Campi armonici nel tempo funzioni delle sorgenti e · 2017. 11. 9. · M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI...

M. Usai 6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO 1

Campi armonici nel tempo

Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un

campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti e .

In ingegneria le funzioni delle sorgenti sinusoidali nel tempo

hanno una larga applicazione, infatti:

• tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate

in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali e

• le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse

come integrali di Fourier o trasformate di Fourier.

6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

(ultima modifica 09/11/2017)

J


Poichè le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali lineari,

le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti per una

data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di e con la

stessa frequenza in regime permanente.

Per i sistemi lineari con funzioni sorgenti variabili nel tempo con

andamento che soddisfi le condizioni di Dirichlet, i campi

elettrodinamici possono essere determinati in funzione di quelli

generati dalle componenti alle diverse frequenze delle funzioni

sorgenti.

Infatti per i sistemi lineari, è possibile applicare il principio di

sovrapposizione degli effetti , determinando in tal modo il campo

totale dovuto ai contributi di tutte le componenti.

E H


I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge

periodica sinusoidale.

Le grandezze che li caratterizzano sono convenientemente

espresse con la notazione fasoriale.

I vettori di campo che variano con le coordinate spaziali e variano

nel tempo con legge sinusoidale, possono essere rappresentati con

fasori vettoriali, che dipendono dalle coordinate spaziali, ma

non dal tempo. Per esempio un campo armonico nel tempo

riferito a una cosinusoide, può essere espresso come un vettore

rotante con pulsazione costante ω:

e quindi come un fasore , definito per ciascun punto P in

direzione, modulo e fase iniziale in funzione delle sole coordinate

spaziali (x,y,z).

E

( , , , ) ( , , ) j tE x y z t E x y z e

(x,y,z)E


Infatti una funzione sinusoidale E(t)=EM sin(t+)

o cosinusoidale E(t)=EMcos(t+), è completamente definita da

tre parametri (ampiezza EM, pulsazione , fase ).

Le operazioni con le grandezze sinusoidali possono semplificarsi

trasformando: l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme

di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.

Rappresentazione cosinusoidale

Rappresentazione complessa

j( t+ )M

U=U(j t)=U e

Mu(t)=U cos( t+ )


Rappresentazione cosinusoidale

Rappresentazione complessa

ricordando che si ha:

__________________________________________________________

( ) cos( )M

E t E t

)t(jeE)tj(E M

cos2

j je e

*

*

( ) cos( )2 2

Re con

2

j t j tj jj t j t

M M

M M

j t j t

j t j j

M M

E EE t E t E

E E

e e e ee e

E e E eEe E e e E e

Infatti se si ha:

IR

jIII __

____ __*

____ __*

2 2Re

2 2 Im

R I R I R

R I R I I

I I I jI I jI I I

I I I jI I jI jI j I


*

*

( ) cos( )2 2

Re con

2

j t j tj jj t j t

M M

M M

j t j t

j t j j

M M

E EE t E t E

E E

e e e ee e

E e E eEe E e e E e

tjeE __

tjeE

2

__

tjeE

2

__

E(t)=EMcos(t+)

E‘(t)=EMsen(t+)

(t+)


I fasori sono grandezze complesse per cui:

se il campo é rappresentato da un fasore ,

allora e

l’operatore derivata e l’operatore integrale di un fasore, si potranno rappresentare moltiplicando e dividendo rispettivamente il fasore per j :

E in generale

derivate e integrali temporali di ordine superiore n di

potranno essere rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo per potenze superiori di ordine n di j.

(x,y,z,t)E (x,y,z)E

(x,y,z,t)Et

t(x,y,z,t)dE

(x,y,z)E j j/(x,y,z)E

(x,y,z)E

(x,y,z)E


Le equazioni di Maxwell per Campi armonici nel tempo in termini di

fasori delle grandezze di campo e fasori delle grandezze

sorgenti in un mezzo lineare, isotropo e omogeneo:

Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale scalare V

e il potenziale vettore diventano rispettivamente:

esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee.

