Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Campi Scalari e Vettoriali2) Gradiente3) Integrali di Volume, Superficie e Linea4) Divergenza e Teorema di Gauss5) Rotore e Teorema di Stokes6) Teorema di Unicità7) Sistemi di Coordinate8) Formulario

Parte XIV: Elementi di analisi vettoriale

Il concetto di CampoIl concetto di Campo

Le grandezze fisiche possono essere scalari, vettoriali e tensoriali

Una grandezza fisica può assumere valori diversi in differenti punti dello spazioin differenti istanti di tempo. L’evoluzione di esse sono i fenomeni fisici.

Se siamo in grado di creare una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazioe la grandezza fisica abbiamo definito un campo (scalare, vettoriale, tensoriale)

Esempi di campi scalari sono:

Esempi di campi vettoriali sono:

1) La temperatura in questa stanza (può essere diversa in tutti i punti)2) La altezza (quota) sul livello del mare ( “ ) 3) La densità o la pressione di un fluido ( “ ) 4) L’energia potenziale gravitazionale di un pianeta che gira attorno al sole5) Ecc.

1) La forza che il sole esercita su un pianeta (dipende dalla posizione del pianeta)2) La velocità all’interno di una tubatura3) La deformazione di un mezzo elastico al passaggio di un’onda4) Ecc.

Il concetto di campo è utile per studiare fenomeni fisici, poiché se si è in gradodi studiarne le variazioni nello spazio e nel tempo mediante opportune leggi fisichesi potranno fare predizioni. Si pensi, per esempio al calcolo della velocità in funzione del raggio in una tubatura per un fluido reale in moto laminare,

che risolta fornisce

22

4

1ra

l

prv

02

2

dr

vdr

dr

dvlpr

Equazione di Poiseuille,

p p’

l l’

adr

r

e cioè il campo vettoriale v in funzione della coordinata r

Un campo (scalare) è quindi dal punto di vista matematico una funzione di più(p.es. 3) variabili s=s(x,y,z). Per studiarne le variazioni si può far uso delle derivate.

Il campo s può essere derivabile separatamente rispetto alle sue variabili indipendenti.Si definiscono quindi le derivate parziali di s come le derivate eseguite rispetto ad unavariabile mantenendo costanti le altre. Per esempio:

0

0

0xx

z,y,xsz,y,xs

dx

ds

x

slim

xxz,y

Si definisce il differenziale esatto di una funzione (delle 3 variabili x,y,z) la quantità:

dN

ii

i

dxx

sdz

z

sdy

y

sdx

x

sds

1

Notiamo che la derivata parziale rispetto ad x potrebbe essere positiva, mentre lealtre negative. Di conseguenza una stessa funzione può crescere lungo una direzionee decrescere lungo un’altra. Ciò porta al concetto derivata direzionale, cioè diderivata eseguita lungo una direzione scelta: la derivata parziale rispetto ad x altronon è che la derivata nella direzione dell’asse x

Funzioni e derivate di più variabiliFunzioni e derivate di più variabili

Diventa naturale definire l’incremento infinitesimo del vettore posizione

dzkdyjdxird;zkyjxir

Notiamo altresì che il differenziale del campo s può essere scritto come ilseguente prodotto scalare:

ssz

ky

jx

iz

sk

y

sj

x

sisgrad

rdsgraddzz

sdy

y

sdx

x

sdzkdyjdxi

z

sk

y

sj

x

sids

ksz

s

è la derivata di s nella direzione di z, così

nsn

s

è la derivata di s in una direzione arbitraria n

Dove si è definito l’operatore gradiente o nabla. Dato quindi un campo scalare ssi può costruire il campo vettoriale grad s, che fornisce informazioni sulle variazionispaziali di s. In particolare così come

GradienteGradiente

Si definisce superficie di livello (SL) il luogo dei punti in cui un campo scalare sassume lo stesso valore costante s0, cioè s(x,y,z)= S0.

E’ possibile ottenere una immediata visualizzazione grafica delle variazioni di sdisegnando differenti superfici di livello corrispondenti a differenti valori S1, S2, S3, etc.

