Numero 4, 4 Luglio 2011. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

EditorialeSiamo giunti alla quarta uscita e l’estate è alle porte, edeccoci qui con il nuovo appuntamento con CaoStabile!

Le soluzioni dei giochi precedenti le puoi trovare di-rettamente sul nostro sito internet. Inoltre puoi intera-gire con noi tramite il nostro Blog e la pagina Facebook:lasciaci un commento o qualche soluzione alternativa sela trovi!

In questo numero parleremo di probabilità e giochid’azzardo, cercheremo di scoprire quali fregature si na-scondono dietro a giochi molto popolari! Parleremo an-cora di spazio e precisamente del moto dei pianeti attor-no al Sole, con le celebri leggi di Keplero! Infine affron-teremo un affascinante problema matematico ancora incerca di soluzione, vuoi provare a risolverlo? Forza!

Come al solito non mancherà l’angolo dei giochi, uncommento sulla prova di matematica della maturità eduna bella recensione!

Buona lettura e passa a trovarci sul nostro Blog e sul-la pagina Facebook, sapere che apprezzi il nostro sforzoè la ricompensa più gradita!

Il Team CaoStabile

In questo numero:

Il problema del lieto fine

Il moto dei pianeti intor-no al Sole

Probabilità e giochi d’az-zardo

Chiedi alla Ga’:Quesito maturità PNI

Pausa caffè:I nani ed il giganteI tre interruttoriIl rimbalzo

Recensioni:“Contro l’ora dimatematica”

IL PROBLEMA DEL LIETO FINE

Quello che vi presento è un famosoproblema dal titolo affascinante che hacoinvolto molti matematici fin dall’iniziodel secolo scorso. Prima di enunciare ilproblema è necessaria una premessa: lasua generalizzazione è tutt’ora un proble-ma aperto... Invece la versione originale

possiede una dimostrazione semplice edelegante, seppur non banale da trovare.Vi chiederete allora: perché mai ci vieneproposto un problema così difficile, tutt’o-ra irrisolto? Beh... perché dietro a questoproblema c’è un intreccio romantico cheancora continua... e chissà che non siate

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voi i prossimi protagonisti?La prima versione di questo proble-

ma è stata proposta da Esther Klein du-rante gli anni 30 del secolo scorso: Da-ti cinque punti qualunque su una super-ficie piana, tra i quali non ve ne siano3 allineati, dimostra che 4 di essi forma-no sempre un quadrilatero convesso. Ri-cordo che un poligono è convesso se isuoi angoli interni sono tutti minori di 180gradi. Attenzione: 4 punti non sono suffi-cienti, come dimostra il seguente disegno.

Dimostrazione del fatto che 4 punti non garantiscono unquadrilatero convesso.

La dimostrazione della Klein è mol-to semplice; si basa sul fatto che tuttele disposizioni di 5 punti (non a due adue allineati) si possono ridurre a tre casigenerali:

• I cinque punti formano un penta-gono convesso (in questo caso 4qualsiasi formano un quadrilateroconvesso);

• Quattro punti formano un quadrila-tero convesso ed il quinto è al suointerno;

• Due punti giaciono all’interno di untriangolo formato dagli altri tre (sesi considera la retta per i primi duequesta lascerà due dei punti deltriangolo da una sola parte ed as-sieme ai primi due formeranno unquadrilatero convesso)

I tre casi generali di disposizione di 5 punti a due a duenon allineati.

Potreste provare a dimostre che que-ste tre sono effettivamente le unicheconfigurazioni possibili.

Torniamo però alla storia di questo pro-blema. Affascinati dall’eleganza delladimostrazione proposta dalla Klein, mol-ti matematici provarono a generalizzare ilproblema a poligoni con un maggior nu-mero di lati: ad esempio, Endre Makai nontardò a dimostrare che per garantire l’e-sistenza di un pentagono convesso sononecessari e sufficienti 9 punti nel piano.Come prima sfida, potreste provare a di-segnare su un foglio 8 punti, a 3 a 3 nonallineati, in modo che non se ne trovino 5tra questi che formino un pentagono con-vesso (non necessariamente regolare!)...questo non è particolarmente difficile!

