Lezione 7Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Esercizi

Disegnare i grafici delle seguenti funzioni e determinare l’immagine delle funzioni dal grafico.

𝑓 𝑥 = 3𝑥 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑓 𝑥 = 3𝑥+2

𝑓 𝑥 = log2 𝑥 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 − 2 𝑓 𝑥 = log2(𝑥 − 2)

• 𝑓 𝑥 = ቊ−2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1log 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 1

• 𝑓 𝑥 = ቐ𝑒𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0

5𝑥 + 1

𝑠𝑒 𝑥 = 0𝑠𝑒 𝑥 < 0

Funzione logaritmica e funzione esponenziale

𝑓:𝑅 → 0,+∞𝑥 ↦ 2𝑥

𝑔: (0, +∞) → 𝑅𝑥 ↦ log2 𝑥

Qual è il legame tra queste due funzioni?

Sono l’una l’inversa dell’altra

Funzione logaritmica e funzione esponenzialeIndicandole quindi con

𝑓:𝑅 → 0,+∞𝑥 ↦ 2𝑥

𝑓−1: (0, +∞) → 𝑅𝑥 ↦ log2 𝑥

si ha:

• 𝑓 ∘ 𝑓−1 𝑥 = 𝑥 => 𝑓 log2 𝑥 = 2log2 𝑥 = 𝑥

• 𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥 => 𝑓−1 2𝑥 = log2(2𝑥) = 𝑥 ⋅ log2 2 = 𝑥

Proprietà delle funzioni esponenziali

𝑥1 < 𝑥2𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)

𝑥1 < 𝑥2𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)

Proprietà delle funzioni logaritmiche

𝑥1 < 𝑥2𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)

𝑥1 < 𝑥2𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)

Equazioni e disequazioni esponenziali

• 3𝑥 =1

9; 3𝑥 = 3−2; 𝑥 = −2

• 3𝑥 = 5; log3 3𝑥 = log3 5; 𝑥 ⋅ log3 3 = log3 5; 𝑥 = log3 5

• 3𝑥 < 5; log33𝑥 < log3 5; 𝑥 ⋅ log33 < log3 5; 𝑥 < log3 5

(perché la funzione log3𝑥 è crescente, avendo la base >1)

•1

3

𝑥< 5; log1

3

1

3

𝑥> log1

3

5; 𝑥 ⋅ log13

1

3> log1

3

5; 𝑥 > log13

5

(perché la funzione log13

𝑥 è decrescente, avendo la base <1)

Equazioni e disequazioni logaritmiche

• log3 𝑥 = 2; 𝑥 = 32

• log3 𝑥 > 1; log3𝑥 > log3 3; 𝑥 > 3

• log3 𝑥 < 2; log3 𝑥 < 2 ⋅ log33; log3𝑥 < log3 32; 𝑥 < 9

(perché la funzione log3 𝑥 è crescente, avendo la base >1)

• log13

𝑥 < 2; log13

𝑥 < 2 ⋅ log13

1

3; log1

3

𝑥 < log13

1

3

2; 𝑥 >

1

9

(perché la funzione log13

𝑥 è decrescente, avendo la base <1)

Esempi

• Trovare il punto di intersezione tra i grafici delle funzioni 𝑓 𝑥 = 2𝑥 e 𝑔 𝑥 = 8.

ቊ𝑦 = 2𝑥

𝑦 = 8൜8 = 2𝑥

𝑦 = 8ቊ23 = 2𝑥

𝑦 = 8ቊ𝑥 = 2𝑦 = 8

• Stabilire per quali valori di 𝑥 il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = log12

𝑥 sta al di sopra del

grafico di 𝑔 𝑥 = 0.

𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥); log12

𝑥 > 0; log12

𝑥 > log12

1; 𝑥 < 1

Esercizi sulle funzioni esponenziali (𝟏°)

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione 𝑓 𝑥 =1

3

𝑥e la retta di

equazione 𝑥 = 2.

• Stabilire per quali valori di 𝑥 il grafico della funzione 𝑓 𝑥 =1

3

𝑥

▪ interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

▪ sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

▪ sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 4.

• Per quali valori di 𝑥, la funzione assume valori minori di 3?

Esercizi sulle funzioni esponenziali (2°)

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 e la retta di equazione 𝑥 = 2.

• Stabilire per quali valori di 𝑥 il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥

▪ interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

▪ sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

▪ sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

• Per quali valori di 𝑥, la funzione assume valori maggiori di 5?

Esercizi sulle funzioni logaritmiche

• Determinare il punto di intersezione tra il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = log3 𝑥 e la retta di equazione 𝑥 = 9; 𝑥 = 0.

• Stabilire per quali valori di 𝑥 il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = log3 𝑥▪ interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

▪ sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.

▪ sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.

• Per quali valori di 𝑥, la funzione assume valori maggiori di 2?

Problema 1

Supponiamo che 𝑞 𝑡 = 20 + 𝑒𝑡

5 sia la legge che descrive i quintali di rifiuti prodotti da un’azienda al variare del tempo 𝑡 misurato in mesi.

1. Dopo quanto tempo si saranno prodotti 80 quintali di rifiuti?

2. Dopo quanto tempo la quantità di rifiuti prodotti supererà i 400 quintali?

Sol:

1) 20 + 𝑒𝑡

5 = 80 ⇒ 𝑡 = 20,5 mesi

2) 20 + 𝑒𝑡

5 > 400 ⇒ 𝑡 > 29,7 mesi

Problema 2

Supponiamo che 𝑇 𝑡 = log2(𝑡 + 1) + 20 sia la legge che descrive la variazione di temperatura in un ambiente in un periodo di tempo 𝑡 ∈ 0,60 minuti.

1. Qual è la temperatura iniziale?

2. Dopo quanto tempo la temperatura supera i 22 gradi?

Sol:

1. 𝑇 0 = log2(0 + 1) + 20 = 20

2. log2(𝑡 + 1) + 20 > 22 ⇒ 𝑡 > 3