S1

S2

S3n

tt

m

E’ evidente che se si cercano le derivatedirezionali di s nelle direzioni t tangentialle superfici di livello tali derivatesaranno nulle (s= cost. su SL). Ne segueche il gradiente deve essere perpendicolarealle superfici di livello in ogni loro punto.

tstst

s

0

E’ inoltre evidente che la massima derivatadirezionale sarà in direzione perpendicolarealle SL, n, poiché muovendosi intale direzione si ottiene la massima variazione per il minimo spostamento

Superfici di LivelloSuperfici di Livello

Esempio di superfici di livello: il campo delle pressioni atmosfericheEsempio di superfici di livello: il campo delle pressioni atmosferiche

Esempio di superfici di livello:Esempio di superfici di livello:La topografia dell’isola di VulcanoLa topografia dell’isola di Vulcano

Data una funzione s(x,y,z) definita in un dominio D (per esempio tutto lo spazio) sidefinisce integrale di volume:

VVVV

zyxsdzdydxdxdydzzyxsrdrssdVVI ,,,,3

2

0

222

22

0000 0

2

1

2

14

44422

RR

xarcsinRxRx

xRdxdydxdydxA

R

RxRRR xy

Il problema è complicato dal fatto che l’estremo superioredella prima integrazione è una funzione complicata di x

22

222

xRsy

Ryx

quad

R

y

x

O

Si noti come il risultato dipenda dal dominio di integrazione (in fisica non esistonointegrali indefiniti!) e che ciò può rendere particolarmente complicata l’operazione.Si consideri infatti il seguente esempio bidimensionale:

Calcolare l’area di un cerchio di raggio R.

222

222

se0

se1

Ryx

Ryx)y,x(sBasta definire la funzione

(I quadrante)

Integrali di VolumeIntegrali di Volume

2

00

2

0

2 RrdrdrdrdAARR

cerchio

dA=rdrd

rd

dr

Il problema si semplifica notevolmente usando coordinate polari (r,) invece che (x,y)

Funziona bene perché si fa uso della simmetria!!Funziona bene perché si fa uso della simmetria!!

sinry

cosrx;

x

yarctg

yxr 22

In sostanza, calcoliamo l’area come somma di tante areole infinitesime. Lo stesso si può fare per i volumi.

x

y

z

r

rd

rd

rsinddS= r2sindd

dr

dV= r2drsindd

Costruiamo un elementino di volume sferico

Volume della SferaVolume della Sfera

ddrdrdV sin2

00

2

0

2

00

2 sin2sin ddrrdddrrdVVR

sfera

R

sfera

Elementino di volume sferico

3

0

21

10

2

3

442 RdrrdudrrV

RR

sfera

L’integrale in si fa facilmente con la sostituzione u=cos

1

10;sincos

u

udduu

Da cui

Come gli integrali di volume, gli integrali di superficie o di linea possono essere moltocomplicati. Ciò perché essi sono in realtà integrali tridimensionali con il vincolo che ildominio di integrazione è limitato ad una superficie o ad una linea tridimensionale.

dz,y,xfI;dAz,y,xfIA

AAAA

Integrali di superficie e linea notevoli sono il flusso(integrale della componente perpendicolare del campo su ogni elementino dS) e la circuitazione(integrale della componente tangenziale del camposu ogni punto di una linea chiusa)

S

S dSnvv

dvvC

A

dA

n

ndA

d

d

v

v

v

v

Integrali di Superficie e di LineaIntegrali di Superficie e di Linea

Per visualizzare l’andamento di un campo vettoriale sono utili le linee di flusso:Le linee luogo dei punti cui il campo vettoriale è tangente:

Per dare un’idea della variazione del modulo del campo si usa il Criterio di Faraday:Per ogni areola S si tracciano N linee di flusso tali che N vn S, con vn componente

perpendicolare del vettore all’areola. Di conseguenza nelle regioni in cui le linee siaddensano il campo è più intenso. In formule

S

S dSnvvN

Tubo di flusso

Linee di flussoLinee di flusso

A

dA

n

n

Si definiscono punti sorgente i punti in cui le linee di flusso si intersecano:Sorgenti positive (o semplicemente sorgenti) i punti da cui le linee si originanoSorgenti negative (o semplicemente pozzi) i punti in cui le linee confluiscono

Sorgente

Pozzo+-

Un integrale notevole è il flusso uscente di un campo attraverso una superficie chiusa:esso conta il numero totale di linee di flusso uscenti dalla superficie (come visto sopra)

sorgenti che pozzipiù sono viinternoall' 0

pozzi quanti sorgenti tantesono viinternoall' 0

pozzi che sorgentipiù sono viinternoall' 0

ˆ

AA dAnvv

E’ chiaro che se entrano più linee di quante non neescano all’interno della superficie deve esserciun pozzo (e viceversa)

