ConsigliMeccanicaRazionale Enzo Tonti [Units]

Consigli di Meccanica Razionale

Enzo Tonti

3 dicembre 2009

Indice

1 INTRODUZIONE 71.1 Alcune semplici verita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Forma tipica di un problema di meccanica . . . . . . . . . 81.1.2 Le principali leggi della meccanica . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Configurazione di un sistema meccanico . . . . . . . . . . 101.2.2 Coordinate libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Spostamenti reali e virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 Come scegliere gli assi cartesiani . . . . . . . . . . . . . 151.2.6 Come scegliere gli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Classificazione dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Osservazioni sui vincoli fissi . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Classificazione delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 STATICA 272.1 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Come si calcola il lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Statica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Punto materiale libero nel piano . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Punto materiale vincolato ad una linea liscia . . . . . . . . 31

2.4 Statica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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4 INDICE

2.4.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Corpo rigido con 1 grado di liberta (nel piano) . . . . . . 342.4.3 Corpo rigido con 2 gradi di liberta (nel piano) . . . . . . . 342.4.4 Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio . . . . . . . . 352.4.5 Corpo rigido con asse fisso (nello spazio) . . . . . . . . . 36

2.5 Statica dei sistemi articolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.2 Arco a tre cerniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.3 Reazioni interne nelle cerniere . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.4 Azioni interne nelle aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.5 Diagramma delle azioni interne . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6 Statica dei fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.1 Sollecitazione continua dei fili . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.2 Osservazione sui fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.3 Statica dei fili appoggiati su superficie liscia . . . . . . . . 48

2.7 Determinazione del baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8 Calcolo dei momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 CINEMATICA 573.0.1 Il tempo: istanti ed intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . 573.0.2 Moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.0.3 Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1 Cinematica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.1 Velocita e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.2 Sistema di coordinate e base fisica . . . . . . . . . . . . . 603.1.3 Componenti della velocita e della accelerazione . . . . . . 623.1.4 Come orientare la normale ad una curva piana . . . . . . . 633.1.5 Alcune grandezze in coordinate polari . . . . . . . . . . . 633.1.6 Moto centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Cinematica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.1 Atto di moto rototraslatorio . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.2 Centro di istantanea rotazione . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Vincoli anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Dinamica 714.0.1 Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . . . . 714.0.2 Calcolo del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 724.0.3 Teorema dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.0.4 Integrale dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.0.5 Osservazioni sul teorema e sull’integrale dell’energia . . . 76

INDICE 5

4.0.6 Calcolo dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . 764.0.7 Relazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . 784.0.8 Principio di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.0.9 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.0.10 Punto materiale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.0.11 Particella vincolata a una linea fissa e liscia . . . . . . . . 824.0.12 Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia . . 83

4.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.2 Rotolamento nel moto piano . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.3 L’uso del centro di istantanea rotazione in dinamica . . . . 864.1.4 Corpo rigido con un punto fisso . . . . . . . . . . . . . . 874.1.5 Corpo rigido libero nello spazio . . . . . . . . . . . . . . 894.1.6 Angoli nautici e angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Dinamica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.1 Consigli introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.2 Osservazione sulla velocita angolare nei problemi piani . . 914.2.3 Osservazione sugli esseri animati e sui motori . . . . . . . 924.2.4 Osservazioni sui fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.5 Conservazione delle quantita meccaniche . . . . . . . . . 934.2.6 Calcolo delle Qk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.1 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.2 Fattore di amplificazione dinamica . . . . . . . . . . . . . 984.3.3 Modi normali di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.4 Sistemi con massa variabile . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.5 Dinamica impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4 Meccanica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4.1 Statica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.2 Dinamica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4.3 Dinamica relativa della particella . . . . . . . . . . . . . 1064.4.4 Dinamica relativa del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . 1064.4.5 Dinamica relativa dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5 Unita di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.6 Come limitare gli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.7 Equazioni differenziali di uso frequente . . . . . . . . . . . . . . 1114.8 Equazione differenziale lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.9 Terna intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.10 funzioni circolari e iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 INDICE

5 Esercizi risolti e commentati 1175.1 Consigli per risolvere gli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.1 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.2.2 Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2.3 Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.2.4 Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.2.5 Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.2.6 Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.2.7 commiato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A Programmi in Matlab 149A.1 AAA01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149A.2 AAA02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150A.3 AAA03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.4 AAA04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152A.5 AAA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154A.6 AAA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

B RIMASUGLI 159B.0.1 Punto materiale vincolato ad una superficie liscia . . . . . 159B.0.2 Punto materiale vincolato ad una superficie scabra . . . . 160

C Sistemi di forze 163C.1 Forze su corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

C.1.1 Sistemi equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163C.1.2 Riduzione di un sistema di forze . . . . . . . . . . . . . . 163C.1.3 Come varia il momento al variare del polo. . . . . . . . . 165C.1.4 Proprieta del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165C.1.5 Ricerca di un polo privilegiato . . . . . . . . . . . . . . . 166C.1.6 Casi particolari: forze piane . . . . . . . . . . . . . . . . 168C.1.7 Casi particolari: forze parallele . . . . . . . . . . . . . . . 169

D Le diverse meccaniche 171D.1 Le diverse meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

E Dizionario 173E.1 bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Capitolo 1

INTRODUZIONE

1.1 Alcune semplici verita

Facendo gli esercizi si capisce la teoria, si mette in evidenza cio che si credeva diaver capito, si fissano le nozioni, si impara come utilizzarle.

Un proverbio dice che tra il dire ed il fare c’e di mezzo il mare. Questoproverbio si tocca con mano facendo gli esercizi. Le nozioni apprese a lezione oda un libro sembrano chiare ma al momento di metterle in pratica sono ... appellio sessioni d’esame che passano!

Da qui discende che teoria e problemi non devono essere separati nello studiodi una materia, e tanto meno i problemi devono essere affrontati senza aver primastudiato la corrispondente teoria. Qualunque procedimento diverso si risolve inuna devastante perdita di tempo, spreco di fatica e, fatto non trascurabile, portaall’oblio di tutto: formule, procedimenti e concetti, nel giro di poche settimane.

Lo studio ideale consiste delle seguenti fasi: posizione di alcuni problemi,studio della teoria corrispondente ed infine risoluzione dei problemi mediante lateoria appresa.

Uno dei peccati capitali dell’insegnamento sta nello spiegare una teoria senzaaver prima dato alcuni esempi di problemi che potranno essere risolti. E’ benepartire facendo un elenco di esempi, facendosi molte domande, creando la ne-cessita di una teoria. Quello di iniziare una esposizione con la classica parolaConsideriamo ... e altamente sconsigliabile. E’ bene dare una panoramica delleproblematiche, esaminare una serie di esempi, stuzzicare la curiosita dell’allievomostrandogli dove si vuole arrivare, quello che si sara in grado di fare a fine corso,mostrando immagini o fotografie o oggetti sui quali ci si pongono domande.

7

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.1.1 Forma tipica di un problema di meccanica

Gli ingredienti della meccanica sono essenzialmente tre:

1. un sistema meccanico1.2. le forze che agiscono sul sistema cercando di metterlo in moto.3. i vincoli a cui e sottoposto il sistema che ne ostacolano il movimento.

Se il sistema meccanico permane nella stessa configurazione il problema edi statica. Se il sistema evolve da una configurazione ad un’altra, cioe e inmovimento, il problema e di dinamica.

Le domande tipiche che si pongono in un problema di meccanica sono:

• determinare la configurazione di equilibrio del sistema;• determinare le reazioni vincolari nella posizione di equilibrio;• determinare le azioni interne nella configurazione di equilibrio;• determinare il moto del sistema;• determinare le reazioni vincolari durante il moto;• determinare una forza che mantenga il sistema in una configurazione di

equilibrio prefissata;• determinare una forza che mantenga il sistema in un moto prefissato;• determinare il periodo delle piccole oscilazioni di un sistema ad un grado

di liberta;• determinare le frequenze naturali di un sistema oscillante a piu gradi di

liberta;• determinare il tempo che il sistema impiega a raggiunge una data configu-

razione;• determinare il punto in cui un corpo in moto si distacca dal vincolo.

I problemi della meccanica razionale, come quelli di tutta la fisica e dellascienza in genere, sono semplificazioni di problemi reali. Noi ci facciamo unmodello del fenomeno o del problema e a questo modello applichiamo le leggidella meccanica per studiarne il comportamento. Il modello e una semplificazionedel problema reale. E qui vale il principio:

Per comprendere occorre semplificare;ogni semplificazione ci allontana dalla realta.

1 ♣ SONO STATO FEDELE? Ogni volta che useremo un termine non ancora presentato loporremo fra virgolette: nel seguito esso sara esplicitamente definito.

1.1. ALCUNE SEMPLICI VERITA 9

Sarebbe pero ridicolo ritenere inutile, ad esempio, la meccanica dei corpi rigi-di per il solo fatto che nessun corpo in natura e rigido. La schematizzazione diun corpo come rigido costituisce una prima fase nello studio di un problema distatica o di dinamica. Successivamente si potra tener conto della sua deformabi-lita. Altrimenti il problema sarebbe di difficile soluzione. Anche nelle materiepiu pratiche, piu aderenti alla realta, come nella Scienza delle Costruzioni, nellaMeccanica Applicata, lo stadio di corpo rigido costituisce la prima fase di ognistudio successivo.

1.1.2 Le principali leggi della meccanica

Per poter studiare la quiete o il moto di un sistema meccanico, note che siano leforze che agiscono su di esso ed i vincoli a cui e sottoposto, occorrono delle leggiche mettano in relazione le forze, che sono causa del moto, con le grandezze chedeterminano la configurazione del sistema.

Attraverso esperienze secolari si sono progressivamente scoperte le leggi delmovimento. Di ciascuna di queste leggi sono stati indagati i limiti di validita, sie costruito un tessuto razionale fra di esse in modo che esse siano deducibili dapochi principi indotti dalle esperienze: l’esposizione organica di queste leggi edelle loro conseguenze costituisce la meccanica razionale2.

statica:

le equazioni cardinali della staticail principio dei lavori virtualiil teorema del minimo dell’energia potenziale

dinamica:

le equazioni cardinali della dinamical’equazione simbolica della dinamicail teorema dell’energiale equazioni di Lagrangele equazioni canoniche di Hamiltonl’equazione di Hamilton-Jacobi.

Degli ultimi due metodi non parleremo in questa dispensa in quanto sonosolitamente al di fuori di un corso di Meccanica Razionale.

Alla base di queste relazioni stanno i tre principi fondamentali dovuti a New-

2 Un giorno lo scrivente ha avuto un incontro con Abdus Salam, premio Nobel per la fisica.Quando questi gli ha chiesto di cosa fosse docente la risposta e stata: docente di Meccanica ra-zionale. A questo punto il premio Nobel ha fatto una interminabile risata in quanto l’appellativorazionale gli aveva scatenato l’ilarita. Salam, formatosi a Cambridge, non aveva mai sentito un taleappellativo. Purtroppo solo piu tardi lo scrivente ha saputo che il termine razionale e stato introdottoda Newton che viveva a Cambridge @ qualche secolo prima[27, prefazione]. ♣


ton:

primo principio legge di inerziasecondo principio legge di moto di una particella ~F = m~a

terzo principio principio di azione e reazione

1.1.3 Particella

D: si chiama particella qualunque corpo le cui dimensionisiano trascurabili rispetto alle dimensioni in gioco. 3

Per quanto possa sembrare strano un aereo con 300 passeggeri a bordo puo, inun certo contesto, essere considerato come una particella. Basta chiederlo ad unradarista: a lui e sufficiente la posizione del puntino luminoso che si rivela sulloschermo radar. Anche la Terra, che ha un raggio di circa 6000 km, puo essereconsiderata come una particella nella determinazione dell’orbita: questo avvienenello studio dei moti centrali. Quindi non e detto che la particella o particella deb-bano avere estensione nulla. E’ sufficiente che le sue dimensioni siano trascurabilinel contesto che si considera.

1.2 Sistema meccanico

D: si chiama sistema meccanico un sistema fisico del qua-le ci interessa solo lo studio del moto, in particolare la sua confi-gurazione in condizioni di quiete. Un sistema fisico viene chiamatosistema termodinamico o chimico o elettrico a seconda che di esso ciinteressino gli aspetti termodinamici o chimici o elettrici.

1.2.1 Configurazione di un sistema meccanico

Determinare il moto del sistema meccanico o il suo stato di equilibrio, significaconoscere la posizione di ogni punto del sistema ad un istante generico.

D: si chiama configurazione di un sistema ad un datoistante l’insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema in quel-l’istante.

3 Spesso si parla di punto materiale, ma il termine particella e piu pertinente. L’opposto di puntomateriale sarebbe punto geometrico, ma non sembra il caso di aggiungere il termine geometrico aipunti da sempre usati in geometria.

1.2. SISTEMA MECCANICO 11

1.2.2 Coordinate libere

Per determinare la configurazione occorre fissare un sistema di riferimento e dellecoordinate. In linea di principio occorrerebbero le coordinate di tutti i punti del si-stema: ma l’esistenza di parti rigide diminuisce il numero di coordinate necessarieper determinare la configurazione. Basti osservare che per individuare la configu-razione di un corpo rigido libero nello spazio, formato da un numero enorme dimolecole e sufficiente dare solamente 6 coordinate!

D: si chiamano coordinate libere o lagrangiane o gene-ralizzate un insieme di variabili indipendenti sufficienti a definire laconfigurazione di un sistema ad ogni istante.4

Le coordinate libere si indicano con qk o con qk, essendo k = 1, 2, ..., n ed n ilnumero dei gradi di liberta.

O. La posizione degli indici in alto e dovuta ad una convenzione generalee non deve essere confusa con un esponente. Molti autori non se la sentono di mettere gliindici in alto a motivo della possibile confusione con un esponente.

All’inizio di un problema occorre scegliere delle coordinate. Durante la fasedi impostazione del problema si puo fare uso di coordinate sovrabbondanti maprima di iniziare la risoluzione sara bene eliminare le coordinate sovrabbondantiesprimendole in funzione delle coordinate libere mediante relazioni geometriche.

Le relazioni tra le coordinate cartesiane e le coordinate libere sono in generaleespresse da equazioni non lineari: questo capita tutte le volte che si introduco-no angoli. Ne viene che le coordinate libere introducono la non linearita nelleequazioni della meccanica: si parla di non linearita geometriche.

Un’altra sorgente di non linearita sono le relazioni costitutive5 cioe relazionifra le variabili statiche e dinamiche da una parte (quali forze, momenti, quantitadi moto, momenti delle quantita di moto, ecc.) e variabili geometriche e cinema-tiche dall’altra (quali le coordinate, gli spostamenti, le velocita, le velocita ango-lari, ecc.). Queste equazioni prendono il nome di costitutive perche precisano lacostituzione del sistema.

1.2.3 Spostamenti reali e virtuali

D: si chiama spostamento virtuale del punto P e lo si indi-ca con δP, il vettore infinitesimo che congiunge la posizione occupata

4 Nocilla, p.1225 Dette anche equazioni materiali o di comportamento.


dal punto P all’istante generico t con un’altra posizione, infinitamen-te vicina, che il punto P potrebbe occupare al medesimo istante nelrispetto dei vincoli, che, se mobili, si pensano congelati all’istanteconsiderato.6

Lo spostamento virtuale e uno spostamento immaginato a titolo di prova, none effettivamente compiuto.

D: si chiama spostamento effettivo infinitesimo del puntoP nel tempo dt lo spostamento dP(t) = P(t) dt subito dal punto P inconseguenza del suo movimento.

vincolo fisso vincolo mobile

δPdP

δP

δP

δP

P'

P

t+dt

t

δP

dP

δP

δP

δP

P'

P

Figura 1.1. Spostamenti virtuali e spostamento effettivo di una particella.

P

PP

PdP P

PP

P

P

spostamento non virtuale

spostamento effettivo

vincolo mobilevincolo fisso

irrev

t+dt

t

d

δ

δ δδ

δ

Figura 1.2. Esempi di spostamenti virtuali e reali

In dinamica si hanno dunque due categorie di spostamenti: quelli reali dovutial moto stesso del sistema e quelli virtuali che immaginiamo di far compiere ai

6 Sommerfeld, [30, p.53]; Lanczos, [20, pp.38-39]; Levi Civita-Amaldi, [48, v.I, p.299 ] precisa-no che il tempo deve essere congelato. Goldstein. [15, p.14] compie l’errore di definire virtuale unospostamento compatibile con le forze ed i vincoli imposti al sistema ad un dato istante t. Le forzenon hanno nessun ruolo nella definizione di spostamento virtuale in quanto questo e un concettopuramente geometrico.


punti fissando i vincoli. Se i vincoli sono fissi, tra gli innumerevoli spostamentivirtuali c’e quello effettivo.

In statica, in quanto non c’e moto del sistema, non vi sono spostamenti realicompiuti dai suoi punti: gli unici spostamenti che hanno senso in statica sonoquelli virtuali.

Uno spostamento virtuale si dice reversibile se lo spostamento opposto e pureesso virtuale; si dice irreversibile se il suo opposto non e virtuale.

dqk(t) = qk(t) dt e la variazione effettiva subita dalle qk(t) per effetto del mo-vimento nell’intervallo dt. E’ il differenziale della funzione. Indica la differenzatra i valori della q(t) in due istanti successivi.

δqk(t) = variazione virtuale della coordinata qk(t) al medesimo istante t(detto sincrona).

Le δqk non hanno nulla a che fare con l’andamento effettivo del sistema, mavengono immaginate a titolo di prova7.

1.2.4 Gradi di liberta

Gli spostamenti di un sistema meccanico si possono pensare ottenuti per composi-zione di un certo numero di spostamenti fondamentali indipendenti tra loro. Ognispostamento fondamentale costituisce un grado di liberta del sistema.

D. Si chiama numero dei gradi di liberta di un sistemameccanico il massimo numero di spostamenti virtuali indipendentidel sistema.

Determinare il numero dei gradi di liberta di un sistema e fondamentale per fare ilbilancio tra il numero di incognite del problema ed il numero di equazioni neces-sarie. Per determinare il numero dei gradi di liberta si puo procedere in uno deimodi seguenti8: [@ non ho ancora classificato i vincoli]

a) metodo dei congelamenti successivi. Si immagina di congelare successi-vamente i movimenti possibili del sistema bloccando rotazioni, traslazionio punti del sistema. Ogni spostamento elementare impedito indica un gradodi liberta che aveva il sistema. Il minimo numero di congelamenti elemen-tari che porta il sistema al congelamento totale costituisce il numero deigradi di liberta del sistema.

7 Alcuni autori trovano utile introdurre un intervallo di tempo δt infinitesimo dello stesso ordinedi δP, peraltro arbitrario e introducono anche la nozione di velocita virtuale. L’autore ritiene chequesto sia certamente lecito, ma inopportuno.

8 Goldstein, [15, p.12] identifica i gradi di liberta con le coordinate libere, cosa non opportunain quanto sono due nozioni diverse: la differenza risultera evidente trattando i sistemi anolonomi.


b) metodo del bilancio. Si assegna ad ogni vincolo un numero, che e il nu-mero dei gradi di liberta che esso toglie al sistema. Cosı ad un vincolosemplice (appoggio, carrello) si assegna il numero 1; ad un vincolo doppio(cerniera, semicerniera, pattino, manicotto) si associa il numero 2; ad unvincolo triplo (incastro) il numero 3. Si sommano tutti i numeri relativi aidiversi vincoli. Si sommano i gradi di liberta delle singole parti del sistemasupposte libere. Dal totale dei gradi di liberta si toglie la somma dei vincoli:quello che rimane e il numero dei gradi di liberta del sistema

Ad esempio un’asta nel piano ha 3 gradi di liberta in quanto ammette tre spo-stamenti indipendenti: le traslazioni lungo due direzioni prefissate e la rotazione.

O: questo secondo metodo e piu rapido del precedente ma menosicuro: vi possono essere parti in cui c’e un eccesso di vincoli e parti in cui c’e undifetto di vincoli. Inoltre nasconde eventuali labilita del sistema.

y

y

D: se il filo si avvolge sulle carrucolesenza scorrimenti e se i tratti pendenti si suppon-gono sempre verticali, quanti gradi di liberta hail sistema?R: Se congeliamo la ruota di sinistra ba-sta abbassare il contrappeso di destra per far al-zare e ruotare la ruota centrale. Successivamen-te se congeliamo la ruota di destra il sistema ri-mane completamente congelato. Conclusione: ilsistema ha due gradi di liberta.

1 grado di libertà

1 grado di libertà

2 gradi di libertà

2 gradi di libertà

3 gradi di libertà

Figura 1.3. Quando un moto si compone di diverse fasi, i gradi di liberta di uncorpo possono variare da una fase all’altra.


1.2.5 Come scegliere gli assi cartesiani

Per impostare un problema e bene scegliere le coordinate piu convenienti. Nelcaso che si scelgano coordinate cartesiane e consigliabile scegliere l’asse delle xe quello delle y diretti nel modo tradizionale. Quando questo non sia opportunopossono scegliersi comunque orientati, possibilmente in modo che il sistema ven-ga a trovarsi nel primo quadrante e che gli angoli siano coerenti con le coordinate,cioe orientati da x ad y.

Gli assi cartesiani devono essere fissi, non mobili con il sistema, salvo quandosi studi un problema di meccanica relativa. Anche in tal caso gli assi devonoessere scelti solidali con una parte del sistema, quella che si vuole che costituiscail sistema di riferimento.

y

xO

y

x

assi fissi assi mobili con il triangolo: conviene solo se è noto il moto del triangolo

A O A=

Figura 1.4. La scelta della figura di destra e valida se e noto il moto del pianoinclinato e si vuole usare la meccanica relativa

NO!

y

x

x

y

0

x

y

0

0

x

y

0

NO!

NO!

NO!

Figura 1.5. Scelte inopportune, gli assi devono essere fissi


ϑϑ

ϑ

x

y

ϑ x

y

ϑ

x

y

ϑ

x

y

ϑx

y

ϑ

x

y

ϑx

y

ϑx

y

ϑ

x

y

ϑ

x

y

ϑ

ϑ

ϑ

ϑx

y

0

0

0 0

000x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

ϑ

x

y

ϑ

x

y

ϑ x

y

scelta opportuna scelta opportuna

scelta opportuna

scelta opportuna, ma x = -R


scelta inopportuna

scelta inopportuna

scelta inopportuna

scelta inopportuna(è bene che l'asse x vada verso destra)

(è bene che l'asse x vada verso destra)

(l'asse y spesso si orientaverso il basso)

(il cinematismo si trova nella parte negativa

dell'asse y)

Figura 1.6. (sopra) La terza scelta e lecita ma sconsigliata in quanto facilmen-te si commettono errori di segno nella valutazione delle ascisse. (al centro)Gli angoli devono essere presi in armonia con gli assi, positivi andando da xad y. (sotto) E’ opportuno che la figura si trovi nel primo quadrante degli assicartesiani.

1.2.6 Come scegliere gli angoli

Ricordare innanzi tutto che anche gli angoli hanno un verso. Le velocita angolari,i momenti delle forze, i momenti angolari saranno positivi se concordi con il versopositivo degli angoli. Se sono state scelte in precedenza coordinate cartesiane il

1.3. VINCOLI 17

senso positivo degli angoli risulta automaticamente fissato come quello concordecon l’asse z secondo la regola del cavatappi.

xx

yy NO !SI !

ϑ ϑ

Figura 1.7. A sinistra una scelta opportuna degli assi, a destra una scelta nonopportuna.

E’ opportuno che l’angolo sia quello formato tra una direzione fissa nel rife-rimento considerato ed una direzione solidale con il corpo mobile. Quando nonconvenga sceglierli in tal modo, tener presente che la velocita angolare non e piula derivata rispetto al tempo dell’angolo scelto.

y

xO

C

y

x

O

B

C x

y

x

y

y

x

O

B

C

z =

y

xO

C

ϑ ϑ

ϑ

ϑϑ ϑ

ϑ

ϑ

.

direzione mobile

direzione mobile

direzione fissa

direzione fissa

ω

z =..ω

z = ϑωφ

φ

asta AB

asta BC

z =..ω

z = ϑωφasta AB

asta BC

attenzione: asse y verso il basso

z =.

ω

Figura 1.8. Se l’angolo non e misurato a partire da una direzione fissa lavelocita angolare non e uguale alla derivata dell’angolo.

1.3 Vincoli

D : si chiama vincolo tutto cio che limita la liberta di motodi un sistema.9

9 Questa definizione e cosı generale che vi rientrano anche il vincolo contrattuale e il vincolo


I vincoli si classificano secondo quattro criterii:

• fissi o mobili;• lisci o scabri; ♣• unilateri o bilateri;• olonomi o anolonomi.

Un vincolo si dice fisso se non varia la sua posizione nel tempo, in casocontrario si dice mobile.

Un vincolo si dice scabro se esercita attrito, in caso contrario si dice liscio.Un vincolo si dice unilatero se ha fra i suoi spostamenti ve ne sono alcuni

irreversibili, in caso contrario si dice bilatero. Per i vincoli olonomi e anolonomisi veda pag. 68

P

vincolo unilatero:l'unico spostamento virtualeè irreversibile e illavoro virtuale è nullo

vincolo unilatero:alcuni spostamenti virtuali sono reversibili, altri irreversibili

vincolo unilatero:tutti gli spostamenti virtuali sono irreversibili

PP

P δPδ

Pδ irrev Pδ irrev Pδ irrev

q

Figura 1.9. Esempi di vincoli con spostamenti reversibili e irreversibili.

1.3.1 Reazioni vincolari

E’ chiaro che se tolgo un vincolo ad un sistema in equilibrio questo si muovera ese lo tolgo ad un sistema in moto questo si muovera in modo diverso. Ci si chiedeallora quali forze sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o dimoto che il sistema aveva in precedenza.

D : si chiama reazioni vincolare di un vincolo la forza ela coppia che occorre sostituire al vincolo per mantenere lo stessostato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza.

Quando la reazione e costituita da una sola forza, interessa spesso sapere ladirezione della reazione. Nel caso che il vincolo sia liscio (cioe privo di attrito)

matrimoniale. Entrambi limitano la liberta di azione di una persona. Si potrebbe essere portati adire: abbasso i vincoli! Ma cosa e l’ingegneria se non l’arte di saper vincolare dei componenti alfine di ottenere una macchina, un apparato, un dispositivo che debba perseguire un certo obiettivo?E’ l’obiettivo da raggiungere che giustifica i vincoli, anche quello matrimoniale.

1.3. VINCOLI 19

l’intuizione dice che la direzione della forza e perpendicolare alla direzione deglispostamenti concessi dal vincolo. Questo avviene nel caso di appoggio sempli-ce, di carrelli e di cerniere scorrevoli. Quando il vincolo e una cerniera interessasapere se la reazione ha una componente in una direzione assegnata, ad esempioorizzontale o verticale o normale ad un’asta. In questo caso si sostituisce la cernie-ra con un carrello che conceda lo spostamento nella direzione assegnata e si vedese il sistema puo muoversi in quella direzione. Poiche il compito di una reazionee, per definizione, quello di impedire un movimento, se il sistema puo muoversi inquella direzione vuol dire che la reazione della cerniera ha una componente nelladirezione assegnata.

Mettere sempre le reazioni nei versi positivi, il loro giusto segno verra da sedalle equazioni.

y

x

O y

x

O

AA A

HA

p p p

?

durante il moto esiste una componente orizzontale della reazione in A?

proviamo a lasciare liberolo spostamento orizzontale:A si sposta orizzontalmente.

quindi per impedirlo occorremettere una forza orizzontale.Dunque la componente orizzontaleesiste!

ϑ ϑ

si muove !

Figura 1.10. Come convincersi che esiste una reazione orizzontale

Grado di vincolo. Ad ogni vincolo si puo assegnare un grado di vincolo co-stituito dal numero di spostamenti indipendenti che toglie al sistema. Faremoriferimento alla figura (1.11). I vincoli si distinguono dunque in:

• semplici quando tolgono un grado di liberta. Tali sono i carrelli, le cernierescorrevoli, gli appoggi.

• doppi quando tolgono due gradi di liberta. Tali sono le cerniere, i piattelli,i manicotti.

• tripli quando tolgono tre gradi di liberta. Tali sono gli incastri a terra e lesaldature.

Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta,non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion puo strisciare: slitta e nonrotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare).


appoggio a terra

carrello a terra

appoggio a terra

semicerniera scorrevole

cerniera a terra

cerniera interna

semicerniera

piattello

manicotto

incastro interno

incastro a terra

vinc

oli s

empl

ici

vinc

oli d

oppi

vinc

oli t

ripl

i

simbolo spostamenti concessinome reazioni

cerniera scorrevole

Figura 1.11. I simboli piu usati per indicare i vincoli. Le frecce chiare indicanogli spostamenti concessi, quelle scure le reazioni.

1.3. VINCOLI 21

B

B

B

A

A

AC

C

vincolofisso

vincolofisso

Figura 1.12. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili,i vincoli sono fissi!

1.3.2 Classificazione dei vincoli

I vincoli si distinguono in due classi:

1. i vincoli di posizione od olonomi o geometrici;

2. vincoli di mobilita od anolonomi o cinematici.

I vincoli finora presentati sono del primo tipo. I vincoli di mobilita si trovano apagina 68.

1.3.3 Osservazioni sui vincoli fissi

I carrelli e le semicerniere sono dispositivi che, da soli, non costituiscono il vin-colo. Cosı un carrello deve appoggiarsi su un piano: il vincolo e il piano. Sequesto e fisso il vincolo sara fisso nonostante il fatto che il carrello sia mobile.Per convincersi basta osservare la figura (??b) che e equivalente a (??c).

Cosı una semicerniera deve appoggiarsi ad una guida: se questa e fissa ilvincolo si dira fisso nonostante la semicerniera sia mobile.

Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta,non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion puo strisciare: slitta e nonrotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare).

B

B

B

A

A

AC

C

vincolofisso

vincolofisso

Figura 1.13. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili,i vincoli sono fissi!


1.4 Forze

La scienza si caratterizza per il fatto di conferire un significato preciso ai suoitermini. I termini servono a descrivere proprieta, attributi, qualita, ecc. Se i ter-mini non sono definiti, le proposizioni con esse formate possono risultare prive disignificato o equivoche o errate.

Consideriamo il termine lavoro. Nel linguaggio comune ha molti significa-ti. Ecco alcune espressioni di uso comune: un lavoro ben remunerato; un lavoropesante; un posto di lavoro; un lavoro poco pulito; un lavoro ben fatto; il lavorosommerso; il lavoro intellettuale e cosı via. In fisica il termine lavoro ha un si-gnificato ben preciso: nel caso di una forza costante F che sposta un corpo per untratto di lunghezza s nella stessa direzione della forza si chiama lavoro il prodot-to della forza per lo spostamento: W = Fs. Se lo spostamento non ha la stessadirezione della forza la definizione e estesa definendo il lavoro come il prodottoscalare tra il vettore forza ed il vettore spostamento: W = ~F · ~s. Se poi durantelo spostamento la forza non si mantiene costante la definizione e ulteriormenteestesa facendo l’integrale W =

∫~F · d~r.

Quanto detto per il lavoro vale per la nozione di forza. Nel linguaggio comuneil termine forza e usato con diversi significati. Si parla di forza muscolare, di forzad’animo, di forza della disperazione, di forza e coraggio, di forza pubblica e cosıvia. In Fisica la forza ha un significato ben piu ristretto. La forza e una grandezzache esprime l’azione tra due corpi, siano essi a contatto o distanti. Questa azioneche tende a far muovere un corpo ha una natura direzionale e la sua intensita emisurata con il dinamometro.

Quella che abbiamo dato non e una definizione nel senso matematico in quan-to e vaga. Ma questa e una caratteristica comune a tutti i concetti primitivi dellascienza. Proprio perche sono primitivi e impossibile definirli. Infatti definire unanozione vuol dire presentare la nozione in termini di altre nozioni piu primitive,piu familiari, piu semplici. E chiaro che questo non e possibile farlo per i con-cetti primitivi. Si pensi alla nozione di spazio e a quella di tempo: nessuno puopretendere di darne una definizione e di fatto una definizione non c’e. Mentre illavoro di una forza e definito (nel senso letterale del termine) in termini di forza espostamento, la nozione di forza non puo essere definita con la stessa precisione.

Le forze sono le cause del moto. Una forza e caratterizzata da quattro attributi:direzione, verso, intensita e punto di applicazione.

1.4.1 Classificazione delle forze

Le forze si possono classificare secondo diversi criteri.

1.4. FORZE 23

Forze di contatto e a distanza. Si chiamano forze di contatto quelle che agi-scono nel contatto fra due corpi. Tali sono le forze che esercitiamo con le mani econ i piedi; spingendo con un bastone o tirando con una fune; le forze dovute al-l’urto tra due corpi, come quella che provoca il rimbalzo di una biglia sulla spondadel bigliardo. La forza del vento su una v ela e una forza a contatto (aria-vela).

Si chiamano forze a distanza quelle che agiscono su un corpo senza il contat-to con altri corpi. Tali sono la forza di gravita, la forza dovuta a cariche elettrichein quiete o in moto.

Forze di superficie e di volume. Si chiamano forze di superficie quelle cheagiscono sulla superficie di un corpo. Esempi di forze di superficie sono:

• la forza che una mano esercita quando afferriamo un oggetto, ad esempioquando sosteniamo un piatto o solleviamo una bottiglia;

• la forza che il mare esercita sulla carena di una nave;

• la forza del vento su una vela;

• la resistenza aerodinamica che si esercita su un’auto o un aeroplano.

Si chiamano forze di volume quelle che agiscono su ogni particella del corpo.Esempi di forze di volume sono:

• il peso di un corpo;

• le forze elettriche e magnetiche;

• le forze apparenti presenti in un riferimento non inerziale.

Puo sembrare, a prima vista, che le forze di superficie siano sempre forze a con-tatto ma non e cosı. La repulsione o l’attrazione tra due conduttori carichi dielettricita, come le due armature di un condensatore, sono forze a distanza ep-pure sono forze di superficie in quanto le cariche elettriche si dispongono sullasuperficie dei conduttori.

Anche le forze di volume non sono necessariamente forze a distanza in quantopossono essere sono dovute all’azione a distanza di altri corpi: questo e il casodella forza centrifuga in un riferimento non inerziale.

Forze attive e reattive. Le forze attive sono quelle forze agenti sul sistema chenon sono dovute ai vincoli. Le forze reattive o reazioni vincolari sono quelle for-ze che immaginiamo di sostituire ai vincoli per mantenere la stessa configurazionedi equilibrio (in statica) o lo stesso movimento (in dinamica).


Forze interne ed esterne. Le forze interne sono quelle agenti sul sistema do-vute all’azione delle altre parti interne al sistema stesso. Tali sono le forze mole-colari tra le molecole del sistema, quelle dovute alle contrazioni muscolari in unessere animato, quelle originate dal motore di un automobile. Le forze esternesono quelle agenti sul sistema dovute all’azione di corpi esterni al sistema. Talisono le forze peso, le forze elettriche dovute a cariche esterne, le forze esercitatemediante fili ancorati all’esterno del sistema, le resistenze aerodinamiche, ecc.

Forze reali ed apparenti.

D: si chiama inerzia la proprieta che ha un corpo dimantenere il suo stato di quiete o di moto se non soggetto a forze.

L’inerzia si manifesta anche nella resistenza incontrata alla applicazione di unaforza. La grandezza fisica che caratterizza l’inerzia e la massa.

Per la meccanica razionale la classificazione piu usata e quella esterne / interneed attive / reattive.

f orze

attive

interneesterne

reattive

interneesterne

(1.1)

1

2 4

53

Figura 1.14. I diversi tipi di forze agenti su un’auto.

1) forza attiva esterna (resistenza aerodinamica)2-4) forze reattive esterne3) forza attiva esterna (peso)5) forza reattiva esterna dovuta all’aderenza

Molle reali e ideali.

• Molle reali: sono quei dispositivi che esercitano una forza di richiamoquando vengono tese o repulsiva quando vengono compresse. Ogni molla

1.4. FORZE 25

ha una lunghezza a riposo e puo subire, in generale, sia un allungamento sesottoposta a trazione che un accorciamento se sottoposta a compressione.Ovviamente se la molla e allungata essa tende a ritornare alla configura-zione di riposo e quindi esercita una forza di richiamo. L’opposto accadequando la molla e compressa. In generale la forza che una molla eserci-ta e proporzionale alla variazione di lunghezza cioe alla differenza tra lalunghezza attuale e quella a riposo.

• Molle ideali. Spesso e comodo considerare molle ideali cioe tali da:

1) avere lunghezza nulla a riposo;2) agire solo a trazione;3) esercitare una forza di richiamo proporzionale alla loro lunghezza;4) essere prive di massa e quindi non avere inerzia.

Una forza di richiamo agente su un punto P e che sia proporzionale alla distanzadel punto P da un punto fisso O prende il nome di forza elastica. Una simileforza si puo ottenere senza avere necessariamente una molla ideale. Ad esempiola forza di richiamo dell’estremita di un’asta metallica flessibile che sia incastrataall’altro estremo, come mostrato in figura (1.16sinistra) e una forza elastica. Inun reticolo cristallino uno ione spostato dalla sua posizione di equilibrio vieneattratto verso quella posizione da un’azione combinata di attrazioni e repulsionida parte degli ioni del reticolo. Questo comporta che la forza totale di richiamosia elastica anche per spostamenti dell’ordine di un terzo della costante reticolare(distanza tra due ioni contigui) (1.15destra).

sF

ione spostato

s

F

Figura 1.15. Una forza elastica puo essere causata da un dispositivo diversoda una molla ideale. (sinistra) Una lama flessibile esercita una forza elasticasull’estremo P. (destra) In un reticolo cristallino, ad esempio quello del clorurodi sodio, uno ione allontanato dalla sua posizione di riposo viene richiamato dauna forza sensibilmente elastica.


Occorre pero tener presente che i problemi tecnici esigono la considerazionedi molle reali.

In generale si consiglia l’uso dell’energia potenziale. Se invece si voglionomettere in evidenza le forze, e bene seguire queste norme:

1. sostituire la molla con le due forze da essa esercitate, applicate ai dueestremi e di verso opposto indicando accanto alla forza solamente il suomodulo;

2. non lasciarsi ingannare dal segno “meno” della formula ~f = −k(P−O) nellaesecuzione degli esercizi. Il segno “meno” di questa formula e gia espressonel verso dato ai vettori nel disegno, ed e ovviamente errato tenerne contouna seconda volta!

Seguendo scrupolosamente queste regole e impossibile sbagliare i segni.

O P O PKx Kx x

Figura 1.16. Una molla ideale puo essere sostituita da due forze opposte eproporzionali alla lunghezza della molla.

Capitolo 2

STATICA

L’oggetto della statica e la ricerca delle posizioni di equilibrio di un sistema equindi delle forze e dei vincoli che lo assicurano.

2.1 Equazioni cardinali della statica

Affinche un sistema meccanico sia in equilibrio devono valere le due equazionivettoriali:

~R + ~R′ = 0

~MA + ~M′A = 0(2.1)

equivalenti alle 6 equazioni scalariRx + R′x = 0 Ry + R′y = 0 Rz + R′z = 0

MAx + M′Ax = 0 MAy + M′Ay = 0 MAz + M′Az = 0(2.2)

Le grandezze in gioco sono:

• ~R risultante delle forze attive agenti sul sistema;• ~R′ risultante delle reazioni vincolari;• ~MA momento delle forze attive;• ~M′A momento delle reazioni vincolari

Le equazioni cardinali sono valide per qualunque sistema, per qualunque tipo divincolo, per qualunque tipo di forze, per qualunque polo A. Donde il meritatoattributo di equazioni cardinali della statica. Sono necessarie per l’equilibrio diun sistema, ma sono in piu sufficienti solo per un corpo rigido, che ha infatti almassimo 6 gradi di liberta.

27

28 CAPITOLO 2. STATICA

Risultante e momento sono solo quelle delle forze esterne, sia attive ~R, ~MA

che reattive ~R′, ~M′A. Infatti le forze ed i momenti interni si fanno equilibrio a duea due, per il principio d’azione e reazione, e pertanto la loro somma e nulla.

Le equazioni cardinali sono sempre compatibili e indipendenti salvo il casoin cui il sistema si riduca ad un punto: in tal caso la seconda e combinazionelineare della prima.

Nel caso di un sistema iperstatico, cioe con piu vincoli di quelli sufficienti adassicurare l’equilibrio quando il sistema si concepisca rigido, le equazioni cardi-nali non sono sufficienti a determinare le reazioni vincolari neanche se applicatead ogni pezzo rigido in cui e decomponibile il sistema. In tal caso e necessariotenere conto della deformabilita del materiale.

2.2 Principio dei lavori virtuali

Condizione necessaria cioe deve verificarsie sufficiente il solo verificarsi ci assicura l’equilibrio

per l’equilibriodi un sistema soggetto a vincoli lisci cioe privi di attrito

e che il lavoro delle forze attive sia interne che esterne al sistemaper ogni e non solo per qualcuno

spostamento virtuale infinitesimo e conforme ai vincolinon sia positivo sia nullo o negativo

Per definizione il lavoro virtuale e dato da

w∗def=

N∑i=1

~Fi · δPi. (2.3)

~Fi e la forza attiva che agisce sul punto Pi; l’asterisco indica virtuale, cioe noneffettivo. Il principio si esprime:

w∗ ≤ 0 spostamenti virtuali generici (2.4)

Per gli spostamenti reversibili, quindi per vincoli bilaterali, il principio diviene:

w∗ = 0 spostamenti virtuali reversibili (2.5)

Poiche in statica non esistono spostamenti reali, in quanto ci occupiamo di sistemiin equilibrio, non ha senso usare il simbolo dPi.

