Lezione 8Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Limiti

Esercizi

Disegnare i grafici delle seguenti funzioni e determinare l’immagine delle funzioni dal grafico.

𝑓 𝑥 = 3𝑥 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑓 𝑥 = 3𝑥+2

𝑓 𝑥 = log2 𝑥 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 − 2 𝑓 𝑥 = log2(𝑥 − 2)

• 𝑓 𝑥 = ቊ−2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1

log 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 1𝑓 𝑥 = ቊ

𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0log 𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0

• 𝑓 𝑥 = ቐ𝑒𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0

5𝑥 + 1

𝑠𝑒 𝑥 = 0𝑠𝑒 𝑥 < 0

Funzione logaritmica e funzione esponenziale

𝑓:𝑅 → 0, +∞𝑥 ↦ 2𝑥

𝑔: (0, +∞) → 𝑅𝑥 ↦ log2 𝑥

Qual è il legame tra queste due funzioni?

Sono l’una l’inversa dell’altra

Funzione logaritmica e funzione esponenzialeIndicandole quindi con

𝑓:𝑅 → 0, +∞𝑥 ↦ 2𝑥

𝑓−1: (0, +∞) → 𝑅𝑥 ↦ log2 𝑥

si ha:

• 𝑓 ∘ 𝑓−1 𝑥 = 𝑥 => 𝑓 log2 𝑥 = 2log2 𝑥 = 𝑥

• 𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥 => 𝑓−1 2𝑥 = log2(2𝑥) = 𝑥 ⋅ log2 2 = 𝑥

Proprietà delle funzioni esponenziali

𝑥1 < 𝑥2

𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)𝑥1 < 𝑥2

𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)

Proprietà delle funzioni logaritmiche

𝑥1 < 𝑥2

𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)𝑥1 < 𝑥2

𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)

Equazioni e disequazioni esponenziali

• 3𝑥 =1

9; 3𝑥 = 3−2; 𝑥 = −2

• 3𝑥 = 5; log3 3𝑥 = log3 5; 𝑥 ⋅ log3 3 = log3 5; 𝑥 = log3 5

• 3𝑥 < 5; log33𝑥 < log3 5; 𝑥 ⋅ log33 < log3 5; 𝑥 < log3 5

(perché la funzione log3𝑥 è crescente, avendo la base >1)

•1

3

𝑥< 5; log1

3

1

3

𝑥> log1

3

5; 𝑥 ⋅ log1

3

1

3> log1

3

5; 𝑥 > log1

3

5

(perché la funzione log1

3

𝑥 è decrescente, avendo la base <1)

Equazioni e disequazioni logaritmiche

• log3 𝑥 = 2; 𝑥 = 32

• log3 𝑥 > 1; log3𝑥 > log3 3; 𝑥 > 3

• log3 𝑥 < 2; log3 𝑥 < 2 ⋅ log33; log3𝑥 < log3 32; 𝑥 < 9

(perché la funzione log3 𝑥 è crescente, avendo la base >1)

• log1

3

𝑥 < 2; log1

3

𝑥 < 2 ⋅ log1

3

1

3; log1

3

𝑥 < log1

3

1

3

2; 𝑥 >

1

9

(perché la funzione log1

3

𝑥 è decrescente, avendo la base <1)

Esempi

• Stabilire per quali valori di 𝑥 la funzione 𝑓 𝑥 = 2𝑥 assume il valore 8.

𝑓 𝑥 = 8; 2𝑥 = 8; 2𝑥 = 23; 𝑥 = 3.

• Stabilire per quali valori di 𝑥 la funzione 𝑓 𝑥 = 2𝑥 è maggiore di 6.

𝑓 𝑥 > 6; 2𝑥 > 6; log2 2𝑥 > log2 6 ; 𝑥 ⋅ log2 2 > log2 6 ; 𝑥 > log2 6

• Stabilire per quali valori di 𝑥 la funzione 𝑓 𝑥 = log1

2

𝑥 è positiva.

𝑓 𝑥 > 0; log1

2

𝑥 > 0; log1

2

𝑥 > log1

2

1; 𝑥 < 1

Problema 1

Supponiamo che 𝑞 𝑡 = 20 + 𝑒𝑡

5 sia la legge che descrive i quintali di rifiuti prodotti da un’azienda al variare del tempo 𝑡 misurato in mesi.

