...

il metodo delle celle

prof. Enzo Tonti

...

Da tre secoli a questa parte le equazioni fondamentali di tutti i campi della fisica sono state scritte

in forma differenziale.

Laplace per l’elettrostatica, la gravità, …

Poisson per l’elettrostatica, la conduzione, …

d’Alembert per le onde di qualsiasi natura

Fourier per la conduzione termica

Navier per i solidi elastici

Eulero per i fluidi perfetti

Fick per la diffusione

Navier-Stokes per la dinamica dei fluidi viscosi

Maxwell per il campo elettromagnetico

Airy per l’elasticità piana

Helmholtz per le onde

...

La stessa cosa vale per la meccanica del mondo atomico, chiamata meccanica quantistica

Schroedinger particelle senza spin Klein-Gordon particelle senza spin in regime relativisticoProca particelle a spin intero in regime relativisticoDirac particelle a spin semi-intero in regime relativisticoEinstein gravitazione relativistica Boltzmann meccanica statistica

ecc..

…. sempre e solo equazioni differenziali !

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un campionario di equazioni di campo don’t worry! Be happy!

0 ( )div B Gauss magnetico=r

( )div D Gauss elettricoρ=r

trot H D J Ampère−∂ =r r r

0trot E B Faraday+∂ =r r

elettromagnetismo

2tc u u Fourierλ σ∂ − ∇ =conduzione termica, diffusione, filtrazione

2u Poissonε ρ− ∇ =

2 0u Laplace−∇ =campi vari (elettrostatica, fluidi perfetti inmoto stazionario, torsione, ecc.)

2( ) ( ) 0u u f Navierλ μ μ+ ∇ ∇⋅ + ∇ + =rr r

elasticità

22

2 2

1'

uu d Alembert

v tσ∂

−∇ =∂

2 2 0u k u Helmholtz∇ + =onde (acustiche, elettromagnetiche)

2Dvp f v Navier Stokes

Dtρ μ=−∇ + + ∇ −

r r rfluidodinamica

...

Sennonché la loro risoluzione, al di fuori di pochi casi semplicissimi, è possibile solo in termini numerici e questo richiede una preliminare riduzione delle equazioni differenziali ad equazioni algebriche, processo noto col nome di discretizzazione.

Da qualche anno è stato dimostratoche è possibile invertire questo processo

esprimendo le leggi fisiche direttamente in forma algebricaper poi arrivare

qualora sia richiestoalla formulazione differenziale.

...

Questo nuovo modo di procedere è in accordo sia con le misure fisiche, che sono per loro natura discrete, che con il calcolatore digitale che opera solo nel discreto.

Si tratta di far emergere una filosofia che parta dal discreto, che operi nel discreto

e che fornisca la soluzione in forma discreta,

sostituendo all’ ε piccolo a piacere una tolleranza prefissata.

questo seminario

...

BEMFDM

dal discreto al differenziale … per tornare al discreto !

campofisico

soluzioneapprossimata

equazionialgebriche

FVMFEM

equazionidifferenziali

...

Per descriverlo diamo uno sguardo ad alcuni tipi di problemi

che si incontrano nell’ingegneria.

è questo il Cell Method (CM).

Questo metodo è anche chiamato Questo metodo è anche chiamato

Discrete Geometrical Approach (DGA)e anche e anche

Direct Discrete Method (DDM)

...

la conduzione termica,

la meccanica dei solidi deformabili,

la meccanica dei fluidi,

l’elettromagnetismo

Con questo intento diamo uno sguardo a quattro teorie fisiche.

Il problema fondamentale di un campo fisico

è quello di determinare la configurazione del campo

una volta assegnate le sorgenti del campo.

SorgenteSorgente(causa)(causa)

!!

ConfigurazioneConfigurazione(effetto)(effetto)

??

...

1) conduzione termica

Il calore generato dalle sorgenti termiche si propaga da una regione all’altra

a causa dalle differenze di temperatura.

Una volta assegnate le sorgenti di calore, la loro posizione e la loro intensità,

il problema fondamentale della conduzione termica è quello di determinare

la temperatura in ogni punto della regione che stiamo studiando.

Dal momento che il calore va dalle regioni a temperatura più alta a quelle di

temperatura più bassa, deve esistere una legge che descriva come

il calore si propaga. Una di queste leggi è costituita dal bilancio di energia.