Un campo tale che il suo flusso=0 dovunque nel suodominio di definizione si dice solenoidale e le sue lineedi flusso devono essere chiuse (non esistono sorgentiseparate da pozzi)

Le linee di flusso del gradiente sono perpendicolari alle superfici di livello

L’integrale di linea del gradiente è indipendente dalla linea

B

A

B

A

AsBsdsdsgrad

Ne segue che l’integrale di circuitazione del gradiente è sempre nullo

0

A

A

dsgraddsgrad

Questa è la ragione matematica che ci consente di definire l’energia potenziale(un campo scalare) per ogni campo di forze conservativo (le forze, a parte ilsegno sono il gradiente dell’energia potenziale). Le superfici di livello dellaenergia potenziale sono le superfici equipotenziali e gli integrali di cui sopra sonoil lavoro compiuto dalle forze conservative (che non dipende dal cammino percorso).Vedremo che il campo elettrostatico gode di questa proprietà

Si definisce divergenza di un campo vettoriale il campo scalare risultato della seguenteoperazione di derivazione:

Il significato di divergenza si comprende tramite il Teorema della Divergenza cherecita: Dato un campo vettoriale continuo e derivabile in un dominio D, il flussouscente del campo da una superficie chiusa S è pari all’integrale esteso al volumedefinito da S della divergenza del campo:

S

dvdivdSnv

Notare che le componenti del campo, vx, vy e vz dipendono da tutte tre le coordinate

z,y,xvz

z,y,xv

y

z,y,xv

x

z,y,xvz,y,xvdiv zyx

Cioè la somma delle derivate parziali delle componenti del campo rispetto allacoordinata corrispondente

Divergenza e Teorema della Divergenza (Gauss)Divergenza e Teorema della Divergenza (Gauss)

d

S (chiusa)

n

dS

Il flusso infinitesimo uscente dal cubetto dè la somma dei flussi nelle direzioni uscentidalle singole faccette

z

x y

dz

dy

dx

1

4

3

6

5 n2

n1

n3 n4

n5

n6

2P(x,y,z)

P’(x+dx,y,z)

zyx dddddddddd 654321

dzdyz,y,dxxvdzdynz,y,dxxvd

dzdyz,y,xvdzdynz,y,xvd

ddd

x

x

x

22

11

21

2Odxx

vz,y,xvz,y,dxxv

P

xxx

dxdydzx

vd

P

xx

Ne segue che e analogamente dydzdx

y

vd

P

yy

dzdxdy

z

vd

P

zz

e

dz,y,xvdivdxdydzz

v

y

v

x

vd

P

zyx

Per cui

Siccome: iddvdiv

Nel sommare i flussi uscenti elementari il contributodelle facce comuni a due cubi adiacenti si cancellaperché va preso positivo per un cubetto e negativo perl’altro.

Tuttavia i contributi delle faccette che giacciono sullasuperficie non si cancellano, di conseguenza

S

dvdivdSnv

v

n

Il teorema della divergenza (o di Gauss) consente di trasformare un integrale di superficiein un integrale di volume o viceversa

Siccome il significato del flusso uscente è quello del numero di sorgenti contenuteall’interno della superficie la divergenza risulta proporzionale al numero di sorgentiper unità di volume, cioè alla densità (di volume) di sorgenti del campo dvdivdN sorg

analogamente alla densità di massa ddM

Supponiamo che il campo di velocità di un fluido in moto sia definito in un domino D(la zona azzurra della figura). Il fluido non è incomprimibile. Scelta una superficie Sarbitraria applichiamo ad essa il Principio di Conservazione della Massa.

