezione) in modulo e direzione

tzyxv ,,,

tzyxv ,,, 111

tzyxv ,,, 222

Si definisce portata di una condotta la massa di fluido che attraversa una sezionedi area unitaria al secondo

Questa si può definire in termini del flusso del vettore densità di corrente

S

dSnJQtzyxvtzyxJ ˆ,,,,,,

Che la portata e la densità di corrente siano collegate lo si può vedere così. Per un fluidoomogeneo ed incomprimibile la densità è una costante. Se adesso si considera unparallelepipedo di base unitaria (1m2) ed altezza vt, orientato come il vettore densità dicorrente

vt

1m2 J

In t secondi il volume del parallelepipedo si riempie di fluido. La quantità di questoè certamente quella che è passata attraverso un’area unitaria in secondi t

È allora evidente che se la densità di corrente è costante su tutta l’area unitaria edè sempre perpendicolare ad essa si ha

Mt

vSt

tdSnJQ

S

1

ˆ

Abbiamo indicato con M la massa di fluido che in t secondi ha attraversato la sezioneunitaria della condotta. Se la densità di corrente non è costante allora bisognerà calcolarel’integrale

L’integrale di superficie del tipo indicato sopra è detto flusso del campo vettoriale

Per rappresentare graficamente un campo vettoriale si possono disegnare le linee diflusso, ovvero il luogo dei punti in cui il campo assegnato è tangente

Tubo di flusso

In dipendenza da certi parametri esterni il moto di un fluido può essere turbolento ostazionario (laminare)

Nel caso stazionario il fluido sembra scorrere come un tutto (a strati paralleli), mentrenel caso turbolento si creano vortici e le linee di flusso si chiudono

Moti stazionari e moti turbolentiMoti stazionari e moti turbolenti

Consultare figura 16-18Fishbane Gasiorowicz-Thornton

Consultare figura 16-19Fishbane Gasiorowicz-Thornton

È facile intuire che il flusso stazionario è quello che si realizza con l’acqua all’internodi una condotta. In tal caso la portata è costante.

Il moto turbolento è quello che si crea normalmente nell’atmosfera (cicloni ed anticicloni).Spesso in tali casi non si può parlare neanche di linee di flusso separate.

Tuttavia anche nell’acqua dei fiumi o dei mari (si pensi allo Stretto di Messina) possonoverificarsi moti estremamente turbolenti con mulinelli e gorghi in cui l’acqua si muovevelocissimamente

Per fissare le condizioni secondo le quali un fluido è in moto turbolento o laminaresi introduce il cosiddetto numero di Reynolds, che è adimensionale

11

13

sec

sec;

Kgm

mmKgmR

LvR

è la densità di massa, v è la velocità, L è una lunghezza caratteristica del moto (p.es.le dimensioni della condotta), mentre è un parametro che si chiama coefficiente diviscosità

Se R<2000 il moto è normalmente laminare

Riflettiamo che è molto più semplice mettere in moto un fluido poco viscoso come l’aria che non, p. es., il miele, questo è il motivo per cui la viscosità, un parametroche in qualche modo tiene conto degli attriti interni di un fluido, sta a denominatore

Un fluido la cui viscosità è nulla è detto fluido ideale e, ovviamente, non esiste. Il fluidoideale per eccellenza è il Gas Perfetto. In questo modello le molecole sono dei puntimateriali che non interagiscono fra loro e con le pareti del contenitore se non tramitedegli urti completamente elastici (nessuna attrazione e repulsione)

Spesso, però, per alcuni liquidi (p.es. l’acqua in un tubo sottile) possono considerarsiquasi ideali

Per un fluido ideale vale ovviamente il principio di conservazione dell’energia meccanica.Da questo principio discende direttamente l’equazione di Bernoulli

Consideriamo un tubo, in cui scorre un liquido ideale (=0) incomprimibile, alle cuiestremità applichiamo due differenti pressioni, P1 e P2

h

h1

h2

Consideriamo un volumetto di liquido V che fluisce, insieme a tutto il liquido, dalpunto 1 al punto 2

v1

v2

P1

P2

Le forze di pressione compiono un lavoro, e durante il suo moto varia l’energia potenzialee l’energia cinetica

L’equazione di BernoulliL’equazione di Bernoulli

Calcoliamo separatamente queste variazioni di energia. Energia potenziale:

VghhmghU 12

Energia cinetica

VvvvvmK 21

22

21

22 2

1

2

1

Lavoro delle forze di pressione

tvApvApW

tvApsFWtvApsFW

222111

22221111 ;;

Ma siccome il fluido è in moto stazionario ed incomprimibile la portata ai punti 1 e 2deve essere la stessa

2211222111 ;; AvAvAvQAvQ

VpptAvppW 2121

Si ottiene per il lavoro

Ma il lavoro (esterno) delle forze di pressione deve uguagliare la variazione di energiameccanica totale visto che non ci sono attriti. Cioè

