Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche

A cura di Enrica MaraglianoLiceo Classico C.Colombo

Genova

Maxwell: un genio in anticipo sul suo tempo

• Nel 1855 il giovane fisico scozzese James Clerk Maxwell (1831 - 1879) iniziò ad occuparsi di elettromagnetismo.

• Egli aveva buone conoscenze di Matematica e di Fisica ed aveva, naturalmente, ben presente l'opera di Faraday.

• L'iter lungo cui si sviluppa il complesso della teoria del campo elettromagnetico di Maxwell è segnato da 3 memorie fondamentali e dal famoso “Treatise on Electricity and Magnetism” del 1873.

Le “memorie” di Maxwell (I)La prima delle memorie di Maxwell, “On Faraday's Lines of Force”, è un riconoscimento di difficoltà che un ricercatore incontra nel voler formalizzare la scienza elettrica. Questo ricercatore ha a disposizione, da una parte, la gran mole di risultati sperimentali che vengono continuamente sfornati e, dall'altra, la necessità di familiarizzarsi con una gran quantità di matematica molto complessa " la cui sola memorizzazione già di per sé interferisce materialmente con altre ricerche".

Le “memorie” di Maxwell (II)La seconda memoria di Maxwell, “On Physical Lines of Force”, presenta un insieme di analogie e modelli meccanici a sostegno delle idee di Faraday che, quasi certamente, lo stesso Faraday avrebbe respinto: le linee di forza non sono più una mera rappresentazione di come le forze del campo sono distribuite ma assumono un carattere fisico.Tutti i fenomeni elettromagnetici noti trovano una spiegazione mediante il modello meccanico sviluppato da Maxwell e gli permetteranno in seguito di capire che variazioni nel campo elettrico devono originare un campo magnetico e viceversa.Questa è, per l’epoca, una teoria azzardata, se si pensa che nessuna teoria dell'elettricità e del magnetismo fino ad allora sviluppate prevedeva l'esistenza di perturbazioni (onde) propagantesi nello spazio.

Le “memorie” di Maxwell (III)La terza memoria di Maxwell “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” risale alla fine del 1864. Mentre nella precedente memoria Maxwell aveva elaborato il modello meccanico che gli era servito per chiarirsi le idee e per mettere a punto il calcolo con l'ausilio di analogie fra il campo elettromagnetico ed i fluidi, ora egli abbandona il modello meccanico e si occupa esclusivamente dei fenomeni elettromagnetici. Questo lavoro contiene tutti i principali risultati che egli aveva precedentemente ottenuto e può essere considerato come la prima formulazione completa, dal punto di vista analitico, della teoria del campo elettromagnetico e della teoria elettromagnetica della luce.

Il trattato sull’Elettricità ed il Magnetismo (I)

A questo punto della sua attività scientifica, Maxwell voleva ricapitolare e mettere in ordine il complesso dei suoi lavori elettromagnetici. Si ritirò nella sua casa di campagna (1865) dove la sua principale occupazione fu la compilazione del “Treatise on Electricity and Magnetism” che vide la luce nel 1873, sei anni prima della prematura scomparsa dello stesso Maxwell (aveva 48 anni). Grazie al lavoro sistematico, i contributi di Maxwell si fondono con gli spunti forniti da altri matematici e fisici. Secondo la teoria di Maxwell, una perturbazione elettromagnetica (ad esempio una carica che acceleri) si propaga in tutto lo spazio sotto forma di onde elettromagnetiche.

Il trattato sull’Elettricità ed il Magnetismo (II)

L'esistenza di tali onde rimane un'ipotesi nella teoria: manca la conferma sperimentale. Le onde elettromagnetiche si muovono con la velocità della luce e quindi la luce è un'onda elettromagnetica.Maxwell scomparve nel 1879. Nel 1880 veniva pubblicata postuma una sua lettera in cui egli suggeriva un modo per poter accertare sperimentalmente la presenza del supposto etere attraverso la misura della velocità della luce in un tragitto andata-ritorno che la stessa avrebbe dovuto percorrere in direzione parallela al moto della Terra intorno al Sole.

L’accoglienza dei contemporanei al lavoro di

MaxwellL'accoglienza a queste teorie non fu della più entusiaste, tuttavia Maxwell aveva unificato in una mirabile sintesi i fenomeni dell'elettricità, del magnetismo e dell'ottica. Al di là dell'accoglienza dei contemporanei, è certamente vero che la sua teoria non aveva conferme sperimentali che, tuttavia, non tardarono venire ad opera di Hertz e Michelson.

Il campo elettrico indotto• Ogni volta che una carica elettrica accelera, essa è

sottoposta ad un campo elettrico. Quindi, anche nel caso di correnti indotte deve essere presente un campo elettrico.

• Il campo elettrico che causa una corrente indotta si chiama campo elettrico indotto ed è generato da un campo magnetico che varia nel tempo.

• Un campo magnetico variabile dà origine ad un campo elettrico indotto con le linee di campo chiuse su se stesse e poste in un piano perpendicolare al campo magnetico.

L’andamento del campo elettrico indotto

• Se aumenta, le linee del campo hanno tutte lo stesso verso, definito dalla legge di Lenz.

• Se, al contrario, diminuisce, le linee di hanno verso al precedente.