2.2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 29

QUIZ: Su un piano inclinato liscio, una

particella, ad esempio un dado, soggettasolo al proprio peso non puo stare ov-viamente in equilibrio. Eppure per lospostameno virtuale indicato in figurae w∗ = 0 a causa della perpendicola-rita. Dovremmo concludere che l’equi-librio c’e: cosa non funziona in questaconclusione?

BδB

p

O. Molti autori ritengono che per indicare una quantita piccola o addi-rittura infinitesima si debba premettere alla stessa il simbolo δ. Cosı δW per il lavoro, δQper il calore, ecc. Questo non lo ha stabilito nessuno: la matematica denota gli infinitesimicon ε, η, ecc. e non con δε, δη, ecc.

Il simbolo δ davanti al punto P e essenziale in quanto indica la variazione di posi-zione del punto. Ma davanti a W non e necessario in quanto l’espressione δW dovrebbeindicare la variazione del lavoro cosa che non ha senso in quanto non esiste una funzionela cui variazione esprima il lavoro compiuto. Semmai si tratta di un lavoro infinitesimoe nessun libro di matematica insegna che una quantita infinitesima debba essere precedu-ta dal δ ! Basti osservare che in matematica un infinitesimo viene indicato con uno deisimboli ε, η, ω, ....

Per indicare che una quantita e infinitesima (piccola a piacere) o semplicemente pic-cola e tradizionale usare una lettera minuscola. Cosı si puo indicare cone W un lavorofinito e con w un lavoro piccolo o, addirittura, infinitesimo.

L’asterisco serve per indicare che si tratta di lavoro virtuale, non effettivo. Ricordiamoche in ottica l’immagine virtuale si indica con l’asterisco.

2.2.1 Lavoro virtuale

Se qk sono coordinate (anche non libere) atte ad individuare la configurazione delsistema, il principio dei lavori virtuali per vincoli bilaterali diviene:

w∗ =

N∑i=1

~Fi · δPi =

n∑k=1

Qk δqk = 0. (2.6)

Se le qk sono libere le δqk non sono arbitrarie1 le δqk sono arbitrarie e ne viene:

Qk(q1, q2, ..., qn) = 0 (k = 1, 2, . . . , n). (2.7)

1 Vedremo in cinematica che per un sistema anolonomo (vedi pagina 68) le variazioni dellecoordinate libere non sono arbitrarie: ne viene che l’espressione del lavoro virtuale che stiamoottenendo vale per un sistema olonomo.


Sono queste n equazioni nelle incognite q1, q2, ..., qn tante quanti i gradi di liberta.Risolte forniscono le coordinate qk della posizione di equilibrio.

Per il calcolo delle Qk vedere la pagina [calcolo delle Qk] ♣.

2.2.2 Come si calcola il lavoro virtuale

Per calcolare il lavoro virtuale di una forza ~F applicata ad un punto P si puo usaresia l’espressione cartesiana

w∗ = ~F · δP = Fxδxp + Fyδyp + Fzδzp (2.8)

sia l’espressione

w∗ = ~F · δP = F · |δP| cos(ϑ). (2.9)

In linea di massima, salvo casi molto semplici, e conveniente usare l’espressionecartesiana.

M

MB

δB

ϕ

s

pα x

x ϕ F

a) b)

LL

A B

C

Figura 2.1.

Per calcolare il lavoro virtuale di una coppia di forze di momento M si deveconsiderare l’angolo di rotazione ϕ del corpo rigido a cui e applicata (supponiamosi tratti di spostamenti piani) e quindi il lavoro virtuale e dato da

w∗ = M δϕ (2.10)

essendo M il momento della coppia, positivo se concorde con l’angolo. Conriferimento alla figura 2.10 si ha

w∗ = −Mδϕ + (p sinα) δs

δs = +R δϕ

w∗ = +M δϕ + Fδx

δx = δ (2 L cos ϕ) = −2 L sinϕ δ ϕ(2.11)

2.3. STATICA DEL PUNTO 31

2.2.3 Attrito

L’attrito e sempre a favore dell’equilibrio e pertanto e a sfavore del moto. Questocomporta che, salvo problemi in cui l’attrito e essenziale per l’equilibrio, esso puoessere ignorato in statica. Una volta determinata la configurazione di equilibrioignorando l’attrito, la sua eventuale presenza non fa che favorire il mantenimentodell’equilibrio.

©

2.3 Statica del punto

2.3.1 Punto materiale libero nel piano

Posto

Rxdef=

N∑k=1

Fkx Rydef=

N∑k=1

Fky (2.12)

la condizione di equilibrio deve soddisfare le due equazioni

Rx(x, y) = 0 Ry(x, y) = 0. (2.13)

Risolvendo il sistema delle due equazioni si trova la posizione di equilibrio (x0, y0).Si puo usare il principio dei lavori virtuali.

Se le forze ammettono potenziale si puo usare il teorema della stazionarietadel potenziale:

∂U(x, y)∂x

= 0∂U(x, y)∂y

= 0. (2.14)

2.3.2 Punto materiale vincolato ad una linea liscia

b

ntΦ

La reazione ~Φ giace nel piano normale alla linea.Conviene far uso della prima equazione cardinaleproiettata sulla terna intrinseca:

Rt = 0Rn +Φn = 0Rb +Φb = 0

(2.15)


Poiche il punto ha un solo grado di liberta la prima equazione e sufficiente adeterminare la posizione di equilibrio.

Le altre due servono per la determinazione della reazione. Si noti che lareazione ha come modulo

Φ =

√Φ2

n +Φ2b. (2.16)

Per trovare le componenti del versore tangente ~t basta osservare che

tx = cosα ty = sinα nx = −sinα ny = cosα (2.17)

Dal momento che

tanα = y′(x) cosα =1

√1 + tan2 α

=1√

1 + (y′)2sinα =

y′√1 + (y′)2

(2.18)~t =

1√1 + y′2

[~i + y′~j] si mette il segno + se y′′ > 0,

~n = ±1√

1 + y′2[−y′~i + ~j] il segno − se y′′ < 0.

(2.19)

Per calcolare Rt e Rn nei problemi piani basta osservare che Rt = ~R ·~t e Rn = ~R · ~n♣

La prima equazione Rt = 0 puo essere sostituita dal principio dei lavori virtua-li, oppure, se le forze attive sono conservative, con il teorema della stazionarietadel potenziale. In tal caso U deve essere espresso in funzione di una coordinatalibera.

Puo convenire qualche volta usare le equazioni cardinali proiettate su unaterna

Rx +Φx = 0Ry +Φy = 0Rz +Φz = 0

(2.20)

In tal caso per tener conto che la reazione e normale alla linea occorre legarefra loro le componenti della reazione.

Se la linea e piana e Φx = −y′Φy.

Se la linea e sghemba, dette x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ) le sue equazioniparametriche, essendo:

~t =1√

x′2 + y′2 + z′2[x′(λ)~i + y′(λ)~j + z′(λ)~k] (2.21)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO 33

la condizione sulla reazione diviene:

~Φ · t = 0 (2.22)

ovveroΦxx′(λ) +Φyy

′(λ) +Φzz′(λ) = 0. (2.23)

Esprimendo Φx, Φy, Φz mediante le equazioni di equilibrio si ottiene la equa-zione pura

Rxx′(λ) + Ryy′(λ) + Rzz′(λ) = 0. (2.24)

Da questa equazione e dalle equazioni parametriche della linea si ricava ilvalore di λ all’equilibrio.

2.4 Statica del corpo rigido

2.4.1 Corpo rigido con asse fisso

x

Fy

’

p

A

A

C

Figura 2.2.

Indicato con A un punto dell’asse di rotazione si possono usare le equazionicardinali

Rx + HA = 0 Ry + VA = 0 MAz = 0. (2.25)

Se le forze attive sono conservative la terza equazione puo essere sostituita da2

dUdϕ

= 0 equivalente adVdϕ

= 0. (2.26)

2♣ Alcuni autori danno piu importanza al potenziale U delle forze agenti sul sistema, altriall’energia potenziale V del sistema. Per questa ragione di ogni formula che coinvolge le forzeconservative forniremo le due versioni: quella con il potenziale e quella con l’energia potenziale.


Stabilita dell’equilibrio. Se le forze sono conservative, l’equilibrio e stabilenella posizione di equilibrio ϕ = ϕ0 quando il potenziale U e massimo (deriva-ta seconda negativa) ovvero quando l’energia potenziale V e minima (derivataseconda positiva):

d2U

dϕ2

∣∣∣∣∣∣ϕ0

< 0 equivalente ad2V

dϕ2

∣∣∣∣∣∣ϕ0

> 0. (2.27)

2.4.2 Corpo rigido con 1 grado di liberta (nel piano)

C

f

P

#

x

x

y

y Si possono usare le equazioni cardinali:Rx + R′x = 0

Ry + R′y = 0

MQz + M′Qz = 0

(2.28)

essendo Q un polo generico.

Nel caso di vincoli lisci si puo scegliere come polo il punto di incontro dellereazioni e scrivere l’equazione pura MCz = 0.

Se le forze attive sono conservative si puo usare il teorema della stazionarietadell’energia potenziale o del potenziale. L’equilibrio e stabile se nella posizionedi equilibrio l’energia potenziale e minima ovvero se il potenziale e massimo.

Se i vincoli sono lisci si puo usare il principio dei lavori virtuali, che conducealla relazione: Qϕ = 0 che coincide con la MCz = 0.

Se i vincoli sono scabri si aggiunge la condizione di attrito:

|Φt| ≤ µ |Φn| per ognuno dei vincoli scabri. (2.29)

2.4.3 Corpo rigido con 2 gradi di liberta (nel piano)

Per determinare la posizione di equilibrio si possono usare le equazioni cardinali.Il polo conviene prenderlo nel punto di applicazione della reazione (ad esempio,nella figura (2.3) in A).

Rx = 0 Ry + VA = 0 MAZ = 0. (2.30)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO 35

Se il vincolo e liscio si puo usare il principio dei lavori virtuali. Ad es. essendo xe ϕ due coordinate libere, ne viene

w∗ = Qx δ x + Qϕ δ ϕ (2.31)

e quindiQx(x, ϕ) = 0 Qϕ(x, ϕ) = 0. (2.32)

Se le forze attive sono conservative conviene usare la stazionarieta dell’energiapotenziale:

∂V(x, ϕ)∂x

= 0∂V(x, ϕ)∂ϕ

= 0. (2.33)

y

A

B B

ϕ

P

y

G

x

A

ϕ

P

y

G

x

ky

ky

C C

VB

AH

Figura 2.3. Togliere i vincoli e sostituirli con le reazioni.

L’equilibrio e stabile se l’energia potenziale V e minima nella posizione diequilibrio. Poiche si tratta di un minimo per funzioni di due variabili, il minimo siha per i valori (x0, ϕ0) per i quali valgono contemporaneamente le due equazioni:[

∂2V

∂x2

]x0,ϕ0

> 0 e

∂2V

∂x2

∂2V

∂ϕ2 −

(∂2V∂x ∂ϕ

)2x0,ϕ0

> 0. (2.34)

2.4.4 Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio

Il sistema ha tre gradi di liberta. Se il piano e liscio le reazioni sono perpendicolarial piano. Si possono determinare le reazioni se i punti di appoggio sono tre.

Se i punti di appoggio sono piu di tre, le reazioni sono indeterminate: perdeterminarle occorre tenere conto della deformabilita del corpo.


a

b

c

x

y

z

A

B

C

C

B

A

Φ

Φ

Φ

Per calcolare le reazioni vincolari si usano leequazioni

Rz + R′z = 0

Ma + M′a = 0

Mb + M′b = 0

(2.35)

essendo a e b due rette passanti per due punti diappoggio.

2.4.5 Corpo rigido con asse fisso (nello spazio)

Supponiamo che l’asse fisso z sia verticale, passante per i punti A e B della figura(2.4). Le due equazioni cardinali sono ~R + ~ΦA + ~ΦB = 0

~MA + (B − A) × ~ΦB = 0.(2.36)

Moltiplicando scalarmente l’ultima equazione per il versore ~u e osservando che(B − A) e parallelo ad ~u si ottiene

~MA · ~u = 0 ovvero MAu = 0 (2.37)

che e l’unica equazione pura.

φA

φB

p

A

B

z

u

Figura 2.4. Il cancello e un esempio di corpo rigido con asse fisso.

Affinche le reazioni vincolari siano determinabili e necessario che vi sia adesempio in A una cerniera a snodo e in B una cerniera scorrevole: solo cosı igradi di liberta tolti al corpo sono 5, quante sono le equazioni di equilibrio cherimangono.

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI 37

Se i vincoli sono in numero maggiore, le reazioni non si possono determi-nare considerando il corpo come rigido, bensı e necessario tener conto della suadeformabilita. Il problema si dira allora iperstatico.

z

O

θ

Per calcolare le reazioni vincolari si usano leequazioni

Rz = 0 Mz = 0. (2.38)

essendo a e b due rette passanti per due punti diappoggio.

2.5 Statica dei sistemi articolati

2.5.1 Considerazioni generali

Per trovare la posizione di equilibrio, se i vincoli sono lisci e fondamentale ilprincipio dei lavori virtuali che ha il merito di non fare intervenire le reazionivincolari.

Per ogni tipo di vincoli, lisci o scabri, unilaterali o bilateri, per ogni tipo diforze si possono usare le equazioni cardinali che devono essere applicate global-mente all’intero sistema. Cio tuttavia non basta a fornire il numero di equazioninecessarie per la determinazione delle incognite: si devono quindi applicare anchealle singole parti del sistema cosı da impedire che avvengano movimenti parziali,vale a dire movimenti di una parte del sistema rispetto all’altra. Spesso e neces-sario staccare una parte del sistema: si introducono cosı nuove reazioni nel puntodi distacco, ma si ottengono nuove equazioni di equilibrio applicando le equazio-ni cardinali alle singole parti staccate: queste permettono di ottenere il pareggioincognite-equazioni.

E bene seguire le seguenti norme:

1. Rompere il minimo numero di vincoli dando la precedenza ai vincoli sem-plici (carrelli, cerniere scorrevoli, appoggi) poiche cosı facendo si introduceil minimo numero di reazioni incognite.

2. Imporre l’annullarsi del momento delle forze agenti su un’asta rispetto allecerniere attorno a cui potrebbero avvenire delle rotazioni.


q

q q

p

C C

A AB

B

s

q p

ks ks

molla ideale

Figura 2.5. Togliere il minimo numero di vincoli, sostituire le molle con leforze rispettive.

Per calcolare le reazioni a terra procedere cosı:

1. Rompere solo i vincoli a terra mettendo cosı in evidenza le reazioni inco-gnite.

2. Scrivere le equazioni di equilibrio per l’intera struttura e se non bastanoqueste tre equazioni, scrivere le equazioni di equilibrio alle rotazioni di unaparte rispetto ad un’altra.

Se mancano equazioni procedere alla successiva rottura di altre cerniere(sempre il minor numero possibile): cosı facendo crescono le incognite, ma invirtu del fatto che il sistema e isostatico procedendo per rotture si giungera alpareggio.

Se le forze attive, sia interne che esterne al sistema, sono conservative ese i vincoli sono lisci e bilateri, si puo usare il teorema della stazionarieta delpotenziale.

Se le forze attive sono solo pesi e i vincoli lisci, vale il teorema di Torricelli.

Se e assegnata la posizione di equilibrio e si devono trovare le reazioni vin-colari si devono usare le equazioni cardinali.


A

B

CΦ Ax Φ C x

??

Figura 2.6. Per sapere se esistono delle componenti orizzontali delle reazionia terra in un arco a tre cerniere e sufficiente sostituire le cerniere con dei car-relli, osservare se il sistema si muove: in caso affermativo occorre mettere dellereazioni orizzontali.

B

G G′

VA

A

H A

VC

C

H C

R + 34R

R − 2π R

pq

Figura 2.7. Le reazioni vincolari in un arco a tre cerniere.

2.5.2 Arco a tre cerniere

Si tratta del piu semplice esempio di sistema articolato.


M

F

BA

A

A

B

B

M

F

BA

C C

V V

HH

Figura 2.8. Per trovare le reazioni a terra occorre togliere le cerniere a terra emettere in evidenza le reazioni vincolari.

Per trovare le reazioni in A e in B, osservato che nella figura indicata non visono bielle3, si considerano le componenti orizzontali e verticali.

somma delle componenti orizzontali = 0somma delle componenti verticali = 0somma dei momenti di tutte le forze rispetto (ad es.) ad A = 0somma dei momenti rispetto a C delle sole forze agenti su un’asta (ad es. CB) = 0

Queste quattro equazioni sono compatibili ed indipendenti e pertanto sufficientia determinare le 4 incognite. Per calcolare le reazioni usare la regola seguente:togliere i vincoli e sostituire ad essi le reazioni.

Si chiama biella un’asta priva di peso, non caricata da forze sul suo corpo eche ha come estremi due cerniere. La caratteristica che ne consegue e che essapuo essere tesa o compressa ma non inflessa. Quindi le reazioni ai suoi estremisono opposte e allineate con l’asta.

3 Un’asta scarica e priva di peso incernierata alle due estremita prende il nome di biella.


F

q

F

ΦAx

ΦAy

ΦB

NO

N E

' BIE

LLA

!

A

B C

F

B

F

BIELLA

ΦA

ΜA

ΦCx

ΦCy

Figura 2.9. Le reazioni hanno le direzioni dei moti impediti.

2.5.3 Reazioni interne nelle cerniere

Figura 2.10. Togliere la cerniera, mettere in evidenza le reazioni interne,scrivere l’equilibrio dei due pezzi.

2.5.4 Azioni interne nelle aste

♣ [ATTENZIONE AI SEGNI E ALLE INTENSITA’ Cosetta dice che ai geometrisi inverte ...] Si chiamano azioni interne di un’asta in un suo punto la forzaed il momento che devono essere messi nel punto dell’asta una volta tagliata per


mantenere l’equilibrio dei due tronchi con le medesime reazioni vincolari esistentiprima del taglio. Esse sono:

1. l’azione assiale N

2. l’azione di taglio T

3. il momento flettente M

Per calcolare le azioni interne (dette anche sforzi interni, impropriamentegiacche non si tratta di sforzi, ma di una forza e di un momento) si puo procederesecondo questo schema:

Si consiglia di fare la somma delle forze secondo la tangente all’asta e secon-do la normale e di fare il momento rispetto al punto sezionato: cosı facendo siottengono tre equazioni in ciascuna delle quali compare una sola volta una azioneinterna, con grande semplicita di soluzione.

Si osservi che N significa normale alla faccia della sezione e quindi direttasecondo l’asse della trave; T significa taglio rispetto alla trave e quindi tangentealla faccia della sezione.

Un errore frequente sta nel verso dei momenti da applicare ai due lembi dellasezione: per il principio di azione e reazione devono essere uguali ed opposti.

Figura 2.11. Errore!


A

CB

CB

VA

HA

CB

VA

HA

D

A

B C

VA

VDHD

VCHC

B

datalastruttura

calcolareprima

lereazioniesterne

poiaprirel’anello

chiuso.

sidebbono calcolarele

reazioninellecerniere

perdeterminarelereazioni

scrivereleequazionicardinali

e itreequilibrialle

rotazioni

Figura 2.12. Il processo per calcolare le reazioni interne.

Se vengono indicati cosı non sono opposti, come si vede esaminando il sensodella rotazione che e lo stesso per entrambi.

2.5.5 Diagramma delle azioni interne

Si chiama diagramma di una azione interna (N,T,M) un diagramma che indichiin ogni punto di un’asta l’intensita di una sollecitazione con il rispettivo segno.


Si riportano dei segmenti perpendicolari all’asta proporzionali (in una oppor-tuna scala) alla intensita dell’azione. ©© Esempio: per determinare le azioni in-terne e disegnare il loro diagramma nell’arco a tre cerniere seguente: © si devonoprima calcolare le reazioni vincolari

Diagramma azione di taglio

Diagramma azione assiale

Diagramma momentoflettente

AP

B

MCA

PB

M

C

VA

H A

VC

H C

Figura 2.13. I tre diagrammi delle azioni interne.

© Il diagramma della N e della T subisce una brusca variazione dove vi so-no forze concentrate che hanno componente rispettivamente lungo la tangente elungo la normale.

Il diagramma del momento flettente M ha discontinuita dove incontra unmomento concentrato.

I momenti flettenti si annullano nelle cerniere, le azioni di taglio si annullanonei pattini, le azioni assiali si annullano nei manicotti.

2.6 Statica dei fili

Definizione: Si chiama filo un corpo continuo che ha una dimensioneprevalente sulle altre due e che non ha rigidezza flessionale (ovvero

2.6. STATICA DEI FILI 45

che non resiste alla flessione).

Definizione: Si chiama asta o verga un corpo continuo che ha una di-mensione prevalente sulle altre due e che ha una rigidezza flessionale(ovvero manifesta una resistenza alla flessione).

2.6.1 Sollecitazione continua dei fili

Si parla di sollecitazione discreta quando le forze agenti sul filo sono concen-trate in un numero finito di punti, di sollecitazione continua quando esse sonodistribuite con continuita. In questo secondo caso su ogni elemento infinitesimodi lunghezza ds agisce una forza infinitesima d ~f proporzionale a ds:

d ~f = ~F(s) ds (2.39)

Per risolvere un problema sui fili e bene operare cosı:

1. definire un senso di percorso in cui si misura l’arco s;

2. disegnare la tangente ~t nel senso delgli archi crescenti;

3. disegnare la normale ~n verso la concavita;

4. disegnare la forza per unita di lunghezza del filo, ~F con il suo senso;

5. finalmente impostare le equazioni.

equazioni indefinitedi equilibrio

~F(s) +d~T (s)

ds= 0

~T (s) = T (s)~t(s)

~F(s) = forza per unita di lunghezza

~T (s) = tensione del filo

condizioni al contorno ~T (0) + ~fA = 0

−~T (l) + ~fB = 0

¡ ~T(0)

~T(l)sA

PB

Figura 2.14. dida


A

P

P

T

T

Figura 2.15. dida

Componenti cartesiane

Fx +dds

Tx = 0

Fy +dds

Ty = 0

Fz +dds

Tz = 0

(2.40)

Componenti intrinseche

Ft(s) +dds

T (s) = 0

Fn(s) +T (s)r(s) = 0

Fb(s) = 0

(2.41)

Casi particolari di sollecitazioni discrete: Casi particolari di sollecitazionicontinue:

2.6. STATICA DEI FILI 47

x

y

p

p

Lamina liquida

R

x

y

fi

catenaria

tiranti parabola

Figura 2.16. (destra) Filo omogeneo soggetto al solo proprio peso (catenaria);(centro) Filo che porta un peso uniforme ripartito sulla orizzontale (ponte sospe-so); (sinistra) Filo teso da forze normali al contorno di modulo costante (casodella tensione superficiale).

y = αChxα

; α =hp

(2.42)

p = peso per unita di lunghezza del filo h = componente orizzontale della tensione(costante)

y =x2

2α+ b; α =

hp

(2.43)

p = peso per unita di lunghezza del ponteh = componente orizzontale della tensione (costante)R = costante T = costante

2.6.2 Osservazione sui fili

I fili privi di peso proprio mantengono inalterato (in statica) il valore della ten-sione tra il punto di applicazione di una forza e quello della successiva, anchese si avvolgono su carrucole e su superfici liscie. Si puo quindi tagliare il filoe sostituire la tensione da esso esercitata considerando poi l’equilibrio dei duepezzi in cui si e diviso il sistema. Questa rottura non e necessaria con l’uso delprincipio dei lavori virtuali e del potenziale. Nel caso di anellini mobili sul filo,sempre prescindendo dall’attrito, la tensione si trasmette immutata da una parteall’altra dell’anellino. La posizione di equilibrio e quella in cui la linea d’azionedella risultante e bisettrice dell’angolo formato dai due rami del filo.

Nel piano un filo descritto dall’equazione y = f (x) con a ≤ x ≤ b, lalunghezza del filo e data dalla formula:

l =

∫ b

a

√1 + y′2 dx. (2.44)


τ τ

P

Figura 2.17. dida

2.6.3 Statica dei fili appoggiati su superficie liscia

©

Figura 2.18. Equazioni intrinseche di equilibrio (sconsigliate in generale lecomponenti cartesiane)

Ft(s) +dds

T (s) = 0

Fn(s) +Φn(s) +T (s)r(s) = 0

Fb(s) +Φb(s) = 0

(2.45)

Φ e la reazione per unita di lunghezza ed e normale al vincolo.

Φ =

√Φ2

n +Φ2b (2.46)

Un filo, in assenza di forze di massa, (ad es. senza peso), per effetto delle forzeapplicate agli estremi ha tensione costante e si atteggia secondo la linea piu brevecongiungente i due punti A e B sulla superficie. Tale linea si chiama geodetica.Essa gode anche della proprieta di avere la sua normale principale, in ogni punto,diretta come la normale alla superficie.

2.7. DETERMINAZIONE DEL BARICENTRO 49

ϑ

T+

T+T-

T-

ϕ

Figura 2.19.

2.7 Determinazione del baricentro

Il baricentro di un sistema e il centro delle forze peso delle particelle che com-pongono il sistema stesso.

Per un sistema discreto di masse e

~RG =

N∑1

k mk ~rk

N∑1

k mk

ovvero

xG =

∑N1 k mk xk∑

mk

yG =

∑N1 k mk yk∑

mk

zG =

∑N1 k mk zk∑

mk

(2.47)

Per un sistema continuo:


~rG =

∫Cρ ~r dC∫

Cρ dC

ovvero

xG =

∫Cρ x dC∫

Cρ dC

yG =

∫Cρ y dC∫

Cρ dC

zG =

∫Cρ z dC∫

Cρ dC

(2.48)

avendo indicato con dC l’elemento di campo e con ρ la densita (lineare, su-perficie o di volume rispettivamente se dC e un elemento di linea, di superficie odi volume).

Se un corpo omogeneo ha un asse di simmetria o un piano di simmetria ilbaricentro giace su di esso.

Per le linee materiali piane omogenee si puo usare il I teorema di PappoGuldino:

Facendo notare una linea piana attorno ad un asse che non la intersechi, l’areadella superficie di rotazione cosı ottenuta e eguale alla lunghezza della linea perla circonferenza descritta dal baricentro:

Per le lamine omogenee si puo usare il II teorema di Pappo Guldino:

Facendo ruotare una lamina omogenea attorno ad un asse che non attraversala lamina, il volume del solido di rotazione e eguale all’area della lamina per lacirconferenza descritta dal baricentro:

Per calcolare il baricentro di una figura con buchi o comunque ottenuta persottrazione di due aree si puo usare la forma additiva dei baricentri computandola parte di area mancante come una massa negativa (naturalmente e solo un truccodi calcolo).

- =

Figura 2.20. dida

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA 51

Se un corpo e decomponibile in parti di forma semplice il suo baricentro sipuo ottenere trovando i baricentri delle singole parti in cui e decomponibile, sosti-tuendo in tali baricentri delle masse concentrate uguali a quelle delle singole partie quindi trovando il baricentro di questo sistema discreto di masse.

Esempio: lamina piana omogenea a forma di L.

G

Figura 2.21. Calcolo del baricentro per composizione.

2.8 Calcolo dei momenti d’inerziaparticella sistema discreto sistema continuo

Ir = m r2 Ir =

N∑1

k mkr2k Ir =

∫Cρ r2 dC

a) Assi parallelib) Assi concorrenti

Dato un corpo consideriamo un suo punto Q generico. Considerate le infi-nite rette uscenti da Q la relazione tra i momenti di inerzia del corpo rispettoa ciascuna di queste rette e espressa dalla formula:

Ir = Ix cos2 α + Iy cos2(β) + 2Ixy cosα cos( β) (2.49)

Per ogni punto di un corpo rigido piano esistono sempre due rette rispetto allequali i prodotti di inerzia sono nulli e conseguentemente i momenti di inerzia sonostazionari: queste due rette sono sempre ortogonali fra loro e prendono il nomedi assi principali di inerzia del corpo relativi al punto considerato.

Se su ogni retta uscente dal punto Q si riporta un segmento di lunghezza QP =

1/√

Ir il luogo dei punti P e un ellisse d’inerzia.Gli assi dell’ellisse sono assi principali di inerzia.

Lamine piane.


1 mR2 2

m

G

5 mR2 4

1 mR2 4

3 mR2 2

1 mR2 2

m

G

mR2

3 mR2 2

mR2

a

b

1 ma2 6

1 m(a2+b2) 6

1 mb2 6

m,l

G

1 ml2 3

1 ml2 12

G

b

a

1 ma2 3

1 ma2 12

1 m(a2+b2) 3

1 m(a2+b2) 12

1 mb2 3

1 ma2 12

+

m

hG

m

1 mR2 2

3 mR2 2

R

1 mR2 4

1 mh

2

12

+

R

3 mR2

10

2 mR2 5

G

m

astaomogenea

laminarettangolareomogenea

discoomogeneo

cilindroomogeneo

sferaomogenea

circinferenzaomogenea

cono omogenea

triangolorettangoloomogeneo

Figura 2.22. Momenti d’inerzia di uso frequente.


C

`C x`C x

`C y

`C y

F

F

F

a) caso in cui sulle cerniere non agiscano for-ze concentrate.Sopprimere le cerniere mettendo in evi-denza le reazioni su entrambi gli estremidelle aste. Per il principio di azione e rea-zione esse sono uguali ed opposte.Si impone quindi l’equilibrio di ciascunaasta.

b) caso in cui sulle cerniere agiscano forzeconcentrate.

In questo caso le reazioni sono indetermi-nate. Se interessa fare una sezione questadeve essere fatta in prossimita della cernie-ra. In tal caso il momento flettente e tra-scurabile e le rimanenti azioni interne pos-sono ritenersi applicate direttamente sullacerniera. Nonostante esse si possano appli-care alla cerniera queste non sono le azio-ni interne nella cerniera ma sono le azio-ni interne in un punto infinitamente vicino.(Isolare la cerniera mettendo in evidenza leforze che l’asta di sinistra e quella di destraesercitano)

QUIZ: la risultante ed il momento del-

le forze esterne sono nulle: quindi ilsistema e in equilibrio F F

BδB

p


MN

T

θ0

L

P

O

k

θ0

s

s

L-s P2

θ0

P2

P2

P2

T

N M

M

T

N

PL-s L

x

x

x

y

y

y

1. Trovare la posizione di equilibrio (senecessario).

2. Trovare le reazioni vincolari.

3. Disegnare le reazioni trovate con il lorosenso e il loro modulo.

4. Tagliare l’asta nel punto richiesto e met-tere in evidenza le componenti T e Ndella forza ed il momento flettente M suentrambi i lembi della sezione.

5. Distribuire il peso proprio nei due tron-chi concentrandoli poi, per comodita, neibaricentri dei due pezzi in cui e divisal’asta.

6. Equilibrare uno qualunque dei due tronchi,scrivendo che e nulla la somma delle forzee dei momenti agenti sul tronco.

r

G L

R

superficie laterale S = 2πrL


r

R

volume solido rotazione: V = (2 π r)A

R

r

d

y

x xG =(ρπR2) · 0 + (−ρπr2)dρπR2 + (−ρπr2)

= r2

R2 − r2

Per calcolare il momento di inerzia rispetto adun asse parallelo ad un asse baricentrico di cuisi conosca il momento di inerzia vale la formula:Ir = Ia + md2

Applicando due volte questa formula si passa daun asse generico ad un altro parallelo.

xy

z

Se x e y sono due assi ortogonali che giacciononel piano della lamina e z e ortogonale ad essi,vale la relazioneIz = Ix + Iy

Capitolo 3

CINEMATICA

La cinematica e quella parte della meccanica che si occupa della descrizione delmovimento indipendentemente dalle cause che lo determinano. E’ stata definitacome la geometria del movimento o anche come la geometria dello spazio-tempo.

Quando ci si reca ad una riunione, ad una festa in una casa di qualcuno e buonanorma che ci vengano presentate le persone. Analogamente quando ci si accingea studiare un campo della scienza e buona norma presentare i personaggi di cuisi fara uso. Nel bellissimo libro di fisica sperimentale di Pohl e scritto: In fisicanascono molte difficolta non necessarie a causa dell’insufficiente definizione delleparole usate [51, v.I, p.23]. Cominciamo con l’elencare le grandezze cinematichepiu comuni

istante di tempo tintervallo di tempo τ,Tvettore raggio ~rvelocita di un punto ~v = d~r/ dtvelocita areale in un moto piano A = dA/ dtperiodo di una oscillazione Tfrequenza di una oscillazione f = 1/Tpulsazione di una oscillazione ω = 2π/T = 2π faccelerazione di un punto ~a = d~v/ dtvelocita angolare di un corpo rigido ~ω

accelerazione angolare di un corpo rigido ~α

Queste variabili saranno definite via via che ne avremo bisogno.

3.0.1 Il tempo: istanti ed intervalli

La variabile di base della cinematica e il tempo. Di esso si distinguono due entitemporali: l’istante e l’intervallo. L’estensione dell’intervallo si chiama durata

57

58 CAPITOLO 3. CINEMATICA

o periodo. L’istante puo essere interpretato come coordinata temporale in quantoindividua un evento rispetto ad un istante scelto come origine dei tempi. Si puoriguardare l’istante come una quarta coordinata e considerare la quaterna t, x, y, zcome coordinate di un punto dello spazio-tempo1. I punti dello spazio-tempo sichiamano eventi.

E’ importante osservare che parlare genericamente di tempo e non distingue-re tra i due enti istanti ed intervalli porta a omettere distinzioni essenziali. Adesempio lo spostamento e, per sua definizione, associato ad un intervallo di tempomentre la posizione e associata ad un istante.

3.0.2 Moto

Uno dei concetti cinematici piu importanti e quello di moto che qualcuno defi-nisce come una successione di istanti di quiete. Viene a proposito il paradossodi Zenone. Questi avanza degli argomenti contro il movimento. Sentiamo quellodella freccia. La freccia, che appare in movimento, in realta e immobile: difatti lafreccia non puo occupare che uno spazio pari alla sua lunghezza ed e immobilerispetto a questo spazio; e poiche il tempo e fatto di istanti, per tutto il tempo lafreccia sara immobile. [34, v.I,p.39]

Gli errori contenuti in questa analisi sono conseguenza di una mancata defi-nizione della nozione di immobile e quindi della mancata distinzione tra istantied intervalli. Per sapere se un corpo e immobile occorre lasciar decorrere un in-tervallo di tempo, ancorche piccolo: un corpo e fermo in un intervallo di tempose mantiene la stessa posizione durante l’intervallo. L’istante e concepito comeil punto della geometria, non e dotato di estensione. Dire che un corpo e fermoin un istante non ha senso. Zenone dice ...e poiche il tempo e fatto di istanti: evero semmai il contrario, e cioe che il tempo e fatto di intervalli, come ha rilevatoAristotele [34, v.I, p.40]. Se la freccia fosse immobile in ogni sotto-intervallo echiaro che essa sarebbe immobile nell’intero intervallo. Ma poiche si supponeche la freccia sia in moto essa risulta in moto in qualsivoglia sotto-intervallo. Ilparadosso di Zenone si rivela quindi... una fregnaccia!

3.0.3 Moto uniforme

Uno dei concetti fondamentali della cinematica e quello di moto uniforme. Essoviene definito come il moto di un punto che percorre spazi uguali in tempi uguali.

1 L’ordine puo essere t, x, y, z oppure x, y, z, t. Si consiglia la prima quaterna in quanto, nellatrattazione dello spazio-tempo da luogo a formule piu semplici che evitano l’unita immaginaria,assolutamente inopportuna in questo contesto

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO 59

Gia: in tempi uguali. Ma questo presuppone la misura dei tempi ovvero l’usodi un orologio. E l’orologio campione procede di moto uniforme? Si vede che ilgiudizio sulla uniformita di un moto ricade nell’assunzione che vi sia un orologioche proceda ... con moto uniforme!

Il procedimento operativo e molto piu sperimentale. Si considera un certo nu-mero di orologi candidati a diventare l’orologio campione. Si dispongono tutti conle lancette sullo zero (con una tolleranza prestabilita) quindi si fanno partire tutticontemporaneamente. Dopo qualche ora o giorno o mese o anno, dipende dallaprecisione che si vuole ottenere, si confrontano allo stesso istante. Alcuni sonorimasti piu indietro rispetto alla media, altri sono andati molto avanti. Si scarta-no quegli orologi che si discostano molto dalla media: i rimanenti costituiscono icampioni che considereremo come dotati di moto uniforme [51, v.1, p.5].

3.1 Cinematica del punto

3.1.1 Velocita e accelerazione

Su molti libri di fisica e di meccanica la velocita e definita come la derivata dellospostamento. Questa definizione e equivoca e puo condurre ad errori notevoli. In-tanto osserviamo che la posizione di un punto rispetto ad un sistema di riferimentoe determinata dal raggio vettore ~r(t).

D. Si chiama spostamento di un punto, relativamentead un intervallo di tempo τ, il vettore ~s che congiunge la posizioneiniziale con quella finale del punto nell’intervallo considerato.

E’ evidente che lo spostamento ~s(τ) non e relativo ad un istante ma ad un intervallodi tempo e quindi non si puo farne la derivata. Per cui si ha la definizione divelocita

D. Si chiama velocita di un punto ad un istante t il limitedel rapporto tra il vettore spostamento ~s subıto in un intervallo τ

contenente l’istante t e la durata dell’intervallo τ:

~vdef= lim

τ−→0

~sτ

(3.1)

Dal momento che lo spostamento e l’incremento del vettore raggio,ovvero ~s = ∆~r ne viene che

~v = lim∆t−→0

∆~r∆t

=d~rdt

(3.2)

Quindi la velocita e uguale alla derivata del vettore raggio (non dellospostamento!).


O. Una ragione della confusione che spesso viene fatta tra la derivata delvettore raggio e la derivata dello spostamento sta nel fatto che qualora il punto sia passatoin qualche istante precedente per l’origine del sistema di riferimento, preso come istanteiniziale quello del passaggio per l’origine, il vettore raggio puo interpretarsi come lospostamento iniziale.

Come si vede la nozione di velocita presuppone uno spostamento e quindiun intervallo di tempo. Infatti nessuna misura di velocita puo essere fatta senzalasciar trascorrere un benche minimo intervallo temporale. Si pensi alla misuradella velocita fatta con due fotocellule poste ad una certa distanza o con due foto-grammi. Questo indica che la nozione di velocita e riferita, per principio, ad unintervallo di tempo. Il fatto e che noi siamo abituati ad usare la velocita istantanea,valutata facendo il limite della velocita media quando l’estensione dell’interval-lo tende a zero. Cosı facendo la velocita istantanea risulta funzione dell’istante.Senonche noi non misureremo mai una velocita istantanea ma sempre e solo unavelocita media su un intervallo molto piccolo ma mai infinitamente piccolo. Quin-di si puo dire che la velocita, come nozione, e associata ad un intervallo, quellousato per misurarla, mentre la velocita istantanea e, per sua definizione, funzionedell’istante.

3.1.2 Sistema di coordinate e base fisica

D. Un sistema di coordinate e una corrispondenza tra ipunti di una regione di spazio e le terne di numeri reali tale che lacorrispondenza sia biunivoca e bicontinua.

Per fare un esempio, nel sistema di coordinate polari la coordinata angola-re dell’origine ha un valore indefinito e quindi cade la corrispondenza biunivocapunto-coordinate. Questo porta con se che molte espressioni matematiche usa-te nelle coordinate polari (ad esempio la divergenza di un vettore) abbia unasingolarita per ρ = 0.

Il sistema di coordinate cartesiane e privilegiato, rispetto a tutti gli altri sistemidi coordinate, per diverse ragioni. La prima ragione e che le coordinate sono dellelunghezze di segmenti; una seconda ragione e che le le linee coordinate sonorette; una terza ragione e che i vettori della base fisica, i tradizionali versori~i, ~j,~k,sono uniformi nello spazio, vale a dire si trasportano da un punto ad un altro pertraslazione2.

2 Il termine uniforme si deve usare per indicare l’invarianza per traslazione nello spazio, mentreil termine costante si deve usare per indicare l’invarianza nel tempo.


D. Si chiama base fisica di un sistema di coordinate inun punto l’insieme dei vettori di lunghezza unitaria (=versori) tan-genti alle linee coordinate nel punto e con il verso delle coordinatecrescenti.

P

apolo

linea

lineaO

anomalia

asse polare

ρ

ρ

ϑ

ϑ

raggio vettore

Figura 3.1. Coordinate polari

Il sistema di coordinate polari, che e il piu usato dopo quello cartesiano, ha lelinee coordinate ove varia solo l’angolo θ che sono circonferenze e la coordinataθ non e la lunghezza di un arco di circonferenza. Ne viene che i vettori della basefisica, denotati con ~eρ, ~eθ, pur avendo modulo unitario, variano da un punto ad unaltro. Questo comporta che la differenza tra uno stesso vettore base, ad esempio~eρ, relativa a due punti non e nulla, come invece accade nel riferimento cartesiano.


3.1.3 Componenti della velocita e della accelerazione

coordinate cartesiane coordinate polari

~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t)~k ~r(t) = ρ(t)~eρ

~v

vx(t) = x(t)

vy(t) = y(t)

vz(t) = z(t)~v

vρ(t) = ρ(t)

vϑ(t) = ρ(t) ϑ(t)

~a

ax(t) = x(t)

ay(t) = y(t)

az(t) = z(t)~a

aϑ(t) = 2 ρ(t) ϑ(t) + ρ(t) ϑ(t)

aρ(t) = ρ(t) − ρ(t) ϑ2(t)

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 ds2 = dρ2 + ρ2dϑ2

v2 =

(dsdt

)2

= x2 + y2 + z2 v2 =

(dsdt

)2

= ρ2 + ρ2ϑ2

.

(3.3)

ϑ

ρ

O

vϑ

vρ

v

ϑρ

O

aϑ

aρ

direttrice direttrice

a

Figura 3.2. dida ...

Le componenti vρ, vϑ, aρ, aϑ sono le proiezioni dei vettori~v e ~a rispettivamentesulle tangenti alle linee coordinate ρ = costante, ϑ = costante.