Un’altra legge afferma che la quantità di calore che transita attraverso

un elemento di superficie dipenderà dalla differenza di temperatura fra

i due punti che stanno a cavallo della superficie.

Il legame sarà espresso da una equazione costitutiva,

la legge elementare di Fourier.

( , , , ) ?T t x y z =temperatura

equazione costitutiva

equazione di bilancio

...

2) meccanica dei solidi deformabili

Consideriamo la deformazione elastica di un corpo solido.

Le forze agenti su un corpo generano la deformazione.

La deformazione si propaga da una regione all’altra del corpo determinando

lo spostamento dei punti del corpo.

Una volta assegnate le forze, la loro posizione, la direzione e l’intensità,

il problema fondamentale della teoria dell’elasticità è quello di determinare lo

spostamento di ogni punto del corpo, a partire da una configurazione indeformata.

Dal momento che la deformazione si trasmette da punto a punto,

devono esistere delle leggi che regolano il modo con il quale essa si propaga.

( , , , ) ?u t x y z =r

spostamento

Un’altra legge descrive il comportamento elastico del materiale: questa è l’equazione costitutiva di Hooke.

Una di queste leggi impone l’equilibrio, se la deformazione è statica, o il bilancio della quantità di moto se la deformazione è dinamica.

equazione di bilancioequazione di bilancio

equazione costitutiva

...

3) meccanica dei fluidi

Consideriamo il moto di un fluido, liquido o gas.

Il moto è generato dalle differenze di pressione da una regione ad un’altra

del fluido. A sua volta la pressione varia da un punto all’altro in conseguenza

del moto del fluido. Se il fluido è un gas anche le differenze di temperatura

contribuiscono al moto del fluido.

Il problema fondamentale della dinamica dei fluidi è quello di determinare

la velocità, la pressione e la temperatura in ogni punto del fluido ad ogni istante:

( , , , ) ? ( , , , ) ? ( , , , ) ?v t x y z p t x y z T t x y z= = =r

Dal momento che il fluido si muove sotto l’azione delle differenze di

pressione e di temperatura devono esistere delle leggi che regolano

il moto. Una di queste leggi richiede la conservazione della massa,

un’altra richiede la conservazione dell’energia,

una terza richiede il bilancio della quantità di moto.

Naturalmente vi sono anche qui delle equazioni costitutive.

equazioni di bilancio

equazioni costitutive

...

4) elettromagnetismo

Consideriamo il campo elettromagnetico generato da cariche elettriche

in quiete ed in moto. La descrizione del campo è fatta da due grandezze:

il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico A.

Il problema fondamentale dell’elettromagnetismo è il seguente:

assegnata la distribuzione spaziale e temporale delle cariche e delle correnti,

determinare il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico

in ogni punto del campo ad ogni istante:

( , , , ) ? ( , , , ) ?t x y z A t x y zφ = =r

due equazioni di bilancio (teoremi di Gauss elettrico e magnetico)

due equazioni circuitali (di Faraday e di Ampère) che sono anch’esse

di bilancio nello spazio-tempo

e sono note come equazioni di Maxwell.

una equazione che esprime la conservazione della carica elettrica.

vi sono tre equazioni costitutive.

equazioni di bilancio

equazioni costitutive

Quali sono le equazioni del campo?

...

le funzioni da determinare

Abbiamo detto che in ciascun campo l’obiettivo è di determinare delle

funzioni, scalari o vettoriali ad ogni istante e in ogni punto.

( , , , ) ?v t x y z =r

( , , , ) ?u t x y z =r

( , , , ) ?T t x y z =

( , , , ) ?p t x y z =

Poniamoci la domanda:

e’ facile risolvere

le equazioni differenziali alle derivate parziali

che si incontranonei problemi dell’ingegneria ?

( , , , ) ?A t x y z =r

( , , , ) ?t x y zφ = ?

temperatura

spostamento

velocità

pressione

potenziale elettrico

potenziale vettore magnetico

per ragioni puramente storiche

queste leggi sono espresse da

equazioni differenziali alle derivate parziali.

...

non è affatto facile ! Occorre utilizzare tecniche numeriche

che obbligano all’uso del calcolatore.