H,E J,

/D E

0 0B H

A

22

22

ρV k V essendo k il numero d'onda

ε

ωA k A μJ k ω με

u

EεjJDjJH

HμjBjE

t

DJH

tδ

B δE

EεD essendo


Infatti le equazioni delle onde armoniche nel tempo o equazioni di

Helmholtz non omogenee si ottengono dalle espressioni generali:

22

22

ρV k V essendo k il numero d'onda

ε

ωA k A μJ k ω με

u

22

22222

22

22

2

22

2

22

ωωμε ωjωcon

ε

ρVjω μεV

JμAjω μεA

ε

ρ

t

VμεV

Jμt

AμεA

ku


CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

La condizione di Lorentz per i potenziali dei campi armonici nel tempo diventa:

Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le

grandezze armoniche nel tempo si determinano dalle espressioni più generali del

potenziale scalare ritardato V e vettoriale ritardato dove;

la variabile temporale t è stata modificata nella variabile temporale t-R/u per

considerare il ritardo temporale R/u, legato a R, ossia alla posizione del punto P:

0

t

VμεA . 0 VjA

u k ω u

ωk

kRωtsin Ju

ωRωtsin J

u

Rt ωsinJ R/utJ

kRωtsin ρu

ωRωtsin ρ

u

Rt ωsin ρ R/utρ

:isinusoidal grandezze J corrente di densità la e ρ carica di densità la essendo

4

e 4

1

V'V'

dv'R

R/utJ

π

μ R,tAdv'

R

R/utρ

πε R,tV

A


CAMPI ARMONICI NEL TEMPO

Riassumendo :

le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le

grandezze armoniche nel tempo si ottengono dalle equazioni:

' 4

1 ,

'

dvR

ρe

πεtRV

V

jkR

dv' R

eJ

π

μ R,tA

V'

jkR

4

u k ω

u

ωk

kRωtsin J R/utJ

kRωtsin ρ R/utρ

4

e 4

1

V'V'

dv'R

R/utJ

π

μ R,tAdv'

R

R/utρ

πε R,tV

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12

Le espressioni del potenziale scalare ritardato e del potenziale vettoriale

ritardato dovute alle sorgenti armoniche ρ e

possono essere ulteriormente semplificate se . Infatti essendo lo

sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale uguale a:

dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d’onda

del mezzo: quindi se

o se , l’esponenziale può essere approssimato a 1.

' 4

1 ,

'

dvR

ρe

πεtRV

V

jkR

dv' R

eJ

π

μ R,tA

V'

jkR

4

...432

1443322

RkRk

jRk

jkRe jkR

f

u

22

u

f

uk ,12

RkR

jkRe

J

R

R


Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza

d’onda , le formule si riducono a quelle valide in condizioni quasi statiche:

Ciò verifica la validità e la generalità del metodo.

' 4

1 ,

'

dvR

ρ

πεtRV

V

dv' RJ

π

μ R,tA

V'

4


La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e

magnetici dovuti a correnti e distribuzioni di cariche armoniche é la

seguente:

1) determinazione di V(R,t) e in funzione di ρ e dalle

equazioni:

2) calcolo delle grandezze di campo fasoriali:

3) calcolo delle grandezze nel dominio del tempo (valori istantanei con

riferimento al coseno) :

Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle

integrazioni al punto 1).

tRA ,

' 4

1 ,

'

dvR

ρe

πεtRV

V

jkR

dv' R

eJ

π

μ R,tA

V'

jkR

4

ARB e AjωVRE

tjetje eRBtRBeREtRE , e ,

J


Campo armonico nello spazio privo di sorgenti

In un mezzo semplice non conduttore, privo di sorgenti:

Le equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti:

;0 e σ0J, 0ρ

HjωE

EjωH

E jω H

H J jω E

0H 0H

0B

0E 0ρ se ρEε ρD


Analogamente ai campi non armonici, queste equazioni possono

essere combinate per ottenere equazioni del secondo ordine alle

derivate parziali espresse in funzione della singola

Infatti per le proprietà dei vettori, per il campo si ottiene,

essendo:

HjωE

EjωH

0 E

0 H

2 2

2 2

2 2

2 22 2 2

se 0

( )

0

A A A A A A

E E j H E

j H E j j E E

j E E E E

E

H o E


Analogamente per il campo :

2 2

2 2

2 22 2 2

( )

0

H H j E H

j E H j j H H

j H H H H

HjωE

EjωH

0 E

0 H

2 2

se 0 A A A A A A

H


Le equazioni vettoriali omogenee ottenute sono

le equazioni di Helmholtz per i campi armonici:

essendo:

0

0

0

0

22

22

22

22

HkH

EkE

HH

EE

ωu

ωk 2

2

2


Si noti che se sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in

un mezzo semplice caratterizzato da e , allora anche

lo sono se:

(***)

dove é l’impedenza intrinseca del mezzo.

Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per

un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le

trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***).

Questa é una affermazione del principio di dualità.

Questo principio é una conseguenza della simmetria delle

equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti.

