Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi -...

4Polinomi, potenze,esponenziali elogaritmi4.0 Scopi del capitolo

In questo capitolo esporremo i principali concetti relativi a polinomi, po-tenze, esponenziali e logaritmi. Si tratta di famiglie di funzioni particolar-mente importanti, per lo studio delle quali è necessario combinare tra loroconcetti di natura algebrica con altri derivanti dalla geometria analitica edallo studio qualitativo dei grafici di funzione. Dato che, tradizionalmen-te, un approccio diretto all’algebra astratta crea difficoltà per lo studente,abbiamo deciso di iniziare il capitolo richiamando alcune proprietà fonda-mentali relative all’aritmetica dei numeri naturali. Infatti, queste proprie-tà da una parte costituiscono un riferimento concettuale esplicito che puòguidare il lettore alla comprensione degli argomenti relativi alla divisionee alla fattorizzazione dei polinomi, dall’altra ci consentono di presentareuna simbologia di uso corrente nell’ambito del calcolo algebrico ed anche,come vedremo nei capitoli successivi, in probabilità e statistica. Nel corso

4.1 Concetti preliminari 123

di questo capitolo incontreremo sia la funzione radice n-esima ( n√x), sia

la funzione logaritmo (loga x): l’approccio matematicamente più appro-priato per introdurre queste funzioni passa attraverso l’illustrazione delconcetto di funzione inversa. Si tratta di un argomento molto generaleed importante, al quale riteniamo opportuno dedicare una sezione spe-cifica che utilizzeremo poi anche nel contesto dello studio delle funzionitrigonometriche.

4.1 Concetti preliminari

Abbiamo già incontrato l’insieme dei numeri naturali N nel corso delCapitolo 2:

N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .} . (4.1.1)

L’abitudine consolidata in ognuno di noi consente agli autori di ritenere chenessun lettore abbia difficoltà nel riferirsi ad un proprio schema mentaleoperativo che gli permetta di ragionare usando i numeri naturali: lo studiodelle proprietà di N a livello elementare si chiama aritmetica, mentre alivello superiore è noto col nome di teoria dei numeri. D’altra parte, anchese non ne svilupperemo i relativi dettagli, è opportuno ribadire ancora cheuna definizione matematica formale dell’insieme dei numeri naturali Nrichiede l’approccio assiomatico cui si è già accennato nel Capitolo 1 almomento dell’introduzione dei fondamenti della geometria euclidea.Con queste premesse, possiamo iniziare a presentare le prime proprietà diinteresse per i nostri obiettivi.

Definizione 4.1. Siano m, n ∈ N. Diciamo che m è un divisore di n seesiste k ∈ N tale che n = m · k. In questo caso si può anche dire che n èun multiplo di m, o che n è divisibile per m.

Osservazione 4.1.

(i) Nessun numero naturale positivo è divisibile per 0.

(i) Ogni numero naturale positivo ha almeno due divisori banali: 1 e sestesso.

Definizione 4.2. Sia n ∈ N, n ≥ 2. Diremo che n è primo se non ha altridivisori oltre i due divisori banali (cioè 1 e se stesso).

124 Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi

♦ Esempio 4.1. Ad esempio, i numeri, 2, 3, 5, 7, 11, 53 sono numeriprimi. Esistono infiniti numeri primi, fatto che era già noto ad Euclide1.

I due teoremi seguenti raccolgono le proprietà fondamentali di cui dovremoesaminare la generalizzazione nel contesto dei polinomi.

Teorema 4.1 (Teorema fondamentale dell’aritmetica). Ogni numero na-turale n ≥ 2 può essere fattorizzato come prodotto di numeri primi, cioèscritto nella forma:

n = pα11 · pα2

2 · . . . · pαrr (4.1.2)

dove p1, . . . , pr sono r numeri primi diversi fra loro, mentre gli esponentiα1, . . . ,αr sono numeri maggiori o uguali a 1. Inoltre, questa decomposi-zione è unica a meno dell’ordine dei fattori.

Teorema 4.2 (Teorema della divisione e del resto). Si considerino n, m ∈N, con n ≥ m ≥ 1. Allora sono univocamente determinati due numeri na-turali q e r, che sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisionen : m, con le seguenti proprietà:

n = q ·m+ r , 0 ≤ r < m . (4.1.3)

Abbiamo già incontrato, nel Capitolo 2 (si veda la (2.4.6)) il simbolodi sommatoria Σ. Ora acquistiamo maggiore familiarità con i calcolicoinvolgenti le sommatorie.

◃ Esercizio 4.1. Calcolare8∑

i=3

i2 .

Soluzione.

8∑

i=3

i2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = · · · = 199 .▹

1La dimostrazione di Euclide è la seguente. Supponiamo che i numeri primi sianofiniti e denotiamoli con {p1, p2, . . . , pk}. Se adesso consideriamo il numero p̄ = p1 ·p2 · · · pk + 1 è facile verificare che nessuno dei p1, p2, . . . , pk divide p̄. Ma allora p̄ èun numero primo diverso da p1, p2, . . . , pk contraddicendo l’ipotesi che p1, p2, . . . , pkfossero gli unici numeri primi.


Sappiamo che somma e moltiplicazione di numeri reali godono delle se-guenti proprietà:

{

(a+ b) + c = a+ (b+ c) (associativa)c · (a+ b) = c · a + c · b (distributiva) ,

(4.1.4)

valide ∀ a, b, c ∈ R. Come conseguenza immediata si hanno le seguentiutili formule relative alle sommatorie (c, ak, bk sono numeri reali arbitrari,mentre k, m, n ∈ N):

(i)n∑

k=1

(c · ak) = c ·n∑

k=1

ak

(ii)n∑

k=1

ak +n∑

k=1

bk =n∑

k=1

(ak + bk)

(iii)n∑

k=1

ak +n+m∑

k=n+1

ak =n+m∑

k=1

ak

(iv)n∑

k=1

ak =n+m∑

k=1+m

ak−m

(v)n∑

k=1

c = c · n

(vi)n∑

k=1

ak =n∑

k=1

an−k+1 =n−1∑

k=0

an−k .

(4.1.5)

Concettualmente le formule precedenti sono banali, ma sono state inseritein quanto la loro lettura dovrebbe consentire al lettore di acquisire unamaggiore confidenza con l’importante formalismo matematico che coinvol-ge gli indici. In questo ordine di idee, nel prossimo esercizio presentiamoun metodo alternativo per ottenere un risultato che avevamo dimostrato,nel Capitolo 2, utilizzando il principio di induzione.


◃ Esercizio 4.2 (Somma dei primi n numeri). Dimostrare che, ∀n ≥ 1,si ha:

n∑

k=1

k =n (n+ 1)

2. (4.1.6)

Soluzione. Possiamo scrivere:

2n∑

k=1

k =n∑

k=1

k +n∑

k=1

k

(usiamo (4.1.5)(vi)) =n∑

k=1

k +n∑

k=1

(n− k + 1)

(usiamo (4.1.5)(ii)) =n∑

k=1

(k + n− k + 1) =n∑

k=1

(n+ 1)

(usiamo (4.1.5)(v)) = n(n+ 1) .

Questa catena di uguaglianze dimostra che:

2n∑

k=1

k = n(n+ 1) .

Dividendo per 2 si ha immediatamente la tesi.▹

Osservazione 4.2. Il lettore attento dovrebbe aver riconosciuto che l’ideamatematica alla base dello svolgimento del precedente esercizio coincidecon quella del bambino Gauss, illustrata nel Capitolo 2.

