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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
ESPONENZIALI
Facolta di Ingegneria - Universita della Calabria
Abstract
Lo scopo di questo lavoro e quello di fornire all’utenteuno strumento per verificare il suo grado di preparazionerealtivamente alle EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPO-NENZIALI.
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1 Equazioni esponenziali 3
2 Disequazioni esponenziali 7
Riferimenti teorici 13
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1. Equazioni esponenziali
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano le equazioni esponenzialiOgni domanda prevede risposte diverse, una soltanto e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su ”Inizio test” e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla fine dell’esercizio, cliccando su ”Fine test” il programma pro-cedera ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.
Inizio Quiz
1. Per quali valori di x si ha 2x = 0?
(a) x=0(b) x=1(c) Ogni x ∈ R(d) Nessun x ∈ R
2. Qual’e la soluzione del’equazione esponenziale 4x = 8?
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(a) x = 32
(b) x = 1(c) x = 3(d) x = 2
3
3. Trovare le soluzioni dell’equazione esponenziale 32−8x = 93x+1
(a) x=-7(b) x=0(c) x = 1
11(d) x = 1
7
4. Per quale valore di x si ha:a2x−1 + a2x+1 = a3 + a5?
(a) x=-2(b) x=2(c) Per nessun valore di x(d) Per tutti i valori di x
5. Risolvere l’equazione2x+3 = 64 · 3x−3
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(a) x=-3(b) x = 1
3(c) x=3(d) x = − 1
3
6. Risolvere l’equazione esponenziale:2√
x+2 + 22−√
x = 17
(a) x=-4(b) x = 1
4(c) x=4(d) L’equazione e impossibile
7. Qual’e la soluzione dell’equazione:
3x−1 = 71+x
(a) L’equazione e impossibile(b) x = log 7+log 3
log 3−log 7
(c) x=1(d) x = log 7−log 3
log 3+log 7
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8. Per quale valore della variabile x risulta: 52x · 33x+1 = 2025
(a) x=1(b) x=0(c) x = 3 log 3+2 log 5
2log5−3log3
(d) Nessuna dele risposte precedenti e corretta
Fine Quiz
Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tuapreparazione consultando pagine teoriche relative agli argomentitrattati in questa sezione del test.Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICI
Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria
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2. Disequazioni esponenziali
In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano le disequazioni esponenziali.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su ”Inizio test” e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla fine dell’esercizio, cliccando su ”Fine test” il programma pro-cedera ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.
Inizio Quiz
1. Qual’e la soluzione della disequazione esponenziale
2−2x − 4 · 2x ≥ 0
(a) x ≤ 32
(b) x ≤ −23
(c) x ≥ 32
(d) x ≥ −23
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2. Quali valori di x soddisfano la disequazione:
122x
− 12x≥ 0
(a)x ≤ 0
(b)x ≥ 0
(c)x ≤ 1
(d)x > 1
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3. Quando e soddisfatta la disequazione esponenziale:
2−x2+5x ≥ 2−6
(a)−1 ≤ x ≤ 6
(b)x ≤ −1 e x ≥ 6
(c)2 ≤ x ≤ 3
(d)x ≤ 2 e x ≥ 3
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4. Per quali valori di x risulta verificata la disequazione:
3−7x − 3x+8 > 0
(a)x 6= 0
(b)x < −7 e − 1 < x < 0
(c)−7 < x < 1 ed x > 0
(d)x > 0
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5. Per quali valori di x risulta verificata la disequazione:
32x + 6 < 5 · 3x
(a)2 < x < 3
(b)x ≤ 2 e x ≥ 3
(c)log3 2 < x < 1
(d)x ≤ log3 2 ed x ≥ 1
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Riferimenti teorici 2. Vai alle pagine di teoria
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Riferimenti teorici
Riferimenti teorici 1.
Si chiama equazione esponenziale ogni equazione in cui l’incognitax compare come esponente di una o piu potenze.I casi piu semplici di equazioni esponenziali sono due:
1 caso: af(x) = ag(x) con a > 0Si Ricorda che la condizione a > 0 va imposta perche una potenzaad esponente reale ha senso solo se la base e un numero reale pos-itivo.