A partire da questi due esempi, lageneralizzazione fu quasi immediata (c’ègente che non ha proprio niente da fa-re, vero!?!): per garantire un poligono din lati servono 2n−2 + 1 punti (!?!). La for-mula funziona per quadrati e pentagoni(infatti, 24−2 + 1 = 5 e 25−2 + 1 = 9), maovviamente era (ed è tutt’ora) una con-gettura. Negli anni sono stati fatti alcunipassi avanti, ma senza giungere ad unasoluzione completa.

Direte voi... ma qual era questa sto-ria romantica? E che cosa c’entrano tut-ti i punti che ho disegnato col titolo delproblema? Apriamo quindi una parentesirosa...

Uno dei primi passi avanti sul problemafu di George Szekeres, un giovane mate-matico dell’epoca. Egli era rimasto affa-scinato dall’eleganza della dimostrazionedi Esther... e da lei stessa! Allo stesso mo-do, il suo successo fece abbastanza col-po da fargli conquistare il cuore della Kleine quattro anni dopo si sposarono. Fu perquesto episodio che il grande matemati-

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co Erdös lo ribattezzo “Problema del LietoFine”. Ma non è finita qui...

Dopo questo primo periodo, il proble-ma rimase fermo per sessant’anni, nono-stante tanti matematici abbiano provatoad affrontarlo. Fu solo nel 1996 che Ro-nald Graham e sua moglie Fan, in volo da-gli States alla nuova Zelanda, riuscirono amigliorare i risultati precedenti.

La leggenda vuole che questo proble-ma si arrenda più facilmente alle coppiedi innamorati.

Ma qual è lo stato dell’arte? Comeabbiamo visto, è stato dimostrato che laformula congetturata vale per quadrilate-ri e pentagoni. Pare strano, ma già per gliesagoni il risultato è solo parziale: si è di-mostrato che con 37 punti se ne garanti-

sce l’esistenza, ma il traguardo di 17 (cioè26−2 + 1) è ancora lontano.

Come anticipato prima, Erdös e Szeke-res hanno dimostrato che, a patto di ave-re un numero sufficientemente grande dipunti (dell’ordine di grandezza di 4n), ègarantita l’esistenza di un poligono di n la-ti. È stato già dimostrato anche che conmeno di 2n−2 + 1 punti l’esistenza dell’ n-agono non è garantita. Tra 2n−2 + 1 e 4n,però, c’è ancora un enorme divario dacolmare!

Come dicevo il problema è ancoraaperto e, chissà, il prossimo contibuto po-trebbe essere il vostro. Un unico consiglio:se volete cimentarvi, cercatevi una bellamatematica (o matematico) che affrontiassieme a voi questa sfida.

Luigi Caspani

IL MOTO DEI PIANETI INTORNO AL SOLE

Per capire in che modo i pianeti ruota-no intorno al Sole o in che modo un satelli-te naturale ruota intorno al pianeta che loospita, abbiamo bisogno di sapere qualisono le leggi che regolano il moto dei cor-pi celesti che popolano il sistema solare.Possiamo descrivere un modello semplifi-cato in cui consideriamo solo due ogget-ti che interagiscono tra loro attraverso lasola attrazione gravitazionale che ognunoesercita sull’altro: questo modello è notocome “il problema dei due corpi”ed è in-teramente descritto e risolto dalle leggi diKeplero. Il modello è utilizzato, per esem-pio, per studiare il moto di un pianeta in-torno al Sole (in questo caso i due corpiin questione sono Sole e pianeta che siattraggono reciprocamente); il modello èsemplificato perché non tiene conto delfatto che nella realtà esistono altri piane-ti e altri oggetti del sistema solare che in-fluenzano e che attraggono il Sole e il pia-neta. Nonostante ciò, in prima approssi-mazione le leggi di Keplero sono accuratee permettono di descrivere bene il moto

del pianeta intorno al Sole.

Il moto dei pianeti intorno al Sole.

Le tre leggi ci dicono su quali traiettoriesi muovono i pianeti e con quali velocitàpercorrono tali traiettorie. Vediamo ora indettaglio le leggi.