S

J

n

dS

S

S

dt

dMdSnJ

con MS massa di fluido contenuta in S e la densità di corrente

t,z,y,xvt,z,y,xt,z,y,xJ

con (x,y,z,t) densità di massa e v campo di velocità

Se la quantità di fluido all’interno della superficie varia nel tempo, p. es. diminuisce,ciò è possibile solo perché il fluido è fuoruscito da S. Di conseguenza la portata uscentedeve uguagliare la diminuizione di massa al secondo:

Applicazioni della divergenza: Equazione di ContinuitàApplicazioni della divergenza: Equazione di Continuità

dt,z,y,xtM SSi ha e, per il teorema di Gauss, S

dJdivdSnJ

0

dt

Jdivdt

dJdiv

0

d

tJdiv

Visto che S (e quindi ) sono arbitrari ed un sottoinsieme del dominio di definizionedi J e , la ripetizione del calcolo per un’altra superficie S’ condurrà al risultato

Ciò è possibile se e solo se in tutto il dominio di definizione dei campi J e vale:

0

t

Jdiv

Ma senza perdita di generalità si può supporre che il volume rimanga costantenel tempo. Pertanto:

Sostituendo:

ddt

ddJdiv

0

t

Jdiv

L’unico fatto fisico che la precedente derivazione ha usato è stato il Principio diConservazione della Massa. Tutti i (numerosi) passaggi effettuati sono stati solo calcoloanalitico. E’ bene distinguere sempre la Fisica dai dettagli tecnici (Matematica).Possiamo quindi dire che l’Equazione di Continuità rappresenta la formulazioneanalitica del fatto che in tutti i punti dello spazio ed a tutti i tempi (l’eq. di continuità èuna eq. differenziale che vale per ogni (x,y,z,t)) la Massa non si crea e non si distrugge

Notiamo che se il Principio di Conservazione si fosse riferito a grandezze fisichediverse dalla Massa (p.es. Energia o Carica Elettrica), ma tali da poter definireun campo scalare densità di volume (p.es. di carica elettrica) ed un campo vettorialedensità di corrente (elettrica) continui e derivabili nel loro dominio di definizione,avremmo ottenuto lo stesso identico risultato!!

L’equazione di continuità sembra pertanto così generale ed universalmente vera dapoter essere considerata una legge di Natura (legge di Fisica). Vedremo nella quartaParte di questo corso che essa equivale alla IV Equazione di Maxwell.

Osservazioni sull’Equazione di ContinuitàOsservazioni sull’Equazione di Continuità

Per fluidi incomprimibili la densità è una costante,pertanto l’eq. di continuità diventa:

00

Jdivt

La conseguenza di ciò è che il flusso di J uscente attraverso qualunque superficie chiusaè sempre nullo. Si dice che J è un campo solenoidale

S

dSnJ 0

Siccome il flusso misura il numero di sorgenti contenute dentro la superficie, ela divergenza di J è la densità volumica delle sorgenti di J ne segue che in ognipunto dello spazio coincidono le sorgenti ed i pozzi. Ne segue ancora che le lineedi flusso di J devono essere chiuse.

Campi SolenoidaliCampi Solenoidali

2

12221

zyxr

z,y,xs

Esercizio: calcolare il flusso del gradiente di 1/r attraverso una superficie chiusa S

222 zyxrr zkyjxir

Ci saranno due casi: I) la superficie S non contiene l’origineII) la superficie S contiene l’origine

Nell’origine il campo assegnato non è definito

Studiamo il campo s(x,y,z)=1/r, con r distanza di un punto dall’origine

xzyxx

s2

2

12

3222

Calcoliamone il gradienter

z

x

y

P(x,y,z)

Le linee di flusso sono le rette radiali passantiper l’origine che è un pozzo3r

r

r

1grad

Un campo molto utile:1/rUn campo molto utile:1/r

2

32222

32222

3222 ˆˆˆ1

zyxzkzyxyjzyxxi

rgrad

z

x

yO

S n r

Caso I: S non contiene l’origine. Il gradiente di 1/r è continuo e derivabile intutti i punti del volume limitato da S.Si può applicare il teorema della divergenza

dr

graddivdSnr

gradS

11

È facile verificare che l’operazione compostadiv grad è data da

sszyx

sgraddiv 22

2

2

2

2

2

Operatore che si denomina Laplaciano

Con la condizione r0 possiamo calcolare le derivate:

5

2

32

52222

32222

3222 31

22

31

r

x

rzyxxxzyxzyxx

xrxx

Le altre derivate sono analoghe. Sommandole:

0

3331313115

222

35

2

35

2

35

2

32

r

zyx

rr

z

rr

y

rr

x

rr

Ne segue che il flusso uscente è sempre nullo, qualunque sia S purché non contenga l’origine.Ciò era deducibile facilmente poiché, siccome la sorgente non è contenuta in S, vi sono tantelinee di flusso entranti quante uscenti

Caso II: S contiene l’origine. Stavolta purtroppo il campo non è derivabile in tutti i puntidel volume, pertanto non si può applicare il teorema di Gauss.

z

x

yO

S

n

r Si può però:1) considerare una sfera S’ di raggio R concentrica con

l’origine:2) definire l’unione S’’ della Sup. S con la sfera S’;3) constatare che questa delimita un volume nei cui punti

il campo è continuo e derivabile, visto che non contienel’origine.