Invece di un sistema di coordinate si puo far uso della terna intrinseca. Questae molto comoda quando si conosca la traettoria del punto, in particolare, deno-tando con s la lunghezza dell’arco di traettoria tra un punto di riferimento edil punto attuale, quando si consoscano le equazioni parametriche della traettoria


x(t), y(t), z(t) si ricava

~v = s~t ~a = s~t +s2

r~n. (3.4)

La velocita di un punto e tangente alla traiettoria; mentre l’accelerazionegiace nel piano osculatore.

3.1.4 Come orientare la normale ad una curva piana

Assegnata una curva piana, fissato un verso di percorso, il versore tangente ~t allacurva in un suo punto generico ha il verso concorde al verso fissato sulla curva.

Per il versore normale ~n ci sono due scuole di ... pensiero. La maggior partedegli autori orienta il versore normale verso il centro del cerchio osculatore ovverodalla parte della concavita.

Cosı facendo, qualora la curva abbia un tratto rettilineo il vettore normale inquel tratto non si sa come orientarlo. Se la curva ha un flesso, come capita per unasinusoidale, a cavallo del punto di flesso la normale salta improvvisamente da unaparte all’altra della curva, il che non e consigliabile.

pun to di flesso

R = -7R = +7

R = +6 R = +6

a) b)

Figura 3.3. Le due opposte convenzioni sul segno della normale ad una curvapiana. a) la normale dalla parte della concavita; b) la normale sempre da unastessa parte.

La seconda scuola di pensiero mette la normale sempre dalla stessa parte dellacurva, evitando cosı le discontinuita. Questo secondo modo ha l’apparente difettodi comportare raggi di curvatura negativi quando la normale non e volta verso laconcavita. Ma questo non e un problema: nello studio delle superfici si usano lecurvature con segno e quindi un raggio di curvatura negativo puo benissimo essereaccettato per una curva piana.

3.1.5 Alcune grandezze in coordinate polari

∂~eρ∂ρ

= 0 ;∂~eρ∂θ

= ~eθ ;∂~eθ∂ρ

= 0 ;∂~eθ∂θ

= −~eρ (3.5)


d~eρdt

= ρ∂~eρ∂ρ

+ θ∂~eρ∂θ

= θ ~eθd~eθdt

= ρ∂~eθ∂ρ

+ θ∂~eθ∂θ

= −θ ~eρ (3.6)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~r = ρ ~eρ

~v = ρ ~eρ + ρd~eρdt

= ρ ~eρ + ρ θ ~eθ

~a =d~vdt

= ρ~eρ + ρd~eρdt

+ (ρ θ + ρθ)~eθ + ρθd~eθdt

= ρ~eρ + ρθ~eθ + (ρ θ + ρθ)~eθ − ρθ2~eρ

= (ρ − ρθ2)~eρ + (2ρθ + ρθ)~eθ

(3.7)

Adef=

12

∣∣∣∣(P − S ) × ~v∣∣∣∣ =

12ρ2θ velocita areale. (3.8)

3.1.6 Moto centrale

E’ il moto di un punto che ha sempre l’accelerazione diretta verso un punto fissodetto centro. Il moto e piano e la velocita areale e costante. Essa e data da

A4=

dA(t)dt

=

12 ρ

2 ϑ in coordinate polari

12 (xy − xy) in coordinate cartesiane

(3.9)

Lo studio di un moto centrale e facilitato dalla sostituzione 1ρ = η. Cosı

formula di Binet aρ(θ) = d2 η2 [η(ϑ) + η(ϑ)]

legge di Newton Fρ(ρ) = G M m η2 Fθ = 0

equazione conica η(θ) =1p

+ep

cos(ϑ)

Pp p

p

FF

F ′F ′

2a

2c

θ θθ

0

ca

F=F ′

Figura 3.4. Coniche [MANCA LA PARABOLA] ♣

3.2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO 65

a = semiasse maggioreb = semiasse minorec = semidistanza focalee = eccentricita della conica = c/ap = ordinata nel fuoco = b2/ad = 2A

e > 1 = iperbolee = 1 = parabolae < 1 = ellissee = 0 = circonferenza

3.2 Cinematica del corpo rigido

3.2.1 Atto di moto rototraslatorio

D: Si dice atto di moto di un sistema ad un dato istante,l’insieme delle velocita dei punti del sistema a quell’istante.

Per un corpo rigido la sola conoscenza della velocita di un suo punto genericoA (o di un punto solidale con esso) e della sua velocita angolare e sufficiente adeterminare la velocita di ogni altro punto B del corpo (o solidale con esso) almedesimo istante secondo la formula:

~vB = ~vA + ~ω × (B − A) (3.10)

B e A sono due punti del corpo rigido o solidali con esso.~vA, ~vB sono le velocita dei punti A e B.~ω e il vettore velocita angolare del corpo rigido.

Questa formula vale solo per un atto di moto rototraslatorio che e tipico,ma non esclusivo, del corpo rigido: anche un corpo deformabile (ad esempio unagomma per cancellare) puo avere uno spostamento rototraslatorio.

Da questa formula si trae il fatto importante che le proiezioni delle velocitadei due punti generici A e B sulla retta che li congiunge sono equali.

Figura 3.5. FARE UNA FIGURA


u

A

B

VA

VB

~

~

~vB · ~u = ~vA · ~uω × [B − A] · ~u ≡ 0

ω

ω2

B

V

B

VB

ω

x (B -A)

A

O

VA

A~

~

~

ω

1

1

1

x (A -O) A e B sono due punti di uno stesso corpo rigido,ω2 e la velocita angolare del medesimo corpo ri-gido.~vA = ~vB + ω2 × (B − A)

3.2.2 Centro di istantanea rotazione

D: Si dice moto piano il moto in cui le velocita di tutti ipunti di un sistema sono in ogni istante paralleli ad un piano fissodetto piano direttore.

D: Il centro di istantanea rotazione in un moto rigidopiano e quel punto del piano direttore rispetto al quale l’atto di motoe rotatorio.

Il centro di istantanea rotazione, se pensato come solidale con il corpo rigido, havelocita nulla nell’istante considerato, ma non ha in genere accelerazione nulla.Indicato con C potremo scrivere

~vC = 0, ~aC , 0. (3.11)

Il centro di istantanea rotazione si puo trovare analiticamente scegliendolo comepolo C:

~vP = ~ω · (P −C); ~vC = 0. (3.12)

3.2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO 67

xC(t)

YC (t)

X C (t)

yC (t)

b(t)

a(t) P

C

X

Y

x

y

`(t)

~i

~j

Dette a(t) e b(t) le coordinate di un genericopunto P solidale con il corpo rigido preso comeorigine del riferimento mobile si ha:

a(t)~i+b(t)~j =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

0 0 ϕ(t)

a(t) − XC(t) b(t) − YC(t) 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣da cui sviluppando ed eguagliando i coefficientisi ottiene:

XC(t) = a(t) −b(t)ϕ(t)

YC(t) = b(t) +a(t)ϕ(t)

x

y

Figura 3.6. Base e rulletta di un’asta che scorre con i due estremi su due guideortogonali. La circonferenza grande e la base mentre le circonferenze piccolesono le rullette.

L’equazione della polare fissa (o base) si ottiene eliminando t dalle due equa-zioni. Spesso nelle equazioni non compare esplicitamente t ma solo ϕ : bastaallora eliminare ϕ dalle due equazioni per ottenere la polare fissa. Le coordinate


del centro relative al riferimento mobile P(x, y) sonoxC(t) = +(XC − a) cos(ϕ) + (YC − b) sin ϕ;

yC(t) = − (XC − a) sin ϕ + (YC − b) cos(ϕ)(3.13)

da cui eliminando t si ottiene l’equazione della polare mobile (o rulletta).

3.3 Vincoli anolonomi

Un esempio classico e quello di un disco che rotola senza strisciare su un piano(ad esempio una moneta sul tavolo): la posizione del disco (che supponiamo simantenga sempre perpendicolare al piano di rotolamento) e individuata da quattrocoordinate generalizzate (x, y, ϑ, ϕ in figura (3.3)). Ma il vincolo di rotolamentoimpone un legame tra le variazioni delle coordinate, precisamente

R dϕ =√

dx2 + dy2 rotolamento senza trascinamentody = tgϑ dx moto trasversale impedito

(3.14)

Solo quando si precisa la traiettoria seguita dal disco, cioe si assegna la lineay = y(x), la relazione tra le variazioni (vincolo di mobilita) si traduce in unarelazione tra le coordinate generalizzate:

y(x) =

∫ x

0

1R

√1 + y′(x)2 dx ϑ(x) = artg( y′(x)) (3.15)

Poiche in un problema di dinamica la traiettoria non e nota a priori ne vie-ne che tra le coordinate generalizzate rimane un legame espresso da equazionidifferenziali di cui si deve tener conto nella risoluzione del problema del moto.

y

y

x x

R

R

µµ’

d’ds dy

dx

rotazione(concessa)

Figura 3.7. [anolonomo] dida

3.3. VINCOLI ANOLONOMI 69

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

Figura 3.8. [biellaManovella] Nel meccanismo biella-manovella, se la biella ecorta il suo estremo non descrive un moto armonico.

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14

16

Figura 3.9. [biellaManovella2] Nel meccanismo biella-manovella, se la biellae lunga il suo estremo descrive un moto molto prossimo a quello armonico.


Figura 3.10. [scodella] La posizione di equilibrio di un’asta mobile entro uncirconferenza: un cucchiaio nella scodella.

Capitolo 4

Dinamica

4.0.1 Equazioni cardinali della dinamica

d~Pdt

= ~R + ~R′

d~LA

dt+~vA × ~P = ~MA + ~M′A

sono due equazioni vettorialipari a sei equazioni scalari

(4.1)

Sono valide per qualunque sistema di forze, per qualunque tipo di vincolo,per qualunque polo A fisso o mobile mobile.

~P = quantita di moto totale~R = risultante delle forze attive esterne~R′ = risultante delle forze reattive esterne~LA = momento della quantita di moto rispetto ad A~vA = velocita del punto A~MA = momento delle forze attive esterne rispetto ad A~M′A = momento delle forze reattive esterne rispetto ad A.

Le equazioni cardinali sono necessarie, cioe devono valere durante il movi-mento, per il moto di qualsiasi sistema, ma sono sufficienti, cioe bastano da solea determinare il movimento, solo per un corpo rigido, che ha infatti al massimo6 gradi di liberta.

Esse sono compatibili tra loro e indipendenti, salvo il caso in cui il sistemasi riduce ad un solo punto: in questo caso le ultime tre coincidono con le primetre.

71

72 CAPITOLO 4. DINAMICA

Indicando con G il centro di massa, la prima equazione si puo anche scrivere:

m~aG = ~R + ~R′ (4.2)

forma particolarmente utile per il corpo rigido. Se il punto A lo si fa coinciderecon il centro di massa G la seconda equazione, si puo scrivere:

d~LG

dt= ~MG + ~M′G (4.3)

forma utile particolarmente nel caso di un corpo rigido.

4.0.2 Calcolo del momento angolare

Se A e un generico punto, anche mobile rispetto ad un riferimento inerziale, e perdefinizione:

per un sistema discreto

~LAdef=

N∑i=1

(~ri − ~rA) × mi~vi (4.4)

per un sistema continuo

~LAdef=

∫Ω

(~r − ~rA) × ρ~v dΩ (4.5)

Una volta calcolato il momento delle quantita di moto rispetto ad un polo A, percalcolare rispetto ad un altro polo B si usa la formula di trasporto:

~LB = ~LA + (~rA − ~rB) × ~P (4.6)

Per calcolare il momento delle quantita di moto di un sistema e conveniente cal-colare separatamente il momento delle quantita di moto di ciascun corpo rigido edi ciascuna particella di cui e composto il sistema e poi sommarli.

Dalla definizione del momento delle quantita di moto mediante l’uso dellarelazione

~vk = ~vG + ~ω × (~rk − ~rG) (4.7)

si trova l’espressione generale del momento delle quantita di moto per un corporigido:

~LA = (~rG − ~rA) × ~P + IGx ωx~i + IGx ωy ~j + IGz ωz ~k (4.8)

essendo~ω(t) = ωx(t) ~i(t) + ωy(t) ~j(t) + ωz(t) ~k(t) (4.9)

cioe: il momento delle quantita di moto di un corpo rigido rispetto ad un polo ge-nerico e la somma del momento della quantita che ha l’intera massa concentratanel baricentro e di quella relativa al baricentro.

73

A

VA

vedi riferimento pag 328 cdr

G

Z

X

Y

x

y

z

i(t)

j(t)

k(t)

G = baricentroA = punto generico~P = quantita di moto totale~i, ~j,~k = versori di una terna di assi

solidali con il corpo con originenel baricentro e diretti come gli assiprincipali di inerzia

IGx, IGy, IGz = momenti principali di inerzia(quindi rispetto agli assi x, y, z).

ωx, ωy, ωz = componenti della velocita angolarerispetto alla terna principale di inerzia.

Dalle formule precedenti si ricavano le seguenti formule particolari.moto piano.

corpo rigido con asse fisso:momento rispetto all’asse LAz = IAz ϕ

momento rispetto ad un assebaricentrico

LGz = IGz ϕ

momento rispetto ad un as-se passante per il centro diistantanea rotazione C

LCz = ICz(t) ϕ

momento rispetto ad un assepassante per un punto genericoS

~LS = ~LG + (G − S ) × ~P ovvero

LS z = IGz ϕ + m[(xG − xS ) yG − (yG − yS ) xG

]♣

Moto dello spazio.

rispetto al centro di una massa G (assigenerici)essendo

Ix =

∫Vρ(y2 + z2) dV , ecc.

Iyz = −

∫Vρyz dV, ecc.

LG = LGx~i + LGy~j + LGz~k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

LGx

LGy

LGz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

IGx IGxy IGxz

IGyx IGy IGyz

IGzx IGzy IGz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ωx

ωy

ωz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣rispetto ad un polo generico A ~LA = ~LG + (~rG − ~rA) × m~vG


QUIZ: poiche sono verticali i carichi

sono verticali le reazioni

P Q

AB

φA φB

P Q

x

y

Z

X

Y

Z

XY

z

zx

yG

G

Figura 4.1. Assi principali baricentrici.

4.0.3 Teorema dell’energia

In un riferimento inerziale vale il teorema dell’energia

dTdt

= P intatt + P est

att + P intreatt + P est

reatt (4.10)

cioe la derivata dell’energia cinetica rispetto al tempo e uguale alla potenza delleforze attive e reattive, esterne ed interne agenti sul sistema. Questa equazione valeper qualunque tipo di vincolo e per qualunque sistema di forze.

75

Se i vincoli interni ed esterni non sono dissipativi e sono fissi, il lavoro fattodalle reazioni e nullo:

P intreatt = 0 P est

reatt = 0 vincoli non dissipativi e fissi. (4.11)

In questo secondo caso il teorema dell’ energia diventa:

dTdt

= P intatt + P est

att vincoli non dissipativi e fissi (4.12)

che e una equazione pura. Se il sistema e un corpo rigido la potenza delle forzeinterne e nulla:

P intatt = 0 corpo rigido (4.13)

per cui il teorema dell’energia si riduce a

dTdt

= P estatt corpo rigido (4.14)

Il teorema dell’energia si usa anche nella forma integrata

∆T = W intatt + W est

att + W intreatt + W est

reatt (4.15)

La potenza di un sistema di forze applicate nei punti A1, A2, ..., AN , e data da

P def=

N∑i=1

~Fi · ~vi. (4.16)

Se il corpo su cui agiscono le forze e rigido, tenendo conto della relazione:

~vB = ~vA + ~ω × (B − A) (4.17)

la precedente diviene:

P = ~R · ~vA + ~MA · ~ω corpo rigido (4.18)

essendo

~R = risultante del sistema di forze agenti sul corpo rigido~B = punto generico del corpo rigido~MA = momento del sistema di forze rispetto a A~ω = velocita angolare del corpo rigido.

Nel caso in cui il corpo rigido si muova di moto piano la formula precedentediviene:

P = Rx xA + RyyA + MAzϕ. (4.19)

Per calcolare la potenza delle forze agenti su un sistema generico si sommanole potenze relative ai singoli corpi rigidi e punti materiali di cui e composto ilsistema.


4.0.4 Integrale dell’energia

Se i vincoli non sono dissipativi, se i vincoli esterni sono fissi (cosı che il siste-ma non riceve energia tramite i vincoli) se le forze attive, sia interne che esterne,sono conservative, vale l’integrale dell’energia:

T= energia cinetica del sistemaV= energia potenziale del sistemaE= energia totale (si determina con le condizioni iniziali)

T + V = E (4.20)

che ha il pregio di mettere in evidenza un bilancio energetico. Si osservi cheponendo U 4

= −V , denotando con U il potenziale delle forze attive, l’integraledell’energia acquista la forma:

T − U = E. (4.21)

4.0.5 Osservazioni sul teorema e sull’integrale dell’energia

Il teorema dell’energia puo sostituire vantaggiosamente una delle equazioni car-dinali nel caso di un corpo rigido in quanto per un corpo rigido dalle equazionicardinali si puo dedurre il teorema dell’energia.

Se invece le equazioni cardinali sono applicate ad un sistema non rigido, ilteorema dell’energia puo aggiungersi ad esse in quanto contenendo il lavoro delleforze interne non puo essere conseguenza delle equazioni cardinali.

Se un sistema, in particolare un corpo rigido o un punto materiale, ha un sologrado di liberta il teorema dell’energia e particolarmente conveniente. Questo evero, in particolare, quando e noto il moto del sistema e si desidera trovare ilvalore di una forza o di un momento incogniti che mantengono il movimento.

Analoghe considerazioni valgono per l’integrale dell’energia. Esso pero, puravendo una validita piu ristretta perche esclude le forze dissipative e i vincoli mo-bili, ha il vantaggio di essere costituito da una equazione differenziale del primoordine, e quindi risparmia una integrazione.

4.0.6 Calcolo dell’energia cinetica

L’energia cinetica di un sistema meccanico e per definizione

per un sistema discreto di particelle

T =12

N∑k=1

mk v2k (4.22)

per un sistema continuo

T =12

∫Vρ v2 dV (4.23)

77

Per un corpo rigido, valendo la relazione ~vk = ~vB + ~ω × (Pk−B) in cui B e ungenerico punto del corpo rigido oppure solidale con esso, la formula precedentediviene:

T =12

m v2B + m~vB · ~ω × (~rG − ~rB)+

+12

(Ixω2x + Iyω2

y + Izω2z + 2Ixyωxωy + 2Ixzωxωz + 2Iyzωyωz)

(4.24)

(per i simboli si veda il paragrafo precedente).Se in particolare si sceglie B coincidente con il baricentro e se per assi si

scelgono quelli principali di inerzia la formula precedente diventa:

T =12

m v2G +

12

(IGxω2x + IGyω

2y + IGzω

2z ) (4.25)

Per calcolare l’energia cinetica di un sistema non conviene, in generale, faruso del teorema di Konig applicato all’intero sistema: e meglio calcolare se-paratamente le energie cinetiche dei singoli corpi rigidi e punti materiali checompongono il sistema e poi sommarle.

Dalle formule precedenti si ottengono le seguenti formule particolari:Moto piano.

corpo rigido con asse fisso T = 12 IAz ϕ

2

corpo rigido genericamente mobile T = 12 m v2

G + 12 IGz ϕ

2

Si faccia attenzione che ICz, in generale, e una quantita variabile: dunque nel-le successive derivazioni (rispetto al tempo o rispetto alle coordinate) deve esseretrattata come variabile.

Per calcolare l’energia cinetica di una particella conviene, in generale, usare lecoordinate cartesiane x, y, z del punto in funzione delle coordinate libere, e quindiderivarle rispetto al tempo e sommarne i quadrati.

In qualche semplice caso esprimendo la velocita assoluta mediante la velocitarelativa e quella di trascinamento puo convenire far uso della formula

T =12

m(~vtrasc +~vrel)2 =12

m[v2

trasc + v2rel + 2 vrel vtrasc cos(ϑ)

](4.26)

essendo ϑ l’angolo formato tra ~vrel e ~vtrasc. ♣ H6D Esempio.


QUIZ: w∗ = +F δxB − F δxA = 0

poiche xA = −L cos(ϑ) e xB = L cos(ϑ)

ne viene δxA = −δxB e quindi

w∗ = 2 F δxB = 0

donde F = 0. Dove sta l’errore?

x

FF

yA B

Lϑ

S

α

y

X

x

m

y

x

m

A X A

S

vrel

vtrasc

Figura 4.2. Dado che scivola su un piano inclinato mobile. Le coordinate liberescelte sono xA ed s.

x = xA + s cosαy = s senα

x = xA + s cosαy = s senα

T =12

m v2 =12

m(x2 + y2) =12

m[x2

A + s2 + 2 xA s cosα]

Facendo uso del secondo procedimento, essendo vtrasc = xA, vrel = s e l’ango-lo tra ~vrel e ~vtrasc uguale ad α ne viene direttamente l’espressione precedente.

4.0.7 Relazione simbolica della dinamica

La disequazione:N∑

k=1

( ~Fk − mk ~ak) · δ~rk ≤ 0 (4.27)

prende il nome di relazione simbolica della dinamica.

79

~Fk = forza attiva agente sul punto Pk

mk = massa della particella Pk

~ak = accelerazione della particella Pk

δPk = spostamento virtuale.

O. Si osservi l’uso del simbolo δ: esso e obbligatorio ! Qualora siusasse il simbolod si intenderebbe con d~ri ≡ dPi lo spostamento effettivo e cometale d~ri = ~vi dt. Cio significa che considereremmo uno spostamento particolare,quello effettivamente compiuto, nella direzione della velocita. L’essenza dell’e-quazione simbolica, al contrario, e quella di affermare che una quantita e positivao nulla per qualunque spostamento virtuale non per uno specifico spostamento(quello effettivo). Inoltre se i vincoli sono mobili lo spostamento effettivo non ecompreso nella famiglia degli spostamenti virtuali e la disuguaglianza risultereb-be falsa in quanto lo spostamento effettivo non risulta, in generale, ortogonale allareazione vincolare.

La relazione simbolica vale in un riferimento inerziale e se i vincoli sonolisci. Essa non e comoda per la determinazione del movimento e viene perciousata nelle sue forme piu elaborate, come ad esempio le equazioni di Lagrange oquelle di Hamilton.

O. Si ponga attenzione al fatto che nell’equazione simbolica delladinamica compaiono le forze interne nonostante la somma delle forze interne sianulla. Infatti anche se la somma delle forze e nulla cio non comporta che anche lasomma dei lavori sia nulla.

Se i vincoli sono bilateri la disequazione si trasforma in equazione e quindiacquista la forma

N∑k=1

( ~Fk − mk ~ak) · δ~rk = 0 vincoli bilateri (4.28)

E’ questa l’equazione simbolica della dinamica, punto di partenza per la dedu-zione delle equazioni di Lagrange e di Hamilton quindi della meccanica analitica.

4.0.8 Principio di d’Alembert

Premesso che la quantita −mk~ak prende il nome di forza di inerzia, allora:

Principio di d’Alembert: si passa dalle equazioni della statica aquelle della dinamica aggiungendo alle forze attive le forze di iner-zia.


Cosı si passa dalle equazioni cardinali della statica a quelle della dinamica:

N∑k=1

( ~Fk + ~Φk) = 0

N∑k=1

~rk × ( ~Fk + ~Φk) = 0

→

N∑k=1

( ~Fk + ~Φk − mk ak)

= 0

N∑k=1

~rk ×( ~Fk + ~Φk − mk ~ak

)= 0

(4.29)

e dal principio dei lavori virtuali alla relazione simbolica della dinamica:

N∑k=1

~Fk · δ~rk ≤ 0 −→

N∑k=1

( ~Fk − mk ak) · δ~rk ≤ 0 (4.30)

Il principio di d’Alembert permette di ridurre l’impostazione di un problema didinamica alla impostazione di un corrispondente problema di statica tenendo con-to appunto delle forze di inerzia. Il procedimento risulta particolarmente utilequando il moto del sistema e assegnato (e quindi le forze di inerzia sono no-te), mentre risultano incognite le forze attive che mantengono il movimento. Inquesto senso il principio di d’Alembert e particolarmente usato nella meccanicaapplicata.

4.0.9 Equazioni di Lagrange

Se e dato il moto del sistema soggetto a vincoli olonomi, lisci e bilateri con ngradi di liberta: se q1(t), q2(t), . . . , qn(t) sono n coordinate libere atte ad indivi-duare la configurazione del sistema ad un generico istante t, le equazioni pure dimovimento sono date dalle equazioni di Lagrange:

ddt∂T∂qh −

∂T∂qh = Qh h = 1, 2, . . . , n (4.31)

valida per vincoli olonomi, lisci, bilateri.T (q, q, t) e l’energia cinetica del sistema e le Qh( q1, q2, ...; q1q2, ...t) sono le

forze generalizzate date dall’espressione differenziale lineare

w∗ =

n∑h=1

Qh δqh, (4.32)

che esprime il lavoro virtuale delle forze attive sia esterne che interne al sistema.

Se le forze generalizzate Qh ammettono potenziale, cioe Qh =∂U∂qh = −

∂V∂qh

le equazioni di Lagrange divengono:

81

ddt

∂L∂qh −

∂L∂qh = 0 (4.33) L def

= T − Vfunzione di Lagrange o lagrangiana

(4.34)

I pregi delle equazioni di Lagrange sono:

a) di essere equazioni pure, cioe non contenere reazioni vincolari e quindi diessere adatte al calcolo del movimento;

b) di essere in numero uguale al numero dei gradi di liberta e quindi sufficientiper la determinazione del movimento;

c) di essere indipendenti ovvero nessuna e combinazione delle altre;d) di valere anche se i vincoli sono mobili;e) nel caso di forze conservative di far dipendere il moto del sistema dalla sola

conoscenza di due quantita: l’energia cinetica ed il potenziale.

I difetti sono:

a) di non permettere il calcolo delle reazioni vincolari (salvo eliminare i vin-coli e considerare le reazioni come forze attive);

b) di valere solo per sistemi olonomi e per vincoli lisci.

In linea di massima piu complicato e il sistema e piu vantaggioso e l’uso delleequazioni di Lagrange.©

4.0.10 Punto materiale libero

Esempi: il moto dei gravi nel vuoto, nell’aria, il moto di un elettrone in un campomagnetico.

Le equazioni finite di movimento sono:coordinate cartesiane

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

coordinate polariϑ = ϑ(t) ρ = ρ(t)

(4.35)

Si usa l’equazione fondamentale: ~F = m ~a che assume le seguenti forme:

coordinate cartesiane

Fx = mx(t)

Fy = my(t)

Fz = mz(t)

coordinate polari(nel piano)

Fρ = m(ρ − ρ ϑ2)

Fϑ = m(2ρ ϑ + ρ ϑ)

componentiintrinseche

Ft = ms(t)

Fn = ms2(t)r(s)

Fb = 0(4.36)


QUIZ: la risultante delle forze esterne e

nulla, dunque il sistema e in equilibrio.F F

BδB

p

Una delle equazioni cartesiane o la prima delle intrinseche puo essere sostitui-ta dal teorema dell’energia ∆T = W o, nel caso di forze attive conservative,dall’integrale dell’energia T + V = E.

Per ottenere le equazioni della traiettoria si puo esprimere l’arco di traettorias in funzione del tempo, quindi ricavare il tempo in funzione di s e infine sostituirela funzione t = t(s) nelle equazioni di moto. Si ottiene

x = x(s) y = y(s) z = z(s). (4.37)

La funzione s(t) si ottiene mediante la formula

s(t) = s(0) +

∫ t

0

√x2 + y2 + z2 dt. (4.38)

Le tre equazioni differenziali del secondo ordine comportano, ad integrazioneavvenuta, la nascita di 6 costanti arbitrarie che possono essere determinate unavolta date le condizioni iniziali (posizione e velocita iniziali).

4.0.11 Particella vincolata a una linea fissa e liscia

Esempio: il giro della morte (particella costretta a seguire una guida a forma dicirconferenza).

Consiglio: fare una figura chiara, possibilmente grande. Scegliere un versopositivo per gli archi, adeguare ad esso il verso di un eventuale angolo sceltocome coordinata libera, disegnare il versore tangente alla linea nel verso degliarchi crescenti, disegnare la normale che giace nel piano osculatore scegliendolasempre da una stessa parte percorrendo la curva e se necessario la binormale.

Un disegno ben fatto evita gli errori di segno.

equazioni polari: equazioni intrinseche: Fρ +Φρ = m(ρ − ρϑ2)

Fϑ +Φϑ = m(2ρϑ + ρϑ)

Ft = ms

Fn +Φn = ms2

rFb +Φb = 0

(4.39)

La prima equazione puo essere sostituita con ∆T = W o, per le forze con-servative, con T + V = E o anche da una equazione di Lagrange. Le equazionicartesiane sono sconsigliate.

83

piano osc.

t

piano normale

b

n

φ

~F + ~Φ = m ~a

equazioni polari: equazioni intrinseche: Fρ +Φρ = m(ρ − ρϑ2)

Fϑ +Φϑ = m(2ρϑ + ρϑ)

Ft = ms

Fn +Φn = ms2

rFb +Φb = 0

Se il vincolo e unilatero il punto abbandona il vincolo quando Φ = 0.Se la linea e piana puo essere comodo usare le coordinate polari:

diretrice

P

F

‰

O

µ

'

' ‰

' µ

Fρ +Φρ = m (ρ − ρ ϑ2)

Fϑ +Φϑ = m (2 ρ ϑ + ρ ϑ)

4.0.12 Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia

Se indichiamo con ϕ(x, y, z) = 0 l’equazione della superficie il vettore ~v =∂ϕ

∂x~i +

∂ϕ

∂y~j +

∂ϕ

∂z~z e perpendicolare alla superficie. Le equazioni cartesiane di moto

sono:

mx = Fx + λ(P)∂ϕ

∂x

my = Fy + λ(P)∂ϕ

∂y

mz = Fz + λ(P)∂ϕ

∂z

(4.40)

Eliminando λ tra le tre equazioni di moto si ottengono due equazioni puredi tipo differenziale tra le coordinate x, y, z. Queste due equazioni aggiunte allaequazione della superficie ϕ(x, y, z) = 0 forniscono, una volta risolte, le funzionix(t), y(t), z(t) che danno il moto del punto.

Noto il movimento la funzione λ(P) si puo allora ottenere da una delle treequazioni di moto. Essa serve per calcolare la reazione.


Qualora il vincolo sia unilatero il punto abbandona il vincolo quando ~Φ = 0,cioe λ(P) = 0. [mettere qui la figura della particella che scivola su un disco fisso@] Una delle tre equazioni puo essere sostituita dal teorema dell’energia ∆ T = Wo, se le forze attive sono conservative, dall’integrale primo T + V = E.

Se ~F = 0 la traiettoria e una geodetica della superficie.

4.1 Dinamica del corpo rigido

4.1.1 Corpo rigido con asse fisso

♣ Esempi: una puleggia che ruota su un albero; il rotore di un motore elettrico.

M

’(t)

Figura 4.3.

Il sistema ha un solo grado di liberta. Indicata con ϕ la coordinata libera, inassenza di attriti e di resistenze di altro tipo, l’equazione pura e:

IAz ϕ = MAz (4.41)

Le due altre equazioni m xG = Rx +Φx

m yG = Ry +Φy(4.42)

servono per determinare la reazione nella cerniera.In assenza di attriti si puo sostituire l’equazione pura (4.41) con il teorema

dell’energia nella forma differenzialedTdt

= P o nella forma finita ∆T = W. Se

le forze sono conservative, si puo sostituire la (4.41) con l’integrale dell’energiaT + V = E.

4.1.2 Rotolamento nel moto piano

Se si trascura l’attrito di rotolamento rimane l’attrito statico che realizza il vincolo.

4.1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 85

Per il calcolo del movimento basta usare il teorema dell’energia o un’equa-zione di Lagrange: quest’ultima e particolarmente consigliabile per lo studiodelle piccole oscillazioni. Le equazioni cardinali sono indicate soprattutto seinteressano anche le reazioni.

C

xc

y

G

φn

φt

ϕ

x

xc = -Rϕ

xc

y

x

xc = -Rϕ

C

G

ϕ

R

Figura 4.4. Due esempi di rotolamento.

Il punto di contatto C e il centro di istantanea rotazione. Conviene usare comecoordinata l’angolo ϕ. Tra xC e ϕ c’e il legame differenziale xC = ±R ϕ col segno+ se xC e ϕ crescono entrambi, col segno − se l’aumento dell’uno comporta ladiminuzione dell’altro. E’ conveniente usare il baricentro come polo in quanto ilmomento d’inerzia IGz e costante. Lo svantaggio e che compare il momento delleforze reattive M′Gz.

dLGz

dt= MGz + M′Gz

mxG = Tt +Φt

myG = Rn +Φn

(4.43)

Se il baricentro e nel centro del disco allora e comodo usare come polo, per ilcalcolo dei momenti il punto di contatto C. Infatti in questo caso il momentod’inerzia rispetto a C e pure costante essendo IC = IG + mR2. In tal caso lavelocita del centro di istantanea rotazione C e parallela a quella del baricentro G.In questo caso l’equazione di moto pura diventa:

ICzϕ(t) = MCz (4.44)

Se le forze attive sono conservative il movimento si determina con il solo teoremadell’energia o con l’integrale dell’energia o con l’equazione di Lagrange per ilcaso conservativo.


QUIZ: perche nel (puro) rotolamento si

puo usare l’integrale dell’energia T +V =

E pur essendo il vincolo scabro?x

La condizione che deve essere soddisfatta affinche il rotolamento puro abbialuogo e

|Φt| ≤ µ|Φn| (4.45)

Quando essa cessa di essere soddisfatta inizia lo strisciamento.O: l’equazione (4.44) esige che il momento d’inerzia Iz sia co-

stante. Se si volesse usare come polo della figura (4.4destra)il punto di contatto Coccorrerebbe tenere presente che esso e in moto, che la sua velocita non e parallelaa quella del baricentro e che il momento d’inerzia ripetto a C non e costante.

F

A

VH

G

a)

F

A

C

C

VH

VHx

y

x

y

G

Ab) c)

ruota ferma

Figura 4.5. dida ...

4.1.3 L’uso del centro di istantanea rotazione in dinamica

E’ importante osservare che il centro di istantanea rotazione si puo determinaresolo quando si conosca almeno la direzione della velocita di due punti, non ne-cessariamente il loro modulo. Dunque salvo qualche caso particolare, come neicorpi rigidi con un grado solo di liberta, in cui la direzione della velocita e nota,in generale non si puo sapere dove e il centro di istantanea rotazione prima diconoscere il movimento del corpo.


Questo fatto impedisce di usare, in generale, il centro di istantanea rotazionenella risoluzione di un problema di dinamica in cui il movimento sia da determi-nare.

Ma anche nei pochi casi in cui il centro di istantanea rotazione sia determi-nabile non e conveniente usarlo nella dinamica perche esso non gode di nessunprivilegio dinamico. Il suo e un privilegio cinematico solamente. Esso e altrettan-to inutile in dinamica quanto il centro di massa e inutile in cinematica, in quantoesso gode di un privilegio dinamico.

C

C C

C

C

Figura 4.6. Centri d’istantanea rotazione di sistemi ad un grado di liberta.

Volendo a tutti i costi impiegare il centro di istantanea rotazione per risolvereun problema di dinamica nei pochi casi in cui esso e determinabile prima di cono-scere il movimento, ad esempio per calcolare l’energia cinetica T = 1

2 Iϑ2, allorasi tenga presente che il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all’asse diistantanea rotazione e variabile (e costante solo in qualche caso speciale). Dondese si deve applicare il teorema dell’energia si otterra:

dTdt

=12

dIdt

ϑ2 + I ϑ ϑ (4.46)

Analoga attenzione se si usano le equazioni di Lagrange e se si calcola la derivatadel momento della quantita di moto. In quest’ultimo caso attenzione che il centrodi istantanea rotazione non e in generale, ne il baricentro, ne un punto fisso, ne simuove parallelamente al baricentro.

4.1.4 Corpo rigido con un punto fisso

Scelta una terna solidale col corpo (quindi mobile rispetto al riferimento inerzia-le), con l’origine nel punto fisso e disposta secondo gli assi principali di iner-zia, l’equazione relativa al momento della quantita di moto proiettata sulla ternamobile da luogo alle equazioni di Eulero:


con ~ω = ωx~i + ωy~j + ωz~k ~M = Mx~i + My~j + Mz~k

~ω = Ωx~I + Ωy~J + Ωz ~K ~M = MX~I + MY ~J + MZ ~K

(4.47)

Ix, Iy, Iz sono i momenti di inerzia rispetto agli assi x, y, z.Per trovare la posizione del corpo ad un istante generico occorre precisare le

coordinate: se si scelgono le coordinate euleriane (§65) @ si devono usare le trerelazioni:

ωx = ϕ sen(ϕ) sen(ψ) + ϕ cos(ψ)ωy = ϕ sen(ϕ) cos(ψ) − ϕ sen(ψ)ωz = ϕ cos(ψ).

(4.48)

Queste espressioni, sostituite nelle equazioni differenziali di Eulero dannoluogo a tre equazioni differenziali del secondo ordine nelle incognite ϕ, ϑ, ψ. Unavolta risolte (il che, in generale, e difficile) forniscono le equazioni finite di motoϕ = ϕ(t), ϑ = ϑ(t), ψ = ψ(t)

Per il calcolo della reazione nel punto fisso ci limiteremo, per semplicita, alcaso in cui l’asse uscente dal punto fisso e passante per il baricentro del corposia un asse principale di inerzia. Sia esso l’asse z. In tal caso le coordinate delbaricentro rispetto alla terna fissa risultano[15, p.102,109]:

XG = sen(ψ) cos(ϑ) zG

YG = cos(ψ) sen(ϑ) zG

ZG = cos(ϑ) zG

(4.49)

Le equazioni che determinano la reazione sono allora le seguenti:Rx +Φx = mXG

Ry +Φy = mYG

Rz +Φz = mZG

(4.50)

Di qui si vede che se il punto fisso coincide con il baricentro le reazionidinamiche coincidono con quelle statiche.

Le equazioni di Eulero si potrebbero sostituire con tre equazioni di Lagrange.Una delle tre equazioni di Eulero puo vantaggiosamente sostituirsi con il teo-

rema dell’energia nella forma differenzialedTdt

= P o nella forma finita ∆T = W.

Se le forze sono conservative, si puo sostituire la (??) con l’integrale dell’energiaT + V = E.


Figura 4.7. da commentare

4.1.5 Corpo rigido libero nello spazio

Scelto come polo il baricentro, le equazioni cardinali sono:

m~aG = ~Rd~LG

dt= ~MG (4.51)

Considerando le componenti della prima equazione sugli assi X,Y,Z, e quelledella seconda sugli assi x, y, z, baricentrici e principali di inerzia, si ottiene:

mXG = Rx

mYG = RymZG = Rz

IGx ωx − (IGy − IGz)ωyωz = MGx

IGy ωy − (IGz − IGx)ωzωx = MGy

IGz ωz − (IGx − IGy)ωxωy = MGz

(4.52)

Il corpo ha sei gradi di liberta. Le prime tre equazioni danno, una volta risolte,le tre coordinate del baricentro in funzione del tempo. Le tre rimanenti equazionidi Eulero danno le ϕ(t), ϑ(t), ψ(t);

Si trovano cosı le sei coordinate del corpo in funzione del tempo.L ’:

poiche la somma delle forze interne e nulla, ne viene che il lavoro delle forze interne epure nullopoiche all’istante iniziale la velocita e nulla, ne viene l’accelerazione e nullapoiche le forze applicate sono verticali anche le reazioni saranno verticali


4.1.6 Angoli nautici e angoli di Eulero

angolo di nutazione ϑ = angolo formato dall’asse Z con l’asse z

angolo di precessione ϕ =angolo formato dall’asse X con la linea dei nodi (rettaintersezione dei due piani)

angolo di rotazione propria ψ = angolo formato dall’asse dei nodi con l’asse x

Regole operative per determinare gli angoli di Eulero1:

1. si fissano due terne (destre) l’una fissa nello spazio (X,Y,Z) e l’altra solidalecon il corpo (x, y, z)

2. si misura l’angolo formato da Z e z (orientato da Z a z): questo e l’angolodi nutazione

3. si determina la intersezione dei due piani XY e xy (retta dei nodi) e la siorienta applicando la regola del cavatappi sull’angolo di rotazione (ottenen-do l’asse dei nodi N) (asse = retta orientata)

4. si misura l’angolo formato da X e N, orientato da X a N: questo e l’angolodi precessione

5. si misura l’angolo tra N e x, orientato da N a x: questo e l’angolo dirotazione propria.

Figura 4.8. : dovrebbe fare la figura di pagina 81 dell’eserciziario

Figura 4.9. : dovrebbe fare la figura di pagina 82 dell’eserciziario

angolo di rollio ϑ =angolo formato dall’asse z (l’albero della nave) con ilpiano verticale

angolo di beccheggio ψ =angolo formato dall’asse X con la retta intersezione deidue piani

angolo di imbardata ϕ =angolo formato dalla retta intersezione dei piani conl’asse x

1 Ulteriori dettagli e applicazioni si trovano in Lurie (vedi bibliografia) p. 40.

4.2. DINAMICA DEI SISTEMI 91

4.2 Dinamica dei sistemi

4.2.1 Consigli introduttivi

Prima di tutto stabilire quanti gradi di liberta possiede il sistema. Poi sceglieredelle coordinate libere: e importante fare una buona scelta perche da essa dipendela facilita di risoluzione delle equazioni di moto.

x

y

x

s


y

x

O ϕ

θθ

y

x x

scelta opportuna

x

y

x

scelta scomoda

θ

y

x

x

scelta scomodascelta scomoda

y

x

O

θ

y

X

Figura 4.10. dida

Esaminare il tipo di vincoli (lisci, scabri, fissi, mobili, ...) e la natura delleforze (se conservative o no). In funzione di queste caratteristiche scegliere il pro-cedimento da usare avendo cura che il numero delle equazioni pure sia uguale alnumero dei gradi di liberta. Prima di iniziare i calcoli e bene scrivere in pocherighe il procedimento che si vuole usare.

