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il metodo delle celle
prof. Enzo Tonti
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Da tre secoli a questa parte le equazioni fondamentali di tutti i campi della fisica sono state scritte
in forma differenziale.
Laplace per l’elettrostatica, la gravità, …
Poisson per l’elettrostatica, la conduzione, …
d’Alembert per le onde di qualsiasi natura
Fourier per la conduzione termica
Navier per i solidi elastici
Eulero per i fluidi perfetti
Fick per la diffusione
Navier-Stokes per la dinamica dei fluidi viscosi
Maxwell per il campo elettromagnetico
Airy per l’elasticità piana
Helmholtz per le onde
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La stessa cosa vale per la meccanica del mondo atomico, chiamata meccanica quantistica
Schroedinger particelle senza spin Klein-Gordon particelle senza spin in regime relativisticoProca particelle a spin intero in regime relativisticoDirac particelle a spin semi-intero in regime relativisticoEinstein gravitazione relativistica Boltzmann meccanica statistica
ecc..
…. sempre e solo equazioni differenziali !
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un campionario di equazioni di campo don’t worry! Be happy!
0 ( )div B Gauss magnetico=r
( )div D Gauss elettricoρ=r
trot H D J Ampère−∂ =r r r
0trot E B Faraday+∂ =r r
elettromagnetismo
2tc u u Fourierλ σ∂ − ∇ =conduzione termica, diffusione, filtrazione
2u Poissonε ρ− ∇ =
2 0u Laplace−∇ =campi vari (elettrostatica, fluidi perfetti inmoto stazionario, torsione, ecc.)
2( ) ( ) 0u u f Navierλ μ μ+ ∇ ∇⋅ + ∇ + =rr r
elasticità
22
2 2
1'
uu d Alembert
v tσ∂
−∇ =∂
2 2 0u k u Helmholtz∇ + =onde (acustiche, elettromagnetiche)
2Dvp f v Navier Stokes
Dtρ μ=−∇ + + ∇ −
r r rfluidodinamica
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Sennonché la loro risoluzione, al di fuori di pochi casi semplicissimi, è possibile solo in termini numerici e questo richiede una preliminare riduzione delle equazioni differenziali ad equazioni algebriche, processo noto col nome di discretizzazione.
Da qualche anno è stato dimostratoche è possibile invertire questo processo
esprimendo le leggi fisiche direttamente in forma algebricaper poi arrivare
qualora sia richiestoalla formulazione differenziale.
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Questo nuovo modo di procedere è in accordo sia con le misure fisiche, che sono per loro natura discrete, che con il calcolatore digitale che opera solo nel discreto.
Si tratta di far emergere una filosofia che parta dal discreto, che operi nel discreto
e che fornisca la soluzione in forma discreta,
sostituendo all’ ε piccolo a piacere una tolleranza prefissata.
questo seminario
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BEMFDM
dal discreto al differenziale … per tornare al discreto !
campofisico
soluzioneapprossimata
equazionialgebriche
FVMFEM
equazionidifferenziali
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Per descriverlo diamo uno sguardo ad alcuni tipi di problemi
che si incontrano nell’ingegneria.
è questo il Cell Method (CM).
Questo metodo è anche chiamato Questo metodo è anche chiamato
Discrete Geometrical Approach (DGA)e anche e anche
Direct Discrete Method (DDM)
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la conduzione termica,
la meccanica dei solidi deformabili,
la meccanica dei fluidi,
l’elettromagnetismo
Con questo intento diamo uno sguardo a quattro teorie fisiche.
Il problema fondamentale di un campo fisico
è quello di determinare la configurazione del campo
una volta assegnate le sorgenti del campo.
SorgenteSorgente(causa)(causa)
!!
ConfigurazioneConfigurazione(effetto)(effetto)
??
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1) conduzione termica
Il calore generato dalle sorgenti termiche si propaga da una regione all’altra
a causa dalle differenze di temperatura.
Una volta assegnate le sorgenti di calore, la loro posizione e la loro intensità,
il problema fondamentale della conduzione termica è quello di determinare
la temperatura in ogni punto della regione che stiamo studiando.
Dal momento che il calore va dalle regioni a temperatura più alta a quelle di
temperatura più bassa, deve esistere una legge che descriva come
il calore si propaga. Una di queste leggi è costituita dal bilancio di energia.