◃ Esercizio 4.3 (Progressione geometrica). Siano q ∈ R, q ̸= 1 e n ∈ N,n ≥ 1. Allora vale la formula:

n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q. (4.1.7)

Soluzione. Poiché 1− q ̸= 0, la (4.1.7) è equivalente a:

(1− q)n∑

k=0

qk = 1− qn+1 . (4.1.8)


Ora, grazie a (4.1.5)(i) e (ii), abbiamo:

(1− q)n∑

k=0

qk =n∑

k=0

qk − qn∑

k=0

qk =n∑

k=0

qk −n∑

k=0

qk+1 . (4.1.9)

Usando la (4.1.5)(iv) possiamo riscrivere la (4.1.9) come:

(1− q)n∑

k=0

qk =n∑

k=0

qk −n+1∑

k=1

qk . (4.1.10)

Infine, usando la (4.1.5)(iii):

(1− q)n∑

k=0

qk = 1 +n∑

k=1

qk −(

n∑

k=1

qk + qn+1

)

= 1− qn+1 , (4.1.11)

come richiesto.▹

Definizione 4.3. Sia n ∈ N. Si definisce il numero n! (si legge n fatto-riale) come segue:

n! =

{

n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · 3 · 2 se n ≥ 21 se n = 1 o n = 0 .

(4.1.12)

♦ Esempio 4.2.

5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120 ; 6! = 6 · 5! = 720 .

Più generalmente, non sussiste difficoltà nel capire le due seguenti ugua-glianze (dove k < n):

(n+1)! = (n+ 1) · n! ; n!

k!= n · (n− 1) · (n− 2) · · · (k+1) . (4.1.13)

Definizione 4.4. Siano n, k ∈ N , n ≥ k. Si definisce il numero(

nk

)

(silegge n su k, ed è chiamato coefficiente binomiale) come segue:

(

n

k

)

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · (n− k + 1)

k!se k ≥ 1

1 se k = 0 .

(4.1.14)


Si osservi che il numeratore, nella frazione che definisce il coefficientebinomiale, è il prodotto di k numeri naturali: in particolare,

(

n

1

)

= n .

♦ Esempio 4.3.(

7

4

)

=7 · 6 · 5 · 4

4!=

7· ̸ 6 · 5· ̸ 4̸ 4· ̸ 3· ̸ 2 = 35 .

Osservazione 4.3. Una formula alternativa per definire il coefficiente bi-nomiale è:

(

n

k

)

=n!

k! (n− k)!. (4.1.15)

Il lettore non dovrebbe avere problemi a riconoscere che (4.1.14) e (4.1.15)sono equivalenti. Inoltre, possiamo anche notare che dalla (4.1.15) seguefacilmente la seguente simmetria del coefficiente binomiale:

(

n

k

)

=

(

n

n− k

)

. (4.1.16)

◃ Esercizio 4.4. Dimostrare la seguente uguaglianza:(

n+ 1

k + 1

)

=

(

n

k

)

+

(

n

k + 1

)

. (4.1.17)

Soluzione. Applicando la definizione (4.1.15) troviamo:(

n

k

)

+

(

n

k + 1

)

=n!

k!(n− k)!+

n!

(k + 1)!(n − k − 1)!.

Riportando queste ultime due frazioni a comune denominatore otteniamo:(

n

k

)

+

(

n

k + 1

)

=(k + 1)n!

(k + 1) k! (n − k)!+

n! (n− k)

(k + 1)! (n − k) (n − k − 1)!,

ovvero, proseguendo il calcolo:(

n

k

)

+

(

n

k + 1

)

=n! · [̸ k + 1 + n− ̸ k](k + 1)! (n − k)!

=(n + 1)!

(k + 1)! ((n+ 1)− (k + 1))!=

(

n+ 1

k + 1

)

.▹


Il coefficiente binomiale trova ampio impiego all’interno del calcolo combi-natorio e della teoria della probabilità, come illustreremo in dettaglio nelCapitolo 6. Per il momento, per noi il coefficiente binomiale gioca un ruoloessenziale nel seguente importante risultato (cui deve il nome).

Teorema 4.3 (Formula del binomio di Newton). Siano a, b ∈ R, e n ∈N, n ≥ 1. Allora vale la seguente formula di sviluppo della potenza n-esima di un binomio:

(a + b)n =n∑

k=0

(

n

k

)

ak bn−k . (4.1.18)

Dimostrazione. Dimostriamo la (4.1.18) per induzione sulla potenza n.La (4.1.18) è vera per n = 1: infatti, ricordando che x0 = 1 , ∀ x ∈ R,abbiamo:

1∑

k=0

(

1

k

)

ak b1−k =

(

1

0

)

a0b1+

(

1

1

)

a1b0 = 1·1·b+1·a·1 = a+b = (a+b)1 .

Ora supponiamo la (4.1.18) vera per n e dimostriamola per n + 1. Peripotesi induttiva si ha:

(a+ b)n+1 = (a+ b) (a+ b)n

= (a+ b)n∑

k=0

(

n

k

)

an−k bk

=n∑

k=0

(

n

k

)

an+1−k bk +n∑

k=0

(

n

k

)

an−k bk+1 . (4.1.19)

Adesso

n∑

k=0

(

n

k

)

an+1−k bk =

(

n

0

)

an+1 +n−1∑

k=0

(

n

k + 1

)

an−k bk+1 , (4.1.20)

mentre

n∑

k=0

(

n

k

)

an−k bk+1 =n−1∑

k=0

(

n

k

)

an−k bk+1 +

(

n

n

)

bn+1 . (4.1.21)


Ora sostituiamo la (4.1.20) e la (4.1.21) nella (4.1.19). Tenendo contodella (4.1.17) e delle (4.1.5) troviamo:

(a + b)n+1 =

(

n

0

)

an+1 +n−1∑

k=0

((

n

k

)

+

(

n

k + 1

))

an−k bk+1 +

(

n

n

)

bn+1

=

(

n

0

)

an+1 +n−1∑

k=0

(

n+ 1

k + 1

)

an−k bk+1 +

(

n

n

)

bn+1

=

(

n + 1

0

)

an+1 +n∑

k=1

(

n+ 1

k

)

an+1−k bk +

(

n+ 1

n+ 1

)

bn+1

=n+1∑

k=0

(

n+ 1

k

)

an+1−k bk ,

cosa che completa la dimostrazione induttiva. Si noti anche che, per laterza di quest’ultima serie di uguaglianze, abbiamo usato

(

n

0

)

=

(

n + 1

0

)

(= 1) e

(

n

n

)

=

(

n+ 1

n+ 1

)

(= 1) .

◃ Esercizio 4.5 (Disuguaglianza di Bernoulli). Sia x ∈ R, x ≥ 0. Allora,per ogni n ∈ N, vale la seguente disuguaglianza:

(1 + x)n ≥ 1 + nx . (4.1.22)

Soluzione. Usando la formula del binomio di Newton possiamo scrivere:

(1 + x)n =n∑

k=0

(

n

k

)

xk = 1 + nx+

(

n

2

)

x2 + . . . ≥ 1 + nx ,

in quanto, valendo l’ipotesi x ≥ 0, tutti i termini trascurati sono non negativi.▹

In realtà, come dimostreremo mediante induzione su n in uno degli esercizidi riepilogo che seguono, la disuguaglianza (4.1.22) è valida anche sottol’ipotesi meno restrittiva: x ≥ −1.

4.2 Polinomi 131

Per completezza, concludiamo questo paragrafo introduttivo presentandoalcune formule note con il nome di prodotti notevoli. Nello spirito dellaformula del binomio di Newton, queste uguaglianze consentono, in molticasi, di semplificare determinate espressioni algebriche.