In generale per calcolare il moto convengono le equazioni di Lagrange. Unadi esse puo essere sostituita dal teorema dell’energia o dall’integrale dell’energia.Talvolta conviene usare le equazioni cardinali applicandole all’intero sistema oai singoli pezzi rigidi in cui esso e decomponibile. Questo e obbligatorio per ilcalcolo di reazioni vincolari rispettivamente esterne ed interne al sistema.

Le osservazioni che seguono servono ad evitare gli errori piu comuni.

4.2.2 Osservazione sulla velocita angolare nei problemi piani

La velocita angolare di un corpo rigido e la derivata rispetto al tempo di un angolomisurato da una direzione fissa nel riferimento inerziale ad una direzione solidalecon il corpo mobile.


Esempi:.

4.2.3 Osservazione sugli esseri animati e sui motori

Quando il testo di un problema parla di un corpo che si muove con legge assegnatacio comporta che sul corpo (o nel suo interno) agisca un dispositivo capace ditrasformare energia interna in energia cinetica.

Cosı un’automobile, un aeroplano, un giocattolo funzionante a batteria o amolla, un essere animato, un motore elettrico, ecc.

In generale non si conosce la potenza erogata dal dispositivo e quindi nemme-no la forza che il corpo esercita sul resto del sistema.

Non si deve quindi far uso del potenziale perche quello delle forze che man-tengono il moto e a priori sconosciuto. Dunque non si deve usare l’integraledell’energia, e nemmeno le equazioni di Lagrange relative al caso conservativo.

Un errore frequente consiste proprio nell’applicare il teorema della energiadimenticando che si ha una produzione di energia meccanica, cinetica o potenziale(a scapito di energia chimica, elettrica, ecc.).

Se e richiesto di calcolare il movimento della rimanente parte del sistemaconviene far uso delle equazioni cardinali.

Se si desidera invece determinare la forza o il momento che il corpo in motoesercita sulla rimanente parte del sistema, determinare prima il movimento dell’in-tero sistema, quindi isolare il corpo mettendo in evidenza la forza (sconosciuta)che il resto del sistema esercita sul corpo e poi applicare a quest’ultimo le equa-zioni cardinali o il teorema dell’energia.♣

ρ O

ω(t)

ω(t) = dato ρ(t) = ?con la dinamica relativa della particella si tro-va ρ(t). Se si desidera il momento del motore

M(t) =dL0z

dt

4.2.4 Osservazioni sui fili

Se nel problema si presentano fili privi di peso proprio (e inestensibili) fare pre-ferenzialmente uso delle equazioni di Lagrange o del teorema dell’energia cine-tica: con cio si evita di doverli rompere. Se viene richiesta la tensione di un filo


durante il movimento, prima di tutto si calcoli il movimento e si ricordi che latensione non e in genere eguale a quella che si avrebbe in condizione statiche edinoltre che non e eguale in genere nei diversi tratti di filo.

Cosı nei due esempi che seguono la tensione e eguale nel tratto di sinistra e inquello di destra nella prima figura, ma nella seconda figura la tensione nel trattodi destra e maggiore di quella a sinistra.

Cio si spiega fisicamente osservando che il tratto di destra e, per cosı dire,impegnato a sollevare il peso p di sinistra tramite la carrucola ed inoltre a vincerel’inerzia alla rotazione della carrucola stessa che ha una massa. Invece nella primafigura la carrucola non aveva massa e questa differenza non c’era.

In casi dubbi e bene supporre diversa la tensione nei diversi tratti: ci pense-ranno le equazioni una volta risolte a far vedere se eventualmente le tensioni sonoeguali.

p p pp

q q qq

T1

T1

T1

T1

2T

2T

3T

3T

selapuleggiaµe privadimassa letensionia destra e a sinistra sonouguali

selapuleggiaha massa,latensionedidestraµe maggiore di quelladisinistra

q> pq> p

Figura 4.11. dida

4.2.5 Conservazione delle quantita meccaniche

Se e nulla la risultante delle forze esterne, attive e reattive, agenti su un sistema,si conserva la quantita di moto (e quindi la velocita del baricentro):

~P(t) = ~P(t0) (4.53)

Se e nulla solo una componente della risultante delle forze esterne (ad esem-pio Rx + R′x = 0) allora si conserva la componente della quantita di moto secondoquella direzione (nell’esempio Px = c).


QUIZ: velocita angolare = ϕ

ϕ

Se questo lo si vede fin dall’inizio del problema conviene usare come coordi-nate libere quelle del baricentro del sistema (solo la x se si conseva Px).

Se e nullo il momento delle forze esterne al sistema, sia attive che reattive,qualora esso sia calcolato rispetto ad un punto fisso nel riferimento inerziale, orispetto al baricentro o rispetto ad un polo la cui velocita e in ogni istante parallelaal baricentro, allora si conserva il momento della quantita di moto:

~LA(t) = ~LA(t0) (4.54)

Se e nulla solo una componente del momento delle forze esterne allora siconserva la corrispondente componente del momento della quantita di moto.

Se e nulla la potenza delle forze interne ed esterne ad un sistema (sia delleforze attive che delle forze reattive), si conserva l’energia cinetica

T (t) = T (t0) (4.55)

4.2.6 Calcolo delle Qk

Per calcolare le forze generalizzate Qk si puo procedere cosı: si fanno variarele coordinate libere una alla volta facendole aumentare. Per ognuna di questevariazioni si calcola il lavoro virtuale delle forze agenti sul sistema. Ciascuno diquesti lavori parziali ha la forma w∗ = Qkδqk . Si perviene cosı al calcolo dellesingole Qk.

Durante il calcolo torna spesso comodo introdurre coordinate sovrabbondan-ti (vedi esempi qui sotto): esse devono poi essere eliminate mediante relazionigeometriche che le legano alle coordinate libere. Attenzione che le Qk devonorisultare funzione solo delle coordinate libere.


y

xO

y

xO

A

P

k

Q

x

h

s

fi

piano lisciop

a b

#

’

B

C

(t)f

Figura 4.12. @sinistra consideriamo il sistema ad un grado di liberta; destraSistema a due gradi di liberta

Esempio: con riferimento alla figura (??, sinistra) consideriamo un sistemaad un grado di liberta. Scelta come coordinata libera ϑ, torna comodo fare usodella coordinata sovrabbondante x. Infatti per l’equilibrio deve risultare

w∗ = 0 essendo w∗ = F δx. (4.56)

Poiche

x = a cos(ϑ) + b cos(π − ϕ) b sin(π − ϕ) = a sin(ϑ) (4.57)

ne viene:

x = a cos(ϑ) + b

√1 −

(ab

)2sin2(ϑ) (4.58)

da cui

δx =

−a sin(ϑ) − b(ab

)2 sin(ϑ) cos(ϑ)√1 −

(ab

)2sin2(ϑ)

δϑ (4.59)

e quindi:

Qϑ = −F a sin(ϑ)

1 +

(ab

) cos(ϑ)√1 −

(ab

)2sin2(ϑ)

(4.60)

Esempio: @[controllare i passaggi] con riferimento alla figura (??, destra) consi-deriamo un sistema a due gradi di liberta. Scelte le coordinate libere x e s

w∗ = p sinα δs − k y δy + 0 δx. (4.61)


In questo caso ci e stato comodo introdurre la coordinata sovrabbondante y. Poi-che

y = h − sinα s −→ δy = −sinα δs (4.62)

ne viene:w∗ =

[p sinα + k

(h − s sinα

)sinα

]δs + 0 δx (4.63)

da cuiQs = p sinα + k sinα

(h − s sinα

)Qx = 0 (4.64)

4.3 Oscillazioni

4.3.1 Piccole oscillazioni

Per calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni di un sistema soggetto a forzeconservative con un grado di liberta attorno alla posizione di equilibrio stabile siprocede cosı:

A) Si determina la posizione di equilibrio e si accerta che questa sia stabile. Aquesto scopo

1. si calcola il potenziale delle forze attive U(q);

2. si determina la posizione di equilibrio q1 risolvendo l’equazionedU(q)

dq=

0;

3. si constata che siad2U(q)

dq2

∣∣∣∣∣∣q1

< 0.

Nel caso in cui vi siano piu soluzioni q1, q2, ... si devono prendere in esameuna alla volta e vedere per quali valori dei parametri e valida la disequazione3).

B) Si calcola l’energia cinetica T che avra la forma generale

T =12

A(q) q2 (4.65)

e si valuta la sua espressione approssimativa nell’intorno della posizione diequilibrio stabile ponendo q1 al posto di q

T prox =12

A(q1)q2; (4.66)

4.3. OSCILLAZIONI 97

C) Si sviluppa in serie il potenziale arrestando lo sviluppo al termine quadrati-co

U(q) = U(q1) +

[dUdq

]q1

(q − q1) +12

[d2Udq2

]q1

(q − q1)2 + ..... (4.67)

Il primo termine e una costante addittiva e puo essere ignorato. Il secondotermine e nullo all’equilibrio (si veda punto 2), il terzo termine e gia statovalutato al punto 3) e i termini sucessivi si trascurano

Per considerare le piccole oscillazioni si effettua la posizione q(t) = q1+η(t)e si riguarda η come quantita piccola.

L’energia cinetica diventa @

T prox =12

A η2 avendo posto A = A(q1) (4.68)

e il potenziale diventa

U prox(η) =12

B η2 avendo posto B =d2Udq2

∣∣∣∣∣∣q1

(4.69)

Scritto il teorema dell’energia nella forma approssimata

ddt

(T prox − U prox) = A η + B η = 0 (4.70)

si otterra allora l’equazione dei moti armonici

η(t) + ω2η(t) = 0 (4.71)

che fa scaturire la pulsazione ω =√

B/A. [@ CONTROLLARE] Da questa siricava il periodo e la frequenza delle piccole oscillazioni con le relazioni

T =2πω

f =1T. (4.72)

L’unita di misura della frequenza e una oscillazione al secondo: questa unitasi chiama hertz, il simbolo e Hz.

O. I nomi ed i simboli delle unita di misura si devono scrivere secondoregole precise dettate da norme internazionali: si veda [31], [41].

• i nomi delle unita di misura newton, joule, watt, pascal, hertz, che provengono dainomi dei fisici Newton, Joule, Watt, Pascal, Hertz, si scrivono in carattere normaleinteramente in minuscolo;

• i simboli delle unita di misura si scrivono in carattere normale con l’iniziale ma-iuscola: N, J, W, Pa, Hz e non devono essere seguiti da un punto: per indicare ilmetro si scrive “m” non “m.”


QUIZ: si puo usare il punto A per la

formuladLA

dt= MA ?

y

x

G

A

C

θ

4.3.2 Fattore di amplificazione dinamica

4.3.3 Modi normali di vibrazione

[DA COMPLETARE ♣] Consideriamo un telaio a due piani, formato da due pie-dritti flessibili di altezza h e di massa trascurabile e di due traversi rigidi di ugualemassa m e di uguale lunghezza, come in figura (5.16).

Figura 4.13. Un telaio oscillante: (sinistra) la configurazione indeformata;(centro) mostra il primo modo fondamentale di vibrazione in cui i traversi vi-brano in concordanza di fase; (destra) il secondo modo fondamentale in cui itraversi vibrano in opposizione di fase.

m1 x1 = −c1 x1 + c2(x2 − x1) − kx1 + k(x2 − x1) + f0 sin(ωt)m2 x2 = −c2(x2 − x1) − k(x2 − x1)

(4.73)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

e=0.1

e=0.2

e=0.3

D (z

z z

,e) β

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

e=1

e=1

e=0.1

e=0.1

Figura 4.14. Il fattore di amplificazione dinamica.

x1 = +A sin(ωt) + B cos(ωt)x2 = C sin(ωt) + D cos(ωt)x1 = +Aωcos(ωt) − Bωsin(ωt)x2 = C ωcos(ωt) − Dωsin(ωt)x1 = −Aω2sin(ωt) − Bω2cos(ωt)x2 = −C ω2sin(ωt) − Dω2cos(ωt)

(4.74)m1 x1 + (c1 + c2)x1 − c2 x2 + 2kx1 − kx2 = f0 sin(ωt)m2 x2 + c2 x2 − c2 x1 + k x2 − k x1 = 0

(4.75)

[−m1Aω2]sin(ωt) + [−m1Bω2]cos(ωt) + +(c1 + c2)ωA cos(ωt) − (c1 + c2)ωB sin(ωt)−c2 ωC cos(ωt) + c2 ωD sin(ωt) + +2k A sin(ωt) + 2k B cos(ωt)−k C sin(ωt) − k D cos(ωt) = f0 sin(ωt)

(4.76)−m2C ω2sin(ωt) − m2Dω2cos(ωt) + +c2C ωcos(ωt) − c2Dωsin(ωt)−c2Aωcos(ωt) + c2Bωsin(ωt) + +k C sin(ωt) + k D cos(ωt)−k A sin(ωt) − k B cos(ωt) = 0

(4.77)

[2k − m1ω2]A + [−(c1 + c2)ω]B + [−k ]C + [c2 ω]D = f0 sen(ωt)(c1 + c2)ωA + [2k − m1ω2]B + [−c2 ω]C + [−k]D = 0 cos(ωt)

(4.78)

[−k]A + [c2 ω]B + [k − m2ω2]C + [−c2 ω]D = 0 sen(ωt)(−c2 ω)A + [−k ]B + [c2 ω]C + [k − m2ω2]D = 0 cos(ωt)

(4.79)

4.3.4 Sistemi con massa variabile

Si consiglia di usare le equazioni cardinali.

a) emissione continua. Supponiamo dapprima che l’emissione di massa av-venga con continuita. Sia ~vG la velocita del baricentro del corpo, ~aG la suaaccelerazione.


Per applicare le equazioni cardinali occorre valutare la derivata della quan-tita di moto e del momento della quantita di moto. Per le applicazioni espesso sufficiente considerare solo il moto del baricentro e pertanto nonscriveremo l’equazione del momento delle quantita di moto.

Essendo:

istante massa del massa quantita di moto quantita di motocorpo espulsa del corpo della massa espulsa

t m(t) m~vG

t + dt m − dm dm (m − dm) (~vG + d~vG) dm (~vG +~v)

si ricava:

d~pdt

=~p(t + dt) − ~p(t)

dt=

(m − dm)(~vG + d~vG) + dm(~vG +~v) − m~vGdt

(4.80)

Sviluppando si ottiene:

m(t)~aG(t) = ~R − m(t)~v(t). (4.81)

Questa e l’equazione fondamentale della dinamica dei corpi con massavariabile.

b) emissione discreta. Se l’emissione avviene in modo repentino (esplosione,getto di breve durata, ecc.) detto τ il tempo di tale emissione la primaequazione cardinale diviene:

m−(~v+G −~v

−G ) = ~R τ − µ~v+ (4.82)

essendo

m− = massa del corpo prima dell’espulsione;~v−G = velocita del baricentro del corpo immediatamente prima dell’espulsione;~v+G = velocita del baricentro immediatamente dopo l’espulsione;τ = tempo di emissione;µ = massa espulsa;~v+ = velocita relativa di µ rispetto a m subito dopo l’emissione.


4.3.5 Dinamica impulsiva

Si ha un moto impulsivo quando c’e una brusca variazione dell’atto di moto (urti,colpi, brusche variazioni di vincoli, cattura di una massa, espulsione di una massa,ecc.).

In dinamica impulsiva la domanda tipica che ci si pone e: noto l’atto di motoun istante prima dell’urto trovare l’atto di moto immediatamente dopo.

Sia τ l’intervallo di tempo che decorre dall’inizio alla fine dell’impulso. Peruna particella di usa l’equazione fondamentale.

m~v + − m~v − = ~I [τ] essendo ~I [τ] =

∫ t0+τ

t0

~F(t) dt (4.83)

che esprime il teorema dell’impulso e della quantita di moto.Per un sistema si usano le equazioni cardinali integrate sull’intervallo di tempo

τ:

~P+ = ~P− + ~R [τ]

~L+A = ~L−A + ~MA [τ]

~R [τ] =

∫ t0+τ

t0

~R(t) dt

~MA [τ] =

∫ t0+τ

t0

~MA(t) dt

(4.84)

~P+ e ~L+A sono valutate immediatamente dopo l’urto, alla fine del tempuscolo

τ mentre ~P− e ~L−A sono valutate immediatamente prima dell’urto.L’energia cinetica di un corpo varia durante un moto impulsivo: la sua varia-

zione uguaglia il lavoro fatto dal vincolo per la cattura, o per l’urto.Esempio:

!+!¡

M M

m

m

M m+

AA A

Figura 4.15. Asta che ruotando cattura una massa.

velocita angolare iniziale: ω− =

√3gL

(4.85)


L−Az =mL2

3ω− L+

Az =[mL2

3+ M L2

]ω+ (4.86)

L+Az = L−Az +MA MA = 0 (4.87)

Si ricordi cheMA e l’impulso del momento delle forze esterne. Ne viene

ω+ =

mL2

3mL2

3+ M L2

ω− =1

1 +3 Mm

ω− (4.88)

4.4 Meccanica relativa

y

x

z

O

›

IJ

K

i

j

kR

s

XY

Z r(t)

(t)

(t)

(t)

(t)(t)

(t)

(t)

P

O,X,Y,Z = assi fissi nel riferimento inerziale

› ,x,y,z = assi mobili

Figura 4.16. Relazione tra una terna inerziale ed una genericamente mobilerispetto ad essa.

Raggio vettore~R(t) = ~r(t) + ~s(t) (4.89)

essendo~R(t) = raggio vettore del punto P rispetto ad O, X,Y,Z.~s(t) = raggio vettore di Ω rispetto a O, X,Y,Z~r(t) = raggio vettore di P rispetto a Ω, x, y, z

~R(t) = X(t) ~I + Y(t) ~J + Z(t) ~K

~s(t) = a(t) ~I + b(t) ~J + c(t) ~K

~r(t) = x(t)~i(t) + y(t) ~j(t) + z(t)~k(t)

(4.90)

4.4. MECCANICA RELATIVA 103

Velocita~v = ~v trasc +~v rel (4.91)

essendo

~v = velocita di P rispetto a O, X,Y,Z

~v trasc =velocita che P avrebbe rispetto a O, X,Y,Z se fosse congelato con la terna mobileΩ, x, y, z (velocita di trascinamento)

~v rel = velocita di P rispetto a Ω, x, y, z (velocita relativa)~v = X(t)~I + Y(t) ~J + Z(t)~K

~v trasc = ~vΩ(t) + ~ω(t) × ~r(t)

~v rel = x(t)~i(t) + y(t)~j(t) + z(t)~k(t)

(4.92)

Accelerazione~A = ~A trasc + ~a rel + ~a cor (4.93)

essendo~A = accelerazione di P rispetto a O, X,Y,Z~A trasc = accelerazione che P avrebbe rispetto a O, X,Y,Z se fosse congelato con la terna

mobile Ω, x, y, z.~a rel = accelerazione di P rispetto a Ω, x, y, z.~a cor = accelerazione di Coriolis

~A = X(t) ~I + Y(t) ~J + Z(t) ~K

~A trasc = ~aΩ(t) + ~ω(t) × ~r(t) − ω2(t)~r⊥(t)

~a rel = x(t)~i(t) + y(t) ~j(t) + z(t)~k(t)

~a cor = 2 ~ω(t) × ~v rel(t)

(4.94)

4.4.1 Statica relativa

Un problema di statica relativa si risolve come un problema di statica assolutapur di aggiungere alle forze agenti sul sistema le forze di trascinamento. Per unaparticella e:

~F trasc = −m~A trasc (4.95)

essendo ~A trasc l’accelerazione che la particella possiede se lo immaginiamo con-gelato (quindi trascinato) con il riferimento mobile.


z

Z

x

Y

y

P

ω = costante

Ftrasc.

X

r

r

Figura 4.17. In un riferimento rotante la forza di trascinamento e direttaradialmente ed e quindi assifuga.

Per un riferimento in rotazione uniforme essendo ~A trasc = ω2~r⊥ risulta:

~F trasc = mω2~r⊥ (4.96)

Si tratta di una forza assifuga2.Per un corpo rigido interessa la risultante ed il momento delle forze di trasci-

namento:

~R trasc = −

N∑k=1

mk A trasck −

∫C

~A trasc ρ dC (4.97)

~M trascA = −

N∑k=1

(Pk − A) × mk ~A trasck −

∫C

(P − A) × ~A trascρ dC (4.98)

essendo A un generico punto comunque mobile nel riferimento relativo e C ilcampo di integrazione (linea, superficie, volume).

La risultante delle forze di trascinamento coincide con quella che avrebbel’intera massa se fosse concentrata nel baricentro. In particolare in un riferimentouniformemente rotante e:

~R trasc = mω2~r⊥G (4.99)

Non e invece vera l’analoga proprieta per il momento delle forze di trascina-mento. Un tipico errore consiste appunto nel calcolare il momento delle forze ditrascinamento facendo il momento della risultante applicata nel barcicentro.

2 Chissa per quale ragione si parla tanto di forza centrifuga e non di forza assifuga, che e piucorretto.


Pertanto nei problemi e consigliabile calcolare di volta in volta il momentodelle forze di trascinamento.

In un riferimento uniformemente rotante essendo ~A trasc = −ω2~r⊥ ne viene:

~M trascA = ω2

∫C

(P − A) × ~r⊥ ρ dC (4.100)

Esempio: asta in un riferimento uniformemente rotante. NON VAPer un sistema basta calcolare risultante e momento delle forze di trascina-

mento per i diversi pezzi che compongono il sistema.La forza di trascinamento ammette potenziale e questo dipende, in generale,

dalla velocita. Nel caso di un riferimento uniformemente rotante il potenzialedelle forze di trascinamento e dato da:

U trasc =12ω2

∫C

(r⊥)2 ρ d C =12

I ω2 (4.101)

essendo I il momento di inerzia calcolato rispetto all’asse di rotazione. L’usodel potenziale delle forze di trascinamento in questo caso permette di studiare lastabilita dell’equilibrio se anche le forze attive sono conservative.

y

x

O

z

!z#

y

x

O

z

!z

y

x

O

z

!z

#

Figura 4.18. Tre esempi di corpi rigidi in un riferimento rotante.

4.4.2 Dinamica relativa

Un problema di dinamica relativa si riconduce ad uno di dinamica assoluta ope-rando le seguenti modifiche:

a) alla velocita e accelerazione assoluta si sostituiscono la velocita e l’accele-razione relative;

b) alla energia cinetica assoluta si sostituisce quella relativa;c) alle forze attive e reattive si aggiungono le forze apparenti cioe quella di

trascinamento e quella di Coriolis.


4.4.3 Dinamica relativa della particella

F(ω, ω, P) = −m~S Ω + m ~ω × ~R − m ω2 ~r ⊥ @ (4.102)

~F cor(ω, v rel) = −2 m ~ω × ~v rel (4.103)

particella libera: m~a rel = ~F + ~F trasc + ~F cor

particella vincolata: m~a rel = ~F + ~F trasc + ~F cor + ~Φ(4.104)

Poiche la forza di Coriolis e ortogonale alla velocita relativa la sua potenza enulla. Dunque:

Papparenti = P trasc = ~F trasc · ~v rel T rel =12

m (v rel)2 @ (4.105)

4.4.4 Dinamica relativa del corpo rigido

~R trasc =

N∑k=1

~F trasck

~M trascA =

N∑k=1

~rk × ~F trasck

(4.106)

~F trasck coincide con la forza di trasci-

namento che avrebbe l’intera mas-sa se fosse concentrata nel baricentro@

~R cor =

N∑k=1

~F cork

~M corA =

N∑k=1

~rk × ~F cork

(4.107)

~F cork coincide con la forza di Co-

riolis che avrebbe l’intera massa sefosse concentrata nel baricentro @

~P rel =

N∑k=1

mk~vrelk @

~L relA =

N∑k=1

~rk × mk ~vrel

k @

(4.108)

~P relk coincide con la quantita di moto

che avrebbe l’intera massa se fosseconcentrata nel baricentro @


QUIZ: Essendo

w∗ = Qϑ δϑ + Qϕ δϕ = 0

sembra di poter dedurre

Qϕ = 0 Qϑ = 0

E’ giusto?

ϕθ

p

p

Le equazioni cardinali divengono:

d~P rel

dt= ~R + ~R trasc + ~R cor

d~L relA

dt+ ~v rel

A × ~P rel = ~MA + ~M trascA + ~M cor

A

(4.109)

4.4.5 Dinamica relativa dei sistemi

Su ogni corpo rigido e ogni particella che compongono il sistema si opera comedetto sopra.

Osservazione: un problema di dinamica relativa non e dunque molto piu com-plicato di un problema di dinamica assoluta, giacche l’unica @ difficolta puo es-sere il calcolo del momento delle forze apparenti.

[@ FARE OSSERVAZIONI SULLA FORZA CENTRIFUGA. FAR VEDE-RE CHE SI PORTA A DESTRA...] H66


4.5 Unita di misura

da abolire

kilowatt

Watt

joule

newton

kilogrammo

secondo

metro

metro

kilogrammo-

forza

kilogrammetrokgfm/s

hp

kw

t

kwh

Kgfm

cavallo

vapore

secondo

q

quintale

tonellata

kilowatt

ora

kgfs2 /m

Kgf

s

m

m

s

Kg

N

J

W

Sistema

Internazionale

Sistema

PRATICO

da abolire

da abolire

da abolire10

00

753.7

*105

10

0

10

1.36

questo sistema é da abolire(la Comunitá Economica Europea ne ha vietatol' impiego dopo il 31-12-1977. Si vrda: Gazzettaufficiale delle Comunitá europee del 29-10-1971)

Figura 4.19. dida

4.6 Come limitare gli integrali doppi

Coordinate cartesiane: strisce orizzontali. Il primo integrale da eseguire (quel-lo a destra) ha come estremi il valore di entrata e e quello di uscita u della retta

4.6. COME LIMITARE GLI INTEGRALI DOPPI 109

R

Si debba calcolare il baricentro della laminasemicircolare omogenea della figura accanto(σ = densita superficiale, m = massa).

yG =1m

∫Cyσ dx dy m = σ

πR2

2

Diamo per scontato che il baricentro sitrova in mezzeria.

parallela all’asse della corrispondente variabile.

e u

xx

y

yy RR

uxe

xe(y) = −

√R2 − y2 xu(y) = +

√R2 − y2

yG =2

πR2σ

∫σy dy

∫ xu(y)

xe(y)dx

Il secondo integrale da eseguire (quello a sinistra) ha come estremi il valoreminimo e massimo della corrispondente variabile.

x

yy max

y min

ymin = 0 ymax = R

yG =2πR2

∫ ymax

ymin

y dy∫ xu(y)

xe(y)dx

yG =2πR2

∫ R

0y dy

∫ +√

R2−y2

−√

R2−y2dx =

4R3π

Coordinate cartesiane: strisce verticali. Il primo integrale da eseguire (quelloa destra) ha come estremi il valore di entrata e e quello di uscita u della rettaparallela all’asse della corrispondente variabile.

Il secondo integrale da eseguire (quello a sinistra) ha come estremi il valoreminimo e massimo della corrispondente variabile.

Coordinate polari. L’equazione della circonferenza in coordinate polari e

ρ = 2Rcos(θ)


x

y

e

uye = 0 yu(x) =

√R2 − x2

yG =2

πR2σ

∫σ dx

∫ yu(x)

ye(x)y dy

xO

y

x min x max

xmin = −R xmax = R

yG =2πR2

∫ xmax

xmin

dx∫ yu(x)

ye(x)y dy

yG =2πR2

∫ R

−Rdx

∫ √R2−x2

0y dy =

4R3π

L’ordinata di un punto espressa in funzione di ρ e di θ e

y = ρ sin(θ)

yG =2

πR2σ

∫C

[ρ sin(θ)

]σ

[ρ dρ dθ

]

Divisione in settori.

e

u

yθρ

ρe = 0 ρu(θ) = 2 R cos(θ)

yG =2πR2

∫sin(θ) dθ

∫ ρu(θ)

ρe

ρ2 dρ

Divisione in corone circolari..

4.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI USO FREQUENTE 111

θmin = 0 θmax = π/2

yG =2πR2

∫ θmax

θmin

sin(θ) dθ∫ ρu(θ)

ρe

ρ2 dρ

yG =2πR2

∫ π/2

0sin(θ) dθ

∫ 2Rsin(θ)

0ρ2 dρ =

4R3π

e

u

θρ

θe = 0 θu(ρ) = arcos(ρ

2 R

)yG =

2πR2

∫ ρmax

ρmin

ρ2 dρ∫ θu

θe

sin(θ) dθ

4.7 Equazioni differenziali di uso frequente

Le equazioni di movimento sono equazioni differenziali ordinarie, al piu del se-condo ordine. Spessissimo sono equazioni non lineari, tavolta di tipo risolubilecon separazione delle variabili, talaltra assai complicate.

Prima di accingersi ad integrare una equazione differenziale domandarsi sem-pre: devo risolverla? Si da spesso il caso che il testo del problema ponga unadomanda cui si da risposta senza integrare l’equazione (cosı quando il moto ein parte assegnato, quando si deve calcolare il periodo delle piccole oscillazioni,ecc.).

Spesso si e di fronte ad una equazione di secondo ordine che appare complica-ta. E’ bene vedere se e possibile sostituirla con un integrale primo (conservazionedell’energia, della quantita di moto, del momento della quantita di moto). In talcaso si risparmiera almeno una integrazione. Questo capita sovente nell’uso delleequazioni di Lagrange.

Spesso la lagrangiana con contiene una coordinata (ad esempio q2). Allorainvece di scrivere l’equazione

ddt

∂L∂q2

= 0 (4.110)

scrivere addirittura

∂L∂q2

= costante (4.111)


ρmin = 0 ρmax = 2R

yG =2πR2

∫ 2R

0ρ2 dρ

∫ arcos( ρ2 R )

0sin(θ) dθ

Tre tipi di equazioni frequenti sono:

x = f (x)g(t)

e a variabiliseparabili ∫ x

x0

dxf (x)

=

∫ t

t0g(t)d(t)

x = f (x)

equazione in cui manca x(t)posto x = v si ottiene v = f (v) si ottiene∫ v

v0

dvf (v

=

∫ t

t0dt

x = f (x)g(x)

posto ddotx = dxdx x ∫ dotx

x0

xdxg(x)

=

∫ x

x0

f (x)dx

Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, del II ordine, omogenea

ax(t) + bx(t) + cx(t) = 0 (4.112)

ap2 + bp + c = 0 equazione caratteristica (4.113)

4.8. EQUAZIONE DIFFERENZIALE LINEARE 113

Radici p1, p2 Integrali generali

reali distinte x(t) = Aep1t + Bep2t

reali coincidenti x(t) = ep1t(A + Bt)

complesse coniugate h ± ik x(t) = eht(A cos(kt) + B sin(kt))

4.8 Equazione differenziale lineare

Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, del II ordine, non omoge-nea

ax(t) + bx(t) + cx(t) = f (t) (4.114)

Si risolve prima la corrispondente equazione omogenea:

ax + bx + cx = 0 x = x(t, A, B) (4.115)

poi si aggiunge all’integrale generale cosı ottenuto un termine secondo i se-guenti casi(supposto c , 0);

f (t) = mf (t) = mt + nf (t) = m sin(λt)f (t) = m cos(λt)f (t) = m cos(λt) + n sin(λt)

MMt + NM sin(λt) + N cos(λt)M sin(λt) + N cos(λt)M sin(λt) + N cos(λt)

(4.116)

Infine per sostituzione diretta della soluzione nell’equazione differenziale data(quella non omogenea) si determinano le costanti M,N.

4.9 Terna intrinseca

Se l’equazione della linea e x = x(λ), y = y(λ) usare le formule riportate quisotto.


t

n

P s

P0

r

C

x

y

Linee piane. Se l’equazione della linea e y =

y(x) la tangente e la normale sono date da:~t =

d~rds

= +1√

1 + y2(+~i + y~j)

~n =d~tds

= ±1√

1 + y2(−y~i + ~j)

(4.117)

vale il segno + se la concavita volge verso l’alto,cioe y > 0 mentre vale il segno − se volge verso ilbasso, cioe y < 0. L’ascissa curvilinea s a partiredall’ascissa a e data da

s =

∫ x

a

√1 + y2 dx. (4.118)

Linee sghembe 3 Se la linea e data in forma parametrica x = x(λ), y = y(λ), z =

z(λ), posto ~r(λ) = x(λ)~i + y(λ)~j + z(λ)~k valgono le espressioni

~t(λ) =~r(λ)

|~r(λ)|

~b(λ) =~r(λ) × ~r(λ)

|~r(λ) × ~r(λ)|

~n(λ) = ~b(λ) × ~t(λ)(4.119)

piano osculatore: piano contenente latangente e la normale principalepiano normale: piano ortogonale allatangente: contiene la normale principa-le e la binormalepiano rettificante: piano contenente latangente e la binormale

3 Il termine sghembe indica linee che non stanno in un piano, come un’elica.

4.10. FUNZIONI CIRCOLARI E IPERBOLICHE 115

piano osculatore

b

t

n

x

y

z

0

Il raggio di curvatura r e l’arco s sono dati dalleformule

1r(λ)

=|~r(λ) × ~r(λ)|

|~r(λ)|3@

s(λ) =

∫ λ

λ0

√x2 + y2 + z2 dλ

(4.120)

Se la linea e data mediante le equazioni y =

y(x), z = z(x) posto x = λ ci si riduce al casoprecedente.

4.10 funzioni circolari e iperboliche

x

y

x

y

Figura 4.20. jjjj


funzioni circolari funzioni iperboliche

cos2(x) + sin2(x) ≡ 1 Ch2x − S h2x ≡ 1

sin(0) = 0 cos(0) = 1 S h(0) = 0 Ch(0) = 1

cos(α±β) ≡ cosαcos(β)±sinαsin(β) Ch(α±β) ≡ ChαCh(β)±S hαS h(β)

sin(α±β) ≡ sinαcos(β)±sin(β)cosα S h(α±β) ≡ S h(α)Ch(β)±S h(β)Chα

sin(

x2

)=

√1−cos(x)

2 cos(

x2

)=

√1+cos(x)

2

ddx

cos(x) = −sin(x)ddx

Ch(x) = S h(x)

ddt

tg(x) =1

cos2(x)= +tg2(x)

ddx

Th(x) =1

Ch2(x)= 1 − Th2(x)

ddx

arccos(x) =−1√

1 − x2

ddx

S ettCh(x) =1

√x2 − 1

ddx

arcsin(x) =1

√1 − x2

ddx

S ettS h(x) =1

√x2 + 1

ddx

arctg(x) =1

1 + x2

ddx

S ettTh(x) =1

1 − x2

sin(x) = x −x3

3!+

x5

5!+ ... S h(x) = x +

x3

3!+

x5

5!+ ...

cos(x) = 1 −x2

2!+

x4

4!− ... Ch(x) = 1 +

x2

2!+

x4

4!+ ...

tg(x) = x +x3

3+

2x5

15+ ... Th(x) = x −

x3

3+

2x5

15− ...

Capitolo 5

Esercizi risolti e commentati

5.1 Consigli per risolvere gli esercizi

Lo scopo che si vuole raggiungere con questi esercizi risolti in differenti modi e dioffrire allo studente un metodo sistematico per affrontare gli esercizi stessi, chetolga quel senso di smarrimento che ogni studente prova davanti ad un problemanuovo.

Diciamo subito che per eliminare questa sensazione di sconforto tanto comunee acquistare sicurezza, disinvoltura e confidenza con un nuovo problema occorrefar pochi esercizi ben scelti (consiglieremo in seguito come sceglierli) @ purchequesti siano sviscerati in tutti i loro aspetti. Si deve risolvere uno stesso eserci-zio con diversi procedimenti che devono essere confrontati criticamente (qualee il procedimento piu conveniente? quello piu sicuro? quello meno laborioso?).In questo modo si ha anche il vantaggio di poter avere una verifica della esattezzadel risultato confrontando i risultati ottenuti con i diversi procedimenti.

Il consiglio seguente per quanto risulti antipatico e quello che permette di farela minor fatica con il maggior profitto: prima di fare gli esercizi di un certo tipostudiare la teoria corrispondente.

Gli esercizi devono essere fatti con il libro di testo aperto davanti. La tristeabitudine di imparare una materia cercando di risolvere gli esercizi senza aver pri-ma studiato la teoria si risolve in una incredibile perdita di tempo e, non ultimo,tradisce lo scopo per cui si fanno gli esercizi che e quello di verificare, compren-dere e ritenere i concetti della teoria. Questo al fine di poterla applicare quando sene presenta l’occasione.

Una norma preziosa e la seguente: se non si e capaci di risolvere un eser-cizio, farne uno piu semplice dello stesso tipo. Ossia semplificare il problema

117

118 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

dato modificando l’enunciato.

Tenere presente la norma che i concetti sono piu importanti delle formulee che se un errore di calcolo denota mancanza di allenamento, di attenzione, unerrore del procedimento indica che non e chiara la teoria corrispondente.

Un’altra norma fondamentale e questa: ogni formula si puo applicare solose sono soddisfatte le condizioni di applicabilita. Pertanto prima di applicareuna formula chiedersi: nel presente problema sono verificate queste condizioni?

Prima di incominciare a studiare gli esercizi che seguono, leggere attentamen-te i paragrafi dell’introduzione della presente dispensa: vi sono riportate dellenorme generali da rispettare in qualunque tipo di problema.

Quando e stato ottenuto un risultato, anche parziale, racchiuderlo entro un ri-quadro per metterlo in evidenza.

Spesso ci si accorge che un segno + deve essere cambiato in −. Invece disovrapporre il segno cosı ∓, che e causa di errori nella rilettura della formula equindi puo compromettere tutto il resto, segnare la correzione cosı: + −→ •.

L’ordine nella esecuzione degli esercizi e fondamentale. Prima di svolgerequalunque calcolo tracciare una riga di separazione; scrivere inoltre due paroleall’inizio come: calcolo dell’energia cinetica oppure calcolo del momento di iner-zia.

5.2 Problema 1

Enunciato. Un arco a tre cerniere ha la forma indicata in figura. L’asta AB haforma di un quarto di circonferenza di raggio R, e omogenea e ha peso p. L’astaBC e piegata ad angolo retto, e omogenea e ha peso q.

Si domanda di trovare le reazioni vincolari in A e C nonche le azioni internein un punto generico dell’asta AB.

5.2. PROBLEMA 1 119

B

A C

R

R

R

Figura 5.1. dida

Classifichiamo il problema. Innanzi tutto rileggere attentamente il testo sotto-lineando le parole che sembrano piu significative. Si tratta evidentemente di unproblema di statica. Il sistema e piano, la configurazione e gia di equilibrio perchenon si possono dare spostamenti compatibili con i vincoli.

Riassumiamo le considerazioni fatte compilando la seguente scheda:

tipo di problema statica dei sistemi articolatigradi di liberta: nessunoforze: solo pesivincoli: lisci, bilateriincognite: reazioni vincolari e azioni interne

:

Trattandosi di un problema di statica dei sistemi articolati cerchiamo sull’in-dice posto all’inizio del libro i paragrafi relativi (a partire da pag.37). Leggiamoliattentamente. Se sorgono dubbi apriamo il libro di testo, cerchiamo l’argomentoe studiamolo di nuovo cercando la risposta alle domande che il problema pone.

Troviamo le reazioni vincolari a terra (cerniere A e C). Togliamo i vincoli inA e C, sostituiamoli con le reazioni e ridisegnamo la figura e fissiamo una benprecisa convenzione per i segni.

B

VA

AOH A

VC

C

H C

peso ppeso q

Figura 5.2. dida


La prima equazione cardinale ~R = 0 da luogo alle due seguenti equazioniscalari:

+HA + HC = 0 (Rx = 0)+VA − p − q + VC = 0 (Ry = 0)

(5.1)

Per calcolare i momenti rispetto ad A di tutte le forze dobbiamo calcolare i mo-menti delle forze peso, concentrandole nei rispettivi baricentri. Determiniamopertanto i baricentri delle due aste.

Asta AB: per ragione di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice del-l’angolo A0B. Usando il teorema di Guldino si trova rG = 2R

π .

Asta BC: per ragioni di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice del-l’angolo B0C. Inoltre si trova sulla congiungente dei baricentri dei due ramidell’asta.

B

G G′

VA

A

H A

VC

C

H C

R + 34R

R − 2π R

pq

Figura 5.3. dida

Donde

MA = −p(R −

2Rπ

)− q

(R +

34

R)

+ VC2R = 0 (5.2)

Poiche il sistema non e rigido tali equazioni non bastano (le incognite infatti sonoquattro e cioe HA,VA,HC ,VC). Bastera imporre che non vi sia rotazione di un’astarispetto all’altra. Quindi scriveremo che e nullo il momento delle forze agenti suuna sola asta rispetto alla cerniera B. Sceglieremo l’asta di destra

MB = −q34

R + VCR + HCR = 0 (5.3)

5.2. PROBLEMA 1 121

Riassumendo si hanno le quattro equazioni:

HA + HC = 0

VA• p − q + VC = 0 esempio di correzione

−p(R −2Rπ

) − q(74

R)

+ VC2R = 0

−q34

R + VCR + HCR = 0

(5.4)

Risolviamo la terza (dove compare solo l’incognita VC si ottiene:

VC = pπ − 2

2π+ q

78

(5.5)

Risolviamo la quarta equazione:

HC = −18

q − pπ − 2

2π(5.6)

Dalla seconda si ottiene:VA =

18

q + pπ + 2

2π(5.7)

Infine dalla prima:

HA =18

q + pπ − 2

2π(5.8)

Abbiamo cosı trovato le reazioni vincolari.Saranno giuste le reazioni? Facciamo qualche controllo. Intanto le reazioni

orizzontali in A e C devono essere verso l’interno perche l’arco tende ad abbassarsise si sopprimono le reazioni orizzontali.

