I vettori Scalari e vettori

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Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono individuate in modo completo da un numero, il quale esprime la misura della grandezza rispetto all’unità prefissata.

In fisica si lavora con due tipi di grandezze: le grandezze scalari e le grandezze vettoriali.

• Il tempo (si misura in secondi con i suoi multipli)

Esempi:

• La massa (si misura in chilogrammi con i suoi multipli e sottomultipli)

• L’angolo (si misura in gradi oppure in radianti)

Le operazioni tra grandezze scalari si svolgono come le operazioni tra numeri.

I vettori Scalari e vettori

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Altre grandezze fisiche, per poter essere descritte, necessitano di maggiori informazioni.

Esempio: se dobbiamo indicare uno spostamento, non basta dire “Mi sono spostato di tre metri”, dobbiamo anche indicare in quale direzione e verso ci siamo mossi.

Le grandezze vettoriali sono quelle grandezze che sono individuate da tre caratteristiche:

una direzione, che indica la retta lungo cui agisce la grandezza

un verso, determinato dal senso di percorrenza della retta che rappresenta la direzione

un’intensità o modulo , che è il valore numerico che esprime la misura della grandezza rispetto a una certa unità.

Queste grandezze si definiscono vettoriali.

I vettori Rappresentazione

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Per rappresentare una grandezza vettoriale si usa un vettore.

Un vettore si rappresenta mediante un segmento orientato e si indica di solito con una lettera maiuscola cui viene sovrapposta una freccia.

Il modulo di un vettore si indica con la stessa lettera senza la freccia:

v s a

v s a

I vettori Rappresentazione

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Vettori opposti: vettori con la stessa direzione, stesso modulo ma versi opposti.

Vettore nullo: vettore in cui il segmento orientato ha gli estremi coincidenti. Il vettore nullo si indica con il simbolo:

0

I vettori Operazioni

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L’addizione

Dati due vettori a e b, si definisce loro somma il vettore c che si ottiene che la seguente regola:

si dispongono i due vettori in modo che b sia consecutivo ad a

si considera il vettore c che ha come origine l’origine di a e come secondo estremo il secondo estremo di b

Di c si dice che è il vettore risultante dalla somma di a + b.

I vettori Operazioni

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La sottrazione

Dati due vettori a e b, si definisce loro differenza il vettore c che si ottiene sommando a con l’opposto di b.

I vettori Operazioni

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Disegnati due vettori in modo che le loro origini coincidano in un punto O, si costruisce il parallelogramma che ha per lati i due vettori: la loro somma è la diagonale uscente da O, la loro differenza è l’altra diagonale (orientata dal secondo verso il primo termine della sottrazione).

Le definizioni date di somma e differenza di due vettori a e b, che costituiscono anche un procedimento per determinarle, equivalgono a quella che solitamente viene indicata come “regola del parallelogramma”.

I vettori Operazioni

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La moltiplicazione per uno scalare

Consideriamo un vettore a e un numero reale k non nullo (uno scalare); si dice prodotto di a per k,e si indica con k a, il vettore che ha

la stessa direzione di a

lo stesso verso di a se è k > 0, verso opposto ad a se è k < 0

modulo che si ottiene moltiplicando il modulo di a per il valore assoluto di k.

Se è k = 0 il prodotto k a è il vettore nullo.

ESEMPI

I vettori Scomposizione

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Ogni vettore può essere visto come la risultante di altri due vettori di cui sono note le direzioni.

Applichiamo in senso inverso la regola del parallelogramma:

Problema: scomporre il vettore v lungo le direzioni r e s

• tracciamo dal secondo estremo del vettore v le parallele alle direzioni r ed s

r e s sono le componenti del vettore v lungo le direzioni prescelte.

• individuati gli altri due vertici del parallelogramma, tracciamo i vettori r e s uscenti da O

I vettori Scomposizione

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Inoltre:

vx v cos

vy v sin (per i teoremi sui triangoli rettangoli)

Possiamo sempre rappresentare un vettore v nel piano cartesiano con un segmento che abbia origine nell’origine O degli assi cartesiani.

e

v vx2vy

2(per il teorema di Pitagora)

In questo modo v può essere scomposto nei due vettori e che hanno come direzioni gli assi coordinati:

vx

vy

v vx vy

I vettori

ESEMPIO

Scomposizione

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vx 10 cos 60 1012

5

vy 10 sin 60 10 32

5 3

Se il vettore v ha modulo 10 e forma un angolo di 60° con la direzione positiva dell’asse x, le sue componenti sono:

I vettori Scomposizione

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x xB xA

y yB yA

Se un vettore AB è dato mediante le coordinate dei suoi estremi A(xA, yA) e B(xB, yB) le sue componenti cartesiane sono sono date dalle relazioni:

I vettori

ESEMPIO

Scomposizione

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x 1 3 4

y 4 2 2

sin CB

AB 2

2 5 1

5

cos AC

AB 4

2 5 2

5

tan CB

AC2

4 1

2

1532 6 6

AB 16 4 20 2 5

Troviamo le caratteristiche del vettore AB essendo A(3, 2) e B(−1, 4).

I vettori Operazioni nel piano cartesiano

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Nel caso in cui i vettori siano dati mediante le loro componenti lungo gli assi cartesiani:

• il vettore somma ha per somma la somma delle componenti dei vettori addendi

v r s rx sx , ry sy

• il vettore differenza ha per componenti la differenza delle componenti dei due vettori dati

v r s rx sx , ry sy

v kr krx , kry

• il vettore prodotto con uno scalare ha per componenti il prodotto delle componenti del vettore per k

k R

I vettori

ESEMPIO

Applicazioni alla fisica

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In fisica si introducono due particolari tipi di prodotto tra vettori.

In fisica il prodotto scalare viene utilizzato ad esempio per calcolare il lavoro compiuto da una forza.

Se il modulo di a è 4 e il modulo di b è 6 e i due vettori formano un angolo α di 45°, allora:

Il prodotto scalare tra due vettori a e b (si indica con il simbolo a b ) è uno scalare (quindi un numero) che, indicato con α l’angolo formato dai due vettori, si definisce in questo modo

ab ab cos

ab 46cos 45 24 22

12 2

I vettori Applicazioni alla fisica

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Dati due vettori a e b e indicato con α l’angolo da essi formato, il loro prodotto vettoriale si indica con il simbolo a x b; esso è un vettore c che ha:

• modulo dato dall’espressione c = ab sin α

• direzione perpendicolare al piano definito dai due vettori a e b

• verso stabilito dalla regola della mano destra.

In base a questa regola il verso del vettore risultante si calcola usando le dita della mano destra:

• si punta il pollice nella direzione del primo vettore (il vettore a )

• si puntano le altre dita nella direzione del secondo vettore (vettore b )

• il verso del vettore c è uscente dal palmo della mano.

I vettori

ESEMPIO

Applicazioni alla fisica

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Direzione: perpendicolare al piano della slide

Verso: entrante nella pagina (il pollice nella direzione di a, le altre dita nella direzione di b, la mano è rivolta con il palmo appoggiato al piano).

c 812 sin 60 96 32

48 3

Vogliamo calcolare il prodotto vettoriale

c ab

con a e b appartenenti al piano della slide e

a 8 e b 12