S’

n’

A questo volume si può applicare il teorema di Gauss

Sdnr

graddSnr

graddr SS

110

12

Dove il segno meno nell’ultima equaglianza vale perchéaffinchè il flusso attraverso S’’ sia uscente deve essereentrante in S’.

Ne segue, visto che n’ è la direzione del raggio della sfera S’:

4

11

0

2

0

23

0

2

0

23

dsind

RR

rRdsindddsinRn

R

RSdn

rgraddSn

rgrad

SSS

Il flusso del gradiente di 1/r è una funzione strana: non dipende dalla superficieattraverso la quale si calcola! Non dipende cioè dalla forma della superficie Sma solo dalla semplice circostanza che l’origine sia contenuta o meno nellasuperficie. Ciò si verifica per la cancellazione che avviene quando si semplificaR al cubo.

Questa circostanza implica che il campo 2(1/r) sia una funzione trascendente:è nulla ovunque tranne che nell’origine e tale che il suo integrale su un volumearbitrariamente piccolo sia comunque finito se l’origine è contenuta in esso.

Alcune considerazioni sull’esercizio precedenteAlcune considerazioni sull’esercizio precedente

Una funzione con queste proprietà è la funzione delta di Dirac. In formule

altrimenti

Vrserfrdrrrf

altrimenti

bxasexfdxxxxf

;rr

V

b

a

0

0

41

0030

000

2

Si definisce rotore di un campo vettoriale il campo vettoriale risultato della seguenteoperazione:

y

v

x

vk

x

v

z

vj

z

v

y

viz,y,xvrot

vvvzyx

kji

vz,y,xvrot

xyzxyz

zyx

Notare che le derivate parziali incrociate delle componenti di v esistono perchéle componenti di v dipendono da tutte le coordinate

Il significato dell’operazione di rotore si comprende tramite il teorema di Stokes:La circuitazione di un campo vettoriale (continuo e derivabile) su una linea arbitrariama chiusa è pari al flusso attraverso una qualunque superficie che ammette per contornola linea in direzione levogira rispetto al verso della circuitazione.

S

dSnvrotldv

Il Rotore ed il Teorema di StokesIl Rotore ed il Teorema di Stokes

S’’

n’’

dS’’

S’

n’

dS’

d

v

S

dS

Il verso di n è definito levogiro quando seguela regola della mano destra: deve avere ilverso del pollice della mano destra quandole dita sono concordi con il verso dellacircuitazione

n Sia la superficie S che le superfici S’ o S’’ammettono come contorno e quindiil teorema di Stokes si applica a tutte(i flussi del rotore sono uguali)

n

dS

Calcoliamo la circuitazione attorno ad un quadratino infinitesimointerno al contorno

;dzPvdC;dzPvdC

;dyPvdC;dyPvdC

dCdCdC;dCdCdC

dCdCdCdCdCdCdC

z,z,

y,y,

,,z,,y

zy,,,,

232114

443121

14324321

14433221

z

y

x

dy

dz

P1 P2

P3P4

n

Ma dyy

vPvPv;dz

z

vPvPv z

zzy

yy

1214

quindi dSnvrotdydzivrotdydzz

v

y

vdC;dydz

y

vdC;dzdy

z

vdC yzz

zy

y

Come per il teorema della divergenza nel sommarele circuitazioni attraverso due quadratini adiacentiil contributo di un lato è positivo per un quadratinoe negativo per il quadratino adiacente. Solo quei latiche giacciono sul contorno danno un contributo noncancellabile. Per cui

i S

i dvdSnvrotdC

Resta da capire perché il Teorema di Stokes valgaanche per tutte le altre infinite superficie che abbianola linea per contorno.La superficie unione di S ed S’ è chiusa quindi si puòapplicare il teorema della divergenza a tale superficie

S

S’

n

dS

n’

dS’