La prima legge (enunciata da F.J. Ke-plero nel 1608) dà informazioni sulla tra-iettoria percorsa dai due corpi; in parti-colare, nel caso del sistema Sole-pianetaci dice che l’orbita descritta dal pianetarispetto al Sole è un’ellisse, di cui il Soleoccupa uno dei due fuochi. Ricordiamoche un’ellisse è il luogo geometrico deipunti del piano per i quali la somma del-

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le distanze da due punti fissi detti fuochi ècostante.

La prima legge di Keplero.

Nella figura è rappresentata un’ellissee sono rappresentati alcuni elementi cheaiutano ad identificare l’orbita del piane-ta: in particolare, il semiasse a che cor-risponde al semiasse dell’ellisse, il puntoA detto “afelio”che corrisponde al puntoin cui il pianeta è più lontano dal Sole, ilpunto P detto “perielio”che corrispondeal punto in cui il pianeta è più vicino alSole e il “raggio vettore”che indica il seg-mento che unisce il Sole al pianeta che simuove sull’ellisse.

La seconda legge (del 1609) dà infor-mazioni sulla velocità con cui l’ellisse vie-ne percorsa dal pianeta: il raggio vettore(che unisce il centro del Sole con il cen-tro del pianeta) spazza aree uguali in tem-pi uguali, il che può essere riformulato di-cendo che si ha costanza della velocitàareolare. Questo implica che al perielio,quando il pianeta è più vicino al Sole, lavelocità tangenziale sia massima mentreall’afelio sia minima.

La seconda legge di Keplero.

Osserviamo la figura che descrive la se-conda legge: le aree in grigio delimita-te, la prima dai punti A, B e dal Sole ela seconda dai punti C, D e dal Sole, so-no uguali. Perciò, per la seconda legge diKeplero, il pianeta dovrà percorrere il trat-to di ellisse dal punto A al punto B nellostesso tempo in cui percorrerà il tratto daC a D. È facile notare che l’arco AB piùcorto dell’arco CD, perciò l’arco AB sa-rà percorso più lentamente dell’arco CD;possiamo così affermare che la velocitàdel pianeta non è costante lungo l’orbita(cioè l’ellisse) e in particolare è massima alperielio e minima all’afelio.

La terza legge (del 1619) fornisce infor-mazioni riguardo la velocità dei pianeti alvariare della distanza dal Sole: i quadratidei periodi di rivoluzione dei pianeti sonoproporzionali ai cubi dei semiassi maggioridelle loro orbite, cioè

T 2

a3= C ,

dove abbiamo chiamato con T il perio-do di rivoluzione, a il semiasse dell’ellissee con C intendiamo una costante. Laterza legge di Keplero ci dice che allon-tanandosi dal Sole i pianeti si muovonopiù lentamente e impiegano più tempoa percorrere un giro completo intorno alSole.

È interessante sapere che Keplero nonspiega la natura delle forze che agisconosui pianeti e non fornisce la dimostrazione

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delle leggi che enuncia: egli verifica le for-mule in maniera empirica, cioè prova chele sue leggi concordano con i dati osser-vati da Tycho Brahe, un astronomo cheaveva misurato con grande precisione leposizioni dei pianeti alla fine del 1500. Leleggi verranno dimostrate da Isaac New-ton nel 1686 nei “Principia MathematicaPhilosophiae Naturalis”; egli ricava le treleggi a partire dal secondo principio del-la dinamica sotto l’unica ipotesi di unaforza gravitazionale F esercitata dal Solesui pianeti, decrescente con il quadratodella distanza, data dalla formula

F = −GM ·md2

,

dove G è la costante gravitazionale, M

è la massa del Sole, m è la massadel pianeta, d è la distanza dal Sole alpianeta.

Come abbiamo detto all’inizio del no-stro articolo, tutti i moti dei corpi del siste-ma solare seguono (come prima appros-simazione) le tre leggi di Keplero; queste

leggi infatti sono seguite dai pianeti, da-gli asteroidi e dalle comete che orbita-no intorno al Sole, ma anche dai satelli-ti naturali che ruotano intorno ad un pia-neta, così come dai satelliti artificiali mes-si in orbita dagli uomini intorno alla Terra.In particolare, nell’ultima foto potete os-servare la Stazione Spaziale Internazionale(nota anche come ISS, ovvero Internatio-nal Space Station) che orbita intorno allaTerra; il suo moto è descritto dal problemadei due corpi Terra-satellite ed è regolatodalle leggi di Keplero stesse.