(i) a2 − b2 = (a+ b) (a− b)(ii) a3 − b3 = (a− b) (a2 + ab+ b2)(iii) a3 + b3 = (a+ b) (a2 − ab+ b2)(iv) an − bn = (a− b) (an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1) .

(4.1.23)

Inoltre, per n dispari:

an + bn = (a + b) (an−1 − an−2b+ an−3b2 · · ·− abn−2 + bn−1) . (4.1.24)

Il lettore è invitato ad eseguire esplicitamente i calcoli necessari a verificarei prodotti notevoli (4.1.23)–(4.1.24).

4.2 Polinomi

Un polinomio di grado n, a coefficienti in R, è una funzione P : R → Rdefinita da una legge del tipo:

P (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn (an ̸= 0) , (4.2.1)

dove i coefficienti a0, . . . , an sono dei numeri reali assegnati. Una notazioneequivalente, più sintetica, è:

P (x) =n∑

j=0

aj xj , aj ∈ R , an ̸= 0 . (4.2.2)

In particolare, i polinomi costanti P (x) ≡ a0 hanno grado zero. Se poia0 = 0, allora P (x) si chiama polinomio nullo (P (x) ≡ 0) (in questi casi,la simbologia “≡” sostituisce “=” per sottolineare che l’uguaglianza vale∀ x). I polinomi con un solo coefficiente non nullo vengono detti monomi,mentre se i coefficienti non nulli sono due o tre si parla rispettivamente dibinomi o trinomi.

Definizione 4.5. Diremo che x0 ∈ R è una radice di P (x) se è unasoluzione dell’equazione P (x) = 0, o, in altre parole, se

P (x0) = 0 . (4.2.3)


Se x0 è una radice di P (x), allora esiste un’unica fattorizzazione di P (x)del tipo:

P (x) = (x− x0)k Q(x) , (4.2.4)

dove k ∈ N, k ≥ 1, mentre Q(x) ha grado (n − k) e Q(x0) ̸= 0. Ilnumero naturale k si chiama molteplicità algebrica di x0 e si indica con lasimbologia:

µa(x0) = k . (4.2.5)

Per capire meglio questi concetti e svolgere esercizi in merito è necessariorichiamare alcuni risultati fondamentali relativi alla divisione di polino-mi. Anche se questo è un argomento ampiamente trattato nei testi dimatematica delle scuole superiori, riteniamo utile richiamare i principa-li aspetti operativi della questione. Iniziamo con l’enunciato del teoremache rappresenta, in questo contesto, l’analogo del Teorema 4.2 relativo alladivisione con resto nell’ambito dell’insieme dei numeri naturali N.

Teorema 4.4 (Teorema della divisione e del resto per polinomi). Sia-no P (x), P ′(x) due polinomi a coefficienti reali, di grado rispettivamenten, n′ ∈ N, con n ≥ n′. Allora sono univocamente determinati due poli-nomi Q(x) e R(x), detti rispettivamente quoziente e resto della divisioneP (x) : P ′(x), con le due seguenti proprietà:

{

(i) P (x) = P ′(x) ·Q(x) +R(x)(ii) R(x) ≡ 0 oppure r < n′ ,

(4.2.6)

dove r indica il grado di R(x).

Nel prossimo importante esercizio studiamo il concetto di molteplicitàalgebrica di una radice e impariamo, attraverso un semplice esempio, comeeffettuare la divisione di polinomi di cui al Teorema 4.4.

◃ Esercizio 4.6. Sia P (x) = x4−3x3+2x2+x−1. Verificare che x0 = 1è una radice di P (x) e determinare µa(1).

Soluzione. Si ha

P (1) = 14 − 3 · 13 + 2 · 12 + 1− 1 = 0 ,

per cui effettivamente x0 = 1 è una radice di P (x). Per ottenere la fattorizza-zione (4.2.4) dobbiamo dividere P (x) per il polinomio di primo grado (x − 1).

4.2 Polinomi 133

La seguente sequenza illustra appunto il cosiddetto algoritmo euclideo per ladivisione dei polinomi:

+x4 −3x3 +2x2 +x −1 x− 1

+x4 −x3 x3 − 2x2 + 1 (= Q(x) )

! −2x3 +2x2 +x −1

−2x3 +2x2

! ! +x −1

+x −1

(Resto R(x) = ) ! !(4.2.7)

Il procedimento per costruire l’algoritmo di divisione (4.2.7) segue la logica delladivisione tra numeri naturali ed è il seguente: si costruisce Q(x) decrescendo dalmonomio di grado maggiore (3 nella nostra situazione), individuato come quelmonomio (x3 in questo caso) che, moltiplicato per il divisore (x − 1), generaun polinomio il cui monomio di grado maggiore (x4 in questo esempio) coincidecon quello del dividendo P (x). Si scrive poi il risultato di questa moltiplicazionesotto P (x) e si effettua la sottrazione, trovando in questo caso:

−2x3 + 2x2 + x− 1 .

Si continua allo stesso modo, determinando il secondo monomio di Q(x) (−2x2

nel nostro esempio): il procedimento termina quando si ottiene resto nullo (comein questo caso) o di grado strettamente inferiore a quello del divisore.

In conclusione, mediante l’algoritmo di divisione (4.2.7) abbiamo ottenuto:

P (x) = (x− 1)Q(x) +R(x) ,

con Q(x) = x3 − 2x2 + 1 e R(x) ≡ 0. Per comodità riscriviamo esplicitamentequesto risultato:

P (x) = (x− 1) (x3 − 2x2 + 1) . (4.2.8)


Poiché Q(1) = 0, la fattorizzazione non è ancora terminata e bisogna dividereQ(x) per x− 1. Abbiamo:

+x3 −2x2 +1 x− 1

+x3 −x2 x2 − x− 1.

! −x2 +1

−x2 +x

! −x +1

−x +1

! !

(4.2.9)

Da cui Q(x) = (x− 1) (x2 − x− 1), che sostituita in (4.2.8) fornisce:

P (x) = (x− 1)2 (x2 − x− 1) , (4.2.10)

che è la fattorizzazione di tipo (4.2.4) richiesta, in quanto x0 = 1 non è radicedi (x2 − x− 1). Allora la molteplicità algebrica vale µa(1) = 2.

▹

Definizione 4.6. Sia

P (x) = ax2 + bx+ c , a ̸= 0 ,

un polinomio di secondo grado. Diciamo che P (x) è irriducibile se non haradici reali.

♦ Esempio 4.4. Il polinomio

P (x) = x2 + 1

è irriducibile.

Possiamo adesso enunciare il seguente importante risultato che generaliz-za al contesto dei polinomi il Teorema 4.1 di fattorizzazione dei numerinaturali in prodotto di numeri primi.

Teorema 4.5 (Fattorizzazione di polinomi). Ogni polinomio a coefficientireali, di grado n ≥ 1, può essere fattorizzato come prodotto di potenze dipolinomi di primo grado e polinomi di secondo grado irriducibili. Inoltre,questa decomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.