Poiche in questo caso abbiamo un’uguaglianza fra due potenze conla stessa base, l’uguaglianza sussiste solo se anche gli esponenticoincidono, cioe f(x) = g(x)
af(x) = ag(x) a > 0
f(x) = g(x)
2 caso: af(x) = bf(x) con a 6= b a > 0 b > 0
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Poiche la potenza di un numero reale positivo e sempre maggioredi zero, bf(x) 6= 0 ∀x ∈ R, quindi posso dividere ambo i membriper bf(x)
af(x)
bf(x)=
bf(x)
bf(x)
af(x)
bf(x)= 1(a
b
)f(x)
= 1
Poiche ogni numero elevato a zero fa uno,(
ab
)0
= 1, si ha:
(a
b
)f(x)
=(a
b
)0
f(x) = 0
In conclusione un’equazione esponenziale del secondo tipo si risolvecome:
af(x) = bf(x)
f(x) = 0
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Esercizio 1. L’equazione
2x = 0
e impossibile perche la potenza reale di un numero positivo e sem-pre positiva, ∀x ∈ R 2x 6= 0
Esercizio 2
4x = 8
(22)x = 23
Per la proprieta delle potenze(am
)n
= am·n , si ha(22
)x
= 22x, quindi:
22x = 23
2x = 3
x =32
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Esercizio 3
32−8x = 93x+1
32(1−4x) =(32
)3x+1
Per la proprieta delle potenze(am
)n
= am·n , si ha:
32(1−4x) = 32(3x+1)
2(1− 4x) = 2(3x + 1)1− 4x = 3x + 17x = 0x = 0
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Esercizio 4a2x−1 + a2x+1 = a3 + a5
Per la proprieta delle potenze am+n = am · an , si ha:
a2x · a−1 + a2x · a = a3 ∗ a5
a2x(a−1 + a
)= a3
(1 + a2
)Poiche a−n = 1
an , si ottiene:
a2x(1
a+ a
)= a3
(1 + a2
)a2x
(1 + a2
a
)= a3
(1 + a2
)Al secondo membro moltiplico e divido per a:
a2x(1
a+ a
)= a3 · a
a·(1 + a2
)a2x
(1 + a2
a
)= a4
(1 + a2
a
)a2x = a4
2x = 4x = 2
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Esercizio 5
2x+3 = 64 · 3x−3
2x+3 = 26 · 3x−3
Divido ambo i membri per 26:
2x+3
26=
26
26· 3x−3
Poiche am−n = am ÷ an, si ottiene:
2x+3−6 = 3x−3
2x−3 = 3x−3
Dividendo ambo i membri per 3x−3:
2x−3
3x−3=
3x−3
3x−3
Poiche an ÷ bn = (a÷ b)n, si ha:(23
)x−3
= 1
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Poiche ogni numero elevato a zero fa uno,(
23
)0
= 1, quindi:
(23
)x−3
=(2
3
)0
=
x− 3 = 0x = 3
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Esercizio 62√
x+2 + 22−√
x = 17
Bisogna imporre x ≥ 0 perche altrimenti√
x non sarebbe unvalore reale.Poiche am+n = am · an, si ha:
2√
x+2 + 22−√
x = 17
2√
x · 22 + 22 · 2−√
x = 17
4 · 2√
x + 4 · 2−√
x = 17
Poiche a−n = 1an , si ottiene:
4 · 2√
x + 4 · 12√
x= 17
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Pongo y = 2√
x, si avra allora:
4y + 4 · 1y
= 17
4y +4y− 17 = 0
4y2 − 17y + 4 = 0
y1,2 =17±
√289− 648
=17± 15
8
y1 = 17+158 = 32
8 = 4;Poiche y = 2
√x si ha 2
√x = 4, cioe 2
√x = 22, da cui
√x = 2, x = 4.
y2 = 17−158 = 2
8 = 14 ;
Poiche y = 2√
x si ha 2√
x = 14 , cioe 2
√x = 4−1, da cui 2
√x = 2−2,√
x = −2, impossibile.L’unica soluzione e dunque x = 4
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Equazioni esponenziali risolvibili coi logaritmi
Alcune equazioni esponenziali si possono risolvere applicando illogaritmo ad entrambi i membri e sfruttando le proprieta dei log-aritmi.
