Schema equazioni e disequazioni esponenziali 1 · 2017-11-13 · Microsoft Word - Schema equazioni...
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione di potenza: !" !# $ … volte n n a a a a ⋅ ⋅ = a base n esponente n a potenza Proprietà delle potenze: + ℜ ∈ b a, 1 0 = a ; a a = 1 ; 1 1 = n ; 0 0 = n 0 ≠ n ; 1) n m n m a a a + = ⋅ 3) ( ) m m m b a b a ⋅ = ⋅ 2) n m n m a a a − = 4) n n n b a b a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5) ( ) n m n m a a ⋅ = 6) n n n a a a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − 1 1 Es: 2 2 3 4 4 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 7) n m n m a a = , 0 N n ∈ Es: 5 3 5 3 a a = 8) n m n m n m a a a 1 1 = = − , 0 N n ∈ Definizione di funzione esponenziale Una funzione si dice esponenziale se l’incognita compare all’esponente: x a x f → : , con {} 1 0 − ℜ ∈ + a Tale funzione assume valori reali ℜ ∈ ∀x , Esempio: x a y = , 1 0 < < a x y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 Def di funzione decrescente 2 1 2 1 x x a a x x > ⇒ < (cambia il verso) Esempio: x a y = , base 1 > a x y 2 = Def di funzione crescente 2 1 2 1 x x a a x x < ⇒ < (si mantiene il verso) Tutte le funzioni esponenziali passano dal punti (0; 1) EQUAZIONI ESPONENZIALI (l’incognita è all’esponente) 1° Caso ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f a a x g x f = ⇒ = Esempio: 16 2 = x 4 2 2 = x ⇒ 4 = x 16 2 − = x impossibile 0 2 = x impossibile ⇒ = ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 4 2 2 16 2 1 x x 4 − = x 2° Caso 0 ) ( ) ( ) ( = ⇒ = x f b a x f x f Infatti se divido ambo i membri per ) ( x f b 0 ) ( 1 0 ) ( ) ( = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f b a b a b a x f x f Esempio: 4 3 3 40 1 2 15 2 − ⋅ = + ⋅ x x 4 3 40 9 15 2 − ⋅ = ⋅ x x Isoliamo la x al primo membro: 15 9 3 40 15 9 9 15 2 4 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − x x 4 3 3 8 2 − ⋅ ⋅ = x x 4 3 3 3 2 2 − ⋅ = x x 3 3 3 2 − − = x x 1 3 2 1 3 2 3 3 3 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ = ⇒ − − − x x x ⇒ = − ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 0 3 3 2 3 2 0 3 x x 3 = x 3° Caso Somma di potenze con la stessa base Esempio: 7 2 2 2 2 1 = + + − − x x x 7 2 2 2 2 2 2 1 = ⋅ + ⋅ + − − x x x 7 4 1 2 2 1 2 2 = ⋅ + ⋅ + x x x 7 4 1 2 1 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + x 7 4 7 2 = ⋅ x 7 4 7 2 ⋅ = ⇒ x ⇒ = ⇒ = ⇒ 2 2 2 4 2 x x 2 = x 4° Caso Somma di potenze con diversa base Esempio: 2 3 2 3 7 9 ⋅ = ⋅ − x x 0 18 3 7 3 2 = − ⋅ − x x Si pone y x = 3 2 2 3 y x = ⇒ 0 18 7 2 = − − y y 2 121 7 2 72 49 7 ± = + ± = y 9 2 11 7 1 = + = y 2 2 11 7 2 − = − = y Quindi andando a sostituire in y x = 3 : 9 3 = x ⇒ = 2 3 3 x 2 = x 2 3 − = x impossibile Casi particolari: 3 ! = 0 Impossibile 2 ! = −1 Impossibile, questo vale anche per le basi comprese tra 0 e 1. DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Si hanno gli stessi casi 1, 2, 3, 4 delle equazioni esponenziali con la seguente REGOLA: Se le basi sono maggiori di uno si ottiene una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti.(Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è crescente) Se le basi sono comprese tra 0 e 1 si ottiene una disequazione di verso contrario tra gli esponenti. (Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è decrescente) Esempio: base maggiore di 1 2 5 5 25 5 2 < ⇒ < ⇒ < x x x Il verso rimane lo stesso Esempio: base compresa tra 0 e 1 5 2 1 2 1 32 1 2 1 5 > ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x x x Si inverte il verso della disequazione Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: 1. 27 3 = x {} 3 = S 2. 8 2 5 3 ⋅ = + x x { } 3 − = S 3. 31 3 3 3 1 2 1 = + + + − − x x x {} 2 = S 4. 10 2 2 1 3 = + + − x x {} 0 = S Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali: 1. 27 3 > x { } 3 > = x S 2. 32 2 1 < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x { } 5 − > = x S 3. 8 2 5 3 ⋅ < + x x { } 3 − < = x S 4. 31 3 3 3 1 2 1 > + + + − − x x x { } 2 > = x S