Un’altra legge afferma che la quantità di calore che transita attraverso
un elemento di superficie dipenderà dalla differenza di temperatura fra
i due punti che stanno a cavallo della superficie.
Il legame sarà espresso da una equazione costitutiva,
la legge elementare di Fourier.
( , , , ) ?T t x y z =temperatura
equazione costitutiva
equazione di bilancio
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2) meccanica dei solidi deformabili
Consideriamo la deformazione elastica di un corpo solido.
Le forze agenti su un corpo generano la deformazione.
La deformazione si propaga da una regione all’altra del corpo determinando
lo spostamento dei punti del corpo.
Una volta assegnate le forze, la loro posizione, la direzione e l’intensità,
il problema fondamentale della teoria dell’elasticità è quello di determinare lo
spostamento di ogni punto del corpo, a partire da una configurazione indeformata.
Dal momento che la deformazione si trasmette da punto a punto,
devono esistere delle leggi che regolano il modo con il quale essa si propaga.
( , , , ) ?u t x y z =r
spostamento
Un’altra legge descrive il comportamento elastico del materiale: questa è l’equazione costitutiva di Hooke.
Una di queste leggi impone l’equilibrio, se la deformazione è statica, o il bilancio della quantità di moto se la deformazione è dinamica.
equazione di bilancioequazione di bilancio
equazione costitutiva
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3) meccanica dei fluidi
Consideriamo il moto di un fluido, liquido o gas.
Il moto è generato dalle differenze di pressione da una regione ad un’altra
del fluido. A sua volta la pressione varia da un punto all’altro in conseguenza
del moto del fluido. Se il fluido è un gas anche le differenze di temperatura
contribuiscono al moto del fluido.
Il problema fondamentale della dinamica dei fluidi è quello di determinare
la velocità, la pressione e la temperatura in ogni punto del fluido ad ogni istante:
( , , , ) ? ( , , , ) ? ( , , , ) ?v t x y z p t x y z T t x y z= = =r
Dal momento che il fluido si muove sotto l’azione delle differenze di
pressione e di temperatura devono esistere delle leggi che regolano
il moto. Una di queste leggi richiede la conservazione della massa,
un’altra richiede la conservazione dell’energia,
una terza richiede il bilancio della quantità di moto.
Naturalmente vi sono anche qui delle equazioni costitutive.
equazioni di bilancio
equazioni costitutive
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4) elettromagnetismo
Consideriamo il campo elettromagnetico generato da cariche elettriche
in quiete ed in moto. La descrizione del campo è fatta da due grandezze:
il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico A.
Il problema fondamentale dell’elettromagnetismo è il seguente:
assegnata la distribuzione spaziale e temporale delle cariche e delle correnti,
determinare il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico
in ogni punto del campo ad ogni istante:
( , , , ) ? ( , , , ) ?t x y z A t x y zφ = =r
due equazioni di bilancio (teoremi di Gauss elettrico e magnetico)
due equazioni circuitali (di Faraday e di Ampère) che sono anch’esse
di bilancio nello spazio-tempo
e sono note come equazioni di Maxwell.
una equazione che esprime la conservazione della carica elettrica.
vi sono tre equazioni costitutive.
equazioni di bilancio
equazioni costitutive
Quali sono le equazioni del campo?
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le funzioni da determinare
Abbiamo detto che in ciascun campo l’obiettivo è di determinare delle
funzioni, scalari o vettoriali ad ogni istante e in ogni punto.
( , , , ) ?v t x y z =r
( , , , ) ?u t x y z =r
( , , , ) ?T t x y z =
( , , , ) ?p t x y z =
Poniamoci la domanda:
e’ facile risolvere
le equazioni differenziali alle derivate parziali
che si incontranonei problemi dell’ingegneria ?
( , , , ) ?A t x y z =r
( , , , ) ?t x y zφ = ?
temperatura
spostamento
velocità
pressione
potenziale elettrico
potenziale vettore magnetico
per ragioni puramente storiche
queste leggi sono espresse da
equazioni differenziali alle derivate parziali.
...
non è affatto facile ! Occorre utilizzare tecniche numeriche
che obbligano all’uso del calcolatore.