La Stazione Spaziale Internazionale.

Sara Di Ruzza

PROBABILITÀ E GIOCHI D’AZZARDO

Sicuramente avrai già sentito parlaredel concetto di probabilità, magari du-rante i tuoi studi, e forse starai pensan-do “oddio, non ci capivo niente!”. Bene,in questo breve articolo voglio spiegarti iconcetti di base e come al solito aven-do in mente qualcosa di pratico! Cosa nedici di alcuni diffusi e semplicissimi giochid’azzardo come il Lotto, il Superenalottoe la roulette? Purtroppo non posso aspet-tare la tua risposta quindi facciamo fintache tu sia d’accordo e andiamo avanti!

Come in tutte le cose, per iniziare, par-tiamo dal principio: il lancio della moneta.Come puoi facilmente immaginare se lan-ci in aria una moneta bilanciata e giochia testa o croce che tu dica testa, oppure

croce, non hai che il 50% delle probabili-tà di vincere! Nulla di nuovo a dire il vero,questo lo sai dai tempi dell’oratorio quan-do si decideva per la palla o il campo...ecome ricorderai la scelta non era del tuttoininfluente in un pomeriggio assolato con ilportiere avversario accecato dal sole, maquesta è un’altra storia.

Ma torniamo alla nostra affermazione,cosa significa esattamente che la monetasia bilanciata? E come possiamo definireil concetto astratto di probabilità?

La definizione classica di probabilità diun evento è il rapporto tra il numero deicasi favorevoli e il numero dei casi possibilidel nostro esperimento, purché questi ulti-mi siano tutti equiprobabili. Questa defini-

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zione è spesso attribuita a Pierre Simon La-place e quindi è anche detta definizioneclassica di Laplace.

Questa definizione consente di calco-lare effettivamente la probabilità in moltesituazioni, è una definizione che fornisceun metodo per il calcolo.

Torniamo alla nostra moneta, se sce-gliamo testa (o croce), avremo un solocaso favorevole e due esiti possibili, dun-que la probabilità di vittoria è pari a 1/2,nulla di nuovo per la verità! E se lancia-mo due monetine, qual è la probabilità diottenere due teste, due croci o una testaed una croce? Semplice, indichiamo conC l’uscita di una croce e con T quella diuna testa, i casi possibili saranno quattro:(T,T), (T,C), (C,T), (C,C). Dunque le due te-ste (o croci) avranno probabilità pari ad1/4, mentre la combinazione di una testaed una croce avrà una probabilità pari a1/2!

Prova a pensare come funziona conil lancio di un dado, e poi con il lanciodi due dadi, naturalmente con tutte lefacce equiprobabili.

La definizione classica presenta tutta-via diversi aspetti negativi non irrilevanti,prova a rileggerla con attenzione e a sco-prire quali siano i problemi di questa defi-nizione! Anzitutto si tratta di una definizio-ne circolare, richiede che i casi possieda-no tutti la medesima probabilità, ma nonera proprio il concetto di probabilità quelche volevamo definire? Inoltre non defi-nisce la probabilità in caso di eventi nonequiprobabili.

Per superare queste difficoltà è statointrodotto il concetto di probabilità fre-quentista: la probabilità di un evento èil limite a cui tende la frequenza relativadell’evento, al crescere del numero degliesperimenti

P(A) = limn→∞

nA

n

La definizione frequentista si applicaanche nel caso di eventi che non sianoritenuti ugualmente possibili, ma assumeche l’esperimento sia ripetibile più volte,

ad esser precisi infinite, e nelle medesimecondizioni.

Anche in questa definizione gli incon-venienti sono dietro l’angolo, infatti nontutti gli esperimenti sono ripetibili e per dipiù per un numero infinito di volte.

Infatti ha senso chiedersi quale sia laprobabilità che i leoni bianchi si estingua-no nel prossimo secolo, ma quale eventopotremmo associare (e misurare) in que-sto caso? Ed anche ammesso che latua immaginazione sia più fervida dellamia e che tu abbia in mente qualcosa,ripetere l’esperimento infinite volte impie-gherebbe certamente un tempo superio-re al secolo e la risposta alla domandaarriverebbe troppo tardi!