A

B

CΦ Ax Φ C x

??

Figura 5.4. dida


Dunque rispetto al senso indicato nella figura dovra risultare HA positiva eHC negativa. Un’occhiata alle formule trovate indica che queste condizioni sonosoddisfatte. Le due componenti verticali VA e VC devono essere positive (percheequilibrano i pesi) e anche questo e verificato nelle formule che danno VA e VC .Andiamo bene.

Dimensionalmente le quattro formule sono corrette perche ciascun termine hale dimensioni di una forza.

Segnaliamo possibili errori. Intanto qualcuno potrebbe credere che essendoverticali i pesi anche le reazioni in A e C siano verticali. Questa conclusione falsanon riposa su alcun teorema. Per quanto possa sembrare ridicola e una tipicarisposta dello studente sprovveduto.

Altri possono ritenere che le reazioni vincolari in A e C siano dirette secondola congiungente le cerniere. Questo e falso perche le due aste non sono scari-che, ma pesanti. La conclusione e valida solo per le aste senza peso caricate alleestremita.

Molti hanno l’abitudine di scaricare le aste sostituendo al peso di ogni astadue forze applicate agli estremi. Questa pratica richiede una certa familiarita ede pertanto da sconsigliare. Nei problemi di meccanica razionale essa non portasostanziali vantaggi.

Infine si potrebbe pensare che la quarta equazione possa essere ottenuta an-nullando il momento di tutte le forze del sistema rispetto ad un altro punto, ad es.C. Ma dalla reazione

~MC = ~MA + (C − A) × ~R

ne viene che essendo ~R = 0 (prime due equazioni) ed ~MA = 0 (terza equazio-ne) sara ~MC = 0 come conseguenza. Dunque questa equazione e combinazionelineare delle precedenti, e come tale non aggiunge nulla di nuovo.

Procediamo ora al calcolo delle azioni interne. Si taglia l’asta AB in un puntogenerico P. Indichiamo con ϑ l’angolo A0P e mettiamo in evidenza le azioni in-terne M,N,T su entrambi i lembi della sezione. Poiche l’asta e pesante torniamoa distribuire il peso.

5.2. PROBLEMA 1 123

A

B

C

OφAx

φAy

φCx

φCy

+

θφ

R cos θ

R cos φ

M

N M

N

T

T P

AφAx

φAy

T

M

N

Figura 5.5. dida

Per calcolare il momento flettente calcoliamo il momento rispetto a P delleforze agenti sul punto @ ? AP.

−M + HAR sin(ϑ) − VA (R − Rcos(ϑ)) +

∫ ϑ0 pπ2 R

Rdϕ (Rcos(ϕ) − Rcos(ϑ)) = 0

(5.9)donde

M = R sin(ϑ)(q8

+π − 2

2πp)

+ R(1 − cos(ϑ)

) (q8

+ pπ + 2

2π

)−

2pRπ

ϑ cos(ϑ) +2pRπ

sin(ϑ)(5.10)

Per calcolare l’azione di taglio e quella assiale scriviamo le equazioni Rx = 0,Ry = 0 per il tratto AP:

HA + N sin(ϑ) − T cos(ϑ) = 0

VA −2pπR

R ϑ + N cos(ϑ) + T sin(ϑ) = 0(5.11)

dondeN = −

(q8

+ pπ − 2

2π

)sin(ϑ) −

(q8

+ pπ + 2

2π

)cos(ϑ) +

2pπϑ cos(ϑ)

T = +

(18

q + pπ − 2

2π

)cos(ϑ) −

(18

q + pπ + 2

2π

)sin(ϑ) +

2pπϑ sin(ϑ)

(5.12)

Controllo dimensionale: M deve essere composta da termini le cui dimensionisiano forza per lunghezza. N e T devono essere somma di forze.

Sara giusto il momento flettente ottenuto?Facciamo qualche controllo. Per ϑ = 0 e ϑ = π

2 esso deve essere nullo. Se


poniamo ϑ = 0 infatti si annulla. Per ϑ = π2 si ha:

M(π

2

)= R

[q8

+π•22π

p +q8

+ pπ + 2

2π+ p

2π

], 0 (5.13)

Dunque c’e un errore. Tornando ad esaminare l’equazione MA = 0 si vede chel’errore e nel passaggio tra questa equazione e la successiva. Scoperto questoerrore di segno c’e da chiedersi: e l’unico? Non sara che lo stesso errore e statofatto sui termini rimanenti? Un controllo mostra subito che, per un errore in unpassaggio, anche il terzo termine e stato riportato con il segno errato.

Dunque, se non ci sono scappati altri errori, la espressione corretta del mo-mento flettente e:

M = R sin(ϑ)(q8

+π − 2

2πp)− R (1 − cos(ϑ))

(q8

+ pπ + 2

2π

)−

2pRπ

ϑ cos(ϑ) +2pRπ

sin(ϑ)(5.14)

Controlliamo ora le espressioni di N e T . Per ϑ = 0 deve essere N = −VA eT = HA

N(0) = −

(q8

+ pπ + 2

2π

)= −VA

T (0) = +

(q8

+ pπ − 2

2π

)= +HA

(5.15)

per ϑ = π2 deve essere N = −HA e T = −VA + p

N(π

2

)= −

q8

+ pπ − 2

2π= −HA

T(π

2

)= −

q8

+ pπ + 2

2π+

2pπ

π

2= −VA + p

(5.16)

Dunque le formule soddisfano questi requisiti. Con questo non siamo sicuri chesiano giuste, ma almeno c’e una buona probabilita che lo siano.

Quando si vuole controllare un risultato, se questo contiene una variabile (ϑnel nostro problema), si puo vedere se per particolarti valori di questa variabile(ϑ = 0 e ϑ = π

2 nel nostro problema) il risultato coincide con quello ottenibiledirettamente.

Adesso il problema e finito.Passiamo ad un altro problema? Un momento: e se ci venisse richiesto di

trovare le azioni interne nella cerniera B le sapremmo trovare? D’accordo chel’enunciato del problema non pone questa domanda, ma poniamocela noi.

Per calcolare le reazioni in B asporteremo le cerniere e indicheremo sui duelembi le reazioni interne.

5.2. PROBLEMA 1 125

qp

φAx

φAy

φCx

φCy

φBx

φBy

φBo

φBv

Figura 5.6. dida

Quindi scriveremo le equazioni Rx + R′X = 0 e Ry + R′y = 0 per una delle dueaste (ad es. quella di destra)

+HB + HC = 0

+VB − q + VC = 0−→

HB =

18

q + pπ − 2

2π

VB =18

q − pπ − 2

2π

(5.17)

Attenzione: un possibile errore sta nel dimenticare di mettere le reazioni internesu entrambi i bordi delle aste. Se si facesse la figura

A

B

C

qp

φAx

φAy

φCx

φCy

φBx

φBy

Figura 5.7. dida

qualora venisse in mente di calcolare le azioni interne nell’asta AB l’assenzadelle reazioni relative all’asta AB sarebbe causa di errore.

Fatto questo esercizio con tutte queste precisazioni possiamo ritenere di saperrisolvere un qualsiasi arco a tre cerniere, anche con condizioni di carico diverse(ad esempio con forze orizzontali) con diversa forma delle aste.

Il metodo e sempre questo. Un eventuale altro esercizio potrebbe servire adacquistare piu dimestichezza con i calcoli, a fissare bene il procedimento. Ma poibasta. E’ inutile risolvere sei o dieci esercizi sugli archi a tre cerniere.

Due esercizi per ogni categoria di problemi sono sufficienti. Ma attenzione:a patto che quei due siano stati risolti in piu modi, che siano state poste anchedomande in piu rispetto all’enunciato, che non lascino lati oscuri. Solo a questacondizione il consiglio e valido.


Non aprire espressioni, non eseguire derivate rispetto al tempo se non e stret-tamente necessario.

Diffidare delle espressioni troppo lunghe; ogni tanto fermarsi e chiedersi: vadobene su questa strada? e opportuno che esegua questa derivata? ho scritto tutte leequazioni che mi servono?

Non avere la smania di sviluppare i calcoli: e meglio non andare fino in fondoe fermarsi ad esaminare se quello che e stato fatto e concettualmente giusto.

Scrivere poco e pensare molto. Porsi spesso la domanda: posso usare questoprocedimenrto, questa formula? Se si, mi conviene?

Fermarsi ogni tanto a guardare il procedimento usato, esaminarlo criticamen-te: si poteva fare diversamente? in modo piu semplice? Quale e stato il puntopiu difficile? Sono sicuro di avere usato la espressione giusta per calcolare quellagrandezza? No? Allora andare ad aprire il testo, cercare l’argomento, rileggerloattentamente. Si scopre senz’altro qualcosa che era sfuggito prima.

Alla fine chiedersi: ho risposto a tutte le domande? Fare il controllo dimen-sionale e raccogliere tutte le risposte in un unico riquadro.

@ MONICA: uno alla volta devono essere inseriti qui i rimanenti problemiche si trovano nel file problemi.tex Problema 2Enunciato. In un piano verticale un disco omogeneo di massa m e raggio r rotolasu un profilo circolare di raggio R senza strisciare.

Inizialmente il disco si trova sulla sommita del profilo ed il suo centro pos-siede una velocita V0. Il coefficiente di attrito statico tra disco e profilo e µ.

Si domanda quale e la posizione del disco dalla quale esso cessa di rotolareed inizia a strisciare.

x

y

R

ϕ

?

r

V0

O

Figura 5.8. dida

♣MARCO

5.2. PROBLEMA 1 127

problema di dinamica del corpo rigidogradi di liberta unocoordinate scelte ϕ

forze solo pesovincoli scabri, fissi, unilateriincognite valore di ϕ corrispondente

all’inizio dello strisciamento

Risoluzione

Prima di tutto compilare una scheda come indicato qui a fianco al fine diclassificare il problema.

Poi fermarsi a considerare tutti gli aspetti del problema come e fatto nelleseguentiosservazioni: il rotolamento ha luogo fin tanto che e soddisfatta la condizionedi attrito statico |Φt| ≤ µ|ΦN |. La posizione limite cercata e quindi quella per laquale ha luogo la uguaglianza |Φt| = µ|ΦN |. Poiche le due componenti Φt e ΦN

dipendono dalla posizione, cioe dall’angolo ϕ, la posizione limite sara data daquel valore di ϕ per cui la Φt e la ΦN soddisfano la disuguaglianza precedente.

Si tratta dunque di determinare le due componenti Φt e ΦN in funzione di ϕ.

Per determinare le reazioni vincolari occorre prima determinare il movimento(questo e un principio generale: le reazioni vincolari dipendono dalla posizionedi equilibrio, in statica, o dal tipo di movimento, in dinamica). Poiche il sistemaha un solo grado di liberta e sufficiente avere una equazione pura di moto. Puoad esempio scegliersi l’integrale dell’energia. Infatti i vincoli sono fissi; inoltre,anche se scabri, non portano a dissipazione di energia per attrito a causa dellamancanza di strisciamento. Le forze attive sono conservative.

Riassumendo seguiremo il seguente procedimento:1) troveremo il moto usando l’integrale dell’energia;2) troveremo le reazioni vincolari ΦT e ΦN in funzione dell’angolo ϕ usando leequazioni cardinali (unico modo per calcolarle);3) imporremo che |Φt(ϕ)| = µ|ΦN(ϕ)|; l’angolo ϕ0 per cui questa uguaglianza esoddisfatta fornira la posizione cercata.

Calcolo dell’energia cinetica. © Calcolo delle reazioni vincolari


x

y

ϕ

O

θ

CD

B

r

ϕ

R

A

AC = BC x

y

ϕ

O

ϕ

S

mg

φ t

φn

n tG

Figura 5.9. dida

d~Pdt = ~R + ~R′

~P = m~vGd~Pdt = m~a]G = m(s~t + s2

R+r ~n)s = (R + r)ϕRt = +mg sin(ϕ)Rn = +mg cosϕR′t = +ΦtR′n = −ΦN

Dunque:m(R + r)ϕ = mg sin(ϕ) + Φt

m(R + r)ϕ2 = mg cosϕ − ΦNdonde:

Φt = −mg sin(ϕ) + m(R + r)ϕΦN = mg cosϕ − m(R + r)ϕ2

Per avere Φt e ΦN in funzione dell’angolo ϕ esprimiamo ϕ2 e ϕ mediante ϕfacendo uso dell’integrale dell’energia

(R + r)ϕ2 = 43 g(1 − cosϕ) +

V20

R+r

e della relazione ottenuta derivando la precedente:(R + r)ϕ = 2

3 g sin(ϕ)Infine:Φt(ϕ) = −mg sin(ϕ) + m 2

3g sin(ϕ) = − 13 mg sin(ϕ)

ΦN(ϕ) = mg cosϕ − m 43 g(1 − cosϕ) −

mV20

R+r

= −43 mg + 7

3 mg cosϕ −mV2

0R+r

La condizione limite diviene:∣∣∣ − 13 m g sin(ϕ)0

∣∣∣ = µ

∣∣∣∣∣ 73 m g cosϕ0 −

43 m g −

mV20

R+r

∣∣∣∣∣Poiche 0 ≤ ϕ ≤ π

2 sara sin(ϕ) > 0 e quindi il modulo del primo membro puoessere eliminato:

5.2. PROBLEMA 1 129

sin(ϕ)0 = µ

∣∣∣∣∣ 7 cosϕ0 − 4 −3V2

0g(R+r)

∣∣∣∣∣Questa espressione definisce implicitamente ϕ0.

Il problema e finito. Passiamo ad un altro? No. Proviamo invece a svolgerelo stesso problema in modo diverso. Cosı invece di usare il teorema dell’energiaper il calcolo del movimento si poteva usare la seconda equazione cardinale delladinamica. Scelto come polo il punto C (incidentalmente esso e il centro di istan-tanea rotazione) ma di esso ci interessa il fatto che la sua velocita e parallela inogni istante a quella del baricentro cosı che si potra far uso della equazione nellaforma~LCdt = ~MC

Perche abbiamo scelto C invece del baricentro G? Semplicemente perche se sisceglie il baricentro come polo interviene il momento della reazione vincolare:Mz = −Φtr. Invece scegliendo C il momento della reazione e nullo rispetto a C el’equazione di moto e una equazione pura.SaraLCz = ( mr2

2 + mr2)ωz ICz = IGz + md2

MCz = +mgr sin(ϕ)donde:ddt (

3m2 r2ωz) = mgr sin(ϕ) 2

3 mr2 R+rr ϕ = mgr sin(ϕ)

(R + r)ϕ = 23 g sin(ϕ)

L’equazione cosı ottenuta e del secondo ordine e coincide con quello che siottiene derivando l’integrale dell’energia rispetto al tempo. Uno dei vantaggi cheha l’integrale dell’energia rispetto alle equazioni cardinali consiste appunto nelfornire una equazione differenziale del primo ordine in luogo di una del secondoordine.

Abbiamo cosı ottenuto l’equazione di moto con due procedimenti diversi:questo ci permette di verificare il risultato.

Calcoliamo di nuovo le reazioni vincolari, questa volta invece di far uso dellaterna intrinseca proviamo ad usare le componenti cartesiane.(attenzione che l’asse delle y e orizzontale).d~Pdt = ~R + ~R′ −→

mxG = Rx + R′xmyG = Ry + R′y

xG = (R + r)cos(ϕ)yG = (R + r)sin(ϕ)

xG = −(R + r)sin(ϕ)ϕyG = (R + r)cos(ϕ)ϕ

xG = −(R + r)cos(ϕ)ϕ2 − (R + r)sin(ϕ)ϕyG = −(R + r)sin (ϕ) ϕ2 + (R + r)cos ϕϕRx = −mg R′x = ΦNcos(ϕ) − Φt sin(ϕ)Ry = 0 R′y = ΦN sin(ϕ) + Φtcos(ϕ)


dunque:−m(R + r)cosϕϕ2@m(R + r)sin(ϕ)ϕ = −mg + ΦNcosϕ − Φt sin(ϕ)− m(R + r)sin(ϕ)ϕ2 + m(R + r)cosϕϕ = ΦN sin(ϕ) + Φtcosϕ

Le equazioni cosı ottenute contengono entrambe Φt e ΦN : invece quelle ot-tenute proiettando sulla terna intrinseca contenevano ciascuna una reazione inco-gnita.

Per confrontarle con quelle gia ottenute eliminamo Φt dalla prima equazionemoltiplicando la prima per cosϕ, la seconda per sin(ϕ) e sommando:−m(R + r)cos2ϕϕ2 − m(R + r)sin ϕ cosϕϕ −− m(R + r)sin2ϕϕ2 + m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ =

= −mg cosϕ + ΦNcos2ϕ + ΦN sin2ϕ

ovvero semplificando:−m(R + r)ϕ2 = m g cosϕ + ΦN

che coincide con quella gia ottenuta.Se invece si moltiplica la prima equazione per sin ϕ; la seconda per −cosϕ e

si sommano le due si ottiene:−m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ2 − m(R + r)sin2ϕϕ +

+ m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ − m(R + r)cos2ϕϕ == −mg sin(ϕ) − Φt sin2ϕ − Φtcos2ϕ

ovvero semplificando:−m(R + r)ϕ = −m g sin(ϕ) − Φt

Dunque abbiamo ottenuto per due vie traverse lo stesso risultato: e cosı che sipuo sapere se un risultato e giusto.

Lo studente dira: si, ma se tutti gli esercizi li devo svolgere in due modi diver-si ... non finisco piu! Errore! Invece di fare, poniamo sessanta esercizi, e meglio,molto meglio, farne solo trenta svolgendoli in piu modi: ciascuno varra per due.Si acquista piu padronanza facendo sessanta esercizi e ogni volta cercando di-speratamente la soluzione su un eserciziario, o facendone trenta ma avendo unaragionevole certezza che il risultato sia giusto?Bene, passiamo ad un altro esercizio.

... Ma veramente potremmo farci ancora qualche domanda su questo esercizio.Basta! dira lo studente, facciamone un altro.Evidentemente questa reazione nasce dalla convinzione che cambiando eser-

cizio si impara qualche cosa di piu. E’ un errore. E’ come se uno volendo impararea parlare inglese cerca di incontrare piu inglesi che sia possibile e invece quan-do puo intrattenersi a lungo con un inglese si accontenta di dire due parole e poiscappa via. Al massimo imparera a dire solo good morning e good evening e goodnight!

Occorre sfruttare a fondo le occasioni: un esercizio e una buona occasione, ebene sviscerarlo fino in fondo.

Torniamo al nostro disco. Dopo che inizia lo strisciamento come prosegue il

5.2. PROBLEMA 1 131

suo moto? Quando incomincia a strisciare i suoi gradi di liberta divengono due equindi occorrono due coordinate per individuare la sua configurazione. Scegliamoϕ e ϑ. Ci vorranno due equazioni di moto.

Poiche c’e l’attrito dinamico conviene usare le equazioni cardinali che fannouso delle reazioni (le equazioni di Lagrange non sono applicabili quando il vin-colo e scabro). Non si puo usare il teorema di conservazione dell’energia a causadell’attrito. Dunque:d~Pdt = ~R + ~R′ d~L0

dt = ~M0 + ~M′0mxG = Rx + R′xmyG = Ry + R′y

IGzϑ = MGz + M′Gz

Le prime due equazioni coincidono con quelle gia trovate prima e percio evi-tiamo di esplicitarle. Nella seconda equazione si e scelto come polo il baricentrotanto per cambiare (non siamo qui per fare un po’ di esperienza?).

Attenzione che ora ϕ e ϑ sono libere e percio non e piu applicabile la relazioneϑ = R+r

r ϕ

La seconda equazione cardinale diviene:12 mr2ϑ = Φtr

Abbiamo cosı scritto tre equazioni, mentre le incognite sono quattro: ϕ, ϑ,Φt,ΦN .Manca dunque una equazione. Poiche il disco striscia sulla guida, tra Φt e ΦN in-tercorre la relazione|Φt| = f |ΦN |

essendo f il coefficiente di attrito dinamico tra il disco e la guida. Ora il bilancioincognite-equazioni torna. Scriviamo le equazioni insieme:

ΦN = −m(R + r)ϕ2 + m g cosϕΦt = m(R + r)ϕ − m g sin(ϕ)12 mr2ϑ = −Φtr−Φt = f ΦN

Eliminando Φt e ΦN si ottengono le due equazioni pure di moto: 12 mrϑ = − f m(R + r)ϕ2 + f mg cosϕ− 1

2 mrϑ = m(R + r)ϕ − m g sin(ϕ)Sommando le due equazioni si ottiene una equazione contenente solo ϕ:

− f m(R + r)ϕ2 + m(R + r)ϕ + f mg cosϕ − m g sin(ϕ) = 0Quando si sara risolta questa equazione si otterra ϕ = ϕ(t). Sostituita in una

qualsiasi delle due equazioni precedenti si otterra ϑ = ϑ(t). In linea di principiodunque il moto e determinato.

In linea di fatto l’equazione differenziale del secondo ordine ottenuta e nonlineare e la sua integrazione esula dalle competenze di un programma usuale dianalisi. O si riesce a trovare una sostituzione conveniente che la riconduce ad untipo noto oppure si dovrebbe procedere con uno dei tanti metodi di integrazioneapprossimati (metodi iterativi e numerici).


5.2.1 Problema 3

Enunciato. Un filo omogeneo pesante si avvolge su un cilindro fisso e scabro.Sia p il peso per unita di lunghezza del filo, l la sua lunghezza, µ il coefficiente diattrito statico tra filo e cilindro.

Si domanda quale e il massimo dislivello consentito tra i due estremi del filoaffinche esso stia in equilibrio.

DC

B

A

d

x

µ

µ

~n

~t `N

Figura 5.10. dida

In questo problema si suppone che il filo tagli ortogonalmente le generatricidel cilindro cosı da essere~n = −~N(il segno meno tiene conto che la ~n e diretta verso la concavita mentre ~N e versol’esterno della superficie). Inoltre si puo prendere~T = ~tQuindi ΦN = −Φn

ΦT = Φt

E’ un problema di statica dei fili su superficie scabra (§39).Le equazioni di equilibrio sono:

Ft + Φt + dT

ds = 0Fn + Φn + T

r = 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ft = −p cos(ϑ)Fn = +p sin(ϑ)ds = r d (ϑ)

Da esse si ricavano le reazioni:Φt = p cos(ϑ) − 1

rdT (ϑ)

dϑ Φn = −p sin(ϑ) − T ((ϑ))r

La condizione di equilibrio per vincoli scabri e: |ΦT | ≤ µ|ΦN |. Il massimodislivello tra A e B comporta la condizione limite |ΦT | = µ|Φ − N |. Supponiamoche sia B piu in basso di A. Cio comporta che la ΦT si opponga all’ulterioreabbassamento di B e quindi sia dello stesso senso del versore t segnato in figura:ΦT > 0, donde |ΦT | = Φt. Inoltre Φn < 0 perche la reazione del disco e rivoltaverso l’esterno, dunque essendo ΦN = −Φn ne viene ΦN > 0.

5.2. PROBLEMA 1 133

Donde l’equazione pura di equilibrio e:+p cos(ϑ) = 1

rdT (ϑ)

dϑ = µ[+p sin(ϑ) +T (ϑ)

r ]ovverodT (ϑ)

dϑ + µT (ϑ) = r p cos(ϑ) − µ r p sin(ϑ)E’ questa una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea

nella funzione T (ϑ). Per risolverla (§88) si trova prima la soluzione della equa-zione omogenea associata:dTdϑ + µT = 0 −→ T (ϑ) = Ce−µϑ

poi si aggiunge un integrale particolare:T (ϑ) = +A sin(ϑ) + B cos(ϑ)

Per determinare le costanti A e B si sostituisce questa espressione di T (ϑ) nellaequazione non omogenea.

Raccogliendo i termini uguali si ottiene:(A + µB)cos(ϑ) + (µA − B)sin(ϑ) = (rp)cos(ϑ) + (−µrp)sin(ϑ)

L’equazione e identicamente soddisfatta se:A + µB = rpµA − B = −µrp

ovvero

A =1−µ2

1+µ2 rp

B =2µ

1+µ2 rp

Pertanto la soluzione generale sara:T (ϑ) = Ce−µϑ +

1−µ2

1+µ2 rp sin(ϑ) +2µ

1+µ2 rp cos(ϑ)Ora che sappiamo come varia la tensione in funzione di ϑ porremo le con-

dizioni che all’estremo C(ϑ = 0) essa uguagli il peso del tratto CB, all’estremoD(ϑ = π) essa uguagli il peso del tratto AD.

Se x e la lunghezza del tratto CB il suo peso e px: esso uguaglia la tensionein C, cioe T (0) = px. La tensione in D e uguale al peso del tratto DA cioeT (π) = p(l − x − πr).Dunque: ♣MARCO C +

2µ1+µ2 rp = px

Ce−µπ − 2µ1+µ2 rp = p(l − x − πr)

donde eliminando C dalle due equazioni si ricava (dopo qualche passaggio)x = l−πr

1+e−µπ +2µ

1+µ2 rIl dislivello tra B e A e:d = x − (l − x − πr) = 2x − l + πrsostituendo l’espressione di x trovata, dopo qualche semplificazione si ottiene:

d = (l − πr) 1−e−µπ1+e−µπ +

4µ1+µ2 r


che fornisce la risposta al problema.Sara giusto il risultato? Facciamo qualche controllo. Intanto osserviamo che

se non c’e attrito (µ = 0) l’equilibrio si ha solo quando A e B sono allo stessolivello, cioe d = 0. Ponendo µ = 0 nel risultato si ottiene infatti d = 0. Il primocontrollo e quindi superato.

Facciamo il controllo dimensionale: tutti i termini entro parentesi quadre de-vono avere le dimensioni di una lunghezza. Un esame del risultato mostra che cosıe. Questo pero non ci assicura che il risultato sia giusto. Come si fa ad essernesicuri?

L’unico modo e quello di rivedere il problema dall’inizio, esaminare attenta-mente le posizioni fatte strada facendo, lo svolgimento dei passaggi, vedendo sele formule sono state applicate nel rispetto delle loro condizioni di validita, se ilprocedimento usato e lecito.Insomma: rivedere tutto!

5.2.2 Problema 4

Tre aste di uguale lunghezza l e di uguale peso p per unita di lunghezza sonoincernierate fra loro a formare un triangolo. Il vertice A e incernierato a terra,mentre il vertice C e appoggiato a terra. Sul vertice B agisce una forza orizzontaleF.

Determinare le azioni interne nel lato BC.

F

C

B

Aplpl

pl

Figura 5.11. dida

Risoluzione.Si tratta di un problema di statica dei sistemi rigidi. Non vi sono gradi di libertaperche le aste incernierate fra loro formano un sistema rigido. Questo nel piano hatre gradi di liberta, ma la cerniera a sinistra (vincolo doppio) ed il carrello a destra(vincolo semplice) gli tolgono giusto tre gradi di liberta. Quindi non dobbia-mo trovare la posizione di equilibrio: quella data essendo l’unica configurazionepossibile e automaticamente di equilibrio.

Per calcolare le azioni interne calcoliamo dapprima le reazioni vincolari (inqualche caso, come questo, non e indispensabile farlo, ma come norma noi se-

5.2. PROBLEMA 1 135

guiremo il criterio di calcolare le azioni interne dopo aver calcolato le reazionivincolari).

Innanzi tutto e bene disegnare i vettori peso (per non dimenticarli nel computodelle forze). Il peso di ciascuna asta e pl essendo p il peso della unita di lunghezza.Ora esplicitiamo le reazioni: in A la direzione della reazione non e nota e percione consideriamo le due componenti orizzontali HA e verticale VA. In C la reazionee normale al vincolo e quindi verticale: VC .

Ora scriviamo che e nulla la somma delle forze orizzontali, verticali e dei mo-menti rispetto ad A (polo piu conveniente perche cosı non compaiono i momentidelle due componenti della reazione in A).

F

C

B

Aplpl

pl

VC

H A

VA

Figura 5.12. dida

+HA + F = 0

+VA − pl − pl − pl + VC = 0

+VCl − pl 12 − pl 1

2 cos60 − pl 32 l cos60 − F l sin60 = 0

(5.18)

donde

HA = −F

VC =32

pl +

√3

2F

VA = 3pl − (32

pl +

√3F2

) =32

pl −

√3

2F

(5.19)

Cosı le reazioni sono calcolate. Per determinare le azioni interne nell’asta BC laprima cosa da fare e di tornare a pensare il peso come distribuito lungo ogni asta.Quindi operiamo una sezione dell’asta BC in un punto generico S : indichiamo


con s la distanza di tale punto da B. Mettiamo in evidenza l’azione assiale Ntangente all’asta, l’azione di taglio T normale ed il momento flettente N.

Per non dimenticare il peso di ciascuno dei due pezzi in cui e divisa l’asta BCabbiamo indicato con una serie di freccine verticali il peso distribuito. Non e unabella rappresentazione e nel seguito la eviteremo. Il momento rispetto a B delleforze agenti su BS deve essere nullo. Il momento delle forze agenti su S C rispettoa C deve essere nullo. Infine il momento rispetto ad A delle forze agenti su AB eBS deve essere nullo.

Esprimendo l’annullamento dei tre momenti otteniamo tre equazioni da cuiricaviamo le tre quantita N,T,M.

N

NT

T

M M

C

B

A

s

S

60

60

Figura 5.13. dida

C

B

A C

B

A C

B

A

M A= 0M B = 0

M C = 0

Figura 5.14. dida

5.2. PROBLEMA 1 137

A A

T

T

s

s

+T(s¡ l

2) ¡T(

l

2¡ s)· +T(s¡ l

2)

s¡ l

2

l

2¡ s

Figura 5.15. dida

MB = +M + T s − p s s2 cos60 = 0

MC = −M + T (l − s) + p(l − s) (l−s)2 cos60 = 0

MA = −pl 12 cos60 − Fl sin60 −p s(l cos60 + s

2 cos60)

−Nl cos30 + T (s − 12 ) + M = 0

(5.20)

Osservazione: nel calcolare il braccio della T nella terza equazione abbiamosupposto che sia s > l/2, cioe che la sezione sia fatta oltre la meta dell’asta. Iltermine corrispondente e +T (s − l/2). Se fosse invece s < l/2 il termine sarebbe−T (l/2 − s) che e identico al precedente.

Figura 5.16. dida

+T(s −

l2

)− T

(l2− s

)≡ +T

(s −

l2

)(5.21)

Dunque non occorre considerare separatamente i due casi: la medesima espres-sione vale per i due casi s < l/2 ed s > l/2.

Risolviamo le prime due equazioni che contengono solo M e T :

+M + T s = ps2

4− M + T (l − s) = −

p4

(l − s)2 (5.22)


Sommando si ottiene

T =p4

(2s − l) (5.23)

mentre dalla prima si ricava

M =p4

s(l − s) (5.24)

Infine dalla terza equazione si ricava

N = −p

2√

3(3s +

12

) − F (5.25)

5.2.3 Problema 5

♣ MARCO Due aste AB e BC di uguale lunghezza l e uguale peso p sono in-cernierate fra loro in B. L’estremo A e incernierato a terra mentre l’estremo C elibero di scorrere su una guida verticale passante per A.Una molla reale di lunghezza a riposo l0 congiunge A con C.Determinare la posizione di equilibrio.

RisoluzioneSi tratta di un problema di statica dei sistemi. Una volta determinato l’angolo chel’asta AB forma con la verticale e definita la configurazione dell’intero sistema.Dunque e sufficiente la coordinata libera ϑ.Non vi sono attriti, dunque possiamo usare il principio dei lavori virtuali.

y

p

p

A

B

C

Figura 5.17. dida

Indicate con y1, y2, y3 le ordinate dei baricentri di AB e BC e del punto Crispettivamente saraδW = pδy1 + pδy2 − k(2l cos(ϑ) − l0)δy3Esprimiamo ora le tre ordinate in funzione dell’unica coordianta ϑ:y1 = 1

2 cos(ϑ) y2 = 32 l cos(ϑ) y3 = 2l cos(ϑ)

5.2. PROBLEMA 1 139

δy1 = − 12 sin(ϑ)δ(ϑ) δy2 = − 3

2 l sin(ϑ)δϑ δy3 = −2l sin(ϑ)δϑδW = [−p l

2 sin(ϑ) − 32 p l sin(ϑ) − k(2l cos(ϑ) − l0)(−2l sin(ϑ))]δϑ

donde la condizione δW = 0 diviene−2p l sin(ϑ) + 2k l sin(ϑ)(2l cos(ϑ) − l0) = 0ovverosin (ϑ)[−p + 2k l cos(ϑ) − kl0] = 0I casi sono due:sin (ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0posizione di equilibrio in cui le aste sono allineate.Inoltrecos(ϑ) =

p+kl02kl .

Questa posizione di equilibrio sussiste solo sep+kl02kl ≤ .... ≤ k(2l − l0)

5.2.4 Problema 6

In un piano verticale un’asta omogenea AB di lunghezza l = 20cm e di massam = 300g poggia l’estremo B su un piano orizzontale e l’estremo A lungo unaguida verticale liscia.

Sull’estremo A agisce una molla verticale di costante k che ha l’altro estremofissato d una altezza h = 18cm dall’estremo B.

Si domanda quale valore deve avere la costante k (in newton al metro) affinchel’asta stia in equilibrio in posizione orizzontale. Si chiede successivamente dicalcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibriostabile.

A

B

h

µ

Figura 5.18. dida

Rileggiamo lentamente il testo per renderci familiare il problema. C’e un’astacon i due sistemi vincolati a due guide, una verticale, l’altra orizzontale. Le guidesono liscie. Il peso dell’asta e contrastato dalla molla per cui vi puo essere una


posizione di equilibrio.La posizione di equilibrio e assegnata: e quella in cui l’asta AB e orizzontale.Allora e conveniente fare anche il

A B B

Φ

kh mg

Figura 5.19. dida

nella posizione di equilibrio.

B Bk(h+ lµ)

k(h¡ lµ)

µ

µ

mgmg

Figura 5.20. dida

♣MARCOIn A ci potrebbe essere la reazione vincolare orizzontale Φ. Ma poiche e

l’unica forza orizzontale agente sull’asta, per l’equilibrio deve essere Φ = 0.Ora possiamo mettere in evidenza la forza della molla che e kh. Scrivendo che

e nullo il momento, rispetto a B, delle forze agenti sull’asta, si ha

MBz = −(kh)l + (mg)12

= 0 −→ k =mg2h

Ponendo i valori numerici (facendo uso del Sistema Internazionale)m = 300g = 0, 3kgg = 9.81ms−2

h = 18cm = 0.18mk =

mg2h = 0.3·9.81

2·0.18 ≈0.3·102·0.2 = 3

0.4 = 304 = 7.5

Poiche i calcoli sono stati fatti nel sistema SI e poiche k e una forza per unitadi lunghezza il numero trovato e 7.5Nm−1.

5.2. PROBLEMA 1 141

Se avete una molla in casa, anche se e una molla a compressione (come quelladelle matite stilografiche) provate a determinare la costante.Se non l’avete potete usare un elastico.

Ora dobbiamo vedere se la posizione di equilibrio orizzontale e stabile. Unaposizione di equilibrio si dice stabile se una volta spostato il sistema da taleposizione questo vi ritorna.

Proviamo dunque a ruotare di un angolo infinitesimo ϑ:

DISEGNI

Se lo ruotiamo in bassoMBz = −k(h + lϑ) + m 1

2 = −mg2h (h + lϑ)l + mg 1

2 = −mg2h l2ϑ

dunque il senso di MBz e opposto al senso dell’angolo cioe e di richiamo e quindil’asta torna orizzonatale.

Se la ruotiamo in altoMBz = +k(h − lϑ)l − mg 1

2 = −kl2ϑdi nuovo il senso di MBz e opposto al senso dell’angolo e quindi l’asta torna oriz-zontale.Ne concludiamo che la posizione di equilibrio e stabile.Allo stesso risultato saremmo giunti esaminando il potenziale delle forze. Si ha:Upeso = −mg xG = mg( 1

2 sin(ϑ) + a)Umolla = −1

2 k(h − l sin(ϑ))2

ed essendo U = Upeso + Umolla si ottieneU(ϑ) = −mg( 1

2 sin(ϑ) + a) − 12 k(h − l sin(ϑ))2

Vediamo se il potenziale e massimo nella posizione di equilibrio. A tal fineoccorre esaminare il segno della derivata seconda.dUdϑ = −mg( 1

2 cos(ϑ)) − k(h − l sin(ϑ))(−l cos(ϑ))d2Udϑ2 = +mg1

2 sin(ϑ) − k[(−l cos(ϑ))(−l cos(ϑ)) + (h − l sin(ϑ))(+l sin(ϑ))] =

= mg 12 sin(ϑ) − k(l2cos2(ϑ) + hlsin(ϑ) − l2sin2(ϑ))

Quindi ponendo ϑ = 0 si ottiened2Udϑ2 |ϑ=0 = −kl2

Dunque la derivata seconda e negativa, il potenziale e massimo e l’equilibrio estabile.

Passiamo ora allo studio delle piccole oscillazioni attorno alla posizione diequilibrio stabile. A questo scopo dobbiamo cercare una equazione di moto pura.Questa puo essere fornita dall’integrale dell’energia: T − U = E.

Calcoliamo l’energia cinetica. Poiche si tratta di un corpo rigido (un’asta) econveniente usare il teorema di Konig:T = 1

2 m v2G + 1

2IGzω2


A

B

Gh

µ

x

x

ya

y

0

xG

yG

Figura 5.21. dida

Esprimiamo ora le coordinate sovrabbondanti in funzione dell’unica coordi-nata libera ϑ:

xG = 12 sin(ϑ)(t) + a xG = +1

2 cos(ϑ)(t) ϑ(t)yG = 1

2 cos(ϑ)(t) yG = − 12 sin(ϑ)(t) ϑ(t)

ne vieneT = 1

2 m[ l24 cos2(ϑ)ϑ2 + l2

4 sin2(ϑ)ϑ2] + 12 ( 1

12 ml2)ϑ2

semplificandoT = 1

6 ml2ϑ2

Il potenziale, come abbiamo visto, e dato daU = −mg( 1

2 sin(ϑ) + a) − 12 k(h − l sin(ϑ))2

Poiche a noi interessano le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equi-librio stabile ϑ = 0, approssimiamo l’energia cinetica ed il potenziale (pag. 89).

Poiche l’energia cinetica non contiene l’angolo ϑ ne viene che essa non deveessere approssimativa.

Per il potenziale essendo©l’equazione T − U = E diviene[ 1

6 ml2ϑ2] − [(−mga − 12 kh2) − 1

2 kl2ϑ2] = EPer ottenere l’equazione di moto possiamo ora derivare rispetto al tempo13 ml2ϑϑ + kl2ϑϑ = 0ovvero, eliminando ϑϑ + 3k

m ϑ = 0E’ questa la tipica equazione dei moti armonici la cui forma generale eϑ + ω2ϑ = 0.Per confronto si vede che

ω −√

3km f = ω

2π = 12π

√3km

Per valutare numericamente la frequenza basta ricordare chek = 7, 5N m−1 m = 0.3kgne viene

5.2. PROBLEMA 1 143

f = 16.28

√3·7.50.3 ≈ 1

6

√22·10

3 ≈ 16

√70 ≈ 8.4

6 = 1.4

Dunque f = 1.4 s−1 cioe 1.4 hertz (simbolo Hz). Cio significa che l’asta fa 1.4oscillazioni complete al secondo e quindi il periodo di una oscillazione completa(andata e ritorno) e

T = 11.4 ≈ 0.7 s.

Con cio il problema e finito.

5.2.5 Problema 8

♣ MARCO Un anellino di peso p puo scorrere senza attrito lungo una circonfe-renza liscia di raggio R che ruota con moto uniforme attorno ad un asse verticale.Determinare la posizione di equilibrio relativo.Classificazione del problemaStatica della particella relativa ad un riferimento rotante.vincolo (la circonferenza): liscio, fisso (rispetto al riferimento rotante), bilatero,olonomo.forze attive: peso e forze apparenti (entrambe ammettono potenziale)gradi di liberta: uno.

p

R

ω

p

R

θ

θt

nFapp

Figura 5.22. dida

Risoluzione Essendo un problema di statica relativa occorre tener conto dellaforza apparente. Si tratta di una forza assifuga di moduloFapp = m ω2 R sin(ϑ)

Scriviamo ora la condizione di equilibrio della particella vincolato

F + Φ = 0 −→

∣∣∣∣∣∣ Ft + Φt = 0Fn + Φn = 0

Poiche il vincolo e liscio la reazione e normale ad esso, quindi Φt = 0. Ne viene−p sin(ϑ) + (mω2 R sin(ϑ))cos(ϑ) = 0− p cos(ϑ) − (mω2 R sin(ϑ))sin(ϑ) + Φ = 0


La prima e una equazione pura che fornisce la posizione di equilibriosin(ϑ)(−p + mω2R cos(ϑ)) = 0donde si ha sin(ϑ) = 0 −→ ϑ = 0 , ϑ = π

e anche −p + mω2R cos(ϑ) = 0e quindi

cos(ϑ) =g

ω2R

Le prime due posizioni di equilibrio esistono sempre, la terza esiste solo quandog

ω2R ≤ 1cioeω ≥√

gR .

