Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Centro di massa2) Momento di Inerzia3) Momento angolare e sua conservazione4) Momento della forza5) Rotolamento6) Equilibrio

Parte VI: Cenni sulla meccanica dei Corpi rigidi*

*: Nel corso di Meccanica Razionale si avrà una trattazione completa ed accurata

Un corpo rigido è un modello, ovvero un sistema fisico idealizzato che non esiste inlinea di principio, ma che consente di comprendere i meccanismi di moto dei corpiestesi con un’ottima approssimazione in molti casi

Un corpo rigido è definito come un corpo le cui parti non sono mai in moto relativo

In pratica questa assunzione consente di congelare tutti i gradi di libertà microscopici(p.es. le deformazioni ed i moti vibrazionali interni del corpo), permettendo lo studiodei soli gradi di libertà traslazionali e rotazionali del corpo

Si può dimostrare che l’atto di moto di un corpo rigido è elicoidale, ovvero lo si puòdescrivere come la sovrapposizione di una traslazione ed una rotazione rispetto adun qualche asse

Il centro di massa è un punto del corpo che è rappresentativo delle traslazioni ed èdefinito come la media pesata rispetto alle masse delle coordinate delle particelle checostituiscono il corpo (definizione valida anche per corpi deformabili)

VtotCM

ii

itot

CM

dVdmdVRM

R

RmM

R

da definita densità lacon continui rigidi corpi1

discreti rigidi corpi1

Il Centro di MassaIl Centro di Massa

Supponiamo che un corpo (p.es. una pallina ancorata ad un’asta inestensibile priva dimassa) ruoti attorno ad un asse con velocità angolare istantanea (t)

R

Calcoliamo l’ energia cinetica

22222

21

21

21 mRIImRmvK

La quantità I è il momento d’inerzia

Il Momento di InerziaIl Momento di Inerzia

Supponiamo ora di avere un disco omogeneo che ruota attorno ad un asse passante per il suocentro (di massa)

R

Noi possiamo pensare il disco come l’insieme di tante particelle di massa mi, cheruotano tutte insieme (corpo rigido!). Ciò ci consente di calcolare l’energia cineticadi tutto il corpo

ii

SSii ii

RmdSRI,dSdmIdSRRmK 2222222

21

21

21

È possibile estendere questo ragionamento a corpi di qualunque forma, non omogeneied anche per assi non passanti per il centro di massa

Anche in questo caso l’energia cinetica del corpo può essere sempre definita in terminidel momento d’inerzia, ma le quantità Ri assumono il significato di distanza delle massedall’asse di rotazione

ii

vvii ii

RmdVRI,dVdmIdVRRmK 2222222

21

21

21

Anche un corpo rigido in rotazione deve permanere nel suo stato di quiete o di moto fino ache non interviene una causa che altera questo stato

Nel caso delle rotazioni, però, due corpi di eguale massa totale, ma distribuita in manieradifferente rispetto all’asse di rotazione oppongono una differente resistenza a tentatividi variare il loro stato di moto

Il momento d’inerzia è quindi una grandezza che misura l’inerzia di un corpo estesoin rotazione tenendo conto della possibile non omogenea distribuzione della massarispetto all’asse di rotazione

Mettere in rotazione un corpo la cui massa è distribuita lontano dall’asse di rotazioneè certamente più difficile che mettere in moto un corpo la cui massa è concentrata vicinoall’asse stesso

Significato del Momento d’InerziaSignificato del Momento d’Inerzia

Un semplice corpo rigido in rotazione è un manubrio costituito da due masse puntiformim1 ed m2, collegate da un’asta di lunghezza L, rigida e priva di massa.

m1m2

L Lmm

mmmLmmX cm

21

2

21

21 0

Fissando l’origine di un sistema di assi in m1, si determina facilmente la posizionedel centro di massa. Traslando l’origine da m1 al centro di massa si ottiene

X

Consideriamo una rotazione il cui asse passi per il centro di massa, perpendicolarmentealla sbarretta. Il momento di inerzia sarà immediatamente dato da:

;Lmm

mLmm

mLx;Lmm

mx21

1

21

22

21

21

2

21

212

21

12

2

21

21 L

mmmmL

mmmmL

mmmmI

Calcolo del Momento d’InerziaCalcolo del Momento d’Inerzia

L

Sbarra omogenea di densità lineare , lunghezza L, massa totale M:

