Lezione 5Funzioni inverse

Potenze

Esponenziali

Logaritmi

Funzioni inverse

• Proprietà: La funzione 𝑓: 𝐴 → 𝐵 è invertibile se e solo se è bigettiva.

Esempio: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 allora 𝑓−1(𝑦) =𝑦−3

2

• Funzioni non bigettive possono diventarlo restringendo opportunamente dominio e/o codominio.

Non invertibile 𝑓:𝑅 → 𝑅𝑥 ↦ 𝑥2

Invertibile 𝑓: 0, +∞ → [0,+∞)

𝑥 ↦ 𝑥2

Inversa 𝑓−1 ∶ 0, +∞ → 0,+∞𝑦 ↦ 𝑦

Grafici di funzioni inverse

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑓−1(𝑥) =𝑥−3

2𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑓−1 𝑥 = 𝑥, con 𝑥 ≥ 0

Invertibilità delle funzioni trigonometriche

Restringendo opportunamente dominio e codominio si hanno le seguenti funzioni inverse:

𝑓: −𝜋

2,𝜋

2→ [−1,1]

𝑥 ↦ sin 𝑥

𝑓−1:[−1,1] → −𝜋

2,𝜋

2

𝑦 ↦ arcsin 𝑦

𝑓 𝑥 = sin 𝑥

𝑓−1 𝑥 = arcsin 𝑥

Invertibilità delle funzioni trigonometriche

Restringendo opportunamente dominio e codominio si hanno le seguenti funzioni inverse:

𝑓: 0, 𝜋 → [−1,1]𝑥 ↦ cos 𝑥

𝑓−1:[−1,1] → 0, 𝜋𝑦 ↦ arccos 𝑦

Invertibilità delle funzioni trigonometriche

Restringendo opportunamente dominio e codominio si hanno le seguenti funzioni inverse:

𝑓: −𝜋

2,𝜋

2→ 𝑅

𝑥 ↦ tan 𝑥

𝑓−1:𝑅 → −𝜋

2,𝜋

2

𝑦 ↦ arctan 𝑦

Analogamente:

𝑓: 0, 𝜋 → 𝑅𝑥 ↦ cot 𝑥

𝑓−1:𝑅 → 0, 𝜋𝑧 ↦ arcot 𝑧

Le potenze (1°)

𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁

• 𝑎𝑚 = 𝑎 · 𝑎 · ⋯ · 𝑎, 𝑚 volte

(si legge "𝑎 elevato m" 𝑎 è la base, 𝑚 è l’esponente)

• 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

•𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛

• 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 = 𝑎𝑛 𝑚

• 𝑎0 = 1

• 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑚

•𝑎𝑚

𝑏𝑚=

𝑎

𝑏

𝑚

Le potenze (2°)

• Cosa significa elevare un numero reale 𝑎 per −1?

Siano m = 0 e n = 1, allora

ma 𝑎0

𝑎1=

1

𝑎, quindi

1

𝑎= 𝑎−1 cioè 𝑎−1 è il reciproco di 𝑎.

• Quindi 𝑎−𝑚 =1

𝑎𝑚

• Se 𝑎 = 0 allora si può calcolare 𝑎𝑛 = 0

ma non si può calcolare 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛=

1

0

𝑎0

𝑎1= 𝑎0−1 = 𝑎−1

Le potenze (𝟑°)

Grazie alla proprietà 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 si possono calcolare le potenze con esponente razionale.

• 𝑎1

2 = 𝑎

infatti 𝑎 è il numero che elevato al quadrato da 𝑎:

𝑎12

2

= 𝑎1 = 𝑎

• 𝑎1

𝑚 = 𝑚 𝑎

• 𝑎𝑚

𝑛 = 𝑎𝑚∙1

𝑛 = 𝑎𝑚1

𝑛 =𝑛𝑎𝑚

Funzione potenza

• Funzione potenza: (varia la base)

𝑓 𝑥 = 𝑥𝛼 , con 𝛼 ∈ 𝑅\{0} fissato e ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⊆ 𝑅

dove il dominio 𝐷 dipende dal particolare 𝛼 scelto.

Esempi:

• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 ⇒ 𝐷 = 𝑅

• 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 ⇒ 𝐷 = 𝑅 ∖ {0}

• 𝑓 𝑥 = 𝑥1

2 ⇒ 𝐷 = [0,+∞)

• 𝑓 𝑥 = 𝑥1

3 ⇒ 𝐷 = 𝑅

Esercizi

Determinare il dominio delle funzioni:

• 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1 −2

• 𝑓 𝑠 = 𝑠3 − 2𝑠21

4

• 𝑔 𝑡 = −𝑡 𝑡 + 1−3

Funzione esponenziale

• Funzione esponenziale di base 𝑎 (con 𝑎 ∈ 𝑅 e 𝑎 > 0) (varia l’esponente):

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑅.

Esercizi

• Dire se ha senso definire le seguenti funzioni 𝑓: 𝑅 → 𝑅

𝑓 𝑥 =1

2

𝑥𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑓 𝑥 = −32 𝑥

• Dire per quali valori di x il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = 3𝑥 interseca la retta di equazione 𝑦 = 9 e per quali valori di 𝑥 sta al di sopra della retta.

• Stesso esercizio considerando la retta di equazione 𝑦 = 6.

La funzione logaritmica

𝑐 = log𝑎 𝑏 ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏

con base 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 e argomento 𝑏 > 0

• Proprietà:

▪ log𝑎 𝑎 = 1 log𝑎 𝑥1 + log𝑎 𝑥2 = log𝑎(𝑥1 · 𝑥2)

▪ log𝑎 1 = 0 log𝑎 𝑥1 − log𝑎 𝑥2 = log𝑎𝑥1

𝑥2

▪ log𝑎 𝑥 𝑘 = 𝑘 · log𝑎 𝑥log𝑎 𝑏 =log𝑐 𝑏

log𝑐 𝑎

𝑓: (0, +∞) → 𝑅 definita da 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥, con 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 è detta funzione logaritmica.

Grafico della funzione logaritmica

Esercizi

Individuare gli intervalli in cui le funzioni sono crescenti e decrescenti. Dire poi se sono iniettive nel loro dominio e, dopo averne determinato l’immagine, si dica se sono suriettive considerando 𝑅 come codominio.

𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑓 𝑥 = log2 𝑥

𝑓 𝑥 = cos 𝑥 𝑓 𝑥 = sin 𝑥

𝑓 𝑥 = tan 𝑥 𝑓 𝑥 = cot 𝑥