Questo richiede di trasformare le equazioni differenziali
in un sistema di equazioni algebriche
mediante uno dei tanti metodi di discretizzazione.
La risposta è:
a1,1x1a1,2x2 ...a1,nxnb1
a2,1x1a2,2x2 ...a2,nxnb2
...
an,1x1an,2x2 ...an,nxnbn
...
a1,1T1a1,2T2 ...a1,nTnb1
a2,1T1a2,2T2 ...a2,nTnb2
...
an,1T1an,2T2 ...an,nTnbn
€
−ε∂2T (x, y, z)
∂x2 +∂ 2T (x, y, z)
∂y2 +∂ 2T (x, y, z)
∂z2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭= ρ (x, y, z)
l’equazione differenziale viene approssimata l’equazione differenziale viene approssimata con un sistema di equazioni algebriche lineari.con un sistema di equazioni algebriche lineari.
che è facilmente risolubile da un calcolatore digitale,che è facilmente risolubile da un calcolatore digitale,anche se le grandezze incognite sono migliaia anche se le grandezze incognite sono migliaia o decine di migliaia!o decine di migliaia!
è sostituita da un sistema del tipoè sostituita da un sistema del tipo
Ad esempio l’equazione di PoissonAd esempio l’equazione di Poisson
...
È possibile
una formulazione algebrica DIRETTA
dei campi fisici ?
?
La varietà dei metodi di discretizzazione
fa nascere la seguente domanda:
...
è facile !
è possibile !
è intuitiva !
è pronta per la risoluzione numerica !
Vogliamo dimostrare che una formulazione algebricaDIRETTA delle leggi di campo
...
una equazione
costitutiva
una equazione di
bilancio
per fare questo occorrono due cose:
equazione costitutiva
equazione di bilancio
...
Il bilancioIl bilancioIl bilancioIl bilancio
cos’è un bilancio?
...
NNdopodopo = N = Nprimaprima - N - Nusciteuscite
NNprima prima = 6= 6
NNdopodopo = N = Nprimaprima + N + Nentrateentrate
NNdopo dopo = 6= 6NNprima prima = 5= 5 NNentrate entrate = 1= 1
NNuscite uscite = 2= 2NNdopo dopo = 4= 4
Bilancio,Bilancio, bilancia, bilancia,bilanciare, uguagliare, bilanciare, uguagliare,
rendere uguale.rendere uguale.
€
ΔU =Q+WPrimo principio Primo principio
della termodinamicadella termodinamica
€
∂ρ∂t
+ div j= 0
Equazione di continuitàEquazione di continuitàIn forma differenzialeIn forma differenziale
(N(Ndopodopo - N - Nprimaprima) = N) = Nentrateentrate
(N(Ndopodopo - N - Nprimaprima) + N) + Nuscite uscite = 0= 0
Una Una equazione di bilancioequazione di bilancio afferma che afferma che una quantità prodotta entro un volume una quantità prodotta entro un volume in un dato intervallo di tempo,in un dato intervallo di tempo,è uguale alla quantità accumulata è uguale alla quantità accumulata più la quantità uscente più la quantità uscente nello stesso intervallo di tempo. nello stesso intervallo di tempo.
Se la quantità non viene prodotta Se la quantità non viene prodotta La grandezza viene conservata.La grandezza viene conservata.In questo caso l’equazione di bilancio In questo caso l’equazione di bilancio si chiamasi chiama
equazione di conservazioneequazione di conservazioneo ancheo anche equazione di continuità equazione di continuità. .
Consideriamo una fabbrica di bottiglie. Dalla fornace escono bottiglie (produzione):una parte di queste viene immagazzinata (accumulo) ed una parte viene mandata fuori (flusso).
cos’è un bilancio?
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Un bilancio è una relazione che riguarda quelle grandezze per le quali abbia senso parlare di
produzionedi accumulo
e di flusso. Tali grandezze sono: il numero di particelle o di oggetti,la massa, la carica elettrica, la quantità di moto, il momento della quantità di moto, l’energia, l’entropia
...
Un bilancio vale nel finito prima che nell’infinitesimo
Per l’equilibrio di un corpo occorre che la somma delle forze di volume
(solitamente i pesi) e di quelle di superficie sia nulla.