H,E 'H,'E

η

E-'H e Hη'E


Campo armonico in un mezzo conduttore

Se in un mezzo la densità di corrente é e il mezzo è dissipativo, la densità di corrente è legata al campo elettrico dalla relazione:

, dove σ è la conducibilità del mezzo.

La prima equazione di Maxwell considerata nella forma completa, comporta che la permettività ε sia complessa, infatti :

Le altre equazioni di Maxwell rimangono invariate.

J

c

c

"c

σH J jω E σ jω E jω ε E jωε E

jω

H jωε E

σ Fcon ε ε -j '

ω mj

EJ

E

E Dcon DjJH


Campo armonico in un mezzo conduttore

In realtà occorrerebbe tener conto anche della componente

sfasata della magnetizzazione sotto l’influenza di un campo

magnetico esterno tempo-variante, per cui alle alte frequenze:

Nei materiali ferromagnetici la parte reale è alcuni ordini di

grandezza più grande rispetto alla parte immaginaria e

quindi l’effetto della parte immaginaria è praticamente

trascurabile, → .

''' j

''

'

0''


Quindi nelle equazioni di Maxwell, il valore reale di k in un mezzo dielettrico con perdite, è un numero complesso:

Il rapporto é chiamata tangente di perdità perché é una

misura della perdita di potenza nel mezzo:

c può essere chiamato angolo di perdita.

Si può dimostrare che la tangente di perdita equivale a:

cc ε μωk

ε'

ε"

tan .c

ε" σδ

ε' ωε

campo di grandezza della cicloper / accumulata ticaelettrosta energial’

campo di grandezza della cicloper dissipata/ energial’ tan c


In base alla espressione di e alla I° equazione di Maxwell:

si può affermare che per i campi armonici:

• un mezzo è detto buon conduttore se >> e

• un mezzo è detto buon isolatore se >> .

Quindi, essendo =2f , un materiale può essere

• un buon conduttore alle basse frequenze, ma

• può avere le proprietà di un dielettrico con perdite, alle alte frequenze.

c

σ ε ε -j

ω

EjE c

jE ε jEεjEεjJDjJH

:armonici campi iper t

DJH


Inoltre essendo:

Su tutti i punti di un campione di materiale caratterizzato da una conducibilità σ e una permettività εc, un campo induce:

• sia un vettore spostamento che comporta → una energia elettrostatica accumulata

• sia una densità di corrente che comporta → una dissipazione di potenza per effetto joule

E

J

D

EσJ EεD c

E


Quindi essendo:

• se ωε >> σ un campo elettrico E induce nel materiale un vettore spostamento D prevalente rispetto alla densità di corrente J, per cui prevale il comportamento della materia come isolante che consente un accumulo di energia elettrostatica.

• se ωε


Per esempio considerando che la tangente di perdita per la terra umida che è caratterizzata da una costante dielettrica εr =10 e una conduttività σ che sono circa uguale 10-2 [S/m].

La tangente di perdita della terra umida sarà:

isolatoreun diventa1GHzfcon segnali iper 10 1.8

conduttorebuon un è 1kHzfcon segnali iper 10 1.8tan

101085682

10tan

3

4

12

2

0

c

-

r

c

δ

.π fεωε

σ

ωε

σ

ε'

ε''δ


Spettro elettromagnetico

Si possono evidenziare due punti fondamentali:

• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sono valide per onde di frequenza qualsiasi .

Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettro elettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno da frequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1018 Hz).

• In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di un qualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocità, → u è un operatore scalare e dipende solo dalla natura del mezzo:

• In un mezzo con perdite, u dipende anche dalla frequenza e anche dalla conducibilità del mezzo σ → u è un operatore complesso:

1

u

ω

σjεε e ''jμ'μessendo

/1u


Rays

X rays

Ultraviolet

Visible light

Infrared

mm wave

EHF Extremely high frequency

SHF Super high frequency

UHF Ultra high frequency

VHF Very high frequency

HF High frequency

MF Medium frequency

LF Low frequency

VLF Very low frequency

ULF Ultra low frequency

SLF Super Low frequency

ELF Extremely low frequency


VL

rays

X rays

Ultraviolet

Visible light

Infrared

Mm wave

EHF Extremely high frequency

SHF Super high frequency

UHF Ultra high frequency

VHF Very high frequency

HF High frequency

MF Medium frequency

LF Low frequency

VLF Very low frequency

ULF Ultra low frequency

SLF Super Low frequency

ELF Extremely low frequency

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