• Quindi un campo elettrico può essere generato da:– cariche elettriche– campi magnetici variabili

B

E

B

E

Quanto vale il campo elettrico indotto?

Per definizione di campo elettrico sappiamo che:

dove è la forza elettrica legata alla presenza del campo elettrico indotto che agisce sulla carica di prova q presente nell’anello conduttore in cui scorre la corrente indotta.

( )ieFEq

=

( )ieF

La f.e.m. e il lavoro

•Per definizione di forza elettromotrice f sappiamo anche che:

Lfq

=

dove L è il lavoro fatto dalle forze non elettrostatiche per trasportare la carica q.

Per calcolare L compiuto dalla forza elettrica indotta in un giro completo della spira che rappresenta il circuito dividiamo il circuito in n tratti abbastanza piccoli da poter essere descritti da spostamenti infinitesimi con 1≤k≤n.

Se è la forza, dovuta al campo elettrico indotto, che agisce su q nel tratto dell’anello, allora il lavoro elementare compiuto da tale forza è ed il lavoro totale è dato dalla somma di tutti i lavori elementari è

Il lavoro del campo elettrico indotto

( )

1 1

n nie

k k kk k

L L F l= =

= ∆ = ×∆∑ ∑

kl∆

( )iekF

( )iek k kL F l∆ = ×∆

kl∆

Possiamo, perciò, calcolare

Per la legge di Faraday-Neumann

e, quindi,

La circuitazione nel campo elettrico indotto

( )Bf

t

∆ Φ= −

∆

( )( )

( )1

1 1

nie

iek k n nk k

k k kk k

F lFLf l E l C E

q q q=

= =

×∆= = = ×∆ = ×∆ =

∑∑ ∑

( ) ( )BC E

t

∆ Φ= −

∆

Campo elettromagnetico e campo elettrostatico

Questa relazione non contrasta con quella che avevamo visto in precedenza relativamente alla circuitazione del campo elettrostatico. Infatti in assenza di campo magnetico o nel caso di campo magnetico costante la relazione continua ad essere valida.

( ) 0C E =

Il campo elettrico è conservativo ma il campo elettromagnetico NON è conservativo.

Ricapitolando…• Nel caso dell’elettrostatica ( ) o nel

caso di correnti continue ( costante) con circuiti fissi, la variazione del flusso del campo magnetico è nulla: in questo caso ed il campo elettrostatico è conservativo.

• Se è variabile o i circuiti sono in movimento ed il campo elettrico indotto non è conservativo.

0B =

B

( ) 0C E =

B

( ) 0C E ≠

È necessario modificare anche la legge di Ampère

• Maxwell capì che la legge deve essere modificata.

• Se calcoliamo nel caso di un condensatore in fase di carica dobbiamo considerare 3 casi diversi:– fuori dal condensatore– dentro al condensatore– sul bordo del condensatore

( )C B

( ) 0 cC B iµ=

fuori dal condensatore

Per la legge di Ampere le circuitazioni calcolate lungo i due cammini chiusi valgono μ0i , perché ad essi è concatenata una corrente i.

( )C B

i i

dentro al condensatore( )C B

Al cammino chiuso non è concatenata alcuna corrente elettrica, quindi, per la legge di Ampere la circuitazione di lungo il cammino vale 0.

B

i i

sul bordo del condensatoreQuanto vale la circuitazione lungo il cammino posto al bordo del condensatore? La risposta è ambigua se non si conosce la corrente i concatenata alla linea chiusa.

( )C B

i i

Quindi, applicando la legge di Ampère, la circuitazione di deve diventare improvvisamente uguale a zero all’interno del condensatore. Inoltre in corrispondenza del bordo del condensatore il valore della circuitazione di è indeterminato.

B

B

Nuova versione della formula di Ampère

Per evitare questo risultato, Maxwell corresse la legge di Ampère nella seguente:

( ) ( )0 0c

EC B i

tµ ε

∆ Φ ÷= + ÷∆

In questo modo nella variazione di non ci sono interruzioni ed, attraverso questa modifica, ne consegue anche che un campo elettrico variabile genera un campo magnetico.

( )C B

La corrente di spostamentoDefiniamo corrente di spostamento:

( )0s

Ei

tε

∆ Φ=

∆

Da cosa può essere generato un campo magnetico variabile?

Quindi un campo magnetico può essere generato da:

– correnti elettriche– campi elettrici variabili

Le equazioni di Maxwell nel vuoto

Caso statico Caso generale

( )0

QEε

Φ =

( ) 0C E =

( ) 0BΦ =

( ) 0 cC B iµ=

( )0

QEε

Φ =

( )( )

BC E

t

∆ Φ= −

∆

( ) 0BΦ =

( ) ( )0 0c

EC B i

tµ ε

∆ Φ ÷= + ÷∆

Considerazioni finali• Queste equazioni hanno il ruolo di assiomi della

teoria e mettono in relazione campo elettrico e campo magnetico. Quindi la teoria che si è sviluppata è quella dell’elettromagnetismo, visto che i due campi sono così strettamente correlati.

• Il campo elettrostatico ed il campo magnetico sono casi particolari del campo elettromagnetico e si ottengono, rispettivamente, se si hanno cariche ferme e correnti continue.