Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Vettori e loro decomposizione2) Funzioni periodiche3) Serie di Fourier di seni e coseni4) Serie di esponenziali5) Convergenza e tagli ad alta frequenza6) Funzioni aperiodiche e trasformate di Fourier7) Trasformate di Fourier come limite delle serie8) Monocromaticità di un segnale9) Il principio di Indeterminazione

Parte XXVII: Cenni di Analisi di Fourier

Assegnato un vettore, è ben noto che può essere rappresentato in termini delle suecomponenti sugli assi coordinati (per esempio cartesiani):

dN

nnzyx nVkVjViVV

1

Questa semplice operazione è possibile solo perché siamo stati capaci di definire un setdi vettori e l’operazione di prodotto scalare:

212121 ,cosVVVV;k,j,iS

Rispetto a questa operazione gli elementi del set godono delle proprietà di ortonormalitàe completezza

Sqalloraqne,Snse

mn

mnmnSm,n nm

0

12

0

11

Vettori e loro decomposizioneVettori e loro decomposizione

L’operazione prodotto scalare (in gergo più tecnico prodotto interno) è proprio l’operazioneche permette di definire le componenti del vettore

nVVn

Sostituendo nella rappresentazione del vettore si ottiene una identità a causa della proprietàdi ortonormalità

x

N

nninzyxx VVikVijViiViVV

d

Il significato di componente di un vettore (rapportata al modulo), Vn, è quello di misura diquanto il vettore assegnato sia parallelo alla direzione corrispondente n.

Tecnicamente la rappresentazione del vettore è una combinazione lineare; si dice che il setè una base ed i versori del set sono linearmente indipendenti

La scelta del set è arbitraria, in quanto si può scegliere un altro riferimento con gli assi ruotati,un'altra origine, un diverso sistema di coordinate (e.g. polari). Non cambia, comunque, lastruttura del procedimento né il significato delle componenti, ma solo il loro valore numerico.

Alcune osservazioni sulle formule precedentiAlcune osservazioni sulle formule precedenti

Il concetto di sovrapposizione precedente, va a volte sotto il nome di Principio diSovrapposizione. La composizione e decomposizione del moto bi e tridimensionale è, tuttavia,solo un caso possibile. Infatti, se le leggi fisiche che descrivono un fenomeno danno luogo adequazioni differenziali (di solito) lineari, come è ben noto, combinazioni lineari di soluzioninote sono ancora soluzioni delle stesse equazioni (altre condizioni al contorno, altri vincoli).Ne segue che casi più complicati possono essere costruiti o composti come sovrapposizione dicasi più semplici.

Il procedimento studiato è autocontenuto. Ciò fa intuire che sia applicabile anche ad oggettimatematici che non siano vettori. In particolare è estendibile al caso di funzioni, e cioè: unaqualunque funzione potrebbe essere sviluppabile in termini di combinazione lineare di altre,a condizione di poter definire un prodotto interno ed un set di funzioni di base che siaortonormale e completo rispetto a tale operazione.

L’utilità pratica dello sviluppo sta nel fatto che spesso conviene studiare separatamentel’evoluzione delle singole componenti piuttosto che il vettore tutto. Per esempio il motodi un proiettile nel campo della gravità conviene studiarlo decomponendo il vettoreposizione lungo le due direzioni linearmente indipendenti x e y, quindi interpetrando ilmoto come una sovrapposizione di un moto rettilineo uniforme (lungo x) e un moto rettilineouniformemente accelerato (lungo y). Si noti che tale decomposizione non solo facilita icalcoli, ma consente una base di interpretazione fisica del fenomeno.

Una funzione periodica, f(t), gode della proprietà di riassumere lo stesso valore se allavariabile indipendente, t, si somma un multiplo intero del periodo T. In formule:

,...,,,,,,...,nnTtftf 21012

Esempi di funzioni periodiche sono sin(nt) o cos(nt), dove la pulsazione fontdamentaleè definita da

T

2

Si noti che il periodo di sin(nt) (cos(nt)) è in realtà il sottotmultiplo di T, T/n, ma, come èfacile verificare, ogni funzione che abbia una periodicità T/n si ripete anche con periodicità T

Qualunque funzione periodica può sempre essere pensata come come una ripetizione dioscillazioni complicate attorno ad un valor medio e potrebbe avere punti di singolarità e/odiscontinuità

Funzioni periodicheFunzioni periodiche

Onda Quadra

f(t)

t

F

-F

TT/2 3T/2

f(t)

t

F

TT/2 3T/2

Dente di Sega

f(t)

t

F

TT/2 3T/2

"Semi-Sinusoide"

f(t)

t

F

TT/2 3T/2

Onda Triangolare Alternata

In completa analogia con lo sviluppo di un vettore nelle sue componenti cartesiane possiamopensare di costruire un set di funzioni linearmente indipendenti e il corrispondente prodottointerno, in modo da poter rappresentare una funzione periodica come combinazione linearedelle funzioni del set.