4.2 Polinomi 135

Va sottolineato che una giustificazione rigorosa degli enunciati e delle pro-prietà illustrate in questa sezione sui polinomi costituisce materia avanza-ta, normalmente oggetto di corsi universitari specifici. In particolare, unostudio algebrico completo dei polinomi può avvenire solo in congiunzionecon l’introduzione del corpo dei cosiddetti numeri complessi, un argomentoche non rientra negli obiettivi di questo libro.Detto questo, appare naturale la necessità di discutere quando, ed even-tualmente come, sia possibile determinare esplicitamente le radici di undato polinomio. Sfortunatamente, è noto che non esistono formule risolu-tive per determinare, in generale, le radici di polinomi di grado superiorea quattro. Anche le formule risolutive relative a polinomi di grado tre equattro, pur se disponibili, risultano troppo complesse per questo livello ditrattazione. Invece, riprendendo il discorso, iniziato nel Capitolo 3, relati-vo alla rappresentazione grafica di parabole, è possibile ed utile illustrarein dettaglio la situazione per i polinomi di secondo grado: in particolare,possiamo derivare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.Procediamo con ordine. Per prima cosa, ricordando l’ipotesi a ̸= 0,scriviamo:

ax2 + bx+ c = a

(

x2 +b

ax

)

+ c

= a

(

x+b

2a

)2

+

(

c− b2

4a

)

= a(x− x0)2 − ∆

4a,

(4.2.11)

dove abbiamo posto:

x0 = − b

2ae ∆ = b2 − 4ac . (4.2.12)

Facciamo il punto della situazione: grazie alla (4.2.11) possiamo dire chel’equazione

ax2 + bx+ c = 0 (4.2.13)

equivale a:

a(x− x0)2 =

∆

4a. (4.2.14)


Quindi, se ∆ < 0, ora possiamo subito concludere che non ci sono radicireali, o, in altre parole, il polinomio è irriducibile.Invece, se ∆ ≥ 0, una semplice ispezione di (4.2.14) fornisce:

x− x0 = ±√

∆

4a2,

ovvero

x = x0 ±√

∆

4a2. (4.2.15)

Infine, usando l’espressione esplicita di x0 data in (4.2.12), concludia-mo che le due radici sono proprio quelle già anticipate nella (3.2.8) delCapitolo 3, cioè:

x1 =−b−

√∆

2a, x2 =

−b+√∆

2a(4.2.16)

(si noti che x1 = x2 quando ∆ = 0). Infine, un calcolo diretto consentedi verificare che, quando ∆ ≥ 0, vale la fattorizzazione già presentata nelCapitolo 3, ovvero:

ax2 + bx+ c = a (x− x1) (x− x2) , (4.2.17)

dove x1 e x2 sono le radici, come in (4.2.16). Il lettore preoccupato dal-l’astrattezza e difficoltà di questi concetti algebrici troverà diversi eserciziutili nel §4.5. Però, al fine di raggiungere più rapidamente una visionecompleta degli argomenti di questo capitolo, consigliamo ora di passaredirettamente all’importante sezione successiva.

4.3 Il concetto di funzione inversa

Questa sezione richiede una certa assimilazione del concetto di funzione equindi potrebbe essere anche ristudiata dopo aver acquisito una maggiorematurità matematica. D’altra parte, un primo approccio al concetto difunzione inversa si rende necessario fin da ora, in quanto ci consentirà,ad esempio, di introdurre rapidamente, nel successivo §4.4, l’importantefunzione logaritmo. Un suggerimento che riteniamo possa essere di aiutonella comprensione di quanto illustreremo è il seguente: si tenga sempre

4.3 Il concetto di funzione inversa 137

conto del fatto che una funzione non è identificata solo dalla legge che ladefinisce (ad esempio, f(x) = 4x + 1), ma anche dalla assegnazione delsuo dominio e del suo codominio.

Definizione 4.7. Siano g : A → B, e f : B → C due funzioni. Allora sichiama funzione composta f ◦ g : A → C la funzione definita da:

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) , ∀ x ∈ A . (4.3.1)

♦ Esempio 4.5. Siano f : R → R una funzione qualsiasi e sia g : R → Rla funzione definita da

g(x) = x+ c , ∀ x ∈ R ,

dove c ∈ R è una costante fissata. Allora abbiamo:

(i) (f ◦ g)(x) = f(x+ c) , ∀ x ∈ R

(ii) (g ◦ f)(x) = f(x) + c , ∀ x ∈ R .(4.3.2)

Avevamo già tacitamente incontrato questi esempi nel Capitolo 3, quandoabbiamo descritto traslazioni orizzontali e verticali di grafici di funzione.

Osservazione 4.4. Non è sempre possibile effettuare la composizione didue funzioni. Più precisamente, la (4.3.1) richiede che le immagini g(x)stiano nel dominio di f .Inoltre, sottolineiamo che l’ordine di applicazione delle funzioni f e g èessenziale: pertanto, anche nei casi in cui hanno senso sia f ◦ g, sia g ◦ f ,in generale esse daranno luogo a risultati diversi, come è evidente anchenell’Esempio 4.5.

♦ Esempio 4.6. Si considerino le due funzioni seguenti: f : R → Rdefinita da

f(x) = x+ 2 , ∀ x ∈ R

e g : R\{0} → R , con

g(x) =1

x, ∀ x ∈ R\{0}


(ricordiamo che la scrittura R\{0} indica la differenza di insiemi definitanel §2.1: in questo caso, equivale a R privato dello 0). In questa situazionesi può considerare f ◦ g : R\{0} → R , che fornisce:

(f ◦ g)(x) = 1

x+ 2 , ∀ x ∈ R , x ̸= 0 .

Invece g ◦ f non ha senso, in quanto avremmo:

(g ◦ f)(x) = 1

(x+ 2), ∀ x ∈ R ,

legge che non è accettabile poiché nel punto x = −2 il denominatore siannullerebbe.

Definizione 4.8. Sia A un insieme. La funzione identità di A, gene-ralmente indicata col simbolo IA, è la funzione IA : A → A definita daIA(x) = x , ∀ x ∈ A.

Definizione 4.9. Sia f : A → B. Diremo che f ammette funzione inversase esiste g : B → A tale che

(i) g ◦ f = IA ; (ii) f ◦ g = IB . (4.3.3)

Se tale inversa g esiste, viene indicata con il simbolo f−1. Notiamo an-che che le richieste (4.3.3) possono essere esplicitate nel seguente modoequivalente:

(i) (f−1 ◦ f)(x) = x , ∀ x ∈ A(ii) (f ◦ f−1)(y) = y , ∀ y ∈ B .

(4.3.4)

Le (4.3.4) consentono di capire bene il significato della funzione inversaf−1. In pratica f−1 è quella funzione che consente di tornare indietro, cioèf−1 applicata a f(x) deve restituire x. È chiaro che non sempre questoprocesso è possibile. Più precisamente, vale la seguente:

Proprietà 4.1. Sia f : A → B. Allora f è invertibile (cioè ammetteinversa f−1 : B → A) se e solo se f è bigettiva.

♦ Esempio 4.7. Sia A = {a, b, c, d}. Definiamo f : A → A come segue:f(a) = b, f(b) = c, f(c) = d, f(d) = a. Questa f è bigettiva e la suainversa f−1 : A → A può essere facilmente costruita ponendo: f−1(b) = a,f−1(c) = b, f−1(d) = c, f−1(a) = d.


Ora passiamo a situazioni di maggiore interesse per noi, e cioè al caso difunzioni f : A → B con A e B sottoinsiemi di R.

♦ Esempio 4.8. Sia f : R → R definita da f(x) = x2 , ∀ x ∈ R. Questafunzione non è invertibile. Infatti, riprendendo brevemente quanto giàvisto nel Capitolo 3, basta osservare che f(1) = f(−1) per concludere chef non è iniettiva. In realtà, f non è neanche surgettiva, in quanto, adesempio, non esiste alcun x ∈ R tale che x2 = −1.