Questo richiede di trasformare le equazioni differenziali

in un sistema di equazioni algebriche

mediante uno dei tanti metodi di discretizzazione.

La risposta è:

a1,1x1a1,2x2 ...a1,nxnb1

a2,1x1a2,2x2 ...a2,nxnb2

...

an,1x1an,2x2 ...an,nxnbn

...

a1,1T1a1,2T2 ...a1,nTnb1

a2,1T1a2,2T2 ...a2,nTnb2

...

an,1T1an,2T2 ...an,nTnbn

€

−ε∂2T (x, y, z)

∂x2 +∂ 2T (x, y, z)

∂y2 +∂ 2T (x, y, z)

∂z2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭= ρ (x, y, z)

l’equazione differenziale viene approssimata l’equazione differenziale viene approssimata con un sistema di equazioni algebriche lineari.con un sistema di equazioni algebriche lineari.

che è facilmente risolubile da un calcolatore digitale,che è facilmente risolubile da un calcolatore digitale,anche se le grandezze incognite sono migliaia anche se le grandezze incognite sono migliaia o decine di migliaia!o decine di migliaia!

è sostituita da un sistema del tipoè sostituita da un sistema del tipo

Ad esempio l’equazione di PoissonAd esempio l’equazione di Poisson

...

È possibile

una formulazione algebrica DIRETTA

dei campi fisici ?

?

La varietà dei metodi di discretizzazione

fa nascere la seguente domanda:

...

è facile !

è possibile !

è intuitiva !

è pronta per la risoluzione numerica !

Vogliamo dimostrare che una formulazione algebricaDIRETTA delle leggi di campo

...

una equazione

costitutiva

una equazione di

bilancio

per fare questo occorrono due cose:

equazione costitutiva

equazione di bilancio

...

Il bilancioIl bilancioIl bilancioIl bilancio

cos’è un bilancio?

...

NNdopodopo = N = Nprimaprima - N - Nusciteuscite

NNprima prima = 6= 6

NNdopodopo = N = Nprimaprima + N + Nentrateentrate

NNdopo dopo = 6= 6NNprima prima = 5= 5 NNentrate entrate = 1= 1

NNuscite uscite = 2= 2NNdopo dopo = 4= 4

Bilancio,Bilancio, bilancia, bilancia,bilanciare, uguagliare, bilanciare, uguagliare,

rendere uguale.rendere uguale.

€

ΔU =Q+WPrimo principio Primo principio

della termodinamicadella termodinamica

€

∂ρ∂t

+ div j= 0

Equazione di continuitàEquazione di continuitàIn forma differenzialeIn forma differenziale

(N(Ndopodopo - N - Nprimaprima) = N) = Nentrateentrate

(N(Ndopodopo - N - Nprimaprima) + N) + Nuscite uscite = 0= 0

Una Una equazione di bilancioequazione di bilancio afferma che afferma che una quantità prodotta entro un volume una quantità prodotta entro un volume in un dato intervallo di tempo,in un dato intervallo di tempo,è uguale alla quantità accumulata è uguale alla quantità accumulata più la quantità uscente più la quantità uscente nello stesso intervallo di tempo. nello stesso intervallo di tempo.

Se la quantità non viene prodotta Se la quantità non viene prodotta La grandezza viene conservata.La grandezza viene conservata.In questo caso l’equazione di bilancio In questo caso l’equazione di bilancio si chiamasi chiama

equazione di conservazioneequazione di conservazioneo ancheo anche equazione di continuità equazione di continuità. .

Consideriamo una fabbrica di bottiglie. Dalla fornace escono bottiglie (produzione):una parte di queste viene immagazzinata (accumulo) ed una parte viene mandata fuori (flusso).

cos’è un bilancio?

...

Un bilancio è una relazione che riguarda quelle grandezze per le quali abbia senso parlare di

produzionedi accumulo

e di flusso. Tali grandezze sono: il numero di particelle o di oggetti,la massa, la carica elettrica, la quantità di moto, il momento della quantità di moto, l’energia, l’entropia

...

Un bilancio vale nel finito prima che nell’infinitesimo

Per l’equilibrio di un corpo occorre che la somma delle forze di volume

(solitamente i pesi) e di quelle di superficie sia nulla.