Orbene un bilancio vale per qualunque porzione di corpo al quale è applicato• per qualunque regione del campo, qualunque sia la forma della regione• qualunque sia la sua dimensione • qualunque sia l’intervallo di tempo• qualunque sia il materiale che riempie la regione.• In particolare non c’è bisogno di ridursi ad un volumetto infinitesimo.
Così una nave sta in equilibrio perché il suo peso è equilibrato dalla spinta dell’acqua sulla carena.
Un pezzo di materiale nell’interno di un corposta in equilibrio perché le forze di volumesono equilibrate dalle forze interne di superficie.
...
Un bilancio vale nel finito prima che nell’infinitesimo !
E allora per quale ragione lo applichiamo ad un volumetto infinitesimo
di dimensioni dx,dy,dz così da ottenere una equazione differenziale?
xx yy
zz
dydy
dzdz
dxdx
zz
xxyy
formulazione formulazione discreta= formulazione algebrica = formulazione algebrica
= formulazione finita= formulazione finitaformulazione formulazione differenziale
sistema di equazioni sistema di equazioni algebricheequazione differenziale equazione differenziale
alle alle derivate parziali ...
...
Apologia del “bilancio”
Le equazioni fondamentali dei fenomeni fisici nascono da un bilancio:
nella statica dei solidi deformabili è essenziale l’equilibrio
che si esprime facendo il bilancio delle forze
nella fluidodinamica sono essenziali il bilancio della massa
ed il bilancio della quantità di moto
nella conduzione termica è essenziale il bilancio dell’energia
nella chimica le reazioni chimiche esprimono il bilancio della massa
nella teoria delle reti elettriche è essenziale il bilancio delle corrente
nell’elettromagnetismo si fa il bilancio della carica
nella termodinamica si scrive il bilancio dell’entropia
ecc.
QQaccumulata accumulata + Q+ Quscenteuscente = Q = Qprodottaprodotta
QQaccumulata accumulata + Q+ Quscenteuscente = 0 = 0
Equazione di Equazione di bilanciobilancio
caso particolare: equazione di caso particolare: equazione di conservazioneconservazione (o di (o di continuitàcontinuità))
quantità di moto, quantità di moto, momento della quantità di moto, momento della quantità di moto,
entropia, entropia, massa (di una componente in una reazione chimica)massa (di una componente in una reazione chimica)
carica elettrica, carica elettrica, massa (totale), massa (totale),
numero di particelle, numero di particelle, energia.energia.
...
equazioni costitutive
...
legge della trasmissione del calore
Questa è la legge elementare del calore di Fourier.Questa è la legge elementare del calore di Fourier.
TTA A TTBB
il calore va dal caldo al freddoil calore va dal caldo al freddo
...
Consideriamo una superficie piana di area Consideriamo una superficie piana di area AA (superficie puramente geometrica quindi non fatta di un qualche materiale).(superficie puramente geometrica quindi non fatta di un qualche materiale).Consideriamo una retta orientata ortogonale alla superficie;Consideriamo una retta orientata ortogonale alla superficie;su di essa due punti A e B a cavallo della superficie e sia su di essa due punti A e B a cavallo della superficie e sia dd la loro distanza. la loro distanza.Indichiamo con Indichiamo con TTAA e e TTBB le temperature nei due punti. le temperature nei due punti.
Sia Sia la quantità di calore che attraversa la superficie nell’unità di tempo. la quantità di calore che attraversa la superficie nell’unità di tempo.L’esperienza dice che, in una regione in cui il flusso di calore èL’esperienza dice che, in una regione in cui il flusso di calore è uniformeuniforme,,il calore il calore che attraversa la superficie è proporzionale al salto di temperatura, che attraversa la superficie è proporzionale al salto di temperatura, ( T( TAA - T - TBB ) )
inversamente proporzionale alla distanza inversamente proporzionale alla distanza dd tra i due punti, tra i due punti, proporzionale all’area della superficie.proporzionale all’area della superficie.
area:area: AAtemperatura:temperatura: TTAA
distanza:distanza: dd
temperatura:temperatura: TTBB
corrente di calore:
corrente di calore: AA
BB
λATA TB
d
legge della trasmissione del calore
legge elementare del calore di Fourierlegge elementare del calore di Fourier
...
