E. Modica

FUNZIONI GONIOMETRICHE

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DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE

Consideriamo un triangolo ABC rettangolo in B e sia 𝛼 l’angolo acuto di vertice A. Successivamente, consideriamo una retta parallela al cateto BC e siano D ed E, rispettivamente, i punti in cui tale retta interseca il prolungamento del cateto AB oltre B e il prolungamento dell’ipotenusa AC oltre C. Il triangolo ADE che si viene a formare è anch’esso rettangolo e l’angolo acuto in A misura, ovviamente, anch’esso 𝛼. Di conseguenza, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°, i due angoli 𝐶 e 𝐸 sono anch’essi congruenti, perché differenza di angoli congruenti. I due triangoli ABC e ADE sono quindi simili tra loro e di conseguenza hanno i lati opposti agli angoli congruenti, detti lati omologhi, in proporzione, cioè:

𝐵𝐶𝐴𝐶 =

𝐷𝐸𝐴𝐸

Da ciò è possibile dedurre che: in un triangolo rettangolo, il rapporto tra il cateto opposto all’angolo 𝜶 e l’ipotenusa e il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo 𝜶 e l’ipotenusa, non dipendono dalla misura dei lati del triangolo, ma dipendono esclusivamente dal valore di 𝜶, ovvero i due rapporti !"

!" e !"

!"

dipendono solo dalla misura dell’angolo 𝛼. Definizione. Si dice seno dell’angolo 𝜶, indicato con la scrittura 𝒔𝒊𝒏𝜶, il rapporto tra il cateto opposto all’angolo 𝛼 e l’ipotenusa. In formule:

𝐬𝐢𝐧𝜶 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐  𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐  𝒂𝒍𝒍!𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐  𝜶

𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 =𝑩𝑪𝑨𝑪

Definizione. Si dice coseno dell’angolo 𝜶, indicato con la scrittura 𝒄𝒐𝒔𝜶, il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo 𝛼 e l’ipotenusa. In formule:

𝐜𝐨𝐬𝜶 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐  𝒂𝒅𝒊𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆  𝒂𝒍𝒍!𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐  𝜶

𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 =𝑨𝑩𝑨𝑪

Definizione. Si dice tangente dell’angolo 𝜶, indicato con la scrittura 𝒕𝒂𝒏𝜶, il rapporto tra il cateto opposto all’angolo 𝛼 e il cateto adiacente. In formule:

𝐭𝐚𝐧𝜶 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐  𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐  𝒂𝒍𝒍!𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐  𝜶𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐  𝒂𝒅𝒊𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆  𝒂𝒍𝒍!𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐  𝜶 =

𝑩𝑪𝑨𝑩

E. Modica 2

Definizione. Si dice cotangente dell’angolo 𝜶, indicata con la scrittura 𝒄𝒐𝒕𝜶, il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo 𝛼 e il cateto opposto. In formule:

𝐜𝐨𝐭𝜶 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐  𝒂𝒅𝒊𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆  𝒂𝒍𝒍!𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐  𝜶𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐  𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐  𝒂𝒍𝒍!𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐  𝜶 =

𝑨𝑩𝑩𝑪

Proposizione. La tangente dell’angolo 𝛼 è uguale al rapporto fra il seno e il coseno dell’angolo 𝛼, in formule:

𝐭𝐚𝐧𝜶 =𝐬𝐢𝐧𝜶𝐜𝐨𝐬𝜶

Dimostrazione. Utilizzando le precedenti definizioni si ha:

sin𝛼cos𝛼 =

𝐵𝐶𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴𝐶

=𝐵𝐶𝐴𝐵 = tan𝛼

Osservazione. Dalle precedenti definizioni di tangente e cotangente emerge subito che vale la seguente relazione:

𝐜𝐨𝐭𝜶 =𝟏

𝐭𝐚𝐧𝜶 Esempio. Determinare le funzioni goniometriche dell’angolo 𝐴 del triangolo ABC, sapendo che 𝐴𝐵 = 5, 𝐵𝐶 = 12 e 𝐴𝐶 = 13.

Dalle definizioni precedenti segue che:

sin𝐴 =𝐵𝐶𝐴𝐶 =

1213

tan𝐴 =

𝐵𝐶𝐴𝐵 =

1213

cos𝐴 =𝐴𝐵𝐴𝐶 =

513

cot𝐴 =

𝐴𝐵𝐵𝐶 =

1312

FUNZIONI GONIOMETRICHE DELL’ANGOLO DI 45° Consideriamo un triangolo ABC, rettangolo in B, avente l’angolo 𝛼 = 45°. Di conseguenza anche l’angolo 𝐶 sarà di 45°. Il triangolo è quindi isoscele, pertanto si ha:

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑙 Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che l’ipotenusa misura: 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵! + 𝐵𝐶! = 𝑙! + 𝑙! = 2𝑙! = 𝑙 2

