FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE ed applicazione alla risoluzione di equazioni goniometriche ~~~~~~~~~~~~~ 1. LE EQUAZIONI "sen x = a" E "cos x = a" notoche,fissatounqualsiasinumerorealeacompresotra1ed1(estremiinclusi), esistono infiniti angoli per i quali il seno oppure il coseno sia uguale ad a. In alcuni casi particolari questiangolipossonoesserescrittiesplicitamentecomemultiplirazionalidi,manelcaso generale non ci si pu aspettare che le soluzioni siano esprimibile tramite angli "noti". Consideriamo ad esempio l'equazione 31sen = x : essa ammette infinite soluzioni, che per non sonomultiplirazionalidell'angolopiatto.Peresprimerelesoluzioni,affrontiamodapprimail problemadaunpuntodivistageometrico.Tracciamoalloralacirconferenzagoniometrica,quindi (ricordandoilsignificatogeometricodellafunzioneseno),intersechiamolacirconferenzaconla retta di equazione 31= y : La retta interseca la circonferenza nei due punti ||.|

\|=31;32 2Pe ||.|

\| =31;32 2Q ; tali punti individuanoidueangoliP O AeQ O A,chesonoappuntolesoluzionicercatenell'ambito dell'intervallo [0 , 2].Allora, se indichiamocon l'unico angolo del primo quadrante il cui seno vale 31 (cio appunto l'angoloP O A detto sopra), chiaro che, per le regole degli angoli associati, l'angoloQ O A il supplementare diP O A, pertanto potremo indicarlo con . Ricordando poi chelafunzionesenoperiodicaconperiodo2,tuttelesoluzionidell'equazionepotrannoessere espresse come segue: PQ AO + = + =. 22k xk x(1)(1.1) Inmanieraanalogacisipotrregolareperun'equazionecome 54sen = x :intersecandola circonferenzagoniometricaconlarettadiequazione 54 = y ,sitrovanoipunti |.|