0222222

yz

v

xz

v

xy

v

zy

v

zx

v

yx

v

y

v

x

v

zx

v

z

v

yz

v

y

v

xvrotdiv

xyzxyz

xyzxyz

Per il Th. di Schwarz

0

dvrotdivSdnvrotSdnvrotdSnvrotSSS

dove si è orientato n’ in modo da avere flusso uscente

Analogamente al teorema di Gauss, il teorema di Stokes ci consente di trasformare unintegrale di linea in un integrale di superficie e ci fa comprendere il significato di rotorecome quello di densità di circuitazione del campo dato

Abbiamo anche imparato che l’operazione composta divrot ha come risultato 0, seIl campo assegnato è derivabile il numero sufficiente di volte. Per mezzo dell’operatoreNabla la dimostrazione era molto più veloce. Infatti:

0 vvrotdiv

Si può intuire che il risultato sia zero dato che si tratta di un prodotto misto in cuicompare lo stesso vettore.

Se ne può concludere che il rotore è per definizione un campo solenoidale.Ciò è molto importante perché evidentemente vale il viceversa:dato un qualunquecampo solenoidale esso può essere espresso come il rotore di un altro campo vettoriale

ArotBBdiv Se

0

Proprietà del rotore Proprietà del rotore

Un’altra possibile operazione composta è l’operazione rotore del gradiente che risultanel vettore nullo. Infatti:

0 ssgradrot

È bene verificare con le derivazioni:

0222222

xy

s

yx

sk

zx

s

xz

sj

zy

s

yz

si

z

s

y

s

x

szyx

kji

sgradrot

Ancora per il Th. di Schwarz

Ne segue che il gradiente è per definizione un campo irrotazionale. Come prima, seun campo è irrotazionale allora deve esistere un campo scalare il cui gradiente è identicoal campo irrotazionale dato

sgradvvrot Se 0

Un campo si dice irrotazionale se il suo rotore è dovunque nullo.

Notare che s è definito a meno di una costante: sgradsgradcz,y,xsz,y,xs Se

Campi irrotazionaliCampi irrotazionali

Da quanto si è visto segue che un campo conservativo è irrotazionale. In realtà è piùcorretto il contrario: il concetto di irrotazionalità è più generale di quello di conservatività,dato che nella nostra comune accezione parliamo di campi di forze conservativisottintendendo la conservazione della energia (meccanica).Esistono altri campi irrotazionali che non sono forze.

È interessante rivedere le proprietà dei campi conservativi usando il teorema di Stokes:

sgradvsedSnvrotdvS

0

Proprio perché l’operazione rotgrad è il vettore nullo. Si noti che il flusso del rotorepotrebbe essere nullo anche se rot v0. In tal caso v non sarà irrotazionale, perchédovranno esistere altri contorni per i quali la circuitazione non sarà nulla.

La circostanza che rotgrad è il vettore nullo complica un po’ quanto visto prima aproposito dei campi solenoidali:

z,y,xgradz,y,xAz,y,xA

seArotB alloraArotBeBdiv Se

0

Cioè nell’esprimere un campo solenoidale come il rotore di un altro, quest’ultimo èdefinito con una grande arbitrarietà: è definito a meno del gradiente di un campo scalareassolutamente arbitrario!!

Abbiamo già visto l’operazione composta divgrad che corrisponde all’operatorelaplaciano. Dato che l’operazione gradiente va effettuata su campi scalari sembrerebbeche non sia definibile il laplaciano di un campo vettoriale. Ciò non è vero, infatti si puòdefinire il laplaciano delle singole componenti di un campo vettoriale:

zyx AkAjAiAA 2222

Un’altra operazione lecita è il rotore di rotore. Si ha la seguente identità:

AAdivgradAAAArotrot

2

L’operazione graddiv è lecita ma non ha nessun altra rappresentazione.

Altre operazioni composteAltre operazioni composte

Supponiamo che per un campo vettoriale vengano assegnati in tutto lo spazio la divergenzaed il rotore:

z,y,xcvrot

z,y,xsvdiv

Un teorema di calcolo vettoriale che non dimostreremo garantisce che

Se la densità di sorgenti s(x,y,z) e la densità di circuitazione c(x,y,z) si annullanosulla superficie all’infinito (un modo per dire che le sorgenti devono essere limitatenello spazio) ed il campo si annulla all’infinito almeno come 1/r2, allora il sistemadi equazioni differenziali di cui sopra ammette una ed una sola soluzione.