E. Modica 3

Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che:

sin 45° =𝐵𝐶𝐴𝐶 =

𝑙𝑙 2

=12=

22 ≅ 0,7

cos 45° =𝐴𝐵𝐴𝐶 =

𝑙𝑙 2

=12=

22 ≅ 0,7

tan 45° =𝐵𝐶𝐴𝐵 =

𝑙𝑙 = 1

cot 45° =1

tan 45° = 1

FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI DI 30° E DI 60° Consideriamo un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in B, avente l’angolo 𝐴𝐶𝐵 = 30°. Di conseguenza l’angolo 𝐵𝐴𝐶 sarà di 60°. Questo triangolo è la metà del triangolo equilatero ACA’ e, di conseguenza, se il suo lato 𝐴𝐶 = 𝑙, il lato 𝐴𝐵 = !

!𝑙.

Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che il cateto 𝐶𝐵 misura:

𝐶𝐵 = 𝐴𝐶! − 𝐴𝐵! = 𝑙! −𝑙2

!

= 𝑙! −𝑙!

4 =34 𝑙

! =12 𝑙 3

Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che:

sin 30° =𝐴𝐵𝐴𝐶 =

12 𝑙𝑙 =

12 = 0,5

cos 30° =𝐶𝐵𝐴𝐶 =

32 𝑙𝑙 =

32 ≅ 0,86

tan 30° =𝐴𝐵𝐵𝐶 =

12 𝑙

32 𝑙

=13≅ 0,58

cot 30° =1

tan 30° = 3 ≅ 1,7

sin 60° =𝐶𝐵𝐴𝐶 =

32 𝑙𝑙 =

32 ≅ 0,86

cos 60° =𝐴𝐵𝐴𝐶 =

12 𝑙𝑙 =

12 = 0,5

E. Modica 4

tan 60° =𝐶𝐵𝐴𝐵 =

32 𝑙12 𝑙

= 3 ≅ 1,7

cot 60° =1

tan 60° =13≅ 0,58

TAVOLA RIASSUNTIVA

Angolo 𝜶 𝒔𝒊𝒏  𝜶 𝒄𝒐𝒔  𝜶 𝒕𝒂𝒏  𝜶 𝒄𝒐𝒕  𝜶

0° 0 1 0 non definita

30° 12

32≅ 0,86

13≅ 0,58 3 ≅ 1,7

45° 22≅ 0,7

22≅ 0,7   1   1  

60° 32≅ 0,86

12

3 ≅ 1,7 13≅ 0,58

90° 1 0 non definita 0

180° 0 -1 o non definita

PRIMO E SECONDO TEOREMA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Utilizzando le definizioni date nel primo paragrafo, è possibile pervenire ai due seguenti importanti teoremi dei triangoli rettangoli.

Primo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo a esso adiacente; ovvero un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo a esso opposto.

𝑎 = 𝑐 sin𝛼                    𝑎 = 𝑐 cos𝛽                    𝑏 = 𝑐 cos𝛼                    𝑏 = 𝑐 sin𝛽

E. Modica 5

Secondo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo a esso opposto; ovvero un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo ad esso adiacente.

𝑎 = 𝑏 tan𝛼                    𝑎 = 𝑏 cot𝛽                    𝑏 = 𝑎 tan𝛽                    𝑏 = 𝑎 cot𝛼

PROBLEMI PROPOSTI P1. La scala mobile che porta dal piano terra al primo piano di un centro commerciale è lunga 6.5 m e inclinata di 30° rispetto al pavimento. Calcolare l’altezza del primo piano. [R. 3,25 m] P2. Un ruscello scende in linea retta lungo il pendio di una montagna per 205 m formando con il terreno un angolo di 50°. Calcolare l’altezza della montagna. [R. 157,04 m] P3. Un’antenna emittente ha un profilo lungo 20 m che risulta inclinato rispetto al piano di 70°. Determinare l’altezza dell’antenna. [R. 18,8 m] P4. La discesa dalla chiesa di un paese alla piazza è lunga 115 m e inclinata, rispetto all’orizzonte della chiesa, di 20°. Determinare di quanto la chiesa è più alta rispetto alla piazza. [R. 39,3 m] P5. L’ingresso in un castello medievale avviene mediante un ponte levatoio lungo 6 m. Sapendo che il ponte viene sollevato e abbassato mediante dei tiranti azionati da argani a ruota che formano, quando sono totalmente spiegati, un angolo di 32° con il ponte, determinare l’altezza della porta d’ingresso. [R. 3,75 m] P6. Una scala a pioli lunga 4.5 m permette di accedere al primo piano di uno stabile. Determinare l’altezza di tale piano rispetto al piano terra, sapendo che la scala forma con il muro un angolo di 48°. [R. 3,01 m] P7. Un bambino scende da uno scivolo di un parco giochi lungo 3 m. Determinare l’altezza del punto più alto dello scivolo sapendo che la sua inclinazione rispetto al terreno è pari a 54°. [R. 2,42 m]