1212223

23332

2

2 MLLLLdxxI

L

L

dx

Xcm

Se l’asse di rotazione passa per un estremo 333

23

03

0

2 MLLxdxxILL

Se la sbarra non è omogenea L

dxxxI0

2

Cilindro cavo omogeneo di densità di volume , altezza h, massa totale M,raggi interno ed esterno R1 e R2, asse di rotazione= asse del cilindro:

R1

R2

rdrd

rr+dr

d

21

22

21

22

21

222

122

41

422

122

321

22

21

22

2

0

32

21

22

21

22

22412

2 2

1

2

1

RRMRRRRRR

MRRRRM

drrRR

MhRR

MddrrhdVrI

;hRR

M;hRRV

R

R

R

RV

Cilindro pieno, asse centrale:

21

2

0

2

21

21

1

RRMlimMRIR

Sfera cava, asse centrale:

51

523

132

431

32

31

32

22

00

22

31

32

31

32

53

344

43

43

34

2

1

2

1

RRRR

M

drrRRM

RRMrdsinddrrdVrI

;RR

M;RRV

R

R

R

RV

Sfera piena, asse centrale (R1=0): 2

53MRI

Guscio sferico privo di spessore, asse centrale:2

2

42

00

2

2

4

4

MRR

MRdsinddSRI

;RM

S

Un corpo può ruotare rispetto a qualunque asse, non necessariamente passante peril suo centro di massa. Ciò può dar luogo a moti molto differenti. Si pensi ad unaaltalena, ovvero ad un hula-hop. È ovvio che cambiando l’asse di rotazione il momentodi inerzia cambia

Tuttavia è, come si è visto, molto più semplice il calcolo del momento di inerzia rispettoal centro di massa di un corpo, il punto più conveniente da scegliere come origine diun sistema di riferimento, se si vogliono studiare separatamente le traslazioni e lerotazioni

Il teorema dell’asse parallelo afferma che il momento di inerzia rispetto ad un qualunqueasse è legato al momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo e passante per il centrodi massa dalla equazione

2MdII CM

dove d è la distanza fra i due assi e M la massa totale

Il teorema dell’asse paralleloIl teorema dell’asse parallelo

Si pensi ad un atleta lanciatore di martello: la massa del martello è praticamenteconcentrata nella sfera d’acciaio all’estremità del cavo. Ci vogliono atleti molto potentie ben allenati per far roteare il martello, resistere alla grande forza centrifuga e scagliarlofino oltre gli ottanta metri. I pesisti, atleti altrettanto forti e ben allenati, riescono agettare il peso fino solo ad una ventina di metri.

Così come il momento di inerzia è per le rotazioni l’analogo della massa per le traslazioniabbiamo bisogno di costruire una grandezza fisica analoga alla quantità di moto

Nel caso del martello è evidentemente cruciale la distanza della sfera dal lanciatore,ovvero il raggio della traiettoria, ed è in generale evidente che nel caso in cui sivolesse fermare un corpo in rotazione (ovvero alterarne il suo stato di moto) è più facileagire a distanze grandi dall’asse di rotazione.

P.es. se vogliamo fermare un giradischi è più difficoltoso farlo applicando una forzavicina al centro che vicina al bordo del disco

Momento AngolareMomento Angolare

Si definisce allora momento angolare di una massa puntiforme il prodotto vettoriale:

prL

p

r

L

Si noti che nel caso di moto circolare i vettori r e p sono tra loro perpendicolari, ma nonsarebbe così se la traiettoria fosse un ellisse ovvero un’altra curva anche non chiusa

Il momento angolare è, analogamente alla quantità di moto per le traslazioni, una misuradell’inerzia di un corpo in moto rotatorio

Per un corpo esteso il momento angolare può essere calcolato come somma (o integrale)dei momenti angolari di tutte le sue particelle

L1 L2

1 2

Non è difficile effettuare il seguente esperimento: seduti su una sedia girevole (ben oleata)teniamo sollevati due manubri da palestra e mettiamo in rotazione la sedia.