\| =54;53P e |.|

\| =54;53Q ,cosicchquestavoltaabbiamodue"soluzionibase"dell'equazione,unanelterso quadrante ed una nel quarto. Ora, un angolo del quarto quadrante si pu esprimere in diversi modi: possiamo ad esempio considerareP O A come un angolo compreso tra23 e 2, oppure volendo lo possiamoancheimmaginarecomeunangolonegativo,compresotra 2 e0(comedirechesi immaginailraggiovettoreOPcheruotadallaposizioneinizialeinsenso orario).Perilmomento, possiamo considerare indifferente la scelta dell'angolo base: se indichiamo con unangoloP O A individuato secondo uno dei modi detti sopra (oppure secondo uno degli infiniti modi possibili), la formula x = + 2k dar una famiglia di soluzioni dell'equazione data. Per individuare poi l'angolo Q O A, baster considerare che comunque vale la formula sen( ) = sen , per cui l'altra famiglia di soluzioni sar + 2k, esattamente come scritto nella (1.1). Analoghe considerazioni valgono per l'equazione cos x = a, sempre con un a compreso tra 1 ed1,anzi,sipudirecheinquestocasolasituazionesiapisemplice,nelsensochepossiamo utilizzare un'unica espressione per indicare tutte le soluzioni. Consideriamo ad esempio l'equazione 98cos = x ; per risolverla geometricamente, dobbiamo intersecare la circonferenza goniometrica con la retta di equazione 98= x : 1Adottiamoquilasolitaconvenzioneperlaquale,scrivendo"k"intendiamochekunnumerointero(positivo, negativo o nullo). Si osservi che, per eccesso di precisione, nella (1.1) dovremmo scrivere x = + 2k1 e x = + +2k2;maingeneralesipotrfareamenodiutilizzaresimbolidiversi,intendendocomunquechekungenerico numero intero. A P Q O Anchequivisonoduesoluzioniinciascunintervallodiampiezzaugualeadunperiodo;se indichiamoconl'angoloP O A,ciol'unicoangolodelprimoquadranteilcuicoseno 98,una famiglia di soluzioni x = + 2k; ora, possiamo esprimereQ O A come 2 , e quindi scrivere l'altra famiglia di soluzioni come x = 2 + 2k, ma pi semplicemente possiamo osservare che angoli opposti hanno lo stesso coseno. Perci possiamo esprimere l'altra "soluzione base" come ; in conclusione, un'espressione unica che contiene tutte le soluzioni x = + 2k(2).(1.2) 2. LE FUNZIONI ARCOSENO ED ARCOCOSENO Oraintroduciamodelleopportunefunzionicheesprimanoinmodoopportunogliangoli soluzionidelleequazionivistenelparagrafoprecedente,angolicheprimaabbiamoindicato semplicemente con .Dato un numero x compreso tra 1 ed 1, sembrerebbe naturale definire l'arcoseno di x come "l'angolo il cui seno x"; si capisce per che tale definizione ambigua, in quanto, come abbiamo giosservato,esistonoinfinitiangoliaventicomesenoilnumerodato.Occorrepercidareuna definizioneunivocadiarcoseno,dautilizzarepoiperesprimeretutteleinfinitesoluzioni dell'equazione. In un certo senso, la situazione simile a quella della definizione di radice quadrata (o di altra radice ad indice pari) di un numero positivo. Stabilito che in ogni caso nel campo reale non ha senso la radice quadrata di un numero negativo, e che l'unico numero che al quadrato d 0 0, rimane il fattocheperunnumeropositivoxnoncorrettodirechelaradicequadrata"ilnumeroilcui quadratox",perchesistonosempreduenumerirealidistinti(unooppostodell'altro)ilcui quadrato x. Allora, per convenzione si usa indicare conxil solo numero positivo il cui quadrato x:adesempio,conilsimbolo49 siindicasoltanto7(enon7,perchunafunzionedeve fornire un solo valore). Questo non contraddice il fatto che le soluzioni dell'equazione x2 = 49 siano +7e7(equindiscriviamobrevementex1,2=7):infattiun'equazionepuaverepisoluzioni (anche infinite), mentre una funzione deve far corrispondere ad x un solo valore f(x). Dunque, per definire in modo corretto la funzione arcoseno, occorre per prima cosa fissare un intervallo nel quale la funzione seno assuma una ed una sola volta i valori compresi tra 1 ed 1. Ci sipufareininfinitimodi,mausocomunesceglierel'intervallo ((

2,2.Siosserviinfatti (volendolacosasipuvisualizzareconundisegno)chein 2 ilsenovale1,alcrescere dell'angolo da 2a 0 il seno assume tutti i possibili valori reali tra 1 e 0, poi simmetricamente al cresceredell'angoloda0a 2ilsenocopretuttol'intervallo[0,1].Possiamodarealloraperla funzione arcoseno la seguente definizione: 2 Volendo, sarebbe possibile anche per l'equazione sen x = a dare un'espressione unica, che comprenda tutte le soluzioni scritte nella (1.1): basta scrivere infatti x = (1)k + k. Per convincersi dell'equivalenza di tale espressione con la (1.1), si osservi che ad esempio per k = 0 l'espressione scritta sopra d , per k = 1 d , per k = 2 d 2 + , e cos via. Tuttavia, nelle applicazioni (quando ad esempio necessario individuare le soluzioni di un'equazione che cadono in un certo intervallo), di l'espressione x = (1)k + k piuttosto scomoda, perci continueremo ad utilizzare la (1.1). DEFINIZIONEDELLAFUNZIONEARCOSENO.Datounqualunquenumerox compresotra1ed1(estremiinclusi),sidicearcosenodelnumerox(esiindicaconarcsenx), l'unico angolo compreso tra 2e 2 tale che sen uguale ad x. Perci poniamo arcsen x = se risulta sen = x, ma con la limitazione 2 2 . Da un puntodivistageometrico,determinarel'arcosenodiunnumeroaequivaleaconsiderarel'unica intersezionetralarettadiequazioney=aelasemicirconferenzagoniometricagiacentenel semipiano delle ascisse non negative. Se a positivo l'intersezione cade nel primo quadrante, ed in talcasoconsidereremocomearcosenodial'angoloacutocomeinfigura,contatonelverso positivo. Se invece a negativo l'intersezione cade nel quarto quadrante, ed in tal caso l'arcoseno di a l'angolo acuto contato nel verso negativo. Sulla base di quanto detto sopra, abbiamo ad esempio: arcsen 0 = 0; 6 21arcsen= ; 4 22arcsen= ; 3 23arcsen= ; 21 arcsen= ; 6 21arcsen = |.|