12

1

n

,tncos,tnsinS

Notiamo che il set è ortonormale rispetto alla seguente operazione *

00

0

0

tdtmcostnsin

tdtmcostncos

tdtmsintnsin

T

nm

T

nm

T

È molto più difficile dimostrare che il set è anche completo, il che è però abbastanzaIntuitivo se si pensa che n->. Se lo diamo per buono segue che

Nota: l’ elemento ½ viene aggiunto per un motivo puramente tecnico: se n=0 cosnt=1 ementre sinnt=0

20

T

dt

Serie di Fourier di seni e coseniSerie di Fourier di seni e coseni

Sempre in completa analogia potremo rappresentare f(t) come combinazione lineare deglielementi del set

1100

0 n

S

n

C

n

S

n

C tnsinFtncosFFtnsinFtncosFtfnnnn

dove

T

TS

n

TC

n

periodo un in f(t) di medio valordttfT

F

tdtnsintfF

tdtncostfF

00

0

0

1

Abbiamo cioè espresso i coefficienti della combinazione lineare, detta Serie di Fourier,per mezzo del prodotto interno. F0 è il valor medio attorno al quale la funzione oscilla.

Notare che se sostituiamo nelle espressioni dei coefficienti la formula della Serie, queste siriducono ad una identità, a causa delle relazioni di ortonormalità

Abbiamo applicato una procedura del tutto analoga a quella descritta per i vettori

Abbiamo trovato un modo per rappresentare una funzione periodica arbitraria in terminidelle sue componenti Fn

(c) e Fn(s)

I punti di singolarità o discontinuità della funzione sembrano essere scomparsi dalla. Tuttaviaessi sono presenti e descritti dal fatto che le sommatorie sono estese fino ad

Il significato della singola componente di Fourier Fk è quello di una misura di quanto la

funzione f(t) sia periodica con periodo T/n, o meglio quanto assomigli alla funzione sinnt(cosnt).

Data la linearità delle equazioni viste, se una equazione differenziale lineare ammettesoluzioni del tipo Fcoskt anche la funzione f(t) sarà una possibile soluzione

Se l' equazione differenziale cui si riferisce l’osservazione precedente non è omogenea ed iltermine noto è una funzione periodica (p. es. il moto di un'altalena spinta da una forzaimpulsiva periodica) tale equazione può essere decomposta in un set di equazioniindipendenti, nelle quali il termine noto è del tipo  Fcoskt . La soluzione vera sarà costruibile,allora, tramite le singole soluzioni indipendenti, come una serie di Fourier di quest'ultime.Ciò è in analogia con la decomposizione del moto tridimensionale nelle sue componentivettoriali (cfr. Oss.6 del paragrafo precedente).

Si noti che se la funzione f(t) è pari (dispari), cioè f(-t)=f(t) (f(-t)=-f(t)), allora solo i coefficientidella serie dei coseni (seni) saranno non nulli.

Osservazioni sulle formule precedentiOsservazioni sulle formule precedenti

Se si cambia sistema di riferimento, il set di base che ci consente di rappresentare ilvettore cambia. Il nuovo set può essere rappresentato in termini dei vecchi vettori(e viceversa)

Anche le funzioni seno e coseno possono essere rappresentate come combinazioni linearidi altre: gli esponenziali di argomento immaginario

tintin

tintin

tin

tin

eei

tnsin

eetncos;

tnsinitncose

tnsinitncose

2

12

1

Si può pertanto applicare la stessa procedura di prima usando queste nuove funzioniper rappresentare le funzioni periodiche:

tine'S mntimtin

T

eedt

02Relazione di ortonormalità

Coefficienti di Fourier T

tinn etdtfF

02

Serie di Fourier di esponenzialiSerie di Fourier di esponenziali

Serie di Fourier

n

n

tinneFtf

In buona sostanza non cambia granché rispetto al caso della serie di seni e coseni salvo che1) Le componenti armoniche sono dei numeri complessi2) Se f(t) è reale la serie deve ridursi ad un numero reale con la cancellazione di tutte le parti immaginarie;3) Le formule sono molto più compatte;

Una funzione periodica che presenta singolarità o discontinuità (e.g. onda quadra) non ètrattabile analiticamente. La sua rappresentazione in serie di Fourier, tuttavia, può consentireuna decomposizione in termini di funzioni continue e quindi ne facilita il trattamento.

