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Marzo 2013 – Prof.ssa P. Barberis EQUAZIONI ESPONENZIALI Le equazioni esponenziali sono equazioni nelle quali la variabile x si trova nell’esponente. La FORMA NORMALE si presenta come uguaglianza di POTENZE aventi la STESSA BASE . Si risolve uguagliando gli esponenti, come indicato nella seguente regola: a f ( x ) = a g ( x ) ! f ( x ) = g( x ) prerequisiti : negli esercizi occorre applicare le PROPRIETA’ DELLE POTENZE: a n ! a m = a n + m a n a m = a n : a m = a n ! m ( a n ) m = a n ! m a m n = a m n a 1 = a a 0 = 1 EQUAZIONI ESPONENZIALI ELEMENTARI sono formate dall’uguaglianza fra due termini : per risolverle devo riscrivere i termini sotto forma di potenza usando la stessa base e poi uguaglio ( confronto ) gli esponenti 2 x = 32 ! trasformo in base due ! 2 x = 2 5 ! x = 5 9 x = 1 3 ! trasformo in base tre :3 2 x = 3 "1 ! 2 x = "1 ! x = " 1 2 10 x + 5 = 0, 001 ! trasformo in base 10 ! 10 x + 5 = 10 "3 ! x + 5 = "3 ! x = "8 49 x + 5 = 1 ! trasformo in base 7 ! (7 2 ) x +1 = 7 0 ! 7 2 x + 2 = 7 0 ! 2 X + 2 = 0 ! x = "1 NB : una potenza non è mai negativa o uguale a zero! a x = 0 ! IMPOSSIBILE : nessun numero elevato a x dà zero! a x = " N ! IMPOSSIBILE : nessun numero elevato a x dà risultato negativo! SE le basi sono diverse, utilizzo i logaritmi ( svolgendo i calcoli con la calcolatrice ) 4 x = 10 ! x = log10 log 4 ! x = 1.66096 2 x = 13 ! x = log13 log 2 ! x = 3, 7004397 ESERCIZI . Risolvi le seguenti equazioni esponenziali elementari: a) 3 x = 27 b) 5 x = 25 c) 7 3 x + 4 = 49 d) 4 x = 128 e) 10 x = 10.000 f) 8 x = 1 64 g) 5 x = 1 125 h) 7 x = 363 i) 10 x = 0,01 l) 3 x = 1 27
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EQUAZIONI ESPONENZIALI Le equazioni esponenziali sono equazioni nelle quali la variabile x si trova nell’esponente. La FORMA NORMALE si presenta come uguaglianza di POTENZE aventi la STESSA BASE. Si risolve uguagliando gli esponenti, come indicato nella seguente regola:
�
af (x )
= ag(x )
! f (x) = g(x) prerequisiti : negli esercizi occorre applicare le PROPRIETA’ DELLE POTENZE:
�
an! a
m= a
n+m
�
an
am
= an: a
m= a
n!m
�
(an)m
= an!m
�
amn
= a
m
n
�
a1
= a
�
a0
=1
EQUAZIONI ESPONENZIALI ELEMENTARI sono formate dall’uguaglianza fra due termini : per risolverle devo riscrivere i termini sotto forma di potenza usando la stessa base e poi uguaglio ( confronto ) gli esponenti
2x= 32! trasformo in base due! 2
x= 2
5! x = 5
9x=1
3! trasformo in base tre : 3
2x= 3
"1! 2x = "1! x = "
1
2
10x+5
= 0,001! trasformo in base 10! 10x+5
= 10"3! x + 5 = "3! x = "8
49x+5
= 1! trasformo in base 7! (72)x+1
= 70! 7
2x+2= 7
0! 2X + 2 = 0! x = "1
NB : una potenza non è mai negativa o uguale a zero!
ax= 0! IMPOSSIBILE :nessun numero elevato a x dà zero!
ax= "N ! IMPOSSIBILE :nessun numero elevato a x dà risultato negativo!