La seconda equazione di equilibrio fornisce la reazione vincolareΦ = +mgcos(ϑ) + mω2Rsen2(ϑ)Quindi

per ϑ = 0 Φ = +mgper ϑ = π Φ = −mg

per cos(ϑ) =g

ω2R Φ = +mg2

ω2R + mω2R(1 − g2

ω4R2 ) = mω2RFacciamo qualche esempio numerico. Se R = 10 cm,m = 15 g e la guida fa 2

giri al secondo usando il Sistema Internazionalefrequenza f = 2 Hz −→ ω = 2π f = 6.28 · 2 s−1

raggio R = 10 cm − 0.1 mg = 9, 8 ms−2 m = 0.015 kgvieneg

ω2R = 9.8(12.56)2 0.1 ≈

10150×0.1 = 100

150 = 23 ≈ 0.7

essendo tale numero inferiore all’unita esiste la posizione di equilibrio intermediatra 0 e π:cos(ϑ) ≈ 0.7dalle tavole delle funzioni trigonometriche risulta ϑ ≈ 45.Il valore della reazione vincolare eΦ = 0.015(12.56)2 0.1 ≈ 15

1 150 110 = 225

1 = 0.225Avendo effettuato il calcolo con le unita del Sistema Internazionale il risultato ein newton:Phi = 0.225 N (N e il simbolo del newton)Si tenga presente che un litro di acqua pesa 9.81 N, un uomo pesa circa 800 N eun etto e uguale a 0.981 N, quindi e circa 1 N .

5.2.6 Problema 9

♣ MARCO Quattro aste di uguale lunghezza l e uguale peso p sono incernieratea formare un quadrilatero come in figura. La cerniera A e attaccata ad un pernoverticale che ruota con velocita angolare ω costante. La cerniera C scorre su una

5.2. PROBLEMA 1 145

guida verticale ed e ancorata ad una molle reale di costante k e lunghezza a riposol0. L’altro estremo della molla e vincolato a distanza (2l + l0) da A.

Determinare la velocita angolare ϑ in funzione dell’angolo di equilibrio ω.DISEGNI

Risoluzione E’ un problema di statica relativa ad un riferimento uniformementeruotante. La posizione di equilibrio dipende dalla velocita angolare ω poiche unavelocita angolare maggiore comporta un aumento dell’angolo di apertura ϑ.

Immaginiamo di essere a bordo di un riferimento uniformemente ruotante:le quattro aste sono sottoposte al proprio peso, alle forze assifughe dovute allarotazione del sistema di riferimento e alla forza della molla.

Usiamo il principio dei lavori virtuali.lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta AB:δW1 = +p δ yG = +p δ[ 1

2 cos(ϑ)] = −p 12 sin(ϑ) δ (ϑ)

lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta BC:δW2 = +p δ yH = +p δ[ 3

2 l cos(ϑ)] = −p 32 l sin(ϑ) δ ϑ

Lavoro virtuale delle forze assifughe sull’asta AB:la forza assifuga agente sull’elemento di lunghezza ds e massa dm = ρ ds e datadadmω2x = ρdsω2s sin (ϑ)il lavoro virtuale della forza assifuga per una variazione infinitesima della confi-gurazione (cioe per una variazione δϑ) e

x

y

µµ l

l

DD BB

AA

CC

p

p p

p

2l+ l0

H

G

!!

k(2l¡ 2lcosµ)

Figura 5.23. dida

[ρ ds ω2s sin (ϑ)]δx = [ρ ds ω2s sin (ϑ)]δ(s sin(ϑ)] =

= [ρ ds ω2s sin (ϑ)] · (+s cos(ϑ)δϑ) = +ρω2s2sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ


Il lavoro virtuale per l’intera asta AB eδW3 =

∫ s=1s=0 +ρω2s2sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ = ρω2sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ

∫ s=1s=0 s2ds =

= +13 ρ l3ω2sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ

µ

µB

AB

C

s

s

xx dm !2x

Figura 5.24. dida

Lavoro virtuale delle forze assifughe agenti sull’asta BC:forza assifuga agente su un tratto dsdm ω2x = ρ ds ω2s sin(ϑ)lavoro virtuale elementare(ρ ds ω2s sin(ϑ))δ x = (ρ ds ω2s sin(ϑ)) δ (s sin(ϑ)) = ρ ds ω2s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑlavoro virtuale complessivoδW4 =

∫ s=1s=0 ρ ds ω2 s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑ = 1

3 ρl3ω2sin(ϑ) cos(ϑ)δϑFatto questo osserviamo che il lavoro virtuale delle forze peso e delle forze

apparenti assifughe relativo alle due aste di sinistra, AD e DC e il medesimo diquello relativo alle due aste di destra per evidenti ragioni di simmetria.Lavoro virtuale della molla:δWmolla = +k(2l − 2lcos(ϑ))δyC = +2 kl(1 − cos(ϑ))δ(2lcos(ϑ)) =

= −4kl2(1 − cos(ϑ))sin(ϑ)δϑDunque il lavoro virtuale totale e:δW = 2(δW1 + δW2 + δW3 + δW4) + δWmolla =

= 2[−ρ 12 sin(ϑ)δ(ϑ) − 3

2 ρl sin(ϑ)δ(ϑ) + 13 ρl3ω2sin(ϑ)δϑ +

+ 13 ρl3ω2sen(ϑ) @δϑ] − 4kl2(1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δ(ϑ) =

= 2[−2ρlsin(ϑ) + 23 ρl3ω2sin(ϑ) cos(ϑ)]δϑ − 4kl2(1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δϑ =

= −4[ρgl2sinvartheta − 13 ρl3ω2sin(ϑ) cos(ϑ) + kl2(1 − cos(ϑ))sin (ϑ)]δϑ =

= −4l2sin(ϑ)[ρg − 13 ρlω2cos(ϑ) + k(1 − cos(ϑ))]δϑ

La posizione d’equilibrio si ottiene imponendo che sia δW = 0, cioe

sin(ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0ρg + k − (13ρlω2 + k)cos(ϑ) = 0 −→ cos(ϑ) = +

3ρg + 3kρω2l + 3k(5.26)

Le posizioni di equilibrio sono dunque due: l’una con le aste chiuse ϑ = 0,l’altra funzione di ω. Questa seconda posizione di equilibrio sussiste solo se

5.2. PROBLEMA 1 147

3gω2l ≤ 1 cioe ω2 ≥

3gl

altrimenti si avrebbe cos(ϑ) > 1 e quindi non esisterebbe la soluzione.

Risposta .

Dunque seω <

√3gl c’e la soluzione ϑ = 0. Seω ≥

√3gl oltre alla soluzione

ϑ = 0 vi e anche la soluzionecos(ϑ) =

3gρ+3kρω2l+3k

5.2.7 commiato

Per una buona preparazione della meccanica sono sufficienti due esercizi per ognitipo esaminato in questa dispensa, di cui uno molto semplice ed uno di mediadifficolta. In tal modo ci si assicura di saper risolvere problemi di qualunque tipo.

E’ bene diluire la esecuzione degli esercizi in un periodo di diversi mesi piutto-sto che concentrarla nell’ultimo mese dell’anno scolastico. Questo per una ragio-ne che e fondamentale in qualunque studio: per apprendere occorre assimilaree questo esige un congruo tempo di sedimentazione.

La nostra mente si comporta in questo, come lo stomaco. Ne risulta che l’ese-cuzione diviene piu facile e piu piacevole, ne piu ne meno di quanto e piu facile epiacevole cibarsi mediante tanti pasti distanziati piuttosto che con un unico pastopantagruelico.

Appendice A

Programmi in Matlab

Molte figure della dispensa sono state ottenute usando programmi in Matlab, unprogramma meraviglioso. E’ di semplice uso, ha il valore di un linguaggio diprogrammazione e include la grafica.

I listati che seguono vogliono invitare lo studente ad essere concreto e a ri-solvere numericamente tutti i problemi di meccanica che non si possono risolvereanaliticamente.

L’ordine dei listati e arbitrario @. Essi sono numerati da AAA01 ad AAA99.Tutti i programmi hanno una uscita grafica e le relative figure si trovano nellapagina indicata in fondo al listato.

A.1 AAA01

% ELLISSE% Traccia una ellisse usando le coordinate polari% ———-modalita grafica——————————————————–

close ; h1 = figure(1) ;set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;hold on ; zoom onaxis equal ; axis([-12 12 -10 10]);

% —————– parametri ———————————————————-a = 10; % semiasse maggiorec = 8; % semidistanza focaleb = sqrt(a*a-c*c); % semiasse minorep =b*b2 /a ; % parametro della conica=ordinata nel fuocoe = c/a; % eccentricita

% —————– conica ————————————————————–

149

150 APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB

Th = 0 : 0.01 : 2*pi; % array dei valori discreti di thetaR = p ./ (1 + e*cos(Th)); % array dei valori discreti di rhoX = c+ R .* cos(Th); Y = R .* sin(Th); % array coordinate cartesianeplot(X,Y,’r’,’linewidth’,2);

% —————– raggi focali ——————————————————–for th = 0 : 0.16 : 2*pi; % discretizza angolo theta

r = p / (1+e*cos(th)); % raggiox = c+r*cos(th); y = r*sin(th); % coordinate cartesianeplot([c x],[0 y],’b’)

end% —————– fuochi, centro, assi, ecc. —————————————-

plot(c,0,’r+’,’linewidth’,2); plot(-c,0,’r+’,’linewidth’,2);% fuochiplot(0,0,’r+’,’linewidth’,2); % centrotext(-c+0.61, 0.8,’F”’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’);% fuocotext(0, 0.8,’C’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % centrotext(c, 0.8,’F’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % fuocoplot([-10 10],[0 0],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse maggioreplot([0 0],[-b b],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse minoreplot([-c -c],[0 p],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-’) % ordinata nel fuoco

% ——————————————————————————fineLa figura e a pagina ....

A.2 AAA02

% —————————————————————————————-% Asteroide% —————————————————————————————-% Visualizza il moto di un’asta AB che si muove con gli estremi% su due assi ortogonali: A sull’asse x, B sull’asse y.% ——————————modalita grafica ————————————–

close ; h1 = figure(1) ;set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;hold on ; zoom on ; pause off

axis equal ; axis([-5 5 -5 5]);% ——————————- Dati ————————————————-

L = 3; % lunghezza asta in mn = 50; % numero fotogrammip = 2 * pi / n; % passo angolarea=1.2*L; % lunghezza assi in m

A.3. AAA03 151

% ——————————-Traccia ———————————————–line([ 0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontaleline([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticalefor k = 2 : 3 : n

a = k*p; % angolo con l’asse verticalexA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontalexB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticaleplot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta ABplot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’);plot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’);

% centro di istantanea rotazioneplot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’);pause

end;% ———————————————————————————–fine

A.3 AAA03

% baseRulletta%———————————————————————————————

——% Visualizza la polare fissa (base) e quella mobile (rulletta) di un’asta AB% che si muove con gli estremi su due assi ortogonali.% —————————————modalita grafica——————————

———-close ; h1 = figure(1) ;set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;

% set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;hold on ; zoom on ; pause off

axis equal ; axis([-5 5 -5 5]);% —————————————— Dati ——————————————

——L = 3; % lunghezza asta in mn = 50; % numero fotogrammip = 2 * pi / n; % passo angolarea=1.2*L; % lunghezza assi in m

% —————————————–Traccia ———————————————-

line([ 0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontale


line([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticale% polare fissa o base del moto

A= 0 : 0.12 :2*pi; % crea array degli angoliX = L*cos(A) ; Y = L*sin(A);plot(X,Y,’b’)pausefor k = 2 : 8 : 35

a = k*p; % angolo con l’asse verticalexA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontalexB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticale

% polare mobile o rullettaxM = (xA+xB)/2; yM = (yA+yB)/2; % punto medio astaD= 0 : 0.12 : 2*pi; % crea array degli angoliU = xM+L/2*cos(D) ; V = yM+L/2*sin(D); % array per la circonfe-

renzaplot(U,V,’r’,’era’,’back’); % traccia polare mobile

%plot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta ABplot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto ver-

ticaleplot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto oriz-

zontaleplot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’); % centro di istantanea rota-

zionepauseend;

% ——————————————————————————————- fine

A.4 AAA04

%————————————————————————————–% OSCULA%————————————————————————————–% Data una curva piana il programma traccia il cerchio osculatore% in diversi punti. La curva e utilizzata in forma parametrica% x(t) e y(t) per calcolare la tangente, la normale, il raggio ed% il centro del cerchio osculatore.% richiama f vettoreX, f vettoreY, f palla, f circo,f petalo

A.4. AAA04 153

% —————–modalita grafica———————————————-close ; h1 = figure(1) ;set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;

% set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;hold on ; axis on ; zoom on ; pause onaxis equal ; axis([-1 10 -4 4]);

% ————————————————————————————–% Traccia la linea

S = 0 : 0.1 :10;[X, Y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(S);plot(X,Y,’k’,’era’,’back’,’linewidth’,2)

% assi cartesianif vettoreX(-1, 0, 10, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sNf vettoreY(0, -3, 6, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sN

%——– —————-scritte—————————-h(1) = text(9 ,-0.3,’x’); h(2) = text(-0.4, 2.7, ’y’);set(h, ’fontsize’,18,’fontname’,’times’);

% —————————————————————————————for t = 0.2:1.3:9; % scelta di alcuni valori del parametro t

[x, y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(t);pause % ———–

% traccia il puntof palla(x, y, 0.04, ’m’); % traccia un dischettopause % ———–

% versore tangente: t=dr/ds% tx = x’/sqr(x’*x’+y’*y’) ty = y’/sqr(x’*x’+y’*y’)

den = sqrt(Dx*Dx+Dy*Dy); % sqr(x’*x’+y’*y’)tx = Dx/den; ty = Dy/den; % componenti della tangentext = x + tx ; yt = y + ty ; % estremo del versore tangenteplot([x xt], [y, yt], ’b’,’era’,’back’,’linewidth’,2);pause % ———–

% versore normale. Lo scegliamo ruotando di 90 gradi% in senso orario il versore t. Cosı facendo il versore normale% si trova sempre dalla stessa parte percorrendo la curva.

nx = -ty ; ny=tx ; % componenti della normalexn = x + nx ; yn = y + ny ; % estremo del versore normaleplot([x xn], [y, yn], ’r’,’era’,’back’,’linewidth’,2);pause % ———–

% n = r dt/dsr = den*den*den /( Dy*DDx -Dx*DDy);


% raggio cerchio osculatore% attenzione: il raggio puo essere positivo o negativo

xC = x + nx * r; yC = y + ny * r;f circo(xC, yC, 0.04, ’r’); % traccia un cerchietto nel centroplot([x xC], [y, yC], ’g’,’era’,’back’);% retta dal punto al cen-

tropause % ———–f circo(xC, yC, r, ’r’); % traccia cerchio osculatore

end%————————————————————————————fine

A.5 AAA05

% ——————————————————————————-% TAGLIO% ——————————————————————————-% Diagramma dell’azione di taglio su un’asta orizzontale soggetta% a carichi verticali sia concentrati che distribuiti.% —-> chiama f vettoreY% ——————–modalita grafica—————————————

close ; h1 = figure(1) ;set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;

% set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;hold on ; axis on ; grid off ; zoom on ;axis equal ; axis([0 16 -5 5]);

% ————————- dati ————————————————xA = 2 ; yA = 0; % estremo iniziale dell’astaxB = 12; yB= 0; % estremo finale dell’astaL = xB-xA; % lunghezza dell’astaq = 50 ; % peso dell’asta (N)fs = 0.04; % fattore scala forzefss = 2; % fattore scala carichi distribuitip = 0.1; % passo per il diagramma

% Carichi concentrati: positivi se nel senso della normale% Ff = array forze verticali concentrate discendenti i (in newton)

Ff = 0; % Ff= [50] % Ff = [12 35 ];% Sf = array posizioni (in metri) delle forze concentrate

Sf=[0.4*L] % Sf = [0.4*L 0.6*L];nf = size(Ff,2) ;

A.5. AAA05 155

% Carico uniforme distribuito: lo consideriamo come un carico discreto% su un passo piccolo ottenuto dividendo L in w tronchi.

w = 100; % numero dei tronchig = L/w; % g = lunghezza di ogni troncoqw = q / w ; % peso di ogni troncoFq = qw * ones(1,w); % array dei carichi uniformi (N/m)Sq = g/2 : g : L ; % array dei punti medi dei tronchi

% reazioni in A e Brisultante = sum(Ff) + sum(Fq); % somma delle forzemomento = Ff * Sf’ + Fq * Sq’; % somma dei momentiVB = momento / L ; VA = risultante - VB ;

% ——————————————————————————for s = 0 : p : L

% calcola la somma delle forze concentrate fino ad sZf = Sf (Sf ¡ s); % Z = array delle posizioni precedenti szf = size(Zf,2); % dimensioni dell’arrayfn = 0; % fn = somma delle forze concentrate

for k=1 : zf ; fn = fn + Ff(k); end ;% aggiungi la somma delle forze distribuite fino ad s

Zq = Sq (Sq ¡ s); % U = array delle posizioni precedenti szq = size(Zq,2); % dimensioni dell’array

for h=1 : zq ; fn = fn + Fq(h); end ;% diagramma dell’azione di taglio T

T = - VA + fn; % azione di tagliox = xA + s / L*(xB-xA); y = yA + s / L*(yB-yA);x1 = x ; y1 = y +T*fs;plot([x x1] , [y y1],’r’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’)

end% ——————————————————————————% traccia asta

plot([xA xB],[yA yB],’k’,’linewidth’,1,’era’,’back’)% traccia reazione in A

reazA = sign(VA) * VA* fs ; y0 = yA +reazA;f vettoreY(xA, yA, reazA, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ;

% traccia reazione in BreazB = sign(VB) * VB* fs ; y0 = yB +reazB;f vettoreY(xB, yB, reazB, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ;for k=1 : nf

x = xA + Sf(k) ; y = yA ;forza = -Ff(k)*fs ; yf = y + forza;


% f vettoreY(x, y, forza, ’b’, 2, 0.32, 0.20 ) ;end

% traccia forze distribuitefor k=1 : 3: w

x = xA + Sq(k) ; y = yA ;xq = x ; yq = y + Fq(k)*fss;

% plot([x , xq] , [y , yq] ,’b’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’)end

% ———————————————————————– fine

A.6 AAA06

%———————————————————————————% CHASLES%———————————————————————————% ———-modalita grafica————–

close ; h1 = figure(1) ;set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;hold on % indispensabile: traccia su una stessa pagina graficapause off % mettere on per temporizzare

% ———–assegna sagoma————-a = 10 ; b = 15 ; c = 3 ; % dimensioni sagoma a L (6+1 vertici)

% sagoma nella configurazione di riferimento% crea due vettori-riga con le ascisse e le ordinate dei vertici

X = [0 a a c c 0 0] ; Y = [0 0 c c b b 0] ;U = ones(1,7) ; % array per convertire scalare in vettore colonna

% disponi la sagoma in una posizione inizialep = -60*pi/180 ; % angolo inizialexR = 10 ; yR = 50 ; % primo centro di rotazioneXR = xR*U ; YR = yR *U ;

% effettua la rotazioneXp = XR+(X-XR)*cos(p)+(Y-YR)*sin(p) ;Yp = YR-(X-XR)*sin(p)+(Y-YR)*cos(p) ;

% disponi la sagoma in una posizione finaleq = 80*pi/180 ; % angolo finalexS = -20 ; yS = 10 ; % secondo centro di rotazioneXS = xS*U ; YS = yS*U ;

% usa la formula di rotazioneXq = XS+(X-XS)*cos(q)+(Y-YS)*sin(q) ;

A.6. AAA06 157

Yq = YS-(X-XS)*sin(q)+(Y-YS)*cos(q) ;% traccia sagoma nelle posizioni iniziale e finale% plot(X,Y,’y’,’era’,’back’)

fill(Xp,Yp,’m’,’era’,’back’)axis equal ; axis([-40 65 -40 65]) ; % [xmin xmax ymin ymax]pause ; ; fill(Xq,Yq,’b’,’era’,’back’)

% ———-fotogrammi———————% Ora scelgo due punti A e B, ad esempio il secondo ed il quinto% punto della sagoma e ne congiungo le posizioni iniziali e finali

xAi = Xp(2) ; yAi = Yp(2) ; % posizione iniziale punto AxAf = Xq(2) ; yAf = Yq(2) ; % posizione finale punto Apause ; line([xAi xAf], [ yAi yAf],’color’,’m’,’era’,’back’)

%xBi = Xp(5) ; yBi = Yp(5) ; % posizione iniziale punto BxBf = Xq(5) ; yBf = Yq(5) ; % posizione finale punto Bpause ; line([xBi xBf], [ yBi yBf],’color’,’m’,’era’,’back’)

% punti medi: M = medio(Ai,Af), N = medio(Bi,Bf)xM = (xAi+xAf)/2 ; yM = (yAi+yAf)/2 ;xN = (xBi+xBf)/2 ; yN = (yBi+yBf)/2 ;pause ; plot(xM,yM,’rx’,’era’,’back’) ; plot(xN,yN,’rx’,’era’,’back’)

% l’asse di un segmento passa per il punto medio ed e ruotato di% 90 gradi. L’equazione dell’asse del segmento (Ai,Af) e% x = xM+s*(yAf-yAi) y = yM-s*(xAf-xAi)% per tracciare l’asse prendiamo, ad esempio s = 1, s = -1

x1 = xM+1*(yAf-yAi) ; y1 = yM-1*(xAf-xAi) ;x2 = xM-1*(yAf-yAi) ; y2 = yM+1*(xAf-xAi) ;pause ; line([x1 x2],[y1 y2],’color’,’g’,’era’,’back’)

% analogamente per l’asse del segmento (Bi,Bf)’% x = xN+t*(yBf-yBi) y = yN-t*(xBf-xBi)

x3 = xN+1*(yBf-yBi) ; y3 = yN-1*(xBf-xBi) ;x4 = xN-1*(yBf-yBi) ; y4 = yN+1*(xBf-xBi) ;pause ; line([x3 x4],[y3 y4],’color’,’g’,’era’,’back’)

% determina l’intersezione Q degli assi. Deve essere:% xM+s*(yAf-yAi) = xN+t*(yBf-yBi) ;% yM-s*(xAf-xA) = yN-t*(xBf-xBi) ; donde si ricava s0

num = (xM-xN) *(xBf-xBi)+(yM-yN) *(yBf-yBi) ;den = (xAf-xAi)*(yBf-yBi)-(yAf-yAi)*(xBf-xBi) ;s0 = num/den ;

% da cuixQ = xM+s0*(yAf-yAi) ; yQ = yM-s0*(xAf-xAi) ;


XQ = xQ*U ; YQ = yQ*U ;pause ; plot(xQ,yQ,’mo’,’era’,’back’)af = q-p ; da = af/12 ;

% traccia sagome intermediefor a = 0 : da : af ;

Xe = XQ+(Xp-XQ)*cos(a)+(Yp-YQ)*sin(a) ;Ye = YQ-(Xp-XQ)*sin(a)+(Yp-YQ)*cos(a) ;pause(1) ;plot(Xe,Ye,’k’,’era’,’back’) ;xB=Xe(5) ; yB=Ye(5) ;line([xQ xB],[yQ yB],’color’,’B’,’era’,’back’)

end% ————————fine———————

Appendice B

RIMASUGLI

B.0.1 Punto materiale vincolato ad una superficie liscia

Un punto su una superficie ha 2 gradi di liberta. La reazione ~Φ e normale allasuperficie. Se la superficie e data mediante le equazioni parametriche

x = x(ξ, η) y = y(ξ, η) z = z(ξ, η) (B.1)

siano ~u e ~v i due vettori tangenti alla superficie dati da~u =

∂P∂ξ

=∂x∂ξ~i +

∂y

∂ξ~j +

∂z∂ξ

~k

~v =∂P∂η

=∂x∂η

~i +∂y

∂η~j +

∂z∂η

~k

(B.2)

Dal momento che la superficie e liscia la reazione ~R′ sara normale alla superficie equindi ortogonale a ciascuno dei vettori ~u e~v. Quindi per l’equilibrio dovra esserenormale lanche a forza attiva ~R

~R + ~R′ = 0→

~R · ~u = 0

~R ·~v = 0→

Rx∂x∂ξ

+ Ry∂y

∂ξ+ Rz

∂z∂ξ

= 0

Rx∂x∂η

+ Ry∂y

∂η+ Rz

∂z∂η

= 0.

(B.3)

Se della superficie e data l’equazione f (x, y, z) = 0 la reazione che e normalead essa e esprimibile cosı:

Φ(P) = λ(P) grad f (P) (B.4)

159

160 APPENDICE B. RIMASUGLI

essendo λ(x, y, z) una funzione da determinare. L’equilibrio si ha per quei valoridi x, y, z per cui:

Rx + λ∂ f∂x

= 0 Ry + λ∂ f∂y

= 0 Rz + λ∂ f∂z

= 0 (B.5)

x = x(λ) y = y(λ) z = z(λ). (B.6)

Per determinare λ corrispondente all’equilibrio si inseriscono nella equazionef (x, y, z) = 0 le espressioni (??): si ricava cosı λ. Sostituita di nuovo nelle equa-zioni (??) si ottengono le x, y, z di equilibrio. Il valore di λ serve poi al calcolodella reazione vincolare.

Se le forze attive sono conservative, si puo usare il teorema della stazionarietadel potenziale come segue. Si esprime il potenziale delle forze attive U(x, y, z) infunzione dei due parametri ξ ed η:

U = U(ξ, η). (B.7)

La stazionarieta del potenziale porta allora alle due equazioni

∂U(ξ, η)∂ξ

= 0∂U(ξ, η)∂η

= 0 (B.8)

che risolte forniscono ξ ed η di equilibrio. Queste sono equivalenti alle dueequazioni (B.3).

B.0.2 Punto materiale vincolato ad una superficie scabra

Se e nota l’equazione cartesiana della superficie f (x, y, z) = 0, si ha:

~N = −∇ f|∇ f |

=

∂ f∂x~i +

∂ f∂y~j +

∂ f∂z~k√(

∂ f∂x

)2

+

(∂ f∂y

)2

+

(∂ f∂z

)2. (B.9)

Se invece la superficie e data mediante le equazioni parametrichex = x(ξ, η), y = y(ξ, η), z = z(ξ, η) si ha:

~N =

∂P∂ξ×∂P∂η∣∣∣∣∣∂P

∂ξ×∂P∂η

∣∣∣∣∣ (B.10)

161

essendo P = P(x, y, z). La condizione di equilibrio e

~R + ~R′ = 0 −→

RT +ΦT = 0

RN +ΦN = 0(B.11)

ed inoltre la reazione ~Φ deve essere contenuta nel cono di attrito, cioe

|ΦT | ≤ µ|ΦN | (B.12)

162 APPENDICE B. RIMASUGLI

Appendice C

Sistemi di forze

C.1 Forze su corpi rigidi

C.1.1 Sistemi equivalenti

Sovente si devono studiare corpi rigidi sui quali agiscono diverse forze. Sorge al-lora l’esigenza di stabilire quando due insiemi di forze sono equivalenti agli effettidell’equilibrio per poter sostituire tale sistema di forze con un sistema equivalentecomposto dal minor numero possibile di forze.

Si vedra che in casi eccezzionali un sistema puo essere equivalente al sistemanullo (nessuna forza); in altri ad una sola forza; in altri ancora a due forze (unacoppia) e, in generale, a non piu di tre forze (una forza e una coppia).

Per dimostrare questo si devono introdurre tre postulati, ovvero tre proprietache risultano soddisfatte per i corpi rigidi.

• una forza applicata in un punto generico di un corpo rigido si puo spostarelungo la sua retta di azione senza alterare lo stato di equilibrio o di moto delcorpo;

• due forze applicate in uno stesso punto di un corpo rigido possono sostituirsicon la loro risultante applicata nel punto (anche per corpi deformabili);

• in un generico punto di un corpo rigido si possono aggiungere due forzeopposte senza alterare lo stato di equilibrio o di moto del corpo (anche percorpi deformabili).

C.1.2 Riduzione di un sistema di forze

Consideriamo un corpo rigido, come in figura (??) e limitiamoci a considerare treforze ~F1, ~F2, ~F3 applicate in tre punti A1, A2, A3. Sara immediato rendersi conto

163

164 APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

che le operazioni che effettueremo si possono estendere ad un numero qualsiasi diforze.

Q

Q

A

A

A

F1F2

2

F3

3

1

Q

M

R

a) b)

Figura C.1. Un sistema di forze applicate ad un corpo rigido si puo ridurre aduna sola forza applicata ad un punto prefissato e ad una coppia, descritta da unmomento.

Fissiamo un generico punto Q del corpo rigido (o fuori del corpo purche so-lidale con esso), che chiameremo polo e proponiamoci di ridurre tutte le forze aquel polo. Consideriamo la forza ~F1. Applichiamo nel polo Q due forze oppostedi direzione e modulo uguali ad F1: per il terzo postulato non avremo alterato lostato di equilibrio o di moto del corpo rigido.

Q

Q

AF1

F1

1

1

coppia

M

Figura C.2. L’operazione di trasporto di una forza ad un polo Q comportal’aggiunta di una coppia.

Riguardiamo ora la forza in Q parallela, eguale ed equiversa alla ~F1 come laforza ~F1 trasportata in Q e le due forze parallele e controverse, la ~F1 applicata inA1 e la − ~F1 applicata in Q come formanti una coppia. In altre parole, con il pro-cedimento descritto la forza ~F1 e stata portata in Q, fuori dalla sua retta d’azione,

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI 165

facendo intervenire una coppia correttiva. Tale coppia puo essere rappresentata daun vettore momento ~MQ,1 che applicheremo in Q. Questa operazione puo essereripetuta per le altre forze. Il risultato e che ci ritroviamo in Q tre forze e tre mo-menti. Sommando separatamente le forze ed i momenti in Q otterremo nel polouna forza risultante ~R ed un momento risultante ~MQ.

Dal momento che questa operazione puo essere fatta qualunque sia il numerodi forze e qualunque siano i loro punti di applicazione, ne verra che qualunquesistema di forze applicate ad un corpo rigido si puo sostituire con un sistemaequivalente costituito da una forza risultante applicata in un polo prefissato e daun momento applicato nello stesso punto. Il momento ~MQ puo essere visto comemomento di una coppia: ne viene che un sistema di forze applicate ad un corporigido si puo sempre ridurre ad una forza applicata in un punto e ad una coppia.

~R =

N∑k=1

~Fk ~MQ =

N∑k=1

(Ak − Q) × ~Fk. (C.1)

C.1.3 Come varia il momento al variare del polo.

E evidente che la risultante ~R sara indipendente dal polo scelto mentre il momento~M dipendera dal polo. Per convincersene basta esaminare il caso di una sola forza

con polo Q scelto sulla sua retta d’azione o fuori della sua retta d’azione: nelprimo caso il momento e nullo, nel secondo caso e diverso da zero.

Intanto ci possiamo chiedere come varia il momento al variare del polo. Seindichiamo con Q′ un nuovo polo avremo:

~MQ′ =

N∑k=1

(Ak − Q′) × ~Fk = ~MQ =

N∑k=1

[(Ak − Q) + (Q − Q′)] × ~Fk = ~MQ + (Q − Q′) ×N∑

k=1

~Fk

(C.2)ovvero

~MQ′ = ~MQ + (Q − Q′) × ~R (C.3)

Questa formula dice come varia il momento del sistema di forze al variare delpolo. Si chiama formula del trasporto del momento.

C.1.4 Proprieta del momento

Una prima proprieta si manifesta osservando che se Q e Q′ si trovano su una rettaparallela alla risultante si ha ~MQ = ~MQ′ in quanto (Q − Q′) × ~R = 0.

Una seconda proprieta si manifesta moltiplicando scalarmente ambo i membridell’uguaglianza per la risultante:

~MQ · ~R = ~MQ′ · ~R (C.4)


La grandezzaI def

= ~MQ · ~R (C.5)

prende il nome di invariante scalare. Dal momento che la risultante non dipendedal polo, indicato con ~u il versore della risultante, come mostra la figura (??)

Q

AA

A

F1F2 2

F3

3

1

a)

QM

R

u

Figura C.3. Il versore della risultante

ne viene che anche

M||Qdef= ~MQ · ~u con ~u =

~RR

(C.6)

non dipende dal polo. Questa quantita e la proiezione del vettore momento lungola direzione della risultante. Dunque il vettore momento dipende dal polo ma lasua proiezione lungo la direzione della risultante non dipende dal polo ovvero einvariante.

C.1.5 Ricerca di un polo privilegiato

Dal momento che la componente del momento lungo la direzione della risultantenon dipende dal polo mentre il momento varia col polo, ne viene che la compo-nente perpendicolare alla risultante cambia in funzione del polo. Ci proponiamodi vedere se esiste un polo privilegiato per il quale la componente perpendicolaree nulla.

La componente perpendicolare si puo scrivere

~M⊥Q = ~MQ − ~M||Q = ~MQ − ( ~MQ · ~u)~u (C.7)

Consideriamo un polo strategico: l’origine del sistema di assi cartesiani O. Potre-mo scrivere

~M⊥Q = ~MO + (O − Q) × ~R −I

R2~R (C.8)


Poniamoci la domanda: esiste un polo S tale che M⊥S = 0 ?. Dovra essere

~MO + (O − S ) × ~R −I

R2~R = 0 (C.9)

ovvero, esplicitando il vettore che contiene il punto incognito S dovra essere

(S − O) × ~R = ~MO −I

R2~R. (C.10)

A destra dell’uguaglianza abbiamo una quantita che si puo calcolare, a sinistra ab-biamo un vettore incognito, (S −O). Dobbiamo risolvere questa uguaglianza. persemplicita indichiamo con ~b il secondo membro: dovremo risolvere l’equazione

(S − O) × ~R = ~b. (C.11)

Con riferimento alla figura (??a) si vede intanto che se S−O e un vettore soluzionee λ e un generico numero reale, anche il vettore (S − O) + λ ~R e una soluzione inquanto il prodotto ~R × ~R ≡ 0.

S

R

b

T

a

u

u

a u

va) b)

O O

Figura C.4. a) la determinazione di un punto S dell’asse centrale; b) il doppioprodotto vettoriale.

E consigliabile determinare il punto T che si trova sulla retta per S parallelaad R. Infatti, tenendo conto della definizione di ~b e osservando che il versoreortogonale a ~b e a ~R ha la forma

~t =~RR×

~bb

(C.12)

si ha

||T − O||R = b donde (T − O) =bR~t =

bR

~RR × ~bb

=~R × ~b

R2 (C.13)


ricordando la definizione di ~b data dalla (C.8) si ha

(T − O) =~R × ~MO

R2 (C.14)

Infine la retta passante per il punto T , parallela alla risultante, e formata dai puntiS che soddisfano l’equazione

(S − O) =~R × ~MO

R2 + λ ~R. (C.15)

Questa speciale retta si chiama asse centrale del sistema di forze applicate alcorpo rigido. Essa e caratterizzata dal fatto che il momento rispetto a qualunquesuo punto e parallelo alla risultante. Inoltre, per il fatto che

MS =

√(M||S

)2+

(M⊥S

)2(C.16)

essendo invariante il primo termine ed essendo nullo il secondo ne viene che ilmomento e minimo donde il nome di asse di minimo momento.

M

RS

TF

F

F

1

2

3

xy

z

Figura C.5. L’asse centrale di un sistema di tre forze.

C.1.6 Casi particolari: forze piane

Nel caso di un sistema di forze piano considerato un punto Q del piano i momentidelle forze sono tutti perpendicolari al piano e quindi l’invariante scalare e nul-lo e quindi e nulla la componente parallela alla risultante (che giace nel piano).Poiche nei punti dell’asse centrale e nullo anche la componente perpendicolare,ne viene che l’intero momento e nullo rispetto ai punti dell’asse centrale. Quindiin un sistema di forze piane l’asse centrale e anche retta di applicazione dellarisultante. Ovvero: l’intero sistema e equivalente alla sola risultante applicatasull’asse centrale.


C.1.7 Casi particolari: forze parallele

E notevole il caso in cui le forze siano tutte parallele: e questo il caso delle forzepeso. Anche in questo caso i momenti delle singole forze, e quindi il momentototale, e perpendicolare alla direzione comune delle forze. Ne viene che l’assecentrale e luogo di momento nullo, essendo nulle tanto la componente parallelache la componente perpendicolare alla risultante. Ne viene che, anche in questocaso, l’asse centrale e anche retta di applicazione della risultante. Indicato con ~uil versore della risultante, sara

~R =

N∑1

~Fk =

N∑1

Fk

~u = R~u

~MO =

N∑1

(Ak − O) × ~Fk =

N∑1

(Ak − O)Fk

× ~u(C.17)

donde

S − O =~R × ~MO

R2 + λ ~R = ~u ×∑N

1 (Ak − O)Fk

R× ~u

+ λ ~R (C.18)

Orbene, indicando con ~a un vettore, con riferimento alla figura (??b), si vede che

~u × (~a × ~u) = ~v = ~a − (~a · ~u)~u (C.19)

donde

S − O =

∑N1 (Ak − O)Fk

R−

λR −∑N

1 (Ak − O)Fk

R· ~u

~u. (C.20)

A questo punto si fa la sorprendente constatazione che scegliendo il valore diλ che annulla il termine fra parentesi quadre si ottiene un vettore (C −O) che nondipende dalla direzione ~u e quindi si ottiene il punto C tale che

C − O =

N∑1

(Ak − O)Fk

R. (C.21)

Questo significa che cambiando la direzione a tutte le forze parallele, cambia ~u,ma non cambiando i moduli delle forze, viene individuato un punto C che e l’in-tersezione di tutti gli assi centrali. Questo speciale punto si chiama centro delleforze parallele, ed e rappresentato in figura (??). Risulta allora che il sistema del-le forze parallele applicate ad un corpo rigido e equivalente alla sola risultanteapplicata nel centro del sistema di forze.


CF

F

F

F

1

1

2

2

Figura C.6. Il centro di un sistema di due forze parallele.

Nel caso particolare delle forze peso tale centro prende il nome di baricentro.In questo caso si usa indicare con pk i pesi e con G il baricentro. Quindi si ha laformula

G − O =

N∑1

(Ak − O)pk

R. (C.22)

fine

Appendice D

Le diverse meccaniche

D.1 Le diverse meccaniche• meccanica classica• meccanica atomica• meccanica quantistica• meccanica teorica• meccanica celeste• meccanica analitica• meccanica relativistica• meccanica lagrangiana• meccanica hamiltoniana• meccanica dei gas• meccanica dei fluidi• meccanica dei solidi rigidi• meccanica dei solidi deformabili• meccanica statistica

meccanica classica=(sinonimo) meccanica razionalemeccanica teorica (mecc. analitica; mecc. celeste; mecc. lagrangiana; mecc.

hamiltoniana)meccanica atomica =meccanica quantisticameccanica dei gas=gasdinamicameccanica dei fluidi=fluidodinamicameccanica dei solidi rigidi=meccanica classicameccanica dei solidi deformabili (si studia in scienze delle costruzioni)meccanica statistica

171

172 APPENDICE D. LE DIVERSE MECCANICHE

meccanica relativistica

corpi

gas

perfetti (o ideali)reali

liquidi

perfetti (o ideali)viscosi (o reali)

solidi

rigidi (o ideali)

deformabili (o reali)

elastici

anelastici

plasticiviscoelasticiecc

Appendice E

Dizionario

[NB: tutti i termini devono essere al singolare] ♣ eccezione: modi normali,Per comprendere una scienza, qualunque scienza, occorre intendersi sui suoi

termini. Questo e ovvio. Poiche alcuni termini della meccanica sembrano intuitiviin quanto usati nel linguaggio comune, finisce che lo studente ha una cognizioneapprossimativa, se non errata, di alcuni di essi.

A questo si aggiunge il fatto che durante una interrogazione lo studente etenuto a rispondere alle domande e deve quindi, nella sua mente, organizzare unarisposta. Per fare cio occorre imparare ad esprimersi presentando la nozione apartire dalle premesse, mettere in evidenza le nozioni essenziali prima di quellesecondarie.

Viene allora opportuno avere degli esempi di risposte da dare a domande deltipo: cosa e un atto di moto? cosa e il fattore di amplificazione dinamica? cosasono i gradi di liberta di un sistema? cosa e un vincolo anolonomo? E cosı via. ♣

Il dizionario che presentiamo favorisce il ripasso delle nozioni di meccanica,puo essere consultato per chiarire una nozione e infine puo aiutare a organizzarele risposte a possibili domande d’esame.

accelerazione ~a

• accelerazione media, nel moto di un punto, considerando le velocitadel punto a due istanti diversi il rapporto tra la variazione della velocitae la durata dell’intervallo prende il nome di accelerazione media delpunto nell’intervallo:

~a def=

∆~v

∆t(E.1)

• accelerazione istantanea, e limite della accelerazione media per ∆t −→0

~a def= lim

∆t−→0

∆~v

∆t=

d~vdt

(E.2)

173

174 APPENDICE E. DIZIONARIO

Questa e comunemente chiamata accelerazione del punto all’istanteconsiderato.

L’accelerazione di un punto giace nel piano osculatore [vedi] alla traiettorianel punto considerato. Ne viene che l’accelerazione (istantanea) ha unacomponente tangenziale [vedi] ed una normale [vedi] . La misura di unaaccelerazione fornisce sempre una accelerazione media. L’unita di misuradella velocita e il metro al secondo, simbolo m/s.

accelerazione angolare ~γ Considerato un corpo rigido si chiama accelerazioneangolare la derivata della velocita angolare [vedi]. In un moto rigido piano esufficiente considerare la grandezza scalare α indicata nella equazione (E.3a sinistra) mentre in un moto generico nello spazio si deve considerare ilvettore ~α indicato nella equazione (E.3 a destra):

scalare α =dωdt

vettore ~α =d ~ωdt

(E.3)

Si noti che l’accelerazione angolare e un attributo di un corpo rigido e quin-di non ha un naturale punto di applicazione: si tratta di un vettore libero.Se consideriamo un punto che descrive una circonferenza non ha senso diparlare di accelerazione angolare del punto: si puo invece parlare di accele-razione angolare del raggio che congiunge il centro della circonferenza conil punto in moto.