Il problema però e che le sommatorie che danno la serie vanno estese fino ad un numeroelevato di termini e la convergenza della serie può essere anche molto lenta.

Se consideriamo l’onda quadra possiamo calcolare facilmente le componenti armoniche:

TntT

nF

Tn

tnTFtf

12

122

12

0

01

2

00

2

2

2

00

2

2

000

n

n

nn n

n

T

T

TT

cn

T

T

TT

sinsinF

cosdcosdF

tncosdtF

tncosdtF

tncostfdtF

dtT

Fdt

T

Ftdtf

TF

nTt

nT

t

t

;n

ddt;tn

22

00

Convergenza e tagli ad alta frequenzaConvergenza e tagli ad alta frequenza

n

n

nn n

n

T

T

TT

sn

coscosn

Fsindsind

n

F

tnsindtF

tnsindtF

tnsintfdtF

2

00

2

2

2

00

Un po’ più complicato è il calcolo delle ampiezze dei seni

I risultati sono diversi per n pari o dispari:

02402

2

kcoskcoscoskcosn

FF

kparins

n

n

Fkcoskcoscoskcos

n

FF

kdisparins

n

41224012

12

Si ottiene:

.dispn

tnsinn

Ftf

14

Dente di sega

1

1

2 n

tnsinn

FFtf

Onda Triangolare

dispn

tncosn

FFtf

22

14

2

Onda Triangolare Alternata

dispn

n

tnsinn

Ftf

22

1

2

11

8

Onda Triangolare Alternata

parin

n

tncosn

Ftsin

FFtf

1

11

2 22

1

Le serie di Fourier sono un potentissimo algoritmo per rappresentare con semplici funzionianalitiche (seno e coseno) funzioni periodiche che presentino singolarità e/o discontinuità.Non è tuttavia possibile calcolarle numericamente esattamente poiché non si puòmaterialmente estendere il loro calcolo ad un numero infinito di componenti. Ciononostante si può ottenere una rappresentazione qualitativa o semi-quantitativacorretta della funzione anche con poche componenti armoniche

In pratica, qualunque serie può essere calcolata solo introducendo un taglio per le altefrequenze. Ciò è assolutamente analogo al comportamento, per esempio, di un altoparlanteacustico, la cui membrana non può vibrare con frequenze troppo elevate;

In sostanza, un taglio delle alte frequenze può essere visto come una perdita di risoluzionedell'apparato che realizza il calcolo della serie;

Spesso una descrizione approssimata di un fenomeno fisico (modello) può essere interpetratacome un taglio delle frequenze più alte, e,  quindi, come una perdita di risoluzione del modello

In parecchi fenomeni fisici intervengono funzioni che per gli scopi pratici possono essereritenute periodiche. Per esempio il moto di una altalena sospinta da una forza periodica o il moto di oscillazione di un cristallo di quarzo in un orologio elettronico o, ancora,il passaggio di una corrente alternata in un circuito LC serie. Ma rigorosamente una funzioneperiodica è f(t)=f(t+nT) dove n deve poter assumere valori positivi e negativiarbitrariamente grandi. Ciò vuol dire che un fenomeno fisico è periodico solo se è iniziato daun tempo infinito e durerà per l'eternità. Pertanto la periodicità è di norma una eccezionenei fenomeni naturali, visto che di solito questi hanno un inizio ed una fine. Come vedremo,in un fenomeno che ha inizio ad un determinato istante finito e che termina ad un altro, puressendo perfettamente periodico in tutto l'intervallo di tempo, non è possibile ritrovare unaed una sola periodicità

Come conseguenza l'utilità degli sviluppi in serie illustrati nel paragrafo precedente in fisicaè limitata ai soli fenomeni a regime, ma vale la pena di chiedersi se esista un modo diestendere le considerazioni fatte prima al caso di funzioni impulsive o aperiodiche, ovverose sia possibile rappresentare una funzione aperiodica in termini di combinazione linearedi funzioni più semplici, ovvero una generalizzazione di combinazione lineare.

Queste trasformazioni lineari vanno sotto il nome di trasformate di Fourier.