VhhgVvvVpp 1221

2221 2

1

Si possono portare a primo membro tutte le quantità col pedice 1 ed a secondo membrotutte le quantità col pedice 2

22221

211 2

1

2

1ghvpghvp

La quantità

.cos2

1 2 tghvp

si mantiene costante durante il flusso di qualunque volumetto

Quest’equazione può dunque essere usata per risolvere problemi di idraulica, in sistemiin cui si può trascurare l’energia dissipata per attriti interni

Sulla base del Principio di Pascal ci aspetteremmo che per un liquido in moto stazionariodentro una condotta la pressione sia la stessa in ogni sezione

Il seguente esperimento mostra che così non è per un liquido reale (>0)

Se la pressione fosse la stessa dovunque l’altezza del liquido nei cannelli sarebbe uguale(vasi comunicanti) e non ci sarebbe la perdita di carico P-P’=P

P P’

L’equazione di PoiseuilleL’equazione di Poiseuille

È evidente che in questo caso il lavoro delle forze di pressione è trasformato in caloredall’attrito viscoso all’interno della condotta

Se vogliamo mantenere il liquido in moto dobbiamo allora continuamente applicareuna pressione pari alla perdita di carico per fornire al liquido la potenza che vienetrasformata in calore.

La situazione è la stessa di quella di un’automobile che viaggia alla velocità massima:raggiunta questa velocità a causa degli attriti si fermerebbe se il motore non fornissel’energia necessaria

Se il fluido è in moto laminare (ipotesi giustificata dalla viscosità che abbassa il numerodi Reynolds), è lecito pensare il fluido diviso in differenti straterelli che scorrono l’unosull’altro, con velocità diversa: il più veloce tende a trascinare il più lento e viceversa.

Considerando un tubo a forma di cilindro circolare, gli straterelli avranno la forma dicorone cilindriche concentriche. La velocità degli strati crescerà nel muoversi dallepareti (dove si può pensare che il fluido sia fermo) verso l’asse centrale del tubo

P P’

l l’

adr

r

Se il tubo è perfettamente orizzontale le forze che agiranno sulla singola corona cilindricaSaranno: 1) La forza di pressione; 2) la forza acceleratrice della corona interna; 3) la forzadeceleratrice della corona più esterna

La forza di pressione agente sulla corona cilindrica compresa fra i raggi r e r+dr sarà

PdrrrdrPPdFP 22'

La forza di attrito agente sulla superficie cilindrica interna sarà proporzionale all’areadi contatto ed alla variazione di velocità nel passare da r a r+dr tramite proprio ilcoefficiente di viscosità

drdr

dvlrdF i

a 2

Notare che il segno negativo ci vuole perché questa forza tende ad accelerare la coronama la velocità decresce al crescere di r (la derivata di v rispetto ad r deve essere negativa)

Sul mantello esterno agisce una forza rallentatrice che ha la stessa struttura della forzaprecedente, ma bisogna tenere in conto che cambiando r cambia la velocità ed anche lasua derivata rispetto ad r. Ciò si può fare tramite uno sviluppo in serie:

dr

dr

vd

dr

dvldrrdF e

a 2

2

2

Sommando questi due termini si ottiene a meno di infinitesimi del secondo ordine

drdr

dvr

dr

dvldF

drdr

dvdr

dr

dvr

dr

dvl

dr

dvrdr

dr

dv

dr

dvdrrldFdFdF

a

ia

eaa

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

Nel moto stazionario questa forza deve equilibrare quella dovuta alla differenza dipressione

Abbiamo quindi ottenuto una equazione differenziale nella funzione incognita v(r)

0

022

2

2

2

2

rl

P

dr

dvr

dr

d;

dr

vdr

dr

dvlPr

ovverodrdr

vdr

dr

dvlPrdr

Questa equazione si può facilmente integrare imponendo le condizioni al contorno perle quali sulla superficie esterna del tubo, r=a, la velocità deve essere minima (nulla)mentre a r=0 la velocità deve essere massima. Integrando una prima volta

02

002

2

r

l

P

dr

dv

(massimo) dr

dv,rC

r

l

P

dr

dvr

Integrando una seconda volta

22

22

4

4,0

4

ral

Prv

a

l

PDarVD

r

l

Prv

Cerchiamo di comprendere il significato del risultato appena ottenutol’equazione di Poiseuille

V(r)

L’equazione di Poiseuille predice che il profilo delle velocità all’interno della condottasia parabolico. Ciò corrisponde bene alla nostra intuizione (massimo al centro e nulloal contatto con le pareti interne del tubo.

Questa equazione dice inoltre che la velocità di scorrimento è tanto più grande quantoè più grande la variazione di pressione per unità di lunghezza, tanto più grande quantopiù larga è la condotta e tanto più piccola quanto più grande è la viscosità del liquido

22

4

1ra

l

Prv