1. Dopo quanto tempo si saranno prodotti 80 quintali di rifiuti?

2. Dopo quanto tempo la quantità di rifiuti prodotti supererà i 400 quintali?

Sol:

1) 20 + 𝑒𝑡

5 = 80 ⇒ 𝑡 = 20,5 mesi

2) 20 + 𝑒𝑡

5 > 400 ⇒ 𝑡 > 29,7 mesi

Problema 2

Supponiamo che 𝑇 𝑡 = log2(𝑡 + 1) + 20 sia la legge che descrive la variazione di temperatura in un ambiente in un periodo di tempo 𝑡 ∈ 0,60 minuti.

1. Qual è la temperatura iniziale?

2. Dopo quanto tempo la temperatura supera i 22 gradi?

Sol:

1. 𝑇 0 = log2(0 + 1) + 20 = 20

2. log2(𝑡 + 1) + 20 > 22 ⇒ 𝑡 > 3

Limiti

L’operazione di limite per 𝒙 → ±∞

Definizione 1.

Si dice che il limite per 𝑥 che tende a +∞ della funzione 𝑓(𝑥) è +∞,

e si scrivelim

𝑥→+∞𝑓 𝑥 = + ∞

se ∀𝑀 > 0 ∃𝑘 > 0 tale che ∀𝑥 > 𝑘 si ha 𝑓 𝑥 > 𝑀.

Es. 𝑓 𝑥 = 2𝑥

L’operazione di limite per 𝒙 → ±∞

Definizione 2.

Si dice che il limite per 𝑥 che tende a +∞ della funzione 𝑓(𝑥) è 𝑙 ∈ 𝑅

lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = 𝑙

se ∀𝜖 > 0 ∃𝑘 > 0 tale che ∀𝑥 > 𝑘 si ha 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜖.

Es. 𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

La retta di equazione 𝑦 = 𝑙 è un asintoto orizzontale per la funzione.

Limiti per 𝒙 → 𝒙𝟎, con 𝒙𝟎 ∈ 𝑹

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 ⇒

2. 𝑓 𝑥 = ቊ2 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0

⇒

3. 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1

3 𝑠𝑒 𝑥 = 1⇒

1.

2.

3.

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) =?

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =?

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = 2

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = ∄ perché lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = 1 ≠ lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = 2

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = 2

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) =?

Limiti per 𝒙 → 𝒙𝟎, con 𝒙𝟎 ∈ 𝑹

4. 𝑓 𝑥 =1

𝑥−1⇒ lim

𝑥→1𝑓 𝑥 =?

lim𝑥→1

𝑓 𝑥 = +∞

La retta 𝑥 = 1 è chiamata asintoto verticale della funzione

Limiti per 𝒙 → 𝒙𝟎, con 𝒙𝟎 ∈ 𝑹

5. 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 lim𝑥→

𝜋2

tan 𝑥 =?

𝜋

2−

𝜋

2

lim𝑥→

𝜋

2

𝑓(𝑥) = ∄ perché

lim𝑥→

𝜋

2

− 𝑓 𝑥 = +∞ ≠ lim𝑥→

𝜋

2

+𝑓 𝑥 = −∞

La retta 𝑥 =𝜋

2è chiamata asintoto verticale della

funzione

𝜋

2−𝜋

2

Alcune definizioni

• Intorno di un punto 𝑥0 ∈ 𝑅: 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 , con 𝛿 > 0

• Intorno di +∞: (𝑀, +∞), con 𝑀 > 0

• Intorno di −∞: (−∞, 𝑀), con 𝑀 < 0

• 𝑥0 è un punto di accumulazione per l’insieme 𝐼 ⊆ 𝑅 se in ogni intorno di 𝑥0 esiste un punto di 𝐼 diverso da 𝑥0.

Esempi:

𝐼 = 𝑅 ∖ {0}, 𝑥0 = 0 è punto di accumulazione per 𝐼

Inoltre ogni 𝑥0 ∈ 𝐼 è punto di accumulazione per 𝐼.

𝐼 = (𝑎, 𝑏), 𝑥0 = 𝑎 è punto di accumulazione per 𝐼