Funzioni aperiodiche e trasformate di FourierFunzioni aperiodiche e trasformate di Fourier

Consideriamo una funzione aperiodica

altrimenti

tsetcosFtf

00

Definendo T> possiamo definire una funzione periodica g(t)=g(t+T) che coincida con f(t)nell’intervallo descritto ma che si ripeta periodicamente

t

f(t)g(t)

T

Trasformate di Fourier come limite delle serieTrasformate di Fourier come limite delle serie

La funzione g(t) può essere rappresentata in serie di Fourier e osserviamo che nel limiteT-> f(t)g(t)

n

tinn

Tn

tinn eG"lim"tf;eGtg

Le virgolette stanno ad indicare che il limite va inteso in maniera particolare: infattiLa pulsazione fondamentale tende a zero in questo limite

Con l’introduzione del set di funzioni di base abbiamo introdotto due successioni fra loroin corrispondenza biunivoca

Tti

nn

nnnn

nnnetgGG;n

02

L’insieme dei valori {n} è costituito da numeri reali a spaziatura costanteT

2

n n+1n-1

Nel limite T-> tenderà a zero! Di conseguenza la successione {n} tenderà ad assumeretutti i valori reali: diventerà la variabile reale

Corrispondentemente la successione {Gn} diventerà una funzione continua (complessa)della variabile e due valori “adiacenti” differiranno della quantità infinitesima

dFdG

È intuitivo che la serie si trasformerà in un integrale

dtetfF;deFtf titi

2

1

Balza agli occhi che la relazione fra f(t) ed F() sono, a parte un banale fattore (1/2),assolutamente simmetriche. F() è la trasformata di Fourier di f(t). Spesso f(t) è dettal’antitrasformata di F(). Le variabili t ed si dicono coniugate.

Il significato di F() è in qualche modo analogo a quello delle componenti di Fourier:F()ddice quanto le periodicità comprese tra  e  +d sono rilevanti per la funzionef(t). Per esempio se F() fosse molto piccola per tutti i valori di  , tranne che per unpiccolo intervallo attorno al valore 0 (- 0), e lí prendesse valori molto elevati la funzionef(t) sarebbe una funzione praticamente monocromatica, cioè una sinusoide di pulsazione 0 (periodica)Data la dualità delle equazioni vale anche il viceversa: se f(t) è non nulla solo in unintervallo molto piccolo  , la sua trasformata di Fourier F() sarà non nulla e grandein un intervallo di frequenze molto esteso, pari a 

L‘osservazione ci porta a concludere che qualunque sia la funzione f(t), purché esista F(),il prodotto di per  non può essere minore di una costante (diseguaglianza diCauchy-Schwartz):

2

Come vedremo da ciò discende il Principio di Indeterminazione

Osservazioni sulle trasformate di FourierOsservazioni sulle trasformate di Fourier

F(

)

La funzione assegnata non è monocromatica!!

Trasformata di FourierTrasformata di Fourier

Se si vuole ricalcolare dalla trasformata l’antitrasformata, spesso bisogna eseguire l’integralenumericamente

L’ultimo passaggio viene fuori perché bisogna necessariamente stabilire un estremosuperiore di integrazione. Ciò produce un effetto di troncamento simile a quello delle seriedi Fourier

Tagli ad alta frequenzaTagli ad alta frequenza

Funzione RectFunzione Rect

Pacchetto d’onde ad ampiezza modulataPacchetto d’onde ad ampiezza modulata

può essere intesa come l'incertezza temporale nell'accadimento di un fenomeno impulsivocome l'emissione di un fotone da parte di un atomo, e, corrispondentemente, saràl'incertezza nella frequenza del fotone emesso. Ora, definendo E= , dove  =h/2 con h laCostante di Planck, si avrà:

2La disequazioneÈ la formulazione matematica del Principio di Indeterminazione

htE

Da questa equazione si deduce che se si può misurare esattamente la frequenza del fotone,cioè si ha un'onda rigorosamente monocromatica, non è possibile conoscere l'istante in cuiil fotone viene emesso. Ovvero, se si conosce l'istante di emissione del fotone, cioè il fenomenoè localizzato temporalmente, allora non se ne può stabilire l'energia, cioè non si può localizzareil fenomeno nello spazio delle frequenze. Quanto affermato ha un preciso riscontrosperimentale nella larghezza intrinseca delle righe di emissione e assorbimento deglispettri atomici.

Relazione col Principio di IndeterminazioneRelazione col Principio di Indeterminazione