Introduciamo ora una terminologia che è molto usata anche in altri conte-sti. Più precisamente, riprendendo quanto anticipato nell’Esercizio 2.23,diciamo: dati due numeri reali a e b, con a < b, poniamo:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} . (4.3.5)

L’insieme (a, b) viene chiamato intervallo aperto di estremi a e b (si notiche a ̸∈ (a, b) e b ̸∈ (a, b)). In modo simile, scriviamo:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} . (4.3.6)

L’insieme [a, b] viene chiamato intervallo chiuso di estremi a e b (ora a ∈[a, b] e b ∈ [a, b]). Il contesto di lavoro consente normalmente di nonconfondere l’intervallo chiuso [a, b] con il punto del piano cartesiano dicoordinate [a, b]! Sono anche ammissibili situazioni in cui l’intervallo èaperto a destra e chiuso a sinistra, o viceversa. O, ancora, si può avereb = +∞ oppure a = −∞ (∞ si legge infinito2). Ad esempio:

(1, 4] = {x ∈ R : 1 < x ≤ 4} ;

[1,+∞) = {x ∈ R : x ≥ 1} .

Torniamo ora allo studio delle funzioni inverse illustrando il caso, tacita-mente già noto ma fondamentale, della funzione radice quadrata.

2Il simbolo ∞ ha il significato di infinito, cioè maggiore (minore) di qualunquenumero reale. In particolare, si noti che +∞ e −∞ non appartengono alla retta reale.Infatti, se, per esempio, +∞ vi appartenesse, allora si potrebbe facilmente costruireun numero reale maggiore di +∞ (basterebbe sommargli 1), cosa che contraddirebbela definizione stessa di +∞.


♦ Esempio 4.9. Sia f : [0,+∞) → [0,+∞) definita da f(x) = x2.Ora questa legge definisce una funzione bigettiva, la cui inversa, f−1 :[0,+∞) → [0,+∞) è tradizionalmente indicata col nome di radice qua-drata e simbolo

√x. In questo caso le (4.3.4) diventano:

(i)√

(x2) = x , ∀ x ≥ 0 ; (ii) (√x)2 = x , ∀ x ≥ 0 . (4.3.7)

Il grafico di queste funzioni è illustrato nella Figura 4.1.

Osservazione 4.5. Il lettore attento avrà notato che, in diverse circostanze,avevamo già operativamente utilizzato il concetto di radice quadrata: adesempio, per dedurre la formula risolutiva (4.2.16) per le equazioni disecondo grado.

x

y

f(x)=√x

f(x)=x2f(x)=x

1

1

Figura 4.1 – Grafici delle funzioni x2 e√x , x ≥ 0 .

Più in generale, si può considerare f : [0,+∞) → [0,+∞) definita daf(x) = xn, con n ∈ N , n > 0, n pari. Anche in questo caso, l’inversaesiste ed è indicata con f−1(x) = n

√x, x ≥ 0 (radice n-esima di x).

♦ Esempio 4.10. Nel caso di esponente n dispari, f(x) = xn realizzauna funzione bigettiva f : R → R. La sua inversa è ancora denotatan√x, x ∈ R. In Figura 4.2 è rappresentato il caso n = 3.

◃ Esercizio 4.7. Sia f : R → R la funzione bigettiva definita da:

f(x) = 3x+ 1 , x ∈ R . (4.3.8)

Determinare l’espressione che definisce f−1 : R → R .


x

y

f(x)= 3√x

f(x)=x3f(x)=x

1

1

Figura 4.2 – Grafici delle funzioni x3 e 3√x , x ∈ R.

Soluzione. Applicando f a x si ottiene (3x+1). Ora, per ritornare indietro alvalore x di partenza, bisogna sottrarre 1 e poi dividere per 3: cioè, in formule

f−1(y) =y − 1

3, ∀ y ∈ R . (4.3.9)

Lo stesso ragionamento, formalizzato in modo algebrico, si realizza scrivendo(3x+ 1) = y; da ciò si ricava

x =y − 1

3= f−1(y) ,

che coincide con (4.3.9). Notiamo che, per rappresentare convenientemente f−1

nel piano cartesiano, possiamo riscrivere la (4.3.9) come

f−1(x) =x− 1

3, x ∈ R .

▹

◃ Esercizio 4.8. Sia f : R → R la funzione bigettiva definita da:

f(x) = 5√x+ 2 , x ∈ R .

Determinare l’espressione che definisce f−1 : R → R .


Soluzione. L’inversa è

f−1(x) = x5 − 2 , x ∈ R .

▹

Guardando le Figure 4.1 e 4.2 si può osservare che sussiste una simmetriarispetto alla bisettrice (del primo quadrante) y = x: questa è una proprietàdi validità generale che ora esaminiamo.

Proprietà 4.2. Sia f : A → B invertibile, con A e B sottoinsiemi diR. Allora il grafico di f−1 e il grafico di f risultano uno il simmetricodell’altro rispetto alla bisettrice y = x.

Dimostrazione. (*)

Γf−1 = {[x, f−1(x)] ∈ R2 : x ∈ B}= {[f(x), f−1(f(x))] ∈ R2 : x ∈ A}= {[f(x), x] ∈ R2 : x ∈ A} .

D’altra parte,Γf = {[x, f(x)] ∈ R2 : x ∈ A} .

Dunque Γf−1 si ottiene da Γf (e viceversa) scambiando i ruoli di ascissa eordinata. Geometricamente, questo è quanto espresso nella Proprietà 4.2.

A titolo di esercizio, il lettore potrà ora verificare la Proprietà 4.2 per lafunzione dell’Esercizio 4.7.

4.4 Potenze, esponenziali e logaritmi

Ora siamo nella situazione ottimale per riprendere ed approfondire lo stu-dio delle funzioni potenza, definite da f(x) = xn, x ∈ R, n ∈ N, n ≥ 1. Inquesto paragrafo metteremo in luce, per prima cosa, le naturali proprietàalgebriche di queste funzioni, poi passeremo a considerare il caso in cuil’esponente è un qualunque numero reale. Una trattazione matematicacompleta, e formalmente rigorosa, di quest’ultimo passaggio risulterebbetroppo complessa in questa sede, quindi abbiamo optato per un approccioche ci porrà in una posizione conveniente dal punto di vista applicativo.

4.4 Potenze, esponenziali e logaritmi 143

Iniziamo dalle proprietà elementari:

xn·xm = xn+m = xm·xn , (4.4.1)(xn)m = xn·m = (xm)n , (4.4.2)

valide per x ∈ R, n,m ∈ N, n,m ≥ 1. Il primo fatto importante èche, se x > 0, le (4.4.1)–(4.4.2) continuano a essere valide anche quandon,m ∈ Q, a condizione di porre:

x0 = 1 , ∀ x ∈ R , x ̸= 0 , (4.4.3)

e di considerare, per n ∈ N, n ≥ 1,

x−n =1

xne x

1n = n

√x , (4.4.4)

dove n√x è la funzione inversa di xn, come descritto nel §4.3. Volendo rias-

sumere ciò che abbiamo detto, siamo arrivati ad affermare che possiamoconsiderare una famiglia di funzioni f(x) = xa, con a ∈ Q fissato, definitealmeno per x > 0 (il caso a = 0 non ha interesse in questo contesto, quindiper semplicità possiamo assumere a ̸= 0). Attraverso un opportuno pro-cesso di limite che, come accennato sopra, è assai articolato e quindi nondescriviamo, si arriva infine a definire le cosiddette funzioni potenza conesponente reale, cioè

f(x) = xa , x > 0 , (4.4.5)

dove l’esponente a in (4.4.5) è un qualunque numero reale, non nullo,fissato. Per cogliere la sottigliezza dell’argomento notiamo che, se da unaparte una scrittura del tipo 35/2 ha un significato chiaro, in quanto

35/2 = (35)1/2 =√35 ,

dall’altra una scrittura del tipo 3√2 richiede un processo non banale di

approssimazione: inoltre, ciò coinvolge non solo la definizione (4.4.5),ma anche la verifica che le (4.4.1)–(4.4.2) continuano a sussistere. Piùprecisamente, si arriva a provare che valgono le seguenti proprietà:

xa·xb = xa+b = xb·xa , x > 0, a, b ∈ R (4.4.6)

(xa)b = xa·b = (xb)a , x > 0, a, b ∈ R . (4.4.7)


x

y

1

1

(a)

x

y

1

1

(b)

x

y

1

1

(c)

Figura 4.3 – Grafico di f(x) = xa: (a) 1 > a > 0 , x ≥ 0 ; (b) 1 < a , x ≥ 0 ;(c) a < 0 , x > 0.