\| ; 4 22arcsen =||.|

\| , 3 23arcsen =||.|

\| ; 2) 1 ( arcsen = , mentre ad esempio sarebbe errato scrivere 6521arcsen= : vero che 65sen uguale a 21, ma per definire 21arcsen siconsidera,tragliinfinitiangoliaventisenougualea 21,l'unicochegiacetra 2e 2, cio appunto 6.Graziealleproprietdellafunzioneseno,facilerendersicontodelfattocheperogni x [1 , 1] si ha arcsen(x) = arcsen x; cio, l'arcoseno una funzione dispari. La figura che segue mostra il grafico della funzione arcoseno: Ora, grazie all'introduzione della funzione arcoseno, siamo in grado di esprimere le soluzioni dell'equazione sen x = a. Ad esempio, si consideri di nuovo l'equazione 31sen = x : l'angolo che nel par. 1 abbiamo indicato con , cio l'unico angolo del primo quadrante avente seno uguale a 31, si puesprimerecome 31arcsen ;perci,seguendoquantodettoprima,possiamoesprimeretuttele soluzioni come segue: + = + =. 231arcsen231arcsenk xk x(2.1) Peranegativolasituazionesimile.Sidebbarisolvereadesempiol'equazione 72sen = x : L'unicoangolocompresotra 2 e 2ilcuiseno 72 sipuindicarecon |.|

\|72arcsen ,che anche uguale a 72arcsen , ed compreso tra 2e 0. Come abbiamo osservato prima, nell'ambito di un periodo c' un altra soluzione, che cade nel terzo quadrante. Possiamo indicare tale angolo con |.|