Queste equazioni sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali chestabilendo opportune condizioni al contorno ammette soluzione

Detto in altri termini: se conosciamo la divergenza ed il rotore di un campo e siamonelle ipotesi descritte dal teorema, possiamo calcolare il campo risolvendo quelsistema di equazioni differenziali.

Attenzione: per determinare il campo univocamente bisogna conoscere entrambidivergenza e rotore

Teorema di unicitàTeorema di unicità

Come sappiamo le leggi della fisica non possono cambiare se espresse in un diversosistema di riferimento. Dato un campo (p. es. scalare) u(x,y,z,t) esso non è altro cheil risultato di un esperimento di misurazione della grandezza fisica U eseguito nel puntoP(x,y,z) al tempo t. Si noti che ciò implica che abbiamo scelto un riferimento (O,xyz) edabbiamo fissato un’origine dei tempi.

Nulla ci può vietare, però, di scegliere un altro sistema di riferimento (O’,x’y’z’) edun’altra origine dei tempi. In tal caso troveremmo un campo U’(x’,y’,z’,t’).Deve ovviamente essere

t,z,y,xUt,z,y,xU

Inoltre le coordinate ed i tempi nel passaggio dal primo riferimento al secondo devonosottostare a leggi di trasformazione che in maniera molto generale possono scriversi:

t,z,y,xtt

t,z,y,xzz

t,z,y,xyy

t,z,y,xxx

e

t,z,y,xtt

t,z,y,xzz

t,z,y,xyy

t,z,y,xxx

Si noti che la dipendenza di U’ dalle variabili primate non deve necessariamente esserela stessa di U dalle variabili non primate, ma deve essere solo U’=U

Cambiamento del sistema di riferimentoCambiamento del sistema di riferimento

Nel cambiamento di coordinate anche gli operatori differenziali gradiente, divergenzae rotore cambiano formula. Abbiamo già visto come l’uso di una opportuna scelta delsistema di coordinate può semplificare molto alcuni calcoli, se la scelta viene effettuatatenendo conto della simmetria del problema. È quindi utile avere una rappresentazionedi questi operatori in coordinate cilindriche e sferiche.

Coordinate cilindricheCoordinate cilindriche

zzx

yarctg

yxr

e

zz

sinry

cosrx

22

P

z

r

r

zφ

2

2

2

2

22 11

11

11

1

z

ss

rr

sr

rrz,,rs

v

r

rv

rz

r

v

z

vˆz

vv

rrz,,rvrot

z

vv

rr

rv

rz,,rvdiv

z

sz

s

rˆ

r

srz,,rsgrad

rzrz

zr

Sistemi di Coordinate Cilindriche e SfericheSistemi di Coordinate Cilindriche e Sferiche

x

yarctg

r

zcosarc

zyxr

e

cosrz

sinsinry

cossinrx

222

2

2

2222

22

2

2

111

1111

111

11

s

sinr

ssin

sinrr

rs

r,,rs

v

r

rv

rˆ

r

rvv

sinrˆvvsin

sinrr,,rvrot

v

sinr

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vr

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s

sinrˆ

s

rˆ

r

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rr

r

x

y

z

r

r

P

Coordinate sfericheCoordinate sferiche

Moltiplicazione di Vettori:

Relazioni differenziali:In quanto segue e sono campi scalari, A e B campi vettoriali, tutti continui e derivabile almeno 2volte nel loro dominio di definizione. L’operatore nabla è tale che:

Appendice: FormularioAppendice: Formulario

Relazioni integrali:Nelle formule seguenti V è un volume limitato da una superficie chiusa S, oppure S è una superficieaperta limitata da una linea chiusa . Gli integrandi sono funzioni continue e derivabili nel dominiodi integrazione (salvo sul contorno) ed il versore n è orientato nel verso uscente dal contorno.

(Th. di Gauss) (Th. di Stokes)

I Lemma di Green (scalare) II Lemma di Green (scalare)

I Lemma di Green (vettoriale)

II Lemma di Green (vettoriale)

Coordinate cartesiane

P

z

j

y

x

k

i

Formule di trasformazione per i versori

P

zr

r

z

φ

Coordinate CilindricheTrasformazione in coordinate cilindriche

con

Coordinate sferiche

x

y

z

r

r

P

Trasformazione in coordinate sferiche

con

Formule di trasformazione per i versori