I grafici delle funzioni potenza hanno qualitativamente un andamentocome mostrato nelle Figure 4.3.

Si noti che nella definizione (4.4.5) della funzione potenza, la restrizionex > 0 assicura di poter scegliere come esponente a un qualunque numeroreale. Resta però vero quanto discusso nel §4.3, e cioè, in particolare, chese n è un numero naturale dispari, allora x1/n ha senso ∀ x ∈ R.

Se invece si considera, in (4.4.5), la base x come fissata e l’esponentecome variabile, si ottengono le cosiddette funzioni esponenziali. Più pre-cisamente, se a ∈ R, a > 0, definiamo la funzione esponenziale di base acome:

f(x) = ax , x ∈ R . (4.4.8)

Le principali proprietà di questa famiglia di funzioni sono ovviamentecoerenti con quanto già visto per le potenze. In particolare, ∀ a, b, x, y ∈R , con a, b > 0 , si ha:


(i) a0 = 1 , 1x = 1

(ii) ax > 0 ;

(iii) ax+y = ax · ay

(iv) (a · b)x = ax · bx

(v) (ax)y = axy = (ay)x

(vi) se a > 1 , allora : (x < y) ⇒ (ax < ay)

(vii) se 0 < a < 1 , allora : (x < y) ⇒ (ax > ay) .

(4.4.9)

In particolare, la (4.4.9)(vi) dice che, se a > 1, la funzione esponenzialef(x) = ax è strettamente crescente su R. Invece, da (4.4.9)(vii), questafunzione è strettamente decrescente su R quando 0 < a < 1. Si vedano leFigure 4.4 (a) e (b) per un grafico qualitativo delle funzioni esponenziali.

x

y

1

f(x)=ax , a>1

(a)

x

y

f(x)=ax , a<1

1

(b)

Figura 4.4 – (a) Grafico di f(x) = ax (a > 1 ). (b) Grafico di f(x) = ax (0 <a < 1 ).

Osservazione 4.6. In generale, una funzione f : A → R, con A ⊆ R, èstrettamente crescente (decrescente) su A se:

x < y ⇒ f(x) < f(y)(

f(x) > f(y))

, ∀ x, y ∈ A . (4.4.10)


Si tratta sicuramente di un concetto molto intuitivo e facilmente visualiz-zabile: a parole, un andamento strettamente crescente corrisponde all’al-zarsi del grafico di f mano a mano che ci si sposta verso destra. Questiconcetti sono comunemente impiegati nello studio qualitativo di funzio-ni, soprattutto in relazione al concetto di funzione derivata. Visto peròche la nostra trattazione non toccherà questi aspetti faremo un uso moltolimitato della nozione di funzione strettamente crescente o decrescente.

Guardando i grafici di Figura 4.4 non è difficile convincersi del fatto che,se a ̸= 1, le funzioni esponenziali f : R → (0,+∞), f(x) = ax, sonobigettive e quindi invertibili.L’inversa f−1 : (0,+∞) → R dell’esponenziale ax si chiama funzionelogaritmo in base a di x, indicato con loga x.

◃ Esercizio 4.9. Tracciare qualitativamente l’andamento grafico dellafunzione loga x, x > 0, separando i due casi: 0 < a < 1 e a > 1.

Soluzione. Sappiamo, dalla Proprietà 4.2, che il grafico di f−1 e quello di fsono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto alla bisettrice y = x. Quindi abbiamo,per il caso a > 1, un comportamento come in Figura 4.5a.Invece, nel caso 0 < a < 1, qualitativamente si ottiene il risultato di Figura 4.5b.

▹

x

y

loga x

axf(x)=x

1

1

(a)

x

y

ax

loga x

f(x)=x

1

1

(b)

Figura 4.5 – Grafici di loga x e di ax: (a) caso a > 1; (b) caso 0 < a < 1.


Ricordiamo che, dato che ax e loga x sono una l’inversa dell’altra, valgono,in virtù delle (4.3.4), le seguenti relazioni fondamentali:

loga ax = x , ∀ x ∈ R ; aloga x = x , ∀ x ∈ R , x > 0 . (4.4.11)

Utilizzando le (4.4.11) e le (4.4.9) è possibile ottenere le principali proprie-tà dei logaritmi. Più precisamente, se a, b, x, y sono numeri reali positivi,con a, b ̸= 1, allora:

(i) loga xy = loga x+ loga y

(ii) loga xα = α loga x , ∀α ∈ R

(iii) logb x =loga x

loga b.

(4.4.12)

◃ Esercizio 4.10. Verificare le proprietà (4.4.12) usando le (4.4.9) e (4.4.11).

Soluzione. (i)

loga x+ loga y = loga[aloga x+loga y]

= loga[aloga xaloga y] = loga xy

(ii)xα = (aloga x)α = aα loga x .

Ora, applicando loga al primo e all’ultimo membro dell’uguaglianza, si ottieneesattamente la (ii).(iii) Usando la (ii) si ha:

loga x = loga blogb x = (logb x) (loga b) .

▹

Osservazione 4.7.

logax

y= loga x · y−1 = loga x+ loga y

−1

= loga x− loga y , ∀ a, x, y > 0 , a ̸= 1 .


Un valore abbastanza usato, specialmente in certi campi dell’ingegneria(ad esempio, nella scala decibel) per la base a del logaritmo è a = 10:in questo caso, scriveremo Log x invece di log10 x. Però la base di granlunga più usata per i logaritmi è il cosiddetto numero di Nepero e cheabbiamo già menzionato nel Capitolo 2. Ricordiamo che si tratta di unnumero reale irrazionale, di tipo trascendente, le cui prime cifre decimalisono riportate nella seguente approssimazione:

e ≈ 2, 718182 (4.4.13)

La funzione logaritmo con base e è tradizionalmente chiamata logaritmonaturale di x e si indica col simbolo ln x . La funzione esponenziale conbase e, cioè ex , è anche semplicemente detta funzione esponenziale.

◃ Esercizio 4.11. Determinare gli x ∈ R che verificano

log4 42x − 3 = |x| .

Soluzione. Usando (4.4.12)(ii), l’equazione diventa:

2x log4 4− 3 = |x| .

Applicando ora la (4.4.11), si ottiene

2x− 3 = |x| . (4.4.14)

Ora, se x < 0, la (4.4.14) non può essere verificata, in quanto a destra dell’ugualeavremmo una quantità positiva, mentre a sinistra ne avremmo una negativa.Quindi si deve avere x ≥ 0, per cui la (4.4.14) diventa

2x− 3 = x ,

che ovviamente ha come unica soluzione x = 3.▹

◃ Esercizio 4.12. Determinare gli x ∈ R che soddisfano

28+x + 2x = 22x . (4.4.15)


Soluzione. Usiamo le (4.4.9)(iii) e (v). La (4.4.15) diventa:

28 · 2x + 2x = (2x)2 ,

cioè2x[

28 + 1− 2x]

= 0 .