SE le basi sono diverse, utilizzo i logaritmi ( svolgendo i calcoli con la calcolatrice )
4 x = 10! x =
log10
log 4! x = 1.66096
2x = 13! x =
log13
log 2! x = 3, 7004397
ESERCIZI . Risolvi le seguenti equazioni esponenziali elementari:
a)
�
3x
= 27 b) 5x = 25 c) 73x+4
= 49 d)
�
4x
=128 e)
�
10x
=10.000
f)8x=1
64 g) 5
x=1
125 h) 7x = 363 i) 10
x= 0,01 l) 3
x=1
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EQUAZIONI ESPONENZIALI MONOMIE Si presentano come uguaglianza di espressioni monomie ( = prodotto / divisione di fattori ) Si risolvono trasformando in forma normale mediante l’applicazione delle proprietà delle potenze. Poi si uguagliano ( confrontano ) gli esponenti ESEMPI svolti CON PRODOTTO DI POTENZE DI UNGUAL BASE
5x!125 = 25 " 5
x!5
3= 5
2" forma normale : 5
x+3= 5
2" uguaglio esponenti x + 3 = 2" x = #1
6x! 36 = 1 " 6
x!6
2= 6
0forma normale : 6
x+2= 6
0" uguaglio esp x + 2 = 0" x = #2
8i16x= 4
xi2 ! 2
3i2
4 x= 2
2xi2 forma norm : 2
3+4 x= 2
2x+1! 2 + 4x = 2x +1 .... x = "1 / 2
es
Esempi svolti CON DIVISIONE di POTENZE DI UGUAL BASE
9X
81=1
9!
32X
34=30
32
forma normale : 32x"4
= 30"2
uguaglio esponenti : 2x " 4 = "2! x = +1
8
32x= 64 !
23
25x
= 26
forma norm : 23"5x
= 26
uguaglio esponenti 3" 5x = 6! x = "3
5
25
125x= 25
xi5 !
52
53x
= 52x
i5 forma norm : 52"3x
= 52x+1
! 2 " 3x = 2x +1 ! x =1
5
Esempi svolti CON la RADICE:
3X
3= 81 !
3X
3
1
2
= 34
forma norm : 3x"1
2 = 34
uguaglio esp : x "1
2= 4 x =
9
2
100x
10=
1003
0, 001x
!10
2x
10
1
2
=10
2
3
10"3x
forma normale :102x"
1
2 = 10
2
3"("3x )
2x "1
2=2
3+ 3x " 3x + 2x =
1
2+2
3" x =
7
6x = "
7
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ESERCIZI SVOLTI
1) 12
33!
=xx
[R: 1] Confrontiamo gli esponenti: si ha x = 2x-1 e quindi x = 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) 39 =x
[R: 1/2]
Sappiamo che 32X = 3 quindi 2x = 1 x =1
2 -----
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) 4971=
+x
[R: 1] Riscriviamo l'equazione in modo che compaia come base 7.
2177 =
+x confrontando gli esponenti otteniamo x+1 = 2 x = 1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) 27
8
3
2
2
=
!!"
#
$$%
&'()
*+,
x
[R: 3/2]
Riscriviamo l'equazione in modo da avere la stessa base 32
3
2
3
2!"#
$%&
=!"#
$%&
x
Confrontiamo gli esponenti, visto che le basi sono le stesse): 2/332 =!"!= xx
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) a2 x( )
3
= ax2
[R: 0 e 6]
a6 x= a
x2
Poiché le basi sono uguali, confrontiamo gli esponenti :
26 xx = !x
2+ 6x = 0 x
2 ! 6x = 0 x(x ! 6) = 0"x = 0
x ! 6 = 0# x = 6-
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6) 143
328!
=xx
[R: 5/11]
( ) ( )( )1453322
!