\| 72arcsen , che come dire 72arcsen + . In conclusione, tutte le soluzioni dell'equazione data sono: 1.0 0.5 0.5 1.01.51.00.50.51.01.5 + + = + =. 272arcsen272arcsenk xk x Un esercizio molto utile (che poi come si vedr molto importante nello studio delle funzioni goniometriche),consistenelselezionare,traleinfinitesoluzionidiunadataequazione goniometrica, quelle che cadono in un intervallo assegnato. Ad esempio, prima abbiamo espresso le soluzionedell'equazione 31sen = x tramitela(2.1).Supponiamodivolerindividuarelesoleradici dell'equazionechecadononell'intervallo[0,2];geometricamente,comedirechepartiamodal puntoA(1;0)efacciamouninterogirodellacirconferenzainsensoantiorario,osservandoquali sonogliangolisoluzionidell'equazione,edinqualeordinevengonotrovati.Inquestocasola soluzione molto semplice: abbiamo, nell'ordine, un angolo nel primo quadrante, che 31arcsen , e un altro nel secondo quadrante, che 31arcsen ; come dire che in ciascuna delle espressioni (2.1) abbiamo scelto il valore k = 0. Disolitoutilesaperequalisonoivaloriapprossimatidellesoluzionicosindividuate. Utilizzandounacomunecalcolatricescientifica,otteniamofacilmenteivalori(approssimatia4 cifre decimali): 3398 . 031arcsen ; 8018 . 231arcsen (3), e quindi lo schema dove abbiamo indicato con un pallino vuoto il fatto che l'equazione presenta una radice nel punto in questione(invece0e2servonosoloperdelimitarel'intervallonelqualeabbiamotracciatole soluzioni). Nelcasodell'equazione 72sen = x lasceltadeivaloridikleggermentediversa. Supponiamoinfattididoverindividuare,nell'ambitodelleespressioni(2.2),lesoleradici dell'equazionechecadonoin[0,2].Separtiamoda0epercorriamolacirconferenzainsenso antiorario, la prima soluzione che incontriamo si trova nel terzo quadrante, ed 72arcsen + , circa ugualea3.4313;successivamente,troviamoun'altrasoluzionenelquartoquadrante.Sipotrebbe naturalmente pensare di esprimere tale soluzione con 72arcsen , ma tale scrittura sarebbe errata, in 3 Di solito, le calcolatrici scientifiche danno i valori approssimati delle funzioni goniometriche utilizzando diverse scale pergliangoli(radianti,sessagesimaliconpartedecimale,centesimali).Illettoreinvitatoafaremoltaattenzione, perch di solito in Analisi Matematica si intende che per il calcolo delle funzioni goniometriche e delle loro inverse gli angoli sono sempre misurati in radianti. 31arcsen 0 31arcsen2 quantol'angolo 72arcsen ,puressendounadelleinfinitesoluzionidell'equazione,noncade nell'intervallo[0,2].Invecelasoluzionecorrettal'angoloappenadettoincrementatodiun angologiro,cio 72arcsen 2 ,circaugualea5.9934.Inaltreparole,pertrovarelesoluzioniin [0 , 2] abbiamo dovuto scegliere nella prima espressione di (2.2) k = 1, e nella seconda k = 0. Riassumendo,pera(0,1),sipotrannoesprimerelesoluzionidell'equazionesenx=a come segue: + = + =, 2 arcsen2 arcsenk a xk a x(2.3) mentre per a (1 , 0), si potr scrivere ad esempio + + = + =, 2 | | arcsen2 | | arcsenk a xk a x(2.4) facendoperattenzioneallasceltadikseoccorredeterminarelesoluzionichecadonoinun determinato intervallo. In modo analogo, definiamo la funzione arcocoseno; osserviamo che anche qui l'argomento x deveesserecompresotra1ed1(estremiinclusi),vistocheancheilcosenocompresotratali limiti. Questa volta per fissiamo per la variabilit dell'angolo l'intervallo [0 , ], perch in questo intervallo la funzione coseno assume una ed una sola volta tutti i valori tra 1 ed 1. Abbiamo allora la seguente definizione: DEFINIZIONEDELLAFUNZIONEARCOCOSENO.Datounqualunquenumerox compreso tra 1 ed 1 (estremi inclusi), si dice arcocoseno del numero x (e si indica con arccos x), l'unico angolo compreso tra 0 e tale che cos uguale ad x. Perciabbiamoarccosx=secos=x,maconlalimitazione0.Anchequi possiamodareun'interpretazionegeometrica:perdeterminarel'arcocosenodiunnumeroa, consideriamo l'unica intersezione tra la retta di equazione x = a e la semicirconferenza goniometrica giacentenelsemipianodelleordinatenonnegative.Seapositivol'intersezionecadenelprimo quadrante, ed in tal caso arccos a un angolo acuto; se invece a negativo l'intersezione cade nel secondo quadrante, ed in tal caso arccos a un angolo ottuso. Perci abbiamo i seguenti risultati: 20 arccos= ; 3 21arccos= ; 4 22arccos= ; 6 23arccos= ;0 1 arccos = ; 3221arccos= |.|