Poiché 2x > 0 ∀x ∈ R (vedi (4.4.9)(ii)), l’unica possibilità è:

2x = 1 + 28 ,

da cui x = log2(1 + 28) = log2(257).▹

◃ Esercizio 4.13. Ripetere l’esercizio precedente sostituendo la (4.4.15)con:

28+x − 2x = 2−x . (4.4.16)

Soluzione. Moltiplicando entrambi i lati dell’equazione per la quantità positiva2x , vediamo che la (4.4.16) equivale a:

28 · 22x − 22x = 1 ,

ovvero

22x =1

28 − 1=

1

255.

Applicando il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri si ottiene:

2x log2 2 = log21

255.

Un ultimo passaggio fornisce il risultato seguente:

x =1

2log2

1

255= log2

√

1

255= −1

2log2 255

(il lettore sia consapevole della possibilità di scrivere il risultato in diversi modiequivalenti tra loro).

▹


4.5 Esercizi di riepilogo

Definizione 4.10. Una funzione razionale (fratta) è una funzione definitada una legge del tipo:

T (x) =P (x)

P ′(x), (4.5.1)

dove P (x) e P ′(x) sono due polinomi (ovviamente, la funzione razionaleT (x) risulta definita solo per i valori di x ∈ R per cui il denominatore è̸= 0 ).

Nella teoria degli integrali (si vedano [2], [12]) è utile saper scrivere unagenerica funzione razionale come somma di un polinomio e di una funzionerazionale in cui il grado del numeratore è strettamente inferiore a quello deldenominatore. Per ottenere questo scopo è sufficiente applicare l’algoritmodi divisione tra polinomi, come illustriamo nei due esercizi seguenti.

◃ Esercizio 4.14. Sia T (x) la funzione razionale definita da:

T (x) =P (x)

P ′(x), (4.5.2)

dove P (x) = x4 − 3x3 − 2x+ 1 e P ′(x) = x2 + x− 2. Scrivere T (x) comesomma di un polinomio e di una funzione razionale in cui il grado delnumeratore è strettamente inferiore a quello del denominatore.

Soluzione. Per prima cosa dobbiamo effettuare la divisione tra il polinomioP (x) (dividendo) e il polinomio P ′(x) (divisore):

+x4 −3x3 −2x +1 x2 + x− 2

+x4 +x3 −2x2 x2 − 4x+ 6

! −4x3 +2x2 −2x +1

−4x3 −4x2 +8x

! 6x2 −10x +1

6x2 +6x −12

(Resto R(x) = ) ! −16x +13

(4.5.3)

Dal calcolo precedente, coerentemente con il Teorema 4.4, deduciamo che

P (x) = (x2 + x− 2) · (x2 − 4x+ 6) + (−16x+ 13) . (4.5.4)

4.5 Esercizi di riepilogo 151

Ora applichiamo (4.5.4) a (4.5.2). Usando le esplicite espressioni dei vari poli-nomi troviamo:

T (x) =(x2 + x− 2) · (x2 − 4x+ 6) + (−16x+ 13)

(x2 + x− 2)

=(x2 + x− 2) · (x2 − 4x+ 6)

(x2 + x− 2)+

(−16x+ 13)

(x2 + x− 2)

= (x2 − 4x+ 6) +(−16x+ 13)

(x2 + x− 2),

che rappresenta la decomposizione richiesta.▹

◃ Esercizio 4.15. Ripetere l’esercizio precedente, ma usando:

P (x) = x5 − x4 + x2 − 4 ; P ′(x) = x3 − x .

Soluzione. Dividendo P (x) per P ′(x), si trova

+x5 −x4 +x2 −4 x3 − x

+x5 −x3 x2 − x+ 1

! −x4 +x3 +x2 −4

−x4 +x2

! +x3 −4

+x3 −x

(Resto R(x) = ) ! +x −4

Ora la conclusione cui si perviene è:

T (x) = (x2 − x+ 1) +(x− 4)

(x3 − x).

▹

Il Teorema 4.5 afferma che ogni polinomio ammette una certa fattoriz-zazione: è però importante chiarire che non disponiamo di un metodogenerale che consenta di costruirla. La difficoltà non risiede solo nel fatto


che non sempre sappiamo calcolare le eventuali radici, ma anche nell’indi-viduazione dei fattori irriducibili di secondo grado. Nell’esercizio seguentevediamo una situazione in cui la fattorizzazione si ottiene con un’intuizio-ne algebrica che soprattutto suggerisce quanto improbabile sia riuscire atrattare i polinomi di grado alto con simili ragionamenti.

◃ Esercizio 4.16. Individuare la fattorizzazione del Teorema 4.5 nel casodel polinomio di quarto grado P (x) = x4 + 1.

Soluzione. Poiché x4 ≥ 0 , ∀ x ∈ R , è chiaro che P (x) non ha radici e quindila sua fattorizzazione non può contenere fattori di primo grado. In altre parole,ci dobbiamo aspettare che P (x) sia il prodotto di 2 polinomi di secondo gradoirriducibili. Scriviamo:

x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1)− 2x2

= (x2 + 1)2 − 2x2

= (x2 + 1−√2x) · (x2 + 1 +

√2x) ,

dove per l’ultima uguaglianza abbiamo usato il prodotto notevole (4.1.23)(i).▹

Ovviamente, se si conosce qualche radice del polinomio, allora si ha lapossibilità di avanzare nella costruzione della sua fattorizzazione. Vediamoun esempio.

◃ Esercizio 4.17. Individuare la fattorizzazione del Teorema 4.5 nel casodel polinomio di terzo grado P (x) = x3 + 2x− 3.

Soluzione. Si può osservare che x = 1 è una radice di questo polinomio. Quindi(x−1) deve comparire nella fattorizzazione di P (x). Dividendo P (x) per (x−1),il lettore dovrebbe facilmente arrivare a concludere che:

P (x) = (x− 1) · (x2 + x+ 3) .

▹

Osservazione 4.8. Siano P (x) un polinomio e x0 una sua radice. Il fattoche la divisione di P (x) per (x − x0) dia resto zero è una conseguenzaimmediata del Teorema 4.4 (verificarlo come esercizio). Generalmente,questa proprietà è nota come Teorema di Ruffini.


In virtù di quanto appena detto, è chiaro che potrebbe essere utile dispor-re di un criterio che consenta di restringere la rosa delle possibili radicirazionali di un dato polinomio. In questo ordine di idee, vale il seguenterisultato che enunciamo senza dimostrazione.

Proprietà 4.3. Sia

P (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn (an ̸= 0) , (4.5.5)

un polinomio di grado n dove i coefficienti a0, . . . , an sono dei numeriinteri. Se P (x) ammette una radice razionale

x0 =m

k(4.5.6)

con m e k interi primi fra loro, allora k è un divisore di an, mentre m èun divisore di a0.

◃ Esercizio 4.18. Sia

P (x) = 3x3 + 7x2 + 8x+ 2 .

Determinare le eventuali radici razionali di P (x).

Soluzione. Per la Proprietà 4.3, una frazione, ridotta ovviamente ai minimitermini, x0 = (m/k) può essere una radice di P (x) solo se m divide 2 e k divide3. Ne segue che abbiamo le seguenti otto possibili scelte per x0:

±1 ; ±2 ; ±1

3; ±2

3.