Insomma, siamo partiti da un esem-pio semplice, in cui tutto sembrava chia-ro, per arrivare ad un discorso che sembrasenza via d’uscita.

Bene, allora ho raggiunto il mio scopo,anche se all’apparenza le cose sembra-no semplici, ed in fondo funzionano an-che, formalizzare matematicamente unconcetto come quello di probabilità nonè affatto semplice!

Torniamo a noi ed assumiamo un at-teggiamento pragmatico, per i nostri sco-pi la definizione frequentista va più chebene per oggi. Prima di considerare i gio-chi d’azzardo come promesso, no non melo sono dimenticato, torniamo un’ultimavolta al lancio della moneta.

Supponiamo che tu ed un tuo amico vitroviate un pomeriggio con una monetaben bilanciata ed un centinaio di mone-tine da un centesimo (tanto per non but-tar via soldi per niente) e decidiate di gio-care a testa o croce in questo modo: aturno ad ogni lancio decidete se sceglie-re testa o croce e puntate un centesimociascuno, chi vince si prende entrambe lemonetine. Ad ogni lancio ogni giocato-re ha una probabilità di vittoria pari a 1/2e in caso di vittoria vince esattamente 2volte la somma giocata. Come ti suggeri-sce anche il buon senso si tratta di un gio-co ben bilanciato, dove la vittoria tiene

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conto del rischio legato alla probabilità dinon vincere. Questo gioco infatti è dettogioco equo. In probabilità infatti il nomedi gioco equo è quel gioco di probabilitàche paga al vincitore una vincita equa,cioè pari all’importo giocato moltiplicatoper il reciproco della probabilità di vittoria.

In effetti a pensarci bene, se il gioconon fosse equo probabilmente non sare-sti disposto a giocarti i tuoi soldi non cre-di? Ne sei sicuro? Immagino la tua faccia,“certo!” starai pensando. Peccato che cisiano tante persone che (forse non sapen-dolo) sono ben disposte a giocare i lorosoldi a giochi tutt’altro che equi! Vuoi deinomi? Lotto, Superenalotto, roulette, etc.,l’elenco sarebbe lungo!

Partiamo dal Lotto, il singolo estratto èpagato 11.232 volte la posta in gioco, mafacciamo qualche conto. Si tratta di in-dovinare un numero tra i cinque estrat-ti da un’urna contenente novanta palli-ne numerate, dunque abbiamo 5 casi fa-vorevoli e 90 possibili, con una probabili-tà di vittoria pari a 5/90 = 1/18. Un giocoonesto dovrebbe pagare 18 volte la postagiocata e non poco più di 11!

Passiamo all’ambo, che paga 250 voltela posta giocata. Questa volta dobbiamoindovinarne due di numeri e la probabili-tà scende a 20/(90 ∗ 89) = 1/400.5, dunqueun gioco onesto pagherebbe 400.5 voltela posta, una bella differenza.

Potremmo continuare, ma sei perfet-tamente in grado di armarti di pazienza,contare i casi possibili e quelli favorevoli edottenere da te i risultati!

Passiamo dunque al Superenalotto, ungioco da vincite milionarie che attira mi-lioni di giocatori che regolarmente perdo-no i loro soldi! In questo caso la situazioneè più complicata in quanto il montepremiè dato dal totale dei soldi giocati e vie-ne ripartito secondo certi criteri tra i va-ri esiti, non esiste una quota fissa, ma per

capire quanto non sia equo questo giocobasterà una semplice osservazione.

La probabilità di fare il fatidico sei è in-fatti pari a 1/622 614 630 (ti è chiaro comecalcolare questo numero?), e la vittoriapiù alta mai registrata è di 177; 729 043 eu-ro, una bella cifra senza dubbio, ma menodi un terzo della vincita che pagherebbeun gioco equo!