=xx
520922
!=
xx Confrontiamo gli esponenti:
9x = 20x-5 9x = 20x ! 5 20x ! 9x = 5 .... x = 5 /11
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7) x!=
1422 [R: 5/8]
Possiamo riscrivere l'equazione così: ( )( )x!=""
#
$%%&
'(
12
2
1
2
1
222
Applicando le proprietà delle potenze si ha: 21+1
2!"#
$%&
1
2
= 22'2 x ( 2
3
2!"#
$%&
1
2
= 22'2 x
2
3
2!1
2 = 22"2 x
# 2
3
4 = 22"2 x
Confrontando gli esponenti: 3
4= 2 ! 2x
4
322 !=x 2x =
8 ! 3
4.... " x =
5
8
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8) x8
24
1= [R: -5/3]
Scriviamo tutto tramite potenze di 2 20
22!2
1
2
= 23( )
x
( )1
2
" 20#2#
1
2 = 2
3x
2
Confrontando gli esponenti: !5
2=3x
2" !5 = 3x" !3x = 5 " x = !5 / 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9) 11
)12(
=!"#
$%&
+x
n [R: -1/2]
Riscriviamo 1 come 0
1!"#
$%&n
da cui 0)12(
11!"#
$%&
=!"#
$%&
+
nn
x
2x + 1 = 0 x = - 1/ 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10) ( )2 322325:5525
+ !+="x xxx
[R: 0; 3]
52!5
x= 5
2 x+3( )!2" 2"3x( )( )1
x+2 # 52+ x
= 5
4 x+6"2+3x
x+2
confronto gli esponenti: 2
472
+
+=+x
xx
faccio denominatore comune ( con Campo di esistenza : x diverso da -2) 2 + x( ) x + 2( ) = 7x + 4 5) 4744
2+=++ xxx 6) 03
2=! xx
( ) 03 =!xx Da cui x = 0 oppure x = 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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APPROFONDIMENTO: EQUAZIONI esponenziali POLINOMIE RISOLUBILI con SOSTITUZIONE
11) 5x+ 3 !5
x= 2 !5
x+10 [R: 2]
SOSTITUISCO (*) 5x= t
t + 3 ! t = 2 ! t + 50" trasporto, sommo " 2t = 50" t = 25
ri-sostituitsco in (*) 5x= 25! 5
x= 5
2! x = 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12) 2 ! 3x" 4 ! 3
x= 3
x" 81 [R: 3]
SOSTITUISCO (*) 3x= t
2t ! 4 " t = t ! 81# trasporto, sommo # !3t = !81# t = 27
ri-sostituitsco in (*) 3x= 27! 3
x= 3
3! x = 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13) 9x! 4 " 3
x+ 3 = 0 [R: 0; 1]
poiché nell’esercizio vedo solo 9x e 3x , sostituisco (*)3x= t ottenendo una equazione di II grado
t2 ! 4t + 3 = 0" risolvo t =
+4 ± 4
2=+4 ± 2
2= #
x1= 1
x2= 3 ri-sostituisco in (*)
3x= 1! 3
x= 3
0! x = 0 ; 3
x= 3! 3
x= 3
1! x = 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14) 25x! 5
x! 20 = 0 [R: 1]
sostituisco (*) 5x= t ottenendo una equazione di II grado
t2 ! t ! 20 = 0" risolvo t =
+1± 81
2=+1± 9
2= #
x1= 5
x2= !4 ri-sostituisco in (*)
5x= 5! 5
x= 5
1! x = 1 ; 5
x= !4" impossibile
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APPROFONDIMENTO: EQUAZIONI esponenziali POLINOMIE
RISOLUBILI con SCOMPOSIZIONI
15) 2x+1
+ 2x+2
= 10 [R: 3] scompongo ( dissocio ) le prime due potenze applicando al contrario le proprietà:
2x !21 + 2x !22 = 48" racco lgo 2x " 2x (21 + 4) = 48
! 2x(6) = 48! 2
x= 8! 2
x= 2
3! x = 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16) 2x+3
+ 2x+2
+ 2x+1
+ 2x= 30 [R: 1]
scompongo ( dissocio ) le prime due potenze applicando al contrario le proprietà:
2x23+ 2
x22+ 2
x21+ 2
x= 30! 2
x8 + 2
x4 + 2
x2 + 2
x= 30
raccolgo 2x: 2x8 + 4 + 2 +1( ) = 30
calcolo la somma: 30152 =!x
15
302 =x 2
x= 2! x = 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17) 2x2 ! 4( ) " 2x+1 !1( ) " 2x + 2( ) = 0 [R: 3/2 ; -1]
Abbiamo un prodotto: esso è nullo se i singoli "fattori" sono nulli. Quindi ho tre casi
022
012
0422
1
=+
=!
=!
+
x
x
x
2x!2
1
2 = 4
2x+1
= 1
2x= "2
22
22
22
01
22
1
!=
=
=
+
+
x
x
x
x +1
2= 2!"! x =
3
2
x +1= 0!"! x = #1
impossibile
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18)
52 x! 625
5x!1
= 0 [R: 2]
OSSERVO CHE UNA FRAZIONE E’ UGUALE A ZERO QUANDO LO E’ IL NUMERATORE ottengo:
52 x! 625 = 0"#" 5
2 x= 5
4"#" x = 4 / 2# x = 2
NB : condizione di esistenza : x diverso da 0 [ il denominatore di una frazione non può essere zero]