Orbene un bilancio vale per qualunque porzione di corpo al quale è applicato• per qualunque regione del campo, qualunque sia la forma della regione• qualunque sia la sua dimensione • qualunque sia l’intervallo di tempo• qualunque sia il materiale che riempie la regione.• In particolare non c’è bisogno di ridursi ad un volumetto infinitesimo.

Così una nave sta in equilibrio perché il suo peso è equilibrato dalla spinta dell’acqua sulla carena.

Un pezzo di materiale nell’interno di un corposta in equilibrio perché le forze di volumesono equilibrate dalle forze interne di superficie.

...

Un bilancio vale nel finito prima che nell’infinitesimo !

E allora per quale ragione lo applichiamo ad un volumetto infinitesimo

di dimensioni dx,dy,dz così da ottenere una equazione differenziale?

xx yy

zz

dydy

dzdz

dxdx

zz

xxyy

formulazione formulazione discreta= formulazione algebrica = formulazione algebrica

= formulazione finita= formulazione finitaformulazione formulazione differenziale

sistema di equazioni sistema di equazioni algebricheequazione differenziale equazione differenziale

alle alle derivate parziali ...

...

Apologia del “bilancio”

Le equazioni fondamentali dei fenomeni fisici nascono da un bilancio:

nella statica dei solidi deformabili è essenziale l’equilibrio

che si esprime facendo il bilancio delle forze

nella fluidodinamica sono essenziali il bilancio della massa

ed il bilancio della quantità di moto

nella conduzione termica è essenziale il bilancio dell’energia

nella chimica le reazioni chimiche esprimono il bilancio della massa

nella teoria delle reti elettriche è essenziale il bilancio delle corrente

nell’elettromagnetismo si fa il bilancio della carica

nella termodinamica si scrive il bilancio dell’entropia

ecc.

QQaccumulata accumulata + Q+ Quscenteuscente = Q = Qprodottaprodotta

QQaccumulata accumulata + Q+ Quscenteuscente = 0 = 0

Equazione di Equazione di bilanciobilancio

caso particolare: equazione di caso particolare: equazione di conservazioneconservazione (o di (o di continuitàcontinuità))

quantità di moto, quantità di moto, momento della quantità di moto, momento della quantità di moto,

entropia, entropia, massa (di una componente in una reazione chimica)massa (di una componente in una reazione chimica)

carica elettrica, carica elettrica, massa (totale), massa (totale),

numero di particelle, numero di particelle, energia.energia.

...

equazioni costitutive

...

legge della trasmissione del calore

Questa è la legge elementare del calore di Fourier.Questa è la legge elementare del calore di Fourier.

TTA A TTBB

il calore va dal caldo al freddoil calore va dal caldo al freddo

...

Consideriamo una superficie piana di area Consideriamo una superficie piana di area AA (superficie puramente geometrica quindi non fatta di un qualche materiale).(superficie puramente geometrica quindi non fatta di un qualche materiale).Consideriamo una retta orientata ortogonale alla superficie;Consideriamo una retta orientata ortogonale alla superficie;su di essa due punti A e B a cavallo della superficie e sia su di essa due punti A e B a cavallo della superficie e sia dd la loro distanza. la loro distanza.Indichiamo con Indichiamo con TTAA e e TTBB le temperature nei due punti. le temperature nei due punti.

Sia Sia la quantità di calore che attraversa la superficie nell’unità di tempo. la quantità di calore che attraversa la superficie nell’unità di tempo.L’esperienza dice che, in una regione in cui il flusso di calore èL’esperienza dice che, in una regione in cui il flusso di calore è uniformeuniforme,,il calore il calore che attraversa la superficie è proporzionale al salto di temperatura, che attraversa la superficie è proporzionale al salto di temperatura, ( T( TAA - T - TBB ) )

inversamente proporzionale alla distanza inversamente proporzionale alla distanza dd tra i due punti, tra i due punti, proporzionale all’area della superficie.proporzionale all’area della superficie.

area:area: AAtemperatura:temperatura: TTAA

distanza:distanza: dd

temperatura:temperatura: TTBB

corrente di calore:

corrente di calore: AA

BB

λATA TB

d

legge della trasmissione del calore

legge elementare del calore di Fourierlegge elementare del calore di Fourier

...