\| ; 4322arccos=||.|

\| , 6523arccos=||.|

\| ; = ) 1 ( arccos , mentre ad esempio scritture come arccos 1 = 2 o arccos(1) = sono errate, in quanto gli angoli trovati non cadono tra 0 e 2. La figura seguente mostra il grafico della funzione arcocoseno. Siosserviancheche,adifferenzadiquantoaccadeperl'arcoseno,adargomentominore corrisponderisultatomaggiore:lafunzionearcocosenoassumeilsuovaloreminimo(che0)per x = 1, ma per x minore di 1 assume valori via via maggiori, fino a raggiungere il suo massimo (cio ) per x = 1. Un'altra importante differenza tra arcoseno e arcocoseno che quest'ultima funzione non n pari n dispari: di conseguenza, un'espressione come arccos(a) non pu essere scritta in modo pi semplice(4). Vediamoalloracomesiesprimonolesoluzionidell'equazionecosx=a.Consideriamoad esempiol'equazione 98cos = x :sullabasediquantodettoallafinedelpar.1,tuttelesoluzionisi possono esprimere tramite la formula + = k x 298arccos .(2.5) 4 Volendo, per 0 < a < 1 si potrebbe scrivere arccos(a) = arccos a, ma di solito non una scelta conveniente. 1.0 0.5 0.5 1.00.51.01.52.02.53.0 Nelcasocheoccorrascriverelesoluzionidell'equazionegiacentitra0e2,occorre considerare che la (2.5) semplicemente un modo abbreviato di scrivere due famiglie di soluzioni, cio + = k x 298arccos e + = k x 298arccos :partendocomealsolitodalpuntoA=(1;0)e percorrendolacirconferenzagoniometricainsensoantiorario,troviamonelprimoquadrante l'angolo4759 . 098arccos , e successivamente nel quarto quadrante l'angolo8073 . 598arccos 2 (come dire che nel secondo caso necessario scegliere il valore k = 1). Il procedimento non cambia perl'equazionecos x = aconanegativo;adesempio,lesoluzionidell'equazione 51cos = x si possonoesprimereconlaformula +|.|

\| = k x 251arccos .PartendodaAepercorrendola circonferenza,incontriamonelsecondoquadrantelasoluzione7722 . 151arccos |.|

\| enelterzo quadrante la soluzione511 . 451arccos 2 |.|

\| . Riassumendo, per a (1 , 1), le soluzioni dell'equazione cos x = a sono: + = k a x 2 arccos .(2.6) Vediamo ora altri esempi di equazioni goniometriche le cui soluzioni possono essere espresse tramite arcsen e arccos. ESEMPIO1.Risolverel'equazionegoniometrica6senx cosx 2senx + 9cosx 3=0,e scrivere esplicitamente le soluzioni che cadono in [0 , 2]. SOLUZIONE. Mediante un semplice raccoglimento parziale, l'equazione si trasforma in (2 sen x + 3)(3 cos x 1) = 0, da cui 23sen = xoppure 31cos = x . La prima equazione ovviamente non ha soluzioni reali, mentre dallasecondaabbiamo + = k x 231arccos .Lesoluzionichecadonotra0e2sono 231 . 131arccos e0522 . 531arccos 2 . ESEMPIO2.Risolverel'equazionegoniometrica19senx+3cosx9=0,escrivere esplicitamente le soluzioni che cadono in [0 , 2]. SOLUZIONE.Sitrattadiun'equazionelineareinsenoecoseno,chepuessererisoltaad esempio tramite l'applicazione delle note formule razionali in 2tg x. Abbiamo infatti: 0 92tg 12tg 132tg 12tg 219222= +++xxxx, dacui6t219t+3=0,seponiamo 2tg xt = .Ora,lesoluzionidiquestaequazionedisecondo gradosono 611 = t e32 = t .Pertrovarexpotremmoutilizzarelafunzionearcotangente(che vedremoinseguito),mapossiamoancheragionarecomesegue:se 612tg =x,possiamofacilmente trovare sen x e cos x applicando ancora le formule razionali in 2tg x; otteniamo infatti: 3712611612 sen2=|.|

\|+= x ; 3735611611cos22=|.|

\|+|.|

\|= x , ilchesignificachexgiacenelprimoquadrante:essopuessereespressoindifferentementecome 3712arcsenoppure come 3735arccos . Applicando lo stesso procedimento al caso32tg =x, otteniamo invece 53sen = x e 54cos = x ;ora,l'angolochehatalifunzionigoniometrichenonpuessere espresso come 53arcsen , perch giace nel primo quadrante, mentre l'angolo che stiamo cercando giace nel secondo. Il problema si risolve semplicemente considerando l'angolo |.|

\|54arccos ; perci tuttelesoluzionidell'equazionesono + = k x 23712arcsen e + |.|