Infine passiamo alla roulette, che gra-zie a numerosi film e falsi miti è spesso con-siderata un gioco d’azzardo in cui si perdesempre, non come il Lotto... Nelle moder-ne roulette sono presenti i numeri da 1 a36, con l’aggiunta dello zero e del dop-pio zero. Perché ho detto espressamentecon l’aggiunta? Perché sono proprio que-sti due personaggi a far pendere la bilan-cia dalla parte del banco, ma scopriamocome.

I 36 numeri sono metà rossi e metà neri,mentre lo zero e il doppio zero sono gene-ralmente verdi. Se puntiamo sul rosso ab-biamo quindi una probabilità pari a 18/38e la vittoria è pagata due volte la gioca-ta. Anche in questo caso osserviamo chenon si tratta di un gioco equo, ma direiche rispetto al Lotto e al Superenalotto lasituazione è decisamente migliorata, noncredi? Inoltre se puntiamo un numero acaso abbiamo una probabilità di vittoriapari di 1/38, e la vincita è fissata a 35 voltela giocata, non siamo di fronte ad un gio-co onesto è vero, ma la situazione credosia migliore di quel che pensassi.

Per concludere spero di averti incurio-sito e di averti fatto capire che i soldi èmeglio tenerseli in tasca, nessuno proba-bilmente deciderà di regalarci soldi inven-tando un gioco, ma per il contrario puoistarne certo! Dal punto di vista matema-tico abbiamo tolto solo un velo dal mon-do della probabilità, ma se sei interessatoo hai dei dubbi non avere esitazioni, scri-vici su Facebook o sul Blog e suggerisciqualche argomento da trattare!

Marco Sansottera

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CHIEDI ALLA GA’RUBRICA DI AIUTO AGLI STUDENTI

- QUESITO MATURITÀ PNI -

Anche quest’anno, devo ammetterlo,ero pronta a criticare le tracce della pro-va di matematica dell’Esame di Stato,cioè la seconda prova prevista per i liceiscientifici. E’ più forte di me: alcune vol-te mi è sembrata troppo difficile, altre vol-te troppo facile, non mi piacciono i quesi-ti che sembrano curiosità (non se ne puòpiù di questa quadratura del cerchio!) ein particolare quest’anno non mi è piaciu-to l’ultimo punto del secondo problema.Mi è sembrato un tentativo di far apparire“utile e pratica” una materia che, almenoal liceo scientifico, dovrebbe poter esiste-re senza doversi giustificare. Non parliamopoi di quel “si verifichi con l’aiuto di unacalcolatrice”... Ero già pronta a sparare azero su tutto quando ho letto il quesito nu-mero 5 della traccia prevista per l’indirizzoPNI. Non so se nel 1999 (quando è tocca-to a me sostenere l’esame) sarei riuscita arisolverlo, ma adesso proverò a scriverneuna soluzione perché questo quesito è unottimo esempio di quanto trovo bello nellamatematica: il ragionamento a volte por-ta a risultati che vanno contro il normalebuon senso.Rigore e rivoluzione!

QUESITO N.5 - TRACCIA PNIIn una delle sue opere G.Galilei fa por-

re da Salviati, uno dei personaggi, la se-

guente questione riguardante l’insieme Ndei numeri naturali (“i numeri tutti”). Di-ce Salviati: “....se io dirò, i numeri tutti,comprendendo i quadrati e i non quadra-ti, esser più che i quadrati soli, dirò pro-posizione verissima: non è così?». Comesi può rispondere all’interrogativo posto econ quali argomentazioni?

Ci si deve chiedere quindi se l’insie-me formato dai quadrati dei numeri na-turali {0, 1, 4, 9, 16, 25...} abbia cardinalitàminore di tutto N. Il buon senso ci consi-glia di dare risposta affermativa, perchéi quadrati sono solo alcuni dei naturali.Consideriamo, però, lo schema seguente:

0 1 2 3 4 5 ...l l l l l l ...0 1 4 9 16 25 ...

Ogni quadrato, quindi, può essere messoin relazione con un numero naturale e vi-ceversa: questa corrispondenza (biunivo-ca) ci permette di convincere Salviati chei quadrati sono tanti quanti i numeri tutti.Lo stesso vale, ad esempio, e si può di-mostrare in modo simile, anche per i nu-meri pari, i numeri dispari, i multipli di 3, di4... gli interi e i razionali. In generale, tut-ti gli insiemi che hanno la stessa cardina-lità di N (indicata con la lettera dell’alfa-beto ebraico aleph con il pedice 0: ℵ0) sidicono numerabili.