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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione di potenza: !"!#$ …
volten
n aaaa ⋅⋅=
a base n esponente na potenza Proprietà delle potenze: +ℜ∈ba, 10 =a ; aa =1 ; 11 =n ; 00 =n 0≠n ; 1) nmnm aaa +=⋅ 3) ( )mmm baba ⋅=⋅
2) nmn
ma
aa −= 4)
n
n
n
ba
ba
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
5) ( ) nmnm aa ⋅=
6) n
nn
aaa ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛==− 11 Es:
22
34
43
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
7) n mnm
aa = , 0Nn∈ Es: 53
5 3 aa =
8) n m
nm
nm
aa
a 11==
−, 0Nn∈
Definizione di funzione esponenziale Una funzione si dice esponenziale se l’incognita compare all’esponente:
xaxf →: , con { }10 −ℜ∈ +a Tale funzione assume valori reali ℜ∈∀x , Esempio: xay = , 10 << a
x
y ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=21
Def di funzione decrescente 21
21xx aaxx >⇒< (cambia
il verso)
Esempio: xay = , base 1>a
xy 2= Def di funzione crescente
2121
xx aaxx <⇒< (si mantiene il verso)
Tutte le funzioni esponenziali passano dal punti (0; 1)
EQUAZIONI ESPONENZIALI (l’incognita è all’esponente)
1° Caso
)()()()( xgxfaa xgxf =⇒= Esempio:
162 =x 422 =x ⇒ 4=x 162 −=x impossibile 02 =x impossibile
⇒=⇒=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 4221621 x
x
4−=x
2° Caso
0)()()( =⇒= xfba xfxf Infatti se divido ambo i membri per
)(xfb
0)(10)()(
=⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ xfba
ba
ba xfxf
Esempio:
43
34012152 −⋅=+
⋅ xx
43409152 −⋅=⋅ x
x
Isoliamo la x al primo membro:
159340
159
9152 4 ⋅⋅=⋅⋅ −x
x
43382 −⋅⋅= xx 43
3322 −⋅= xx
33 32 −− = xx
1321
32 3
3
3=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒=⇒
−
−
− x
x
x
⇒=−⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
0332
32 03
xx
3=x
3° Caso Somma di potenze con la stessa
base Esempio:
7222 21 =++ −− xxx 722222 21 =⋅+⋅+ −− xxx
7412
2122 =⋅+⋅+ xxx
741
2112 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++x
7472 =⋅x
7472 ⋅=⇒ x
⇒=⇒=⇒ 22242 xx 2=x
4° Caso Somma di potenze con diversa base
Esempio: 232379 ⋅=⋅− xx
0183732 =−⋅− xx
Si pone yx =3 223 yx =⇒
01872 =−− yy
21217
272497 ±
=+±
=y
92117
1 =+
=y 22117
2 −=−
=y
Quindi andando a sostituire in yx =3 :
93 =x ⇒= 233x 2=x
23 −=x impossibile Casi particolari: 3! = 0 Impossibile 2! = −1 Impossibile, questo vale anche per le basi comprese tra 0 e 1.
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Si hanno gli stessi casi 1, 2, 3, 4 delle equazioni esponenziali con la seguente REGOLA: Se le basi sono maggiori di uno si ottiene una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti.(Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è crescente) Se le basi sono comprese tra 0 e 1 si ottiene una disequazione di verso contrario tra gli esponenti. (Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è decrescente)
Esempio: base maggiore di 1
255255 2 <⇒<⇒< xxx Il verso rimane lo stesso
Esempio: base compresa tra 0 e 1
521
21
321
21 5
>⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒<⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ xxx
Si inverte il verso della disequazione
Risolvere le seguenti equazioni esponenziali: 1. 273 =x { }3=S 2. 825 3 ⋅=+ xx { }3−=S 3. 31333 121 =++ +−− xxx { }2=S
4. 1022 13 =+ +− xx { }0=S
Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:
1. 273 >x { }3>= xS
2. 3221
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛x
{ }5−>= xS
3. 825 3 ⋅<+ xx { }3−<= xS
4. 31333 121 >++ +−− xxx { }2>= xS