L’unita di misura della accelerazione angolare e il radiante al secondo persecondo e si scrive rad/s2.

accelerazione centrifuga Nel moto di una particella, scelto un punto come polo,si chiama accelerazione centrifuga la componente del vettore accelerazionenella direzione del raggio vettore con origine nel polo e con il verso che fug-ge da esso. ♣ In un moto centrale [vedi] il polo piu naturale e il centro delmoto. Ad esempio quando una particella alfa, che ha una carica elettrica po-sitiva, e lanciata contro un nucleo, pure esso con carica positiva, essa vienerespinta e quindi l’accelerazione, come la forza, e centrifuga. assipeta.

accelerazione centripeta Nel moto di una particella, scelto un punto come polo,si chiama accelerazione centripeta la componente del vettore accelerazionenella direzione del raggio vettore con origine nel polo quando questa siadiretta verso il centro. ♣ Ad esempio una particella vincolato ad una circon-ferenza possiede una componente normale e tangenziale: scelto il centrodella circonferenza come polo, la componente normale e centripeta. In unmoto centrale [vedi] il polo piu naturale e il centro del moto. Nel moto

175

dei pianeti attorno al sole l’accelerazione, come la forza di attrazione, ecentripeta.

accelerazione di Coriolis In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] sichiama accelerazione di Coriolis di un punto mobile la quantita ~a cor =

2 ~ω × ~v rel essendo~v rel la velocita del punto relativa la sistema di riferimentomobile.

accelerazione di trascinamento In un sistema di riferimento non inerziale [ve-di] si chiama accelerazione di trascinamento di un punto mobile l’accele-razione che il punto avrebbe rispetto al riferimento inerziale qualora lo siimmagini congelato nel riferimento mobile. In altre parole e l’accelerazio-ne di trascinamento ad un istante e quella con cui il punto sarebbe trascinatoqualora fosse fissato nel riferimento mobile nella posizione in cui si trovaall’istante.

accelerazione normale E la componente della accelerazione secondo la normalealla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del punto sullatraiettoria, l’accelerazione normale e data da an = s2/r essendo r il raggiodel cerchio osculatore.

accelerazione relativa In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chia-ma accelerazione relativa di un punto mobile la accelerazione del puntovalutata rispetto al riferimento. Si veda ....

accelerazione tangenziale E la componente della accelerazione secondo la tan-gente alla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del puntosulla traiettoria, l’accelerazione tangenziale e data da at = s.

afelio punto dell’orbita terrestre che e piu lontano al sole

ampiezza di una oscillazione. Data una particella in moto periodico lungo unaretta, l’ampiezza dell’oscillazione e il massimo spostamento della particelladalla sua posizione di riposo.

angoli di Eulero sono tre angoli che definiscono l’orientazione nello spazio diun corpo rigido. Sono usati nello studio dei giroscopi ed in astronomia.Considerata una terna fissa (O, X,Y,Z) ed una solidale con il corpo rigido(O, x, y, z) si opera nel modo seguente:

1. si ruota la terna mobile attorno all’asse z di un angolo ϕ che si chiamaangolo di precessione: 0 ≤ ϕ ≤ 2π. L’asse x ruotato rispetto all’asseX prende il nome di asse dei nodi.


2. si ruota la terna mobile attorno all’asse dei nodi x di un angolo θ chesi chiama angolo di nutazione: 0 ≤ θ ≤ π.

3. si ruota la terna mobile di nuovo attorno all’asse z di un angolo ψ chesi chiama angolo di rotazione propria: 0 ≤ ψ ≤ 2π.

angoli nautici ed aeronautici: sono angoli che servono ad individuare la orienta-zione di un corpo rigido nello spazio. Sono usati per le auto, per le navi eper gli aerei. Sono tre: angolo di beccheggio, angolo di rollio e angolo diimbardata.

ascissa curvilinea di un punto lungo una curva. Fissato un punto P0 della curva,chiamato origine, e fissata una orientazione su di essa mediante un senso dipercorso, si chiama ascissa curvilinea del punto P la lunghezza dell’arco dilinea P0P presa con il segno positivo o negativo secondo che P segua P0 olo preceda.

asse centrale di un sistema di vettori applicati ad un corpo rigido: e il luogo geo-metrico dei punti rispetto ai quali il modulo del momento totale del sistemae parallelo alla risultante ed in particolare puo essere nullo.

asse di istantanea rotazione nel moto piano di un corpo rigido e l’asse dell’attodi moto rotatorio [vedi].

asse di moto e l’asse dell’atto di moto elicoidale [vedi].

asse di rotazione di un moto rigido: e l’asse attorno al quale ruota un corporigido. Esempio la retta congiungente i cardini di una porta.

assi principali d’inerzia di un corpo rispetto ad un punto. Considerato il fasciodi rette passanti per il punto ed il momento d’inerzia del corpo rispetto aciascuna retta, gli assi principali d’inerzia sono quelle rette del fascio peril quale il momento d’inerzia e stazionario. Questo significa che dato unasse principale d’inerzia, per rette che siano inclinate di un piccolo angoloα sull’asse principale, la variazione del momento d’inerzia e un infinitesimodi ordine superiore ad α.

asta un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da unalinea, dotato di rigidezza flessionale. Tipicamente una lama d’acciaio, unabacchetta, un bastone. Viene chiamata anche verga.

atto di moto di un sistema ad un dato istante: e l’insieme delle velocita di tutti ipunti del sistema a quel dato istante.

177

atto di moto elicoidale e quell’atto di moto di un sistema rigido in cui il vettorevelocita angolare ω e parallelo al vettore velocita di traslazione.

atto di moto rotatorio e l’atto di moto di un corpo rigido in cui due punti hannovelocita nulla ad un determinato istante. Ne viene che tutti i punti della rettache passa per i due punti hanno velocita nulla. Tale retta prende il nome diasse istantaneo di rotazione. Esso e tipico del corpo rigido, ma non esclu-sivo in quanto anche un sistema deformabile puo subire uno spostamentorigido.

atto di moto traslatorio e l’atto di moto di un corpo rigido in cui tutti i puntihanno la medesima velocita ad un determinato istante. Esso e tipico delcorpo rigido, ma non esclusivo in quanto anche un sistema deformabile puosubire uno spostamento rigido.

atto di moto virtuale e l’insieme delle velocita virtuali assegnate ai punti di unsistema.

attrito dinamico attrito di rotolamento o attrito volvente e ...♣

attrito statico e la causa della resistenza al moto che si manifesta fra due corpi acontatto nel punto in cui le due superfici si toccano supposto che la velocitarelativa sia nulla (ad esempio ruota che rotola). Esso dipende dalla naturae dallo stato di lavorazione delle superfici a contatto. Si manifesta con unaforza tangenziale (attrito radente) ed una coppia che si oppone alla rotazionedi una superficie rispetto all’altra attorno alla normale comune nel punto dicontatto (attrito di giro).

azione E una grandezza fisica molto usata nella meccanic analitica [vedi] ed infisica teorica. E il prodotto dell’energia per il tempo. Si distinguono duetipi di azione [49, p.♣ ],

• l’azione lagrangiana, che e definita da[47] ♣

AL =

∫ t1

t0

∑k

pkdqk (E.4)

• l’azione hamiltoniana definita da

AH =

∫ t1

t0(T − V) dt (E.5)


azione assiale e la forza che si deve applicare in un punto di un’asta o di unatrave in direzione dell’asse della trave, per mantenere l’equilibrio quando sioperi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorre ancheuna azione di taglio [vedi] ed un momento flettente [vedi] .

azione di taglio e la forza ~T che si deve applicare in un punto di un’asta o diuna trave in direzione normale all’asse e quindi parallelamente alla sezionenormale dell’asta, per mantenere l’equilibrio quando si operi una sezione.Si intende che per l’equilibrio occorre anche una azione normale [vedi] edun momento flettente [vedi] .

azioni interne in un’asta. Immaginando di operare una sezione nell’asta, permantenere in equilibrio le due parti occorre applicare sulle due facce dellasezione due forze opposte e due coppie opposte. Ciascuna di queste rap-presenta l’azione che la parte rimanente dell’asta esercitava sull’altra primadella sezione. Le forze e le coppie costituiscono le azioni interne. Le azioniinterne sono tre: l’azione di taglio, l’azione assiale ed il momento flettente.

baricentro e il centro [vedi] del sistema dei vettori peso supposti tutti parallelifra loro. E anche chiamato centro di gravita e lo si indica con G.

base del moto detta anche polare fissa o semplicemente base. Dato un moto ri-gido piano si chiama base la linea descritta dai centri di istantanea rotazionevisti da un osservatore fisso col piano direttore.

battimenti Nella sovrapposizione di due oscillazioni unidimensionali lungo lastessa direzione si da il caso che le frequenze siano molto vicine: in questocaso l’oscillazione risultante ha una ampiezza che aumenta e diminuisceperiodicamente. Questo e il fenomeno dei battimenti.

binormale ad una linea in un suo punto: e la retta perpendicolare sia alla tangen-te che alla normale principale. Con lo stesso nome si indica anche il versore~b diretto come la binormale e orientato in modo che la terna di vettori tan-gente, normale e binormale, presi in quest’ordine, sia una terna destra. Essoe dato dalla formula

~b = ~t × ~n (E.6)

C

campo conservativo e un campo vettoriale per il quale la circolazione del vettoredel campo lungo qualsivoglia linea chiusa e nulla. Si intende che, se il vet-tore e variabile nel tempo, la circolazione viene fatta congelando il tempo.Il campo si dira conservativo se la circolazione e nulla ad ogni istante.

179

campo scalare data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campo sca-lare una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza scalare(cioe una grandezza caratterizzata da un numero).

campo scalare armonico e un campo scalare descritto da una funzione f (~r) lacui laplaciana e nulla in ogni punto della regione: ∆ f (~r) = 0 o anche∇2 f (~r) = 0.

campo solenoidale e un campo vettoriale descritto da un vettore funzione delposto~v(~r) la cui divergenza e nulla in ogni punto della regione: ∇ · ~v(~r) = 0.

campo tensoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una gran-dezza tensoriale. Esempio il campo del tensore d’inerzia Ihk, del tensore dideformazione εhk e quello del tensore degli sforzi σhk nella meccanica deicontinui.

campo vettoriale data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campovettoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezzavettoriale (cioe una grandezza caratterizzata da un vettore)

campo vettoriale armonico e un campo vettoriale descritto da un vettore fun-zione del posto ~v(~r) il cui laplaciano e nullo in ogni punto della regione:∆~v(~r) = 0.

campo vettoriale irrotazionale e un campo vettoriale descritto da un vettore fun-zione del posto ~v(~r) il cui rotore e nullo in ogni punto della regione: ∇ ×~v(~r) = 0. Un campo vettoriale irrotazionale e anche chiamato campo vet-toriale potenziale in quanto esso si puo esprimere come gradiente di unoscalare: ~v = ∇ f (~r) = ∇ f (~r)

centro di gravita e il centro del sistema delle forze peso considerate come paral-lele e proporzionali alle masse. Coincide con il baricentro e lo si indica conG.

centro d’istantanea rotazione in un moto rigido piano ad un istante consideratoe quel punto del corpo o, se esterno, solidale con esso che ha velocita nullaall’istante considerato.

centro di massa di un sistema meccanico: e quel punto nel quale ponendo unamassa puntiforme uguale alla massa del sistema il suo momento staticorispetto a qualunque piano coincide con quello dell’intero sistema rispettoa quel piano. Esso e dato dalla formula

(C − A) =1m

n∑k=1

(Pk − A)mk essendo m =

n∑k=1

mk (E.7)


centro di un sistema di forze parallele e il punto intersezione di tutti gli assicentrali relativi a diverse direzioni delle forze parallele. Esso e il puntodi applicazione della risultante, nel senso che applicando in esso la risultan-te di tutte le forze esso e equivalente all’intero sistema di forze, qualunquesia la loro direzione.

cerchio osculatore ad una linea in un punto: e il cerchio limite di una successionedi cerchi passanti per tre punti della curva quando i tre punti tendono alpunto considerato.

circolazione di un vettore lungo una linea L: e la grandezza scalare che si ottieneintegrando il prodotto scalare del vettore del campo per il vettore d~r: C =∫

L~v(~r) · d~r. Nel caso in cui il vettore sia variabile nel tempo la circolazionee valutata congelando il tempo: C(t) =

∫L~v(~r,~t) · d~r.

concordanza di fase detto di due vibrazioni o oscillazioni che raggiungono si-multaneamente le posizioni estreme situate da una medesima parte (ad esem-pio verso destra, o in alto).

configurazione di un sistema. E la nozione che generalizza quella di posizionedi un punto o di un corpo. Essa e costituita dalla posizione di tutti i puntidel sistema ad un dato istante. Le figure di una danzatrice classica sonoaltrettante configurazioni del suo corpo.

coordinate libere o coordinate lagrangiane o coordinate generalizzate: sono uninsieme di coordinate indipendenti in numero sufficiente ad individuare laconfigurazione di un sistema meccanico [49, v.I, p.6]. Si richiede che adogni configurazione del sistema corrisponda un solo valore delle coordinatee viceversa. Si indicano con qk o con qk.

coppia e l’insieme di due forze opposte con rette di applicazione parallele.

coppie equivalenti due coppie si dicono equivalenti quando hanno lo stesso pia-no, la stessa orientazione e lo stesso modulo.

corpo rigido Cosa e un corpo rigido? La quasi totalita dei testi di fisica e, inparticolare di meccanica, definisce un corpo rigido come un corpo le cuidistanze rimangono invariate qualunque sia il moto del corpo e le forze cheagiscono su di esso. In un assalto di scrupolo alcuni autori precisano che inNatura nessun corpo e rigido ma che si tratta di una idealizzazione.

Questa definizione non e accettabile: la fisica non e la matematica. Cosavuol dire che le distanze tra le coppie di punti rimangono invariate? Una

181

distanza deve essere misurata! Con che cosa? con un qualche metro. E ilmetro usato, a sua volta e rigido? Come si vede la definizione si mangia lacoda ovvero e una tautologia.

La soluzione della tautologia e molto piu prosaica: si tratta di scegliere uncerto numero di corpi come candidati a costituire regoli campioni. Usan-do il confronto diretto si fanno tutti della stessa lunghezza, a meno di unatolleranza prestabilita, ad esempio di 1 mm.

Si sottopongono questi candidati campioni a trazione, compressione e ri-scaldamento entro certi limiti di forza e di temperatura. Si confrontano dinuovo le lunghezze dei candidati e si scartano quelli che si discostano di piudalla media. I regoli che mantengono la stessa lunghezza (con la tolleranzaprestabilita) costituiscono i campioni che arbitrariamente chiameremo rigi-di. Come si vede e tutto molto deludente dal punto di vista matematico. Mala Matematica, che e una scienza del Pensiero, vive in un mondo ideale edeve il suo enorme successo alla astrazione. Al contrario la Fisica, che euna scienza della Natura, vive in un mondo reale e deve fare i conti con lecose concrete. Essa deve il suo enorme successo al continuo confronto conl’esperienza ovvero alla concretezza!

Si noti ancora che, secondo la teoria della relativita, la lunghezza di un rego-lo dipende dallo stato di moto: questo fatto rende inaccettabile, in relativita,anche la stessa definizione operativa di corpo rigido appena data.

curvatura di una linea in un suo punto: e l’inverso del raggio R del cerchioosculatore alla linea nel punto: γ = 1/R. Tale numero e positivo, nulloo negativo essendo il raggio di curvatura positivo, infinito o negativo.

curvatura di una superficie in un suo punto. Considerata la retta normale allasuperficie in un suo punto si consideri il fascio di piani passante per taleretta. Ciascuno di essi interseca la superficie lungo una linea. Si esamini lacurvatura di ciascuna linea [vedi], tenendo conto del suo segno. Vale a dire,fissato un senso sulla normale come positivo, alcune linee possono avere ilcentro di curvatura dalla parte positiva della superficie, altre possono averlodalla parte negativa. La curvatura delle prime si dira positiva, quella delleseconde negativa.

Fra tutte le curvature cerchiamo la massima e la minima (sempre tenendoconto del segno). Queste due curvature sono relative a due direzioni tan-genti alla superficie nel punto che prendono il nome di direzioni principalie le corrispondenti curvature si chiamano curvature principali e si indicanocon kmin e kmax [46, p.194]. Si distinguono due tipi di curvature.


• la curvatura media H della superficie nel punto e definita dalla mediadelle curvature principali: H = (kmin + kmax)/2.♣ La curvatura mediapuo essere positiva, nulla o negativa.

• la curvatura totale K della superficie nel punto e definita dal prodottodelle curvature principali: K = kmin kmax. Anche la curvatura tota-le puo essere positiva, nulla o negativa. E anche chiamata curvaturagaussiana.

D

dinamometro strumento per la misura delle forze. Esso si basa sulla deformazio-ne elastica che un corpo puo subire quando su di esso si esplica l’azione diun altro corpo in quite rispetto al primo. L’entita della forza si misura dallaentita dello spostamento subito dal corpo elastico previa opportuna taratura.

divergenza di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale ~v(~r) siconsideri un punto della regione in cui esso e definito, una superficie chiusacontenente il punto e si valuti il flusso del vettore attraverso tale superficie:Φ =

∫~v(~r) · ~ndS . Al tendere a zero del massimo diametro della superficie

tende a zero sia la circolazione che il volume V racchiuso. Si constatache il limite del rapporto flusso/volume e, in generale, una quantita finita:D = lim Φ/V . Tale scalare prende il nome di divergenza del vettore ~v nelpunto considerato e si indica con div~v o anche ∇ ·~v.

E

ellisse d’inerzia data una lamina piana ed un fascio di rette passanti per un punto,si puo ottenere una curva indicatrice dei momenti d’inerzia rispetto allediverse rette del fascio riportando su ogni retta uscente dal punto, da tuttee due le parti, un segmento di lunghezza uguale all’inverso della radicequadrata del momento d’inerzia relativo alla retta. Tale luogo geometrico euna ellisse detta ellisse d’inerzia.

ellissoide d’inerzia dato un corpo tridimensionale consideriamo un punto (den-tro o fuori del corpo). Se per ogni semiretta uscente dal punto si riporta unsegmento uguale all’inverso della radice quadrata del momento d’inerzia illuogo geometrico degli estremi del segmento e un ellissoide detto ellissoided’inerzia.

elongazione in una vibrazione e lo spostamento di un punto dalla posizione diriposo.

energia cinetica E l’energia che un corpo possiede per il fatto di essere in moto.E definita come il lavoro che il corpo cede riducendosi alla quiete a anche

183

come il lavoro fatto sul corpo per portarlo dalla quiete a quello stato dimoto. Si indica con T . Per una particella e definita come

T (~p) =

∫ p

0~v(~p) · d~p =

p2

2m(E.8)

mentre per un sistema e la somma delle energie cinetiche di tutte le particel-le di cui e composto. E opportuno distinguere una energia cinetica macro-scopica ed una microscopica T macro, quest’ultima dovuta al moto moleco-lare T micro. Quando mettiamo il formaggio nel frigo lo raffreddiamo ovverodiminuiamo la sua energia cinetica microscopica.[♣FUORI POSTO] Si noti che sarebbe meglio definire due energie cinetiche:quella data dalla formula precedente e l’energia cinetica complementare data da

T ∗(~v) =

∫ v

0~p(~v) · d~v =

12

mv2 (E.9)

In meccanica classica queste due grandezze hanno lo stesso valore in quanto larelazione ~p = m~v e lineare e si ha p2

2m = 12 mv2. Ma in meccanica relativistica esse

sono distinte:

T (~p) = m0c2

√

1 +p2

(m0c)2 − 1

T ∗(~v) = m0c2

1 −√

1 −v2

c2

(E.10)

Si noti che anche in meccanica classica sarebbe bene scrivere il teorema dell’ener-gia nella forma T +V = E, la funzione di Hamilton H = T +V e invece la funzionedi Lagrange L = T ∗ − V . La coincidenza tra T e T ∗ in meccanica classica rendesuperflua questa distinzione e spiega perche non sia comunemente usata. Si vedaSommerfeld, v.III

energia interna di un sistema meccanico: e la somma dell’energia potenzia-le interna e dell’energia cinetica microscopica dovuta ai moti molecolari.Indicata con U essa si esprime cosı: U def

= V int + T micro. Si veda ....♣

energia potenziale Consideriamo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissie a forze indipendenti dal tempo. Consideriamo una sua configurazionedi riferimento e la configurazione attuale. Si chiama energia potenzialedel sistema nella configurazione attuale il lavoro che il sistema forniscepassando dalla configurazione attuale a quella di riferimento in assenza diattriti e di resistenze aerodinamiche.

In modo equivalente: si chiama energia potenziale del sistema nella con-figurazione attuale il lavoro che dall’esterno si deve fornire al sistema perportarlo dalla configurazione di riferimento a quella attuale. Il simbolo e V .


O. Si noti che V, U ... ♣ [osservazione gia fatta?]

Essa e quindi l’energia posseduta dal sistema in virtu della sua configura-zione e non del suo moto.

Qualora le forze siano dipendenti dal tempo o i vincoli siano mobili il lavoroe calcolato congelando il tempo ad un dato istante e quindi fissando i vincolie le forze. In questo caso l’energia potenziale e funzione del tempo.

Essa si puo dividere in energia potenziale interna ed esterna a secondo chesi prendano in considerazione le forze interne od esterne. Si veda ....♣

energia totale di un sistema e la somma dell’energia cinetica e dell’energia po-tenziale del sistema: E def

= T + V .

equilibrio indifferente e una configurazione di equilibrio tale che se il sistemaviene allontanato da quella configurazione esso rimane nella nuova confi-gurazione.

equilibrio instabile e una configurazione di equilibrio tale che se il sistema vieneallontanato da quella configurazione esso tende ad allontanarsi sempre piu.

equilibrio stabile e una configurazione di equilibrio tale che se il sistema vieneallontanato da quella configurazione esso tende a ritornarvi.

F

fase in una oscillazione retta dall’equazione x(t) = A sin(ω t + ϕ0) il terminefase si riferisce all’argomento della funzione trigonometrica, vale a dire allagrandezza ϕ def

= (ωt + ϕ0). Il termine ϕ0 prende il nome di fase iniziale. Siveda la voce oscillazioni.

fattore di amplificazione dinamica consideriamo il moto oscillatorio di un si-stema ad un grado di liberta soggetto ad una forza impressa di tipo periodi-co, in particolare sinusoidale f = f0sin(ωt) . Qualora agisse una forza co-stante f0 il sistema avrebbe un’elongazione statica x0 = f0/k. Sotto l’azio-ne della forza sinusoidale il sistema avra un’ampiezza A(ω) contenuta nellasoluzione x(t) = A(ω)sin(ωt +ϕ) . Il rapporto tra A(ω) (massima elongazio-ne dinamica) ed x0 (elongazione statica) prende il nome di amplificazionedinamica.

filo e un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da unalinea, che sia perfettamente flessibile. Per quanto possa sembrare stranoil tipico esempio di filo e ... una catenella in quanto non offre resistenzaalla flessione. Un comune filo di lana, di seta, di plastica, di acciaio ha

185

una resistenza alla flessione: la prova si ha nel fatto che volendogli dareuna forma arbitraria esso reagisce in misura piu o meno grande prendendouna configurazione diversa. Al contrario una catenina, come quelle cheportiamo appesa al collo, rimane nella configurazione che gli abbiamo datae quindi non offre resistenza alla flessione.

flusso di un vettore ~v attraverso una superficie. E la grandezza Φ ottenuta ese-guendo l’integrale Φ =

∫S ~v · d ~S sulla superficie S .

forza e la grandezza vettoriale che descrive l’azione su un corpo da parte di al-tri corpi o di altre parti dello stesso corpo. Se tanto il corpo che subiscel’azione quanto quello la esercita sono in quiete essa si misura con il dina-mometro. Nel caso in cui l’uno o l’altro o entrambi i corpi sono in moto,la grandezza piu facilmente misurabile e l’impulso [vedi] che si misura conl’impulsometro [vedi] ed allora la forza media e il rapporto tra l’impulso ~Icomunicato al corpo durante un intervallo di tempo τ e l’intervallo stesso.La forza istantanea e il limite di tale rapporto.

forza aerodinamica vedi resistenza aerodinamica.

forza apparente nome dato ad una forza che si manifesta in un riferimento noninerziale e che non e causata dall’azione di altri corpi. Sono di due tipi: laforza centrifuga [vedi] e la forza di Coriolis [vedi].

forza assifuga letteralmente fugge da un asse. Nome poco usato, ma piu oppor-tuno di forza centrifuga, letteralmente fugge da un centro.

forza assipeta letteralmente va verso un asse. Nome poco usato, ma piu oppor-tuno di forza centripeta, letteralmente va verso un centro.

forza attiva e una forza che si esercita sul sistema che non e dovuta ai vincoli.Termine da usare in contrapposizione al termine forza reattiva che e quellagenerata da un vincolo.

forza centrifuga la forza apparente che fugge da un centro presente in un sistemadi riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in due dimensioni. Guar-dandolo in tre dimensioni non esiste un centro, ma bensı un asse, quello dirotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assifuga.

forza centripeta la forza che punta verso un centro. Tipica e la reazione vinco-lare in un sistema di riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in duedimensioni. Guardandolo in tre dimensioni non esiste un centro, ma bensıun asse, quello di rotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assipeta.


forza conservativa e una forza dipendente dal posto per la quale la circolazionelungo qualsiasi cammino chiuso e nulla.

forza di Coriolis e una forza apparente, presente in un riferimento non inerziale(ad esempio una giostra) che si manifesta su una particella dotata di velocitarelativa. Ad esempio l’omino che ritira i biglietti su una giostra durante larotazione, finche sta fermo sperimenta solo la forza centrifuga, quando simuove sperimenta anche la forza di Coriolis: ~f = 2 ~ω × ~vr.

forza d’inerzia di un corpo e l’opposto del prodotto della massa di un corpo perl’accelerazione del suo baricentro G: ~f in def

= −m~aG.

forza dissipativa sinonimo di forza resistente.

forza di superficie e una forza che si applica agendo sulla superficie di un corpo.Tale e una forza aerodinamica (su un pallone, su una palla da tennis, su unapalla da ping pong, su un’auto, un aereo, un uccello, ecc.); quella esercitatadall’acqua sulla carena di una nave, su un pesce, su un sottomarino; quelladovuta all’attrito ad esempio quando solleviamo una bottiglia stringendocon una mano il collo della bottiglia; quella con la quale teniamo in braccioun bambino o portiamo in spalla una cassa. Le forze di superficie sono forzea contatto.

forza di volume e una forza che si applica su un corpo agendo direttamente sulleparticelle che lo compongono. Tale e la forza peso, la forza d’inerzia, laforza elettrica o magnetica agente su un dielettrico che da luogo alla pola-rizzazione elettrica e magnetica. Le forze di volume sono forze a distanzavale a dire forze che non agiscono per contiguita nella materia.

forza elastica e una forza propozionale allo spostamento dalla sua posizione diequilibrio e che ha senso opposto allo spostamento. E tipicamente la forzaesercitata da una molla ideale [vedi].

forza esterna ad un sistema: e una forza che si esercita sul sistema e che provie-ne dall’esterno. Le forze nascono sempre a due a due e sono opposte: lasomma di quelle che si esercitano su un sistema non e in generale nulla. Ungalleggiante in equilibrio e soggetto a due forze esterne: la spinta idrosta-tica (forza di superficie) e quindi forza a contatto ed il suo peso (forza divolume) e quindi forza a distanza e la loro somma e nulla.

forza generalizzata sono le quantita

Qh =

N∑k=1

~fk ·∂~rk

∂qh (h = 1, 2, ...., n) (E.11)

187

essendo n il numero delle coordinate generalizzate. Esse nascono comecoefficienti della forma differenziale lineare che da il lavoro virtuale intermini delle variazioni delle coordinate generalizzate

W∗ =

N∑k=1

~fk · δ~rk =

n∑h=1

Qh δqh. (E.12)

forza impulsiva una forza di breve durata. Generalmente e una forza variabilee di notevole intensita. Tipiche sono quelle dovute a colpi, percussioni,esplosioni.

forza interna ad un sistema: e una forza che si esercita tra le parti che compongo-no il sistema. Le forze interne nascono sempre a due a due e sono opposte,quindi la loro somma e sempre nulla (anche per un essere animato!).

forza motrice forza che favorisce il movimento e quindi che fornisce energiaad un sistema meccanico. Tale e il peso agente su un corpo in caduta, adesempio il peso di un paracadutista.

forza passiva sinonimo di forza resistente.

forza posizionale e una forza che dipende esclusivamente dal punto nel qualee applicata, quindi non dipende ne dal tempo ne dalla velocita. Le forzeposizionali danno luogo ai campi di forze.

forza reattiva sinonimo di reazione vincolare.

forza resistente e una forza che ostacola il movimento e quindi che fa perdereenergia al sistema meccanico. Opposto di forza motrice. Le forze dovuteagli attriti sono generalmente resistenti ma possono essere motrici, ad esem-pio quando solleviamo una bottiglia circondandola con la mano. Le forzeaerodinamiche possono essere resistenti, come quelle agenti sul paracaduteo motrici, come quelle agenti sulla vela di una barca a vela.

forza viscosa vedi resistenza viscosa.

forza viva nome obsoleto per energia cinetica. L’antica denominazione for-za viva (Leibnitz) rispecchia l’ambiguita della parola forza (vis vivacontrapposta a vis mortix); ancora Helmholtz nel 1847 intitolava la suaMemoria relativa alla conservazione dell’energia Sulla conservazione delleforze[30, p.19].


frequenza e la grandezza che misura la rapidita di una oscillazione. Quando unpunto in moto compie oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio ladurata di una oscillazione completa, vale a dire andata e ritorno, prende ilnome di periodo. Il numero di oscillazioni per secondo prende il nome difrequenza: f def

= 1T . L’unita di misura e l’hertz che si scrive Hz. Questa

unita e in onore del fisico tedesco Hertz. La frequenza si indica con uno deidue simboli f , ν. Si veda la voce oscillazioni. Nella pratica si usano anchei giri al minuto o i battiti al minuto: 1 giro/minuto= 1

60 Hz.

frequenze naturali di un sistema vibrante: sono quelle frequenze per le quali ilsistema vibra mantenendo tutti i suoi punti in fase, vale a dire nella lorooscillazione essi raggiungono simultaneamente le posizioni estreme. [vedimodi normali].

funzione di Hamilton detta anche hamiltoniana. E la grandezza H def=

∑k pkqk−

L essendo L al funzione di Lagrange, pk le quantita di moto generalizzate,qk le forze generalizzate.

funzione di Lagrange detta anche lagrangiana. E la grandezza L def= T − V

essendo T l’energia cinetica e V l’energia potenziale.

G

geodetica di una superficie: ogni linea congiungente due punti della superficieche sia di lunghezza stazionaria. Essa gode della proprieta che la sua nor-male principale in un punto ha la stessa direzione, non necessariamente lostesso verso, della normale alla superficie nel punto. Sul piano le geodeti-che sono le linee rette; sul cilindro sono le eliche cilindriche circolari; sullasuperficie sferica sono gli archi di cerchio massimo.

gradi di liberta di un sistema e il massimo numero di spostamenti virtuali in-dipendenti che il sistema puo avere [50, p.13]; per un sistema olonomo euguale al numero di coordinate libere; per un sistema anolonomo e ugualeal numero di coordinate libere diminuito del numero di equazioni di legamenon olonomo [49, v. I, p.6].

Alcuni autori definiscono il numero di gradi di liberta come il minimo nu-mero di coordinate che individuano la configurazione di un sistema [54,p.88], [43, p.135] ♣

Per un sistema olonomo e il numero di coordinate libere [49, vol I, p. 6]; per un sistema anolonomo e il numero di coordinate libere diminuito delnumero di equazioni di legame non olonomo[49, vol I, p. 6].

189

gradiente di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (~r) si consideriun punto nella sua regione di definizione. Per ogni semiretta (orientata)uscente da tale punto si puo calcolare la derivata della funzione lungo lasemiretta: d f /ds. Si constata che tale derivata, che dipende dal versore ~tdella semiretta, si puo scrivere come prodotto scalare di un vettore ~G e delvettore ~t, cioe d f /ds = ~G · ~t. Il vettore ~G cosı definito prende il nome digradiente della funzione scalare nel punto considerato. Esso ha la direzionedi massima derivata normale. La derivata d f /ds prende il nome di derivatadirezionale e anche di gradiente nella direzione considerata. Il gradiente siindica con grad f (r) o anche ∇ f (r).

grado di vincolo Un vincolo geometrico toglie uno o piu gradi di liberta al si-stema: il numero di gradi di liberta che toglie prende il nome di grado divincolo. Il grado di vincolo di un sistema meccanico e la somma dei gradidi vincolo di tutti i suoi vincoli.

H

hertz unita di misura della frequenza ed e pari ad una oscillazione al secondo.

I

impulso grandezza fisica che esprime l’azione dinamica su un corpo da parte dialtri corpi. E solitamente definito come l’integrale del prodotto della forzaper il tempo ma e meglio definirlo come la grandezza dinamica misuratadirettamente mediante un impulsometro [vedi] ad esempio un pendolo ba-listico. Si noti che e in genereale difficile misurare la forza agente su uncorpo in moto mentre e facile misurare l’impulso. (si veda ...)

impulso angolare sinonimo di momento angolare [vedi] e di momento della quan-tita di moto.

impulsometro strumento per la misura degli impulsi. Esso si basa sulla defor-mazione elastica che un corpo puo subire assorbendo l’urto di un corpoin moto che lo colpisce. L’entita dell’impulso si misura dalla entita dellospostamento massimo subito dal corpo elastico previa opportuna taratura.

inerzia e un attributo dei corpi consistente nell’opporsi alla variazione dello statodi moto.

integrale dell’energia afferma che in un sistema a vincoli fissi e non dissipativisoggetto a forze conservative la somma dell’energia cinetica e dell’energiapotenziale e costante. In formule T + V = E in cui E e chiamata energiatotale.


integrale primo del moto; termine con il quale si intende una relazione differen-ziale tra le coordinate di un sistema contenente solamente le derivate prime.♣ Tipica conservaizone dell’energia T + V = E e la conservazione dellaquantita di moto ~P = ~P0.

invariante scalare di un sistema di forze agenti su un corpo rigido: e lo scalareI = ~R · ~MA essendo ~R ed ~MA rispettivamente la risultante ed il momentorisultante del sistema di forze risapetto ad un polo A. Esso ha la proprietadi avere lo stesso valore per ogni scelta del polo A.

iperstatico termine riferito ad un sistema in cui il grado di vincolo [vedi] superiil numero di gradi di liberta.

isocronismo in un moto oscillatorio il periodo cresce con l’aumentare dell’am-piezza delle oscillazioni. Se le oscillazioni sono di piccola ampiezza il pe-riodo e sensibilmente indipendente dall’ampiezza. In cio consiste l’isocronismodelle piccole oscillazioni

isostatico termine riferito ad un sistema in cui il numero di gradi di liberta coin-cide con il grado di vincolo e in piu non sia labile [vedi].

J

joule unita di misura del lavoro nel Sistema Internazionale: esso e il lavoro fattodalla forza di un newton per lo spostamento di un metro. Una volta si usavail chilogrammetro, prodotto del chilogrammo-peso per un metro. Questaunita e oggi obsoleta come lo e il cavallo vapore per la potenza, la caloriaper il calore, la atmosfera per la pressione, ecc.

K

kilogrammo unita di misura della massa nel Sistema Internazionale (SI). Origi-nariamente definita come la massa di un litro di acqua alla temperatura di4 gradi centigradi e oggi precisata come la massa del campione depositatoall’ufficio dei pesi e Misure a Sevres in Francia; ?♣

kilogrammo forza ♣ detto anche chilogrammo peso ♣[chilo?] unita di misuradella forza nel vecchio sistema pratico, oggi da abbandonare per il SistemaInternazionale di unita di misura in cui l’unita di forza e il newton: unkilogrammo-peso e uguale a 9.81 N.

L

labile detto di un sistema discreto ♣ in cui il numero e la posizione dei vincolisono tali da non mantenere fermo il sistema. ♣

191

laplaciana di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (~r) ed un puntodella sua regione di definizione si consideri la divergenza del vettore gra-diente nel punto: tale funzione prende il nome di laplaciana della funzionenel punto e si indica con ∆ f (~r) o anche con ∇2 f (r).

lavoro w,W Quando una forza agisce su un corpo essa compie un lavoro. Perdefinirlo e conveniente esaminare i seguenti casi1

• forza costante. Si chiama lavoro di una forza costante ~f relativa aduno spostamento ~s il prodotto scalare

W def= ~f · ~s ≡ ~f · ∆~r. (E.13)

Questo e il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su una auto-mobile in moto a velocita costante.

• forza variabile. Consideriamo un corpo in moto. Supponiamo chein un suo punto ~r agisca una forza che puo dipendere dal tempo, dal-la posizione, dalla velocita: ~f (t, ~r, ~v). Supponiamo inoltre che sianoto il moto del punto espresso dalla funzione ~r(t). Calcolata la ve-locita ~v(t) si possono sostituire queste due funzioni nella espressione~f (t, ~r(t), ~v(t)) cosicche la forza diviene funzione del solo tempo: ~F(t).In queste condizioni si chiama lavoro della forza la grandezza scalare

W def=

∫ t1

t0

~F(t) · ~v(t) d t. (E.14)

Questo e il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su un’auto-mobile o su un’aereo in moto a velocita variabile. Se si suppone che laresistenza sia di tipo aerodinamico [vedi] ovvero data dalla espressio-ne ~f (~v) = −1/2 ρCx v~v, se e nota l’equazione oraria della vettura ~r(t),con la formula precedente si puo stimare il lavoro da essa compiutodurante un viaggio assegnando l’istante di partenza e di arrivo.

• forza posizionale. Se la forza dipende solo dalla posizione, quindi nedal tempo ne dalla velocita, si dice che siamo in presenza di un campodi forze. Per calcolare il lavoro e sufficiente precisare la traiettoria delpunto mobile e non e necessario conoscere la sua equazione di moto.Indicata con L la linea si ha

W def=

∫L

~f (~r) · d~r. (E.15)

1 Si veda la bella presentazione di [48, parte I, p.219-]


Quindi nel caso di forze posizionali si puo fare a meno di considerareil moto del punto del corpo su cui la forza si esercita e considerare solouna linea. La nozione di lavoro, in questo caso, si identifica con quelladi circolazione [vedi] del vettore forza (funzione del posto) lungo unalinea. In altri termini la nozione di lavoro si depura dalla nozione dicorpo e di moto per diventare una grandezza a se stante.

• forza posizionale e conservativa. Se la forza oltre ad essere posizio-nale e anche conservativa [vedi] allora il lavoro della forza dipendesolo dagli estremi della linea e non dalla linea stessa. Per calcolareil lavoro e sufficiente precisare due punti A e B e considerare una li-nea qualsiasi che congiunge i due punti. In questo caso si definisce illavoro mediante l’espressione

W =

∫ B

A

~f (~r) · d~r. (E.16)

Il campo gravitazionale non e un campo di forze ma un campo diaccelerazioni in quanto ad ogni punto del campo e associato il vettoreaccelerazione di gravita ~g. La forza nasce quando vi mettiamo uncorpo di massa m: in questo caso la forza agente sul corpo e ~p = m ~g.Dal momento che la forza dipende dalla massa del corpo non si puodire che il campo gravitazionale sia un campo di forze.Un esempio di campo di forze conservativo e quello delle forze elasti-che: ~f = −k ~r. Il lavoro della forza tra due punti e dato da

W =

∫ B

A−k ~r · d~r = −

12

k[~r 2

B − ~r2A

]. (E.17)

Il lavoro e considerato positivo se viene fatto sul corpo o sul sistema. Si notiche nella termodinamica alcuni autori usano ancora la vecchia notazioneche e opposta all’attuale: il lavoro viene da loro considerato positivo se efatto dal sistema. Considerato che lavoro e calore sono due forme di flussodi energia e che il calore e da tutti considerato positivo se fornito al sistema,si vede che e bene considerare entrambi positivi se forniti al sistema.

L’unita di misura del lavoro nel Sistema Internazionale e lo joule (simboloJ).

lavoro virtuale w∗,W∗ di un sistema di forze: e la somma dei prodotti scalaridelle forze agenti sui diversi punti del sistema per uno spostamento virtuale[vedi] del sistema stesso. In formule:

w∗ =

N∑k=1

~fk · δ~rk. (E.18)

193

legge di Hooke e la legge che regola le deformazioni elastiche lineari di un siste-ma. Data un’asta deformabile o una molla, se con F indichiamo la forza ditrazione e con ∆L il suo allungamento, la relazione sperimentale F = K∆Lin cui K e una costante di proporzionalita, esprime la legge di Hooke.

leggi di Keplero Sono tre leggi del moto dei pianeti attorno al Sole. Esse sonovalide anche per il moto dei satelliti della Terra.

1. (prima legge) Le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono delleellissi ed il Sole si trova in uno dei fuochi.

2. (seconda legge) Le aree descritte dal raggio vettore con origine nelSole sono proporzionali al tempo impiegato a descriverle.

3. (terza legge) I quadrati dei tempi di rivoluzione di un pianeta attornoal Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite.