Se portiamo i manubri vicino al corpo ci accorgiamo che la sedia gira più velocemente(la velocità angolare aumenta)

La conservazione del Momento AngolareLa conservazione del Momento Angolare

Anche i pattinatori sul ghiaccio per compiere le loro piroette si allungano o siraggruppano e ciò li fa ruotare più velocemente o lentamente

Un altro esperimento: sempre seduti su uno sgabello girevole, mettiamo in rotazioneuna trottola: lo sgabello si metterà in rotazione con verso opposto a quello della trottola

Una condizione basilare, affinché gli esperimenti descritti riescano è che le rotazionidello sgabello possano avvenire con pochissimo attrito, ovvero che il sistema possaessere considerato isolato. Infatti, analogamente al principio di conservazione dellaquantità di moto, il principio di conservazione del momento angolare recita:

Il momento angolare totale di un sistema fisico isolato si conserva

Vedremo, p.es., che il moto dei pianeti attorno al sole descrive delle orbite piane (I legge diKeplero) e che aree uguali dell’orbita sono spazzate in tempi uguali (II legge di Keplero)come conseguenza di questo principio

Resta da vedere perché la velocità di rotazione aumenta se riduciamo il braccio

2rmsinrmvprLL rp

Visto che la massa dei manubri non cambia, se si riduce la distanza delle masse dall’assedi rotazione, allora la velocità angolare deve aumentare per mantenere costante il modulodel momento angolare. Immaginando una massa puntiforme in rotazione

2mrL

Si noti poi che si può scrivere per i corpi estesi IL

L’applicazione di una stessa forza su un corpo esteso (ovvero rigido) produce effettidiversi in dipendenza del punto in cui è applicata

Se applichiamo una forza su una porta all’altezza della maniglia la porta ruoterà senzatraslare. Se applichiamo una forza lateralmente su di un tavolo esso traslerà e ruoterà.

In entrambi i casi le forze che ho applicato non sono le sole forze esterne, ma sui corpiagiscono anche le reazioni vincolari e gli attriti. Queste, tuttavia, non vengono applicatenegli stessi punti dove applichiamo le forze esterne: nel caso della porta le reazionivincolari si esercitano sui cardini, nel caso del tavolo l’attrito si esercita sui piedi del tavolo

Pertanto nell’applicare una forza noi, spesso inconsciamente, valutiamo il punto diapplicazione e la distanza di questo da eventuali assi di rotazione. Una grandezza utileper quantificare questi effetti è il momento della forza:

Fr

Il momento della forzaIl momento della forza

È facile rendersi conto che se la forza è la risultante delle forze esterne, ed il corpo èrigido, sulla base della II legge di Newton deve essere

risrisFrdtpdrpr

dtd

dtLd

Nel caso semplice delle rotazioni piane dovrà essere

IdtdI

dtdL

dt

Ld

Nell’ultime equazione è l’accelerazione angolare. Questa legge, quindi, assume unaforma molto simile alla II legge di Newton, con I ed che giocano il ruolo della massa edella accelerazione

In realtà, e come già discusso prima, molto raramente su corpi estesi si agisce con unasola forza: in assenza di attriti e/o vincoli l’applicazione di una forza produrrebbe solotraslazioni.

Spesso noi agiamo su corpi estesi con più di una forza. Una coppia di forze è un sistemadi due forze uguali in modulo e direzione ma di verso opposto e che agiscono lungo duerette parallele.

F1

F2

r

L’effetto di questa coppia sarà una rotazione del corpo attorno ad un asse perpendicolareal piano individuato dalle forze (lo schermo). Calcoliamo il momento risultante:

FdsindFMM

FdFrFrFrMMM

rF

1

112121 2

Il momento risultante della coppia è dato dal prodotto vettoriale del braccio per la forza

Il moto di rotolamento dei corpi è più di una semplice rotazione, poiché comportacontemporaneamente una traslazione (e.g. la ruota di un veicolo)

Il moto di una ruota rispetto al proprio asse è una pura rotazione, ma rispetto adun altro osservatore l’asse della ruota trasla

Un corpo che rotola potrebbe anche strisciare. Noi studieremo ora i casi in cui i corpirotolano senza strisciare. Tali moti sono la composizione del rotolamento, cioè unarotazione ed una contemporanea traslazione dell’asse di rotazione, e di una ulterioretraslazione del centro di massa.