Gabriella Pina

PAUSA CAFFÈRUBRICA DI ENIGMI E GIOCHI MATEMATICI

- I NANI ED IL GIGANTE -

Tre nani sono stati rapiti da un giganteche li vuole mangiare. Il gigante (appas-sionato di indovinelli) vuole dar loro unapossibilità: prende cinque cappelli (duebianchi e tre neri) e, dopo averli fatti ve-dere ai nani, ne butta via due. Infine met-

te i cappelli rimanenti sulle teste dei po-veri nani, che possono vedere i cappellidegli altri nani, ma non il proprio. A que-sto punto il gigante dice loro che per ave-re salva la vita uno di loro deve dire il co-lore del suo cappello e quello degli altrinani...altrimenti li mangerà.

Il gigante aspetta qualche minu-

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to e chiede loro, ma nessuno rispon-de...aspetta ancora un minuto e chiedenuovamente una risposta, ma niente...ilgigante allora inizia a spazientirsi e deci-de di mangiarli...ma improvvisamente un

nano alza la mano e da la risposta indovi-nando il proprio colore e quello degli altri,sotto gli occhi stupefatti del gigante (cheresta senza spuntino!).

Di che colore sono i capelli dei nani?

Marco Sansottera

- I TRE INTERRUTTORI -Fuori da una stanza chiusa ci sono tre

interruttori, uno dei quali aziona una lam-padina ad incandescenza che si trova al-l’interno della stanza, i tre interruttori sonotutti nella posizione di “spento”. Rimanen-do fuori dalla stanza e senza la possibilità

di sapere cosa accade all’interno, si pos-sono azionare gli interruttori a piacimento,ma per una ed una sola volta si può poientrare nella stanza. Infine bisognerà usci-re dalla stanza ed indicare quale dei treinterruttori accende la lampadina. Comeè possibile farlo?

Marco Sansottera

- IL RIMBALZO -

Il rimbalzo

Qual è il percorso (formato da duesegmenti consecutivi) più breve che unapalla può effettuare partendo da A, rim-balzando sul terreno e arrivando in B? De-terminare il punto di rimbalzo utilizzandosolo riga, squadra e compasso.

Gabriella Pina

RECENSIONISCELTI DA NOI

- “CONTRO L’ORA DI MATEMATICA” -

Non fraintendete il titolo: questo libro èa favore della matematica, ma non a fa-vore della matematica così come spessoviene insegnata ora nella scuola. Quandoho deciso di leggerlo, ero convinta chemi sarei trovata davanti le solite pagine ri-guardanti gli aspetti pratici dell’uso dellamatematica e invece sono stata piace-volmente colpita dalle parole di qualcu-

no, Paul Lockhart, che questa materia laama davvero e vorrebbe che tutti potes-sero avere la possibilità di apprezzarla. Insintesi, l’autore, insegnante, vorrebbe po-ter proporre ai propri alunni dei problemi elasciar loro il tempo di riflettere, sbagliaree arrivare alla soluzione per tentativi. Vor-rebbe che loro potessero “fare” della ma-tematica invece di “subirla” così come avolte avviene adesso. Cita anche alcu-

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ni possibili problemi: uno di questi è pre-sentato in questo numero nella rubrica deigiochi matematici, “il rimbalzo”. Le idee diLockhart sono affascinanti, devo ammet-terlo. Ma devo anche ammettere di tro-varle un po’ troppo estreme. Io ho l’im-pressione che molti insegnanti, pur rispet-tando i programmi previsti e proponendoformule e concetti da imparare, riescanocomunque a ritagliare dei momenti di ve-

ra matematica per i loro studenti. Nonmi sembra così sbagliato che un bambi-no studi a memoria le tabelline, in mododa non dipendere in tutto e per tutto dalbuon funzionamento della sua calcolatri-ce: è giusto che si formi solide basi per isuoi studi futuri. Solo bisognerebbe potermostrare ai ragazzi anche quanto è bellosaper usare la logica e l’intuito.

Gabriella Pina

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