M

massa m,M E la grandezza che misura l’inerzia di un corpo [vedi] . Per unaparticella e definita come la costante di proporzionalita tra la quantita dimoto della particella e la velocita. Questo presuppone che la quantita dimoto [vedi] sia stata definita prima della massa. Per un sistema e definitacome la somma delle masse delle particelle che lo compongono.

meccanica analitica E la meccanica trattata in termini completamente matema-tici, donde il termine analitica, costruita a partire dalle coordinate libere[vedi] o lagrangiane. ♣ I temi di cui tratta sono: le equazioni di moto diLagrange, le equazioni di moto di Hamilton, le trasformazioni canoniche,l’equazione di Hamilton-Jacobi, le parentesi di Poisson, di Jacobi, ecc.

meccanica atomica E la meccanica utilizzata per la descrizione del mondo ato-mico. E sinonimo di meccanica quantistica [vedi].

meccanica celeste Termine con il quale si intende la meccanica applicata allostudio dei pianeti, delle stelle e delle galassie. Il termine celeste si rifa alcolore del cielo.

meccanica classica e lo studio del moto basato sulle ipotesi e sulle leggi classi-che di Galileo, Newton, Eulero, Lagrange, ecc.

meccanica quantistica ela meccanica valida per la descrizione del moto di siste-mi a livello atomico e subatomico. Essa differisce dalla meccanica classicaperche in essa non sono piu valide molte nozioni della meccanica classica.


meccanica relativistica e la meccanica valida per la descrizione di sistemi, es-senzialmente particelle, che si muovono a velocita confrontabili con quelledella luce. A tali velocita cessano di valere alcuni assunti della meccanicaclassica.

modi normali Un sistema vibrante possiede delle modalita di vibrazione partico-lari consistenti nel fatto che alcuni punti, chiamati nodi, rimangono fermi.Se il sistema vibrante e bidimensionale, come una piastra o una lastra, inodi sono disposti lungo linee nodali. Se il sistema vibrante e un continuotridimensionale si hanno delle superfici nodali.

Quando il sistema vibra secondo uno di questi modi particolari i punti com-presi tra due nodi o tra due linee nodali o tra due superfici nodali oscillanoattorno alla posizione di riposo raggiungendo simultaneamente le loro po-sizioni estreme. Si dice che sono in concordanza di fase. Si parla allora dimodi normali di vibrazione o anche di modi fondamentali di vibrazione.

molla ideale Una molla priva di massa (e quindi di inerzia), di lunghezza a riposonulla e che esercita una forza di richiamo proporzionale allo spostamento:f = −ks la costante k si chiama rigidezza della molla. E detta ideale perdue ragioni: e priva di massa ed ha lunghezza a riposo nulla.

molla reale E una molla di massa non trascurabile, che possiede una lunghezzaa riposo non nulla, che puo agire sia a trazione sia a compressione. Inoltrela forza puo essere funzione sia lineare che non lineare dell’allungamento.Questo e in parte dovuto alla forma della molla.

momento angolare ~LA di un sistema meccanico rispetto ad un polo A: e il mo-mento della quantita di moto rispetto al polo. Fissato un polo A per unaparticella situata in B e

particella: ~LAdef= (B − A) × ~p sistema: ~LA

def=

N∑k=1

(Bk − A) × ~pk

(E.19)avendo indicato con ~p la quantita di moto della particella. Per un sistema ela somma dei momenti angolari delle singole masse che lo compongono.

momento cinetico termine obsoleto sinonimo di quantita di moto

momento della quantita di moto sinonimo di momento angolare [vedi].

momento d’inerzia J Dato un sistema meteriale e considerato un asse a, si chia-ma momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse a la somma dei prodotti

195

delle masse delle singole particelle che compongono il corpo per i quadratidelle distanze delle singole masse dall’asse. Se rk indica la distanza dellaparticella k − esima dall’asse e

Ia =

n∑k=1

mkr 2k . (E.20)

momento di un vettore rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed unvettore~v applicato in un punto B, si chiama momento del vettore rispetto alpolo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale ~MA =

(B − A) ×~v.

momento di una forza rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed unaforza ~f applicata in un punto B, si chiama momento della forz rispetto alpolo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale ~MA =

(B − A) × ~f .

momento flettente M in un punto di un’asta o di una trave: e la coppia che si de-ve applicare al punto sezionato per mantenere l’equilibrio della trave quan-do si operi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorreanche l’azione assiale [vedi] e quella di taglio [vedi] .

momento statico ~S Dato un sistema meccanico e considerato un piano, si chia-ma momento statico del sistema di masse rispetto al piano la somma deiprodotti delle masse delle singole particelle che compongono il sistema perle distanze orientate delle singole masse dal piano:

S def=

n∑k=1

mkdk (E.21)

Il termine orientate si riferisce al fatto che, fissata una faccia come positivaed una come negativa, ad esempio mediante un senso di attraversamento delpiano, le distanze delle masse dal piano sono positive o negative a secondache queste si trovino dalla parte positiva o da quella negativa. movimento.

moto armonico e il moto unidimensionale di una particella o di un corpo rigi-do nel quale l’accelerazione ~a e proporzionale allo spostamento ~s da unaposizione di equilibrio ed ha segno opposto: ~a = −k~s con k > 0.

moto centrale e il moto di una particella soggetta ad una forza centrale, cioe aduna forza passante per un punto fisso detto centro del moto. Ne viene che,se la particella e libera, l’accelerazione e anch’essa centrale.


moto periodico il moto di un sistema meccanico che riprende la medesima con-figurazione ad intervali uguali di tempo.

moto piano e il moto di un sistema in cui le velocita di tutti i suoi punti ad ogniistante sono paralleli ad un piano fisso detto piano direttore. In particolaresi ha il moto rigido piano quando il sistema e un corpo rigido.

moto rigido piano e il moto di un corpo rigido parallelo ad un piano fisso, dettopiano direttore.

moto rotatorio e il moto di un corpo rigido che ha un asse fisso. Si osservi cheuna particella che percorre una circonferenza non ha un moto rotatorio.

moto traslatorio e un movimento in cui ad ogni istante l’atto di moto e traslato-rio. Tipico e il movimento del tecnigrafo sul tavolo da disegno quando nonsi liberi la manopola delle rotazioni.

moto uniforme e il moto di una particella che percorre spazi uguali in tempiuguali. Il termine spazi si deve intendere archi di linea. Cosı e per un motorettilineo uniforme, per un moto circolare uniforme, per un moto curvilineouniforme. Dire tempi uguali presuppone il possesso di un orologio: ma asua volta l’orologio ha una andamento uniforme? Come si vede la defini-zione di moto uniforme si riduce ad una tautologia, come quella di corporigido. In luogo di una definizione dobbiamo percio indicare un metodooperativo per costruire un orologio campione. Si opera nel modo seguen-te: si confrontano l’uno con l’altro e con i processi periodici dell’astrono-mia quanti piu possibile di orologi differenti; questo confronto porta ad unaspecie di lotta per la sopravvivenza: gli orologi il cui comportamento siscosta da quello della maggioranza vengono eliminati, mentre al moto deisopravissuti si da l’attributo di uniforme. [51, v. I, p.7]

movimento sinonimo di moto.

N

newton N Unita di misura della forza nel Sistema Internazionale (simbolo N).Esso e la forza che imprime alla massa di un chilogrammo l’accelerazionedi un metro al secondo ad ogni secondo. Si noti che l’unita newton deveessere lscritta con l’iniziale minuscola.

normale principale ~n ad una linea: fra tutti i versori normali ad una linea, lanormale principale e quella contenuta nel piano osculatore. Il suo verso sifissa nel modo seguente:

197

1. se la linea e piana si decide un senso di percorso della linea e, in unsuo punto, si fissa ad arbitrio un senso della normale, ad esempio versosinistra percorrendo la curva. Quindi si propaga tale senso in tutti glialtri punti della linea.

2. se la linea e sghemba (cioe non giace su un piano, ad esempio un’e-lica) si decide un senso di percorso della linea e, in un suo punto, sifissa ad arbitrio un senso della normale nel piano osculatore alla curvain quel punto. Quindi si propaga tale senso in tutti gli altri punti dellalinea nei relativi piani osculatori.

Con lo stesso nome si intende il versore normale giacente nel piano oscula-tore. Esso e dato dalla equazione

d~tds

=

∣∣∣∣∣∣ d~tds

∣∣∣∣∣∣~n (E.22)

normali ad una linea in un suo punto P: sono tutte le rette passanti per P econtenute nel piano normale in P.

O

opposizione di fase detto di due punti appartenenti ad un sistema vibrante cheraggiungono simultaneamente le posizioni estreme situate da parti oppo-ste (ad esempio quando l’una si trova all’estremo destro l’altra si trovaall’estremo sinistro)

oscillazioni, L’oscillazione armonica di un punto, che e il tipo piu semplice e piucomune di oscillazione, e espressa dalla relazione

s = A cos(ω t + ϕ) o anche s = A cos(2π f t + ϕ) (E.23)

Le grandezze hanno il seguente nome:

simbolo nome unitas elongazione (spostamento dalla posizione di riposo) mA ampiezza della oscillazione mω pulsazione rad/st istante sϕ fase iniziale radω t + ϕ fase radf frequenza Hz

Osservatore E l’insieme di un corpo rigido e di un orologio ... ♣ [Fb 4]


P

particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle di-stanze in gioco. Ad esempio un aereo e una particella rispetto al radar diterra, la stella Sirio e una particella nel contesto dell’astronomia ma non loe nel contesto dell’astrofisica.

perielio punto dell’orbita terrestre che e piu vicino al sole

periodo di una oscillazione T, τ e il tempo impiegato da un corpo oscillante (osistema vibrante) a compiere un ciclo completo.

peso di un corpo e la forza esercitata sul corpo dal campo gravitazionale. L’e-sperienza dice che il peso di un corpo e proporzionale alla massa: ~p = m~gessendo ~g il vettore accelerazione di gravita. Nei problemi di dinamica lamassa e una grandezza piu significativa del peso anche se a causa dellaproporzionalita e della approssimativa costanza della gravita sulla superfi-cie terrestre siamo soliti parlare di peso. Nei problemi di statica il peso epiu significativo della massa in quanto quest’ultima si manifesta nel motoattraverso l’inerzia.

Un astronauta che sulla terra pesa 784 N, sulla luna pesa 130 N, sulla navicellapesa 0 N ma ha pur sempre la massa di 80 kg. Se l’astronauta ingrassa e percheaumenta la sua massa, non il suo peso (che in orbita e sempre nullo).

piano normale ad una linea in un suo punto e il piano perpendicolare in un unpunto alla tangente alla curva.

piano osculatore ad una linea in un suo punto. Consideriamo una linea, un suopunto P e altri due suoi punti P′ e P: per questi tre punti passa un piano(salvo il caso che i tre punti siano allineati). Se si fanno tendere i due puntiP′ e P al punto P il piano tende ad un piano limite che prende il nomedi piano osculatore della linea nel punto P. Il termine osculatore viene dalgreco osculare che significa baciare: il piano bacia o meglio combacia ♣conla curva nel punto considerato. Il piano osculatore e un particolare pianotangente. Se i tre punti sono allineati il piano osculatore e indeterminato,ovvero ogni piano tangente e osculatore.

piano rettificante ad una linea in un suo punto: e il piano contenente la tangente[vedi] e la binormale [vedi].

piano tangente ad una linea in un suo punto: e qualunque piano che contenga laretta tangente alla linea nel punto.

199

polare fissa si veda base.

polare mobile si veda rulletta.

poligono funicolare costruzione grafica che consente di determinare la retta diapplicazione della risultante di un sistema di forze piane.

potenziale Dato un campo vettoriale conservativo, si chiama potenziale del cam-po in un punto P la circolazione [vedi] del vettore lungo una linea genericache va dal punto P ad un punto P0 prefissato.

Se il vettore e una forza, e allora il campo vettoriale e un campo di forze,la circolazione e un lavoro. Se il vettore e la velocita del moto di un fluido(tale circolazione non ha nulla a che fare con un lavoro) il potenziale si chia-ma potenziale cinetico. Se il vettore e il campo elettrico ~E la circolazioneprende il nome di tensione elettrica associata alla linea ed il potenziale inun punto prende il nome di potenziale elettrico nel punto e lo si indica conϕ.

primo principio della termodinamica la somma del lavoro e del calore forni-ti ad un sistema termodinamico uguaglia la variazione di energia internasubita dal sistema. In formule: W + Q = ∆U.

principio dei lavori virtuali e un principio che serve ad individuare la configura-zione di equilibrio di un sistema soggetto ad un assegnato sistema di forze.Esso afferma che: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di unsistema soggetto a vincoli lisci e che il lavoro delle forze attive per ognispostamento virtuale non sia mai positivo. In particolare se gli spostamentivirtuali sono reversibili il lavoro virtuale e nullo.

principio di azione e reazione la forza che una prima particella esercita su unaseconda particella e opposta a quella che la seconda esercita sulla primaed ha la stessa linea d’azione. Si osservi che questo enunciato parla diparticelle e non di corpi. Nel caso di corpi il principio non precisa il puntodi applicazione delle due forze: vedere ad esempio la forza che una caricaelettrica puntiforme esercita su un dipolo elettrico.

principio di conservazione dell’energia in un sistema meccanico non soggettoa forze dissipative e a vincoli fissi si conserva la somma dell’energia poten-ziale V e di quella cinetica T . Si scrive T + V = E. La costante E si chiamaenergia totale.

principio di d’Alembert per passare dalle equazioni della statica a quelle delladinamica basta aggiungere alle forze attive le forze d’inerzia.


principio d’inerzia una particella non soggetto a forze dovute all’azione di altricorpi o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. (si veda Panofsky)

principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in quiete, sia esso per-fetto (= ideal) o viscoso (= reale), la pressione in un punto relativa ad unelemento di piano di giacitura assegnata non varia al variare della giacitura.Essa quindi e funzione del posto.

principio di Hamilton il moto naturale di un sistema meccanico soggetto a forzeattive conservative e a vincoli lisci si distingue da tutti i moti variati sincroniche rispettano le configurazioni estreme per il fatto che rende stazionarial’azione hamiltoniana [vedi]:

A def=

∫ t1

t0(T − V)dt (E.24)

in cui T e l’energia cinetica del sistema meccanico e V l’energia potenzialedelle forze (sia esterne che interne) agenti sul sistema meccanico.

principio di minimo dell’energia potenziale Un sistema meccanico in quiete ♣tende ad assumere la configurazione in cui la sua energia potenziale e mini-ma.

principio di sovrapposizione degli effetti alcuni tipi di azioni che si manifesta-no su un sistema hanno la proprieta che, entro certi limiti, l’azione com-binata di due o piu effetti determina una deformazione del sistema che ela somma delle deformazioni che ciascuna azione determinerebbe sul siste-ma agendo separatamente. Tale e il caso di forze applicate a corpi elasticiquando le deformazioni sono sufficientemente piccole (ad esempio una ver-ga poco deformata dalla sua configurazione naturale). Piu che un principioe una proprieta che sussite in determinati casi e per determinati sistemi.

prodotto d’inerzia Jαβ Dato un sistema meccanico e considerati due piani α eβ orientati, si chiama prodotto d’inerzia del sistema di masse rispetto aidue piani la somma dei prodotti delle masse delle singole particelle checompongono il sistema per le distanze orientate delle particelle dai due piani♣.

Alcuni autori includono nella definizione il segno meno, altri lo omettono:quando e incluso le formule in cui compare il prodotto d’inerzia hanno tuttii segni positivi. Noi seguiremo la regole di includere il segno meno peravere le formule piu semplici. Indicate con ak e bk le distanze orientate

201

della massa puntiforme mk dai due piani α e β il prodotto d’inerzia e datodalla formula seguente (a sinistra)

Iαβ = −

n∑0

mkakbk Ixy = −

n∑0

mkxkyk (E.25)

Nel caso che i due piani siano i piani di un sistema di coordinate cartesianeortogonali Oxyz, il prodotto d’inerzia rispetto ai piani xz e yz si indic a conIxy ed e dato dalla formula (E.25 destra). ♣

prodotto esterno molti autori italiani chiamano prodotto esterno il prodotto vet-toriale. Nella letteratura attuale il termine prodotto esterno ha un significatodiverso: esso indica una operazione che associa a due vettori un nuovooggetto geometrico, chiamato bivettore rappresentato dal parallelogrammaorientato formato dai due vettori. I bivettori, i trivettori, i vettori e gli scalarisono particolari multivettori. Il calcolo dei multivettori costituisce l’algebraesterna. Per evitare confusioni e quindi opportuno utilizzare il nomue diprodotto vcettoriale in luogo di prodotto esterno per indicare il vettore orto-gonale ai due vettori dati che ha modulo uguale all’area del parallelogram-ma. E opportuno anche utilizzare il simbolo × per il prodotto vettoriale edil simbolo ∧ per il prodotto esterno. [?, p.] ♣

prodotto scalare di due vettori e il numero ottenuto moltiplicando il modulo deidue vettori per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

prodotto vettoriale di due vettori u e v: e il vettore ortogonale al piano dei duevettori, orientato secondo la regola della mano destra o del cavatappi e dimodulo uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori. Siscrive w = u × v

pulsazione e la grandezza ω def= 2π

T essendo T il periodo di una oscillazione. Essasi identifica con la velocita angolare che dovrebbe avere un moto rotatoriouniforme di uguale periodo. Poiche la frequenza e l’inverso del periodof def

= 1T si ha anche ω = 2π f . Vale la relazione ω def

= 2πν = 2π/T in cuiν e la frequenza in hertz e T il periodo in secondi. ♣ L’unita di misura e ilradiante al secondo: rad/s Si veda la voce oscillazioni.

particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle di-mensioni in gioco. 10

Q

quantita di moto Si distingue tra quantita di moto


• di una particella: e l’impulso che la particella cede riducendosi allaquiete. Essa e anche l’impulso necessario a portare la particella dallaquiete a quello stato di moto. Il simbolo e ~p e l’unita di misura e ilnewton × secondo: N s.

• di un sistema: e la somma delle quantita di moto delle singole parti-celle che lo compongono. Il simbolo e ~P.

Solitamente si definisce la quantita di moto come il prodotto della massaper la velocita: questo e in contrasto con il fatto che a velocita prossime aquelle della luce la definizione ... non e piu valida! La relazione quantita dimoto-velocita e una relazione fenomenologica (o costitutiva o materiale).Sarebbe come definire la tensione elettrica come il prodotto della resistenzaper l’intensita di corrente, riducendo cosı la legge di Ohm ad una definizio-ne, oppure come definire lo sforzo come il prodotto della deformazione peril modulo elastico, riducendo cosı la legge di Hooke ad una definizione.

quantita di moto generalizzata Sono le grandezze phdef=

N∑k=1

~pk ·∂~rk

∂qh con h =

1, 2, ..., n essendo n il numero delle coordinate generalizzate.

R

raggio di curvatura r,R di una linea in un suo punto: raggio del cerchio oscula-tore alla linea nel punto. Il suo segno e positivo o negativo a secondo che ilcentro del cerchio osculatore, detto anche centro di curvatura si trovi dallastessa parte della normale principale o dalla parte opposta.

raggio giratore d’inerzia ∆a Se indichiamo con Ia il momento d’inerzia di un si-stema rispetto ad una retta a si chiama raggio giratore d’inerzia del sistemadi masse rispetto alla retta a la quantita ∆ tale che

Ia = M ∆2 ovvero ∆2 =

n∑k=1

mkr 2k

M(E.26)

avendo indicato con M la massa del sistema. (simbolo?) ♣

raggio vettore ~r E il vettore che congiunge l’origine di un sistema di coordinatecon la posizione occupata dalla particella ad un dato istante.

reazione vincolare e la forza che dobbiamo sostituire al vincolo per mantenerelo stesso stato di quiete o di moto del sistema.

203

resistenza idraulica e la resistenza al moto di un corpo in un fluido quandoquesta dipende in modo quadratico dalla velocita: R = − 1

2CxρAv~v[38,p.50].

resistenza viscosa e la resistenza al moto di un corpo in fluido quando questadipende linearmente dalla velocita: ~R = −h~v.

riferimento assoluto nome obsoleto che designava un sistema di riferimento so-lidale con il sole (fino a quando lo si riteneva fisso) o con la nostra galassia(fino a quando la si riteneva non rotante).

riferimento inerziale e un sistema nel quale vale il principio d’inerzia[30, p.10].

riferimento localmente inerziale e un riferimento che approssima un riferimen-to inerziale entro una certa estensione spaziale ed entro un certo intervallodi tempo. Tale e un satellite artificiale o un sistema in caduta libera nelcampo di gravita.

rigidezza per una molla ideale e la costante elastica k nella relazione f = k ∆Lmentre per una molla reale e la costante elastica k nella relazione f =

k ∆(L − L0)

risonanza quando un sistema e libero di vibrare (o oscillare) attorno ad una confi-gurazione di equilibrio stabile, se esso e allontanato dalla configurazione diequilibrio, vibra. Se il sistema ha un solo grado di liberta la sua vibrazioneha una determinata frequenza che si chiama frequenza propria o frequenzanaturale del sistema. Se il sistema ha n gradi di liberta vi sono n modi na-turali di vibrazione. Questi sono dei modi di oscillazione caratterizzati dalfatto che i diversi punti del sistema oscillano hanno la stessa frequenza edoscillano in fase. Se ora esercitiamo sul sistema una forza periodica che halo stesso periodo delle oscillazioni naturali, la vibrazione si amplifica diven-tando molto vistosa (e rumorosa e pericolosa). La coincidenza tra il periododelle oscillazioni impresse e quello delle oscillazioni proprie costituisce ilfenomeno della risonanza.

rotore di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale ~v(~r) si consi-deri un punto della regione in cui esso e definito e un piano passante pertale punto. In tale piano si consideri una linea chiusa (= circuito piano)contenente il punto e si valuti la circolazione del vettore lungo tale circuito:C =

∫~v(~r) · d~r. Al tendere a zero della massima dimensione del circui-

to tende a zero sia la circolazione che l’area A racchiusa. Si constata cheil limite del rapporto circolazione/area e, in generale, una quantita finita:Rn = lim C/A. Indicato con ~n il versore normale al piano si constata che si


puo istituire un vettore ~R tale che Rn = ~R · ~n. Tale vettore prende il nomedi rotore del vettore ~v nel punto considerato e si indica con rot × ~v o anche∇ × ~v.

rulletta in un moto rigido piano: e la linea luogo dei centri di istantanea rota-zione rispetto ad un osservatore solidale con il corpo rigido. Essa si chiamaanche polare mobile.

S

scalare abbreviato di grandezza scalare: grandezza fisica i cui valori sono numerie come tali possono essere messi in scala.

sforzi interni Nome obsoleto ♣ per azioni interne [vedi].

sistema adiabatico e un sistema che non scambia calore con l’esterno.

sistema aperto e un sistema che scambia materia con l’esterno.

sistema chiuso e un sistema che non scambia materia con l’esterno.

sistema conservativo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissi, lisci e aforze posizionali e conservative.

sistema continuo e un sistema meccanico che viene riguardato come un tuttounico. Tale e un filo, un’asta, una lamina, un fluido. ♣

sistema dinamico e un sistema di equazioni differenziali del primo ordine risoltorispetto alle derivate.

sistema di riferimento e costituito da una piattaforma ♣ dotata di una terna diassi cartesiani e di un’orologio.

sistema discreto e un sistema meccanico composto da un numero finito di par-ticelle o corpi rigidi. Tale e un orologio, una bicicletta, un meccanismo,ecc.

sistema fisico qualunque corpo o insieme di corpi, di natura qualsiasi sui qualisi intendano studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni fisici. Adesempio il corpo umano e un sistema fisico se ci limitiamo allo studio deifenomeni meccanici, elettrici, ottici, termici, elettromagnetici; diviene unsistema chimico se ne studiamo i fenomeni chimici; diviene un un sistemabiologico se ne studiamo i fenomeni biologici, ecc.

sistema meccanico e un sistema fisico sul quale ci limitiamo a considerare gliaspetti meccanici.

205

Sistema Internazionale di unita di misura. E un insieme di prescrizioni di unita,nomi e simboli delle grandezze fisiche frutto della armonizzazione di diver-se norme nazionali fra cui l’UNI italiana ♣. Si veda pag ...

sistema isolato e un sistema sul quale non agiscono forze dall’esterno.

sistema meccanico si intende qualunque corpo o insieme di corpi dei quali si in-tendano studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni meccanici, ovveroquelli connessi con la quiete o il moto.

sistema olonomo Un sistema meccanico si dice olonomo o anolonomo a secondache esso sia soggetto a vincoli olonomi o anolonomi [49, v.I, p.4]

spostamento di un punto Considerato il movimento di un punto nello spazio efissato un intervallo di tempo, si chiama spostamento del punto in quel-l’intervallo il vettore che unisce la posizione iniziale con quella finale delpunto. Esso non risente quindi delle posizioni intermedie del punto ed equindi indipendente dalla sua traiettoria. Lo spostamento di un punto du-rante un intervallo e uguale alla differenza tra i vettori raggi della posizionefinale ed iniziale del punto: ~s = ~r + − ~r − = ∆~r.

spostamento di un sistema e l’insieme degli spostamenti dei punti di un sistema.

spostamento effettivo in contrapposizione a quello virtuale: e lo spostamentoeffettivamente subito da un punto durante il moto in un tempo infinitesimo.

spostamento elicoidale e uno spostamento rototraslatorio particolare in cui latraslazione ha la stessa direzione dell’asse di rotazione. Si pensi allo spo-stamento di una chiave nella toppa della serratura.

spostamento irreversibile e uno spostamento tale che il suo opposto non e con-cesso dai vincoli. ♣

spostamento piano e lo spostamento di un sistema in cui tutti i punti sono paral-leli ad un piano.

spostamento polare e lo spostamento di un corpo rigido con un punto fisso.

spostamento reversibile e uno spostamento tale che anche il suo opposto e con-cesso dai vincoli. ♣

spostamento rotatorio di un corpo rigido: e uno spostamento rigido in cui duepunti hanno spostamento nullo. Si dimostra che tutti i punti della retta pas-sante per i due punti hanno spostamento nullo e tale retta si chiama assedella rotazione.


spostamento rototraslatorio e uno spostamento rigido composto di una trasla-zione e di una rotazione.

spostamento traslatorio di un corpo rigido: e uno spostamento rigido in cui tuttii punti hanno lo stesso spostamento.

spostamento virtuale Si distingue tra

1. di un punto: e uno spostamento pensato a titolo di prova, quindi noneffettivamente eseguito e compatibile con i vincoli del sistema. Essopuo essere descritto dal vettore che congiunge la posizione attuale delpunto con un’altra posizione che il punto potrebbe occupare compati-bilmente con i vincoli del sistema. Qualora i vincoli siano mobili lospostamento virtuale si intende compiuto fissando i vincoli all’istanteche si considera.

2. di un sistema: e l’insieme degli spostamenti virtuali di tutti i puntidel sistema.

T

tangente ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro punto P′ dellalinea si consideri la retta PP′ che e secante la curva: facendo tendere P′ aP la secante tende ad una retta limite che si dice tangente alla linea in P.

tempo La nozione di tempo sfugge a qualsiasi definizione ed e quindi presa comenozione primitiva. Il tempo puo essere concepito come un insieme di istantio di intervalli:

• l’istante e una particella di tempo senza durata: esso serve per indi-care una data, un appuntamento, una coincidenza, l’inizio o la fine diun processo, ecc. L’istante viene solitamente indicato con t.

• l’intervallo e invece il lasso di tempo che intercorre tra due istanti:esso serve per indicare l’estensione temporale di un processo. La mi-sura di un intervallo prende il nome di durata o anche di periodo. Ladurata viene solitamente indicata con T o con τ. L’unita di misuradella durata e il secondo, simbolo s.

Una breve riflessione indica che ogni volta che nominiamo il tempo o indichiamoun istante o un intervallo. Esaminiamo la seguente descrizione: Siamo partiti alle7.40 (istante) e siamo giunti alle 9.40 (istante) dopo 2 ore di viaggio (intervallo). Lacerimonia e iniziata alle 10.10 (istante) ed e durata un’ora abbondante (intervallo)e alle 12.30 (istante) siamo andati a pranzo. Tra una portata e l’altra intercorrevano20 minuti (intervallo). Siamo stati a tavola fino alle 15! (istante). Siamo ripartiti

207

alle 18 (istante) e abbiamo impiegato ben quattro ore (intervallo) per giungere acasa.

teorema dell’energia afferma che in un sistema la variazione dell’energia cineti-ca e uguale al lavoro fatto dalle forze agenti sul sistema, siano esse interneod esterne, attive o reattive, di volume o di superficie. In formule ∆T = Win cui W e il lavoro.

teorema di Chasles (nel piano): uno spostamento rigido piano, che non sia tra-slatorio, si puo sempre ridurre ad uno spostamento rotatorio. Indicati conA e B due punti del corpo rigido e con A′ e B′ le posizioni finali di A eB, il centro di rotazione si determina come intersezione degli assi di duesegmenti AA′ e BB′.

(nello spazio) Uno spostamento rigido si puo ridurre in infiniti modi ad unospostamento rototraslatorio, sempre con il medesimo vettore rotazione, edin un unico modo ad uno spostamento elicoidale (caratterizzato dal fattoche la traslazione ha la stessa direzione del vettore rotazione).

teorema di Konig afferma che l’energia cinetica di un sistema e uguale alla som-ma di quella che ha il suo baricentro se in esso vi immaginiamo concentratal’intera massa piu quella relativa al baricentro.

teorema di Eulero sullo spostamento polare: ogni spostamento polare (quindicon un punto fisso) e rotatorio (cioe ha due punti fissi).

terna intrinseca sinonimo di triedro intrinseco.♣

trasformazioni canoniche Usate in meccanica analitica. Sono quelle trasforma-zioni delle coordinate generalizzate (=lagrangiane) qk e dei momenti ge-neralizzati pk che lasciano immutata la forma delle equazioni di moto diHamilton. Il termine momento e usato nella letteratura inglese: esso indicala quantita di moto (inglese: momentum).

triedro intrinseco o triedro principale ad una linea in un suo punto: e il triedroformato dai tre versori tangente, normale principale e binormale nel puntoe dai tre piani normale, osculatore e rettificante.

V

velocita ~v

• velocita media di un punto (=particella) in un intervallo di tempo ilrapporto tra lo spostamento del punto nell’intervallo e la durata del-l’intervallo stesso. Essa e anche il rapporto tra la variazione del vettore


raggio e l’intervallo di tempo

~vdef=~sτ

=∆~r∆t

(E.27)

• velocita istantanea e il limite della velocita media quando la duratadell’intervallo tende a zero

~vdef= lim

τ−→0

~sτ

= lim∆t−→0

∆~r∆t

=d~rdt

(E.28)

Quest’ultima e comunenemente chiamata velocita.

Si noti che una misura fornisce sempre una velocita media in quanto neces-sita di un intervallo, anche se piccolo: la velocita istantanea e una nozionematematica ottenuta idealizzando la nozione di velocita media passando allimite.

La velocita (= velocita istantanea) di un punto e diretta secondo la tangentealla traiettoria.

Si noti che non e corretto affermare che la velocita e la derivata dello spostamentoin quanto essa e la derivata del vettore raggio. Qualora si disponga la terna di assidel sistema di riferimento in una posizione del punto scelta come posizione inizialeallora lo spostamento da quella posizione prende il nome di spostamento inizialee coincide con il vettore raggio. Solo in questo caso la velocita si puo considerarecome la derivata dello spostamento iniziale.

velocita angolare ω, ~ω, ~Ω Consideriamo dapprima un corpo rigido che ruota at-torno ad un asse fisso:

• velocita angolare media e il rapporto tra l’angolo descritto dal raggiovettore in un intervallo di tempo e la durata dell’intervallo.

• velocita angolare istantanea Consideriamo un istante t contenutonell’intervallo e sfacciamo tendere a zero l’intervallo attorno all’istan-te. Il limite della velocita angolare media quando la durata dell’in-tervallo tende a zero, prende il nome di velocita angolare istantaneadel corpo rigido a quell’istante. Quest’ultima si chiama brevementevelocita angolare e la si indica con ω. 2

Quando si vuole indicare non solo l’entita della velocita angolare ma an-che la direzione dell’asse si istituisce un vettore con la direzione dell’asse,il modulo uguale alla velocita angolare ed il verso ottenuto applicando la

2 Pronuncia omega ♣ , con l’accento sulla e: si veda il dizionario ....

209

regola del cavatappi al senso di rotazione. Si ottiene in tal modo il vettorevelocita angolare che si indica con ~ω.

Si noti che la velocita angolare e un attributo di un corpo rigido e quindinon ha un naturale punto di applicazione: a differenza della forza che e,in generale un vettore applicato, si tratta di un vettore libero, vale a direnon ha un suo naturale punto di applicazione. Si noti anche che non hasenso parlare di velocita angolare di un punto. Se consideriamo un puntoche descrive una circonferenza non ha senso parlare di velocita angolare delpunto: si puo invece mentre ha senso parlare di velocita angolare del raggioche congiunge il centro della circonferenza con il punto in moto.

L’unita di misura della velocita angolare e il radiante per secondo e si scriverad/s. La velocita angolare della terra, ad esempio, e di 6.28/ (24*3600)rad/s.

Se il corpo rigido non ha un asse fisso, ma un punto fisso, il vettore velo-cita angolare ha la direzione dell’asse di istantanea rotazione [vedi] . Se ilcorpo rigido e libero il vettore ha la direzione dell’asse di moto [vedi] . ♣[SPIEGARE]

velocita areale A Nel moto centrale di un punto [vedi] e l’area descritta dalraggio vettore per unita di tempo[30, p.38]

Adef=

AT

Adef= lim

T−→0

AT

~A =12~r × ~v (E.29)

Anche qui si puo distinguere una velocita areale media ed una velocitaareale istantanea, quest’ultima denominata semplicemente velocita areale.

velocita di fuga nel moto gravitazionale designa la velocita che deve avere unaparticella per sfuggire all’attrazione terrestre. La velocita di fuga non di-pende dalla direzione della velocita iniziale ma solo dalla sua posizione.Per un campo sulla superficie terrestre e di circa 11 Km/s.

velocita virtuale nozione poco felice in quanto nasce dal rapporto fra lo sposta-mento virtuale (che non coinvolge un intervallo di tempo) e un intervallo ditempo infinitesimo arbitrario.

verga sinonimo di asta [vedi] .

versore vettore di lunghezza unitaria. Lo si indica mettendo un accento circon-flesso sopra il simbolo: ad es. n, t, b, ...


versore tangente ~t ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro puntoP′ della linea, si consideri la retta PP′ che e secante la curva: facendotendere P′ a P la secante tende ad una retta limite che si dice tangente allalinea in P. Il versore tangente e dato dalla formula

~t =d~rds

(E.30)

vettore La nozione di vettore e stata introdotta da Hamilton (19..♣) per indicareun ente geometrico costituito da un segmento orientato. Questo segmentoe concepito come un veicolo (dal latino vehere) che trasporta un punto A(origine del vettore) in un punto B (termine del vettore). Il termine vetto-re si usa per denotare i mezzi di trasporto, quali gli aerei e gli autobus. Ilprototipo dei vettori e lo spostamento di un punto. Altre grandezze fisichesono rappresentabili con un vettore: tali sono la velocita, la forza, la quan-tita i moto, il momento di una forza, ecc. Questa definizione ha reso moltoservizio alla fisica in genere e alla meccanica in particolare. Sui vettori so-no state definite le operazioni di somma, prodotto per un numero, prodottoscalare e prodotto vettoriale.

A partire dagli inizi di questo secolo ♣ la nozione di vettore ha subıto unaradicale estensione. Osservato che le due operazioni fondamentali sono lasomma di due vettori ed il prodotto di un vettore per un numero si e decisodi dare una definizione piu estesa di vettore. Consideriamo enti matematiciche si possano sommare e moltiplicare per un numero, quali, ad esempio, lefunzioni di una variabile. Questi enti formano un insieme in cui sono defini-te le due operazioni suddette. Un insieme dotato di questa struttura prendeil nome di spazio vettoriale. Gli elementi di questo insieme prendono allorail nome di vettori. Ne viene che sono vettori le funzioni di una variabile,quelle di due o piu variabili, le matrici m × n, le successioni numeriche ecosı via.

Come si vede il salto tra la vecchia e la nuova definizione e molto gran-de! La vecchia nozione di prodotto scalare tra due vettori viene estesa nellanuova definizione mentre quella di prodotto vettoriale (due vettori che dan-no luogo ad un terzo vettore) rimane ancorata allo spazio tridimensionalee non e suscettibile di estensione. Nella nuova definizione perde senso lanozione di punto di applicazione di un vettore, di vettore scorrevole e divettore libero.

La nozione di vettore alla vecchia maniera rimane molto utile per la fisica, inparticolare per la meccanica newtoniana. Il prodotto vettoriale e essenziale.La nozione estesa di vettore torna utile in molti campi della matematica,della fisica e della tecnica.

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vettore applicato E il vettore per eccellenza, quello introdotto da Hamilton. Es-so e un ente caratterizzato da un punto di applicazione, una retta che da ladirezione, un verso sulla retta ed un modulo o intensita del vettore. Talisono lo spostamento di un punto, la velocita di un punto, il vettore campoelettrico in un punto, la forza applicata in un punto di un corpo, il momentodi una forza rispetto ad un punto, ecc.

vettore assiale vettore che descrive una grandezza fisica utilizzando la regoladella vite.

vettore libero La velocita angolare di un corpo rigido e caratterizzata da una di-rezione, un senso ed un modulo ma non ha importanza la sua retta di ap-plicazione e tantomeno il suo punto di applicazione. Per questa ragione sichiama vettore libero.

vettore scorrevole Le forze applicate a corpi rigidi possono scorrere lungo laloro retta di applicazione senza causare variazioni dello stato di quiete o dimoto del corpo. Per questa ragione esse costituiscono dei vettori scorrevolio cursori. Nei vettori scorrevoli e essenziale la retta di applicazione, il sensoed il modulo.

vettore polare termine usato in contrapposizione a vettore assiale.

vibrazione di un sistema meccanico: sinonimo di oscillazione. Generalmenteil termine oscillazione si usa per il moto di una particella e per il motod’assieme di un corpo rigido, ad esempio le oscillazioni di un pendolo, diun lampadario, di una barca.

Il termine vibrazione si usa per indicare i rapidi cambiamenti di configu-razione di un sistema deformabile. Cosı si parla di vibrazioni di un edifi-cio, di vibrazioni del vetro di una finestra, di vibrazioni dell’aria. Questadistinzione tra i due termini non e spesso rispettata.

vincolo e tutto cio che limita la liberta di movimento di un sistema. Un vincolopuo essere di posizione o di movimento: un vincolo di posizione limita leconfigurazioni che il sistema puo assumere; un vincolo di movimento limitail modo con il quale il sistema puo andare da una configurazione ad un’altra.Si pensi al parcheggio di una motocicletta o di un’auto: esso e soggetto avincoli di movimento che costringono a fare manovra per raggiungere unaconfigurazione desiderata.

vincolo anolonomo detto anche vincolo di mobilita o vincolo cinematico. E unvincolo che limita il modo di muoversi di un sistema nel passare da una


configurazione ad un’altra senza limitare le configurazioni che il sistemapuo assumere. E caratteristico di un vincolo anolonomo il fatto di legare levariazioni delle coordinate di configurazione e quindi di dar luogo ad equa-zioni differenziali non integrabili (di qui il termine anolonomo, dal grecoholos che significa intero, integro, integrabile). Le equazioni non sono in-tegrabili nel senso che non si possono ricondurre a relazioni finite fra lecoordinate libere se non specificando la traiettoria che si intende seguire.[Fb, 25]

vincolo bilaterale o bilatero. E un vincolo che per ogni spostamento concessoconcede anche il suo opposto.

vincolo dissipativo vincolo scabro che fa perdere energia al sistema. Noi cam-miniamo in virtu del fatto che il terreno e un vincolo scabro: poiche nonstrusciamo ♣ i piedi il vincolo e non dissipativo (per fortuna!). Per riscal-darci le mani le sfreghiamo energicamente l’una con l’altra: il vincolo diuna mano e l’altra mano e tale vincolo e scabro e dissipativo.

vincolo fisso E un vincolo di posizione che non varia nel tempo. Una volta siusava il termine vincolo scleronomo (radice di sclerosi ♣).

vincolo liscio E un vincolo privo di attrito e che quindi non manifesta resistenzaal movimento che esso concede.

vincolo mobile E un vincolo che varia di posizione nel tempo. E anche chiamatovincolo reonomo.

vincolo olonomo detto anche vincolo geometrico o vincolo di posizione. Termineusato in contrapposizione a vincolo anolonomo [vedi] . [Fb, 25] ♣

vincolo reonomo termine obsoleto sinonimo di vincolo mobile [vedi].

vincolo scabro E un vincolo dotato di attrito e che quindi manifesta resistenzaal movimento che esso concede. Non e necessariamente dissipativo [vedi]come nel caso di una ruota soggetta a puro rotolamento.

vincolo scleronomo termine obsoleto sinonimo di vincolo fisso.

vincolo unilaterale o unilatero. E un vincolo che ammette almeno uno sposta-mento irreversibile [vedi].

W

E.1. BIBLIOGRAFIA 213

watt W e l’unita di misura della potenza nel Sistema Internazionale (simboloW). Esso e il rapporto tra joule / secondo (W=J s−1). Una volta si usa-va chilogrammetro al secondo, pari a 9,81 watt ed il cavallo vapore pari a9.81x75=736 watt.

E.1 bibliografia

Quando lo studio del libro di testo pone delle difficolta, un argomento e maleespresso o poco chiaro, o troppo sinteticamente trattato e opportuno ricorrere adaltri libri.

Spesso si perde un pomeriggio per capire un passaggio, un argomento, unaformula: e tempo usato male, veramente sprecato. E meglio andare in una biblio-teca, cercare un testo diverso, e ivi leggere lo stesso argomento. Puo essere che ildiverso modo di esporre la stessa cosa, una diversa nomenclatura o anche soltantoun esempio facciano capire senza difficolta quello che non si era capito sul testo.

Quindi non si abbia paura di allungare una preparazione consultando un al-tro libro (consultare, non studiare tutto il libro!). Eventuali differenze di nomen-clature anche se fastidiose, abituano ad una certa elasticita indispensabile nellaprofessione.

Tutto questo ha lo scopo di far minor fatica e di impiegare minor tempo con ilrisultato di capire meglio, il che non e poca cosa.

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