In assenza di strisciamento, la velocità dell’asse di rotazione è legata al raggio ed allavelocità angolare. Infatti se segniamo con della vernice fresca un punto sulla ruota e lafacciamo rotolare rileveremo che i punti distano 2R, che il tempo impiegato a fare ungiro è T e quindi

T;R

TRvv 22

Questo significa che il moto della ruota può essere visto come una rotazione rigidaattorno al punto di contatto con la strada

RotolamentoRotolamento

Possiamo scrivere l’energia cinetica della ruota considerando la rotazione di un cerchiorigido attorno ad un asse che passa per il punto di contatto

2

21 contIK

Il momento di inerzia al contatto si può calcolare mediante il teorema dell’asse parallelo

2mRII cmcont

Sostituendo

2222

21

21

21 mvImRIK cmcm

Pertanto l’energia cinetica di un corpo che rotola è pari all’energia cinetica di rotazioneattorno ad un asse che passa per il centro di massa più l’energia cinetica traslazionaledel corpo come se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro di massa

traslazione

rotazione

Energia del rotolamentoEnergia del rotolamento

Consideriamo un cilindro (massa M, raggio R) che rotola su uno scivolo di angolo

Mg

N

f

Mgcos

Mgsin

x

y

Si noti che senza la forza di attrito f (ignota) il cilindro scivolerebbe senza rotolare

Dobbiamo quindi risolvere simultaneamente due equazioni del moto: la traslazionedel centro di massa lungo x e la rotazione attorno all’asse del cilindro

RfMRI

fsinMgMa2

21

Dinamica del rotolamentoDinamica del rotolamento

Possiamo usare queste equazioni per eliminare f. Inoltre possiamo esprimere laaccelerazione lineare a in termini dell’accelerazione angolare

MRsinMgRM

Rv;Ra

21

Si ottiene

0032

32

ttRsingt;

Rsing

Si noti che la velocità e l’accelerazione non dipendono dalla forza di attrito f né dallamassa del cilindro

Se il corpo ha lo stesso raggio R ma forma qualunque, e, quindi, momento di inerzia I,si otterrà

tIMR

sinMgRtIMR

sinMgRRIsinMgRM

22

Problema: lo yo-yo. Un filo inestensibile, privo di massa è arrotolato attorno ad uncorpo di raggio R, di massa M, momento di inerzia I, attorno al proprio asse. Ilrocchetto viene lasciato cadere verticalmente reggendo un capo del filo. Calcolare lavelocità del centro di massa dopo che si sarà srotolato un tratto h di filo.

Analisi: il problema è analogo al cilindro che rotola, salvo che l’angolo è retto.Tuttavia si può affrontare il problema in termini di energia meccanica: il rocchettoperde una energia potenziale U=Mgh per accrescere la sua energia cinetica che sarà:

22

21

21 IMvMgh

Ma nel rotolamento v=R, quindi

2

2

22

1

2221

MRIghRv;

IMRMgh

MghIMR

Tutti i corpi materiali tendono a possedere la minima energia possibile

Siccome l’energia cinetica è positiva, in presenza di energia potenziale, e cioè all’internodi campi di forze (e.g. la gravità), i corpi tendono a raggiungere i punti di minimo dellaenergia potenziale.

Per esempio un oscillatore tenderà a fermarsi nel punto di equilibrio che corrisponde alminimo dell’energia potenziale

In tale punto la derivata dell’energia potenziale, cioè la forza esterna, sarà nulla. Si diceche un punto materiale è in equilibrio quando la somma di tutte le forze esterne è nulla

Per un corpo esteso (p.es. rigido), però, non è affatto detto che non si muova se la somma(vettoriale) di tutte le forze agenti su di esso è nulla, perché se due di queste fossero unacoppia la loro somma sarebbe nulla (il corpo non trasla!) ma non sarebbe nullo ilmomento totale (il corpo ruota!)

EquilibrioEquilibrio

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

k=k3

kx2/2

kx2/2+k3x4/4

U(x

)

x

L’energia potenziale dell’oscillatore armonico è minima all’equilibrio

Per un corpo esteso si avrà l’equilibrio quando anche la somma di tutti i momenti è nulla

00 i

ii

i M;F

Nel corso di Meccanica Razionale studierete che l’energia potenziale per corpi rigidiè in generale una complicata funzione delle coordinate ri ed anche degli angoli i frale direzioni delle forze ed i possibili bracci di rotazione. Si dimostrerà pure che

i

iii

i

iii

,rUM;r,rUF