Esercizio 7. Per risolvere l’equazione
3x−1 = 71+x
applico il logaritmo ad entrambi i membri:
log 3x−1 = log 71+x
(x− 1) log 3 = log 7 + x log 7
x(log 3− log 7
)= log 7 + log 3
x =log 7 + log 3log 3− log 7
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Esercizio 8. Analogamente, applicando il logaritmo
52x · 33x+1 = 2025
log(52x · 33x+1
)= log 2025
log 52x + log 33x+1 = log(92 · 52)
2x log 5 + (3x + 1) log 3 = log 34 + log 52
2x log 5 + 3x log 3 + log 3 = 4 log 3 + 2 log 5
x(2 log 5 + 3 log 3
)= 3 log 3 + 2 log 5
x = 1
Per tornare alla simulazione del test clicca suRIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 1
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Riferimenti teorici 2.Disequazioni esponenziali
Una disequazione esponenziale e una disequazione in cui l’incognitax compare come esponente di una o piu potenze.Studiando il grafico della funzione esponenziale f(x) = ax si vedeche :
Se a > 1 x ≤ y ⇒ ax ≤ ay
x ≥ y ⇒ ax ≥ ay
Se 0 < a < 1 x ≤ y ⇒ ax ≥ ay
x ≥ y ⇒ ax ≤ ay
Tenendo conto di questi schemi e possibile trasformare una dise-quazione esponenziale in una disequazione di altro tipo.
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EserciziEsercizio 9
2−2x − 4 · 2x ≥ 0
2−2x − 22 · 2x ≥ 0
2−2x ≥ 22 · 2x
2−2x ≥ 2x+2
La base 2 (che e maggiore di 1) quindi passando alla diseguaglianzatra gli esponenti non si deve cambiare il verso.
− 2x ≥ 2 + x
3x + 2 ≤ 0
x ≤ −23
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Esercizio 10
122x
− 12x≥ 0(1
2
)2x
−(1
2
)x
≥ 0(12
)2x
≥(1
2
)x
La base 12 (che e compresa fra 0 e 1 ) quindi passando alla dis-
eguaglianza tra gli esponenti bisogna cambiare il verso.
2x ≤ x
x ≤ 0
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Esercizio 112−x2+5x ≥ 2−6
La base 2 (che e maggiore di 1 ) quindi passando alla diseguaglianzatra gli esponenti NON bisogna cambiare il verso.
− x2 + 5x ≥ −6
− x2 + 5x + 6 ≥ 0
x2 − 5x− 6 ≤ 0 (valori interni)
Le radici del polinomio sono:
x1,2 =5±
√25 + 242
=5± 7
2
x1 = 6x2 = −1La soluzione della disequazione e allora: −1 ≤ x ≤ 6
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Esercizio 123−
7x − 3x+8 > 0
NB: condizione di esistenza e x 6= 0
3−7x > 3x+8
La base 3 (che e maggiore di 1 ) quindi passando alla diseguaglianzatra gli esponenti NON bisogna cambiare il verso.
− 7x
> x + 8
− 7x− x− 8 > 0
−7− x2 − 8x
x> 0
x2 + 8x + 7x
< 0
Studiamo il segno del numeratore:
x2 + 8x + 7 > 0 (valori esterni)
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Le radici del polinomio sono:
x1,2 =−8±
√64− 282
=−8± 6
2x1 = −1x2 = −7
Quindi x2 + 8x + 7 > 0 per x < −7 e x > −1Studiamo il segno del denominatore: x > 0Il segno della funzione sara allora:
Quindi : x2+8x+7x < 0 per x < −7 e −1 < x < 0
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Esercizio 13
32x + 6 < 5 · 3x(3x
)2
+ 6− 5 · 3x < 0
Poniamo y = 3x
y2 + 6− 5y < 0
y2 − 5y + 6 < 0 (valori interni)
Le radici del polinomio sono:
x1,2 =5±
√25− 242
=5± 1
2x1 = 2x2 = 3
Quindi y2 − 5y + 6 < 0 per 2 < y < 3Poiche y = 3x si ha 2 < 3x < 3, ossia{
2 < 3x
3x < 3
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{3x > 23x < 31{
x > log3 2x < 1
In conclusione la soluzione e: log3 2 < x < 1
Riferimenti teorici 2