λ dipende dal materialedipende dal materialeentro il quale si propaga il caloreentro il quale si propaga il calore

questa è una equazione questa è una equazione costitutivacostitutiva

per il seguito è meglio scriverla nella formaper il seguito è meglio scriverla nella forma

AA

BB

è la corrente di calore (in watt)è la corrente di calore (in watt)

λATB TA

d

λATA TB

d

altre leggi costitutive (risentono del materiale)

...

fluido in mezzo porosofluido in mezzo poroso(legge di Darcy)(legge di Darcy)

JJmm = = -- grad p grad p kk

μμk

μA

pB pA

d

viscositàviscosità(legge di Newton)(legge di Newton) == μ μ T μA

vB vA

d

elettrostaticaelettrostatica(legge senza nome)(legge senza nome) QQ = C V= C V QQ = = εε A A ΔΔ

ddεAB A

d

diffusionediffusione(legge di Fick)(legge di Fick) DA

cB cA

dJmD grad c

elasticitàelasticità(legge di Hooke)(legge di Hooke)

σσ = E= E εε N = E A N = E A ΔΔLLLL N EA

uB uA

d

conduzione elettricaconduzione elettrica(legge di Ohm)(legge di Ohm)

V = R IV = R II σAB A

dJσ E

€

funzioni con andamento lineare = funzioni affinifunzioni con andamento lineare = funzioni affini

uax lineare

uu

xx

uu

u pax affinexx

T(x,y,z) paxbycz

T(x,y,z)cost paxbyczqpiani equidistantipiani equidistanti

isotermeisoterme

xx yy

zz

...

T paxby affine

rette equidistantirette equidistanti

T(x,y) paxbyqisotermeisoterme

xx

yy

cost

l’equazione fondamentale di ogni teoria

...

L’equazione fondamentale di ogni teoria della fisica, qualiL’equazione fondamentale di ogni teoria della fisica, quali

si ottiene componendo unasi ottiene componendo unaequazione di bilancioequazione di bilanciocon una equazione con una equazione costitutivacostitutiva..

equazione fondamentale

equazione costitutiva ==

l’elettromagnetismo (fisica, elettrotecnica, antenne, ecc)

++equazione di bilancio

la conduzione termica (fisica tecnica)

la meccanica dei solidi

deformabili (scienza e tecnica delle costruzioni, macchine)

la meccanica dei fluidi (idraulica, fluidodinamica)

l’equazione fondamentale di ogni teoria

...

poiché le equazioni di bilancio nascono in forma poiché le equazioni di bilancio nascono in forma discretadiscretae le equazioni costitutive nascono in forma e le equazioni costitutive nascono in forma discretadiscreta

ne viene che anche l’equazione fondamentale è in forma ne viene che anche l’equazione fondamentale è in forma discretadiscreta

in questo modo abbiamo ottenuto l’equazione fondamentale in questo modo abbiamo ottenuto l’equazione fondamentale di ognuna delle teorie considerate in forma discreta e la lorodi ognuna delle teorie considerate in forma discreta e la lorosoluzione si può ottenere per via soluzione si può ottenere per via algebricaalgebrica..

Non abbiamo dovuto Non abbiamo dovuto discretizzare le equazioni differenziali !discretizzare le equazioni differenziali !

questo seminario

...

Evitiamo quindi un passaggio inutile !

equazionidifferenziali

campofisico

soluzioneapprossimata

equazionialgebriche

tonti@units.ite-mail:

indirizzi

www.discretephysics.dicar.units.it

Pubblicazioni relative

alla formulazione algebrica

e al metodo delle celle

si possono scaricare dal sito:

Prof. Enzo Tonti, Dipartimento di Ingegneria Civile

dell’Università di Trieste, Piazzale Europa 1, 34127 Trieste

Tel: 040 558 3846

ftp://ftp.dicar.units.it/Pub/Studenti/TONTI/Science/

Dispense relative alle celle si possono scaricare via “ftp” dal sito

la formulazione algebrica si applica a:

regioni di forma qualsiasi, con buchi, punte, fessure, incavi, ecc.

• regioni contenenti materiali diversi

• materiali anisotropi

• materiali nonlineari

• materiali sinterizzati

• tratta con naturalezza sorgenti concentrate

• non presenta infiniti

• consente ordini di convergenza di ordine superiore al secondo

• si applica con semplicità alla frattura

...

caratteristiche della formulazione algebrica