\| = k x 254arccos ,etraquestece ne sono due che cadono tra 0 e 2, cio3303 . 03712arcsen e4981 . 254arccos |.|

\| . Esisteancheunaltroprocedimentoperlarisoluzionediequazionilineariinsenoecoseno, che consiste nell'interpretazione grafica dell'equazione, o meglio di un sistema ad essa equivalente. Riprendiamo ancora la stessa equazione lineare; se poniamo sen x = Y e cos x = X (il che si giustifica ricordando la definizione delle funzioni seno e coseno), l'equazione diventa 19Y + 3X 9 = 0, che in due variabili. Basta per ricordare la relazione fondamentale della goniometria, grazie alla quale sempre X2 + Y2 = 1; in conclusione, l'equazione data equivalente al sistema = += +, 10 9 3 192 2Y XX Y

chedalpuntodivistadellageometriaanaliticanonaltrochel'intersezionetraunarettaeduna circonferenza.Lesoluzionidiquestosistemasono |.|

\|3712,3735e |.|

\|53,54,percuitroviamo facilmente le stesse soluzioni di prima. Il vantaggio di questo procedimento sta non solo nel fatto che otteniamo direttamente seno e cosenodegliangoliinquestionesenzapassareperlatangentedi 2x,maanchenelfattochein questomododeterminiamoanchelesoluzionichepotrebberosfuggireapplicandoleformule razionaliricordatesopra.Siconsideriinfattiadesempiol'equazione7senx4cosx4=0; applicandoleformulein 2tg xtroviamo0 42tg 12tg 142tg 12tg 27222= ++xxxx,dacui0 42tg 7 = x.Da 742tg =xtroviamo 6556sen = x e 6533cos = x ,percuipossiamoscrivere + = k x 26556arcsen (o anche,indifferentemente, + = k x 26533arccos ),maquestaespressionenonesauriscetuttele soluzionidell'equazionedata.Ineffetti,occorrericordarecheleformulein 2tg xnonsonovalide per x = (pi in generale, non sono valide nei multipli dispari dell'angolo piatto), perch 2tg non esiste.Lasoluzione"mancante"(perchilgradodell'equazionesolo1anzich2)proprio, perci alle soluzioni trovate prima dobbiamo aggiungere x = + 2k(5). Ora, applicando il secondo procedimento, il problema non si pone, perch il punto (1 ; 0) un punto come un altro, e non va trattato a parte. In effetti, il sistema = += 10 4 4 72 2Y XX Y ammette le due soluzioni |.|

\|6556,6533 e (1 , 0), che corrispondono alle soluzioni trovate prima. Gliesempiprecedenticidannolospuntoperfissarealcuneregolesucomeesprimere correttamente un angolo di cui siano noti seno e coseno. Consideriamo allora due numeri reali a e b, tali che la somma dei loro quadrati sia 1 (evitiamo il caso in cui uno di essi sia nullo e l'altro uguale a 1), e scriviamo il sistema ==. cossenb xa x(2.7) Ragionandodaunpuntodivistageometrico,evidentecheilsistema(2.7)presentaunaed una sola soluzione in ogni intervallo di ampiezza pari ad un periodo, perch (a ; b) un ben preciso punto sulla circonferenzagoniometrica. Naturalmente, l'espressioneesplicita dell'angolox dipende dall'intervallo nel quale si decide di far variare x; nel seguito vediamo i casi pi comuni. -Sea>0eb>0,l'angoloxgiacenelprimoquadrante.Se(comelasceltapiovviain questo caso) supponiamo 20< < x , possiamo esprimere x indifferentemente come arcsen a oppure comearccosb.Adesempio,se 178sen = x e 1715cos = x ,possiamoscrivere 178arcsen = x oppure 1715arccos = x . 5Lastessasituazionesiverificasesiapplicanoleformulesuddetteadequazioniinsenoecosenodigrado2.Ad esempio,partendodaun'equazionedisecondogradoinsenoecosenosiottieneingeneraleun'equazionediquarto grado in 2tg xt = ; se per l'equazione si abbassa di grado, vuol dire che essa ha anche le soluzioni x = + 2k.-Sea>0eb(6), anche maggiore di 3, perci abbiamo < , a sua volta equivalente a 900 > 289 3. 7 Questa una verifica un po' meno semplice da fare manualmente, ma volendo ancora possibile anche supponendo di utilizzare una calcolatrice capace di eseguire solo le quattro operazioni di base. Infatti, la disuguaglianza data equivale a 19618 8712 3 16335 < ,cio5666 3 3267 < ,chevera,comesiverificasubitoelevandoalquadratoentrambii membri. -le(3.1)e(3.2)hannosensoperqualunquevaloredia,inquantolefunzionitangentee cotangente assumono tutti i valori reali; -unavoltaindividuataunasoluzionedell'equazioneinquestione,considerandochele funzioni tg e cotg hanno periodo , si potranno esprimere tutte le soluzioni con la semplice formula x = + k. Diamo allora le seguenti definizioni per le funzioni arcotangente ed arcocotangente: DEFINIZIONEDELLAFUNZIONEARCOTANGENTE.Datounqualunquenumero realex,sidicearcotangentedelnumerox(esiindicaconarctgx),l'unicoangoloappartenente all'intervallo |.|