λ dipende dal materialedipende dal materialeentro il quale si propaga il caloreentro il quale si propaga il calore
questa è una equazione questa è una equazione costitutivacostitutiva
per il seguito è meglio scriverla nella formaper il seguito è meglio scriverla nella forma
AA
BB
è la corrente di calore (in watt)è la corrente di calore (in watt)
λATB TA
d
λATA TB
d
altre leggi costitutive (risentono del materiale)
...
fluido in mezzo porosofluido in mezzo poroso(legge di Darcy)(legge di Darcy)
JJmm = = -- grad p grad p kk
μμk
μA
pB pA
d
viscositàviscosità(legge di Newton)(legge di Newton) == μ μ T μA
vB vA
d
elettrostaticaelettrostatica(legge senza nome)(legge senza nome) QQ = C V= C V QQ = = εε A A ΔΔ
ddεAB A
d
diffusionediffusione(legge di Fick)(legge di Fick) DA
cB cA
dJmD grad c
elasticitàelasticità(legge di Hooke)(legge di Hooke)
σσ = E= E εε N = E A N = E A ΔΔLLLL N EA
uB uA
d
conduzione elettricaconduzione elettrica(legge di Ohm)(legge di Ohm)
V = R IV = R II σAB A
dJσ E
€
funzioni con andamento lineare = funzioni affinifunzioni con andamento lineare = funzioni affini
uax lineare
uu
xx
uu
u pax affinexx
T(x,y,z) paxbycz
T(x,y,z)cost paxbyczqpiani equidistantipiani equidistanti
isotermeisoterme
xx yy
zz
...
T paxby affine
rette equidistantirette equidistanti
T(x,y) paxbyqisotermeisoterme
xx
yy
cost
l’equazione fondamentale di ogni teoria
...
L’equazione fondamentale di ogni teoria della fisica, qualiL’equazione fondamentale di ogni teoria della fisica, quali
si ottiene componendo unasi ottiene componendo unaequazione di bilancioequazione di bilanciocon una equazione con una equazione costitutivacostitutiva..
equazione fondamentale
equazione costitutiva ==
l’elettromagnetismo (fisica, elettrotecnica, antenne, ecc)
++equazione di bilancio
la conduzione termica (fisica tecnica)
la meccanica dei solidi
deformabili (scienza e tecnica delle costruzioni, macchine)
la meccanica dei fluidi (idraulica, fluidodinamica)
l’equazione fondamentale di ogni teoria
...
poiché le equazioni di bilancio nascono in forma poiché le equazioni di bilancio nascono in forma discretadiscretae le equazioni costitutive nascono in forma e le equazioni costitutive nascono in forma discretadiscreta
ne viene che anche l’equazione fondamentale è in forma ne viene che anche l’equazione fondamentale è in forma discretadiscreta
in questo modo abbiamo ottenuto l’equazione fondamentale in questo modo abbiamo ottenuto l’equazione fondamentale di ognuna delle teorie considerate in forma discreta e la lorodi ognuna delle teorie considerate in forma discreta e la lorosoluzione si può ottenere per via soluzione si può ottenere per via algebricaalgebrica..
Non abbiamo dovuto Non abbiamo dovuto discretizzare le equazioni differenziali !discretizzare le equazioni differenziali !
questo seminario
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Evitiamo quindi un passaggio inutile !
equazionidifferenziali
campofisico
soluzioneapprossimata
equazionialgebriche
indirizzi
www.discretephysics.dicar.units.it
Pubblicazioni relative
alla formulazione algebrica
e al metodo delle celle
si possono scaricare dal sito:
Prof. Enzo Tonti, Dipartimento di Ingegneria Civile
dell’Università di Trieste, Piazzale Europa 1, 34127 Trieste
Tel: 040 558 3846
ftp://ftp.dicar.units.it/Pub/Studenti/TONTI/Science/
Dispense relative alle celle si possono scaricare via “ftp” dal sito
la formulazione algebrica si applica a:
regioni di forma qualsiasi, con buchi, punte, fessure, incavi, ecc.
• regioni contenenti materiali diversi
• materiali anisotropi
• materiali nonlineari
• materiali sinterizzati
• tratta con naturalezza sorgenti concentrate
• non presenta infiniti
• consente ordini di convergenza di ordine superiore al secondo
• si applica con semplicità alla frattura
...
caratteristiche della formulazione algebrica
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