D’altra parte, dato che i coefficienti non nulli del polinomio sono tutti positivi, èchiaro che un’eventuale radice debba essere negativa. Questo restringe a quattrola rosa delle possibili radici razionali. Un calcolo di sostituzione diretta oraconsente di concludere che l’unica radice razionale del polinomio è x0 = −(1/3).

▹

Osservazione 4.9. Sia P (x) = xn−k, con k numero naturale. Applicandola Proprietà 4.3 a P (x) deduciamo subito che la radice n-esima di k è unnumero intero oppure irrazionale.

◃ Esercizio 4.19. Dimostrare, usando il principio di induzione, che ladisuguaglianza di Bernoulli (4.1.22) vale ∀ x ≥ −1.


Soluzione. Procediamo per induzione su n. Per n = 0 la disuguaglianza è:

(1 + x)0 ≥ 1 + 0 · x ovvero 1 ≥ 1 ,

dunque evidentemente vera. Vediamo ora il passo induttivo:

(1 + x)n+1 = (1 + x) · (1 + x)n (4.5.7)

≥ (1 + x) · (1 + nx)

= 1 + (n+ 1)x+ nx2

≥ 1 + (n+ 1)x ,

come richiesto. Si noti che per la prima ≥ in (4.5.7) abbiamo usato l’ipotesiinduttiva e (1 + x) ≥ 0, mentre per l’ultimo passaggio semplicemente il fattoche nx2 ≥ 0.

▹

◃ Esercizio 4.20. Determinare i valori di x ∈ R per cui è verificata laseguente equazione:

(log5 x)2 − 5 = 0 . (4.5.8)

Soluzione. Deve essere

log5 x =√5 oppure log5 x = −

√5 ,

per cui:

x = 5√5 oppure x = 5−

√5 =

1

5√5.

Usando una normale calcolatrice si ricava infine:

x ≈ 36.555 oppure x ≈ 0.027 .

▹


ln(2x+ 1)− ln(x+ 2) = 0 . (4.5.9)


Soluzione. La (4.5.9) equivale a:

ln

[

2x+ 1

x+ 2

]

= 0 , (4.5.10)

ovvero2x+ 1

x+ 2= 1 , (4.5.11)

da cui, con passaggi elementari, si ricava x = 1 (accettabile).▹


3x · 22x = 4 . (4.5.12)

Soluzione. Applichiamo il logaritmo naturale ln ad entrambi i membri di(4.5.12) e usiamo le (4.4.12). Otteniamo:

x ln 3 + 2x ln 2 = 2 ln 2 , (4.5.13)

da cui:x =

2 ln 2

ln 3 + 2 ln 2≈ 0.558 .

▹


ln(√

x− 2)

+ ln(√

x+ 2)

=1

2ln(

x−√3)

+ ln

(√

x+√3

)

. (4.5.14)

Soluzione. Bisogna restringere l’analisi della (4.5.14) a quei valori di x ∈ R

per cui essa ha senso. Più precisamente, bisogna richiedere che siano simulta-neamente soddisfatte le seguenti condizioni:

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

(i) x ≥ 0 e x+√3 ≥ 0

(ii) (√x− 2) > 0

(iii) (√x+ 2) > 0

(iv)(

x−√3)

> 0

(v)(

√

x+√3)

> 0 .

(4.5.15)


Ora, un semplice esame delle (4.5.15)(i)–(v) ci porta a concludere che esseequivalgono al semplice requisito:

x > 4 . (4.5.16)

Chiarito questo, possiamo applicare alla (4.5.14) le proprietà (4.4.12), ottenendocosì:

ln[(√

x− 2)

·(√

x+ 2)]

=1

2

[

ln(

x−√3)

·(

x+√3)]

,

ovvero:

ln[(√

x− 2)

·(√

x+ 2)]

= ln

√

(

x−√3)

·(

x+√3)

.

Adesso, applicando la funzione esponenziale ad entrambi i lati dell’uguaglianzae effettuando il calcolo, deduciamo:

x− 4 =√

x2 − 3 .

Poiché vale la (4.5.16), possiamo elevare al quadrato e ricavare:

x2 − 8x+ 16 = x2 − 3 ,

da cui si ottiene x = (19/8). Poiché questo valore soddisfa anche la (4.5.16),concludiamo che l’unica soluzione del nostro esercizio è appunto x = (19/8).

▹

4.6 Esercizi proposti

◃ Esercizio 4.24. Decomporre il polinomio P (x) = x4 + x3 − x2 + x− 2nel prodotto di fattori irriducibili.

◃ Esercizio 4.25. Utilizzare l’Esercizio 4.24 per risolvere la seguentedisequazione:

x4 + x3 − x2 + x− 2 < 0 .

◃ Esercizio 4.26. Decomporre il polinomio P (x) = x6 − 1 nel prodottodi fattori irriducibili.

◃ Esercizio 4.27. Determinare quoziente Q(x) e resto R(x) della seguen-te divisione:

x5 − x4 + 3x2 + 2x− 1

x3 + 2.

4.7 Commenti e note bibliografiche 157

◃ Esercizio 4.28. Risolvere (se possibile) la seguente equazione:

ln(x+ 3) + ln(x− 2) = ln(2x2 + x+ 1) .


32x−1 − 10 · 5x = 0 .

◃ Esercizio 4.30. Semplificare la seguente espressione, valida per x > 1 :

ln(x2 − 1)− ln(x− 1) + ln1

x+ 1.


42x − 4x − 2 = 0 .

◃ Esercizio 4.32. Sia f(x) = 5√x3 − 2 , x ∈ R . Determinare la sua

funzione inversa.

4.7 Commenti e note bibliografiche

Riprendendo brevemente quanto già accennato sopra, segnaliamo che unostudio algebrico moderno e completo dei polinomi richiederebbe l’introdu-zione dei cosiddetti numeri complessi, all’interno dei quali ogni equazionealgebrica polinomiale ammette soluzione. L’algoritmo di divisione cheabbiamo illustrato rientra invece nel contesto generale dello studio dei co-siddetti anelli euclidei (si veda, per esempio, [19]).

In questo capitolo abbiamo segnalato l’importanza del numero di Nepe-ro e , per cui il lettore potrebbe chiedersi quale sia, matematicamenteparlando, l’origine di questo numero: la maniera più nota per introdurreil numero di Nepero consiste nel considerarlo come il limite, quando ntende a diventare infinitamente grande, della successione numerica

(

1 +1

n

)n

, n ∈ N , n ≥ 1 . (4.7.1)


Non entreremo nel formalismo matematico della definizione di limite,ma ci limitiamo a segnalare che la simbologia, abbastanza intuitiva, cheformalizza quanto appena detto è la seguente:

e = limn→+∞

(

1 +1

n

)n

(il lettore potrebbe provare a valutare, mediante una comune calcolatri-ce, il valore dell’espressione (4.7.1) assegnando qualche valore, sufficien-temente grande, a n). Detto questo, all’interno del calcolo differenzialee integrale, l’importanza della funzione esponenziale ex risiede nel fattoche essa coincide con la sua derivata, proprietà che la rende fondamentaleall’interno della teoria delle equazioni differenziali e, più generalmente, inquasi tutte le realizzazioni di modelli matematici della realtà fisica. Perapprofondimenti in queste direzioni si possono consultare: [9] per gli stu-denti di architettura o discipline legate alle scienze naturali, [22] per gliingegneri e [12], [2] per gli studenti di matematica o fisica.

Polinomi, potenze, esponenziali e logaritmi -...

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