\| 2,2 tale che tg uguale ad x. Perciponiamoarctgx=serisultatg=x,conlalimitazione 2 2< < .Dunque otteniamounafunzionechehacomedominiotuttoRecomecodominiol'intervallo |.|

\| 2,2(si osservi che l'intervallo aperto perch non possibile che risulti arctg x = 2 oppure 2 , in quanto per tali angoli la tangente non esiste). Sipudareanchequiun'interpretazionegeometrica:tracciatalasemicirconferenza goniometricagiacentenelsemipianox0,siatlarettatangenteallacurvanelpuntoA=(1;0), cio la retta x = 1. Ora, per determinare l'arcotangente di un dato numero a, si tracci sulla retta t il puntoTdiordinataa,esiuniscaTconl'origine.dettoPilpuntodiintersezionetrala semirettaOPelasemicirconferenza,l'angoloP O Al'arcotangenterichiesta(8).Sihaallorauna situazione simile a quella dellafunzione arcoseno: se a > 0, il punto Pgiace nel primo quadrante, 8Ovviamentesarebbebastatodirechel'angolorichiestoAOT;sipreferitoconsiderareilpuntoAOPsoloper uniformarsi alla consuetudine per la quale gli angoli si identificano con archi della circonferenza goniometrica. AO P T (1 ; a) t per cui si avr un angolo compreso tra 0 e 2 (l'unica differenza che non si potr mai ottenere 2), mentre se a < 0 il punto P cade nel quarto quadrante, ed in tal caso sar02< < x . La seguente tabella fornisce alcuni valori particolari della funzione arcotangente: arctg 0 = 0; 6 33arctg31arctg= = ; 41 arctg= ; 33 arctg= ; 6 33arctg =||.|

\| ; 4) 1 ( arctg = ;( )33 arctg = . Come accade per l'arcoseno, anche l'arcotangente una funzione dispari, cio si ha per ogni x reale arctg(x) = arctg x. La figura che segue mostra il grafico della funzione arcotangente: La funzione arctg x crescente in tutto R, positiva per x positivo e negativa per x negativo. Il suo codominio limitato, e siccome per x molto grande essa tende ad avvicinarsi a 2 (mentre per x grande in modulo ma negativo essa si avvicina a 2), il grafico presenta due asintoti orizzontali, di equazioni rispettivamente y = 2 e y = 2. Comegidetto,tramitelafunzionearcotangentemoltosempliceesprimerelesoluzioni dell'equazionetg x = a:basterscriverex = arctg a + k,evolendoutilizzareladisparit dell'arcotangentenelcasoa 0 l'arcocotangente giace nelprimoquadrante,mentreperx (2.8018 > 2.7988) 28. > (2.5536 > 2.4981 29. > (3.6397 > 3.6315)